Sup & Spé TSI Résumé de Cours j O Clcul élémentire de l courbure en un point birégulier i On considère l fonction ngulire ssociée ϕ qui est l ngle entre Ox et T, ϕ = d où, en prmétriques : cosϕ T : = sinϕ En polires, on : ϕ = θ + V dx ds dy ds = dx dt / ds dt dy dt / ds dt Avec les nottions précédentes, on : γ = dϕ ds Démonstrtion : T : R = ds dϕ cosϕ sinϕ Ce qui donne imméditement : Ω R et N : N M T sinϕ cosϕ qu on dérive pr rpport à s. D où d T ds = γ N : γ = dϕ ds. Mthémtiques ( ) i, T sinϕ dϕ ds cosϕ dϕ ds. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr Année scolire 2003 2004
Année Scolire 2003 2004 LES PRINCIPALES modifictions cette nnée sont principlement des jouts de figures et de considértions élémentires. On bien sûr églement relu le contenu et corrigé quelques bogues : qu on se rssure, il en reste! Un grnd merci ux lecteurs ttentifs. Ce document est disponible sur mon site personnel : http://c.cignert.free.fr Ce site contient églement un cours complet de Spé TSI, tnt en pdf qu en html. Il été écrit sous pdfltex, une version spécifique de LTeX qui produit directement des fichiers u formt pdf. Ces fichiers ont l vntge de s fficher et s imprimer correctement. Pour l présenttion du document, on redéfini quelques commndes LTeX de bse, comme «\section», l génértion de l index... Les extensions LTeX utilisées sont hbituelles, les crctères de texte sont en pltino et les crctères mthémtiques utilisent les fontes pple dptée u pltino. Cette version du document est celle du 8 juin 2004. 2 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr
Sommire I Algèbre 7 1. Théorie des ensembles 7 1.1. Ensembles................. 7 1.2. Sous-ensembles.............. 7 1.3. Loi de composition interne........ 7 1.4. Ensembles finis.............. 8 2. Fonctions et pplictions 8 2.1. Applictions................ 8 2.2. Imge, imge réciproque d une prtie. 8 2.3. Injection, surjection, bijection...... 8 2.4. Composition des pplictions...... 9 2.5. Ensemble des pplictions de E vers F. 9 3. Structure de Groupe 9 3.1. Groupe................... 9 3.2. Sous-groupe................ 9 3.3. Morphisme de groupe.......... 9 4. Structure d Anneu 10 4.1. Anneu................... 10 4.2. Sous-nneu................ 10 4.3. Exemples d nneux........... 10 4.4. Arithmétique de Z............ 10 5. Structure de Corps 11 5.1. Corps.................... 11 5.2. Corps usuels................ 11 6. Structure d Algèbre 11 6.1. Algèbre................... 11 6.2. Sous-lgèbre................ 11 6.3. Algèbres usuelles............. 11 7. Nombres Réels 11 7.1. Inéglités, Bornes............. 11 7.2. Prtie entières............... 12 7.3. Formule du Binôme............ 12 8. Nombres Complexes 13 8.1. Nombres Complexes........... 13 8.2. Inéglité tringulire........... 13 8.3. Groupe des unités............. 13 8.4. Rcines d un nombre complexe..... 13 8.5. Géométrie du pln complexe...... 13 9. Polynômes 14 9.1. Rcines................... 14 9.2. Division Euclidienne........... 15 10. Frctions Rtionnelles 15 10.1. Décomposition en éléments simples.. 15 10.2. Conseils prtiques............. 15 11. Espces Vectoriels 16 11.1. Structure d espce vectoriel....... 16 11.2. Sous-espce vectoriel........... 16 11.3. Somme de sous-espces vectoriels... 16 11.4. Norme sur un espce vectoriel..... 17 11.5. Esp. vect. de dim. finie : bse....... 17 11.6. Espces vectoriels usuels......... 17 12. Applictions Linéires 18 12.1. Applictions linéires........... 18 12.2. s-e-v stble pr f............. 18 12.3. Imge et noyu.............. 18 12.4. Projecteur................. 19 12.5. Théorème du rng............ 19 12.6. Système linéire.............. 19 13. Mtrices 19 13.1. Générlités................. 19 13.2. Générlités sur les mtrices crrées... 20 13.3. Mtrice d une ppliction linéire.... 21 13.4. Mtrice de Pssge............ 21 13.5. Chngements de bse........... 21 14. Déterminnts 22 14.1. Ordre 2 et 3................. 22 14.2. Mtrice tringulire............ 22 14.3. Ordre quelconque............. 22 14.4. Déterminnt d un produit........ 22 14.5. Dét. d une mt. tringulire pr blocs. 22 15. Réduction des Endomorphismes 23 15.1. Vleurs propres et vecteurs propres... 23 15.2. Polynôme crctéristique......... 23 15.3. Digonlisibilité.............. 23 15.4. Digonlisibilité et digonlistion... 23 15.5. Tringulristion............. 23 15.6. Puissnces d une mtrice......... 24 16. Espces Préhilbertiens Réels et Euclidiens 24 16.1. Produit sclire.............. 24 16.2. Esp. vect. préhilbertiens et euclidiens.. 25 16.3. Inéglités.................. 25 16.4. Endomorphismes symétriques..... 25 16.5. Mtrice symétrique réelle........ 25 16.6. Procédé de Schmidt............ 25 16.7. Projection sur un s-e-v de dim. finie.. 26 16.8. Méthode des Moindres Crrés...... 26 17. Groupe Linéire et Groupe Orthogonl 27 17.1. Groupe linéire.............. 27 17.2. Groupe orthogonl............ 27 II Anlyse 28 18. Suites 28 18.1. Suites.................... 28 18.2. Sous-suites................. 28 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr 3
18.3. Suites vectorielles............. 28 18.4. Suites réelles ou complexes....... 28 18.5. Suites réelles................ 29 18.6. Suites récurrentes............. 29 18.7. Suites récurrentes linéires........ 29 19. Fonctions R R 29 19.1. Ensemble de définition.......... 29 19.2. Monotonie................. 29 19.3. Limite et continuité............ 30 19.4. Continuité sur un intervlle....... 30 19.5. Fn en esclier, continue pr morceux. 31 19.6. Limites usuelles.............. 31 19.7. Equivlents................ 31 19.8. Négligebilité............... 31 20. Dérivbilité 32 20.1. Dérivée, clsse C 1 et nottions..... 32 20.2. Clsse C n.................. 32 20.3. Somme et produit............. 32 20.4. Dérivée d une fonction composée.... 32 20.5. Dérivée et prolongement pr continuité 32 20.6. Th. de Rolle, T.A.F., Formules de Tylor 33 20.7. Zéros d une fonction........... 33 20.8. Développements limités......... 34 20.9. Opértions sur les dl n........... 34 21. Fonctions usuelles 35 21.1. Exponentielle et Logrithme....... 35 21.2. Fonctions trigonométriques circulires. 35 21.3. Fonc. trigonométriques réciproques.. 36 21.4. Fonc. trigonométriques hyperboliques. 37 21.5. Fonc. trig. hyperboliques réciproques. 