Cours de Terminle S Lycée Cmille Pissrro 203-204 Sébstien Andrieux 7 juin 204
Tble des mtières I Cours de Terminle S 5 Risonnement pr récurrence 6 2 Suites et limites des suites 8 I Suite convergente, suite divergente....................... 8 I. Suite ynt pour limite un réel l.................... 8 I.2 Suites ynt une limite infinie...................... 9 I.3 Lien vec les limites de fonctions.................... 0 I.4 Algorithme de recherche de seuil.................... 0 II Opértions sur les limites............................ II. Limite d une somme........................... II.2 Limite d un produit........................... 2 II.3 Limite d un quotient........................... 2 III Théorèmes de comprison........................... 3 IV Suite de terme générl q n (q réel)........................ 4 IV. Étude de l suite (q n ).......................... 4 IV.2 Appliction................................ 5 V Suites mjorée, minorée, bornée......................... 5 3 Probbilités conditionnelles 8 I Probbilité conditionnelle............................ 8 II Arbre de probbilité............................... 9 III Formule des probbilités totles......................... 9 IV Indépendnce................................... 20 V Exercices..................................... 22 4 Limites de fonctions. Comportement symptotique. 24 I Limites à l infini................................. 24 I. Premiers exemples............................ 24 I.2 Limites à l infini de fonctions usuelles................. 26 I.3 Asymptote horizontle.......................... 27 II Limite infinie en ( réel)............................ 27 II. Deux exemples de bse.......................... 28 II.2 Quelques limites en 0.......................... 29 II.3 Asymptote verticle........................... 29 II.4 Exemple de clcul de limite à droite et à guche d un réel...... 30 III Limites et opértions............................... 3 III. Limite d une somme........................... 3 III.2 Limite d un produit........................... 3
III.3 Limite d un quotient........................... 3 III.4 Quelques indictions pour lever les indétermintions......... 32 IV Théorèmes sur les limites de fonctions..................... 32 IV. Limites à l infini des polynômes et frctions rtionnelles....... 32 IV.2 Limite pr comprison......................... 33 IV.3 Limite d une fonction composée..................... 33 V Continuité, théorème des vleurs intermédiires................ 34 V. Continuité................................. 34 V.2 Théorème des vleurs intermédiires.................. 35 V.3 Algorithme de dichotomie (voir pge 53)................ 37 5 Compléments sur l dérivtion 39 I Dérivées de u et u n............................... 39 II Dérivée d une fonction composée........................ 40 III Exercice...................................... 4 6 L fonction exponentielle 43 I Définition..................................... 43 II Propriétés de l fonction exponentielle..................... 45 III Étude de l fontion exponentielle........................ 47 IV Exponentielle d une fonction........................... 50 IV. e u..................................... 50 IV.2 Étude des fonctions x e kx, k > 0.................. 5 IV.3 Étude des fonctions x e kx2, k > 0................. 52 7 Géométrie dns l espce 54 I Positions reltives de droites et plns de l espce............... 54 I. Positions reltives de deux droites................... 54 I.2 Positions reltives d une droite et d un pln.............. 54 I.3 Positions reltives de deux plns.................... 55 II Prllélisme dns l espce............................ 56 II. Prllélisme de droites.......................... 56 II.2 Prllélisme de plns........................... 56 II.3 Prllélisme d une droite et d un pln................. 56 III Orthogonlité dns l espce........................... 57 III. Droites orthogonles........................... 57 III.2 Orthogonlité entre une droite et un pln............... 57 III.3 Pln méditeur de deux points distincts................ 59 III.4 Plns perpendiculires.......................... 60 IV Vecteurs, droites et plns de l espce...................... 60 IV. Droites.................................. 60 IV.2 Plns................................... 6 8 Repérge dns l espce 64 I Repère de l espce................................ 64 I. Distnce dns l espce.......................... 66 II Représenttions prmétriques......................... 67 II. Représenttion prmétrique d une droite............... 67 II.2 Représenttion prmétrique d un pln................ 68 2
9 Fonctions trigonométriques 70 I Fonctions cosinus et sinus............................ 70 I. Périodicité................................ 70 I.2 Étude des fonctions cos et sin...................... 7 II Formules de trigonométrie............................ 72 II. Équtions cos(x) =, sin(x) =, R.............. 74 III Complément : l fonction tngente....................... 75 IV Exercices..................................... 75 0 Logrithmes 76 I L fonction logrithme népérien......................... 76 I. Définition................................. 76 I.2 Propriétés................................. 78 I.3 Reltion fonctionnelle.......................... 79 I.4 Limites liées à l fonction logrithme népérien............ 80 II Logrithme d une fonction............................ 82 III Fonction logrithme déciml........................... 83 IV Exercices de logrithmes sur Euler....................... 84 Nombres complexes (ère prtie) 85 I Forme lgébrique d un nombre complexe.................... 85 II Conjugué d un nombre complexe........................ 86 III Éqution du second degré à coefficients réels.................. 88 2 Clcul intégrl 89 I Intégrle d une fonction positive........................ 89 I. Définition................................. 89 I.2 Méthode des rectngles pour encdrer une intégrle......... 90 II Primitives d une fonction continue....................... 92 III Recherche de primitives............................. 95 III. Primitives des fonctions usuelles.................... 95 III.2 Opértions sur les primitives...................... 95 IV Intégrle d une fonction continue........................ 96 V Applictions du clcul intégrl......................... 99 V. Clculs d ires.............................. 99 V.2 Vleur moyenne.............................. 99 3 Lois de probbilité à densité 0 I Lois de probbilité à densité........................... 0 II Loi uniforme sur [;b].............................. 02 III Loi exponentielle................................. 04 4 Nombres complexes et géométrie 07 I Affixe, module et rgument........................... 07 I. Représenttion géométrique d un nombre complexe.......... 07 I.2 Module et rgument d un nombre complexe.............. 08 I.3 Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul........ 09 I.4 Propriétés du module et de l rgument................. 09 II Nottion exponentielle et ppliction...................... 3
