Universié Paris IX Dauphine UFR Economie Appliquée Maîrise Economie Appliquée ECONOMETRIE II - SERIES TEMPORELLES PARTIEL FEVRIER 00 Noes de Cours Auorisées, Calcularices sans Mémoire Auorisées Durée : heures Objecif : Ce examen a pour objecif d éudier de façon succince les mécanismes d ajusemen de la balance commerciale dans le cadre d une applicaion sur données américaine. Plus pariculièremen, nous nous inéresserons à la porée des ajusemens liés aux variaions du aux de change : il s agira alors d évaluer la robusesse de la célèbre courbe en J. Ce examen sera mené en rois paries successives : - une modélisaion univariée de la balance commerciale des Eas-Unis sur la période de janvier 99 à novembre 00. - une modélisaion VAR incluan le aux de change réel moyen du dollar défini par rappor aux devises inernaionales majeures. Les données mensuelles proviennen du sie hp://www.economy.com/freelunch/defaul.asp Parie : Modélisaion Univariée ( poins) On cherche ici à proposer une modélisaion linéaire univariée pour la balance commerciale des Eas-Unis sur la période allan de janvier 99 à novembre 00 : les données son exprimées en milliards de dollars. Le bu de cee analyse préliminaire consise principalemen à définir ceraines propriéés saisiques de la balance commerciale (BC par la suie) e à les mere en relaion avec les principaux enseignemens de la héorie économique. Somme des séries TRBG.US (biens) e TRBS.US (services). Source : BOC, Inernaional Trade in Goods & Services - Exhibi 5.
Quesion n : (i) A parir du graphique de la BC, donnez vore diagnosic quan à la saionnarié du processus généraeur de données correspondan. Jusifiez précisémen vore réponse en reprenan les élémens de la définiion de la saionnarié du second ordre. ( poins) 0 0-0 -0-30 -40 9 93 94 95 96 97 98 99 00 0 BC (ii) Supposons que la BC soi issue d un processus DS, quelles seron les conséquences d un choc négaif (ou posiif) qui affecerai le solde de la BC iniialemen équilibrée? Quels son alors les implicaions de vore diagnosic sur les mécanismes d ajusemen possibles de la balance commerciale? ( poin) Quesion n : On cherche à présen à eser la saionnarié du solde de la BC américaine. (i) A parir des informaions suivanes, déerminez le nombre opimal de reards nécessaires dans le cadre d une sraégie de ess ADF. Jusifiez rès précisémen vore réponse. ( poins) ADF Modèle Modèle Modèle 3 p AIC SC AIC SC AIC SC 0 8.05 8.07 8.0 8.09 8.05 8.0 7.94 7.99 7.93 8.03 7.94 8.0 7.89 7.96 7.88 8.00 7.88 7.97 3 7.9 8.0 7.9 8.05 7.90 8.0 4 7.85 7.97 7.84 8.0 7.85 7.99 AIC : crière d Akaike, SC : crière de Schwarz, Modèle : modèle sans consane, ni rend. Modèle : avec consane. Modèle 3 : avec consane e rend.
