0 mon exe Poenies poncues en dimension 1 Séminaire du Maser 2 Recherche de Mahémaiques Universié de Rennes 1 mon exe Suje proposé par Dimiri Yafaev Lauren Paer janvier 2009
Cadre physique du probème On souhaie éudier ineracion fore (nucéaire) que peu subir un neuron afin de pouvoir réger un éa d énergie comme i peu êre nécessaire de e faire pour raier des umeurs par exempe. Par exempe, pour obenir un faisceau de neurons via fission e spaaion, un peu pacer des aomes ourds dans un réaceur puis par bombardemen par un proon excié, séparer es neurons du noyau e es récupérer dans différenes direcions e différens éas d énergie. C es a manière don seron diffusés es neurons soumis au proon e au rese du noyau don i es issu qui va nous inéresser par inermédiaire du poenie qui s exprimera sous a forme suivane : V ( r) = h m n b δ( r r 0 ) où m n es a masse du neuron, h a consane de Panck e b une consane (compexe en oue généraié) appeée pseudo-poenie de Fermi. La foncion d onde du neuron dépendane du emps Ψ() vérifie équaion de Schrödinger (avec es noaions de veceur d éa : ce qui s écri : H Ψ() = i d d p2 Ψ() = Ψ() + V ( r, ) Ψ() 2m Ψ(, r) i = 2 2 Ψ(, r) + V ( r, )Ψ(, r) 2m Nous nous pacerons en régime saionnaire : Ψ( r) + V ( r)ψ( r) = 0 2m En normaisan équaion, nous obenons finaemen : 2 Ψ( r) + λ δ( r r 0 )Ψ( r) = 0 On va réussir, en paramérisan es exensions auo-adjoines du Hamionien, à obenir une dépendance de λ de a forme ε + αε 2 où α es une ongueur de diffusion. On commence par réduire e probème. Réducion du probème Considérons opéraeur : H : D(H) L 2 (R 3 ) Ψ Ψ + λ δ(. r 0 )Ψ ce opéraeur coïncide avec sur C 0 (R3 \ {r 0 }). On va donc éudier dans a suie C 0 (R 3 \{r 0 }). Commençons par changer de repère en ransaan a foncion Ψ en r 0 via opéraeur T r0 : T r0 : C 0 (R3 \ {r 0 }) C 0 (R3 \ {0}) Ψ Ψ(. + r 0 ) 1
Ce opéraeur commue avec e Lapacien donc : T r0 ( C 0 (R 3 \{r 0 }))T r 0 = C 0 (R 3 \{0}) que on noera H dans a suie. On dispose de opéraeur H : C0 (R3 \ {0}) C0 (R3 \ {0}) e C0 (R3 \ {0}) es dense dans L 2 (R 3 \ {0}) pour a norme de L 2 (R 3 \ {0}). On va rouver a fermeure dans L 2 (R 3 \ {0}) de H, puis adjoin de cee fermeure H = H dans a suie. On prend donc adhérence du graphe de H pour a norme. 2 +. 2 dans L 2 (R 3 \ {0}) L 2 (R 3 \ {0}). Ceci nous donne : par réguarié eipique. Puis on a : D( H) = H 2 0 (R 3 \ {0}) H = e D(H ) = H 2 oc (R3 \ {0}) L 2 (R 3 ) {g L 2 (R 3 ) g L 2 (R 3 )}. C es ce opéraeur que on va chercher à paramériser mais i va d abord êre pus simpe de décomposer L 2 (R 3 ) en coordonnées sphériques. On a : L 2 (R 3 ; λ) = L 2 (]0, [ ; r 2 dr) L 2 (S 2 ; sin θ dθ dφ) où e produi ensorie es pris au sens de a compéion hiberienne e S 2 es a sphère unié de R 3. On simpifie encore un peu e premier espace en remarquan que. L 2 (]0, [ ; r 2 dr) = U. L 2 (]0, [ ; dr) avec (Uf)(r) = rf(r). Pour e second espace, on uiise des foncions propres pour e Lapacien sur a sphère : es harmoniques sphériques. I exise, pour oue foncion g : (θ, φ) g(θ, φ) de L 2 (S 2 ) de a sphère unié S 2 dans R, des foncions Y m avec m N e m; m forman une base orhonormae de L 2 (S 2 ; sin θ dθ dφ) ees que : g(θ, φ) = m=0 m= c m, Y m avec égaié au L 2 (es c m, son appeés coefficiens de Fourier généraisés).on obien ainsi expression (oujours en ermes de compéion hiberienne) : L 2 (R 3 ; λ) = L 2 (]0, [ ; r 2 dr) m=0 m = m Connaissan expression du Lapacien en coordonnées sphériques : R.Y m f(r, θ, φ) = 2 f r 2 (r, θ, φ) + 2 f r r (r, θ, φ) + 1 2 f r 2 θ 2 (r, θ, φ) + 1 f r 2 an θ θ (r, θ, φ) + 1 2 f r 2 sin 2 (r, θ, φ) θ φ2 appiquons e à image d une foncion Ψ(r, θ, φ) de a forme f(r)y m (θ, φ) (un monôme du produi ensorie) par opéraeur U : (U 1 Ψ) = d2 f dr 2 (r)y m (θ, φ) + 1 r 2 f(r) LBY m (θ, φ) où LB es opéraeur de Lapace-Berami sur a sphère unié S 2 qui se défini par : LB f(θ, φ) = 2 f 1 (θ, φ) + θ2 an θ 2 f 1 (θ, φ) + θ sin 2 θ 2 f (θ, φ). φ2
Les harmoniques sphériques son des foncions propres pour opéraeur de Lapace-Berami : LB Y m = (+1)Y m ce qui nous perme finaemen d éudier es opéraeurs H = ( d2 + (+1) ) 1 r 2 r 2 pour N e premier erme agissan sur a coordonnée r e a seconde sur (θ, φ) e finaemen : h = d2 ( + 1) + dr2 r 2 qui es a fermeure dans L 2 (]0, [) de opéraeur h C 0 (]0, [) défini sur C0 es domaines : (]0, [) ce qui donne D(h 0 ) = H 2 0 (]0, [) D(h ) = {f L 2 (]0, [) r f (r) + ( + 1)r 2 f(r) L 2 (]0, [)} > 0 Pour a suie i va faoir disinguer deux cas puisque si > 0 es opéraeurs h son auoadjoins ce qui n es pus e cas pour = 0. Caracère auo-adjoin e paramérisaion de h 0 L équaion φ (r) + (+1) φ(r) = 0 possède deux souions inéairemen indépendanes x α 1 e r 2 x α 2 avec α 1 α 2 = ( + 1) > 1 orsque n es pas nu. Ainsi dans ous es cas une des deux souions n es pas un éémen de L 2 (]0, [). Ceci signifie que e poenie es quasi-poncue en zéro e en infini. Ceci es une condiion suffisane pour que es h soien auo-adjoins comme nous aons e voir. Eudions es opéraeurs h C 0 (]0, [) pour > 0 e monrons qu is son essenieemen auoadjoins c es à dire que es h son auo-adjoins. Si L(x)(f, g) = f(x)g (x) f (x)g(x) avec f, g C0 (]0, [), L(x) es coninue e par inégraion par paries : L(b)(f, g) L(a)(f, g) = b a ((H f)g f(h g)). e L( )(f, g) L(0)(f, g) = ((H f), g) (f, (H g)) e on voudrai que ce erme soi nu. On prend ensuie c ]0, [ puis si on considère opéraeur h c défini par h sur espace C0 (]0, c]) (es foncions nues sur un voisinage de 0 mais avec seuemen nues en c), ce opéraeur es une exension propre de h c défini sur C0 (]0, c[). Or espace des souions dans L2 (]0, c[) de φ (r)+ (+1) φ(r) = ±iφ(r) r 2 es de dimension 1. Ainsi es indices de défau de h c son (1, 1). Tous es opéraeurs commuen avec a conjugaison compexe donc es indices de défau son égaux égaemen pour h c mais c es un exension propre de h c donc ses indices de défau son sricemen décroissans e donc égaux à (0, 0) c es à dire que h c es auo-adjoin. Si on prend mainenan f, g D(H ) e en choisissan f 1, g 1 C0 (]0, [) ees que f 2 = f + f 1 e g 2 = g + g 1 son nues en c, aors on obien L(0)(f, g) = L(c)(f 2, g 2 ) L(0)(f 2, g 2 ) = 0. On fai que parei en pour concure que es h son auo-adjoins. 3