5 Produit sclire dns l espce 4 I Produit sclire dns l espce.......................... 4 II Applictions du produit sclire......................... 6 III Intersections de droites et de plns....................... 8 III. Intersection d une droite et d un pln................. 8 III.2 Intersection de deux plns........................ 9 III.3 Plns perpendiculires.......................... 9 6 Lois normles 2 I Introduction : le théorème de Moivre-Lplce................. 2 II L loi normle centrée réduite.......................... 22 II. Définition................................. 22 II.2 Propriétés de l loi normle centrée réduite.............. 23 III Lois normles................................... 26 7 Échntillonnge et simultion 28 I Rppels des nnées précédentes......................... 28 I. Notion d intervlle de fluctution d une fréquence........... 28 I.2 Intervlle de fluctution vu en seconde................. 28 I.3 Intervlle de fluctution ssocié à l loi binomile, ère S....... 29 II Théorème de Moivre-Lplce.......................... 30 III Intervlle de fluctution symptotique..................... 3 III. Détermintion prtique de l intervlle de fluctution u seuil de 95 %32 III.2 Autres seuils possibles.......................... 32 IV Prise de décision à prtir d un échntillon................... 33 V Intervlle de fluctution simplifié........................ 34 VI Estimtion d une proportion........................... 34 II Compléments 36 8 Limites et comportement symptotique 37 I Asymptote oblique................................ 37 II Pln d étude de fonctions............................ 38 III Exercice corrigé : étude d une fonction..................... 39 IV Définitions d une limite............................. 4 9 Fonctions exponentielles de bse ( > 0 et ) 43 I Définition..................................... 43 II Fonction x x vec >........................... 43 III Fonction x x vec 0 < <......................... 44 IV Exercices sur Euler................................ 44 4
Première prtie Cours de Terminle S 5
Chpitre Risonnement pr récurrence Propriété On considère une propriété P(n) qui dépend d un nombre entier nturel n. Soit n 0 un entier nturel. Si l propriété P(n) vérifie les deux conditions suivntes :. Initilistion : P(n 0 ) est vrie; 2. Hérédité : pour tout entier k n 0, si P(k) est vrie lors P(k+) est vrie; Alors l propriété P(n) est vrie pour tout entier n n 0.. L propriété P(n) peut être une églité, une inéglité, une propriété exprimée pr une phrse, etc. 2. L condition d hérédité est une impliction : on montre, pour un entier k n 0, que P(k) P(k +). Une propriété P(n) qui vérifie cette deuxième condition est dite héréditire. (Expliction) Si on P(0) vrie, et pour tout k 0 (P(k) P(k +)), lors : P(0) est vrie et (P(0) P()) donc P() est vrie. P() est vrie et (P() P(2)) donc P(2) est vrie. En poursuivnt de proche en proche ce risonnement, on P(n) vrie pour tout entier n 0. On peut fire l nlogie vec les dominos : si l on renverse le premier domino, et que chque domino, en tombnt, renverse le suivnt, lors tous les dominos tombent. Exemple : Montrons que pour tout n N, 4 n est un multiple de 3. Solution On risonne pr récurrence. Pour n N, on v montrer l propriété P(n) : 4 n est divisible pr 3. Initilistion : P(0) est vérifiée, cr 4 0 = 0 est divisible pr 3. Hérédité : Soit un entier k 0 : Supposons que l propriété P(k) : 4 k est divisible pr 3 est vrie. Montrons P(k +) : 4 k+ est divisible pr 3. 6
On : 4 k+ = 4 4 k = 3 4 k } {{ } divisible pr 3 + 4 k } {{ } divisible pr 3 (hypothèse de récurrence) Pr somme de nombres divisibles pr 3, 4 k+ est divisible pr 3. Conclusion : l propriété P(n) est vrie pour tout entier n 0. Pr récurrence, on montré que pour tout n N, 4 n est divisible pr 3. Exercice. Montrer que l propriété P(n) : 4 n + est divisible pr 3 est héréditire. 2. Peut-on en conclure que P(n) est vrie pour tout n N? Exercice 2 Montrer que pour tout entier n 3, 2 n > 2n. Exercice 3 Soit u l suite définie pr u 0 = et pour tout n 0, u n+ = 2u n +.. À l ide de l clcultrice, donner u, u 2, u 3, u 4, u 5 et u 6. 2. Conjecturer une expression de u n en fonction de n. 3. Vlider cette conjecture en risonnnt pr récurrence. Exercice 4 Soit u l suite définie pr u 0 = 0 et pour tout n 0, u n+ = u n +5.. Montrer que pour tout n, 0 < u n < 3. 2. Montrer que pour tout n N, u n+ > u n. 3. Que peut-on en déduire? Exercice 5 Soit u l suite définie pr u 0 = 0 et pour tout n 0, u n+ = 2 u n +.. Montrer pr récurrence que pour tout n 0, u n 0. 2. Montrer pr récurrence que l suite (u n ) est décroissnte. Exercice 6 Montrer pr récurrence que pour tout n 0, 4 n 4n+. Exercice 7. Montrer que pour tout entier n, 3 2n 2 n est divisible pr 7. n 2. Montrer que pour tout entier n, j 2 = n(n+)(2n+). 6 3. Montrer que pour tout entier n, j= n (2j ) = n 2. j= 7
Chpitre 2 Suites et limites des suites I Suite convergente, suite divergente I. Suite ynt pour limite un réel l Définition Soient (u n ) une suite numérique et l un nombre réel. On dit que (u n ) dmet pour limite l (ou converge vers l) lorsque tout intervlle ouvert contennt l contient tous les termes de l suite à prtir d un certin rng. On note lors limu n = l. Formultion symbolique : Pour tout ε > 0, il existe N N tel que pour tout n N, u n l < ε. L écriture u n l < ε signifie que l écrt entre u n et l est strictement inférieur à ε. Autrement dit, u n l < ε u n ]l ε;l+ε[ l ε < u n < l+ε Illustrtion : Le grphique ci-dessous représente une suite (u n ) qui converge vers l = 4. En prennt ε = 0.3 > 0, on constte que l inéglité u n l < ε est vérifiée à prtir du rng N = 5. 8
