Toutes les questions de cours et R.O.C. u bc de T.S. Vincent PANTALONI VERSION DU 9 MARS 2012
Tble des mtières Bc 2011 3 Bc 2011 5 Bc 2010 9 Bc 2009 11 Bc 2008 13 Bc 2007 17 Bc 2006 19 Bc 2005 21 ii
Remerciements. Cette compiltion des questions de cours et restitutions orgnisées des connissnces d près les nnles été fite à prtir des fichiers L A TEX tpuscrits pr Denis Vergès (Denis.Verges@wndoo.fr), et disponibles sur l toile sur le site de l A.P.M.E.P. (l Assocition des Professeurs de Mthémtiques de l Enseignement Public) http://www.pmep.sso.fr/spip.php?rubrique346 1
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Bc 2011 Exercice n o 1 Restitution orgnisée de connissnces ( (Métropole L Réunion, septembre 2011) L espce est muni d un repère orthonorml O, ı, j, ) k. Prtie A - Restitution orgnisée de connissnces On désigne pr, b, c, d qutre réels tels que le vecteur n = ı + b j + c k soit différent du vecteur nul. On ppelle P le pln d éqution x+by +cz +d = 0. Démontrer que le vecteur n est un vecteur norml u pln P, c est-à-dire que le vecteur n est orthogonl à tout vecteur AB où A et B sont deux points quelconques du pln P. Exercice n o 2 Question de cours (Polynésie, septembre 2011 Prtie A Question de cours Soit I un intervlle de R. Soient u et v deux fonctions continues, dérivbles sur I telles que les fonctions dérivées u et v soient continues sur I. Rppeler et démontrer l formule d intégrtion pr prties sur un intervlle [ ; b] de I. 3
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Bc 2011 Exercice n o 3 Restitution orgnisée de connissnces (Antilles Guyne, septembre 2010) On suppose connues l dérivée de l fonction exponentielle et l formule de dérivtion de u v insi que ses conditions d utilistion. On suppose svoir que l fonction ln est dérivble sur ]0 ; + [ et que pour tout x de ]0 ; + [ on : exp(lnx) = x. À prtir de ces qutre rguments, montrer que l dérivée de l fonction ln est l fonction définie sur ]0 ; + [ qui à x ssocie 1 x. Exercice n o 4 Restitution orgnisée de connissnces (Nouvelle Clédonie novembre 2010) On suppose connus les résultts suivnts : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b] vec < b si pour tout x [ ; b] u(x) 0 lors b [u(x)+v(x)] dx = αu(x) dx = α u(x) dx+ v(x) dx u(x) dx 0 u(x) dx où α est un nombre réel. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b] vec < b et si pour tout x de [ ; b], f(x) g(x) lors : Exercice n o 5 f(x) dx g(x) dx. Restitution orgnisée de connissnces (Nouvelle-Clédonie mrs 2011) On utiliser le résultt suivnt : les solutions de l éqution différentielle y = y où R sont les fonctions g définies sur R pr g(x) = Ke x où K R. Le but de cette prtie est de déterminer les solutions de l éqution différentielle (E) y = y+b où R et b R. 1. Démontrer que l fonction u définie sur R pr u(x) = b est une solution de (E). 2. Soit f une fonction définie et dérivble sur R. Démontrer l équivlence suivnte : f est solution de (E) f u est solution de l éqution différentielle y = y. 3. En déduire toutes les solutions de l éqution différentielle (E). Exercice n o 6 Restitution orgnisée de connissnces (Amérique du Nord 27 mi 2011) On considère trois points A, B et C de l espce et trois réels,b et c de somme non nulle. Démontrer que, pour tout réel k strictement positif, l ensemble des points M de l espce tels que MA +bmb +cm C = k est une sphère dont le centre est le brycentre des points A, B et C ffectés des coefficients respectifs, b et c. 5