(ii) Si l on praique dans ce cas à or un es DF simple, quel serai l ordre d auocorrélaion des erreurs e quelles seraien alors les conséquences de cee auocorrélaion? Jusifiez vore résula. ( poin, démonsraion bonus + poins) Quesion n 3 : On ese à présen la saionnarié de la balance commerciale grâce à un es ADF. (i) En uilisan les résulas ci-dessous proposez un diagnosic quan à la saionnarié de la série BC. Pour les différens ess, vous uiliserez des seuils correspondan à un risque de première espèce de 0% e vous donnerez la valeur de ces seuils. Vous jusifierez précisémen vore démarche (3 poins). 3
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Quesion n 4 : On admera pour la suie que les accroissemens du solde de la balance commerciale, noés suivan : avec ε i i. d. ( 0, σ ). ε x, son saionnaires e peuven êre représenés par le processus AR() x = γ x + γ x + ε e où les racines du polynôme ( ) supérieures à l unié en module, où L désigne l opéraeur reard. Φ L = γ L γ L son oues sricemen (i) Calculez l espérance du processus saionnaire ( ) x : en déduire une relaion enre ( ) x E e E, =,.., T. En posan x = 0 0, e en re marquan que x = x en déduire que l espérance du niveau de la balance commerciale x es nulle ( ) = 0 E ( poin) : x x (ii) Qu implique sur le plan économique la nullié de l espérance de la balance commerciale? Commen se fon alors les ajusemens? (.5 poin) (iii) Sachan que la BC es non saionnaire, au sens de la saionnarié du second ordre, e que ( ) = 0 E qu en déduisez vous? Quelles son les implicaions économiques? ( poin) x 5
Parie : Modélisaion VAR (0 poins) Dans cee parie, on se propose d éudier plus précisémen la dynamique joine des aux de change e de la balance commerciale américaine (BCB), afin d analyser les mécanismes d ajusemen correspondans (courbe en J). Le aux de change réel (EXR) es défini comme une moyenne pondéré des aux de change du dollar face aux principales devises inernaionales, base 00 en mars 973. On suppose que les séries BCB e EXR son issues de processus I(). Quesion n : (i) A parir des IRF suivanes, éablissez un premier diagnosic quan à la saionnarié du VAR() défini par X = ( BCB EXR )'. ( poins) Response o One S.D. Innovaions ± S.E. Response of BCB o BCB Response of BCB o EXR.0.0.5.5.0.0 - - -.0 3 4 5 6 7 8 9 0 -.0 3 4 5 6 7 8 9 0 Response of EXR o BCB Response of EXR o EXR.0.0.5.5.0.0 - - -.0 3 4 5 6 7 8 9 0 -.0 3 4 5 6 7 8 9 0 (ii) On suppose que les paramères du VAR() son els que : BCB.30 0.96 + BCB = EXR.83 0.96 EXR V + V Quelle es alors vore conclusion quan à la saionnarié du veceur X = ( BCB EXR )'? ces,, résulas son ils compaibles avec les hypohèses faies sur la saionnarié des composanes de (.5 poins) X? On considère ici uniquemen la série correspondan aux soldes d échanges de biens TRBG.US. Série TWDMJR$.US. Weighed Average Exchange Value of U.S. Dollar: Major Currencies Index - Real, (Mar73=00) 6
Quesion n : Inerpréez les ess de coinégraion suivans. Quelles son les conséquences de ces résulas sur la modélisaion du VAR? Quelle implicaions irez vous de ces résulas concernan les mécanismes d ajusemen de la BC par les changes? ( poins) e Quesion n 3 : On considère à présen un modèle VAR() en différences premières : X = B X + (i) Compe enu de l allure des IRF ci-dessous, indiquez l ordre dans lequel les variables EXR on éé placées dans le veceur X W BCB. Expliquez pourquoi ce ordre doi êre privilégié si l on désire analyser l impac des aux de change sur les mécanismes d ajusemen de la BC (en différences) (.5 poins) (ii) Analyser l IRF donnan la réponse des accroissemens de la BC à un choc posiif sur les accroissemens du aux de change. Rerouve-on un mécanisme similaire à une courbe en J? (.5 poins) 7
Response o One S.D. Innovaions ± S.E..5 Response of DBCB o DBCB.5 Response of DBCB o DEXR.0.0 - - -.0 3 4 5 6 7 8 9 0 -.0 3 4 5 6 7 8 9 0.5 Response of DEXR o DBCB.5 Response of DEXR o DEXR.0.0-3 4 5 6 7 8 9 0-3 4 5 6 7 8 9 0 Quesion n 4 : Compe enu des élémens précédens, quelles remarques feriez vous à l économère qui vous présenerai les résulas suivans? Donnez les élémens qui vous permeen de douer de la robusesse du résula selon lequel une appréciaion du aux de change (hausse de condui à une réducion du solde de la BC? ( poins) EXR ) 8