38 21.6. Autres fonctions usuelles......... 40 22. Trigonométrie 40 22.1. Propriétés élémentires.......... 40 22.2. Symétries.................. 42 22.3. Arc double................. 42 22.4. Sommes d rcs............... 42 22.5. Trnsformtion de produits en sommes 42 22.6. Trnsformtion de sommes en produits 43 22.7. Formule de Moivre............ 43 22.8. Fonctions réciproques.......... 43 22.9. Pour le clcul intégrl........... 43 23. Recherche de primitives 43 23.1. Frction rtionnelle en x......... 43 23.2. Frctions rtionnelles diverses...... 43 23.3. Polynôme exponentielle........ 44 23.4. Primitives usuelles............ 44 24. Intégrle de Riemnn 44 24.1. Primitive.................. 44 24.2. Inéglités.................. 44 24.3. Théorème des 3 conditions........ 46 24.4. Intégrle dépendnt d une borne.... 46 24.5. Continuité et dérivtion sous...... 46 24.6. Int. pr prties et chng. de vrible.. 46 24.7. Sommes de Riemnn........... 46 25. Intégrle générlisée 47 25.1. Convergence................ 47 25.2. Fonctions positives............ 47 25.3. Théorème des 3 conditions........ 48 25.4. Int. pr prties et chng. de vrible.. 48 25.5. Un procédé de convergence....... 48 25.6. Continuité et dérivtion sous...... 48 25.7. Ensemble de définition.......... 49 26. Intégrles doubles et triples 49 26.1. Description hiérrchique du domine. 49 26.2. Clcul d Aires et de Volumes...... 50 26.3. Inclusion des domines.......... 50 26.4. Chngement de vribles........ 51 27. Séries numériques (réelles ou complexes) 53 27.1. Convergence et Convergence Absolue. 53 27.2. Séries géométriques............ 53 27.3. Séries positives.............. 53 27.4. Critère spécil des séries lternées... 54 27.5. Comprison série-intégrle....... 54 27.6. Suite et série des différences....... 55 27.7. Clcul exct de sommes de séries.... 55 27.8. Clcul pproché de sommes de séries. 55 28. Séries Entières 55 28.1. Ryon de convergence.......... 56 28.2. Convergence................ 56 28.3. Somme de deux séries entières..... 57 28.4. Développement en série entière..... 57 28.5. Séries entières usuelles.......... 57 28.6. Sér. ent. solution d une éqution diff... 57 29. Séries de Fourier 57 29.1. Coefficients de Fourier.......... 57 29.2. Cs où f est 2π-périodique....... 59 29.3. Convergence................ 59 29.4. Produit sclire et formule de Prsevl. 59 30. Σ = Σ... 60 30.1. Série entière................ 60 30.2. Série de Fourier.............. 60 30.3. Autres cs................. 60 31. Fonctions R p R 61 31.1. Limite et continuité............ 61 31.2. Clsse C 1 et C 2.............. 61 31.3. Extrémums d une fonction R 2 R... 62 32. Fonctions (ou suites) à vleur dns R n ou C n 62 32.1. Limite et continuité............ 62 32.2. Fonction R n R p, clsse C 1...... 62 32.3. Fonction R n R n, clsse C 1...... 63 4 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr
33. Equtions et systèmes différentiels 63 33.1. Générlités................. 63 33.2. Non Linéire du premier ordre..... 64 33.3. Linéire du premier ordre........ 64 33.4. Lin. du sec. ordre à coeff. constnts... 64 33.5. Linéire du second ordre......... 64 33.6. Eqution ux dérivées prtielles..... 65 33.7. Système Linéire du premier ordre... 65 33.8. Système utonome............ 66 III Géométrie 67 34. Brycentre 67 34.1. Brycentre de p points pondérés.... 67 34.2. Associtivité du brycentre....... 67 35. Vecteurs du pln et de l espce 67 35.1. Produit sclire.............. 67 35.2. Produit vectoriel.............. 67 35.3. Déterminnts............... 67 36. Droites et Plns ffines 67 36.1. Droites du pln.............. 68 36.2. Plns de l espce ffine.......... 68 36.3. Droites de l espce ffine......... 69 36.4. Angles................... 69 36.5. Aires et Volumes élémentires...... 69 36.6. Distnces.................. 69 37. Projecteurs et Symétries 70 37.1. Projecteur................. 70 37.2. Symétrie.................. 70 38. Isométries 70 38.1. Isométries vectorielles et ffines..... 70 38.2. Symétries orthogonles.......... 70 38.3. Recherche d une symétrie orthogonle. 71 38.4. Isométries Vectorielles.......... 71 38.5. Isométries Affines............. 72 39. Similitudes 72 39.1. Similitude................. 72 39.2. Identifiction................ 72 40. Courbes Plnes 73 40.1. Courbes d éqution y = f (x)...... 73 40.2. Courbes plnes en prmétriques.... 74 40.3. Courbes plnes en polires........ 76 40.4. Courbes usuelles en polires....... 78 41. Courbure et Ryon de Courbure 78 41.1. Ryon de courbure d une courbe plne 78 41.2. Recherche de l courbure......... 79 42. Surfces : Générlités 80 42.1. Surfces, pln tngent.......... 80 42.2. Tngente à une courbe de l espce... 81 43. Cercles et Sphères 82 43.1. Cercles dns le pln et sphères..... 82 43.2. Cocyclicité................. 82 43.3. Cercles dns l espce............ 82 44. Coniques 83 44.1. Ellipses................... 83 44.2. Prboles.................. 84 44.3. Hyperboles................. 85 44.4. Identifiction d une conique....... 85 44.5. Projection d une conique sur un pln.. 86 45. Qudriques 87 45.1. Equtions réduites............ 87 45.2. Intersection vec un pln......... 87 45.3. Identifiction d une qudrique..... 89 46. Surfces de révolution, cylindres et cônes 89 46.1. Surfces de révolution.......... 89 46.2. Cylindres.................. 90 46.3. Cônes.................... 91 46.4. Cylindres et cônes de révolution.... 93 IV Mple 94 47. Bses 94 47.1. Mnipultions de bse.......... 94 47.2. Constntes................. 94 47.3. Sommes et produits............ 95 47.4. Fonctions d évlution.......... 95 47.5. Trnsformtion générle d expressions. 95 47.6. Simplifiction d expressions....... 96 47.7. Structures de données.......... 96 48. Mthémtiques usuelles 96 48.1. Fonctions mthémtiques usuelles... 96 48.2. Limites et développements limités... 96 48.3. Dérivées.................. 97 48.4. Primitives et intégrles.......... 97 48.5. Solve...................... 97 49. Algèbre linéire 97 49.1. Vecteurs.................. 97 49.2. Procédé de Schmidt............ 98 49.3. Mtrices.................. 98 49.4. Eléments propres............. 98 50. Grphiques 98 50.1. Courbes du pln.............. 98 50.2. Surfces.................. 99 50.3. Courbes de l espce............ 99 50.4. Trcé simultné.............. 99 51. Structures de contrôle et procédures 99 51.1. Structure lterntive........... 99 51.2. Structure répétitive............ 100 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr 5
