Chapitre 3 : Développements limités

Chapitre 3 : Développements limités Table des matières Développement limité 2. Définition et eistence........................................ 2.2 Propriétés............................................... 4.3 DL des fonctions usuelles en 0 à l ordre n............................ 5 2 Opérations sur les développements limités 6 2. Somme et produit........................................... 6 2.2 Composition.............................................. 8 2.3 Quotient................................................ 8 3 Applications des développements limités 3. Calcul de limites........................................... 3.2 Position d une courbe par rapport à sa tangente....................... 4 Développement asymptotique 2 A Eercices 4 Dans ce chapitre, pour n importe quelle fonction, nous allons trouver le polynôme de degré n qui approche le mieu la fonction autour d un point. Plus précisément, on cherchera à décomposer toute fonction suffisamment régulière f autour d un point a donné sous la forme : f() = T n () + R n (), où T n est un polynôme de degré inférieur ou égal à n et R n est une fonction qui vérifie lim a R n () = 0. Décomposer de cette façon une fonction autour d un point a, c est faire un développement limité (DL) de cette fonction au point a à l ordre n. Le polynôme T n est appelé partie polynomiale du DL et la fonction R n est appelée le reste du DL.

Notations : Soient I R un intervalle ouvert, f I R une fonction et n N. Si f est dérivable et si la fonction f I R est aussi dérivable, on note f = (f ) la dérivée seconde de f. Plus généralement, on note pour tout n dans N f (0) = f, f () = f, f (2) = f... et f (n+) = (f (n) ). f est de classe C 0 sur I si f est continue sur I. On note f C 0 (I). f est de classe C n sur I si f est n fois dérivable sur I et si f (n) est continue sur I. On note f C n (I). f est de classe C sur I si n N, f C n (I). On note f C (I). On remarquera que pour tout n dans N, C (I) C n (I). Pour tout n dans N, on définit la factorielle de n par n! = 2... (n ) n avec la convention 0! =. Remarques ) Pour tout n dans N, on a les inclusions C n+ (I) C n (I) et C (I) C n (I). 2) Pour tout n dans N, n! = (n )! n. Développement limité. Définition et eistence Soient I un intervalle ouvert et f I R une fonction. Définition Pour a I et n N, on dit que f admet un développement limité au point a et à l ordre n si il eiste (n + ) réels c 0, c,..., c n et une fonction ɛ I R vérifiant lim ɛ() = 0 tels que pour tout a dans I f() = c 0 + c ( a) + c 2 ( a) 2 + c 3 ( a) 3 +... + c n ( a) n Partie polynomiale du DL + ( a) n ɛ(). Reste du DL Proposition Soient I un intervalle ouvert et a I. Si f est de classe C n sur I alors f admet un DL au point a à l ordre n, qui provient de la formule suivante dite de Taylor-Young : f() = f(a) + f (a)( a) + f (a) ( a) 2 +... + f (n) (a) ( a) n + ( a) n ɛ(), 2! n! où la fonction ɛ I R vérifie lim a ɛ() = 0. Remarque Le DL d une fonction f au point 0 à l ordre n s écrit de la façon suivante à l aide de la formule de Taylor-Young : où lim ɛ() = 0. f() = f(0) + f (0) + f (0) 2 2! +... + f (n) (0) n n! + n ɛ(). C est à dire de la forme ], a[, ]a, b[ ou ]b, + [ de R, avec a, b R, a < b. 2

Eemples. Soient a R et n N fiés. Donner le DL au point a et à l ordre n de la fonction f e. f() =... f(a) =..., f () =... f (a) =..., f () =... f (a) =..., f (n) () =... f (n) (a) =... R, e = f(a) + f (a)( a) + f (a) ( a) 2 +... + f (n) (a) ( a) n + ( a) n ɛ() 2! n! =............................................................................................. 2. Donner le DL de la fonction f ln( + ) au point 0 et à l ordre 4. f() =... f(0) =..., f () =... f (0) =..., f () =... f (0) =..., f (3) () =... f (3) (0) =..., f (4) () =... f (4) (0) =... f() = f(0) + f (0) + f (0) 2 2! + f (3) (0) 3 3! + f (4) (0) 4 4! + 4 ɛ() =... =... Les premiers polynômes de Taylor du DL de f en 0 sont : T 0 () =..., T () =..., T 2 () =..., T 3 () =..., T 4 () =... T 0, T, T 2, T 3, T 4 sont appelés respectivement polynômes de Taylor d ordre 0,, 2, 3 et 4. Notation : Le terme ( a) n ɛ() où ɛ() 0 est souvent noté o a(( a) n ) (se prononce «petit a o a» de ( a) n ). Cela signifie que o a (( a) n ) est une fonction qui vérifie la propriété : o a (( a) n ) lim = 0. a ( a) n La notation «petit o a» simplifie beaucoup les écritures. Lorsque a = 0, on écrit «o» plutôt que «o 0». Eemples. Pour tout dans R, 3 peut s écrire 3 = o( 2 ). En effet, lim 3 = lim = 0. 2 2. Le reste n ɛ() du DL d une fonction f au point 0 à l ordre n peut aussi s écrire n ɛ() = o( n ). 3