6 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S Exercice n o 7 Restitution orgnisée de connissnces [Spécilité] (Amérique du Nord 27 mi 2011) Démontrer le théorème de Guss en utilisnt le théorème de Bézout. Exercice n o 8 Restitution orgnisée de connissnces (Libn 31 mi 2011) Prérequis : On suppose connu le résultt suivnt : Quels que soient les nombres complexes non nuls z et z, rg(z z ) = rg(z)+ rg(z ( ) à 2π près. z ) Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nuls z et z, on : rg z = rg(z) rg(z ) à 2π près. Exercice n o 9 Restitution orgnisée de connissnces [Spécilité] (Libn 31 mi 2011) On se plce dns le pln complexe muni d un repère orthonorml direct. Prérequis : L écriture complexe d une similitude directe est de l forme z = z+b où et b sont deux nombres complexes tels que 0. Démontrer que si A, B, A et B sont qutre points du pln tels que A B et A B, lors il existe une unique similitude directe trnsformnt A en A et B en B. Exercice n o 10 Restitution orgnisée de connissnces (Polynésie 10 juin 2011) On supposer connus les résultts suivnts : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b]. Pour tous réels α et β, [αu(x)+βv(x)] dx = α u(x) dx+β v(x) dx. Si u désigne une fonction continue sur un intervlle [ ; b] et U une primitive de u sur [ ; b] lors u(x) dx = [U(x)] b = U(b) U(). En utilisnt l formule de dérivtion d un produit de deux fonctions dérivbles, à dérivées continues sur un intervlle [ ; b], démontrer l formule d intégrtion pr prties. Exercice n o 11 Restitution orgnisée de connissnces (Asie 21 juin 2011) Pré-requis : 1. p B (A) = p(a B) (où A et B sont deux évènements tels que p(b) 0); p(b) 2. p ( A ) = 1 p(a) (où A est un évènement); 3. p([ ; b]) = F(b) F() (où et b sont des nombres réels positifs tels que b). Démontrer que, pour tout nombre réel positif s, on : p [t ; + ] ([t ; t+s]) = F(t+s) F(t), 1 F(t) et que p [t ; + ] ([t ; t+s]) est indépendnt du nombre réel t. Pour l suite de l exercice, on prendr λ = 0,2. Exercice n o 12 Restitution orgnisée de connissnces [Spécilité] (Asie 21 juin 2011) 1. Pré-requis : tout nombre entier n strictement supérieur à 1 dmet u moins un diviseur premier. Démontrer que tout nombre entier n strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de fcteurs premiers (on ne demnde ps de démontrer l unicité de cette décomposition). http://prof.pntloni.free.fr VERSION DU 9 MARS 2012
TOUTES LES R.O.C. DU BAC S 2. Donner l décomposition en produit de fcteurs premiers de 629. Exercice n o 13 Restitution orgnisée de connissnces (L Réunion juin 2011) Soient A,B deux points du pln d ffixes respectives et b. On rppelle ( que : u ) *, AB = rg(b )+2kπ oùk Z. * L imge du point B pr l rottion de centre A et d ngle θ est le point C défini pr : ( ) AC = AB et sia B, AB, AC = θ +2kπ oùk Z. Exprimer l ffixe c du point C en fonction de, b et θ. Exercice n o 14 Restitution orgnisée de connissnces [Spécilité] (L Réunion juin 2011) Soient A,B deux points du pln d ffixes respectives et b. On rppelle ( que : u ) *, AB = rg(b )+2nπ oùn Z. * L imge du point B pr l similitude directe de centre A, de rpport k(k > 0) et d ngle θ est le point C défini pr : ( ) AC = kab et sia B, AB, AC = θ +2nπ oùn Z. Exprimer l ffixe c du point C en fonction de, b, θ et k. Exercice n o 15 Restitution orgnisée de connissnces (Métropole 21 juin 2011) On désigne pr P le pln d éqution x + by + cz + d = 0 et pr M 0 le point de coordonnées (x 0 ; y 0 ; z 0 ). On ppelle H le projeté orthogonl du point M 0 sur le pln P. On suppose connue l propriété suivnte : Propriété : Le vecteur n = ı +b j +c k est un vecteur norml u pln P. Le but de cette prtie est de démontrer que l distnce d(m 0, P) du point M 0 u pln P, c est-àdire l distnce M 0 H, est telle que d(m 0, P) = x 0 +by 0 +cz 0 +d 2 +b 2 +c 2. 