l j 0 i 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n Il est inutile de préciser n + cr c est toujours le cs dns ce chpitre. On note simplement limu n = l pour désigner lim n + u n = l. Propriété ((limites ) ( usuelles) ( ) Les suites, n ), n n k où k est un entier supérieur où égl à convergent vers 0. Démonstrtion On montre que l suite 0 I =] ;[. ( ) converge vers 0. Soit > 0, on considère l intervlle ouvert centré en n Pour tout n >, on 0 < n <, et donc pprtient à I. n L intervlle I contient tous les termes de l suite à prtir d un certin rng. Donc lim n = 0.. Une suite constnte converge vers l vleur de l constnte. 2. Il existe des suites qui ne sont ps convergentes (on dit lors divergentes). Exemple : l suite définie pr u n = ( ) n n ps de limite. Les suites (cosn) et (sinn) n ont ps de limite. Elles sont divergentes. Théorème Si une suite est convergente, s limite est unique. I.2 Suites ynt une limite infinie Définition On dit que l suite (u n ) pour limite + (ou diverge vers + ) si tout intervlle du type [A;+ [ contient tous les termes de l suite à prtir d un certin rng. On note lors limu n = +. On un énoncé nlogue pour un suite qui diverge vers. 9
Propriété Les suites ( n 2), ( n), ( n k) où k est un entier supérieur où égl à divergent vers +. I.3 Lien vec les limites de fonctions Théorème (suite définie pr son terme générl) Soit (u n ) une suite définie pr son terme générl u n = f(n) où f est une fonction définie sur un intervlle [M;+ [.. si lim f(x) = l R, lors limu n = l. x + 2. si lim f(x) = +, lors limu n = +. x + 3. si lim f(x) =, lors limu n =. x + On peut donc utiliser les limites en + de fonctions de référence pour déterminer les limites de suites usuelles. I.4 Algorithme de recherche de seuil Recherche de seuil dns le cs d une suite qui diverge vers + Considérons l suite (u n ) définie pr u n = n 2. Il est clir que limu n = +. On cherche le plus petit entier N tel que pour tout n N, n 2 0 7. Méthode : on résout l inéqution n 2 0 7 Comme n est un entier positif, cel implique n 0 7 362,3. Le plus petit entier qui convient est donc N = 363. Prfois, on ser confronté à des inéqutions qu on ne sit ps résoudre, et il fudr se tourner vers l méhode 2. Méthode 2 : à l ide d un lgorithme. Début n prend l vleur 0 U prend l vleur n 2 Tnt que U < 0 7, n prend l vleur n+ U prend l vleur n 2 Fin Tnt que Afficher n Fin Le progrmme renvoie 363. Exercice 8 Considérons l suite (u n ) définie pour tout entier n N pr u n = n n.. Montrer que (u n ) est croissnte. 0
2. On dmet que limu n = +. Écrire un lgorithme qui renvoie le plus petit entier n 0 tel que pour tout n n 0, u n 0 4 (voir livre pge 4). 3. Progrmmer l lgorithme à l clcultrice et donner l vleur de n 0. Exercice 9 Un verre d eu contient 50 bctéries à l heure n = 0. On dmet que le nombre de bctéries triple toutes les heures. On note (u n ) le nombre de bctéries u bout de n heures (insi, u 0 = 50).. Clculer u, u 2 et u 3. 2. Exprimer u n+ en fonction de u n. 3. Déterminer le nombre de bctéries u bout de 0 heures à l ide de l clcultrice. 4. Utiliser un lgorithme pour déterminer le nombre d heures à prtir duquel il y plus d un billion (0 2, soit 000 millirds) de bctéries. Cs d une suite convergent vers un réel l Exercice 0 Soit ( n ) l suite définie pr son premier terme 0 = 2 et l reltion de récurrence : pour tout n 0, n+ = 2 3 n +3.. Clculer à l min, 2 et 3. Rédiger les clculs. 2. Utiliser l clcultrice pour donner une vleur pprochée de 0, 20, et 30. On rrondir à 0,000 près. 3. Que peut-on conjecturer sur l convergence de l suite ( n )? 4. Écrire un lgorithme qui renvoie le plus petit entier n 0 tel que n0 9 < 0,000. 5. Progrmmer cet lgorithme à l clcultrice et indiquer l vleur de n 0. II Opértions sur les limites Tous les résultts suivnts sont dmis. Soient (u n ) et (v n ) deux suites convergentes ou divergent vers l infini. l et l sont des nombres réels. II. Limite d une somme Exemple : lim + 2n+ n Si limu n = l l l + + et si limv n = l + + Alors lim(u n +v n ) =. On doit trouver n 0 = 465
II.2 Limite d un produit Si limu n = l l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 + + 0 et si limv n = l + + + ou Alors, lim(u n v n ) = Exemple : lim 3n2 n + II.3 Limite d un quotient cs où l limite de (v n ) n est ps nulle Si limu n = l l + + + ou et si limv n = l 0 + l > 0 l < 0 l > 0 l < 0 + Alors lim u n v n = ou cs où l limite de (v n ) est nulle Exemple : 4n lim 3n 2 n ou Si limu n = l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 0 ou + ou + ou ou et si limv n = 0 0 0 0 0 Alors lim u n v n = en restnt en restnt en restnt en restnt positive négtive positive négtive (Récpitultif des formes indéterminées). +, 2. ± 0, 0 3. 0, ± 4. ±. Indiction pour lever les indétermintions Trnsformer l écriture, développer ou fctoriser. Mettre en fcteur les plus grndes puissnces de n possibles u numérteur et u dénominteur. et u dénominteur. + 2
III Théorèmes de comprison Théorème (théorèmes de comprison). Théorème des gendrmes. Soient (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites réelles. Si, à prtir d un certin rng, on u n v n w n, et limu n = l, et limw n = l (l R), lors (v n ) converge vers l. 2. Si, à prtir d un certin rng, u n l v n, vec limv n = 0, lors (u n ) converge vers l. Démonstrtion Théorème des gendrmes. Soit p N tel que pour tout n p, v n u n w n. Soit I =];b[ un intervlle ouvert contennt l. Comme lim n + v n = l, lors à prtir d un certin rnq q, tous les termes de l suite (v n ) sont dns I. De même, à prtir d un certin rng q, tous les termes de l suite (u n ) sont dns I. Posons lors r = mx(p,q,q ). Pour tout n r, on < v n u n w n < b. Donc, à prtir de ce rng r, tous les termes de l suite (u n ) pprtiennent I. Pr définition, l suite (u n ) converge vers l. limu n = l. Exemple : Étudier l convergence des suites : u n = cos(n) n. v n = 3+5 ( )n n 2. Théorème (comprison) Soient (u n ) et (v n ) deux suites vérifint, à prtir d un certin rng, u n v n.. Si limu n = +, lors limv n = +. 2. Si limv n =, lors limu n = Ces propriétés sont prticulièrement utiles lorsqu on rencontre des cosinus, sinus ou des ( ) n. Démonstrtion (à connître). On suppose qu il existe un rng n tel que pour tout n n, u n v n. Soit A > 0. Comme limu n = +, il existe un entier n 2 tel que pour tout n n 2, u n A. Posons N = mx(n ;n 2 ). Pour tout n N, on A u n v n, et donc v n A. On montré que pour tout A > 0, il existe N N, tel que pour tout n N, v n A. Donc limv n = +. 2. Il suffit d dpter l démonstrtion du. 3
