Mathématiques, Semestre S1

Polytech Pris-Sud PeiP1 2011/2012 Notes de cours Mthémtiques, Semestre S1 Filippo SANTAMBROGIO

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Tble des mtières 1 Les fonctions dns R et leurs limites 7 1.1 Fonctions réelles d une vrible réelle......................... 7 1.1.1 Qu est-ce que c est?.............................. 7 1.1.2 Définir une fonction pr des formules..................... 8 1.2 Limites finies en un point x 0 de R.......................... 11 1.2.1 Voisinges, ouverts, dhérence, fermés.................... 11 1.2.2 Définition de limite............................... 12 1.3 Propriétés........................................ 14 1.3.1 Unicité, gendrmes............................... 14 1.3.2 Quelques résultts utiles............................ 16 1.3.3 Opértions sur les limites........................... 16 1.4 Limites infinies et en l infini.............................. 17 1.4.1 Voisinges de l infini.............................. 17 1.4.2 Définition et opértions............................ 18 1.4.3 Limites infinies................................. 18 2 Continuité 21 2.1 Définition et premières propriétés des fonctions continues............. 21 2.1.1 Quelques théorèmes utiles........................... 22 2.2 Les gros théorèmes sur les fonctions continues.................... 24 2.2.1 Le théorème des vleurs intermédiires (TVI)................ 24 2.2.2 Mxim et minim............................... 25 2.3 Les fonctions réciproques et leur continuité..................... 27 2.3.1 Bijections et fonctions réciproques...................... 27 2.3.2 Injectivité, monotonie et continuité...................... 28 2.3.3 Fonction réciproques fondmentles..................... 30 3 Dérivées et fonctions dérivbles 32 3.1 Dérivée en un point et interpréttion géométrique.................. 32 3.2 Fonctions dérivbles sur un intervlle......................... 36 3.3 Extrem et points critiques.............................. 38 3.4 Rolle, TAF et pplictions............................... 39 3

4 Dérivées et développements limités 43 4.1 Dérivées d ordre supérieur............................... 44 4.2 Formule de Tylor et dévéloppements limités.................... 47 4.3 Exemples et pplictions................................ 50 4.3.1 Clculs de DL et de limites.......................... 51 4.3.2 Minim, mxim et DL............................ 54 5 Intégrles 56 5.1 Fonctions Intégrbles.................................. 56 5.2 Des clsses de fonctions intégrbles.......................... 60 5.2.1 Fonctions monotones.............................. 60 5.2.2 L intégrbilité des fonctions continues et l uniforme continuité....... 61 5.3 Le théorème fondmentl du clcul et l IPP..................... 63 5.4 Méthodes de clcul de primitives et intégrles.................... 66 5.4.1 Intégrles sur des intervlles spéciux (symétrie, périodicité)....... 66 5.4.2 Intégrtion pr prtie : récurrence et ruses spéciles............ 67 5.4.3 Des cs simples................................. 69 5.4.4 Chngement de vrible d intégrtion.................... 70 5.4.5 Fonctions rtionnelles............................. 72 5.4.6 Fonctions rtionnelles de fonctions trigonométriques............ 75 5.5 Applictions des intégrles ux développements limités............... 76 6 Courbes prmétrées plnes 78 6.1 Générlités....................................... 78 6.1.1 Vecteur vitesse et tngente.......................... 78 6.1.2 Distnce prcourue entre deux instnts................... 79 6.1.3 Exemples de trcés - Coordonnées crtésiennes............... 81 6.1.4 x(t) = t 2, y(t) = t 3, t R............................ 83 6.2 Courbes prmétrées en coordonnées polires.................... 83 6.2.1 Courbes en polires : générlités....................... 83 6.2.2 Un exemple : l crdioïde : r = 2(1 cos θ).................. 85 7 Fonctions réelles de deux vribles 86 7.1 Générlités....................................... 86 7.1.1 Fonctions, ensemble de définition....................... 86 7.1.2 Compositions.................................. 87 7.1.3 Représenttions grphiques.......................... 88 7.2 Limites et continuité.................................. 88 7.2.1 Boules, voisinges, prties ouvertes et fermées................ 88 7.2.2 Définition.................................... 89 7.2.3 Opértions................................... 90 4

7.3 Dérivbilité....................................... 90 7.3.1 DL d ordre 1.................................. 90 7.3.2 Dérivées prtielles............................... 92 7.3.3 Fonctions de clsse C 1 sur un ouvert du pln................ 94 7.3.4 Dérivées d ordre 2 et DL d ordre 2...................... 95 7.3.5 Dérivtion des fonctions composées...................... 95 7.3.6 Le théorème des fonctions implicites..................... 96 7.4 Recherche d extrem locux et globux........................ 97 7.4.1 Extrem locux et points critiques...................... 97 7.4.2 Conditions suffisntes à l ordre 2....................... 98 7.4.3 Extrem bsolus................................ 99 5

Avertissements Ces notes sont de support pour le cours de mthémtiques du premier semestre de l première nnée des élèves ingénieurs de Polytech Pris-Sud. Dns ce semestre, les cours de mths s rticulent en deux prties. Une première prtie, bizrrement ppelée MthsInfo dns l emploi du temps, porte sur l logique, les démonstrtions, les ensembles et les fonctions dns leur générlité, comme introduction à l rigueur mthémtique bstrite. Pour cette prtie, un poly prépré exprès pr S. Lelièvre et P. Pnsu est disponible. L deuxième prtie ( Mths dns l emploi du temps) porte sur les bses de l nlyse mthémtiques des fonctions d une vrible (limites, continuité, dérivées, intégrles...) vec quelques ouvertures ux deux vribles vers l fin. Pour cette 2e prtie, on utilisit trditionnellement le poly prépré pr J.-C. Léger et F. Menous pour l fc de sciences. Or, ce poly ne s dptit ps ux finlités ppliquées d un cours pour ingénieurs, et s ppuyit ussi sur certines notions qui nous sont, mlheureusement, interdites dns ce cours (c est notmment le cs des suites, que vous llez voir u 2e semestre, et du lngge du inf et du sup, bornes inférieure et supérieure, pour ceux qui connissent...). Il étit donc opportun de refire un nouveu poly spécifique à ce cours, et ce poly veut répondre à cette exigence. Tnt qu à fire, j en i églement profité pour modifier certines définitions ou pproches que je préféris chnger (il y, de temps en temps, en mths, des pproches différentes, qu est-ce qu on donne comme définition et qu est-ce que l on démontre ensuite...quelle est l définition meilleure...et on n est ps tout le temps d ccord!). Or, quels sont les vertissements? surtout que ce poly est en construction et que pendnt l nnée je pourris trouver des détils à chnger sur les prties que vous vez déjà reçues. Ces modifictions seront mises en ligne et seront, évidemment, utiles ux étudints des promotions futures. En prticulier il pourrit toujours y voir des futes de frnçis, et je m en excuse. Et, plus que des futes, des expressions qui me prissent tout à fit clires mis que tout frnçis trouverit incompréhensible. N hésitez ps à me les signler, pr e-mil ou en fin de cours. Sinon, le poly se bse surtout sur l ncien poly de Léger et Menous et sur des polys que j vis rédigés pour des cours que j vis donnés illeurs, des cours qui prtgeient vec celui-ci un esprit plus ppliqué. Il peut toujours y voir des erreurs dus u copie-coller mis surtout des problèmes d hrmonistion entre les différentes sources (nottions ou noms des vribles différents...) qui devrient s méliorer u fur et à mesure des corrections. Un dernier mot sur les preuves : bien que le but soit d pprendre des notions pour les ppliquer, l rigueur des mthémtiques reste nénmoins très importnte et il est églement importnt de svoir pourquoi certines choses sont vries. Voilà pourquoi il est importnt de voir les preuves. Mis tous les théorèmes ne trouvent ps de preuve dns ce poly et dns ce cours : si vous trouvez un théorème (ou proposition, lemme, corollire...) sns preuve, c est que s preuve nous demnderit un lngge ou des outils qu on n ps, donc on v l zpper tout en en grdnt l énoncé, qu on pourr utiliser. Il y églement des théorèmes dont l preuve est écrite dns le poly mis qu on ne détiller ps en clsse : si c est sûr dès le début du cours qu une certine preuve ser omise j i indiquée HP (= hors progrmme) ; d utres preuves pourrient être fites ou ps, d près le temps disponible. Dns ce cs, qund le type de risonnement est similire à d utres et le niveu de difficulté ussi, on pourrit pr exemple demnder à les reconstruire pr exercice (mis, ne vous inquiétez ps, un contrôle ne pourr ps se bser que sur ç). 6

Chpitre 1 Les fonctions dns R et leurs limites 1.1 Fonctions réelles d une vrible réelle Nous rppelons ici certines des notions qu on déjà vu à propos du concept de fonction en générl, celles qui sont plus spécifiques ux fonctions définies sur des ensembles de nombres réels et à vleurs nombres réels, et on préciser les notions dont on besoin dns le cdre de R. 1.1.1 Qu est-ce que c est? Commençons pr une définition informelle : nous vons à disposition deux ensembles de nombres réels, deux prties de R, l ensemble de tous les nombres réels, D et A. Une fonction, f, de D vers A est un «objet mthémtique» qui, à tout nombre, tout élément de D ssocie ou fit correspondre un unique élément de A. 1. D est ppelé l ensemble de déprt, l source ou le domine de définition de l fonction f 2. A est ppelé l ensemble d rrivée ou le but de l fonction f 3. Si x est un élément de D, on note f(x) l élément de A ssocié à x pr l fonction f. Cet élément f(x) est ppelé l imge de x pr f. 4. Si on écrit «Soit une fonction f : D A...», on entend pr là «Considérons une fonction f, dont l ensemble de déprt est D et l ensemble d rrivée est A», et, à moins que ce ne soit précisé ultérieurement, cette fonction n ucune propriété prticulière hormis le fit d être un objet qui stisfit à notre définition informelle. L fonction f est «de vrible réelle» cr le domine dns lequel vrie son rgument, s source, est une prtie de R. Elle est «à vleurs réelles» cr son but est une prtie de R. Si on écrit «Soit l fonction f : [0, 1] R définie pr f(x) = 2x 2 1 pour tout x [0, 1]», on considère un objet mthémtique uniquement défini : l fonction f, dont l ensemble de déprt est l intervlle [0, 1], l ensemble d rrivée est R tout entier, qui ssocie à tout élément x de [0, 1] l unique nombre réel clculé pr l formule ci-vnt. On doit souligner que si f : D A est une fonction, si x est un nombre n pprtennt ps à D lors f(x) n est ps défini. Dns l exemple précédent f(2) n donc ps de sens même si 2 2 2 1 en un. 7

Grphes Plçons-nous dns le contexte précédent. Soit f : D A une fonction réelle de vrible réelle. Son grphe est l prtie G de l ensemble-produit 1 D A définie pr G = {(x, f(x)), x D} = {(x, y) D A, y = f(x)} G est donc l ensemble de tous les couples possibles formés d une vleur x prise dns D et de son imge f(x). G est une prtie de l ensemble D A qui est lui-même une prtie de R R = R 2. On représente grphiquement (une prtie de) R 2 sur une feuille qudrillée de l fçon que vous connissez bien : le couple de réels (x, y) est représenté pr le point de coordonnées (x, y) reltivement u qudrillge. L usge veut que l xe des bscisses (coordonnée x) soit représenté horizontlement, orienté de l guche vers l droite et que l xe des ordonnées (coordonnée y) soit représenté verticlement, orienté du bs vers le hut. Certines situtions peuvent forcer à dopter d utres conventions. En retournnt notre mnche, on peut mintennt préciser l «objet mthémtique» dont nous prlions dns l définition informelle de fonction. Définition 1.1.1. Soient D et A deux prties de R, une fonction f de D vers A est une prtie G de D A ynt l propriété suivnte : Pour tout x D, il existe un unique y A tel que (x, y) G. L stuce réside en ceci, qu étnt donnée une telle prtie G, on peut définir, pour x D, f(x) comme étnt l unique y A tel que (x, y) G. On lors défini sns mbiguïté une fonction f : D A. Il s vère posteriori que G est le grphe de f. Ce que dit l définition, c est très exctement qu une fonction f, c est son grphe. L usge montre cependnt qu utiliser le grphe de l fonction est ssez mlcommode lors que l nottion f(x) est très prlnte. Composition L opértion l plus importnte que l on puisse réliser vec deux fonctions est leur composition : On dispose de deux fonctions f : A B et g : C D. Si pour tout élément x de A, f(x) (qui est élément de B coup sûr) pprtient à C, on peut lors clculer g(f(x)). On peut donc ssocier à tout x A, g(f(x)) D et donc définir une nouvelle fonction, notée g f, dont l source est A et le but est D. En résumé, si f : A B et g : C D sont deux fonctions, l composée g f : A D est définie pr (g f)(x) = g(f(x)), x A Cette définition n de sens que si f(x) C, l source de g, pour tout x A, l source de f. Dès que l on écrit une formule imbriqunt des fonctions élémentires, on est en trin de fire un certin nombre de compositions. 1.1.2 Définir une fonction pr des formules L fçon l plus usuelle de définir une fonction d une vrible, disons x, est d utiliser un dictionnire de fonctions élémentires (exp, ln, cos, etc.), les opértions usuelles de l rithmétique, 1. D A est l ensemble de tous les couples (x, y) pouvnt être formés vec une vleur x dns D et une vleur y dns A. 8

et de combiner tout ceci en une formule comportnt l vrible x et pouvnt être clculée pour certines vleurs de cette vrible. Exemples et remrques 1.1.1. 1. L locution Soit f : [ 1, 1] R l fonction définie pr f(x) = exp(x 2 + 3) pour tout x [ 1, 1] définit prfitement l fonction f. On f(0) = e 3, f(1) = e 4, etc. Pr contre f(2) n est ps défini même si l formule définissnt f un sens lorsque x = 2 : on imposé que le domine de définition de f soit l intervlle [ 1, 1]. L formule doit, d une prt, être syntxiquement correcte et d utre prt, on doit être en mesure d identifier les vleurs de l vrible x pour lesquelles le clcul ne peut boutir. Les risons pour lesquelles ce clcul ne peut boutir sont pr exemple, une division pr 0, l prise du logrithme d un nombre négtif... 2. C est ce type de problème qui nous menés, plus hut, à donner une condition sur les fonctions f : A B et g : C D pour que l composée g f soit bien définie sur tout A. Déterminer l ensemble de définition d une telle formule, c est identifier les vleurs de l vrible x pour lesquelles le clcul boutir. C est ussi, en un certin sens, identifier le domine source de l fonction que nous sommes en trin de définir. Ce type de question mène souvent à l résolution, en cscde, d une suite d équtions et/ou d inéqutions en se bsnt sur le principe que f(g(x)) n est défini pour une certine vleur de x qu à prtir du moment où, à l fois, y = g(x) est bien défini et f(y) est bien défini. 3. On veut définir une fonction g à vleurs réelles sur un certin domine D de R pr l formule g(t) = ln(t 2 1), pour tout t D L question pertinente est «Quel est le plus grnd domine D possible sur lequel on peut définir cette fonction g?» Pour que g(t) soit défini, il fut (et il suffit) que { et () t2 1 > 0 cr le domine de définition de ln est ]0, + [. (b) ln(t 2 1) 0 cr le domine de définition de est [0, + [. On tombe donc sur un système d inéqutions d inconnue t R qu il fut résoudre. Ce système est équivlent à { et () t > 1 ou t < 1 (b) t 2 1 1 cr ln X 0 si et seulement si X 1 c est-à-dire { () t > 1 ou t < 1 et (b) 2 t 2 Pour résumer, on donc D = [ [ ] 2, 1 1, ] 2. 4. On peut utiliser des définitions pr morceux. On pose l même question que précédemment en voulnt définir g sur un domine D de R pr l formule, pour tout t D, { ln(t g(t) = 2 1) si t > 0 tn t si t ] π, 0[ Pour que g(t) soit défini, il fut (et il suffit) que { et () soit t > 0 et ln(t 2 1) est bien défini (b) soit t ] π, 0[ et tn t est bien défini 9