1. Justifier que n M 0 H = M 0 H 2 +b 2 +c 2. 2. Démontrer que n M 0 H = x 0 by 0 cz 0 d. 3. Conclure. Exercice n o 16 Restitution orgnisée de connissnces [Spécilité] (Métropole 21 juin 2011) On rppelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS. Théorème de BÉZOUT : Deux entiers reltifs et b sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple (u ; v) d entiers reltifs vérifint u + bv = 1. Théorème de GAUSS : Soient, b, c des entiers reltifs. Si divise le produit bc et si et b sont premiers entre eux, lors divise c. 1. En utilisnt le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS. 2. Soient p et q deux entiers nturels tels que p et q sont premiers entre eux. Déduire du théorème de GAUSS que, si est un entier reltif, tel que 0 [p] et 0 [q], lors 0 [pq]. http://prof.pntloni.free.fr VERSION DU 9 MARS 2012
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Bc 2010 Exercice n o 17 Restitution orgnisée de connissnces (Amérique du Sud, novembre 2009) Soit D le point de coordonnées (x D, y D, z D ) et P le pln d éqution x+by +cz +d = 0, où, b et c sont des réels qui ne sont ps tous nuls. Démontrer que l distnce du point D u pln P est donnée pr : d(d,p) = x D +by D +cz D +d 2 +b 2 +c 2 Exercice n o 18 Restitution orgnisée de connissnces (Pondichéry, vril 2010) Soit et b deux réels tels que < b et f et g deux fonctions continues sur l intervlle [ ; b]. On suppose connus les résultts suivnts : [f(t)+g(t)] dt = f(t) dt+ g(t) dt. Si pour tout t [ ; b], f(t) 0 lors f(t) dt 0. Montrer que : si pour tout t [ ; b], f(t) g(t) lors Exercice n o 19 f(t) dt g(t) dt. Restitution orgnisée de connissnces (Antilles Guyne, juin 2010) ( Le pln est muni d un repère orthonorml direct O, u, ) v d unité 1 cm. Pour M Ω, on rppelle que le point M est l imge du point M pr l rottion r de centre Ω et d ngle de mesure θ si et seulement si : { ( ΩM = ΩM (1) ΩM ; ) ΩM = θ à 2kπ près (k Z) (2) 1. Soient z, z et ω les ffixes respectives des points M, M et Ω. Trduire le reltions (1) et (2) en termes de modules et d rguments. 2. En déduire l expression de z en fonction de z, θ et ω Exercice n o 20 Restitution orgnisée de connissnces spécilité) (L ( Réunion, juin 2010) Le pln complexe est rpporté à un repère orthonorml direct O, u, ) v. Soient A, B et C trois points du pln d ffixes respectives, b, c. On suppose que A et B sont distincts, insi que A et C. ( u ) On rppelle que, AB = rg(b ) [2π]. 9
10 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S Montrer que ( ) ( ) c AB, AC = rg b [2π]. Exercice n o 21 Restitution orgnisée de connissnces (L Réunion, juin 2010) ( Le pln complexe est rpporté à un repère orthonorml direct O, u, ) v. Prérequis : On rppelle que l écriture complexe d une similitude directe du pln est de l forme z = αz +β, où α est un nombre complexe non nul et β est un nombre complexe. Soient A, B, C, D qutre points du pln ; on suppose d une prt que les points A et C sont distincts et d utre prt que les points B et D sont distincts. Démontrer qu il existe une unique similitude directe s telle que s(a) = B et s(c) = D. Exercice n o 22 Restitution orgnisée de connissnces (Métropole, juin 2010) Démontrer à l ide de l définition et des deux propriétés ci-dessous que si (u n ) et (v n ) sont deux suites djcentes, lors elles sont convergentes et elles ont l même limite. Définition : deux suites