Spéciale PSI - Cors "Physiqe des ondes" 1 Oscillaers harmoniqes coplés Objecifs : Première approche d phénomène de propagaion Le modèle de milie conin. 1. Chaîne innie d oscillaers Chapire II : Phénomène de propagaion 1.1. Descripion d sysème Nos considérons ne le linéaire de masses ideniqes réglièremen espacées de a a repos. Nos spposons q il eise enre de masses adjacenes des forces élasiqes de rappel, proporionnelles à l allongemen de la disance qi les sépare ; nos modélisons ce coplage par n ressor de consane de raider spposé ideniqes por os les coples de masses. A repos la n ième masse occpe la posiion d abcisse n a. Nos noons n le déplacemen de la n ième masse par rappor à cee posiion à l éqilibre. m m i i1 i () i1 () i 1.. Phénomène de propagaion Dans la chaîne d oscillaers coplés, le déplacemen d ne masse indi ne force qi agi sr ses de oisins e les me en moemen. Ainsi de proche en proche les masses se meen en moemen. La déformaion se propage dans la chaîne : il y a propagaion d ne onde. Cee propagaion a por origine le coplage enre de granders : déplacemen e force. 1.3. Eqaion de propagaion Appliqons la deième loi de Newon à la n ième masse : m d n d e = F n1n F n1n = [(a n n1 ) l ide ] e [(a n1 n ) l ide ] e = ( n1 n n1 ) e Le moemen de la n ième masse érie l éqaion de propagaion : d n d = 0 ( n1 n n1 ) aec 0 = m L ensemble d phénomène es régi par n sysème d éqaions coplées (sysème comporan n nombre inni d éqaions). 1.4. Recherche des solions L éqaion de propagaion es ne éqaion linéaire, nos ilisons donc la noaion complee. Le sysème es consié d oscillaers coplés, nos cherchons donc ne solion oscillane sinsoïdale de plsaion ; nos admeons qe les solions son de la forme : n = Ue j e jnka où k a la dimension de l inerse d ne longer.
Physiqe des ondes. Chapire II : Phénomène de propagaion L éqaion de propagaion donne : (j) Ue jnka = 0 Ue j(n1)ka Ue jnka Ue j(n1)ka d où U = 0 0e j(n1)ka 0 e jnka 0e j(n1)ka =0 0 e jka e jka =0 ka =4 0 sin = m sin ka aec m = 0 = m Cee relaion enre k e es appelée relaion de dispersion. k e ne son pas indépendans. La relaion de dispersion impose m : il eise ne plsaion de copre m a delà de laqelle la propagaion de l onde n es pls possible : por > m l onde es aénée. la solion de l éqaion de propagaion es de la forme n () =U cos (kna ) ; por ne plsaion donnée, si k es ne solion de la relaion de dispersion alors por k p a aec p enier relaif (cee noelle aler érie encore la relaion de dispersion), n es inchangée. Nos choisissons alors po k la aler apparenan à l ineralle a, a. La relaion de dispersion es représenée sr le graphe ci-dessos : w/wm 1 0.75 0.5 0.5 -.5-1.5 0 0 1.5.5 ka Une aler posiie (respeciemen négaie) de k correspond à ne propagaion de l onde dans le sens des croissans (respeciemen décrossans).. Milie conins.1. Approimaion des milie conins D après le paragraphe précéden n () =U cos (kna ). Si la disance a enre de masses oisines es s3samen peie (ka ) alors n1 () n (). Nos poons alors considérer la foncion des de ariable (, ) dénie par : (, ) =U cos (k ) Nos aons alors n () =(na, ). la foncion (, ) esneonde monochromaiqe ; la foncion (, ) a de périodicié : ne période emporelle T =, ne période spaiale o longer d onde = k. nos aons (, ) =(, ) si k ( ) ( ) =k soi k =. La phase de l onde progresse donc à la iesse, appelée iesse de phase, = k : il s agi d ne onde progressie ; le ecer k = ke es appelé ecer d onde. Si la dimension a caracérisiqe d milie édié es faible dean la longer d onde des ondes qi s y propagen nos porrons iliser le modèle d milie conin.