c est-à-dire { et () soit t > 0 et t (b) Soit t ] π, 0[ et t π 2 [ [ ] 2, 1 1, ] 2 (on se sert ici de l exemple précédent) En résumé, le domine D cherché est ] D = π, π [ ] [ π ] 2 2, 0 1, ] 2 (quel est le domine de définition de l tngente?) Les fonctions usuelles plus utiles Nous rppelons ici le rôle joué pr certines fonctions (ou formules) qu on rencontrer souvent, et qu on déjà rencontrées dns ce chpitre. Les polynomes : c est peut-être les expressions qu on connit le mieux, celles où l on prend l vrible x et on en clcule une puissnce entière x n = x x x (où le produit n fcteurs, tous égux à x) ; si ensuite on prend plusieurs de ces expressions, on les multiplies fois des coefficients et on les joute, on trouve un polynome, de l forme, 0 + 1 x + 2 x 2 + + n x n (les coefficients i étnt des nombres réels). Les rcines et les puissnces rtionnelles : que signifie-t-il x 1/n? il signifie qu on prend le nombre tel que, élevé à l puissnce n, on retrouve x, c est-à-dire n x, pour respecter les propriétés des puissnce et fire en sorte que (x 1/n ) n = x. Ce nombre n est ps bien défini tout le temps : si n est impire ucun problème, pour tout x il existe unique un nombre y tel que y n = x, mis si n est pire 1) cel mrche juste pour x 0 2) pour tout x > 0 il y même deux nombres (de signe opposé) vec cette propriété. On choisit lors, pr convention, d indiquer pr n x celui qui est non-négtif, et cette expression n un sens que si x 0. Et que signifie-til x p/q (puissnces rtionnelles)? il signifie juste q x p. Pour éviter des problèmes de définition on préfère dire que cel n est défini que pour x > 0. Pourquoi? prce qu on voudrit bien que x 1/3 désigne l même quntité que x 2/6. Or, l deuxième, s gissnt d une rcine sixième (et 6 étnt pire) donne toujours un résultt positif, et elle est même définie si x < 0 prce que de toute mnière on prendr l rcine sixième de x 2. Ceci ne colle ps vec le comportement de x 1/3, mis il n y ps d mbiguité si on s limite à x 0. Et pourquoi ps x = 0? prce que ç poserit des problèmes pour p < 0 (et si on considère que p/q = ( p)/( q), ç poserit toujours des problèmes). Les exponentielles : Tout d bord prlons de x α, vec α R. considérons x > 0 : lors on peut toujours définir x r pour tout r rtionnel. Pr une procédure de limite, qu on ne définit ps ici, en prennt des rtionnels r qui pprochent α, on peut définir x α ussi (comme l limite des puissnces rtionnelles qund les exposnts ont α comme limite). Cel nous permet de définir toutes les puissnces vec bse positive et exposnt quelconque. Alors on peut églement mettre le x en hut et considérer x (vec > 0). Prmi toutes les fonctions de ce type 2 x, 3 x, 0.001 x...il y en une spécile : c est e x, qui est souvent ppelée LA fonction exponentielle et on écrit ussi exp(x). Ce nombre e = 2, 71828183... est un nombre irrtionnel qui plusieurs propriétés, dont une est le fit que l dérivée (on verr ensuite de quoi l on prle) de l fonction e x est elle-même 2, c est-à-dire c est encore l fonction e x. Ce même nombre est ussi l limite (là ussi, on en prler dns ps longtemps) de (1 + x) 1/x lorsque x > 0 pproche 0. L fonction e x est strictement croissnte (ce qui est le cs de toute fonction x pour > 1, prce qu on prend un nombre plus grnd que 1 et on l élève à x, donc si x ugmente le résultt ugmente, u contrire de ce qui se psse pour des petits) et elle est donc inversible. Son inverse s ppelle le logrithme mis on en prler ensuite. 2. et cel est à l bse de plein de blgues mtheuses sur les fêtes des fonctions ou similires, que vous connissez sns doute 10

Sinus et cosinus : Ces deux fonctions ont une origine géométrique : prenez un cercle de ryon 1 centré en (0, 0) dns le pln ; bougez dns le sens contrire des iguilles d une montre en prcournt une longueur x à prtir du point (1, 0) (pr exemple, si vous prenez x < 2π vous n vez ps terminé un tour complet, pour x > 2π vous pouvez éventuellement fire plusieurs tours) ; regrdez où vous rrivez et ppelez cos x (cosinus de x) l bscisse du point où vous êtes rrivées et sin x (sinus de x) son ordonnée. Ceci est une définition géométrique, qui montre bien que ces fonctions sont périodiques (si vous rjoutez 2π à x vous ne fites que rjouter un tour, ce qui ne chnge ps votre point d rrivée). Elle cche d utres propriétés, dont probblement l plus importnte est le fit que, si x tend vers 0, lors sin x/x tend vers 1 : on peut s en convincre ussi pr cette définition, si nous considérons que pour x très petit le déplcement qu on fit est petit mis surtout presque verticl ; il est donc vri que l distnce prcourue et l ordonnée d rrivée sont presque l même chose. D utres fonctions trigonométriques : Avec sinus et cosinus on peut construire ensuite plein d utres fonctions, dont l plus importnte est l tngente : tn x := sin x/ cos x. Seul problème : diviser pr 0. L tngente ser donc définie sur les points où cos x 0 seuls, c està-dire en tout point suf ceux de l forme π/2 + kπ vec k entier (prce qu vec π/2, i.e. un qurt de tour, on rrive vec bscisse nulle, et cel reste vri en rjoutnt un nombre entier de demi-cercles). D utres fonctions, et notmment les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques, et ben sûr le logrithme, seront importntes ussi, mis on v les présenter qund on prler un peu plus en détils des fonctions réciproques. 1.2 Limites finies en un point x 0 de R L notion de limite est à l bse de l nlyse. Nous llons rppeler les résultts vus en Première et Terminle et préciser quelques notions. 1.2.1 Voisinges, ouverts, dhérence, fermés On commence pr une définition essentielle pour les limites. Définition 1.2.1. Un ensemble V R est un voisinge d un point x 0 R s il existe un intervlle du type ]x 0 h, x 0 + h[, vec h > 0, contenu dns V. Exemples et remrques 1.2.1. 1. Un intervlle ], b[ est voisinge de chcun de ses points 2. ]0, 1] est voisinge de tout x 0 ]0, 1[. Il n est ps voisinge de 1. 3. Soit A = R. A est voisinge de x 0 si x 0 0. A n est ps voisinge de 0. L notion de voisinge est utile pour définir ce qu un point dhérent à un ensemble. Définition 1.2.2. Soit A R un ensemble quelconque et x 0 R. On dit que x 0 est dhérent à A si pour tout voisinge V de x 0 il y un point y A V. Exemples et remrques 1.2.2. y = x 0 ). 1. Tout point x 0 A est dhérent à A (il suffit de prendre 2. Être dhérent à A ne signifie ps forcément pprtenir à A, mis plutôt être collé à. Notmment les bornes d un intervlle ouvert sont dhérentes à ce même intervlle. 3. Les points d dhérence de Q sont tous les points de R. Tnt qu à fire, on peut églement donner l définition d ensemble ouvert et d ensemble fermé, deux définitions qui vont être importntes à plusieurs reprises. 11

Définition 1.2.3. Soit A un sous-ensemble de R. On dit que A est ouvert si il est un voisinge de tous ses points : utrement, dit, si pour tout x A il existe un ryon r > 0 tel que ]x r, x+r[= {y R : x y < r} A. On dit que A est fermé si son complémentire est ouvert. Exemples et remrques 1.2.3. 1. L définition d ensemble ouvert générlise l notion d intervlle ouvert ( sns ses bornes ) à des ensembles qui ne sont ps des intervlles). Une réunion de plusieurs intervlles ouverts est ouverte, pr exemple, et cel vut ussi pour les réunions infinies. 2. L ensemble A =]0, [ n est ps fermé cr son complémentire n est ps voisinge de x 0 = 0. Pr contre l ensemble A = [0, [ et plus en générl tout intervlle ou demi-droite qui inclut ses points extremux est fermé. 3. Il ne fut ps penser que tout ensemble est soit ouvert soit fermé : pr exemple l ensemble [0, 1[ n est ni ouvert ni fermé et l ensemble vide est en même temps ouvert et fermé (et R ussi). L notion d ensemble fermé est en effet liée à l notion de points d dhérence. En effet, notons Ā l ensemble des points d dhérence de A : Nous vons lors Ā = {x R : V voisinge de x on V A }. Proposition 1.2.1. Pour tout A R, l ensemble Ā est le plus petit ensemble fermé contennt A. En prticulier, un ensemble A est lui même fermé si et seulement si Ā A, c est-à-dire si et seulement s il contient tous ses points d dhérence. Démonstrtion. HP Il fut d bord montrer que Ā est fermé. Prenons son complémentire : c est l ensemble des points x tels qu il existe un voisinge V de x vec V A =. Or, pr définition de voisinge, il y un h > 0 tel que ]x h, x + h[ V et V est églement un voisinge de tout point y ]x h, x + h[. Donc ]x h, x + h[ est inclus dns le complémentire de Ā ussi, qui est donc ouvert (prce que pour tout x Ā il y h > 0 tel que ]x h, x + h[ est inclus dns ce complémentire. Il fut ensuite montrer que c est le plus petit fermé contennt A. Soit lors F un fermé contennt A. Prenons x F c (dns le complémentire de F ). F c est ouvert donc c est un voisinge de x. Mis F c F = donc, fortiori F c A = (cr A F ). Alors F c est un voisinge de x disjoint de A, donc x / Ā. Cel montre que tout point de Ā doit pprtenir à F, et donc Ā F. Mis lors c est vri que Ā est le plus petit fermé contennt A. L deuxième prtie suit fcilement : A est fermé si et seulement si il coïncide vec le plus petit fermé qui le contient, donc vec Ā. Mis comme il est toujours vri que A Ā on peut églement dire que A est fermé si et seulement si Ā A. 1.2.2 Définition de limite Définition 1.2.4. Soit l R, f : D R et x 0 un point d dhérence de D. On dit que f dmet l limite l en x 0, ou que l limite de f(x) lorsque x tend vers x 0 (sous-entendu et x D ) est l si Pour tout voisinge V de l, il existe un voisinge U de x 0 tel que, pour tout x U D, f(x) V. 12

On note ce fit lim x x0 f(x) = l ou f(x) l lorsque x x 0, ou f(x) x x 0 l. Si on trduit les définitions de voisinge à l ide des intervlles, on rrive à l définition suivnte, équivlente : Pour tout ε > 0, il existe un δ > 0 tel que pour tout x D ]x 0 δ, x 0 +δ[ on f(x) ]l ε, l+ε[, ce qui peut être encore réécrit comme Pour tout ε > 0, il existe un δ > 0 tel que pour tout x D stisfisnt x x 0 < δ on f(x) l < ε. Il est souvent utile de restreindre, dns l définition de limite, l fonction f à un ensemble de définition plus petit. Etnt donné un ensemble B on peut définir l limite lim x x0,x B f(x) en demndnt l condition Pour tout voisinge V de l, il existe un voisinge U de x 0 tel que, pour tout x U D B, f(x) V. Ceci revient à chnger le domine de définition de f en prennt D B u lieu de D (ce qui est toujours possible, de restreindre le domine). Ceci est prticulièrement utile qund on veut pr exemple exclure le point x 0 (prendre B = R \ {x 0 }), pour ignorer l vleur excte prise pr l fonction en ce point, et ne considérer que le comportement de f(x) lorsque x est proche de x 0 en en étnt distinct 3 Dns ce cs on écrit lim x x0, x x 0 f(x) = l. il est utile de remrquer que, souvent, le point x 0 est utomtiquement exclu de l limite prce qu il n pprtient ps u domine D : il est en effet beucoup plus intéressnt déterminer lim x 0 x, où l frction n est ps définie en 0, que de clculer lim x 0 sin x + (3x + sin x 2) 4 e x, limite d une expression prfitement définie en 0, qui donne sin 0 + 4 e 0 = 3, sns ucune surprise. il est églement utile de remrquer que, si x 0 D et qu on ne l exclut ps, lors l seule vleur possible de l limite l est bien f(x 0 ) (exercice!!). cependnt, comme on le verr dns l prtie dédiée à l continuité, l première question qu on se pose est justement l limite pour x x 0 est égle ou non à f(x 0 )?, question qu on peut se poser en retirnt ou non le point x 0. En effet (le démontrer pr exercice!!) on peut vérifier que lim f(x) = l lim f(x) = l ET f(x 0 ) = l, x x 0 x x 0, x x 0 et donc pour vérifier que l limite fsse bien f(x 0 ) on peut se contenter de regrder l limite vec B = R \ {x 0 }. considérer l limite d un seul côté (limite guche ou droite) ; ceci revient à prendre B = ]x 0, + [ ou B =], x 0 [. On écrit lors lim x x0, x>x 0 f(x) = l (mis prfois on écrit églement lim x x + f(x) = l) ou lim x x0, x<x 0 f(x) = l ( lim 0 x x f(x) = l). En effet l définition 0 de limite s pplique lorsqu on trville sur une fonction f et que l on s intéresse à l fois à ce qui se psse à droite et à guche de x 0, lors que les limites droites et guches nous permettent de séprer les deux côtés. 3. Dns certins textes celle-ci est l définition de limite en x 0, c est-à-dire celle qui exclut utomtiquement le point x 0. Ce n est qu une convention, ce qui est importnt est de clrifier toujours quels sont les points qu on prend en considértion, et ici nous choisissons de considérer le point x 0 ussi. Il y des vntges et des désvntges dns ce choix, bien entendu. 13