sont djcentes lorsque l une est croissnte, l utre est décroissnte et l différence des deux converge vers 0. Propriété 1 : si deux suites (u n ) et (v n ) sont djcentes vec (u n ) croissnte et (v n ) décroissnte lors pour tout entier nturel n, v n u n. Propriété 2 : toute suite croissnte et mjorée converge ; toute suite décroissnte et minorée converge. Exercice n o 23 Restitution orgnisée de connissnces (Métropole, juin 2010) Prérequis Soit z un nombre complexe tel que z = +bi où et b sont deux nombre réels. On note z, le nombre complexe défini pr z = bi. Questions 1. Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z, z z = z z. 2. Démontrer que, pour tout entier nturel n non nul, et tout nombre complexe z, z n = (z) n. http://prof.pntloni.free.fr VERSION DU 9 MARS 2012
Bc 2009 Exercice n o 24 Question de cours (Amérique du Sud, novembre 2008) Dns cet exercice, on demnde ux cndidts d étblir, en suivnt l démrche proposée, deux résultts de cours. On rppelle que l fonction ln est définie et dérivble sur ]0 ; + [, positive sur [1 ; + [, et vérifie : ln1 = 0 Pour tous réels strictement positifs x et y, ln(xy) = ln x + ln y Pour tout réel strictement positifx, [ln(x)] = 1 x ln(2) 0,69 à 10 2 près 1. On considère l fonction f définie sur ]0 ; + [ pr f(x) = x lnx.. Étudier les vritions de f et en déduire que f dmet un minimum sur ]0 ; + [. b. En déduire le signe de f puis que, pour tout x > 1, 0 < lnx x x < x. lnx c. En déduire que lim x + x = 0. 2. Soit n un entier nturel non nul. On considère l fonction f n définie sur ]0 ; + [ pr : f n (x) = lnx. x 1 n En utilisnt l question 1., déterminer, si elle existe, l limite en + de l fonction f n. Exercice n o 25 Restitution orgnisée de connissnces (Amérique du Nord, juin 2009) On supposer connus les résultts suivnts : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b] vec < b. Si u 0 sur [ ; b] lors Pour tous réels α et β, b u(x) dx 0. [αu(x)+βv(x)] dx = α u(x) dx+β v(x) dx. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b] vec < b et si, pour tout x de [ ; b], f(x) g(x) lors Exercice n o 26 f(x) dx g(x) dx. Restitution orgnisée de connissnces (Centres étrngers, juin 2009) Prérequis : On rppelle que deux évènements A et B sont indépendnts pour l probbilité p si et seulement si : p(a B) = p(a) p(b). Soient A et B deux évènements ssociés à une expérience létoire 11
12 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S 1. Démontrer que p(b) = p(b A)+p ( B A ). 2. Démontrer que, si les évènements A et B sont indépendnts pour l probbilité p, lors les évènements A et B le sont églement. Exercice n o 27 Cette question est une restitution orgnisée de connissnces (Métropole, juin 2009) ( ) n n! On rppelle que si n et p sont deux nombres entiers nturels tels que p n lors = p p!(n p)!. Démontrer que pour ( ) tout( nombre ) entier ( nturel ) n et pour tout nombre entier nturel p tels que n n 1 n 1 1 p n on : = +. p p 1 p http://prof.pntloni.free.fr VERSION DU 9 MARS 2012
Bc 2008 Exercice n o 28 Question de cours (Antilles Guyne, septembre 2007) Soit I un intervlle de R. Soient u et v deux fonctions continues, dérivbles sur I telles que u et v soient continues sur I. Rppeler et démontrer l formule d intégrtion pr prties sur un intervlle [ ; b] de I. Exercice n o 29 Restitution orgnisée de connissnces (Métropole, L Réunion, septembre 2007) L formule donnnt l dérivée du produit de deux fonctions dérivbles est supposée connue. On énoncé ci-dessous deux propositions désignées pr P et Q. Dire pour chcune d elles si vrie ou fusse