.2 Propriétés Proposition Si une fonction f admet un DL en un point, alors ce DL est unique. Proposition. Si f est paire alors la partie polynomiale de son DL en 0 ne contient que des monômes de degrés pairs (c est à dire : 0, 2, 4,..., 2n, n N).. Si f est impaire alors la partie polynomiale de son DL en 0 ne contient que des monômes de degrés impairs (c est à dire :, 3, 5,... 2n+, n N). Eemple On considère la fonction f cos() qui est de classe C (R). Elle admet donc un DL en 0 à l ordre 5 que nous allons déterminer. Pour tout proche de 0, on a : f() =... f(0) =..., f (2) () =... f (2) (0) =..., f (4) () =... f (4) (0) =..., f () =... f (0) =..., f (3) () =... f (3) (0) =..., f (5) () =... f (5) (0) =..., f() = f(0) + f (0) + f (0) 2 2! + f (3) (0) 3 3! + f (4) (0) 4 4! + f (5) (0) 5 5! + 5 ɛ() =................................................................................................... Commentaire : Comme f est paire, la partie polynomiale de son DL ne contient que des monômes de degrés pairs comme annoncé dans la proposition. 4

.3 DL des fonctions usuelles en 0 à l ordre n e = + + 2 2! + 3 n n +... + 3! n! + o(n ) = k k=0 k! + o(n ). ln( + ) = 2 2 + 3 n +... + ( )n+ 3 n + o(n ) = α R, ( + ) α = + α + α(α ) 2 +... + 2! + = + 2 3 +... + ( ) n n + o( n ) = = + + 2 + 3 +... + n + o( n ) = n k= k+ k ( ) k + o(n ). α(α )...(α n + ) n + o( n ). n! n k=0 n k=0 ( ) k k + o( n ). k + o( n ). sin() = 3 3! + 5 5! +... + ( )n 2n+ (2n + )! + o(2n+2 ) = cos() = 2 2! + 4 2n +... + ( )n 4! (2n)! + o(2n+ ) = tan() = + 3 3 + 25 5 + o(6 ). n k=0 n k=0 ( ) k 2k+ (2k + )! + o(2n+2 ). 2k ( ) k (2k)! + o(2n+ ). Proposition Une fonction f admet un DL au voisinage d un point a si et seulement si la fonction f( + a) admet un DL au voisinage de 0. Eemples. Donner le DL de f e en à l ordre n N. La fonction f est de classe C (R), elle admet donc un DL en tout point de R, à tout ordre n N. De plus, pour tout proche de, on a e = e + = e e = e e h en posant h =..., si est proche de, alors h est proche de... = e...... =...... =...... 5

2. Donner le DL de g sin() en π 2. La fonction g est de classe C (R), elle admet donc un DL en tout point de R, à n importe quel ordre n N. De plus, pour tout proche de π 2, on a : sin() = sin ( π 2 + π 2 ) = sin ( π 2 ) cos (π 2 ) + sin (π 2 ) cos ( π 2 ) = cos ( π ) = cos(h) en posant h =... proche de... lorsque proche de... 2 =...... =...... 2 Opérations sur les développements limités 2. Somme et produit Définition Soit n, p N avec n < p. Tronquer un polynôme de degré p à l ordre n consiste à conserver seulement les monômes de degrés n. Eemples. Tronquer le polynôme P 8 + 2 7 35 + 2 4 3 + 2 + à l ordre 5. On notera T 5 le polynôme obtenu. T 5 () =..................................................................................... 2. Tronquer le polynôme ( + 2 + 4 2 )( + + 3 ) à l ordre 2. On notera T 2 () le polynôme obtenu. ( + 2 + 4 2 )( + + 3 ) =... =... On a donc T 2 () =... Proposition On considère deu fonctions f et g qui admettent des DL en 0 à l ordre n : f() = c 0 +c +...+c n n + n ɛ () et g() = d 0 +d +...+d n n + n ɛ 2 (), avec lim ɛ () = lim ɛ 2 () = 0. Alors :. f + g admet un DL en 0 à l ordre n qui est donné par : où lim ɛ() = 0. f() + g() = (c 0 + d 0 ) + (c + d ) +... + (c n + d n ) n + n ɛ(), 6