Pr exemple f : R + R, x f(x) = x x n ps de limite en 0 mis exhibe une certine régulrité séprément à droite et à guche de 0. En effet, les deux limites à guche et à droite existent, l limite globle non. g : ] 3, + [ R, x g(x) = 3 + x n est définie qu à droite de 3 mis g(x) un comportement régulier lorsque x s pproche de 3 pr l droite. Dns ce cs clculer l limite à droite ou l limite globle, du fit de l intersection vec D, revient u même, mis souvent on préfère préciser qu on ne prle que d une limite en s pprochnt pr l droite. Au niveu de nottion, nous omettons en générl d indiquer l ensemble sur lequel nous prenons l limite, s il coïncide juste vec le domine de l fonction f, suf si ce domine n est ps clire à priori. On ne verr donc ps d écritures lim x x0,x D f(x) = l. Il peut cependnt y voir des exceptions si le domine D est inttendu, n ps été introduit uprvnt et n est ps évident à deviner ; pr exemple : si on considère l fonction f(x) = sin x sur les points x Q uniquement, lors probblement on écrir lim x x0,x Q sin x, juste pour préciser u lecteur le domine. Les notions de limites droite et guche peuvent être utile lorsqu il s git de triter le cs d une fonction définie pr une lterntive du fit du résultt suivnt Proposition 1.2.2. Soit f une fonction réelle de vrible réelle définie sur D et x 0 D. Sont équivlentes les propositions suivntes 1. l est limite de f(x) lorsque x x 0, x x 0 2. l est l limite à droite de f(x) lorsque x x 0, mis ussi l limite à guche de f(x) lorsque x x 0. Eglement, les propositions suivntes sont équivlentes 1. l est limite de f(x) lorsque x x 0 2. l est l limite à droite de f(x) lorsque x x 0, mis ussi l limite à guche de f(x) lorsque x x 0, et f(x 0 ) = l. DL à l ordre 0 Proposition 1.2.3. Étnt donnée f : D R une fonction définie sur D, x 0 D et l R, f tend vers l en x 0 si et seulement si, il existe une fonction ɛ, définie u voisinge de 0, lim h 0 ɛ(h) = 0 telle que Pour tout x u voisinge de x 0, f(x) = l + ɛ(x x 0 ) Le fit d écrire, pour x voisin de x 0, que f(x) = l+ɛ(x x 0 ) s ppelle effectuer un Développement Limité de f à l ordre 0 en x 0. Nous verrons, u chpitre??, ce qu est un DL de f en x 0 à un certin ordre n N. 1.3 Propriétés 1.3.1 Unicité, gendrmes Unicité Proposition 1.3.1. Soit x 0 D, l, l R et f : D R une fonction définiesur un ensemble dont x 0 est point d dhérence. Si lors lim f(x) = l et x x 0 lim f(x) = l x x 0 14

l = l Démonstrtion. Supposons que l l, on peut lors trouver V et V des voisinges respectivement de l et l tels que V et V sont deux prties disjointes (pr exemple il suffit de prendre deux intervlles du type ]l ε, l + ε[ et ]l ε, l + ε[ vec ε < l l /2). De l définition de f(x) l lorsque x x 0, on tire l existence d un voisinge U de x 0 tel que si x U D, lors f(x) V et, de même, de l définition de f(x) l lorsque x x 0, on tire l existence d un voisinge U de x 0 tel que si x U D, x x 0, lors f(x) V. Puisque U U est encore un voisinge de x 0 (il contient le plus petit des deux intervlles centrés en x 0 qui étient contenus en U ou U ), du fit que x 0 est dhérent à D on trouve l existence d un point y U U D. L contrdiction provient du fit que son imge f(y) est donc à l fois dns V et V, ce qui est impossible. Théorème des gendrmes Proposition 1.3.2. Soit x 0 R, f, g, et h trois fonctions à vleurs réelles définies sur D, et x 0 D, telles que pour tout x D, f(x) g(x) h(x). Alors 1. Si f, g, h ont pour limites respectives l, m, n en x 0, on l m n 2. Si f et h ont même limite l en x 0, g dmet l comme limite en x 0. L preuve de 1. est bsée sur le même risonnement que l preuve d unicité. Si on suppose que m < l, on prend ε tel que m + ε < l ε ; ensuite on peut trouver un point y dns un certin voisinge de x 0 tel que f(y) > l ε > m + ε > g(y), ce qui pporte une contrdiction. L preuve de 2. n est ps différente, mis le point importnt est le fit que l existence de l limite de g n est ps supposée dns les hypothèses, elle est déduite du comportement de f et h. Exemples et remrques 1.3.1. 1. Cette proposition fournit l méthode fondmentle pour montrer que f(x) l lorsque x x 0. Il suffit de trouver une mjortion du type f(x 0 + h) l ɛ(h) pour h voisin de 0 où ɛ est une fonction de limite 0 en 0. On peut en générl prendre une telle fonction ɛ dns une liste de fonctions de référence : pr exemple ɛ(h) = C h α vec α > 0, C une constnte positive. 2. Pr exemple, montrons que l fonction f : R R définie pr f(x) = x 2 + 2x + 3 pour limite f(1) = 6 en x 0 = 1. On f(1 + h) f(1) = (1 + h) 2 + 2(1 + h) 1 2 2 = h(2 + h) + 2.h = h(4 + h) On trville pour h voisin de 0, on peut donc supposer que h 1. On donc, pour ces h, f(1 + h) f(1) 5 h Comme l expression à droite de cette inéglité définit une fonction ɛ(h) de limite 0 en 0, on donc démontré que lim f(x) = f(1) x 1 15

Fonctions de références Les fonctions suivntes sont des exemples fondmentux de fonctions de limites nulle en 0. 1. Soit α > 0. L fonction f : R R, x f(x) = x α pour limite 0 en 0. 2. L fonction g : R R, x x.(ln x ) pour limite 0 en 0. 3. Soit α > 0, β R. L fonction h : R R, x x α. ln x β pour limite 0 en 0. 1.3.2 Quelques résultts utiles f bornée loclement Proposition 1.3.3. Si f dmet une limite l R en x 0 lors il existe un voisinge U de x 0 tel que f est bornée sur U D. Il suffit pour cel de considérer le voisinge V = ]l 1, l + 1[ de l et d ppliquer l définition de limite. Positivité sur un voisinge Proposition 1.3.4. Si f dmet une limite l > 0 en x 0 lors f(x) > 1 2l > 0 pour tout x U D (U étnt un certin voisinge de x 0 ). En prticulier f reste positive sur U D. Il suffit pour cel de considérer le voisinge V = ]l/2, 3l/2[ de l et d ppliquer l définition de limite. 1.3.3 Opértions sur les limites En générl, on connît un certin nombre de limites de fonctions «simples» : polynômes, exponentielles, etc... et, comme les fonctions que nous étudions sont pour l pluprt obtenues grâce à des sommes, produits, quotients, etc... de ces fonctions simples, on veut pouvoir clculer des limites grâce à des moyens «opértoires». Dns tous les énoncés suivnts, que nous dmettons, f, g sont des fonctions définies sur un domine dont x 0 est un point d dhérence. Somme Si lors lim f(x) = l et x x 0 lim g(x) = m x x 0 lim (f + g)(x) = l + m x x 0 Produit Si lors lim f(x) = l et x x 0 lim g(x) = m x x 0 lim (f.g)(x) = l.m x x 0 16

Quotient Si lim f(x) = l et x x 0 lim g(x) = m x x 0 et m 0 lors, l fonction f/g est définie sur un certin voisinge de x 0 (plus précisément, sur l intersection de ce voisinge vec les domines de définition de f et g) et l on lim (f/g)(x) = l/m x x 0 Composition Proposition 1.3.5. Soient f : D R, g : D R deux fonctions réelles d une vrible réelle, définies sur D et D, respectivement, et x 0, y 0 deux réels. Supposons que x 0 est un point d dhérence de D et que D est un voisinge de D. 1. Si lim x x0 f(x) = y 0, 2. si lim y y0 g(y) = l, lors g f est définie sur l intersection d un voisinge de x 0 vec D et lim x x 0 (g f)(x) = l. Démonstrtion. On considère h = g f. L première question concerne l bonne définition de h u voisinge de x 0. Pour que h soit bien définie en un point x il est nécessire et suffisnt que f(x) D. Or, nous svons que D est un voisinge de y 0 et que l limite de f en x 0 est bien y 0. Pr définition de limite, il existe un voisinge U de x 0 tel que pour tout x U D on f(x) D. Ceci montre que h est bien définie sur U D. Le même type de risonnement nous donne l limite cherchée. Soit W un voisinge de l : comme l limite de g en y 0 est l, on sit qu il existe un voisinge V de y 0 tel que pour tout y V, g(y) W. D utre prt, à ce voisinge V correspond, d près l définition de lim x x0 f(x) = y 0, un voisinge U de x 0 tel que pour tout x U D on f(x) V. Ceci implique h(x) = g(f(x)) W. Conclusion : étnt donné W voisinge de l, on donc trouvé un voisinge U de x 0 tel que pour tout x U D, h(x) := g(f(x)) est dns W : c est exctement l définition du fit que l limite de h(x) lorsque x x 0 est l. Cel revient, dns l prtique cournte, à effectuer un chngement de vrible, y = f(x). sin x Exercice : On rppelle que lim x 0 x = 1. En déduire, en utilisnt les formules trigonométriques d ngle double et les règles opértoires sur les limites que 1 cos x lim x 0 x 2 = 1 2. 1.4 Limites infinies et en l infini 1.4.1 Voisinges de l infini Définition 1.4.1. Soit V une prtie de R, on dit que 1. V est un voisinge de + si V contient un intervlle du type ], + [, pour un certin R. 17

2. V est un voisinge de si V contient un intervlle du type ], [, pour un certin R. Pour pouvoir définir les limites en ± in ser lors nécessire de dire qund + (ou ) est dhérent à un ensemble A. Or, en ppliqunt l définition d dhérence vec les vosinges, on trouve que + est dhérent à A si et seulement si A n est ps borné supérieurement (et donc pénètre dns toute demi-droite ], + [) et que est dhérent à A si et seulement si A n est ps borné inférieurement (et donc pénètre dns toute demi-droite ], [). 1.4.2 Définition et opértions Définition 1.4.2. Soit f : D R définie sur un domine D non borné supérieurement, l un réel. On dit que l limite f en + est l si Pour tout voisinge V de l, il existe un voisinge U de + tel que, pour tout x, si x U D, f(x) V. On note ceci pr lim x + f(x) = l ou f(x) l lorsque x +. Exemples et remrques 1.4.1. en. 2. On encore unicité de l limite, sous réserve d existence. 1. On évidemment une définition nlogue pour l sitution 3. L définition de f(x) 0 lorsque x + s écrit donc, u cs où f est définie sur un voisinge de +, Pour tout ɛ > 0, il existe R tel que pour tout x ], + [, f(x) < ɛ. Fonctions de référence Les fonctions suivntes sont des exemples fondmentux de fonctions de limites nulle en +. 1. Soit α > 0, l fonction f : R R, x 1 x α 2. Soit α > 0, l fonction f : R R, x ln x x α = x α pour limite 0 en ±. = x α ln x pour limite 0 en ±. 3. Soit α R, β > 0, l fonction f : R R, x x α e x β pour limite 0 en ±. Opértions Concernnt les opértions et les limites en +, les résultts vus sur les limites usuelles restent vlbles en remplçnt systémtiquement lim x x0 pr lim x +. 1.4.3 Limites infinies Il s git, dns ce prgrphe, d exprimer le fit que l limite d une fonction en un point x 0, à guche où à droite ou en ± puisse être l un des deux infinis. Nous ne donnons que l une des définitions, le schém générl de telles définitions devnt être mintennt fmilier : Définition 1.4.3. Soit f : D R une fonction définie sur D et x 0 D un point d dhérence de D ;on dit que f dmet + comme limite en x 0 si 18

Pour tout voisinge V de +, il existe un voisinge U de x 0 tel que pour tout x U D, f(x) V. De mnière similire on peut définir des limites droites ou guches en x 0 ynt vleur ±, ou exclure le point x 0... Ce qui est importnt est le critère suivnt, qui résume tous les cs : Définition générle pour les limites : si on une fonction f : D R et x 0, l R {± } (x 0 étnt dhérent à D) on dit que l limite de f lorsque x x 0 est l si pour tout voisinge V de l il existe un voisinge U de x 0 tel que, pour tout x U D on f(x) V. Fonctions de référence Les fonctions suivntes sont des exemples fondmentux de fonctions de limites infinies. Les exemples ci-dessous relèvent de ce que l on ppelle les «croissnces comprées», du logrithme, de l exponentielle et des fonctions puissnces, voir l prtie?? du chpitre?? pour des justifictions de ceci. 1. Soit α > 0, l fonction f : R R, x 1 x α = x α pour limite + en 0. 2. L fonction f : R R, x 1 x pour limite + en 0+ et en 0. 3. L fonction f : R R, x ln x pour limite en 0 et + en ±. 4. Soit α R, β > 0, l fonction f : R R, x x α e + x β pour limite + en ±. Proposition 1.4.1 (Composition et limites infinies). Si lim y + g(y) = l où l est soit un nombre, soit l un des symboles ou +, si lim x x0 f(x) = +, lors. lim g(f(x)) = l x x 0 Exemples et remrques 1.4.2. 1. On le même type d énoncé vec g(y) l lorsque y, f(x) lorsque x x 0. 2. On peut remplcer les «x x 0» pr des limites lorsque x ± ou lorsque x x ± 0. 3. L preuve de cette proposition est sur le même cnevs que l preuve de l composition pour les limites finies, proposition 1.3.5. Quelques remrques finles concernnt les opértions On vu les règles opértoires concernnt les limites finies et leur comportement vis à vis des opértions. Qund l une des limites est infinie ou qund on ne tombe ps dns l un des cs décrit, on tombe sur ce que l on ppelle une forme indéterminée. Il s git lors de trviller un peu plus pour «lever» cette indétermintion. Quelques exemples de formes indéterminées (lorsque x x 0 ) : 1. f(x) +, g(x), f(x) + g(x)?? 2. f(x) ±, g(x) ±, f(x) + g(x)??, f(x)/g(x)?? 3. f(x) 0, g(x) 0, f(x)/g(x)?? 4. f(x) 0, g(x) +, f(x).g(x)?? Il y pr contre un certin nombre de règles combinnt limites finies et infinies qui sont à connître 19

1. f(x) +, g(x) +, f(x) + g(x) +, f(x).g(x) + 2. f(x), g(x), f(x) + g(x), f(x).g(x) + 3. f(x) l, g(x) +, f(x) + g(x) +, () Si l > 0, f(x).g(x) +, (b) si l < 0, f(x).g(x), (c) si l = 0, indétermintion. 4. f(x) l, g(x) ±, f(x)/g(x) 0 5. f(x) l > 0, g(x) 0 + (cel signifie que g reste positive u voisinge du point considéré), f(x)/g(x) + Voici, sur un certin nombre d exemples et de techniques pour lever ces indétermintions sin x 1. 0/0, lim x 0 x = 1, c est à connître et une preuve de ceci ne peut reposer que sur l définition même de l fonction sinus (si on utilise l définition géométrique qu on donnée, cel revient à vérifier certines propriétés géométriques du cercle). 7x 2. + / +. lim 2 3x+2 x + = 7 3x 2 +5 3. Ici numérteur et dénominteur tendent vers + (pourquoi est-ce vri du numérteur?). L technique consiste à fctoriser en hut et en bs l plus grnde puissnce, qui est le terme dominnt lorsque x dns une expression polynomile. On donc, pour x ssez grnd, 7x 2 3x + 2 3x 2 + 5 = x2 x 2.7 3 x + 2 x 2 3 + 5 x 2 Les règles opértoires indiquent qu lors l deuxième frction tend vers 7 3. 3. +. lim x + ( x 2 + x + 1 x) = 1 2 (expression conjuguée, puis technique précédente) 4. 0. (3x 2 x + 2) sin 1 3 lorsque x + x 2 5. Les techniques de développements limités du chpitre?? seront fondmentles pour l levée des indétermintions. 20