et justifier. Dns cet exercice n désigne un entier nturel strictement supérieur à 1. P : Soit f l fonction définie sur R pr f(x) = x n ; lors f est dérivble sur R, de dérivée f donnée sur R pr : f (x) = nx n 1. Q : Soit u une fonction dérivble sur R et soit f l fonction définie sur R pr f = u n ; lors f est dérivble sur R, de dérivée f donnée pr f = nu n 1. Exercice n o 30 Question de cours (Amérique du Sud, novembre 2007) Dns cette question, on demnde u cndidt d exposer des connissnces. On suppose connu le résultt suivnt : L fonction x e x est l unique fonction ϕ dérivble sur R telle que ϕ = ϕ, et ϕ(0) = 1. Soit un réel donné. 1. Montrer que l fonction f définie sur R pr f(x) = e x est solution de l éqution y = y. 2. Soitg une solution de l équtiony = y. Soithl fonction définie sur R prh(x) = g(x)e x. Montrer que h est une fonction constnte. 3. En déduire l ensemble des solutions de l éqution y = y. Exercice n o 31 Question de cours (Nouvelle Clédonie spécilité novembre 2007) 1. Soit f une fonction réelle définie sur [ ; + [. Compléter l phrse suivnte : «On dit que f dmet une limite finie l en + si...» 2. Démontrer le théorème «des gendrmes» : soient f, g et h trois fonctions définies sur [ ; + [ et l un nombre réel. Si g et h ont pour limite commune l qund x tend vers +, et si pour tout x ssez grnd g(x) f(x) h(x), lors l limite de f qund x tend vers + est égle à l. Exercice n o 32 Question de cours (Nouvelle Clédonie mrs 2008) 13
14 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S Quelles sont les propriétés de comptibilité de l reltion de congruence vec l ddition, l multipliction et les puissnces? Démontrer l propriété de comptibilité vec l multipliction. Exercice n o 33 Démonstrtion de cours (Pondichéry vril 2008) Démontrer que l rottion r d ngle α et de centre Ω d ffixe ω est l trnsformtion du pln qui à tout point M d ffixe z ssocie le point M d ffixe z tel que z ω = e iα (z ω). Exercice n o 34 Démonstrtion de cours (Libn mi 2008) Prérequis : définition d une suite tendnt vers plus l infini. «une suite tend vers + si, pour tout réel A, tous les termes de l suite sont, à prtir d un certin rng, supérieurs à A». Démontrer le théorème suivnt : une suite croissnte non mjorée tend vers +. Exercice n o 35 Restitution orgnisée de connissnces (Asie juin 2008) e x On suppose connu le résultt suivnt : lim x + x = +. Démontrer que : lim x + xe x = 0. Exercice n o 36 Restitution orgnisée de connissnces (Centres étrngers juin 2008) e x Prérequis : on rppelle que : lim x + x = +. lnx 1. Démontrer que lim x + x = 0. 2. En déduire que pour tout entier nturel n non nul : lim x + lnx x n = 0. Exercice n o 37 Restitution orgnisée de connissnces (Métropole juin 2008) On rppelle que pour tout t 0, P(X t) = t 0 λe λx dx. L fonction R définie sur l intervlle[0 ; + [ pr R(t) = P(X > t) est ppelée fonction de fibilité. 1. Démontrer que pour tout t 0 on R(t) = e λt. 2. Démontrer que l vrible X suit une loi de durée de vie sns vieillissement, c est-à-dire que pour tout réel s 0, l probbilité conditionnelle P X>t (X > t+s) ne dépend ps du nombre t 0. Exercice n o 38 Restitution orgnisée de connissnces (Polynésie juin 2008) On supposer connus les résultts suivnts : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b] vec < b. http://prof.pntloni.free.fr VERSION DU 9 MARS 2012
TOUTES LES R.O.C. DU BAC S Si u 0 sur [ ; b] lors Pour tous réels α et β u(x) dx 0. [αu(x)+βv(x)] dx = α u(x) dx+β v(x) dx. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b] vec < b et si, pour tout x de [ ; b],f(x) g(x), lors f(x) dx g(x) dx. http://prof.pntloni.free.fr VERSION DU 9 MARS 2012