51.3. Procédures................. 100 52. Exemples de Progrmmes 100 52.1. Un progrmme très simple........ 101 52.2. Structure lterntive........... 101 52.3. Structure itértive «pour»....... 101 52.4. Structure itértive «tnt que»..... 101 52.5. Récurrence sur plusieurs rngs..... 102 52.6. Un exemple en lgèbre linéire..... 102 Index 104 Figures 1 Projection orthogonle.......... 26 2 Méthode des Moindres Crrés...... 27 3 Théorème de Newton-Rphson..... 34 4 Fns exponentielle et logrithme..... 35 5 Fonctions trigonométriques....... 36 6 Fns trigonométriques réciproques.... 37 7 Fns cosinus et sinus hyperboliques... 38 8 Fonction tngente hyperbolique..... 39 9 Fns Argch et Argsh............ 39 10 Fn Argument tngente hyperbolique.. 40 11 Cercle trigonométrique.......... 42 12 Intégrle double.............. 49 13 Intégrle triple............... 50 14 Intégrle double en polires....... 51 15 Intégrle triple en cylindriques..... 52 16 Intégrle triple en sphériques...... 52 17 Critère spécil des séries lternées... 54 18 Comprison série-intégrle....... 55 19 Convergence d une série entière..... 56 20 Fonction convexe............. 74 21 Etude locle d une courbe prmétrée. 75 22 Exemple de ρ négtif en polires.... 77 23 Tngente en polires........... 77 24 Asymptote en polires.......... 78 25 Repère de Frenet et centre de courbure. 79 26 Pln tngent................ 81 27 Ellipse : foyers et directrices....... 83 28 Prbole : foyers et directrices...... 84 29 Hyperbole : foyers et directrices..... 86 30 Qudriques................ 88 31 Surfce de révolution : xe et directrice. 90 32 Cylindre : direction et directrice..... 91 33 Contour pprent dns une direction.. 92 34 Cône : sommet et directrice....... 92 35 Contour pprent depuis un point... 93 Tbleux 1 Fonctions usuelles............. 41 2 Primitives usuelles............ 45 3 Séries Entières usuelles.......... 58 6 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr
Première prtie Algèbre 1. Théorie des ensembles 1.1. Ensembles Un ensemble peut se définir pr l liste de ses éléments, comme pr exemple : E = {1,2,...,n} ; l propriété que vérifient ses éléments, pr ex. : E = {x R, x 2 + x 1 = 0}. Qund x est un élément de E, c est à dire qu il est dns l liste des éléments de E, ou qu il vérifie l propriété crctéristique de E, on dit que x pprtient à E, noté : x E. Définition : Si E et F sont deux ensembles, on ppelle l ensemble produit de E et F, noté E F, l ensemble des couples d un élément de E et d un élément de F, soit : E F{(x,y), x E, y F} L ensemble vide se note :. 1.2. Sous-ensembles On dit que F est inclus dns E, noté F E, x F, x E. F est insi un sous-ensemble de E, ou une prtie de E. On note P(E), l ensemble des prties de E. C est ensemble de tous les sous-ensembles de E. Définition : L intersection de 2 ensembles A et B, notée A B est : A B = {x, x A et x B} Définition : L réunion de 2 ensembles A et B, notée A B est : A B = {x, x A ou x B} Définition : Si A B, le complémentire de A dns B est : B A = {x, x B et x A}. 1.3. Loi de composition interne Définition : Si E est un ensemble, une loi de composition interne, notée, sur E est une ppliction (voir pge 8) définie sur E E et à vleur dns E. A deux éléments de E, on ssocie un troisième élément de E. On note une loi de composition interne sous forme d opértion plutôt que sous forme d ppliction : z = x y. Les propriétés usuelles d une loi de composition interne sur E sont : ssocitivité : x,y,z E, (x y) z = x (y z) En un mot, on peut, dns un clcul, regrouper les termes comme on veut, sns chnger leur ordre. Il est prtiquement impossible de trviller vec une loi qui n est ps ssocitive. commuttivité : x,y E, x y = y x Pour une loi commuttive, dns un clcul, on peut chnger l ordre des termes. élément neutre : e est élément neutre x E, x e = e x = x C est pr exemple 0 pour l ddition et 1 pour l multipliction. élément inversible : x est inversible, ou possède un symétrique x E tel que : x x = x x = e Ceci n bien sûr de sens que si l loi possède déjà un élément neutre e. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr 7
1.4. Ensembles finis Définition : Un ensemble est fini s il est vide ou s il peut se mettre en bijection (voir pge 8) vec {1,2,...,n}. Son crdinl, qui est son nombre d éléments, est lors n. Le crdinl de l ensemble vide est 0. Nottion : L ensemble {1,2,...,n} se note ussi [[1,n]]. Crd(E F) = Crd(E) Crd(F) Le crdinl de l ensemble des prties de E est : Crd(P(E)) = 2 Crd(E) Le crdinl de l ensemble des pplictions de E dns F (voir pge 9) est : Crd(F(E,F)) = Crd(F) ( ) Crd(E) n Le crdinl de l ensemble des prties à p éléments d un ensemble à n éléments est : Cn k = k 2.1. Applictions 2. Fonctions et pplictions Définition : Une fonction f de E vers ou dns F est une reltion telle que : x E, il existe u plus un seul y F, tel que : y = f (x). Une ppliction f de E vers ou dns F est une reltion telle que : x E, il existe un et un seul y F, tel que : y = f (x). Définition : Soit f une ppliction de E vers F, et A une prtie de E, lors : f A : A F, définie pr : x A, f A (x) = f (x) est l restriction de f à A. Définition : Soit g une ppliction de A vers F, et A une prtie de E, lors, toute ppliction : f : E F, telle que : x A, f (x) = g(x) est un prolongement de g sur E. 2.2. Imge, imge réciproque d une prtie Définition : Soit f une ppliction de E vers F, si A est une prtie de E, on ppele imge ou imge directe de A pr f, notée f (A) = {y F, x A tel que : y = f (x)}. C est l ensemble des imges des éléments de A ; si B est une prtie de F, on ppele imge réciproque de B pr f, notée f 1 (B) = {x E, tels que : f (x) B}. C est l ensemble des éléments de E dont l imge est dns B. On peut prler de l imge réciproque d une prtie B, notée f 1 (B) même qund l ppliction f 1 n existe ps... 2.3. Injection, surjection, bijection Définition : Une ppliction est injective si et seulement si deux éléments distincts ont des imges distinctes. En prtique, on montre que : f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Définition : Une ppliction est surjective si et seulement si tout élément de l ensemble d rrivée possède un ntécédnt, c est à dire : y F, x E tel que f (x) = y. Définition : Une ppliction est bijective si et seulement si tout élément de l ensemble d rrivée possède un unique ntécédnt, c est à dire : y F, il existe un et un seul x E tel que f (x) = y. Définition : Si f est une bijection de E sur F, lors : z = f 1 (t) f (z) = t, définit bien une ppliction f 1, de F sur E, bijective, ppelée ppliction réciproque de f. 8 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr
2.4. Composition des pplictions Définition : Soit : f : E F et : g : F G, on définit l composée de f et g, comme étnt l ppliction : g f : E G, telle que : g f (x) = g ( f (x)). En générl : g f = f g... même qund tous les deux sont définis! On prend : f : E F et : g : F G, lors : si f et g sont surjectives, g f est surjective. si f et g sont injectives, g f est injective. si f et g sont bijectives, g f est bijective. L composée des pplictions est toujours ssocitive. C est à dire : Si on : f : E F, g : F G, et : h : G H, h (g f ) = (h g) f. L ppliction «identité» : Id E : E E, qui à x ssocie x est une bijection, et est élément neutre pour l composition des pplictions. Si f est une bijection de E dns F, on bien sûr : f 1 f = Id E, l identité de E ; et on ussi : f f 1 = Id F. 2.5. Ensemble des pplictions de E vers F Définition : L ensemble des pplictions de E vers F est noté : F(E,F). Si E et F sont des ensembles finis, lors, F(E,F) est ussi fini. 3.1. Groupe 3. Structure de Groupe Définition : étnt une loi de composition interne, c est à dire :,b G, b G,b,c G, ( b) c = (b c) (G, ) est un groupe e G, G, e = e = G, G, = = e Il s git de l ssocitivité, de l existence d un élément neutre, et de l existence d un symétrique pour tout élément. Si, de plus l loi est commuttive, le groupe est dit bélien ou commuttif. Remrquons qu un groupe est non vide... puisqu il contient l élément neutre. 3.2. Sous-groupe H G est un sous-groupe de (G, ) { H est non vide,b H, b H En prtique, il est bien plus fcile de montrer qu on un sous-groupe d un groupe connu plutôt qu un groupe. 3.3. Morphisme de groupe Définition : f : (F, ) (G, ) est un morphisme de groupe,b F, f ( b) = f () f (b) Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr 9
4. Structure d Anneu 4.1. Anneu Définition : Un nneu est un ensemble A muni de deux lois de composition interne notées + et telles que : (A,+) une structure de groupe commuttif ; l loi est ssocitive, possède un élément neutre et est distributive pr rpport à l ddition. Cet nneu est dit commuttif qund l loi est commuttive. 4.2. Sous-nneu B est un sous-groupe de (A,+) B est un sous-nneu de (A, +, ) B est stble pour 1 B 4.3. Exemples d nneux (Z, +, ) une structure d nneu commuttif. Pr illeurs, toutes les lgèbres qui suivent, pge ci-contre, ont, bien sûr, une structure d nneu. 4.4. Arithmétique de Z / Multiples et diviseurs Définition : Soient et b dns Z, tels qu il existe q Z tel que : = b q. On dit lors que est un multiple de b, ou que est divisible pr b. On dit ussi que b est un diviseur de. b/ Division Euclidienne Soient Z et b N, lors, il existe un unique couple (q,r) vec q Z et r {0,1,...,n 1} tel que : = b q + r. Si N, il s git simplement de l division de l école primire! Mis, si < 0, et d illeurs dns tous les cs, q est l prtie entière (voir pge 12) de b. On peut toujours fire l division euclidienne de pr b = 0, mis, il n y que qund le reste est nul que est divisible pr b! c/ Nombres premiers Définition : Un nombre premier de N est un entier qui n est divisible, dns N, que pr lui même et pr 1. Un nombre premier de Z est un nombre tel que est un nombre premier de N. Tout entier de N est décomposble de fçon unique en produit de nombres premiers de N. Tout entier de Z est décomposble de fçon unique en produit de nombres premiers de N et du signe de. Exemple : 360 = 1 2 3 3 2 5 L décomposition en produit de nombres premiers permet d effectuer fcilement : les simplifictions de frctions ; l somme de deux frctions, on prend lors comme nouveu dénominteur le nombre obtenu en prennt dns chcun des dénominteurs chque fcteur premier vec l exposnt le plus grnd. 10 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr
5. Structure de Corps 5.1. Corps Définition : Un corps K est un ensemble muni de deux lois de composion interne telles que : (K, +, ) est un nneu : tout élément x de K possède un inverse 1 x pour l loi 5.2. Corps usuels Les corps usuels sont R et C notés K qund c est l un ou l utre, plus exceptionnellement Q. 6.1. Algèbre 6. Structure d Algèbre Une lgèbre est un ensemble A muni de trois lois. Les deux premières lui confèrent l structure d espce vectoriel (A, +,. ). L troisième loi est une loi de composition interne ppelée produit. Cette loi est ssocitive, possède un élément neutre, et est distributive pr rpport à l ddition. C est à dire qu on, à l fois, une structure d espce vectoriel (A, +,. ) et d nneu (A, +, ). Enfin, dernière propriété, les deux «produits» sont «comptibles» : λ K,,b A, (λ. ) b = (λ. b) = λ. ( b) 6.2. Sous-lgèbre On montre le plus souvent qu on une sous-lgèbre d une lgèbre connue plutôt que de montrer qu on une lgèbre directement. 1 F F E est une sous-lgèbre de E u,v F, λ,µ K, (λ.u + µ.v) F u,v F, u v F C est à dire, F contient l identité, est stble pr combinison linéire et pr produit. 6.3. Algèbres usuelles R [X] et C [X] sont des lgèbres sur R et C. C k (A,R) vec A non vide et k N {+ } est une lgèbre sur R. L (E) l ensemble des pplictions linéires de E dns E. L loi de composition interne, c est à dire le «produit», étnt ici l composition des pplictions. M n (K) l ensembles des mtrices crrées n n 7.1. Inéglités, Bornes 7. Nombres Réels On rppelle l inéglité tringulire : x,y R, x + y x + y. Définition : Soit A une prtie, non vide, de R mjorée, l borne supérieure de A est le plus petit des mjornts de A. Si A est une prtie, non vide, de R minorée, l borne inférieure de A est le plus petit des minornts de A. Toute prtie non vide mjorée de R dmet une borne supérieure, et toute prtie non vide minorée de R dmet une borne inférieure. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr 11