Exemple : étudier l convergence des suites u n = 2n+3sin(n). v n = 2 ( ) n 4n. IV Suite de terme générl q n (q réel) Propriété (inéglité de Bernoulli) Pour tout x > 0, et pour tout n 0, (+x) n +nx. Démonstrtion Soit x > 0. On risonne pr récurrence sur n. Initilistion Pour n = 0, on (+x) 0 = et +0 x =. Donc (+x) 0 +0 x. L inéglité est vrie pour n = 0. Hérédité Soit k 0. Supposons que (+x) k +kx. Montrons l inéglité u rng (k +). (+x) k+ = (+x) k (+x) (+kx)(+x). En effet, le sens de l inéglité est conservé en multiplint pr (+x) > 0. Or, (+kx)(+x) = +(k +)x+kx 2 +(k +)x (cr kx 2 0). On donc (+x) k+ +(k +)x. L propriété est héréditire. Conclusion On montré pr récurrence que pour tout x > 0 et pour tout n N, (+x) n +nx. IV. Étude de l suite (q n ) Distinguons plusieurs cs : Si q = 0. Pour tout n, 0 n = 0, donc (0 n ) tend vers 0. Si q =. Pour tout n, n =, donc ( n ) tend vers. Si q >. D près l inéglité de Bernoulli, q n +n(q ). Comme q > 0, on clirement lim + n(q ) = +, et pr comprison, limq n = +. Si < q <, (et q 0), lors >, donc lim = +. D près les résultts q q n sur les opértions, il vient lim q n = 0. Aynt l inéglité - q n q n q n, on conclut vi le théorème des gendrmes que limq n = 0. Si q, l suite (q n ) prend lterntivement ses vleurs dns [;+ [ et dns ] ; ]. Elle diverge donc et n ps de limite. Théorème Si q >, lors limq n = +. Si q =, lors l suite (q n ) est constnte égle (et converge donc vers ). Si < q <, lors limq n = 0. Si q, lors l suite (q n ) est divergente et n ps de limite. 4
Démonstrtion (à connître) Il fut svoir redémontrer que lorsque q >, limq n = +. Cel inclut l inéglité de Bernoulli (que l on peut montrer pr récurrence). IV.2 Appliction Ce résultt permet de clculer l limite éventuelle de l somme des termes d une suite géométrique. Soit x un nombre réel tel que < x <. Considérons l somme S n = +x+x 2 + +x n. On sit que S n = xn+ x. Comme limx n = 0 (cr < x < ), on obtient lims n = x. Propriété Soit x un réel vérifint < x <. Alors, Exemple : + n=0 x n = +x+x 2 + +x n + = x. + n=0 ( ) n = + 2 2 + + 2 n +... = 2 = 2 V Suites mjorée, minorée, bornée Propriété Si une suite est croissnte et converge vers un réel l, lors elle est mjorée pr l. Démonstrtion On suppose que (u n ) est croissnte et qu elle converge vers l (l R). On risonne pr l bsurde. Si (u n ) n est ps mjorée pr l, il existe un entier p N tel que u p > l. Comme (u n ) est croissnte, pour tout n p, u n u p ( ). Or, pr définition d une suite convergent vers l, tout intervlle ouvert contennt l contient tous les termes de l suite à prtir d un certin rng. En prticulier, l intervlle ]l ;u p [ doit contenir tous les termes de l suite à prtir d un certin rng. Ceci est en contrdiction vec ( ). Donc l hypothèse de déprt (u n ) n est ps mjorée pr l est fusse. Conclusion : (u n ) est mjorée pr l. Théorème Toute suite croissnte mjorée converge. Toute suite décroissnte minorée converge. 5
Ce théorème permet de montrer qu une suite converge sns voir à chercher s limite. Attention, en prtique, si (u n ) est croissnte et si pour tout entier n, u n < A, on en déduit que l A (mis surtout ps l < A). Exemple : Pour tout n, u n = n. L suite (u n ) est décroissnte et minorée pr 0 : pour tout n, u n > 0. On peut en déduire que (u n ) converge vers un réel l 0. Dns ce cs simple, on peut clculer l limite, et limu n = 0. Théorème Toute suite croissnte non mjorée diverge vers +. Toute suite décroissnte non minorée diverge vers. Démonstrtion Soit (u n ) une suite croissnte non mjorée. Soit A > 0. Comme (u n ) n est ps mojorée, il existe un entier p tel que u p > A. Comme (u n ) est croissnte, pour tout entier n p, u n u p, et donc u n > A. Pr définition, limu n = +.. Toute suite convergente est bornée. 2. Toute suite croissnte est minorée pr son premier terme. 3. Toute suite décroissnte est mjorée pr son premier terme. Il existe des suites qui divergent vers + et qui ne sont ps croissntes. Exemple : u n = n+4sin(n). Exercice On v démontrer l exemple de cette remrque. Soit u n = n+4sinn.. Montrer que limu n = +. 2. Montrer que (u n ) n est ps croissnte. Appliction : (retour sur les suites géométriques) Pour tout n, u n = + 3 + + 3 n.. Montrer que pour tout n, u n 3 2. 2. Montrer que (u n ) est croissnte. 3. En déduire que (u n ) converge et trouver s limite. Appliction 2 : (suite définie pr récurrence) Soit (u n ) l suite définie pr u 0 = et pour tout n 0, u n+ = 2 u n +2.. Étudier l fonction f(x) = x 2 +2 et montrer que f([;4]) [;4]. 6
2. Montrer que (u n ) est croissnte mjorée pr 4. 3. Que peut-on en déduire? 4. Notons l = limu n. On dmet que l est un point fixe de f (c est-à-dire une solution de l éqution f(x) = x). Déterminer l vleur de l. 7
Chpitre 3 Probbilités conditionnelles I Probbilité conditionnelle Définition Soient A et B deux événements, vec P(A) 0. L probbilité de B schnt que A est rélisé, notée P A (B), est donnée pr On note prfois ussi P(B/A). P A (B) = P(A B). P(A) Les probbilités conditionnelles vérifient les propriétés des probbilités. En prticulier, Propriété Soient A et B deux événements, vec P(A) 0.. 0 P A (B). 2. P A (B)+P A (B) =. 3. S il y équiprobbilité sur Ω, P A (B) = nombre d éléments de A B nombre d éléments de A. Lorsqu on clcule P A (B), l ensemble de référence devient A. Exemple : Dns une clsse de terminle de 32 élèves réprtis en 8 filles et 4 grçons, il y 20 élèves en spécilité LV2 Espgnol, dont 8 filles. On choisit l fiche d un élève u hsrd, chque fiche utnt de chnce d être choisie. On note : A : L élève est une fille. B : L élève suit l spécilité LV2 Espgnol.. Clculer P A (B). 2. Clculer P B (A). 8
Propriété Soient A et B deux événements, vec P(A) 0. Alors, P(A B) = P(A) P A (B). II Arbre de probbilité Certines situtions fisnt intervenir des probbilités conditionnelles peuvent être représentées pr des rbres pondérés. On plce les événements ux bouts des brnches, et les probbilités sur les brnches. Un chemin est une suite de brnches. Il représente l intersection des événements rencontrés sur ce chemin. Exemple : er niveu 2ème niveu Événement (chemin) Probbilité P(A) P(A) A A P A (B) P A (B) P A (B) P A (B) B B B B A B A B A B A B P(A B) = P(A) P A (B) P(A B) = P(A) P A (B) P(A B) = P(A) P A (B) P(A B) = P(A) P A (B) Propriété. L somme des probbilités des brnches prtnt d un même nœud est. 2. L probbilité d un chemin est le produit des probbilités sur les brnches composnt ce chemin. 3. L probbilité d un événement est l somme des probbilités des chemins conduisnt à cet événement. III Formule des probbilités totles Définition Soient A, A 2,..., A n des événements de probbilités non nulles d un univers Ω. On dit que A, A 2,..., A n forment une prtition de Ω lorsque :. Ω = A A 2 A n, 2. et les événements A, A 2,..., A n sont deux à deux incomptibles (A i A j = pour tous i j). Exemple : 9