Quesion n 5 : Exise--il une relaion de causalié enre les accroissemens du aux de change e ceux du solde de la balance commerciale? ( poin) 9
Universié Paris IX Dauphine UFR Economie Appliquée Maîrise Economie Appliquée ECONOMETRIE II - SERIES TEMPORELLES CORRECTION PARTIEL FEVRIER 00 Durée : heures Parie : Modélisaion Univariée Quesion n : (i) Saionnarié ( poin) : Le processus généraeur de données associé à la balance commerciale américaine es probablemen non saionnaire. La condiion d invariance dans le emps de l espérance de la disribuion semble en effe violée. (ii) Ajusemens de la BC ( poin) : Si l on adme que la balance commerciale es issue d un processus non saionnaire, les innovaions on alors un effe permanen sur le niveau de cee variable. Ainsi, suie à une innovaion posiive ou négaive, il n y a pas de mécanisme de rarapage qui permee à erme à la balance commerciale de reourner à l équilibre. Si l on suppose qu iniialemen la balance commerciale es équilibrée, une innovaion posiive (négaive) condui alors à un solde excédenaire (déficiaire) jusqu à l infini des emps en l absence de ou aure choc aux daes posérieures. Cela revien à remere en cause l exisence des mécanismes d ajusemen endogènes, y compris les mécanismes d ajusemen par les changes comme la dévaluaion par exemple. Le reour à l équilibre ne peu se faire que si les innovaions son elles mêmes cenrées, auremen di s il n exise pas de dérive dans le processus. Le choc posiif sera alors compensé à erme par des chocs négaifs d ampleur équivalene. Quesion n : (i) Choix du reard opimal ( poins) : si l on considère les crières d informaion, quel que soi le modèle considéré, la minimisaion du crière d Akaike condui à reenir 4 reards, alors que le crière de Schwarz condui lui à reenir deux reards. Touefois pour les rois modèles, on observe que le minimum du crière d Akaike obenu pour 4 reards, es rès proche de la valeur de ce crière avec deux reards. Selon ces crières, on adopera ainsi deux reards (en privilégian le principe de parcimonie) e l on vérifiera ex-pos que cee srucure perme de blanchir les résidus du modèle.
Si l on observe mainenan le corrélogramme de la série différenciée, on vérifie que celle-ci présene le profil ypique d un processus AR(). L auocorrélaion parielle es nulle au delà de l ordre deux, andis que l auocorrélaion décroî de façon sinusoïdale (présence probable de racines complexes dans le processus auorégressif de DBC ). Dès lors, s il s avère ex-pos que la série BC es I(), le fai que son aux de croissance suive un processus AR(), confirmerai alors le fai que deux reards son nécessaires dans la procédure de es ADF pour blanchir les résidus. (ii) Auocorrélaion des résidus ( poin, démonsraion + poins) : Dans nore applicaion, il es nécessaire d inroduire deux ermes différenciés reardés pour blanchir les résidus : x = φx + γ x + γ x + ε avec ε brui blanc el que E ( ) = 0 e E( ε ε ) =, s ε s 0, E ( ) ε s = σ ε. Ce modèle peu se réécrire comme un modèle de ype AR(3) avec des innovaions brui blancs : x = φ x + φ x + φ3x 3 avec φ = + φ + γ, φ = γ γ e φ 3 = γ. Dans ce cas, si l on adope à or un es DF simple on se rédui à l éude d un AR() : où les résidus µ + ψ µ + ψ µ = ε ( x + µ = ρx µ son nécessairemen auocorrélés d ordre. En effe, si l on suppose que AR(3) avec résidus bruis blancs puisque : ε = + ε µ es alors auocorrélé d ordre ), on vérifie que le processus x es un ( x ρx ) + ψ ( x ρx ) + ψ ( x ρx ) 3 x = φ x + φ x + φ x 3 3 + ε avec φ = ρ ψ, φ = ψρ ψ e φ = ψ ρ 3. Ainsi, dans ce cas l applicaion à or d un es DF simple condui à une srucure où les résidus du modèle AR() son auocorrélés d ordre. Dès lors, les lois asympoiques uilisées pour les seuils des ess de racines uniaires (ables de Dickey Fuller) ne son plus valides. En les appliquan on risque de commere une erreur de diagnosic. Quesion n 3 : Tess ADF (3 poins) : On considère ou d abord le modèle : la réalisaion de la saisique de Suden vau 359. Elle es largemen supérieure à la valeur du seuil à 0% de cee saisique pour le modèle : à savoir.58 pour T=00. Donc on accepe l hypohèse nulle de racine uniaire. On es alors la nullié du coefficien de la consane condiionnellemen à la racine uniaire. On le vérifie dans le ableau suivan de l esimaion de l AR() où les invered AR roos (inverses des racines du polynôme auorégressif) son complexes.