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Bc 2007 Exercice n o 39 Question de cours (Frnce, septembre 2006) Pré-requis Les solutions de l éqution différentielle y = λy sont les fonctions x Ce λx où C est une constnte réelle. 1. Démontrer l existence et l unicité de l solution z de l éqution différentielle (E λ ) : z = (λz +1) telle que z(0) = 1. 2. Donner l expression de cette fonction que l on noter z 0. Exercice n o 40 ). On prendr pour unité gr- Question de cours (Amérique du Sud, novembre( 2006) Le pln complexe est rpporté u repère orthonorml O, u, v phique 1 cm. On rppelle que : «Pour tout vecteur w non nul, d ffixe z on : z = w et rg (z) = ( u, w)». Soient M, N et P trois points du pln, d ffixes respectives m, n et p tels que m n et m p. ( ) p m ( 1. Démontrer que : rg = MN, ) MP. n m 2. Interpréter géométriquement le nombre p m n m Exercice n o 41 Question de cours (Nouvelle-Clédonie, mrs 2007) Pour tout cet exercice, l espce est muni d un repère orthonorml (O; ı, j, k). étblir l éqution crtésienne d un pln dont on connît un vecteur norml n (, b, c) et un point M 0 (x 0, y 0, z 0 ). Exercice n o 42 Question de cours (Antilles-Guyne, juin 2007) Prérequis : positivité et linérité de l intégrle. Soient et b deux réels d un intervlle I de R tels que b. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur I telles que pour tout réel x de l intervlle I, f(x) g(x), lors f(x) dx Exercice n o 43 g(x) dx. Question de cours ( Asie, juin 2007) On rppelle que lorsque t tend vers +, lors et tend vers +. t lnx Démontrer que lim x + x = 0. 17
18 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S Exercice n o 44 Restitution orgnisée de connissnces. (Amérique du Nord, juin 2007) e x L objet de cette question est de démontrer que lim x + x = +. On supposer connus les résultts suivnts : l fonction exponentielle est dérivble sur R et est égle à s fonction dérivée ; e 0 = 1 ; pour tout réel x, on e x > x. Soient deux fonctions ϕ et ψ définies sur l intervlle [A ; + [ où A est un réel positif. Si pour tout x de [A ; + [, ψ(x) ϕ(x) et si lim ψ(x) = +, lors lim ϕ(x) = +. x + x + 1. On considère l fonction g définie sur [0 ; + [ pr g(x) = e x x2 2. Montrer que pour tout x de [0 ; + [, g(x) 0. 2. En déduire que lim x + Exercice n o 45 e x x = + Restitution orgnisée de connissnces. (Centres étrngers, juin 2007) 1. Démontrer qu un nombre complexe z est imginire pur si et seulement si z = z. 2. Démontrer qu un nombre complexe z est réel si et seulement si z = z. 3. Démontrer que pour tout nombre complexe z, on l églité : zz = z 2. Exercice n o 46 Restitution orgnisée de connissnces. (Métropole, juin 2007) Démontrer l formule d intégrtion pr prties en utilisnt l formule de dérivtion d un produit de deux fonctions dérivbles, à dérivées continues sur un intervlle [ ; b]. Soient les deux intégrles définies pr I = π 0 e x sinx dx et J = 1. Démontrer que I = J et que I = J+e π +1. 2. En déduire les vleurs exctes de I et de J. Exercice n o 47 π 0 e x cosx dx. Restitution orgnisée de connissnces. (L Réunion, juin 2007) On suppose connue l propriété : «Pour tout couple (x ; y) de nombres réels strictement positifs, on ln(xy) = ln(x)+ln(y).» En déduire que, pour tout nombre réel m strictement positif, on : ln ( m ) = 1 2 ln(m). http://prof.pntloni.free.fr VERSION DU 9 MARS 2012