A A 2 A 3 Ω A, A 2, A 3 forment une prtition de l univers Ω. Soit A un événement de probbilité non nulle. Alors A et A forment une prtition de Ω. Propriété (probbilités totles) Soit A, A 2,..., A n une prtition de Ω. Alors, pour tout événement B, P(B) = P(A B)+P(A 2 B)+ +P(A n B) = P(A ) P A (B)+P(A 2 ) P A2 (B)+ +P(A n ) P An (B) B A A 2 A 3 Ω Soit A un événement de probbilité non nulle. Alors A et A forment une prtition de Ω. dns ce cs, l formule des probbilité totles s écrit : Pour tout événement B, P(B) = P(A B)+P(A B) = P(A) P A (B)+P(A) P A (B) IV Indépendnce Définition Soient A et B deux événements de probbilités non nulles (P(A) 0 et P(B) 0). On dit que A et B sont indépendnts lorsque P B (A) = P(A) ou P A (B) = P(B).. Lorsque P(A) = 0 ou P(B) = 0, on dit que A et B sont indépendnts. 2. Dire que deux événements sont indépendnts signifie que l rélistion de l un n ps d incidence sur l probbilité de l utre : P B (A) = P(A) ou P A (B) = P(B). Conséquence Soient A et B deux événements de probbilités non nulles (P(A) 0 et P(B) 0). A et B sont indépendnts si et seulement si P(A B) = P(A) P(B). 20
Ne ps confondre événements incomptibles et indépendnts : A et B incomptibles : A B = (A et B ne peuvent ps être rélisés ensemble) d où P(A B) = 0. AetB indépendnts:p(a B) = P(A) P(B),(nonnulsiP(A) 0etP(B) 0). Exemples : lncer successivement des pièces, des dés, répéter le tirge d un bille dns une urne qui contient toujours le même nombre de billes (tirges vec remise) sont des expériences indépendntes. Propriété Si les événements A et B sont indépendnts, lors :. A et B sont indépendnts; 2. A et B sont indépendnts; 3. A et B sont indépendnts. Démonstrtion (à connître) On v montrer que (A et B indépendnts) (A et B indépendnts). Supposons que A et B soient indépendnts. On peut se limiter u cs où P(B) 0 (si P(B) = 0, le résultt est évident), de sorte que P B (A) et P B (A) soient bien définies. On v montrer que A et B sont indépendnts, soit P B (A) = P(A). On toujours P B (A)+P B (A) =. P B (A) = P B (A) = P(A) = P(A) En effet, comme A et B sont indépendnts, P B (A) = P(A). Donc P B (A) = P(A). Les événements A et B sont indépendnts. Dns le cs de deux événements A et B de probbilités non nulles, l indépendnce peut se lire sur un tbleu d effectifs ou un rbre de probbilités :. Tbleu d effectifs : Lorsque A et B sont indépendnts, le tbleu d effectifs (hors totux) est un tbleu de proportionnlité. P(B) = 3 2 = 4. P A (B) = 4. Donc P(B) = P A(B). A et B sont indépendnts. A A Totl B 2 3 B 3 6 9 Totl 4 8 2 2
2. Arbre de probbilité : A et B sont indépendnts ssi P A (B) = P A (B). Autrement dit, on retrouve les mêmes probbilités conduisnt à B sur le 2 e niveu de brnche, que l on prte de A ou de A. p A p p B p A B p Exercice 2 On se propose de démontrer le résultt énoncé dns l remrque précédente : Soient A et B deux événements de probbilités non nulles. A et B sont indépendnts si et seulement si P A (B) = P A (B).. Impliction directe. On suppose que A et B sont indépendnts. Montrer que P A (B) = P A (B). 2. Réciproque. On suppose que P A (B) = P A (B). Montrer que A et B sont indépendnts. p B B V Exercices Exercice 3 On donne l rbre pondéré suivnt. 0,7 B 0,2 0,6 A A 2 0,3 0,9 0, 0, 0,2 B A 3 0,9 B. Montrer que A et B sont indépendnts. 2. Les événements A 2 et B sont-ils indépendnts? 3. Les événements A 3 et B sont-ils indépendnts? Exercice 4 On se propose de démontrer le résultt énoncé dns l remrque précédente : Soient A et B deux événements de probbilités non nulles. A et B sont indépendnts si et seulement si P A (B) = P A (B).. Impliction directe. On suppose que A et B sont indépendnts. Montrer que P A (B) = P A (B). B B B 22
p A q q B B B p A B q 2 2. Réciproque. On suppose que P A (B) = P A (B). Montrer que A et B sont indépendnts. q 2 23
Chpitre 4 Limites de fonctions. Comportement symptotique. I Limites à l infini I. Premiers exemples On s intéresse u comportement des fonctions f : x x et g : x x3 lorsque x devient très grnd ou très petit. Tbleu de vleurs : x 0 6 0 4 0 2 0 0 0 2 0 4 0 6 0 6 0 4 0.0 0. 0. 0.0 0 4 0 6 x x 3 0 8 0 2 0 6 000 000 0 6 0 2 0 8 4 3 x 3 2 x -6-5 -4-3 -2 - - 0 2 3 4 5 6-2 -3-4 On remrqueque lorsque x devient très grnd, les vleurs de x deviennent très proches de 0. On dit que l fonction x x dmet 0 pour limite en + (ou tend vers 0 en + ). 24
On note lim x + x = 0. De même, lorsque x est très grnd, les vleurs de x 3 deviennent très grndes, on dit que l fonction cube dmet + pour limite en +. lim x + x3 = +. Lorsque x tend vers, on : lim x x = 0. lim x x3 =. Définition Soient f une fonction définie u voisinge de + (sur un intervlle [;+ [), et l un nombre réel.. On dit que l limite de f en + est l et on note lim f(x) = l lorsque tout x + intervlle ouvert contennt l contient toutes les vleurs de f(x) dès que x est ssez grnd. 2. lim x + f(x) = + lorsquetoutintervlle ]A;+ [contient touteslesvleursdef(x) dès que x est ssez grnd. 3. lim f(x) = lorsque tout intervlle ] ;B[ contient toutes les vleurs de x + f(x) dès que x est ssez grnd. 25
I.2 Limites à l infini de fonctions usuelles fonction crré fonction cube puissnce qutrième 4 3 2 2 0 2 2 2 0 2 3 2 4 3 2 2 0 2 f(x) = x 2 f(x) = x 3 f(x) = x 4 fonction inverse fonction rcine crrée fonction identité 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 3 4 0 2 2 2 f(x) = x f(x) = x f(x) = x 4 3 2 3 2 vleur bsolue 3 2 2 0 2 2 0 2 3 2 f(x) = x 2 f(x) = x 2 0 2 f(x) = x 26
f(x) D f limite en limite en + x R + x 2 R + + x 3 R + x n, n R + si n est pir + si n est impir x [0;+ [ ps de sens + R 0 0 x x 2 R 0 0 x n R 0 0 x ]0;+ [ ps de sens 0 Certines fonctions n ont ps de limite en + ou en. C est pr exemple le cs de cos et sin qui oscillent sns cesse entre et sns tendre vers une limite réelle. I.3 Asymptote horizontle Dns le cs où lim x + f(x) = l, l tnt un nombre réel, il semble que l courbe de f devienne infiniment proche de l droite horizontle qui pour éqution y = l. l : y = l C f 0 Définition Lorsque lim f(x) = l, (l R) on dit que l droite d éqution y = l est symptote C f x + en +. De même, si lim f(x) = l, on dit que l droite d éqution y = l est symptote C f en x. II Limite infinie en ( réel) Cdre : Soient R et f une fonction qui est définie u voisinge de mis ps en. On se propose de chercher les limites éventuelles de f lorsque x tend vers. 27