Chpitre 2 Continuité 2.1 Définition et premières propriétés des fonctions continues Définition 2.1.1. Soit D un sous-ensemble de R. Une fonction f : D R est dite continue u point x 0 D si l limite lim x x0, x D f(x) existe et est égle à l vleur f(x 0 ). De fçon équivlente, on peut dire que f est continue u point x 0 si pour tout ε > 0 il existe un δ > 0 tel que tout x D vec x 0 x < δ stisfit ussi f(x 0 ) f(x) < ε (cel vient de l définition de limite). Une fonction est dite continue si elle est continue en tout point de son domine de définition D. Exemples et remrques 2.1.1. 1. Attention qu ici il est nécessire que x 0 pprtienne à D et ps seulement à D (prce qu il fut comprer l limite à l vleur f(x 0 )). 2. On peut remrquer que d près cette définition toute fonction f est continue en tout point isolé de son ensemble de définition. Si pr exemple D = [0, 1] {2} l fonction f est sûrement continue u point 2 cr pour tout ε > 0 il suffit de choisir δ = 1/2 : de cette fçon le seul point x D vec x 2 < δ = 1/2 ser le point 2 lui-même et l condition f(x) f(2) < ε ser verifiée cr f(x) = f(2) (une conséquence de x = 2)! 3. Les fonctions ln, exp, x x α, les fonctions trigonométriques usuelles sont continues en tout point de leurs ensembles de définition respectifs. 4. De ce qui été dit sur les limites, on pr exemple que toute fonction polynomile définie sur R est continue en tout x 0 R. Lorsque l fonction f n est ps définie en x 0, on dit qu on ne peut ps prler de continuité de f en x 0. Cependnt, pr un mécnisme de prolongement, on peut prfois obtenir une «vrinte» de f, une extension de f, qui est continue en x 0. Proposition 2.1.1. Soit f : D R, et x 0 D \ D. Sont équivlentes les ssertions suivntes 1. Il existe une fonction g : D {x 0 } R, continue en x 0, égle à f sur D. 2. lim x x0 f(x) = l R existe (et est réelle). Dns ce cs, l fonction g est unique, elle est définie pr g(x) = f(x), si x D, g(x 0 ) = l = lim x x 0 f(x). g est ppelée le prolongement pr continuité de f u point x 0. Exemples et remrques 2.1.2. 1. L fonction «sinus crdinl», utile en tritement du signl, est définie, pour x R pr sinc(x) = sin x x si x 0, sinc(0) = 1. Il s git du prolongement pr continuité en 0 de l fonction définie pr x R \ {0} sin x 21 x.

2. f(x) = x sin 1 x est prolongeble pr continuité en 0 cr f(x) 0 lorsque x 0, x 0. 3. On entend prfois dire que l fonction f(x) = 1/x est discontinue, ou qu elle une discontinuité en 0. Cel est fux : elle est une belle fonction qui est continue en tout point de son domine D = R \ {0} ; le point 0 n pprtient ps u domine. Pr contre, son problème est que l limite en 0 n existe ps (elle une limite droite + et guche, ce qui donne un double problème, que les deux limites ne sont ps finies, et qu elles sont différentes), et cel empêche d en fire un prolongement pr continuité en 0. On peut églement définir l continuité à droite et à guche en un point x 0. Définition 2.1.2. Soit f : D R une fonction définie sur un domine comprennt x 0 D. On dit que f est continue à droite en x 0 si lim x x 0 x>x 0 f(x) = f(x 0 ). On une définition semblble concernnt l continuité à guche. Exemples et remrques 2.1.3. 1. Soit H définie sur R pr H(x) = 1 si x 0, H(x) = 0 si x < 0. H est continue à droite, elle n est ps continue à guche. 2. Soit H définie sur R pr H(x) = 1 si x > 0, H(x) = 0 si x 0. H est continue à guche, elle n est ps continue à droite. Proposition 2.1.2. Une fonction est continue en un point x 0 si et seulement elle y est continue à guche et à droite. Exercice : étudier, suivnt les vleurs du prmètre réel, l continuité en 0 de l fonction f : R R définie pr { sin 2x f(x) = x si x < 0 x + si x 0 Indiction : L limite à guche en 0 de cette fonction est 2, s limite à droite y est, qui est pr illeurs s vleur en 0, f est donc continue en 0 si et seulement si = 2. 2.1.1 Quelques théorèmes utiles On peut reformuler pour les fonctions continues en un point x 0, les résultts énoncés lors de l étude des limites. Proposition 2.1.3. Si f est continue en x 0 lors f est bornée sur un voisinge de x 0. Proposition 2.1.4. Si f est continue en x 0 et f(x 0 ) > 0, lors f(x) > 1 2 f(x 0) pour tout x dns un certin voisinge de x 0, et elle est donc positive sur ce même voisinge. Proposition 2.1.5. Si f et g sont continues en x 0, il en est de même de f + g et f.g ; et, pourvu que g(x 0 ) 0, f/g est définie u voisinge de x 0 et est continue en x 0. Proposition 2.1.6. Si f : D R est continue en x 0 D, y 0 = f(x 0 ), g : D R est continue en y 0 et D est un voisinge de y 0, lors h = g f est bien définie sur un voisinge de x 0 et est continue en x 0. L preuve est l même que pour l composition des limites. Démonstrtion. L preuve est l même que pour l composition des limites. Nénmoins, on peut en donner une utre, bsée sur le DL à l ordre 0, prce que nous utiliserons l même technique 22

de preuve lors de l proposition 3.1.5 pour prouver l énoncé concernnt l dérivée d une fonction composée. L continuité de g en y 0 = f(x 0 ) implique l existence d un DL d ordre 0 de g en y 0, i.e il existe une fonction η, η(0) = 0, continue en 0 telle que, pour tout y dns un voisinge V de y 0, on g(y) = g(y 0 ) + η(y y 0 ). De même, l continuité de f en x 0 implique l existence d un DL d ordre 0 de f en x 0, i.e il existe une fonction ɛ, ɛ(0) = 0, continue en 0 telle que, pour tout x dns un voisinge U de x 0, on f(x) = f(x 0 ) + ɛ(x x 0 ). On peut pr illeurs supposer que si x U, f(x) V quitte à restreindre l ensemble U. On peut donc substituer f(x) à y dns l première églité pour obtenir que pour tout x U, h(x) = g(y 0 ) + η(f(x 0 ) + ɛ(x x 0 ) y 0 ) = h(x 0 ) + (η ɛ)(x x 0 ). L fonction η ɛ est nulle en 0 et est continue en 0 (voir à ce propos l énoncé de composition de limites), on donc obtenu un DL de h en x 0 à l ordre 0 qui prouve que h est continue en x 0. Nous terminons cette prtie vec quelques remrques sur l notion de continuité sur un ensemble ou sur un intervlle. En effet, qund on une fonction f : D R et un sous-ensemble B D, il ne fut ps confondre, u vu des définitions qu on données, f est continue en tout point de B (en considérnt f comme une fonction sur D mis en regrdnt s continuité sur certins des points de D, ceux qui pprtiennent à B et l restriction de f à B est continue. Pr exemple, si f : [0, 3] R est définie pr f(x) = 1 si x [1, 2] et f(x) = 0 si x / [1, 2], en prennt D = [0, 3] et B = [1, 2] on est dns l sitution suivnte : tout point de B n est ps un point de continuité (f n est ps continue en 1, ni en 2) ; pourtnt si on restreint f à B on obtient l fonction constnte 1, qui est donc continue. En prticulier, on peut remrquer que, qund le sous-ensemble B est un intervlle [, b] D, l continuité de l restriction équivut à l continuité de f (considérée comme une fonction sur D) en tout point de ], b[ ccompgnée de l continuité à droite en et à guche en b. Ce qui est différent de l continuité en tout point de [, b]. Proposition 2.1.7 (Recollement). Soient I et J deux intervlles fermés ynt un seul point commun. Soit f : I J R une fonction dont l restriction à I, insi que l restriction à J, sont continues. Alors f est continue sur l intervlle I J. Il suffit de voir que dns cette sitution, comme I et J sont non triviux, est un point intérieur à l intervlle I J. Pr illeurs, les limites à guche et à droite de f en coincident toutes deux vec f(). En conclusion f dmet f() pour limite en. Proposition 2.1.8. Si I est un intervlle de R non trivil, f, g, fonctions à vleurs réelles sont continues sur I lors 1. f + g est continue sur I, 2. f.g est continue sur I, 3. si g ne s nnule ps sur I, f/g est continue sur I. Proposition 2.1.9. Soient I et J deux intervlles de R. Si f, à vleurs réelles, continue sur I, g, à vleurs réelles, continue sur J. Si, pour tout x I, f(x) J, l composée h = g f est continue sur I. 23

2.2 Les gros théorèmes sur les fonctions continues Nous présentons ici deux théorèmes importnts sur les fonctions continues qu il nous est, héls, interdit de démontrer... 2.2.1 Le théorème des vleurs intermédiires (TVI) Ce théorème montre l une des propriétés plus importntes et intuitives des fonctions continues, qui colle bien vec l idée une fonction est continue si on peut trcer son grphe sns lever le cryon. En prticulier, si on prend l feuille où l on trce le grphe et on l sépre en deux prties pr une droite horizontle (prllèle ux bscisses), pour psser d une région à l utre il fudr bien trverser (et donc croiser) l droite elle même. Nous llons en donner plusieurs versions. Théorème 2.2.1 (TVI 1). Soit g une fonction, à vleurs réelles, continue sur un intervlle I de R,, b I. Si g() et g(b) sont non nuls et de signes opposés, il existe lors c, strictement entre 1 et b tel que g(c) = 0. Ce théorème correspond à l énoncé qu on vient de donner en termes de cryons et grphes, si on considère l droite {y = 0}. Il des pplictions très puissntes, si on construit bien l fonction uquel on veut l ppliquer. Exercice : Montrer qu il existe un nombre c ] 0, π 2 [ tel que c = cos 2 c. On peut évidemment donner une version plus générle. Théorème 2.2.2 (TVI 2). Soit I un intervlle de R, f à vleurs réelles, continue sur I,, b I. Si y est entre f() et f(b), il existe lors x entre et b tel que f(x) = y. Démonstrtion. Soit y un nombre entre f() et f(b). Il s git de se mettre en position pour ppliquer le théorème 2.2.1. Il suffit de considérer l fonction g définie pr g(t) = f(t) y pour t I cr une solution de l éqution g(x) = 0, x I est une solution de f(x) = y, x I et réciproquement. Soit donc, si f() y et f(b) y (l utre cs se trite de mnière similire), g(t) = f(t) y cette fonction est continue sur I, g() = f() y 0, g(b) = f(b) y 0 et donc il existe c entre et b tel que g(c) = 0 et donc f(c) = y. Ainsi qu une version plus bstrite, qui porte sur l définition d intervlle (un concept qu on toujours utilisé sns jmis bien se poser l question). Donc, tout d bord, qu est-ce qu un intervlle? on peut dire qu un intervlle est un ensemble de l forme [, b], [, b[, ], b], ], b[, [, + [, ], + [, ], b], ], b[, ], + [ (= R), {} (= [, ]) (tout ç pour, b R ; et éventuellement on peut y mettre ussi ). En gros, un intervlle est quelque chose qui un début et une fin, ses bornes, et qui comprend tout ce qu il y u milieu (peu importe, pr contre, s il inclut les bornes). Surtout il n ps de trous. Mis lors on pourrit donner une définition qui se bse sur ç, plutôt que fire l liste de tous les types d intervlles possibles. Définition 2.2.1. Un intervlle est une prtie A de R possédnt l propriété suivnte, «Pour toute pire de points y 1 et y 2 dns A, si y est un réel entre y 1 et y 2 lors y A» lors A est un intervlle de R. 1. c est entre et b si c b ou c b, il est strictement entre et b si < c < b ou > c > b 24

Il est possible de vérifier que cette définition définit exctement les types d intervlles que l on connit (l difficulté étnt de démontrer qu un ensemble A vec cette propriété doit forcément voir une de ces formes, et en prticulier de trouver - ou de démontrer qu elles existent - ses bornes). Mintennt on peut dire Théorème 2.2.3 (TVI 3). Soit I un intervlle quelconque de R, f une fonction à vleurs réelles, continue sur I. L ensemble f(i) = {f(x), x I} est un intervlle de R. Démonstrtion. Ce théorème est simple à montrer si on utilise l crctéristion qu on vient de donner des intervlles, insi que l version TVI 2. Soit A = f(i) = {f(x), x I}. Soient y 1 et y 2 dns A et y un réel quelconque entre y 1 et y 2. On peut lors trouver deux points et b dns I tels que f() = y 1 et f(b) = y 2. Le théorème 2.2.2, ppliqué à l intervlle fermé J d extrémités et b, ffirme que, puisque f est continue sur J et que y est entre f() et f(b), il existe x entre et b tel que f(x) = y. Ce nombre x est dns I cr et b y sont et donc cel montre que y f(i) = A. On donc montré que f(i) est un intervlle. Exemples et remrques 2.2.1. un intervlle... 1. Cel signifie que lorsque x décrit I, f(x) décrit exctement 2. Aucune précision n est pportée qunt u «type» de l intervlle imge. Suf dns le cs très prticulier où l intervlle I est de l forme [, b], le type de l intervlle imge est indépendnt du type de l intervlle de déprt. Pr exemple, si f : I = ] 1, 1[ R est définie pr f(x) = x 2, on f(i) = [0, 1[. 2.2.2 Mxim et minim On veut rriver ici à un théorème qui prle de l existence des minim (ou de mxim) d une fonction f sur son domine D, sous des hypothèses sur f et D. Ceci est très importnt prce que les problèmes de recherche des minim et de mxim sont des problèmes d optimistion qui ont plein d pplictions (pr exemple minimistion des coûts, de l dispersion d énergie... mximistion de l rentbilité...). Et, même si cel un prfum beucoup trop théorique, svoir si cet optimum v exister ou ps est crucil. Tout d bord il fut clrifier ce que le minimum d un ensemble. Prenons une prt A de R. Ici le fit que l on prle d un ensemble de nombre réels (et non de nombres complexes, de points dns l espce, d nimux...) est importnt puisqu on besoin de les comprer vec un ordre. Un nombre m est dit minimum de A si m A et pour tout x A on x m. Preillement, un nombre M est dit mximum de A si M A et pour tout x A on x M. Le minimum, s il existe, est évidemment unique (et le mximum ussi) : s il y en vit deux, m et m, on devrit voir m m et m m, c est-à-dire m = m. Le minimum n existe ps toujours (et le mximum non plus). Il existe si A est fini, prce qu il suffit d ordonner les éléments de A et voir qui tombe en première plce. Mis si A est l ensemble des réciproques des nombres entiers positifs, A = {1/n, n N, n 1}, il n y ps de minimum (ç serit comme si on cherchit le nombre entier positif le plus grnd). Qund on une infinité de vleurs il se peut qu ucune ne soit plus petite que toute les utres. Ici les vleurs se concentrent vers l vleur 0, qui stisfit bien pour tout x A on x 0, mis 0 / A. Et qu est-ce que le minimum d une fonction? une fonction n est ps vriment un ensemble...mis on peut considérer l ensemble de ses vleurs. Qund on f : D R on cherche le minimum de f(d) = {f(x) : x D}. Là ussi, dès que D est infini (ce qui est tout le temps le cs qund on à fire à des intervlles non triviux, pr exemple) on risque de ps voir un minimum. 25