Bc 2006 Exercice n o 48 Question de cours (Nouvelle-Clédonie, novembre 2005) Soient A et B deux événements indépendnts. Démontrer que A et B sont indépendnts. Exercice n o 49 Question de cours (Amérique du Nord, juin 2006) Prérequis : le module d un nombre complexe z quelconque, noté z, vérifie z 2 = zz où z est le conjugué de z. Démontrer que : pour tous nombres complexes z 1 et z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2. pour tout nombre complexe z non nul, 1 z = 1 z. Exercice n o 50 Question de cours (Métropole 15 juin 2006) On prend comme pré-requis les résultts suivnts : Si z et z sont deux nombres complexes non nuls, lors : rg(zz ) = rg(z)+rg(z ) à 2kπ près, vec k entier reltif Pour tout vecteur ( u ) w non nul d ffixe z on : rg(z) = ; w à 2kπ près, vec k entier reltif 1. Soit( z et z des nombres complexes non nuls, démontrer que z ) rg z = rg(z) rg(z ) à 2kπ près, vec k entier reltif. 2. Démontrer que si A, ( B, C) sont trois points du pln, deux à deux distincts, d ffixes respectives c ( ), b, c, on : rg = AB, AC à 2kπ près, vec k entier reltif. b Exercice n o 51 Restitution orgnisée de connissnces. (Pondichéry 3 vril 2006) L espce est muni d un repère orthonorml (O; ı, j, k). Prtie A (cette prtie constitue une restitution orgnisée de connissnces) Soit, b, c et d des réels tels que (, b, c) (0, 0, 0). Soit P le pln d éqution x+by +cz +d = 0. On considère le point I de coordonnées (x I, y I, z I ) et le vecteur n de coordonnées (, b, c). Le but de cette prtie est de démontrer que l distnce dei u plnp est égle à x I +by I +cz I +d 2 +b 2 +c 2. 1. Soit l droite pssnt pr I et orthogonle u pln P. Déterminer, en fonction de, b, c, x I, y I et z I, un système d équtions prmétriques de. 2. On note H le point d intersection de et P.. Justifier qu il existe un réel k tel que IH = k n. b. Déterminer l expression de k en fonction de, b, c, d, x I, y I et z I. c. En déduire que IH = x I +by I +cz I +d 2 +b 2 +c 2. 19
20 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S Exercice n o 52 Restitution orgnisée de connissnces. (Antilles-Guyne, juin 2006) Pré-requis : l fonction logrithme népérien est dérivble sur ]0 ; + [ et s fonction dérivée est l fonction inverse ( x 1 x ). ln(1) = 0 Démontrer que pour tous réels strictement positifs et x, ln(x) = ln()+ln(x). Utiliser le résultt précédent pour démontrer que ( ) 1 ( ln = ln(b) et que ln = ln() ln(b) b b) Exercice n o 53 Restitution orgnisée de connissnces. (Asie juin 2006) Prérequis : On sit que si z et z sont deux nombres complexes non nuls, lors : rg(zz ) = rg(z)+rg(z ). Soient z et z deux nombres complexes non nuls. Démontrer que : ( z ) rg z = rg(z) rg(z ) Exercice n o 54 Restitution orgnisée de connissnces. (Centres étrngers, juin 2006) Prérequis : On rppelle les deux résultts suivnts : i. Si z est un nombre complexe non nul, on l équivlence suivnte : { { z = r z = r(cosθ + isinθ) rg z = θ à 2π près r > 0 ii. Pour tous nombres réels et b : { cos(+b) = coscosb sinsinb sin(+b) = sincosb+sinbcos Soient z 1 et z 2 deux nombres complexes non nuls. Démontrer les reltions : z 1 z 2 = z 1 z 2 et rg(z 1 z 2 ) = rg(z 1 )+rg(z 2 ) à 2π près http://prof.pntloni.free.fr VERSION DU 9 MARS 2012