La saisique de es F es définie à parir des élémens suivans : SCR = 367.96 e SCRC=385.067, T=5, k=4. On obien une réalisaion de F égale à.6934. Cee réalisaion es inférieure au seuil à 0% de la saisique F pour T=00, à savoir 3.86 : donc on accepe l hypohèse nulle de nullié du coefficien de la consane. On fai alors le es ADF dans le modèle. La réalisaion de la saisique de Suden es alors égale à.545. Elle es largemen supérieure à la valeur du seuil à 0% de cee saisique pour le modèle : à savoir.67 pour T=00. Donc on accepe l hypohèse nulle de racine uniaire. Ainsi, la série BC es issue d un processus comporan une racine uniaire, sans dérive de ype AR(3). L accroissemen DBC es quan à lui saionnaire e peu êre représené par un processus AR(). On vérifie d ailleurs que les deux racines inverses du processus AR() sur les différences premières son de module sricemen inférieures à l unié puisque (bonus + poin): 0. + i = 0. i = ( 0.) + ( ) = 574 < Quesion n 4 : (i) Espérance ( poins) : On sai que cenrée, saionnaire x = γ x saisfai une représenaion AR() x + γ x + ε. D où l on ire que ( x ) = µ E ( x ) = µ = = 0 avec Φ() 0 Φ() On en dédui que ( x ) = E( x x ) = E( x ) E( x ) 0 consane dans le emps : 0 = E, el que : E. D où l on ire que l espérance es E ( x ) E( x ) T =,.., = Or si l on pose x 0 = 0, on sai qu à la dae on a x = x, d où à cee dae E ( x ) = E( x ) 0. Donc on a bien ( x ) = E( x ) = 0 = E (ii) Nullié de l espérance (.5 poin) : sur le plan économique la nullié de E ( x ) implique qu en moyenne la BC es cenrée. Il exise donc un mécanisme d ajusemen de la BC, il ne peu pas exiser de défici ou d excéden durable. Touefois comme on l a vu, puisque la BC es non saionnaire, l ajusemen s explique ici par une absence de dérive e non pas par un mécanisme correceur dans la dynamique qui endrai à ramener la BC à l équilibre. Les chocs ε posiifs ou négaifs on des effes permanens, mais ces chocs son eux mêmes en moyenne cenrés : les chocs posiifs (dévaluaion de la monnaie par exemple) viennen compenser les effes négaifs anérieurs (appréciaion de la monnaie par exemple).on réfue donc ici l idée d un ajusemen de ype 3
courbe en J : l effe d une dévaluaion ne se modifie pas au cours du emps e ce effe sera permanen. (iii) Condiions de Saionnarié ( poins) : Si l on reprend les condiions de la saionnarié du second ordre, sachan que ( ) = 0 E x e que la variable deux condiions suivanes doi êre non saisfaie () soi ( h) = E( ) la condiion ( ) < x x es non saionnaire, cela signifie que une γ x x h dépend du emps e/ou () E n es pas saisfaie. Supposons que seule la première condiion soi violée (les momens d ordre deux exisen) alors cela implique en pariculier que la variance dépend du emps. Economiquemen, cela signifie que les flucuaions de la BC on une ampleur qui varie avec le emps e qui s accenue noammen dans des périodes de déficis prolongés. Parie : Modélisaion VAR Quesion n : (i) Saionnarié IRF ( poins) : on consae que suie à un choc que ce soi sur BCB ou sur EXR, les deux variables du sysème ne semblen pas converger vers leurs éas saionnaire respecifs. Il semble ainsi, sous réserve de confirmaion, que le VAR ne soi pas saionnaire. (ii) Saionnarié (.5 poins) : En calculan les racines de de ( AL) = 0 I, on obien : ( I Al) = ( 0.96*0.96 0.*0. ) L *0.96L+ 0 de = Dès une des deux racines es en valeur absolue inférieure à l unié λ =. 6 e λ =0. 