II. Deux exemples de bse Premier exemple : f(x) = et = 0. x2 Tbleu de vleurs : x 0 0 2 0 3 0 0 3 0 2 0 f(x) 00 0000 0 6 non def 0 6 0000 00 C f 0 Il est clir que lorsque x prend des vleurs proches de 0, les vleurs de f(x) deviennent infiniment grndes. Nous dirons donc que f pour limite + lorsque x tend vers 0. Nottion : lim x 0 f(x) = + On observe que lorsque x tend vers 0, l courbe de f devient infiniment proche de l xe des ordonnées (Oy). Nous dirons que (Oy) est symptote C f en 0. Deuxième exemple : f(x) = x et = 0. C f 0. Si x > 0 : lorsque x prenddes vleurs proches de 0 en étnt à droite de 0, les vleurs de f(x) deviennent infiniment grndes. Nous dirons donc que f dmet + comme limite à droite lorsque x tend vers 0. Nottion : lim x 0 x>0 f(x) = + ou bien lim x 0+ f(x) = + 2. Si x < 0 : lorsque x prend des vleurs proches de 0 en étnt à guche de 0, les vleurs de f(x) deviennent infiniment petites. 28
De même, nous dirons que f dmet comme limite à guche lorsque x tend vers 0. Nottion : lim x 0 x<0 f(x) = ou bien lim f(x) = x 0 Là encore, lorsque x tend vers 0, l courbe de f devient infiniment proche de l xe des ordonnées (Oy) : (Oy) est symptote C f en 0. Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle [ r;[ ou ];+r], vec r > 0.. lim x f(x) = + lorsque tout intervlle ]A;+ [ contient toutes les vleurs de f(x) dès que x est ssez proche de. 2. lim x f(x) = lorsque tout intervlle ] ;B[ contient toutes les vleurs de f(x) dès que x est ssez proche de. II.2 Quelques limites en 0 Théorème. Les fonctions x, x x x2, et x vec n pir ont + pour limite en 0. xn 2. Les fonctions x x, x x3, et x vec n impir ont + pour limite à xn droite en 0, et pour limite à guche en 0. Si l limite d une fonction en existe, lors elle est unique. En prticulier, si f dmet deux limites différentes à droite et à guche en, on considère que f n ps de limite en. Pr exemple, l fonction inverse n ps de limite en 0 cr lim = et lim 0 x 0+ II.3 Asymptote verticle x = + Définition Dès que l on est dns l une des situtions suivntes, on dit que l droite d éqution x = est symptote verticle à C f en : lim f(x) = + ou, x lim f(x) = + ou, x x> lim f(x) = + ou. x x< 29
Quelques situtions illustrées : : x = C f C f : x = C f : x = lim f(x) = x lim f(x) = + x + lim f(x) = x lim f(x) = + x (sur les symptotes). Une vleur interdite pour l fonction donne très souvent une symptote verticle pour s courbe. 2. On étudie l position reltive de l courbe et de son symptote uniquement dns le cs des symptotes horizontles ou obliques. II.4 Exemple de clcul de limite à droite et à guche d un réel L méthode est l suivnte :. clculer l limite du numérteur, 2. dresser le tbleu de signe du dénominteur, 3. en déduire l limite du dénominteur. 4. conclure vec les opértions (voir III). Exemple : f(x) = x 5 3 x L fonction f est définie sur R\{3} mis n est ps définie en 3. On peut chercher ses limites à droite et à guche de 3. Au numérteur, lim x 3 x 5 = 3 5 = 2 < 0. Le tbleu de signe de 3 x est : x 3 + 3 x + 0 lim 3 x = 0+ x 3 On en déduit, pr quotient, que lim De même, lim 3 x = 0 x 3+ De même, pr quotient, lim x 3 x>3 x 3 x<3 f(x) = +. f(x) =. 30
Onpeutendéduirequelcourbedef dmet poursymptote verticle ldroited éqution x = 3. III Limites et opértions Tous les résultts suivnts sont dmis. f et g sont des fonctions qui dmettent une limite en, ( désigne un nombre réel, ou +, ou ). l et l sont des nombres réels. III. Limite d une somme Exemple : lim + 2x+ x Si f pour limite en l l l + + Si g pour limite en l + + Alors f +g pour limite en III.2 Limite d un produit Si f pour limite en l l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 + + 0 Si g pour limite en l + + + + Alors f g pour limite en Exemple : lim 3x2 x + III.3 Limite d un quotient cs où l limite de g n est ps nulle ou Si f pour limite en l l + + + ou Si g pour limite en l 0 + l > 0 l < 0 l > 0 l < 0 + ou ou Alors f g pour limite en 3
cs où l limite de g est nulle Si f pour limite en l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 0 ou + ou + ou ou 0 0 0 0 0 Si g pour limite en en restnt en restnt en restnt en restnt positive négtive positive négtive Alors f g pour limite en Exemple : lim x + 4 3x2, lim x 0 4 3x 2 (Récpitultif des formes indéterminées) Les 4 formes indéterminées sont donc : +, ± 0, ± ±, et 0 0. Dns tous les utres cs, on peut conclure directement vec les opértions. III.4 Quelques indictions pour lever les indétermintions. Forme indéterminée du type 0 0 : Reconnître l définition du nombre dérivé d une fonction. sinx lim x 0 x, lim cos(x). x 0 x 2. Trnsformer l écriture : développer ou fctoriser. Lorsque x tend vers l infini, mettre en fcteur les plus grndes puissnces de x possibles u numérteur et u dénominteur. 3. Il existe un théorème sur les polynômes et frctions rtionnelles qui s pplique lorsque x ± (voir ci-dessous). IV Théorèmes sur les limites de fonctions IV. Limites à l infini des polynômes et frctions rtionnelles Théorème (Polynômes et frctions rtionnelles). Un polynôme l même limite en + (resp. ) que son terme de plus hut degré. 2. Une frction rtionnelle l même limite en + (resp. ) que le quotient simplifié de ses termes de plus hut degré. Exemples :. P(x) = 3x 5 4x 3 +x 2. Alors limp = lim3x 5 =. 2. f(x) = 2x3 +x 2 +4x 5 5x 4 +3x 3. +2 2x 3 2 Alors limf = lim 5x 4 = lim 5x = 0. 32
IV.2 Limite pr comprison Dns cette prtie,, b et l peuvent désigner des nombres réels, ou + ou. Théorème. Théorème des gendrmes Si, pour x ssez voisin de, on l encdrement u(x) f(x) v(x), et si u et v ont l même limite l en, lors lim f(x) = l. x 2. Cs d une limite infinie Si, pour x ssez voisin de, on l inéglité u(x) f(x), et si lim u(x) = + lors x lim f(x) = +. x (Énoncé nlogue vec f(x) v(x) et lim x v(x) =, lors lim f(x) = ) x Exemple : Étudier le comportement de x x 2sinx en +. Comme sinx, 2 2sinx 2, et donc f(x) x 2. Or, lim x 2 = +. x + Pr comprison, lim f(x) = +. x + IV.3 Limite d une fonction composée Définition Soient f : I J et g : J R deux fonctions. L fonction g f est lors définie sur I pr : pour tout x I, (g f)(x) = g[f(x)]. Pour que g f soit bien définie, il fut que pour tout x I, f(x) J. Dns g f, l ordre des fonctions son importnce. Exemple : f(x) = x 2 +6, g(x) = 2x+3. Déterminer les expressions de g f et de f g. Comprer. Théorème (limite d une fonction composée) Si lim f(x) = b et si lim g(x) = l, lors lim(g f)(x) = l. x x b x Exemple : Étudier l limite en + de f(x) = x 2 +x+ et g(x) = (Réponses : lim + f = +, lim + g = 2) 2+ 3 x. 33