Mis on v voir ici que, si f est continue et D stisfit deux hypothèses, lors un théorème dû à Weierstrss nous grntit l existence du minimum et du mximum. Attention : qund on prle du minimum d une fonction on prle encore de s vleur minimle, et ps du point où elle est rélisée. Si l vleur minimle est sûrement unique, les points où elle est rélisée pourrient être plusieurs. C est le cs pr exemple de l fonction f(x) = x 2 (1 x) 2 qui est minimisée en 0 et 1, insi que de toute fonction constnte... Revenons donc ux hypothèses dont on besoin. L première est que f soit continue sur D. L deuxième que D soit fermé (on déjà vu ce qu il siginife). L troisième est plus simple à définir (pr rpport à l notion d ensemble fermé). Définition 2.2.2. Soit D un sous-ensemble de R. On dit que D est borné si il est inclus dns un intervlle [ R, R]. Dutrement dit, D est borné s il existe R tel que pour tout x D on x R. Évidemment ce n est ps l même chose de dire il existe R tel que pour tout x D on it x R et pour tout x D il existe R tel que l on x R. Dns ce deuxième cs l quntité R peut dépendre de x et donc cette propriété est toujours vérifiée, cr pour tout x on peut choisir pr exemple R = 1 + x et réliser l inéglité. On donner ussi cette définition. Définition 2.2.3. Un sous-ensemble de R est dit compct s il est fermé et borné. En prticulier, tout intervlle de l forme [, b] est compct (il s git du type principl d ensemble compct, mis évidemment on peut vérifier que l réunion de deux intervlles comme ç est ussi compcte etc.). On peut mintennt énoncer le bien connu théorème d existence des minim et mxim. Théorème 2.2.4 (Weierstrss). Soit D un sous-ensemble compcte de R et f : D R une fonction continue. Il existe lors un point x 0 D tel que f(x 0 ) = min{f(x) : x D} (et, symétriquement, il existe un point x 0 D tel que f(x 0 ) = mx{f(x) : x D}). Observtion 2.2.2. Une conséquence de ce résultt, si on l utilise vec le TVI3, est que l imge pr une fonction continue d un intervlle fermé borné [, b] est un intervlle fermé borné [f(x 0 ), f(x 0 )]. Que l imge d un intervlle soit un intervlle est une conséquence des théorème des vleurs intermédiires (théorème des zéros), lors que le fit qu il soit borné et que ses bornes pprtiennent à l imge sont des conséquences de l existence du minimum et du mximum que l on vient de montrer. Il est utile de voir quelques exemples de non-existence du minimum ou mximum pour comprendre l importnce des hypothèses. Exemples et remrques 2.2.3. 1. Soit D = [ 1, 1] et f l fonction donnée pr f(x) = { x si x 0 2 si x = 0. Cette fonction n dmet ps de minimum sur l ensemble D, prce que f(x) > 0 pour tout x D mis les vleurs prises sont ussi proches de 0 qu on veut. On voudrit dire lors que le minimum est 0, mis cette vleur n est prise nulle prt. En effet, il s git d une fonction qui est continue en tout point de D \ {0} mis ps en 0. Et c est justement u point 0 que cette fonction voudrit prendre l vleur nulle...pr contre l même fonction dmet un mximum, et ce mximum est 2, cr on peut bien voir 2 = f(0) f(x) pour tout x. 2. Soit D =]0, 1] et f l fonction donnée pr f(x) = 1 x. Cette fonction n dmet ps de mximum sur l ensemble D, prce qu elle prend des vleurs très proches de 1 mis, 26

évidemment, f(x) < 1 pour tout x D. En effet, ici le problème n est ps posé pr f (qui est bien continue), mis pr D, qui est borné mis ps fermé. Il est intéressnt de remrquer que, en remplçnt 1 x pr 1/x, on urit même pu construire une fonction qui non seulement n dmet ps de mximum, mis elle n est ps non plus bornée supérieurement. Ceci n urit ps évidemment été possible si l on vit voulu utiliser une fonction continue sur un fermé borné. 3. Si D = ]0, 1] et f(x) = (1 x) sin 1 x, f n ni minimum ni mximum sur D. Lorsque x s pproche de 0, f(x) s pproche d ussi près que l on veut de ±1 sns jmis tteindre ces vleurs. Nous terminons cette section en montrnt que l existence du minimum (ou du mximum) reste vrie même en étnt un peu plus souple sur l nture de l ensemble D, à condition de demnder à l fonction f de l ider un peu. On fer l exemple du cs D = R. Théorème 2.2.5. Soit f : R R une fonction continue. Supposons que f tende vers + des deux côtés, c est-à-dire lim f(x) = lim f(x) = +. x + x Il existe lors un point x 0 R tel que f(x 0 ) = min{f(x) : x R}. Démonstrtion. Prenons une vleur quelconque rélisée pr l fonction f, pr exemple f(0). Il est évident que le minimum m, si il existe, v vérifier l condition m f(0). Tous les points x vec f(x) > f(x 0 ) n influencent ps l existence et l nture du minimum. Pr définition de limite infinie, on sit que pour tout K R il existe un nombre (réel) b tel que x > b entrine f(x) > K (ceci cr lim x + f(x) = + ) insi qu un nombre tel que x < entrine f(x) > K (cr lim x f(x) = + ). Prenons K = f(0). Grâce à ce qu on dit vnt, on peut donc se restreindre à l intervlle [, b] (qui, lui, est fermé et borné), prce que tous les points à l extérieur de cet intervlle ne sont ps pris en compte dns l recherche d un minimum (prce qu ils stisfont f(x) > f(0)). Et sur cet intervlle là il existe, grâce u théorème précednt, un point x 0 [, b] R tel que f(x 0 ) f(x) pour tout x X. Comme en plus on f(x) K = f(0) f(x 0 ) pour tout x / [, b], on finlement f(x) f(x 0 ) pour tout x R, ce qui montre que x 0 est un point de minimum. Il est évident qu on pourrit énoncer un théorème similire pour l existence du mximum, en mettnt comme hypothèse que lim x + f(x) = lim x f(x) =. 2.3 Les fonctions réciproques et leur continuité On peut se demnder comment les notions de fonction bijective et de fonction réciproque intergissent vec l notion de continuité. Tout d bord nous rppelons de qui l on prle 2.3.1 Bijections et fonctions réciproques Définition 2.3.1. Soit f : D R une fonction réelle de vrible réelle, A D et B R. On dit que f étblit une bijection de A dns (sur) B si pour tout y B, il existe un unique x A tel que y = f(x). Autrement dit, f étblit une bijection de A sur B si pour tout y dns B, l éqution f(x) = y d inconnue x dns A dmet une unique solution. On dit de fçon plus clssique que f : A B est une bijection. 27

Exemples et remrques 2.3.1. Soit f : R R définie pr f(x) = x 2. Pour que l éqution y = f(x) d inconnue x R dmette u moins une solution, il fut que y 0. Si y > 0, il est bien connu que l éqution en question dmet deux solutions distinctes (non nulles et opposées). Pour que f étblisse une bijection d une prtie A de R sur R +, il nous fut une unique solution. On choisit en générl l solution positive (que l on note y) et, dns notre lngge, cel se trduit pr le fit que f étblit une bijection de R + sur R +. On urit pu choisir de prendre systémtiquement l solution négtive, on ussi que f étblit une bijection de R sur R +. Si f étblit une bijection de A sur B, lors, tout y B, on peut fire correspondre g(y) A, l unique solution de l éqution y = f(x) d inconnue x A. Cel définit une fonction g : B A ppelée fonction réciproque de f vue comme ppliction de A B. On note cette ppliction g = f 1 pour mrquer son lien vec l fonction f. Remrquons que cette fonction f 1 dépend crucilement des ensembles A et B entre lesquels f étblit une bijection. Exemples et remrques 2.3.2. 1. Il ne fut surtout ps confondre f 1 vec l fonction 1 f! Le vocble fonction inverse de f est prfois utilisé. Suivnt le contexte, cel peut désigner f 1, l bijection réciproque de f ou 1 f, l composée de l inversion, x 1 x et de f. 2. f 1 (y) est l unique x de A vérifint f(x) = y. On donc () f(f 1 (y)) = y pour tout y dns B (x = f 1 (y) vérifie que f(x) = y) (b) f 1 (f(x)) = x pour tout x dns A (Si z = f 1 (f(x)), on f(z) = f(x) et f(z) B. Comme, il y unicité, on en tire que z = x.) 3. Dns ce contexte, l fonction f 1 : B A est une bijection de B sur A et s fonction réciproque est (f 1 ) 1 = f vec f : A B. Le grphe G g d une fonction f de vrible réelle à vleurs réelles est le sous-ensemble du pln formé pr les points (x, f(x)) lorsque x décrit le domine de définition de f. Si f : A B est une bijection, lors un couple (x, y) est dns G g si et seulement si x A, y B, y = f(x). Cel est clirement équivlent u fit que le couple (y, x) est dns le grphe de f 1. Supposons que le pln est rpporté à un repère orthonormé lors les grphes de f et f 1, plus précisément, les courbes d éqution y = f(x), x A et y = f 1 (x), x B, sont symétriques l un de l utre dns l symétrie orthogonle d xe l première bissectrice du pln, i.e l droite d éqution y = x. Remrquons pr illeurs que les courbes d éqution y = f(x), x A, y B et x = f 1 (y), x A, y B sont égles. 2.3.2 Injectivité, monotonie et continuité L notion de fonction bijective est en effet l réunion de deux concepts, celui de fonction injective (une même vleur n est jmis prise plus qu une fois) et celui de fonction surjective (toute vleur de l espce d rrivée est prise u moins une fois). Ce deuxième concept dépend fortement de ce que l on choisit comme espce d rrivée (en prennt un ensemble plus grnds l surjectivité disprîtr). Nous llons ici nous occuper un instnt de l injectivité, qui est plus intrinsèque. Qund on prle des fonctions réelles d une vrible réelle il y une mnière simple de grntir l injectivité : toute fonction strictement monotone est forcément injective, prce qu elle ne peut ps revenir sur l même vleur une deuxième fois (à cuse de l monotonie), ni y rester pendnt plus qu un instnt seul (à cuse de l stricte monotonie). Pourtnt toute fonction injective n est ps monotone, comme on peut le voir vec l exemple suivnt. 28

Exemple 2.3.3. Considérons l fonction f : [0, 2[ [0, 2[ donnée pr f(x) = { x si x 1; 3 x si x > 1. Cette fonction est bien injective (elle prend les vleurs de [0, 1] sur [0, 1] et celles de ]1, 2[ sur ]1, 2[, et sur chcun de ces intervlles elle est strictement monotone), même bijective, mis elle n est ps du tout monotone! Cependnt, l sitution est plus clire qund on l continuité, puisqu on l proposition suivnte. Proposition 2.3.1. Soit f : I R une fonction continue définie sur un intervlle I. Alors f est injective si et seulement si elle est strictement monotone. Démonstrtion. C est évident que, si f est strictement monotone, lors elle est injective. Il fut prouver l réciproque. Supposons pr l bsurde que f n est ps strictement monotone. Cel signifie que, soit elle n est ps monotone, soit elle l est mis ps strictement. Ce deuxième cs est évidemment impossible à cuse de l injectivité, prce qu une fonction monotone non strictement est une fonction qui prend l même vleur en deux points distincts. Alors f n est ps monotone, c qui signifie qu il y trois points x 1 < x 2 < x 3 I tels que le sens de vritions de f entre y 1 = f(x 1 ) et y 2 = f(x 2 ) est différent de celui entre y 2 = f(x 2 ) et y 3 = f(x 3 ). Supposons pr exemple (l utre cs est nlogue) que y 1 > y 2 mis y 2 < y 3. De plus on sit (pr l injectivité) que y 1 y 3. Supposons pr prticité que y 1 < y 3 (là ussi, l utre cs est nlogue). L vleur y 1 se trouve lors strictement entre y 2 et y 3 et, en ppliqunt le TVI 2, on trouve qu il y un point x strictement entre x 2 et x 3 tel que f( x) = y 1 = f(x 1 ). Ceci contredit l injectivité et l thèse est bien prouvée. Le fit de svoir que, sur les intervlles, toutes les fonctions injectives sont monotones nous permet de déterminer fcilement l intervlle imge f(i), étnt donnée une fonction f : I R injective et continue (et donc monotone). Ceci est indispensble pour trouver l intervlle J tel que f : I J est une bijection (et donc pour pouvoir définir f 1 : J I). Le critère est simple : soit I un intervlle de R, f : I R une fonction continue strictement monotone. Si et b sont les bornes de I ( et b pouvnt être des nombres réels ou les symboles ± ) lors J = f(i) est un intervlle dont les bornes sont lim x f(x) et lim x b f(x). L nture de l intervlle J en l borne lim x f(x) (fermé ou ouvert) est l même que celle de l intervlle I en. Exemples et remrques 2.3.4. 1. Soit f : ]0, 1] R définie pr f(x) = 1 x. L fonction f est continue, strictement décroissnte sur I = ]0, 1]. On lim x 0 f(x) = + et lim x 1 f(x) = 1. On en déduit que J = f(i) = [1, + [. 2. L fonction tngente est continue, strictement croissnte sur l intervlle I = ] π 2, π [ 2. On lim x ± π tn x = ±, on donc tn(i) = R. 2 Mis venons mintennt à un théorème ssurnt l continuité. Théorème 2.3.2. Soit f une fonction continue, strictement monotone sur un intervlle I lors (i) J = f(i) est intervlle de R (ii) f étblit une bijection de I sur J (iii) L fonction réciproque f 1 : J I est continue, strictement monotone sur J, de même sens de vrition que f. Démonstrtion. (i) C est une des versions que nous vons donnée du théorème des vleurs intermédiires, le théorème 2.2.3. 29