. f g admet un DL en 0 à l ordre n qui est donné par où lim ɛ() = 0 et T n () est le polynôme f() g() = T n () + n ɛ(), (c 0 + c +... + c n n ) (d 0 + d +... + d n n ) tronqué à l ordre n. Eemples. Calculer le DL en 0 à l ordre 2 de f e + ln( + ). Les fonctions e et ln( + ) sont de classe C au voisinage de 0, on peut donc écrire leur DL en 0 à l ordre 2 : e =... et ln( + ) =... f() =... =... 2. Calculer le DL en 0 à l ordre 2 de g cos() +. Les fonctions cos() et ( + ) sont de classe C au voisinage de 0, on peut donc écrire leur DL en 0 à l ordre 2 : cos() =... et + =... En notant C() et D() les parties polynomiales des DL de f et g on a : C() D() =... =... =... En tronquant le produit C() D() à l ordre 2, on obtient : g() =................................. 3. Calculer le DL en 0 à l ordre 3 de la fonction h + ln( + ).............................. 7

2.2 Composition Proposition On considère deu fonctions f et g qui admettent des DL en 0 à l ordre n : f() = c 0 + c +... + c n n + n ɛ () et g() = d 0 + d +... + d n n + n ɛ 2 (), =C() =D() avec lim ɛ () = lim ɛ 2 () = 0. Si g(0) = 0 (c est à dire d 0 = 0) alors la fonction f g admet un DL en 0 à l ordre n dont la partie polynomiale est le polynôme tronqué à l ordre n de la composition C(D()). Remarque De façon plus générale, si g admet un DL en 0 à l ordre n et si f admet un DL en g(0) à l ordre n alors f g admet un DL en 0 à l ordre n. Il est obtenu en remplaçant le DL de g dans celui de f et en ne gardant que les termes de degrés inférieurs ou égau à n. Eemple Calculer le DL en 0 à l ordre 2 de la fonction h cos(ln( + )). On pose ici f u cos(u) et g ln( + ).On a bien (f g)() =... =... et g(0) =... =..., f g admet donc un DL en 0 à l ordre 2. On écrit le DL en 0 à l ordre 2 de f et g : f(u) = cos(u) =... et g() = ln( + ) =... donc les parties polynômiales du DL en 0 à l ordre 2 de f et g sont respectivement : C(u) =... et D() =... C(D()) =... =... f(u) = cos(u) =... =... Le polynôme tronqué à l ordre 2 de C(D()) est donné par T 2 () =...et finalement le DL de h en 0 à l ordre 2 est donné par h() =... 2.3 Quotient On considère deu fonctions f et g qui admettent des DL en 0 à l ordre n : f() = c 0 + c +... + c n n + n ɛ () et g() = d 0 + d +... + d n n + n ɛ 2 (), avec lim ɛ () = lim ɛ 2 () = 0. Pour calculer le DL du quotient f g nous allons utiliser le DL de + u = u + u2 u 3 +... + ( ) n u n + o(u n ) et la formule pour la composition de DL. On a 3 cas possibles : 8