V Continuité, théorème des vleurs intermédiires V. Continuité Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I.. Soit I. On dit que f est continue en lorsque lim x f(x) = f(). 2. On dit que f est continue sur I si elle est continue en tout réel de I. On peut trcer l courbe d une fonction continue sns lever le cryon, lors que c est impossible vec une fonction discontinue. Exemple : L prtie entière d un nombre réel x est le plus grnd entier inférieur ou égl à x. On l note E(x). Pr exemple, E(27,3) = E(π) = E(6) = E( 5,) = L fonction prtie entière n est ps continue sur R (elle est discontinue en tout nombre entier ). 3 2 3 2 0 2 3 Exercice 5 Montrer que l fonction prtie entière n est ps continue en 2. lim E(x) = lim E(x) = x 2 x>2 x 2 x<2 Donc......... Propriété (dmise) Si f est dérivble sur I, lors f est continue sur I. Corollire Les fonctions polynômes sont continues sur R. Les fonctions frctions rtionnelles (quotient de polynômes) sont continues sur leur ensemble de définition. 34
L réciproque de l propriété précédente est fusse : il existe des fonctions qui sont continues en et qui ne sont ps dérivbles en. Pr exemple, l fonction vleur bsolue x x est continue sur R (donc en 0), mis elle n est ps dérivble en 0. 3 2 3 2 0 2 3 Exercice 6 En revennt à l définition du nombre dérivé, montrer que l fonction vleur bsolue n est ps dérivble en 0. { x si x 0 L fonction vleur bsolue est définie pr f(x) = x si x < 0. Théorème (opértions sur les fonctions continues) Soient u et v deux fonctions continues sur un intervlle I.. Les fonctions (u+v), (u v) et u n (n ) sont continues sur I. 2. Les fonctions v et u sont continues sur les intervlles où elles sont définies (lorsque v v(x) 0). 3. L composée de deux fonctions continues est une fonction continue. V.2 Théorème des vleurs intermédiires Théorème (des vleurs intermédiires : TVI) Soit f une fonction continue sur un intervlle [;b]. Alors pour tout k compris entre f() et f(b), il existe u moins un réel c [;b] tel que f(c) = k. f(b) C f k f() 0 c c 2 c 3 b 35
Corollire Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [; b]. Alors pour tout k compris entre f() et f(b), l éqution f(x) = k dmet une unique solution x 0 dns [;b]. f(b) k C f f() x 0 0 b f() k f(b) C f x 0 0 b. Enprticulier,sif etdérivbleetf > 0sur[;b],lorsf estcontinueetstrictement croissnte sur [, b] et les hypothèses du corollire sont vérifiées. De même les hypothèses du corollire sont vérifiées si f < 0 sur [;b]. 2. On utilise souvent ce corollire vec f() et f(b) de signes contrires. Alors, l éqution f(x) = 0 dmet une unique solution dns [;b]. Exemple détillé : On cherche à étudier l éqution x 3 +3x 7 = 0 sur [;2]. Notons f(x) = x 3 +3x 7.. Étudier les vritions de f sur R. L fonction f est dérivble sur R et pour tout x R : f (x) = 3x 2 +3 > 0. On en déduit que f est strictement croissnte sur [;2]. 2. Montrer que l éqution f(x) = 0 dmet une unique solution α dns [;2]. On remrque que f() = 3 et f(2) = 7. D près le théorème précédent, l éqution f(x) = 0 une unique solution dns [;2]. 3. Utiliser le tbleur de l clcultrice pour déterminer un encdrement de α d mplitude 0 3. Après quelques mnipultions, on obtient sur l clcultrice le tbleu de vleurs suivnt : x f(x).405 0.05.406 0.0026.407 0.00637.408 0.053 36
On en déduit que.406 < α <.407. On peut générliser le théorème des vleurs intermédiires et son corollire u cs où f est continue sur un intervlle I non borné [A;+ [, ] ;A], ou ] ;+ [. V.3 Algorithme de dichotomie (voir pge 53) On se plce dns le cs où l on peut ppliquer le corollire du théorème des vleurs intermédiires : l fonction f est continue et strictement monotone sur [;b], vec f() et f(b) de signes contrires (ce qui s écrit f() f(b) < 0). Alors, l éqution f(x) = 0 une unique solution α dns l intervlle [;b]. Pour pprocher cette solution α, l lgorithme de dichotomie consiste à découper l intervlle [;b] en 2 utnt de fois qu il le fut pour tteindre l précision souhitée. À chque étpe, on clcule le nombre m = +b, centre de l intervlle [;b]. 2 Si f() f(m) 0, lors f() et f(m) sont de signes contrires. On en déduit donc que α [;m]. On recommence lors le procédé vec l intervlle [; m]. Sinon, f() et f(m) sont de même signe, donc α [m;b]. On recommence vec l intervlle [m; b]. Illustrtion vec f strictement croissnte sur [; b] : C f C f m b m b f() f(m) 0. Alors α [;m] f() f(m) > 0. Alors α [m;b]. Algorithme renvoynt les bornes et b d un intervlle [; b] ynt une mplitude inférieure à e et contennt α. Sisir, b, e Tnt que b e m prend l vleur +b 2 Si f() f(m) 0 Alors b prend l vleur m Sinon prend l vleur m Fin Si Fin Tnt que 37
Afficher et b. Algorithme TI (en entrnt l fonction f dns Y ). : Prompt A,B,E : While B-A E : (A+B)/2 M : If Y (A)*Y (M) 0 : Then : M B : Else : M A : End : End : Disp A,B Attention, on trouve Y dns vr, puis VAR-Y=. Ne ps tper Y. Algorithme Csio (en entrnt l fonction f dns Y ).? A? B? E While B-A E (A+B)/2 M A X Y F M X Y G If F G 0 Then M B Else M A IfEnd WhileEnd A B Pour pprocher l solution de l éqution f(x) = k, on utilise l fonction g définie pr g(x) = f(x) k à l plce de l fonction f. En effet, f(x) = k équivut à g(x) = 0. Exemple : Exercice 20 pge 62. On montre que l éqution x 3 2x 2 +x = dmet une unique solution α dns [;2]. On rentre g(x) = x 3 2x 2 +x dns Y. Pour une vleur pprochée de α à 0,0 près pr défut, on cherche un encdrement d mplitude inférieure à 0,0. On entre donc dns l lgorithme =, b = 2, et e = 0,0. Il renvoie =,75, et b =,757825. Donc,75 < α <,76. Pr défut à 0,0 près, α,75. Attention, il fut prfois entrer une vleur de e inférieure à l mplitude de l encdrement souhité : Pour un encdrement de α d mplitude 0 3, si l on lnce l lgorithme vec e = 0,00, on obtient : =,75390625 et b =,75488283. Cel ne permet ps de conclure. Avec e = 0,000, =,75487583 et b =,75488283. Donc,754 < α <,755. 38