(ii) Soit y J fixé. Pr définition même de l ensemble J = f(i), l éqution y = f(x) d inconnue x I dmet une solution. Rppelons que f(i) est l ensemble de toutes les imges possibles des éléments de I pr l fonction f. Cette éqution ne peut dmettre qu une solution cr f est strictement monotone. En effet, si l on dispose de deux solutions distinctes x 1 < x 2, on lors f(x 1 ) = y = f(x 2 ), ce qui est impossible cr f étnt strictement monotone, on soit f(x 1 ) < f(x 2 ), soit f(x 1 ) > f(x 2 ). (iii) Supposons que f est strictement croissnte pour fixer les idées. Soient y 1 < y 2 J. De deux choses l une, soit f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ), soit f 1 (y 1 ) < f 1 (y 2 ). Si le premier cs lieu, comme f est croissnte, on lors que f(f 1 (y 1 )) f(f 1 (y 2 )) et donc y 1 y 2, ce qui est contrire à l hypothèse sur y 1 et y 2, c est donc le deuxième cs qui est vérifié. Donc, pour y 1 < y 2, f 1 (y 1 ) < f 1 (y 2 ), ce qui montre que f est strictement croissnte. (iii bis) En ce qui concerne l continuité de f 1. Il suffit de montrer que fest continue en tout point y 0 de J. Il existe x 0 I tel que f(x 0 ) = y 0, ce qui signifie x 0 = f 1 (y 0 ). Supposons pr simplicité que y 0 est à l intérieur de J, ce qui implique, pr monotonie stricte, que x 0 est à l intérieur de I. Prenons mintennt un voisinge V =]x 0 δ, x 0 + δ[ de x 0, vec δ > 0 suffismment petit pour que ]x 0 δ, x 0 + δ[ I. Prenons les points y := f(x 0 δ) et y := f(x 0 + δ). On y < y 0 < y et l intervlle U :=]y, y [ est bien un voisinge de y 0. Or, pr monotonie, de f 1 (y ) = x 0 δ et f 1 (y ) = x 0 +δ on tire fcilement que pour tout y ]y, y [ on f 1 (y ) ]x 0 δ, x 0 + δ[= V. Ceci montre l continuité de f 1 en y 0. Si y 0 est une borne de l intervlle J on prendr lors l intervlle [x 0, x 0 + δ[ (ou ]x 0 δ, x 0 ]) et l intervlle imge [y, y [, vec y = y 0 (ou ]y, y ], vec y = y 0 ) ser bien l intersection d un voisinge de y 0 vec J. Dns tous les cs on démontré l continuité de f 1 en y 0. 2.3.3 Fonction réciproques fondmentles Nous terminons ce chpitre vec une liste de fonctions bijective dont l réciproque est importnte et à connître. Les rcines n ièmes. Est-ce que l fonction x x n est bijective? tout d bord, est-elle injective? il fut distinguer deux cs : si n est pire, l réponse est non, puisque l fonction est pire et ( x) n = x n ; si n est impire il s git d une fonction strictement croissnte et donc injective. Si on reste sur le cs n impire, puisque lim x ± x n = ±, l fonction x x n est ussi surjective sur R et elle est donc une bijection de R dns R. S réciproque est l fonction rcine n ième y n y. Dns le cs n pire il fut restreindre l fonction f(x) = x n à un intervlle où elle est injective. Pr exemple à l demi-droite des nombres positifs (l demi-droite négtve conviendrit ussi, et d utres intervlles inclus dns ces demi-droites, mis nous cherchons, si possible à choisir l intervlle le plus grnd sur lequel elle soit injective). Si I = [0, + ], qui est f(i)? là ussi on considère les limites et on trouve J = f(i) = [0, + ]. f est lors une bijection de [0, + ] dns [0, + ] et s réciproque est ussi ppelé rcine n ième. Seule remrque : pr convention, on choisi de prendre l rcine positive. C est ce qu on pense qund on dit 4 = 2 (et ps 2). Le logrithme. L fonction exponentielle f(x) = e x, f : R ]0, + [ est strictement croissnte et est une bijection de R dns ]0, + [. S réciproque s ppelle logrithme nturel, est indiquée ln, et est une fonction strictement croissnte définie sur ]0, + [ à vleurs dns tout R. Arcsin et rccos. Les fonctions sinus et cosinus sont-elles injectives? ps du tout, puisqu elles sont périodiques et elles reprennent les mêmes vleurs une infinité de fois. Mis on peut toujours les restreindre à des intervlles où elles sont monotones. On remrque lors que sin : [ π/2, π/2] [ 1, 1] est strictement croissnte et que cos : [0, π] [ 1, 1] est stric- 30

tement décroissnte. Les pplictions réciproques, définies sur ces intervlles, sont ppelées respectivement rcsinus, rcsin : [ 1, 1] [ π/2, π/2], et rccosinus, rccos : [ 1, 1] [0, π]. Arctngente. L fonction tngente, définie pr tn x = sin x/ cos x, est définie là où le cosinus ne s nnule ps, c est-à-dire sur l réunion d une infinité d intervlles bornés pr les points du type π/2 + kπ. Elle est périodique de période π donc on peut l considérer sur l un de ces intervlles sns perdre d informtion. Sur ] π/2, π/2[ elle est strictement croissnt et on déjà vu que son imge est tout R. Elle dmet lors une ppliction réciproque ppelée rctngente, définie sur R et à vleurs dns ] π/2, π/2[. Cette fonction rctn : R ] π/2, π/2[ est souvente utile en tnt que fonction strictement croissnte et bornée. π 2 f 1 (x) = rcsin(x) 1 f(x) = e x f(x) = sin(x) π 2 1 1 π 2 f 1 (x) = ln x 1 π 2 π f(x) = x 2 π 2 f 1 (x) = rccos(x) f 1 (x) = x 1 f(x) = cos(x) 1 1 π 2 π 1 31

Chpitre 3 Dérivées et fonctions dérivbles 3.1 Dérivée en un point et interpréttion géométrique Dns l suite f est toujours une fonction définie u voisinge de x 0 (ce qui signifie qu elle est définie sur un intervlle qui est un voisinge de x 0 ). Définition 3.1.1. Soit x 0 un réel, f une fonction définie u voisinge de x 0. 1. L fonction θ définie pr θ(x) = f(x) f(x 0) x x 0 est bien définie u voisinge de x 0 suf en x 0. θ(x) est le tux d ccroissement de f entre x et x 0. 2. On dit que f est dérivble en x 0 lorsque le tux d ccroissement θ(x) de f entre x et x 0 dmet une limite lorsque x x 0. Cette limite s ppelle l dérivée (ou le nombre dérivé) de f en x 0 et est noté f (x 0 ). On donc, lorsque cel à un sens, f (x 0 ) := lim x x 0 f(x) f(x 0 x x 0 = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Exemples et remrques 3.1.1. 1. f : R R définie pr f(x) = x 2 dmet un nombre dérivé en tout x 0 R. On f (x 0 ) = 2x 0. 2. g : R + R définie pr g(x) = x dmet un nombre dérivé en x 0 pour tout x 0 > 0. On g (x 0 ) = 1 2 x 0 3. h : R R définie pr h(x) = x 2 sin 1 x si x 0 et h(0) = 0 est dérivble en x 0 = 0 vec h (0) = 0 (Elle est d illeurs dérivble en tout x 0 R) 4. C est pr prticité qu on se restreint, ici dns le chpitre sur l dérivbilité, ux fonctions définies sur des intervlles et, suf qund on prler de dérivbilité à guche et à droite, u voisinge du point où l on clcule l dérivée. Ceci prce que beucoup de théorèmes portnt sur les dérivées demndent à être sur un intervlle et prce que on besoin d espce utour du point pour clculer une dérivée. Interpréttion géométrique En considérnt le grphe de f u voisinge de x 0, pour x x 0 l corde u grphe pssnt pr les points M 0 et M de coordonnées (x 0, f(x 0 )) et (x, f(x)) pour éqution (d inconnues X, Y R) Y f(x 0 ) = θ(x).(x x 0 ) Lorsque x tend vers x 0, θ(x) tend vers f (x 0 ), ce qui signifie géométriquement que l corde se «rpproche» de l droite d éqution Y f(x 0 ) = f (x 0 ).(X x 0 ) 32

Cette droite est ppelée l tngente u grphe de f en x 0. Si le tux d ccroissement d une fonction f en un point x 0 dmet une limite infinie lorsque x tend vers x 0. On dit que le grphe de f dmet une tngente verticle. Attention! Dns un tel cs, l fonction f n est ps dérivble en x 0 Un exemple typique est le cs fonction x x 1 3 en 0. Nous invitons le lecteur à trcer l llure de son grphe u voisinge de 0. DL d ordre 1 De l définition même de limite, on déduit l Proposition 3.1.1. Soit x 0 un réel, f une fonction définie u voisinge de x 0. f est dérivble en x 0 si et seulement si il existe un nombre l et une fonction ɛ, définie u voisinge de 0 tels que (i) ɛ est continue en 0, ɛ(0) = 0 (ii) pour tout x voisin de x 0, Dns ce cs, l = f (x 0 ). f(x) = f(x 0 ) + l.(x x 0 ) + (x x 0 )ɛ(x x 0 ) L écriture du point (ii) s ppelle le développement limité d ordre 1 de f u voisinge de x 0. Dérivbilité et continuité Corollire 3.1.2. Si f est dérivble en x 0, elle y est continue. Exemples et remrques 3.1.2. 1. L réciproque est fusse comme le montre l exemple de l fonction vleur bsolue en 0. 2. On peut construire une fonction, continue sur R, qui n est dérivble en ucun point Dérivbilité à droite et à guche Définition 3.1.2. Soit x 0 R, f une fonction définie dns un voisinge à droite de x 0. On dit que f est dérivble à droite en x 0, de nombre dérivé f d (x 0) si f(x) f(x 0) x x 0 dmet une limite lorsque x tend vers x 0 à droite. Dns ce cs f d(x f(x) f(x 0 ) 0 ) = x x0 lim x>x 0 x x 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) = lim h 0 h h>0 On une définition similire pour l dérivbilité à guche et f g(x 0 ), le nombre dérivé à guche. Proposition 3.1.3. Soit f définie u voisinge du point x 0. f est dérivble en x 0 si et seulement si elle y est dérivble à guche et à droite et f d(x 0 ) = f g(x 0 ) Exercice : étude de l dérivbilité en 1 à droite et en 0 de l fonction f(x) = x 2 + x 3, définie sur [ 1, + [. 33

Opértions lgébriques Proposition 3.1.4. Soit x 0 un réel, f et g deux fonctions définies u voisinge de x 0, dérivbles en x 0. 1. f + g est dérivble en x 0 et 2. (Règle de Leibniz) f.g est dérivble en x 0 et (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ) (f.g) (x 0 ) = f (x 0 ).g(x 0 ) + f(x 0 ).g (x 0 ). En prticulier, ceci s pplique si f est une fonction constnte, f(x) = C, pour donner que C.g est dérivble en x 0 vec (C.g) (x 0 ) = C.g (x 0 ) 3. Si g(x 0 ) 0, les fonctions 1 g et f g sont définies u voisinge de x 0, sont dérivbles en x 0 vec ( ) 1 ( ) (x 0 ) = g (x 0 ) f g g(x 0 ) 2 et (x 0 ) = f (x 0 ).g(x 0 ) f(x 0 ).g (x 0 ) g g(x 0 ) 2 Composition et fonctions réciproques Proposition 3.1.5 (Règle de l chîne). Soit x 0 R, f une fonction définie u voisinge de x 0, dérivble en x 0. Soit y 0 = f(x 0 ), g une fonction définie u voisinge de y 0, dérivble en y 0. L fonction h = g f est définie u voisinge de x 0, y est dérivble et h (x 0 ) = (g f) (x 0 ) = f (x 0 ).g (y 0 ) = f (x 0 ).g (f(x 0 )) En nottion physicienne, en posnt y = f(x), dh dx (x 0) = dg dy (y 0) dy dx (x 0) Démonstrtion. Le fit que h soit bien définie u voisinge de x 0 est une conséquence de l énoncé similire sur l continuité. D près l proposition 3.1.1, il existe deux fonctions ɛ et η, définies u voisinge de 0 telles que pour tout x voisin de x 0, tout y voisin de y 0 = f(x 0 ), f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) + (x x 0 )ɛ(x x 0 ) g(y) = g(y 0 ) + (y y 0 )g (y 0 ) + (y y 0 )η(y y 0 ) y = f(x) est suffismment voisin de y 0 pour que l on puisse écrire, pr substitution de l première églité dns l seconde que g(f(x)) = g(f(x 0 )) + ( (x x 0 )f (x 0 ) + (x x 0 )ɛ(x x 0 ) ) g (y 0 ) + + ( (x x 0 )f (x 0 ) + (x x 0 )ɛ(x x 0 ) ) η ( (x x 0 )f (x 0 ) + (x x 0 )ɛ(x x 0 ) ) = g(f(x 0 )) + (x x 0 )f (x 0 ).g (y 0 ) + (x x 0 )ɛ (x x 0 ) On ici posé ɛ (h) = ɛ(h)g (y 0 ) + ( f (x 0 ) + ɛ(h) ) η ( h.f (x 0 ) + hɛ(h) ) qui est clirement une fonction de limite 0 en 0. On donc prouvé l existence d un DL d ordre 1 de h u voisinge de x 0, i.e l dérivbilité de h en x 0 et le fit que h (x 0 ) = f (x 0 ).g (y 0 ) 34

Mintennt que l on connît ce qui se psse pour les compositions, on peut se poser l question sur les fonctions réciproques. Une première remrque est l suivnte : Observtion 3.1.3. Si f : I J est strictement monotone et dérivble, en prennt y 0 = f(x 0 ), l seule vleur possible de (f 1 ) 1 (y 0 ) est f (x 0 ) (sous condition, évidemment, que f (x 0 ) 0). Pourquoi? prenons l identité f 1 (f(x)) = x et dérivons à guche et à droite. On trouve (f 1 ) (f(x)) f (x) = 1. Si on clcule en x = x 0, on trouve (f 1 ) (y 0 ) f (x 0 ) = 1. Ceci donnerit une formule pour (f 1 ), mis le seul problème est qu on ne peut ps l étblir si on ne démontre ps u prélble que f 1 est bien dérivble. Ce clcul en effet ne le montre ps, et donne juste l seule vleur possible de l dérivée, pourvu que l fonction réciproque soit dérivble. Pr contre il montre églement que f 1 ne peut ps être dérivble en y 0 si f (x 0 ) = 0 (le produite des deux dérivées ne pourrit ps vloir 1). Démontrons lors l dérivbilité. Théorème 3.1.6. Soit f une fonction continue, strictement monotone sur un intervlle I. Soit J = f(i) et f 1 : J I s fonction réciproque. Alors, Si x 0 I, f (x 0 ) 0 lors f 1 est dérivble en y 0 = f(x 0 ) J et Démonstrtion. (HP) (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ) = 1 f (f 1 (y 0 )). Comme f est dérivble en x 0, il existe une fonction ɛ de limite nulle en 0 telle que f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) + (x x 0 )ɛ(x x 0 ) = y 0 + (x x 0 )(f (x 0 ) + ɛ(x x 0 )) Soit y J, y = f(x) pour un unique x I : x = f 1 (y). En substitunt y = f(x) dns le développement limité précédent, on y y 0 = (f 1 (y) f 1 (y 0 ))(f (x 0 ) + ɛ(f 1 (y) f 1 (y 0 ))) Comme f (x 0 ) 0, lorsque y y 0, 1 f (x 0 ) ɛ(f 1 (y) f 1 (y 0 )) 0 cr f 1 est continue en y 0 et donc f 1 (y) f 1 (y 0 ) 0. Il existe donc une fonction η définie u voisinge de 0 et de limite nulle en 0 telle que η(y y 0 ) = 1 f (x 0 ) ɛ(f 1 (y) f 1 (y 0 )) et f (x 0 ) + ɛ(f 1 (y) f 1 (y 0 )) = f (x 0 )(1 + η(y y 0 )). Pr illeurs, 1 + η(y y 0 ) pour limite 1 lorsque y y 0 et donc pour tout y suffismment proche de y 0, ( ) f 1 (y) f 1 1 1 (y 0 ) = (y y 0 ) f (x 0 ) 1 + η(y y 0 ) = (y y 1 0) f (x 0 ) +(y y 1 1 0) f (x 0 ) 1 + η(y y 0 ) 1 ( ) 1 Comme 1+η(y y 0 ) 1 tend vers 0 lorsque y y 0, on donc obtenu un développement limité d ordre 1 de f 1 u voisinge de y 0. Ceci démontre que f 1 est dérivble en y 0 et nous donne l vleur de (f 1 ) (y 0 ) nnoncée. 35