9079 VAR es non saionnaire. Pour auan, on ici une seule racine uniaire, ce qui es incompaible avec le fai que les deux composanes du VAR (EXR e BCB) soien supposées I().. Le Quesion n : coinégraion ( poins) : le es de Johansen condui ici à acceper l hypohèse nulle qu il n y ai aucune relaion de coinégraion dans le sysème que ce soi à5% ou à % de risque de première espèce. On a donc deux variables non saionnaires qui ne parage pas de endance commune. On doi spécifier le Var en différences premières. BCB c BCB = + A EXR c EXR W + W En ermes économiques, dans une dynamique joine aux de change, balance commerciale, il n y a pas de force de rappel qui end à réablir l équilibre du niveau de la balance commerciale suie à une,, 4
innovaion, e en pariculier à une innovaion des aux de change. On n a pas de relaion de long erme enre le aux de change e le solde de la balance commerciale. Quesion n 3 : (i) IRF (.5 poins) : le fai que la réponse de nulle à la dae iniiale indique que le veceur X es défini comme X BCB à un choc sur EXR soi =( BCB EXR ). Dans ce cas, la méhode d orhogonalisaion des innovaions perme de faire un choc uniquemen sur la composane des innovaions de change orhogonale aux innovaions liées à la BC. Ainsi, compe enu du décalage emporel un choc sur la composane des innovaions de EXR orhogonal aux chocs sur la BC, n affecera l accroissemen de la BC qu à la dae +. Ainsi, on ne considère ici que l innovaion pure des changes (en différences) e l on observe l ajusemen qu il s en sui sur la BC (en différences elle aussi), sans engendrer de modificaion des aures composanes des innovaions de BCB. C es précisémen ce que l on veu faire dès lors que l on s inéresse aux mécanismes d ajusemen par les changes. (ii) IRF (.5 poin) : On observe qu un choc posiif sur EXR (augmenaion du aux de change, donc appréciaion ou réducion de la dépréciaion), condui en effe dans un premier emps à une augmenaion ransioire des accroissemens de la BC. Ce serai l équivalen des effes prix (réducion du coû des imporaions). Ce effe joue du er mois après le choc jusqu au 3 ème mois après le choc e décroî dès le ème. Au delà du 3 ème mois, on a exacemen l effe inverse. L appréciaion rédui les accroissemens du solde de la BC : les effes compéiivié dominen du 3 ème au 8 ème mois. Mais conrairemen à l analyse radiionnelle de la courbe en J, ce effe sur les accroissemens ne peu êre ransioire, puisque ces derniers son saionnaires. On reourne au delà de 0 périodes à un niveau d accroissemen sable (évenuellemen nul, si le processus es cenré). Quesion n 4 : (i) Spurious ( poins) : On es ici ypiquemen en présence d un phénomène de régressions fallacieuses puisque les deux séries uilisées son d une par non saionnaires (hypohèses) e d aure par non coinégrées (ess de johansen). Dès lors, on sai que la régression d une de ces variables sur l aure par les MCO condui noammen à une divergence des saisiques de Suden. Ici nous avons 8 observaions, ce qui expliquen sans doue le niveau pariculièremen élevé de la réalisaion de la saisique de Suden associée au es la nullié du coefficien de EXR. La seconde indicaion qui nous laisse penser qu il s agisse d un problème de régression fallacieuse es le niveau anaormalemen bas de la réalisaion de la saisique de Durbin Wason (86). Or on sai qu en présence d un el phénomène, la disribuion de cee saisique es dégénérée e qu elle converge en probabilié vers 0. 5