Nottion : On note R = R {, + } = [, + ] Cel ne rend ps et + réels! Tout intervlle réel non vide et non réduit à un point contient une infinté de nombres rtionels et une infinité de nombres irrtionels. 7.2. Prtie entières Définition : L prtie entière d un nombre réel est le plus grnd des entiers qui lui sont plus petits. Ainsi : Ent(π) = 3, et : Ent( π) = 4. On : Ent(x) x < Ent(x) + 1 Définition : L vleur décimle pprochée à 10 n près pr défut de x est : Ent(x 10 n ) 10 n. L vleur décimle pprochée à 10 5 près pr défut de π est : 3,14159. 7.3. Formule du Binôme / Coefficients binomiux Définition : C k n = C n k n = n! k!(n k)! = ( ) n k Cn k = Cn 1 k 1 + Ck n 1 Cn 0 = Cn n = 1 Cn 1 = Cn n 1 = n Cn 2 = Cn n 2 n(n 1) = 2 On noter bien que l nottion C k n est de plus en plus remplcée pr l nottion : Remrquons l inversion de n et k. ( ) n. k b/ Formule du Binôme et utres,b K, n N, ( + b) n =,b K, n N, n b n = ( b) n Cn k k b n k k=0 ( n k=1 n k b k 1 ) Les deux formules précédentes sont en fit vlbles dns tout nneu commuttif et donc, en prticulier, dns toute lgèbre comuttive. Qund on n ps l commutivité du produit, il fut et il suffit que le produit des deux éléments concernés commute. Ce ser le cs vec les mtrices crrées M n (K), voir pge 24, et vec l ensemble des endomorphismes de E, c est à dire L(E). n n (n + 1) k = 2 k=1 12 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr
8. Nombres Complexes 8.1. Nombres Complexes z = x + iy = ρ e iθ z = x iy = ρ e iθ ρ = z = z = z = x 2 + y 2 ( ) 1 z + z = z + z z z = z z = 1 z z z 2 = z z 8.2. Inéglité tringulire x,y C, x y x + y x + y Cette inéglité est, bien sûr, encore vlble lorsque x et y sont réels... 8.3. Groupe des unités L ensemble U des nombres complexes de module 1, muni de l multipliction, une structure de groupe commuttif. 8.4. Rcines d un nombre complexe / Rcines crrées x 2 y 2 = z 2 = + ib vec z = x + iy x 2 + y 2 = 2 + b 2 signe(xy) = signe(b) b/ Rcines nèmes de l unité z n = 1 z = e 2ikπ n vec k {0,1,2,...,n 1} c/ Rcines nèmes d un nombre complexe z n = ρ e iθ z = n ρ e iθ+2ikπ n vec k {0,1,2,...,n 1} Les rcines nèmes d un complexe s obtiennent en effectunt le produit de l une d entre elles pr les rcines nèmes de l unité. 8.5. Géométrie du pln complexe / Trnsformtions z z Si le point M est d ffixe z, on trouve le point M d ffixe z en effectunt l rottion de centre O, d ngle rg et l homothétie de centre O et de rpport. z z + b Si le point M est d ffixe z, on trouve le point M d ffixe z + b en effectunt l rottion de centre Ω, d ngle rg et l homothétie de centre Ω et de rpport. Ω est le point fixe d ffixe vérifint : z = z + b, dns le cs où = 1 ; dns le cs où = 1, le point M est le trnslté de M de vecteur d ffixe b. peut ussi se reporter à l pge 72. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr 13
z 1 z Si le point M est d ffixe z, le point M d ffixe 1 se trouve sur l droite, orientée, symétrique de (OM) z pr rpport à Ox, l norme de OM étnt l inverse de celle de OM. z z Si le point M est d ffixe z, le point M d ffixe z est le symétrique de M pr rpport à l xe Ox. b/ Cercles et droites A,B,M d ffixes respectives,b,z, lors : le module de z z b est : AM ; BM l rgument de z ( z b est : ) AM, BM 9.1. Rcines Soit le polynôme : P(x) = 9. Polynômes n k x k = n x n + n 1 x n 1 + + 1 x + 0 k=0 Sur C, P(x) = n (x x 1 ) (x x 2 )... (x x n ) Sur R, P(x) = n (x x 1 ) (x x 2 )... ( x x p ) ( x 2 + α 1 x + β 1 )... ( x 2 + α m x + β m ) vec p + 2m = n et toutes les expressions du second degré irréductibles, c est à dire < 0. Qund on tous les fcteurs d un polynôme, pour retrouver celui-ci, il ne fut ps oublier le coefficient dominnt n. Définition : Un polynôme est dit scindé si et seulement si il est fctorisble en produit d expressions du premier degré. Sur C un polynôme est donc toujours scindé. Sur R, il fut et il suffit qu il n it ps de rcines complexes non réelles. P(x) est divisible pr (x α) P(α) = 0 α est rcine de P P(x) est divisible pr (x α) k P(α) = P (α) = = P (k 1) (α) = 0 α est rcine d ordre k u moins de P Un polynôme de degré n qui u moins n + 1 rcines distinctes ou confondues est nul. Si P est scindé, x 1 + x 2 + + x n = n 1 n, x 1 x 2... x n = ( 1) n 0 n Pour le degré 2, x 2 Sx + P = 0 est tel que : S = x 1 + x 2, et P = x 1 x 2 S est l somme des rcines et P leur produit. 14 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr
9.2. Division Euclidienne Soit A et B deux polynômes, B = 0, { A = B Q + R lors il existe un unique couple (Q,R) tel que degré(r) < degré(b) En prtique, qund on écrit l division de A pr B, on prendr soin de bien écrire les polynômes pr puissnces décroissntes. P Q Le reste de l division euclidienne de Q pr P est nul Toutes les rcines de P sont rcines de Q vec u moins le même ordre de multiplicité. On penser à cette dernière équivlence qund le degré de P est petit... 10.1. Décomposition en éléments simples 10. Frctions Rtionnelles A = P Q une frction rtionelle irréductible vec Q(x) = (x x 1) p 1 (x x 2 ) p 2... (x x n ) p n ( ) n P(x) pk Alors : Q(x) = E(x) + A k,l k=1 l=1 (x x k ) l vec E(x) le quotient de l division euclidienne de P pr Q. En prtique, sur les réels et les complexes, un terme en (x x 1 ) dns Q(x) donne un terme en un terme en (x x 1 ) 2 dns Q(x) donne un terme en Sur les réels, un terme en ( x 2 + α 1 x + β 1 ) vec ( < 0) donne : A (x x 1 ), A (x x 1 ) + B (première espèce). 2 (x x 1 ) A un terme en (x x 1 ) + A (x x 1 ) Cx + D ou directement en (x 2 (seconde espèce), vec C et D réels. + α 1 x + β 1 ) Exemple : On v donner un exemple de décomposition directe en éléments simples sur R. 2X + 1 Soit : (X + 1) 2 (X 2 + X + 1) = A X + 1 + B (X + 1) 2 + CX + D X 2 cr X 2 + X + 1 n ps de rcines réelles, + X + 1 ses rcines sont j et j. Pour B, on multiple pr (X + 1) 2, on simplifie et on fit X = 1. Cel donne : B = 1. Pour C et D, qu on peut trouver en même temps, cr l frction rtionelle du déprt est réelle, on multiplie pr X 2 + X + 1, on simplifie et on fit X = j. Comme C et D sont réels, on les deux. C j + D = 2 j + 1 ( j + 1) 2 = 2 j + 1 ( j 2 ) 2 = 2 j + 1 = 2 + j 2 = 2 1 j = 1 j, d où : C = 1 et D = 1. j Pour A, on fit X = 0 ou bien on multiplie pr X et on fit X = +. Ce qui donne : A + C = 0 et donc : A = 1. 10.2. Conseils prtiques Pour décomposer une frction rtionelle en éléments simples, il fut : Fctoriser Q(x). Ecrire l forme générle de l décomposition, en n oublint ps l prtie entière, qu on clcule en fisnt l division euclidienne Utiliser l prité-imprité qui réduit souvent beucoup l étude Terme de degré dominnt : multiplier pr (x x 1 ) p 1, simplifier puis poser x = x 1 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr 15