Exemple 3.1.4. Les dérivées des fonctions trigonométriques inverses : rppelons que (sin) (x) = cos x; (cos )(x) = sin x; (tn) (x) = Clculons lors (rcsin) (x) = ( ) sin (x) = sin2 x + cos 2 x cos cos 2 = 1 + tn 2 x. x 1 cos(rcsin x) = 1, 1 x 2 ceci prce que : que signifie-t-il cos(rcsin x)? il signifie trouver l vleur du cosinus du point y dont le sinus vut x, mis l reltion cos 2 y + sin 2 y = 1 nous donne que cette vleur doit forcément être ± 1 x 2 ; Pour déterminer son signe on utilise le fit que l définition d rcsinus nous donne rcsin x π/2, π/2 et donc le cosinus doit être non négtif. De mnière nlogue on (rccos) 1 (x) = sin(rcsin x) = 1, 1 x 2 et enfin (rctn) (x) = 1 1 + tn 2 (rctn x) = 1 1 + x 2. 3.2 Fonctions dérivbles sur un intervlle Définition 3.2.1. Soit f : D R une fonction de vrible réelle, à vleurs réelles. Soit I un intervlle non trivil contenu dns D. Si l fonction f est dérivble en tout point de I (à droite ou à guche si l on s intéresse à une borne de I contenue dns I), on dit que f est dérivble sur I. Dns ce cs, l fonction f définie sur I pr est ppelée l fonction dérivée de f sur I f (x) = le nombre dérivé de f en x Exemples et remrques 3.2.1. 1. Les fonctions les plus simples sont les fonctions constntes sur R. Celles-ci sont dérivbles sur R, leur dérivée est l fonction nulle. 2. L fonction. est une fonction dérivble sur ]0, + [, s dérivée est l fonction x ]0, + [ 1 2 x. 3. L fonction. n est ps dérivble sur son intervlle de définition cr elle n est ps dérivble à droite en 0. 4. exp, sin, cos sont dérivbles sur R. Leurs fonction dérivées sont respectivement exp, cos et sin. Proposition 3.2.1 (Recollement). Soient I et J deux intervlles fermés ynt pour seul point commun le point. Soit f une fonction de clsse C 1 sur I et sur J lors, pourvu que f g() = f d () l fonction f est de clsse C1 sur l intervlle I J. Les résultts concernnt les opértions sur les fonctions et l dérivbilité en un point s étendent nturellement en des résultts sur les fonctions dérivées Proposition 3.2.2. 1. Soit f : I R une fonction dérivble lors (i) Si λ R, λ.f est dérivble sur I et (λ.f) = λ.f 36

f(x) f (x) commentires x n nx n 1 pour x R si n N x n nx n 1 pour x 0 si n Z x α αx α 1 pour x > 0 si α R e x e x pour x R ln x 1 x pour x > 0 ln x 1 x pour x 0 sin x cos x pour x R cos x sin x pour x R tn x 1 cos 2 x = 1 + tn2 x pour x { π 2 + kπ, k Z} rcsin x 1 1 x 2 pour 1 < x < 1 rccos x 1 1 x 2 pour 1 < x < 1 rctn x 1 1+x 2 pour x R Tble 3.1 Les dérivées clssiques 37

(ii) Si f ne s nnule ps sur I, 1 f est dérivble sur I et ( 1 f ) = f 2. Soit de plus g dérivble sur I (i) Les fonctions f + g et f.g sont dérivbles sur I et, sur I, (ii) Si f ne s nnule ps sur I, lors g f f 2 (f + g) = f + g et (f.g) = f.g + f.g est dérivble sur I et ( g f ) = g.f g.f 3. Soit J un intervlle et g dérivble sur J. Si pour tout x I, f(x) J lors l fonction g f est dérivble sur I et (g f) = (g f).f 4. Si f : est strictement monotone et f 0 sur I lors f 1 : J R (vec J = f(i)) est dérivble sur J et, sur J, on f 2 (f 1 ) = 1 f f 1. 3.3 Extrem et points critiques Définition 3.3.1. Une fonction f : D R dmet un mximum locl en D s il existe un voisinge V de tel que pour tout x V D, f(x) f(). Exemples et remrques 3.3.1. On une définition semblble pour un minimum locl. Si f dmet en un mximum ou un minimum locl, on dit que f dmet un extremum locl. Si f dmet un mximum globl en, i.e pour tout x D, f(x), elle y dmet fortiori un mximum locl. Proposition 3.3.1. Soit f une fonction à vleurs réelles, dérivble sur un intervlle I, et un point intérieur à I (i.e n est ps une borne de I). Si f dmet un extremum locl en lors f () = 0. Démonstrtion. Supposons que f () 0, nous pouvons écrire le DL d ordre 1 de f en : il existe une fonction ɛ, continue en 0, ɛ(0) = 0, telle que pour tout x voisin de, f(x) f() = f ().(x ) (1 + ɛ(x )) Sur un certin voisinge de, l quntité 1 + ɛ(x ) est strictement positive et donc, sur ce voisinge, f(x) f() est du même signe que f ().(x ). De prt et d utre de (on se sert là du fit que est intérieur à I), cette quntité prend des vleurs > 0 et < 0, ce qui est impossible si f dmet un extremum locl en. Critère de recherche de minim et mxim bsolus : Soit f : [, b] R une fonction continue, dérivble en tout point de ], b[\s, où S est en ensemble fini et, si possible, ps nombreux. On peut donc composer une liste de points de [, b] qui sont cndidts à être minim et/ou mxim, et qui est composée de : les points de bord et b, cr là le critère du théorème 3.3.1 n est ps pplicble ; les points de S cr là non plus on ne peut l ppliquer ; 38

tout point x 0 ], b[\s qui stisfsse f (x 0 ) = 0 (ce qui est souvent rélisé pr un petit nombre de points). Le théorème de Weierstrss nous grntit que le minimum et le mximum existent et en plus on est sûr qu on les trouver prmi les points qu on listé. Il suffit donc de clculer les vleurs f(x) corréspondnt à tous les points x de l liste et on trouver le (ou les) point(s) de minimum en prennt ceux qui ont les vleurs les moins élevées et les points de mximums en prennt ceux qui ont les vleurs le plus élevées. Évidemment plein d utres critères similires peuvent être bâtis pour d utres situtions, pr exemple pour une fonction stisfisnt ux conditions du Théorème 2.2.5. Observtion 3.3.2. Quelle est l différence entre cette pproche et celle pr tbleu de vritions (qui se bse sur le lien entre le signe de f et le sens de vritions de f, ce que l on verr dns l prochine section)? ps grnde chose. Ici on ne clcule ps les signes de l dérivée (et donc on économise du temps) mis on se retrouve à regrder comme cndidts ces points ussi qui ont dérivée nulle (ou où f n est ps dérivble) mis qui ne peuvent ps vriment minimiser à cuse des signes de l dérivée juste vnt et juste près (et donc on perd un petit peu plus de temps à clculer les vleurs de f sur ces points là). Si on cherche et le mximum et le minimum le tbleu des vritions nous force à clculer les signes et en plus souvent ne nous fit ps économiser beucoup d évlutions de f sur les points qu on trouvé, cr l plus prt d entre eux sont soit cndidts à minimiser soit à mximiser (suf ceux qui sont du type x 3, où l dérivée s nnule sns chnger de signe, oeuceux qui sont de type 2x + x, où l fonction n est ps dérivble mis dérivée guche et droite ont le même signe). Pr contre, si l on cherche seulement l une des deux bornes (min ou mx), lors p-e le tbleu de vritions peut être rentble. Mis c est des petites différences, c est à peu près l même idée. Un vntge de cette pproche est pr contre qu on pourr l ppliquer en dimension plus grnde prce qu une fonction définie sur le pln n ps un sens de vritions. Dernière chose : imginons que f n est ps continue, mis que quelqu un nous grntisse qu il existe un mximum (ou un minimum). Après, si l on utilise un tbleu de vritions, il fut être trèèès ttentifs, cr ux points de discontinuité il y typiquement un sut. L fonction f(x) = x sur x 0 et f(x) = x + 1 sur x < 0 une dérivée positive vnt et près 0 mis 0 est qund même un cndidt minimum (à cuse du sut en bs entre 0 et 0 + ). 3.4 Rolle, TAF et pplictions On présente ici quelques théorèmes importnts sur les fonctions dérivbles qui seront répris dns l suite. Théorème 3.4.1 (Rolle). Soit f : [, b] R une fonction continue sur l intervlle fermé [, b] et dérivble en tout point de l intervlle ouvert ], b[ [, b]. Supposons f() = f(b). Il existe lors un point ξ ], b[ tel que l on it f (ξ) = 0. Démonstrtion. L fonction f étnt continue et l intervlle [, b] fermé et borné, d près le théorème de Weierstrss on sit que f dmet un mximum et un minimum sur cet intervlle. Soient m et M les vleurs du minimum et du mximum, respectivement, et K l vleur commune de f() et f(b). On forcement m K M. Si toute les inéglités sont des églités lors on m = M et l fonction est constnte. Mis une fonction constnte dmet prtout dérivée nulle et tout point ξ ], b[ stisfit l condition. Supposons donc qu on it soit m < K = f() = f(b) soit l utre inéglité. Dns ce premier cs, il signifie qu il existe un point de minimum x 0 [, b] et que f(x 0 ) < f() = f(b). Celci implique en prticulier que x 0 est distinct de et de b. Il est donc à l intérieur et on sit que si un point à l intérieur rélise le minimum (un minimum locl urit été suffisnt) d une fonction dérivble, l dérivée en ce point là doit forcement être nulle. 39

Il suffit donc de choisir ξ = x 0. Preillement, si c est le mximum M qui dépsse strictement K, on en déduit l existence d un point intérieur de mximum et ce point ur dérivée nulle. Observtion 3.4.1. Vous pouvez remrquer qu on vriment utilisé toutes les hypothèses : l dérivbilité en tout point intérieur est à demnder cr on ne sit ps où le minimum tomber, et là où il tombe on besoin de dire que l dérivée vut zéro ; l continuité d utre côté est demndée pour ssurer l existence d un minimum et un mximum, et on en besoin sur un ensemble fermé borné. Non seulement, il est fcile de se rendre compte que sns l continuité en et b le théorème n urit ucune chnce d être vri : si l on dmet que les vleurs en et b puissent différer dess limites de f(x) lors que x tend vers et b repsectivement, on beu à supposer que les deux vleurs f() et f(b) sont égles, mis cel serit toujours une hypotèse inutile cr elle n implique rien u niveu du comportement intérieur de l fonction. Et évidemment sns f() = f(b) le théorème est fux (pr exemple prenez f(x) = x). Théorème 3.4.2 (Acroissements finis). Soit f : [, b] R une fonction continue sur l intervlle fermé [, b] et dérivble en tout point de l intervlle ouvert ], b[ [, b]. Il existe lors un point ξ ], b[ tel que l on it f f(b) f() (ξ) =. b Démonstrtion. Soit L = (f(b) f())/(b ) et considérons l fonction g donnée pr g(x) = f(x) Lx. Cette fonction grde les mêmes propriétés de continuité et dérivbilité de l fonction f cr on y rjouté tout simplement une fonction linéire, qui est elle même continue et dérivble en tout point. Montrons que g() = g(b), de fçon à pouvoir ppliquer le théorème de Rolle à l fonction g. On g(b) g() = f(b) f() L(b ) = f(b) f() f(b) f() (b ) = 0. b Ceci montre g(b) = g(). On peut donc ppliquer le théorème de Rolle à l fonction g et on obtient qu il existe un point ξ ], b[ tel que 0 = g (ξ) = f (ξ) L. Grâce u choix de L qu on fit, on vient de montrer l thèse. Remrque inutile : u délà des Alpes ce théorème s ppelle Théorème de Lgrnge. Indépendemment de son nom, il plusieurs conséquences intéressntes. L première qu on v voir concerne le sens de vritions d une fonction. Définition 3.4.1. Soit D R et f une fonction à vleurs réelles définie sur D. 1. On dit que f est croissnte sur D si, pour tous x, y D, x < y f(x) f(y) 2. On dit que f est décroissnte sur D si, pour tous x, y D, x < y f(x) f(y) 3. On dit que f est strictement croissnte sur D si, pour tous x, y D, x < y f(x) < f(y) 4. On dit que f est strictement décroissnte sur D si, pour tous x, y D, x < y f(x) > f(y) Théorème 3.4.3. Si I est un intervlle de R et si f est une fonction dérivble sur I telle que f > 0 sur I lors f est strictement croissnte sur I. 40

Démonstrtion. Soient x < y deux points de I. L fonction f est dérivble sur ]x, y[ et continue sur [x, y]. On peut lors ppliquer le théorème 3.4.2 (TAF) pour obtenir que, pour un certin ξ I, f(y) f(x) = f (ξ) > 0 y x On donc clirement que f(y) > f(x). Exemples et remrques 3.4.2. 1. Si f < 0 sur I, f y est strictement décroissnte. 2. Si f est seulement positive sur I (i.e, elle peut s nnuler) lors f est croissnte sur I. Réciproquement, si f est croissnte sur un intervlle I, s dérivée y est 0. 3. Le théorème 3.4.3 est utilisé constmment lorsque l on construit le tbleu de vritions de f. C est lui qui justifie le pssge de l ligne indiqunt le signe de f à l ligne indiqunt le sens de vrition de f. 4. Lorsque l on construit le tbleu de vritions de f, on cherche les intervlles sur lequel s dérivée est > 0, ce que l on mrque dns le tbleu de signe de f pr un +. De même, on mrque pr un les intervlles sur lesquels f < 0. Il s git donc de résoudre les deux inéqutions d inconnue x : f (x) < 0 et f (x) > 0. Dns l prtique et dns l pluprt des cs, l fonction f est dérivble et s dérivée f est une jolie fonction continue ussi : donc, pour déterminer ces zones, d près le TVI, le théorème 2.2.1 1, il suffit de résoudre l éqution f (x) = 0. On sit lors que f est de signe constnt sur les intervlles délimités pr les solutions de cette éqution. On peut lors trouver ce signe en clculnt, pr exemple, f(x) pour un x bien choisi de l intervlle ou pr tout utre rgument du même clibre. Exercice 3.4.3. Donner un exemple de fonction f dérivble sur un intervlle I = [, b] telle que (i) f est strictement croissnte sur I, (ii) f s nnule en u moins un point de I. Théorème 3.4.4. Si f est dérivble sur un intervlle I et s dérivée y est nulle lors f est constnte sur I. Exemples et remrques 3.4.4. 1. Ce théorème implique l églité, à une constnte dditive près, des primitives sur un intervlle I d une fonction f continue sur I, voir le chpitres sur les intégrles 2. Il est ussi à l bse de résultts d unicité concernnt les équtions différentielles. Définition 3.4.2. Une fonction f : A R est dite Lipschitzienne si il existe une constnte L (ppelée constnte de Lipschitz, Lipschitz étnt le mec qui, peut-être, introduit cette notion) telle qu on it f(x) f(y) L x y pour tout x, y A. Souvent on ppelle constnte de Lipschitz l plus petite constnte L qui permet de réliser l inéglité (cr, évidemment, si L est une constnte qui stisfit l inéglité ci-dessus, tout L L l stisfit ussi). On définit donc Lip(f) := min{l 0 : f(x) f(y) L x y pour tout x, y A}. Il est fcile de voir que toute fonction Lipschitz est continue (il suffit toujours de choisir δ = ε/l). Pr contre, elle n est ps forcement dérivble : il suffit de penser à fonction f(x) = x, qui dmet 1 comme constnte de Lipschitz mis n est ps dérivbe u point 0. Il est intéressnt de remrquer que l non-dérivbilité vient ici de le non-existence de l limite des tux d croissement (limite différente à droite et à guche), même si ils restent qund même bornés (contrirement 1. l hypothèse de continuité de l dérivée est en fit inutile, on peut en effet montrer, c est le théorème de Drboux, que f verifie toujours le TVI 41

u cs pr exemple de l fonction f(x) = x 1/3, qui dmet l limite des tux d croissement en 0, mis elle n est ps finie, les tux n étnt ps bornés). L notion de fonction Lipschitzienne dévient très fcile dns le cs des fonctions dérivbles. Proposition 3.4.5. Soit f : [, b] R une fonction dérivble en tout point de ], b[. Les deux fits suivnts sont équivlents : l dérivée de f est bornée sur ], b[, f est Lipschitzienne. De plus, si l dérivée est bornée et on f (x) L pour tout x ], b[, lors f dmet l même vleur L comme constnte de Lipschitz 2 et si f dmet une constnte de Lipschitz, l même constnte est une borne supérieure pour f (x). Démonstrtion. Démontrons que une borne L sur l dérivée entrîne l nture Lipschitz de l fonction f vec constnte de Lipschitz L. Prenons x, y ], b[ et supposons pr simplicité x < y (l condition de Lipschitz étnt tout à fit symmétrique en x et y). On peut ppliquer le théorème des croissements finis à l fonction f sur [x, y] et on obtient f(y) f(x) y x = f (ξ), ce qui implique f(x) f(y) = f (ξ) x y L x y, si L est une constnte qui borne l dérivée, c est-à-dire telle que f (ξ) L pour tout ξ ], b[. Mintennt supposons que f est Lipschitzienne vec constnte de Lipschitz L et démontrons f (x 0 ) L pour tout x 0 ], b[. En mettnt l vleur bsolue prtout dns l limite qui donne l définition de dérivée, on trouve f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. x x 0 x x 0 Pourtnt on f(x) f(x 0 ) / x x 0 L et donc on en déduit f (x 0 ) L (celle-ci est l prtie fcile de l équivlence, lors que pour l utre il est nécessire d utiliser le théorème des croissements finis).. 2. Ce fit s ppelle prfois inéglité des ccroissements finis 42