Physiqe des ondes. Chapire II : Phénomène de propagaion 3.. Eqaion d onde de d Alember D après le paragraphe 1.3. l éqaion de propagaion s écri : d n d = 0 ( n1 n n1 ) en inrodisan la foncion (rappel : n () =(na, )) nos obenons : la formle de Taylor donne : d (na, ) d = 0 (((n 1) a, ) (na, )((n 1)a, )) ((n 1) a, ) =(na, ) a ((n 1)a, ) =(na, )a =na a! =na =na a! =na en reporan dans l éqaion de propagaion (na, ) = 0 (na, ) a (na, )a = 0 a =na a =na! =na a! =na =na (na, ) Dans l approimaion d milie conin ( a), l éqaion de propagaion des déformaions de la chaîne de masses coplées es l éqaion de d ALEMBERT (éqaion d onde à 1 dimension) 1 =0 éqaion de d ALEMBERT où = a 0 es ne iesse, grander caracérisiqe de la propagaion, égale à la iesse de phase e indépendane de la plsaion de l onde. Dans l approimaion d milie conin, la relaion de dispersion deien : = k relaion de dispersion Remarqe : dans l approimaion des milie conins on ne raaille qe dans la parie linéaire de la corbe de la relaion de dispersion. w/wm 1 0.75 0.5 0.5 0 -.5-1.5 0 1.5.5 ka Eercice n 01 : On édie la propagaion d onde le long d ne chaîne de pendles simples, ideniqes, de masse M e longer L, coplés par des ressors de raider K, représenés sr le schéma ci-desss. K On noera 0 = M e 0 = g L
Physiqe des ondes. Chapire II : Phénomène de propagaion 4 1) Qelle es l éqaion de propagaion lian les peis déplacemens n L n, n1 e n1 des erémiés des pendles? ) Qelle es la relaion de dispersion des ondes progressies monochromaiqes caracérisan cee propagaion? 3) Représener la relaion de dispersion en précisan la bande permise por les plsaions d oscillaions libres de la chaîne de pendles coplés. 4) Préciser la forme prise par ces réslas dans l approimaion des milie conins. 3. Solions de l éqaion de d Alember 3.1. Rappels 3.1.1. Ondes planes Une onde es caracérisée par n signal qi dépend de la posiion M e de l insan : (M,) o en coordonnées carésiennes (,y,z,). L onde es die plane si, à n insan é, elle ne dépend qe d ne sele coordonnée carésienne d espace. Une onde plane es donc de la forme (M,) =(, ). Dans ce cas, (M,) es niforme sr o plan normal à l ae (O), d où le nom d onde plane. L onde plane es de pls progressie qand le signal se propage dans n sens déerminé. 3.1.. Propagaion sans déformaion d ne onde plane progressie Soi (, ) n signal qi se propage sans déformaion le long des croissans à iesse consane. La drée de propagaion depis le poin =0es "() =/ e donc : (, ) =(0, "()) soi (, ) =(0, /) Ce signal es donc déerminé par ne foncion d ne sele ariable : (, ) =f() aec = / e f() =(0, ) Si l onde plane progressie se déplace dans le sens des décroissans alors : (, ) =g() aec = / e g() =(0, ) 3.. Forme générale des solions Démonrons qe la solion la pls générale de l éqaion d onde à ne dimension es d ype (, ) =f ( /)g ( /) =f ()g () Soi ne solion de l éqaion de d Alember. Nos recherchons la forme de l éqaion de d Alember aec les ariables e : d = d d = d d
Physiqe des ondes. Chapire II : Phénomène de propagaion 5 = = 1 = 1 = 1 1 de même : = = = = en reporan dans l éqaion de propagaion nos obenons : 1 = 0 1 L éqaion de d Alember s écri donc sos la forme simple : Par inégraion nos obenons : =0 =0 = F () (, ) = 1 F ()g () =f ()g () =0 Les ondes (, ) solions de l éqaion de propagaion nidimensionnelle de d Alember 1 =0 peen s écrire, de façon générale, sos la forme d ne sperposiion de de ondes planes progressies (OPP) : f ( /) se propagean à la iesse dans le sens des croissans, g ( /) se propagean à la iesse dans le sens des décroissans : (, ) =f g 3.3. Linéarié e condiions a limies L éqaion d onde de d Alember à ne dimension es linéaire : si 1 e son solions alors = 1 1 es égalemen solion. Ainsi, à parir de solions connes nos porrons consrire de noelles solions de l éqaion d onde saisfaisan à des condiions a limies e/o des condiions iniiales données. 3.4. Solions sos forme d ondes planes progressies monochromaiqes Nos recherchons des solions de l éqaion de d Alember sos forme de foncions sinsoïdales d emps. En noaion complee, s écri : (, ) =U () e j