On peu mainenan démonrer e héorème fondamena de paramérisaion : Théorème 1 Toues es exensions auo-adjoines de H se paramérisen par α ], ] sous a forme : ( ) α = U 1 h α 0 U U 1 h U 1 avec D(h α ) = {f H 2 (]0, [) f (0+) = 4παf(0+)} pour α <.Le cas α = correspondan au Lapacien dans H 2 (R 3 ) (exension de Friedrichs). Eémens de démonsraion La héorie des indices de défau nous donne (puisque opéraeur es fermé) D(h 0 ) = D(h 0) h0 ker(h 0 + i) h0 ker(h 0 i) ce qui nous donne h 0 = h 0 sur D(h 0 ) e e domaine de h 0. On a, en cacuan (puisque es foncions doiven reser de carré inégrabe), si φ + () = e ( 2 2 + 1 2 i) : ker(h 0 + i) =< φ + > e ker(h 0 i) =< φ + >. I exise donc une unique isomérie de ker(h 0 i) sur ker(h 0 + i) : a conjugaison. Ainsi i exise un unique paramère α e que f (0+) = 4παf(0+). On peu faire une inerpéaion physique du phénomène via opéraeur T = i d dx en remarquan que on peu considérer a famie d opéraeur des ransaions d un paque d onde se propagean sur ]0, [ e par e héorème de Sone, T sera son généraeur infiniésima. Or ceci n es possibe que si es ransaions ne son pas rop proches de 0 pour reser dans H0 2 (]0, [). La paramérisaion correspond à donner ce qui se passe orsque e paque ouche e bord : on doi préciser a nouvee phase ors de a superposiion des différenes ondes. Les différenes exensions auo-adjoines corresponden à des siuaions physique différenes : 1 es une ongueur de diffusion. On précise mainenan a résovane, simpifie e domaine e donne es propriéés specraes de ce nouve opéraeur α. Résovane, simpificaion du domaine Posons G k (x x ) = eik x x 4π x x avec Ik > 0, x, x R 3 e x x e noyau inégra de a résovane G k = ( k 2 ) 1. Théorème 2 La résovane de α es donnée par : =1 ( k 2 ) 1 = G k + (α ik 4π ) 1 (G k (.),.)G k Eémens de démonsraion On appique a seconde formue de a résovane (ou formue de Krein) e on peu cacuer e erme muipicaif en considéran quasimen opéraeur appiqué à une foncion η de L 2.On pose f(k, x, x ) = 1 k sin(kx)eikx pour x x e en reournan es variabes dans aure cas (a foncion de Green de exension de Friedrichs). En cacuan : f α = on rouve : f α D( α ) e η = f α k 2 f α. 0 4πα dx f(k,., x )η(x ) + (4πα ik) 1 dx e ikx η(x )e ik. 0 4
Théorème 3 Le domaine de α es consiué des éémens de a forme ψ = φ k + (α ik 4π ) 1 φ k (0)G k (.) où φ k es un éémen de H 2 (R 3 ) e k un éémen de ensembe résovan de α. La décomposiion es unique e perme d écrire : ( α k 2 )ψ = ( k 2 )φ k Eémens de démonsraion Pour obenir e domaine on appique a résovane précédene au domaine du Lapacien sur H 2 (R 3 ). L unicié de a décomposiion découe du fai que si on prend ψ nue on obien une foncion coninue égae à a foncion de Green qui, ee, n es pas coninue pour φ k non nue. L égaié suivane résue du même cacu que pour e domaine. Propriéés specraes Théorème 4 Le specre essenie de α es puremen absoumen coninu, pus précisémen : σ ess ( α ) = σ ac ( α ) = [0, [ Pour α < 0, e specre poncue de α es consiué d une unique vaeur propre (4πα) 2 don : x α e4πα x x es un veceur propre. Pour α 0 e specre poncue de α es vide. Eémens de démonsraion Le cacu du specre essenie e absence de specre singuièremen coninu résue du héorème de Wey puisque a différence enre e Lapacien e son exension paramérisée es de rang 1. Le fai que es vaeurs propres soien sricemen négaives provien de expression de a résovane. 5
Références [1] S. Abeverio, F. Geszesy, R. Høegh-Krohn, H.Hoden Sovabe Modes in Quanum Mechanics, Springer-Verag, 1988 [2] M. Reed, B. Simon, Fourier Anaysis, Sef Adjoinness, Academic Press, 1975 [3] M. Reed, B. Simon, Funciona Anaysis, Academic Press, 1975 [4] D. Lairez, J. Pea Diffusion de neurons, hp ://www-b.cea.fr, 2004 6