Chpitre 5 Compléments sur l dérivtion I Dérivées de u et u n. Théorème. Si u est une fonction dérivble sur I et si pour tout x I u(x) > 0, lors l fonction u est dérivble sur I et ( u) = u 2 u. 2. Si u est une fonction dérivble sur I, lors pour tout entier n, l fonction u n est dérivble sur I et (u n ) = n u n u, Démonstrtion. Soient I, et h un réel tel que + h I. Le tux d ccroissement de l fonction u entre et +h est : u(+h) u() r(h) = h = ( u(+h) u())( u(+h)+ u()) h( u(+h)+ u()) = u(+h) u() h( u(+h)+ u()) = u(+h) u() h u(+h)+ u() Comme l fonction u est continue en, lim = h 0 u(+h)+ u() u(+h) u() Comme l fonction u est dérivble en, lim = u (). h 0 h Pr produit des limites, u(+h) u() lim = u () h 0 h 2 u(). Donc l fonction u est dérivble en et le nombre dérivé en est 2 u(). u () 2 u(). Lfonction uestdérivbleentoutréeldei elleestdoncdérivblesuri et( u) = u 2 u. 39
2. On risonne pr récurrence. Soit u une fonction dérivble sur un intervlle I. On veut montrer l propriété P(n) : Pour tout n, u n est dérivble et (u n ) = nu n u. Initilistion : Pour n =, u = u est dérivble sur I, et (u ) = u. u u = u. Donc P() est vrie. Hérédité : Soit k. On suppose que l propriété P(k) est vrie. Montrons que P(k +) est vrie. L fonction u k+ = u k u est dérivble sur I pr produit de fonctions dérivbles (HR pour u k ). Pr dérivtion d un produit et vec l hypothèse de récurrence, (u k+ ) = (u k u) = (u k ) u+u k u = ku k u u+u k u = k u k u +u k u = (k +)u k u Donc P(k +) est vrie. Pr récurrence, on donc montré que l fonction u n est dérivble pour tout n et (u n ) = nu n u. Exercice 7 Dériver les fonctions suivntes : f(x) = ( 2x+3) 5. g(x) = 3x 9. Si u est une fonction dérivble sur I et qui ne s nnule ps (u(x) 0 sur I), lors formule (u n ) = n u n u est ussi vrie lorsque n est un entier négtif. Tous ces résultts sont des cs prticuliers d une seule et unique propriété : l dérivée d une fonction composée. II Dérivée d une fonction composée Théorème (dmis) Soient u : I J et g : J R des fonctions dérivbles. Alors l fonction f : x g(u(x)) (qui est bien définie) est dérivble sur I et pour tout x I, f (x) = g [u(x)] u (x). L fonction f se note g u (prononcer g rond u ). L formule précédente s écrit : (g u) = (g u) u 40
Théorème I J Soient u : une fonction ffine, et v une fonction dérivble sur l intervlle x x+b J. Alors l fonction f définie sur I pr f(x) = v(x+b) est dérivble sur I et pour tout x I, f (x) = v (x+b). Rppelons les formules de dérivées qui utilisent ce théorème : Soit u une fonction dérivble sur I.. Si u ne s nnule ps sur I, ( u 2. Si u > 0 sur I, ( u) = u 2 u. ) = u u 2. 3. Pour tout entier n, (u n ) = nu n v. 4. Si f(x) = u(x+b), lors f (x) = u (x+b). III Exercice Exercice 8 (distnce d un point à une courbe) Soit f l fonction rcine crrée, dont on considère l courbe C dns un repère orthonormé. 3 C 2 M 2 A 2 3 4 5 6 7 8 9 2 On considère le point fixe A(4;0), et le point mobile M pprtennt à C et d bscisse x. Ainsi, pour tout x 0, M(x; x). L objectif est de déterminer l vleur de x pour lquelle l distnce AM est minimle.. À l ide d un logiciel de géométrie, que peut-on conjecturer sur le minimum de l distnce AM lorsque x décrit [0;+ [? 2. Soit x 0. Exprimer l distnce AM en fonction de x. On ppelle d cette fonction qui à x ssocie l distnce AM. 3. Étudier les vritions de l fonction d, et démontrer l conjecture précédente. 4. Justifier qu u point M 0 qui rend l distnce AM minimle, l tngente à l courbe de l fonction f est orthogonle u vecteur AM 0. 4
Exercice 9 Soit ABC un tringle isocèle en A, de périmètre 20. On pose BC = x vec 0 x 0.. Montrer que l ire du trigle ABC est f(x) = x 2 00 0x, pour 0 x 0. 2.() Étudier les vritions de f sur [0;0]. (b) Pour quelle vleur de f l ire est-elle mximle? Quelle est lors l nture du tringle? (c) Déterminer x tel que l ire du tringle soit 0. 42
Chpitre 6 L fonction exponentielle I Définition Propriété (dmise) I J Soient u : une fonction ffine, et v une fonction dérivble sur l intervlle x x+b J. Alors l fonction f définie sur I pr f(x) = v(x+b) est dérivble sur I et pour tout x I, f (x) = v (x+b). Théorème Il existe une unique fonction f dérivble sur R telle que f = f et f(0) =. Démonstrtion (unicité, à connitre) On dmet qu il existe une telle fonction. On montre l unicité.. On montre qu une telle fonction ne s nnule ps sur R. Soit Φ l fonction définie sur R pr Φ(x) = f(x) f( x). Pr produit (et composée), Φ est dérivble sur R. L dérivée de x f( x) est x f ( x). D près l formule de dérivée d un produit, (uv) = u v +uv, pour tout x R, Or, f = f, ce qui donne Φ (x) = f (x) f( x) f(x)f ( x) Φ (x) = f(x) f( x) f(x)f( x) = 0 Comme Φ = 0 sur l intervlle R, l fonction Φ est constnte. Or, f(0) =, donc Φ(0) = f(0) 2 =. Φ est l fonction constnte égle à. Pr suite, pour tout x R, f(x) f( x) =. L fonction f ne s nnule ps sur R. 2. Démonstrtion de l unicité de l fonction f. Considérons une utre fonction g définie et dérivble sur R, telle que g = g et g(0) =. Alors g ne s nnule ps sur R (d près.). 43
Pr quotient de fonction dérivbles, l fonction f est dérivble sur R et pour tout x R, g ( ) f (x) = f (x)g(x) g (x)f(x) g [g(x)] 2 = f(x)g(x) g(x)f(x) [g(x)] 2 = 0 On en déduit que l fonction f est constnte sur R. ( ) g f Or, (0) = f(0) g g(0) =. Donc f est l fonction constnte égle à. g Pour tout x R, f(x) = g(x). Conclusion : il existe une unique fonction f dérivble sur R telle que f = f et f(0) =. Définition On ppelle fonction exponentielle et on note exp l unique fonction dérivble sur R, telle que f = f et f(0) =. Propriété. L fonction exponentielle est continue et dérivble sur R. 2. Pour tout x R, exp (x) = exp(x). 3. exp(0) =. On rppelle que toute fonction dérivble sur R est continue sur R. 2. On montré u cours de l démonstrtion du théorème que l fonction exponentielle ne s nnule ps sur R. Propriété (reltion fonctionnelle) Pour tous réels et b, exp(+b) = exp() exp(b). Démonstrtion Soient et b deux réels. Posons g(x) = f(+b x) f(x) où f est l fonction exponentielle. L fonction x f(+b x) pour dérivée x f (+b x) = f(+b x). Pr produit de fonctions dérivbles, g est dérivble sur R. Pour tout x R, g (x) = f (+b x)f(x)+f(+b x)f (x) = f(+b x)f(x)+f(+b x)f(x) = 0 Donc g est constnte sur R. g(0) = f(+b)f(0) = f(+b). g(b) = (+b b)f(b) = f() f(b). Comme g est constnte, g(0) = g(b), soit f(+b) = f() f(b). Conclusion : pour tous réels et b, exp(+b) = exp() exp(b). 44