Physiqe des ondes. Chapire II : Phénomène de propagaion 6 En reporan dans l éqaion de d Alember nos obenons 1 = 0 d U d U =0 U () = 0 e jk 0 e jk aec k =, 0 = 0 e j 0 e 0 = 0 e j 0 0 (, ) = e j 0 e jk 0 e j 0 e jk e j (, ) =e ( (, )) = 0 cos La solion de l éqaion de d Alember es bien de la forme : (, ) = f g = 0 cos k ' 0 Chacn des ermes es de la forme : s(m,) =s m cos k ' 0 0 cos 0 cos k ' 0 ± ' 0 = s m cos ('() ) k ' 0 Nos reconnaissons ne onde plane progressie monochromaiqe (cf. Modèle scalaire de la lmière - Chapire I : Ondes lmineses - 1.4. Cas d ne onde plane progressie monochromaiqe). Les ondes sinsoïdales d emps (, ) solions de l éqaion de propagaion nidimensionnelle de d Alember 1 =0s écrien sos la forme d ne sperposiion de de ondes planes progressies monochromaiqe (OPPM) : 0 cos k ' 0 se propagean à la iesse dans le sens des croissans, 0 cos k ' 0 se propagean à la iesse dans le sens des décroissans : (, ) = 0 cos k ' 0 0 cos k ' 0 La iesse de propagaion de l OPPM es égale à la iesse de propagaion de sa phase, o iesse de phase, donnée par la relaion de dispersion : = k Remarqe : comme nos l aons déjà dans le cors d opiqe ondlaoire, l onde progressie harmoniqe n es pas physiqemen réalisable car elle correspond à n signal à ariaions sinsoïdales sr n ineralle de emps endan ers l inni. Dans le cas d ne onde lminese par eemple, ne sorce monochromaiqe derai émere des rains d onde de drée innie, alors q ne sorce lminese réelle de larger specrale ) éme des rains d onde de drée nie " elle qe : " ) =1 " représene la drée pendan laqelle la phase à l origine de la sorce rese consane. 3.5. Solions sos forme d ondes saionnaires 3.5.1. Ondes saionnaires L éqaion d onde de d Alember adme en pariclier por solions les ondes planes progressies monochromaiqes sianes : 1 (, ) =U cos (k ) e (, ) =U cos (k ) La linéarié de l éqaion d onde perme de consrire ne noelle solion dénie par : (, ) = 1 (, ) (, ) =U [cos (k )cos(k )] L onde (, ) =U cos (k)cos() es donc solion de l éqaion de d Alember. Cee onde n es pls progressie : il n y a pls de propagaion pisqe os les poins de l ae O ibren en phase aec ne amplide foncion de l abcisse d poin considéré. Une onde saionnaire es ne onde don les dépendances is-à-is des ariables d espace e de emps son décoplées. Une onde saionnaire plane s écri sos la forme (en noaion réelle) : (, ) =F () G()
Physiqe des ondes. Chapire II : Phénomène de propagaion 7 3.5.. Solions saionnaires de l éqaion d onde Soi (, ) =F () G() ne onde plane saionnaire solion de l éqaion de d Alember : 1 d F = 0 G () d () 1 d F () G d () =0 1 d F F () d () = 1 1 d G G () d () Les ariables e éan indépendanes, les de membres de l égalié précédenes son consans :, 1 er cas : > 0 F e G son alors données par : 1 d F F () d () = 1 1 G () (, ) = d G d () = = cse d F F () =a 1 e a e G () =b 1 e b e a 1 e a e b 1 e b e d F =0 d G d G =0 es ne grander physiqe bornée donc b 1 =0;qand agmene (, ) end alors ers zéro, cee solion n es pas ne onde saionnaire. ème cas : =0 F e G son alors données par : F () =a1 a G () =b 1 b (, ) =(a 1 a )(b 1 b ) es ne grander physiqe bornée donc b 1 =0; es donc indépendane d emps, cee solion n es pas ne onde saionnaire. 3ème cas : < 0 F e G son alors données par : F () =a cos ' G () =b cos - (, ) = a cos ' b cos - (, ) =U cos (k ')cos( -) aec k = e = l epression précédene es bien l onde saionnaire d paragraphe 3.5.1. planes progressies monochromaiqes. obene par sperposiion de de ondes Eercice n 0 : Propagaion dans ne ligne bi)laire sans pere Une ranche in)niésimale d épaisser d d ne ligne élecriqe bi)laire pe êre modélisée par le schéma ci-desss, comporan ne indcance élémenaire dl = d e ne capacié élémenaire dc = d. On raie ce circi de faible dimension d dans l ARQS. 1) Éablir de éqaions a dériées parielles coplées relian l inensié i(, ) e la ension (, ). En dédire qe ces granders son solions d ne éqaion de d Alember nidimensionnelle e eprimer la célérié c correspondane.
Physiqe des ondes. Chapire II : Phénomène de propagaion 8 ) Dans le cas d ne onde plane progressie se propagean selon, monrer qe le rappor (, )/i(, ) es ne consane liée a caracérisiqes de la ligne. Qe a le même rappor por ne onde plane progressie se propagean selon?onferme en =0ne ligne semi-in)nie, s éendan de = à =0sr ne résisance R ; on néglige les phénomènes de propagaion dans R. A qelle condiion ne onde plane progressie pe-elle se propager selon sr cee ligne semi-in)nie? 3) Dans le cas o la ligne semi-in)nie es fermée en =0par n cor-circi e où ne onde plane progressie harmoniqe incidene i (, ) =A cos( k) es émise en =, déerminer la ension (, ) e le coran i(, ) enopoindela ligne.