Bc 2005 Exercice n o 55 Restitution orgnisée de connissnces (L Réunion, juin 2005) On se propose de démontrer qu il existe une seule fonction f dérivble sur R vérifint l condition : { f( x)f (C) (x) = 1 pour tout nombre réel x, f(0) = 4 (où f désigne l fonction dérivée de l fonction f) et de trouver cette fonction. 1. On suppose qu il existe une fonction f stisfisnt l condition (C) et on considère lors l fonction g définie sur R pr g(x) = f( x)f(x).. Démontrer que l fonction f ne s nnule ps sur R. b. Clculer l fonction dérivée de l fonction g. c. En déduire que l fonction g est constnte et déterminer s vleur. d. On considère l éqution différentielle (E)y = 1 y. Montrer que l fonctionf est solution 16 de cette éqution et qu elle vérifie f(0) = 4. 2. Question de cours. On sit que l fonction x e x 16 est solution de l éqution différentielle (E). Démontrer lors que l ensemble des solutions de l éqution (E) est l ensemble des fonctions, définies sur R, de l forme x Ke x 16, où K est un nombre réel quelconque. b. Démontrer qu il existe une unique solution de l éqution différentielle (E) prennt l vleur 4 en 0. 3. Déduire des questions précédentes qu il existe une seule fonction dérivble sur R stisfisnt l condition (C) et préciser quelle est cette fonction. Exercice n o 56 Question de cours ( Polynésie, juin 2005) Prérequis : définition d une suite tendnt vers +. «Une suite tend vers + si, pour tout réel A, tous les termes de l suite sont, à prtir d un certin rng, supérieurs à A». Démontrer le théorème suivnt : une suite croissnte non mjorée tend vers +. Exercice n o 57 Restitution orgnisée de connissnces. ( Frnce juin 2005) Cet exercice constitue une restitution orgnisée de connissnces. Prtie A : question de cours On suppose connus les résultts suivnts : 1 deux suites (u n ) et (v n ) sont djcentes lorsque : l une est croissnte, l utre est décroissnte et u n v n tend vers 0 qund n tend vers + ; 2 si(u n ) et(v n ) sont deux suites djcentes telles que(u n ) est croissnte et(v n ) est décroissnte, lors pour tout n pprtennt à N, on u n v n ; 3 toute suite croissnte et mjorée est convergente ; toute suite décroissnte et minorée est convergente. 21
22 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S Démontrer lors l proposition suivnte : «Deux suites djcentes sont convergentes et elles ont l même limite». Prtie B On considère une suite (u n ), définie sur N dont ucun terme n est nul. On définit lors l suite (v n ) sur N pr v n = 2 u n. Pour chque proposition, indiquer si elle est vrie ou fusse et proposer une démonstrtion pour l réponse indiquée. Dns le cs d une proposition fusse, l démonstrtion consister à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rpporte ucun point. 1. Si (u n ) est convergente, lors (v n ) est convergente. 2. Si (u n ) est minorée pr 2, lors (v n ) est minorée pr 1. 3. Si (u n ) est décroissnte, lors (v n ) est croissnte. 4. Si (u n ) est divergente, lors (v n ) converge vers zéro. Exercice n o 58 On considère l fonction f, définie sur [1 ; + [ pr f(t) = et t. 1.. Justifier l continuité de f sur [1 ; + [. b. Montrer que f est croissnte sur [1 ; + [. 2. Restitution orgnisée de connissnces. (Pondichéry 31 mrs 2005) On pourr risonner en s ppuynt sur le grphique fourni. Pour tout réel x 0 de [1 ; + [, on note A(x 0 ) l ire du domine délimité pr l courbe représentnt f dns un repère orthogonl, l xe des bscisses et les droites d équtions x = 1 et x = x 0. On se propose de démontrer que l fonction insi définie sur [1 ; + [ est une primitive de f.. Que vut A(1)? b. Soit x 0 un réel quelconque de [1 ; + [ et h un réel strictement positif. Justifier l encdrement suivnt : f(x 0 ) A(x 0 +h) A(x 0 ) h f(x 0 +h). c. Lorsque x 0 > 1, quel encdrement peut-on obtenir pour h < 0 et tel que x 0 +h 1? d. En déduire l dérivbilité en x 0 de l fonction A insi que le nombre dérivé en x 0 de l fonction A. e. Conclure. 5 4 3 e 2 1 0 x 0 1 0 x 0 +h 2 http://prof.pntloni.free.fr VERSION DU 9 MARS 2012