Cas : Si d 0 =, on pose u = d +... + d n n + n ɛ 2 () et le quotient s écrit f g = f + u. Cas 2 : Si d 0 0 et d 0, alors on se ramène au cas précédent en écrivant g() = d 0 + d d 0 +... + dn d 0 n + n ɛ 2. () d 0 Cas 3 : Si d 0 = 0 alors on factorise par k (pour un certain k) afin de se ramener à l un des cas précédents. Eemples. Calculer le DL de h tan() en 0 à l ordre 3. On pose f() = sin() et g() = cos(). On écrit le DL de f et g en 0 à l ordre 3 : f() = sin() =... = B() + o( 3 ) et g() = cos() =... cos() f() = sin() = = f 2 g + u en posant u =... dont la partie polynomiale est D() =... =... = C(u) + o(...) C(D()) =... =... En tronquant C(D()) à l ordre 3 on obtient le polynôme T 3 () donné par T 3 () =... cos() = T 3 () + o( 3 ) =... B() T 3 () =... =... En tronquant B() T 3 () à l ordre 3 on obtient le polynôme T 3 () donné par T 3 () =... et finalement h() = T 3 () + o( 3 ) =... 9

2. Calculer le DL de h + en 0 à l ordre 4. On pose pour tout dans R f() = + et 2 + g() = 2 +. f et g sont des polynômes de degré... et on a : 2 + = 2 + 2 = 2 + u en posant u =... lorsque est proche de 0, u est proche de... + u =... On remplace à présent u dans la partie polynomiale par... et le reste o(u 4 ) par o(...) : 2 + =... comme on veut un DL à l ordre... on ne garde que les termes de degrés... Finalement =... h() =... =... =... 3. Calculer le DL de h sin() sh() en 0 à l ordre 3. On a sin() =... = c 0 + c + c 2 2 + c 3 3 + 4 ɛ () sh() =... = d 0 + d + d 2 2 + d 3 3 + 4 ɛ 2 () Comme d 0 =... et c, d 0 on va faire un DL de sin() et sh() à l ordre 3 + = 4. En effet, Le premier terme du DL de sh() est de degré, on a donc factorisé le dénominateur par. Comme on vise un DL d ordre 3, on fait un DL d ordre 3 + car on sait que l on va diviser par et perdre un ordre. sin() sh() =... =... =... =... en posant u =... 0

+ u =... =... =... sin() sh() =... =... =... 3 Applications des développements limités 3. Calcul de limites On cherche à calculer lim a f(). Si f admet un DL en a à l ordre n, alors et donc f() = c 0 + c ( a) +... + c n ( a) n + ( a) n ɛ() lim f() = lim (c 0 + c ( a) +... + c n ( a) n + ( a) n ɛ()) a a = c 0. arctan() Eemple Calculer lim sin(). On a arctan() sin() =... =... =...... 3.2 Position d une courbe par rapport à sa tangente Proposition Soit f I R une fonction admettant un DL en un point a I f() = c 0 + c ( a) + c k ( a) k + ( a) k ɛ(), où k est le plus petit entier 2 tel que le coefficient c k soit non nul. Alors une équation de la tangente à la courbe de f (notée C f ) en a est y = c 0 + c ( a) et la position de C f par rapport à la tangente pour proche de a est donnée par le signe de f() y : Si c k ( a) k > 0 alors C f est au dessus de sa tangente. Si c k ( a) k < 0 alors C f est en dessous de sa tangente. Si le signe de c k ( a) k change lorsque l on passe de < a à > a, alors la tangente traverse C f au point d abscisse a. On dit que a est un point d infleion.

Eemple On considère f 4 2 3 +. Déterminer l équation de la tangente de f au point d abscisse 2 et donner la position de la courbe de f par rapport à sa tangente. On a f () =..., f () =..., donc f ( ) =... et k =... 2 On en déduit le DL de f en /2 par la formule de Taylor-Young : f() =...... =... La tangente en 2 a donc pour équation y =... La position du graphe de f par rapport à y est donnée par le signe de... donc C f est... de y. 4 Développement asymptotique Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I =] 0, + [. On dit que f admet un DL en + à l ordre n s il eiste n + réels c 0, c,..., c n et une fonction ɛ I R tels que où lim + ɛ( ) = 0. f() = c 0 + c + c 2 2 +... + c n n + n ɛ( ) Eemple On considère la fonction f ln (2 + ). Admet-elle un DL en +? On remarque que f() = ln(2) + ln ( + 2 ) = ln(2) + ln( + u) en posant u =... quand est proche de... alors u est proche de... = ln(2) +... = ln(2) +... = ln(2) +... Le DL en + d une fonction nous permet d avoir une idée du comportement de celle-ci au voisinage de +. Lorsque + on a f() = ln(2) + ln ( + ) 2 ln(2). Comme le premier terme non nul après ln(2) dans le DL de f est positif pour grand, on en déduit que la courbe représentative C f de f est au dessus de son asymptote horizontale y = ln(2). 2