rcine simple de première espèce : fire le précédent ou bien : A = P(x 1) Q (x 1 ) Résidu à l infini : multiplier pr x et clculer l limite qund x Enfin, prendre une vleur... 11. Espces Vectoriels 11.1. Structure d espce vectoriel Définition : (E, +,.) est un espce vectoriel sur K (E,+) est un groupe commuttif λ.(u + v) = λ.u + λ.v { u,v E (λ + µ).u = λ.u + µ.u λ,µ K λ.(µ.u) = λµ.u 1.u = u Définition : On ppelle vecteurs les éléments de E et sclires les éléments de K. Un espce vectoriel E possède une structure de groupe dditif, l élément neutre pour l ddition est le vecteur nul, noté 0 E ou simplement 0. On prendr soin de ne ps le confondre vec le sclire 0... On peut ussi montrer que F est un sous-espce vectoriel de E en montrnt : que F est le noyu d une certine ppliction linéire ; ou que F est défini comme engendré pr une certine fmille de vecteurs. 11.2. Sous-espce vectoriel F E est un sous-espce vectoriel de E { F est non vide u,v F, λ,µ K, (λ.u + µ.v) F C est à dire F est non vide et stble pr combinison linéire. Ce théorème sert souvent pour montrer que F est un espce vectoriel en montrnt qu il est un sousespce vectoriel d un espce connu et identifié... 11.3. Somme de sous-espces vectoriels Définition : E = E + E tout vecteur x de E est somme d un vecteur x de E et d un vecteur x de E On l même définition pour l somme de plus de deux sous-espces vectoriels. Définition : E + E est directe E E = {0} les composntes x et x de x sont uniques. L somme directe des deux sous-espces est lors notée E E. Définition : On dit que les sous-espces E et E sont supplémentires dns E E = E E { E = E E = E E + E E E = {0} On un utre théorème en dimension finie u 11.5.. Exemple : Donnons deux exemple, l un en dimension finie et l utre en dimension infinie : dns l ensemble des mtrices crrées M n (K), l ensemble S des mtrices symétriques et l ensemble I des mtrices nti-symétriques sont deux sous-espces vectoriels supplémentires ; dns l ensemble des pplictions A([,],K), l ensemble P des pplictions pires et l ensemble I des pplictions impires sont deux sous-espces vectoriels supplémentires. 16 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr
11.4. Norme sur un espce vectoriel Définition : { E R+ u u u,v E, u + v u + v (inéglité tringulire) est une norme u E, λ K, λ.u = λ u (positive homogénéité) u E, u = 0 u = 0 (séprtion) 11.5. Espces vectoriels de dimension finie : bse Définition : (x 1, x 2,..., x n ) est génértrice de E { x E, λ1, λ 2,..., λ n K, x = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ n x n Définition : (x 1, x 2,..., x n ) est libre de E (λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ n x n = 0 λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0) Définition : Une bse est une fmille libre et génértrice. Définition : Un espce vectoriel est dit de dimension finie il possède une bse comptnt un nombre fini de vecteurs. S dimension est lors le nombre de vecteurs de cette bse. Toutes les bses de E ont le même nombre de vecteurs qui est, pr définition, l dimension de E. Si E est de dimension n : (x 1, x 2,..., x n ) est une bse (x 1, x 2,..., x n ) libre (x 1, x 2,..., x n ) génértrice Le rng d une fmille de vecteurs est l dimension de l espce vectoriel engendré pr ces vec- Définition : teurs. E,E deux sous-espces vectoriels de E E et E sont supplémentires de E E = E E dim(e) = dim(e ) + dim(e ) E E = {0} Remrquons qu on peut remplcer l condition E E = {0} pr E = E + E On un utre théorème en dimension infinie u 11.3.. 11.6. Espces vectoriels usuels R [X] et C [X] sont des espces vectoriels sur R et C, de dimension infinie. R n [X] et C n [X] sont des espces vectoriels sur R et C, de dimension n + 1, de bse cnonique ( 1,X,X 2,...,X n). R n et C n sont des espces vectoriels sur R et C, de dimension n. Les vecteurs de l bse cnonique ont une composnte égle à 1 et les utres composntes nulles. A (A,E) vec A non vide et E un espce vectoriel sur K est un espce vectoriel sur K. C k (A,R) et C k (A,C) vec A non vide et k N {+ } sont des espces vectoriels sur R et C, respectivement. Sur A symétrique pr rpport à l origine, les pplictions pires et les pplictions impires sont des sous-espces vectoriels des précédents. Sur un ensemble llnt jusque + ou, les pplictions tendnt vers 0 à l infini forment ussi un sous-espce vectoriel des précédents. Il en est de même des pplictions bornées sur A... L ensemble des suites réelles ou complexes ont une structure d espce vectoriel sur R et C, respectivement. Les suites réelles ou complexes tendnt vers 0 à l infini forment des sous espces vectoriels des précédents. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr 17
Il en est de même des suites bornées... Vect(x 1, x 2,..., x n ) est le plus petit sous-espce vectoriel de l espce dns lequel se trouvent les vecteurs x 1, x 2,..., x n. On l ppelle l espce vectoriel engendré pr x 1, x 2,..., x n. Il est de dimension n si et seulement si ces vecteurs forment une fmille libre. L (E,F) et L (E) les ensembles d pplictions linéires de E dns F ou de E dns E. M n,p (K) et M n (K) les ensembles de mtrices n lignes, p colonnes ou crrées n n, de dimensions respectives n p et n 2. Les vecteurs de l bse cnoniques sont les mtrices qui ont un élément égl à 1 et les utres nuls. 12.1. Applictions linéires 12. Applictions Linéires Définition : f : E F, vec E et F deux espces vectoriels sur K est linéire, ou est un morphisme, ou encore { u,v E un homomorphisme f (λ.u + µ.v) = λ. f (u) + µ. f (v) λ,µ K f : E E, linéire est un endomorphisme f : E F, linéire bijective est un isomorphisme f : E E, linéire bijective est un utomorphisme f : E K, linéire est une forme linéire. K est ici considéré comme un espce vectoriel sur lui-même. L(E,F) et L(E) sont des espces vectoriels sur K. Si E et F sont de dimension finies n et p, l dimension de L(E,F) est n p et celle de L(E) est n 2 12.2. Sous espce vectoriel stble pr un endomorphisme Définition : Soit F un sous espce vectoriel de E et f un endomorphisme de E. On dit que F est stble pr f u F, f (u) F. 