Remarques. Un DL en + s appelle aussi un développement asymptotique. 2. Dire qu une fonction f() admet un DL en + à l ordre n est équivalent à dire que la fonction h f( h ) admet un DL en 0+ à l ordre n. Proposition On suppose que la fonction f() f() = a 0 + a + a k k + k ɛ( ) où k est le plus petit entier 2 tel que le coefficient soit non nul. k admet un DL en + (ou en ) donné par lim f() (a 0 + a ) = 0 et + lim f() (a 0 + a ) = 0. La droite d équation y = a 0 + a est une asymptote à la courbe C f en + et en. La position de C f par rapport à son asymptote est donnée par le signe du terme a k. k 3

A Eercices Remarque Les eercices et questions précédés du symbole sont facultatifs et ne seront pas prioritairement corrigés en séance. Eercice.. Donner le DL en 0 à l ordre 4 des fonctions suivantes f cos(), f 2 ep( ) et f 3 e e. 2 2. Donner le DL en 0 à l ordre 3 de la fonction f 4 +. 3. Donner le DL en à l ordre 2 de la fonction f 5 3 9 + 4 + 3. 4. Donner le DL en 0 à l ordre 3 de f 6 e 2 2. 5. Donner le DL en 0 à l ordre 3 de f 7 3 +. 6. Donner le DL en 0 à l ordre 5 de f 8 e + e. 2 Eercice 2.. Donner le DL en 2 à l ordre 2 de f. 2. Donner le DL en à l ordre 7 du polynôme P 4. Eercice 3. Donner le DL en 0 à l ordre 4 de f Eercice 4. On considère f ], [ R définie par : Donner le DL en 0 à l ordre 3 de f. Eercice 5. f() = arctan ( ).. Calculer le DL en 0 à l ordre 3 de f + 2 cos(). sin(2) tan(). 2. Calculer le DL en 0 à l ordre 3 de f 2 ep( + 2 cos()). 3. Calculer le DL en 0 à l ordre 3 de f 3 ln( + sin()). 4. Calculer le DL en 0 à l ordre 3 de f 4 e +. 5. Calculer le DL en 0 à l ordre 6 de f 5 (ln( + 2 )) 2. 6. Calculer le DL en 0 à l ordre 3 de f 6 ln( + 2 ) 2 + tan(2 3 ). 7. Calculer le DL en 0 à l ordre 5 de f 7 ln( + 3 ) 3. 8. Calculer le DL en 0 à l ordre 4 de f 8 cos(sin()). Eercice 6. Pour chacune des fonctions suivantes : f ep(), g cos(2) et h cos() sin(2), + donner une équation de la tangente à la courbe C f en 0 puis déterminer la position de la tangente par rapport à C f au voisinage de 0. 4

Eercice 7. Pour chacune des fonctions suivantes : f ep() + e e 2 et g e e. 2 donner une équation de la tangente à la courbe C f en 0 puis déterminer la position de la tangente par rapport à C f au voisinage de 0. Eercice 8. Donner la limite en 0 de la fonction f définie sur ]0, [ par : f() = e 2. Eercice 9. Calculer les limites suivantes : lim sin() sin() lim + cos() sin() cos() lim 2 lim 2 tan() tan(2) sin 2 () e lim 2 cos 2 lim tan 2 () 2 lim 2 sin() Eercice 0.. Calculer la limite de ln() lorsque tend vers. 2. Calculer la limite de ln(sin()) (π 2) 2 lorsque tend vers π 2. Eercice.. Calculer le DL en + à l ordre 5 de f 2. 2. Calculer le DL en + à l ordre 2 de g ( + ). 4 3. Calculer le DL en + à l ordre 6 de h 2 +. Eercice 2. Calculer les limites suivantes : lim 2 + 2 + 2 + + lim + 2 (e e + ) lim 2 + 2 + 2 + lim ( + + ) lim + Eercice 3. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une équation de leurs asymptotes en ± et préciser la position de leurs graphes par rapport à ces asymptotes. 3 + f g + 2 3 2 + 2 h k 2 arctan ( + 2 + ) ϕ ( + 2) ψ 3 3 2 ξ + 2 + 2 arctan() 5