12.3. Imge et noyu Définition : Le noyu de f, linéire, est : ker( f ) = {u E, f (u) = 0}. Définition : L imge de f, linéire, est : Im( f ) = {v f, u E, v = f (u)}. L imge d un s.e.v de E L imge de E } pr f : E F, linéire, est un sous-espce vectoriel de F. L imge réciproque d un s.e.v de F pr f : E F, linéire, est un sous-espce vectoriel de E. Le noyu de f : E F, linéire, est un sous-espce vectoriel de E. f : E F, linéire, est injective ker( f ) = {0} En dimension finie, des bses étnt choisies, on recherche le noyu en résolvnt un système linéire sns second membre, l dimension du noyu est l dimension de l espce de déprt moins le rng du système, c est ussi le nombre d inconnues uxiliires. On obtient une bse du noyu en distribunt tour à tour un 1 et des 0 sur les inconnues uxiliires ; on recherche l imge en écrivnt que les imges des vecteurs de l bse forment une fmille génértrice de l imge, puis en otnt les vecteurs inutiles de cette fmille. L dimension de l imge est le rng de l ppliction linéire, de l mtrice. 18 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr
12.4. Projecteur Définition : p : E E est un projecteur p p = p p : E E est un projecteur E = Im(p) Ker(p), mis ceci n est ps une équivlence. E = E 1 E 2 permet de définir p l projection sur E 1, prllèlement à E 2 et q l projection sur E 2, prllèlement à E 1. On lors p + q = Id. 12.5. Théorème du rng Définition : f : E F, linéire, vec E de dimension finie, le rng de f est rg ( f ) = dim( f (E)) = dim(im( f )). f : E F, linéire, vec E de dimension finie dim(e) = dim(ker( f )) + rg ( f ) dim(l(e,f)) = dim(e) dim(f) et dim(l(e)) = dim(e) 2 Théorème : Si dim(e) = dim(f), et donc en prticulier dns le cs d un endomorphisme en dimension finie, f bijective on : ker( f ) = {0} Im ( f ) = F f injective f surjective 12.6. Système linéire f trnsforme une bse de E en une bse de F f trnsforme toute bse de E en une bse de F Pour résoudre un système linéire de n équtions à p inconnues : On rend le système trpézoïdl en ppliqunt l méthode du pivot de Guss S il y des prmètres, on ne discute que lorsqu on y est obligé pour ppliquer le pivot de Guss, u besoin en chngent l ordre des lignes ou des colonnes. On connit à ce moment le rng du système : c est le nombre d équtions linéires indépendntes. Si le système est sns second membre, l ensemble des solutions est un espce vectoriel de dimension le nombre d inconnues moins le rng. On voit à ce moment si le système est incomptible. S il est comptible, le rng du système est le nombre d équtions restntes Si on, à ce moment, utnt d équtions que d inconnues : le système une solution unique Si on, à ce moment, moins d équtions que d inconnues, on grde utnt d inconnues principles que le rng. Les utres deviennent des inconnues uxiliires, qui se tritent comme des prmètres. 13.1. Générlités / Produit de mtrices 13. Mtrices Si A est une mtrice n-lignes et m-colonnes, B une mtrice m-lignes et p-colonnes, m lors : C = AB est une mtrice n-lignes et p-colonnes vérifint : c i j = ik b k j. k=1 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr 19
Ce qui se schémtise : i1 im. b 1 j..... b m j. =. c i j. b/ Produit de mtrices définies pr blocs Si deux mtrices sont définies pr blocs, on peut prfois effectuer leur produit en trvillnt pr blocs. C est à dire : ( (A) (B) ) ( (A ) (B ) ) ( (A) (A ) + (B) (C ) (A) (B ) + (B) (D ) ) (C) (D) (C ) (D ) = (C) (A ) + (D) (C ) (C) (B ) + (D) (D ) Les dimensions des mtrices doivent être comptibles, à svoir : Le nombre de colonnes de A et C doit être le nombre de lignes de A et B. Le nombre de colonnes de B et D doit être le nombre de lignes de C et D. D utre prt, rppelons que le produit de mtrices n est ps commuttif, l ordre dns lequel on écrit ces produits est donc fondmentl... c/ Trnsposée d un produit On : t (AB) = t B t A 13.2. Générlités sur les mtrices crrées / Mtrices symétriques et ntisymétriques Définition : Définition : Une mtrice crré M est symétrique t M = M ji = i j Une mtrice crré M est nti-symétrique t M = M ji = i j Le sous-espce vectoriel des mtrices symétriques et le sous-espce vectoriel des mtrices ntisymétriques sont supplémentires. De plus : M S = M + t M est toujours symétrique, et M A = M t M est ntisymétrique. 2 2 Elles vérifient : M = M S + M A. b c En dimension 3, l mtrice symétrique l plus générle est : b d e c e f 0 b et l mtrice ntisymétrique l plus générle possible est : 0 c b c 0 b/ Inverse d une mtrice Si on M une mtrice crrée telle que : M M = I n, ou telle que : M M = I n, lors M est inversible et M 1 = M. Une mtrice crrée est inversible si et seulement si son déterminnt est non nul. Clcul prtique : En générl, on inverse une mtrice crrée en inversnt le système linéire correspondnt vec un second membre rbitrire : Y = MX X = M 1 Y 20 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr
Cependnt, prfois, qund l question est plus théorique, on peut utiliser le théorème suivnt : M, une mtrice inversible, son déterminnt et i j le déterminnt obtenu en enlevnt l i ème ligne et l j ème colonne, lors : M 1 = 1 trnsposée de. ( 1) i+ j i j. c/ Inverse d un produit On : (AB) 1 = B 1 A 1 d/ Inversion et Trnsposition A une mtrice crrée inversible, lors : t ( A 1) = ( t A ) 1 = t A 1. 13.3. Mtrice d une ppliction linéire Définition : f : E F, linéire, vec E et F de dimensions finies n et p, munis de bses B E = (e 1,..., e n ) et B F = (e 1,..., e p), on ppelle mtrice de f dns ces bses M BE,B F l mtrice p lignes et n colonnes dont p l élément i, j, ième ligne et jème colonne est tel que f (e j ) = i, j e i. i=1 On en colonnes, les coordonnées des imges des vecteurs de l bse de E écrits dns l bse de F. 13.4. Mtrice de Pssge 1,1... 1, j... 1,n... i,1... i, j... i,n... p,1... p, j... p,n f (e 1 )... f (e j )... f (e n ) Définition : On ppelle mtrice de pssge ou P B1 B 2 l mtrice constituée en colonnes des coordonnées des vecteurs de l nouvelle bse B 2 écrits dns l ncienne B 1. On l ppelle ussi mtrice de chngement de bse. C est donc une mtrice inversible. Toute mtrice crrée inversible peut toujours s interpréter comme mtrice d un endomorphisme dns une certine bse, ou comme mtrice de chngement de bse. Psser d une interpréttion à une utre permet prfois de fire vncer le problème. e 1. e i. e p 13.5. Chngements de bse Si on ppelle X et X les vecteurs colonnes, coordonnées d un vecteur dns l ncienne et l nouvelle bse, et P l mtrice de pssge, on X = PX ou bien X = P 1 X. Si on ppelle M et M les mtrices d un endomorphisme dns l ncienne et l nouvelle bse, et P l mtrice de pssge, on M = P 1 MP ou bien M = PM P 1. Définition : M et M sont semblbles P inversible telle que M = P 1 MP ce sont les mtrices d un même endomorphisme dns deux bses différentes. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr 21
14. Déterminnts 14.1. Ordre 2 et 3 b......... c d = d bc peut se développer pr l règle de Srrus + + L règle de Srrus n est bsolument ps générlisble à des ordres supérieurs! 14.2. Mtrice tringulire Le déterminnt d une mtrice tringulire est le produit de ses éléments digonux. 14.3. Ordre quelconque + + + + + + L règle des signes est :........ + + On développe suivnt une ligne ou une colonne en tennt compte de l règle de signes, on insi une somme de termes du type : ( 1) i+ j i j i j, où i j est le coefficient de l mtrice et i j est le déterminnt d ordre n 1 obtenu en enlevnt l ligne i et l colonne j correspondnte. = n i=1 ( 1) i+ j i j i j = n j=1 ( 1) i+ j i j i j 14.4. Déterminnt d un produit, d une mtrice inversible Pour A d ordre n, A inversible det(a) = 0 rg(a) = n det(ab) = det(a) det(b), et si A est inversible, det ( A 1) = 1 det(a) 14.5. Déterminnt d une mtrice tringulire pr blocs A M p (K), C M q (K), B M p,q (K), O est l mtrice nulle de M q,p (K) et p + q = n. Alors, A B = det (A) det (C) O C Cette propriété ne se générlise ps u déterminnt d une mtrice définie pr blocs et non tringulire pr blocs. 22 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr
15.1. Vleurs propres et vecteurs propres 15. Réduction des Endomorphismes Définition : f : E E linéire, un couple (λ,u) (u = 0) est un couple vleur propre, vecteur propre de E f (u) = λ.u Définition : Pour λ une vleur propre de E, on ppelle sous-espce propre ssocié à λ, E λ = {u / f (u) = λ.u} = ker( f λid E ) C est clirement un sous-espce vectoriel de E. Le noyu est donc ussi le sous-espce propre ssocié à l vleur propre 0. Les sous-espces propres sont toujours en somme directe. Une fmille de vecteurs propres ssociés à des vleurs propres distinctes est libre. 15.2. Polynôme crctéristique Définition : f un endomorphisme de E de dimension n, A s mtrice dns une bse quelconque, le polynôme crctéristique de f est : P f (λ) = P A (λ) = det(a λi n ). Le polynôme crctéristique de f est indépendnt de l bse choisie. Les rcines du polynôme crctéristique de f sont les vleurs propres de f. Sur C, le polynôme crctéristique est toujours scindé. Il y donc toujours n vleurs propres distinctes ou confondues. Sur R, ç n est ps toujours le cs... Le polynôme crctéristique peut voir des rcines complexes non réelles. λ une vleur propre de f, lors : 1 dim(e λ ) ordre de multiplicité de λ comme rcine de P f 15.3. Digonlisibilité Définition : Un endomorphisme est digonlisble il existe une bse de vecteurs propres A (ou f...) digonlisble { PA (λ) est scindé dim(e λ ) = ordre de multiplicité de λ dns P A En prticulier, lorsque P A (λ) est scindé à rcines simples, A (ou f...) est digonlisble. (condition suffisnte non nécéssire) 15.4. Digonlisibilité et digonlistion Qund une mtrice A est digonlisble, une erreur cournte est de dire que, dns une certine bse, A est digonle, ce qui est bien sûr grossièrement fux et même stupide. On simplement une mtrice de pssge P et une mtrice digonle D telles que A = PDP 1 ou bien D = P 1 AP. L confusion provient de ce que A et D sont les mtrices d un même endomorphisme dns deux bses différentes... Il est pr contre exct de dire que si un endomorphisme f est digonlisble, et s il est de mtrice A dns l bse B, il existe une bse B dns lquelle s mtrice est D, digonle. P étnt l mtrice de pssge de B vers B, on lors : A = PDP 1 et D = P 1 AP. 15.5. Tringulristion Si le polynôme crctéristique est scindé, il existe une bse où l mtrice est tringulire. En prticulier, sur C, toute mtrice est tringulrisble. Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr 23
15.6. Puissnces d une mtrice On fer ttention, pr convention : B 0 = I n, l mtrice identité. Si A est digonlisble, et D digonle semblble à A, lors A = PDP 1 et A k = PD k P 1. p Si A = M + N, vec MN = NM, ce qu il fut impértivement vérifier, lors : A p = C k p M k N p k k=0 Ceci est surtout utilisé lorsque M 2 ou M 3 est nulle, cr lors l somme se réduit ux 3 ou 4 premiers termes. Si A 2 = αa + βi lors A n = α n A + β n I et on peut chercher des reltions de récurrence entre les coefficients en écrivnt A n+1 de deux fçons : A n+1 = A n A. 16.1. Produit sclire 16. Espces Préhilbertiens Réels et Euclidiens Définition : Soit E un espce vectoriel sur R, une forme bilinéire symétrique sur E est une ppliction de E E R linéire pr rpport à chcune des vribles (l utre étnt fixée) et symétrique (on peut inverser l ordre des vribles). Définition : Une forme qudrtique sur R n est une ppliction de R n R qui se met sous l forme d un polynôme homogène de degré 2 des coordonnées du vecteur de R n. { E R Si ϕ est une forme bilinéire symétrique sur E, lors : q : u q (u) = ϕ (u,u) qudrtique, ppelée forme qudrtique ssociée à ϕ. Pr illeurs, si q est une forme qudrtique sur E, lors ϕ : E E R définie pr : ϕ (u,v) = q (u + v) q (u) q (v) 2 est une forme bilinéire symétrique. C est l forme polire de q. est une forme Définition : E un espce vectoriel réel. Un produit sclire est une ppliction de E E R bilinéire, symétrique, définie-positive. En prtique, on montre : u,v E, u,v = v,u. L forme est symétrique u } 1, u 2, v E λ.u 1 + µ.u 2, v = λ u 1, v + µ u 2, v. L forme est donc bilinéire symétrique λ, µ R u, E, u,u 0. L forme est positive u,u = 0 u = 0. L forme est définie-positive C est souvent le dernier point qui pose problème. Qund le produit sclire est défini pr une intégrle, c est à ce moment qu on utilise le théorème des 3 conditions. E étnt muni d une bse (e 1,..., e n ), x 1 y 1 x 2 On note : U :. et V : y 2 les vecteurs colonnes des coordonnées de u et v dns l bse,. x n On note A, l mtrice symétrique où i, j = e i,e j, lors : u,v = t UAV y n 24 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. Christophe Cignert Lycée Colbert 59200 Tourcoing http://c.cignert.free.fr