Chpitre 4 Dérivées et développements limités Nous commençons ce chpitre en considérnt certines conséquences que le théorème des ccroissements finis en terme de dévéloppement des fonctions dérivbles. Nous vons déjà vu ses conséquences en terme de comportement croissnt, constnt etc. Une conséquence importnte du théorème des croissements finis est le fit qu on peut fire le développement suivnt : si f est une fonction dérivble en tout point d un intervlle A et x, x 0 A, lors on f(x) = f(x 0 ) + f (ξ)(x x 0 ), où ξ est un point de l intervlle ]x 0, x[ ou ]x, x 0 [ (ce qui dépende de x > x 0 ou x 0 > x). Celuici est un développement excte de l fonction f, qui est continue cr dérivble, et qui donne une idée de l écrt entre f(x) et f(x 0 ). Il s git en fit d un développement qui est un peu complémentire pr rpport u suivnt : f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + ε(x)(x x 0 ), (4.1) où ε(x) est une quntité qui tend vers 0 lors que x x 0 (en fit, si l on définit ε grâce à l réltion ci-dessus, qui en donne l vleur en tout point x x 0,et on rjoute ε(x 0 ) = 0, on peut dire qu on obtient une fonction continue). Ce dernier. développement est obtenible à prtir de l défintion de dérivée, cr si f(x) f(x 0 ) x x 0 f (x 0 ), on peut dire f(x) f(x 0 ) = f (x 0 ) + ε(x) x x 0 et près réconstruire le dévéloppement souhité. L quntité ε(x)(x x 0 ) est ussi souvent notée pr le symbol o(x x 0 ). Il est en fit commun d écrire o(g(x)) si g est une fonction qui converge à zéro lorsque x x 0 et lors dns ce cs là dire f(x) = o(g(x)) ou f est un petit o de g signifie f(x) lim x x 0 g(x) = 0. Ceci équivut, dns l nottion de tout à l heure, f(x) = ε(x)g(x). Typiquement on utilise l nottion du petit o vec des puissnces de x x 0. Pr exemple on peut dire que x 2 + x 4 est un petit o de x pour x 0, mis non ps qu elle est un petit o de x 2 (cr l limite du rtio n est ps nulle mis 1). Les deux dévéloppements ont des vntges et désvntges : le premier est excte, mis les termes qui sont connus (si l on connit le comportement de f en x 0, c est-à-dire f(x 0 ) et f (x 0 )) s rrêtent tout de suite et il n y que l prtie f(x 0 ) ; pr contre, le deuxième utilise une fonction 43

ε dont on sit seulement qu elle converge vers zéro, mis il l vntge d rriver un peu plus loin vec les termes connus, cr il donne déjà une pproximtion vec une droite (l fonction x f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 )). Le but de ce genre de dévéloppement est en fit d pprocher une fonction utour d un point x 0 en connissnt les vleurs de f et de s dérivée. On verr dns les sections suivntes que on rriver à fire beucoup mieux en utilisnt ussi ses dérivées d ordre supérieur. 4.1 Dérivées d ordre supérieur Une question nturelle qu on se pose qund on une fonction f dérivble en tout point est celle de considérer l fonction x f (x) est se demnder : est-elle continue? est-elle dérivble? Il est ssez nturel de se convincre que f n est ps forcement une fonction dérivble et l exemple le plus fcile est le suivnt : Exemple 4.1.1. Considérons f(x) = x x, qui corréspond à deux prboles différentes, l une vec concvité en hut, l utre en bs, qui se joignent en 0 (cr f(x) = x 2 pour x 0 et f(x) = x 2 pour x 0). Il est fcile de clculer f (x) (et de vérifier qu elle existe) pour x 0, cr loclement l fonction coïncide vec une prbole connue. Concernnt 0, on peut clculer à l min l limite f x x 0 (0) = lim x 0 x 0 = lim x = 0 x 0 et finlement on obtient l expression générle f (x) = 2 x. Cette fonction n est ps dérivble en 0. Il est moins fcile de comprendre si f est forcement continue ou non. En fit il y ce résultt, dû à Drboux, qui montre que f une propriété typique des fonctions continues. Théorème 4.1.1 (Drboux). Soit A un intervlle et f : A R une fonction dérivble en tout point : lors, si x 0, x 1 A, pour toute vleur l intermediire entre f (x 0 ) et f (x 1 ), il existe ξ entre x 0 et x 1 tel que f (ξ) = l. Démonstrtion. (H.P.) Pr prticité, on v supposer l = 0, x 0 < x 1 et f (x 0 ) < 0 < f (x 1 ). Ceci ne réduit ps l générlité du théorème, cr il suffit de remplcer f pr l fonction x f(x) lx et, le cs échént, de chnger de signe f ou de fire un chngement de vrible x = x. Considérons donc l fonction f sur l intervlle [x 0, x 1 ] : comme elle est dérivble, elle est continue ussi et, l intervlle étnt fermé et borné, elle dmet minimum sur cet intervlle. Soit ξ ce point de minimum : on montrer ξ x 0 et ξ x 1, ce qui entriner qu il s git d un point intérieur, et donc f (ξ) = 0, ce qui conclut l preuve. Pour montrer ξ x 0 il suffit de remrquer f (x 0 ) < 0, ce qui empêche u point x 0 d être un point de minimum sur l intervlle [x 0, x 1 ], cr il ne respecte ps l condition nécessire pour les points du bord. En fit, si l dérivée u point initil est négtive, le point n est ps un minimum cr juste à s droite on des vleurs plus petites. Preillement on ξ x 1. Une utre propriété typique des fonctions continues qui est stisfite pr l dérivée est l suivnte. Théorème 4.1.2. Soit A un intervlle et f : A R une fonction dérivble sur A \ {x 0 }. Supposons lim x x 0, x x 0 f (x) = l R. Alors f (x 0 ) existe et est égle à l. En prticulier, si f est déjà dérivble prtout en A et lim x x0 f (x) existe lors f est continue u point x 0. 44

Démonstrtion. On veut démontrer f(x) f(x 0 ) lim = l. x x 0 x x 0 Pour cel on utilise le fit suivnt : pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que f l < ε sur ]x 0 δ, x 0 + δ[ (grâce à l hypothèse sur l limite des dérivées u point x 0 ). De plus, on utilise le théorème des ccroissements finis et on voit que, si x ]x 0 δ, x 0 + δ[ lors f(x) f(x 0 ) x x 0 = f (ξ) ]l ε, l + ε[, cr ξ ussi pprtient à ]x 0 δ, x 0 + δ[ (comme il est un point intermédiire entre x 0 et x). Ceci montre que l limite des tux d ccroissements est égle à l et que donc f est dérivble u point x 0 et f (x 0 ) = l. L même démonstrtion montre l continuité de f sous l hypothèse de l existence de l limite. Observtion 4.1.2. Le même enoncé peut s étendre u cs d une limite à guche ou à droite seulement, vec églité vec l dérivée guche (ou droite). En prticulier, cel l conséquence suivnte : si f : [, b] R est une fonction dérivble en tout point suf, peut-être en x 0 ], b[, et si les limites lim f (x) = l +, x x + 0 lim f (x) = l x x 0 existent, lors il y deux cs soit l + = l et lors l limite lim x x0, x x 0 f (x) existe, on pplique le théorème précédent et on trouve que f est églement dérivble en x 0 et l dérivée y vut l + = l ; soit l + l et lors ce n est que f d (x 0) et f g(x 0 ) qui existent, mis comme elles sont différentes, f (x 0 ) n existe ps. Observtion 4.1.3. Il est importnt remrquer l différence qu il y en théorie entre l limite des tux d ccroissement et l limite des dérivées. Si on nous demnde de démontrer qu une fonction f donnée est dérivble u point x 0 on devrit considérere les tux d ccroissement (f(x) f(x 0 ))/(x x 0 ) et leur limite pour x x 0, et non ps l limite lim x x0 f (x). Preillement, pour démontrer qu elle n est ps dérivble il fut démontrer que l limite des tux d ccroissement n existe ps, et non ps celle des dérivées. L exemple d en bs montre ussi que cette deuxième limite peut ne ps exister lors que le première existe. Pourtnt, le résultt du Théorème 4.1.2 nous ide si l limite des dérivées existe. De plus, si les limites droite et guche des dérivées existent et sont différentes, l fonction ne ser ps dérivble (cr l limite droite et l limite guche des tux d ccroissement seront différentes). Pourtnt, même si ces propriété sont typiques des fonctions continues, il n est ps vri que l dérivée d une fonction dérivble est continue, et on peut le voir de l exemple suivnt. Exemple 4.1.4. Considérons l fonction f donnée pr { x 2 sin 1/x si x 0, f(x) = 0 si x = 0. Cette fonction est dérivble en tout point : elle est dérivble hors de 0 cr composée et produit de fonctions dérivbles, et pour vérifier l dérivbilité en 0 il suffite de clculer l limite des tux d ccroissement, en obtennt f x 2 sin 1/x 0 (0) = lim = lim x sin 1/x = 0, x 0 x 0 x 0 où l dernière limite peut être cluclée grâce à x x sin 1/x x. On donc { 2x sin 1/x + cos 1/x si x 0, f (x) = 0 si x = 0. 45

On peut vérifier que cette expression n est ps continue en x = 0, cr il n existe ps l limite lim x 0 2x sin 1/x + cos 1/x, le premier terme convergent à zéro, mis le deuxième n ynt ps de limite. En vue des exemples ci-dessus, il est nturel introduire l notion de fonctions C k, c est-à-dire les fonction dérivbles vec continuité k fois. Qu est-ce qu il signifie? une fonction C 1 est une fonction qui est dérivble et telle que s dérivée est une fonction continue. Une fonction C 2 est une fonction telle qu on puisse fire cette opértion deux fois, c est à dire que elle est dérivble et s dérivée est non seulement continue, mis dérivble ussi vec dérivée continue. On dit ussi C 0 propos des fonctions continue. On peut résumer pr récurrence tout ç en cette définition. Définition 4.1.1. On dit qu une fonction f : A R est C 0 (A) si elle est continue. Pour tout k 1 on dit qu une fonction f : A R est C k (A) si elle est dérivble et l fonction f est C k 1 (A). Il n est ps difficile étblir le suivnt : Théorème 4.1.3. Soit k 1. Si f et g sont deux fonctions C k (A) lors f + g, fg sont ussi C k (A), insi que 1/f si en plus f 0 sur A. Si g est une fonction C k (f(a)) (C k sur l ensemble f(a), qui est un intervlle si A est un intervlle) lors g f C k (A). Si en plus f 0 sur A lors f 1 est C k (f(a)) (f 1 existe cr f 0 e, grâce à k 1, f C k implique l continuité de f, qui ser donc soit toujours positive soit toujours négtive, donc f est strictement monotone et donc inversible). Démonstrtion. Il suffit de tout démontrer pr récurrence. On sit que le résultt est vri pour k = 1. Mintennt on le suppose vri pour k = n et on le montre pour k = n + 1. Prenons f, g C n+1 (A) (donc f, g C n (A)) et considérons l somme et le produit. Comme on veut montrer que f + g, fg et 1/f pprtiennent à C n+1 (A) il nous suffit de montrer que leurs dérivées pprtiennent à C n (A). Les dérivées qu on regrde sont f + g, fg + f g et f /f 2 qui sont obtenues comme sommes, produits et rtios de fonctions C n. Donc, comme le résultt est supposé vri pour k = n, on en déduit que f + g, fg + f g et f /f 2 sont C n et donc f + g et fg sont C n+1. L idée est l même en ce qui concerne l composition : prenons f C n+1 (A) et g C n+1 (f(a)). L dérivée de l composée g f est donnée pr g f f qui est un produit d une fonction C n (A) (l fonction f, pr hypothèse sur f) et d une fonction qui est l composition de deux fonctions C n. en ppliqunt le résultt dns le cs k = n on trouve que (g f) est C n et donc g f est C n+1. Pour terminer il reste le cs de l inverse. Si f C n+1 (A) on clcule (f 1 ). On 1/(f f 1 ). L fonction f f 1 est l composition de deux fonctions C n et est donc C n. Là ussi on montré, en utilisnt les résultts pour k = n, que f 1 est C n+1. Observtion 4.1.5. On peut dire qu une fonction est continue en un point x 0, on peut dire qu elle est dérivble en ce point, mis si l on dit qu elle est C 1 en x 0 lors on veut en fit dire qu elle est u moins dérivble hors de x 0 ussi et que s dérivée est continue en x 0. Preillement, dire qu une fonction est C k en un point donné implique prler de ses dérivées hors de x 0 ussi. Sous le côté nottions, on ppelle dérivée seconde d une fonction f, et on l note pr f, l dérivée de s dérivée (f = (f ) ) et plus en générl on prle de dérivée k ième. On écris en générl f, f, f, f mis près on utilise l nottion f (k) pour l dérivée k ième. Qund on prle de combien de fois une fonction est dérivble vec continuité on ppelle ç le dégré de régulrité de cette fonction. Une fonction est usuellement dite régulière si elle est suffismment dérivble pour ce qu on veut y fire vec. Prfois on dit régulière pour dire C, ce qui est introduit dns l définition suivnte. Définition 4.1.2. Une fonction f est dite C (A) si f C k (A) pour tout k 0. 46

4.2 Formule de Tylor et dévéloppements limités On considère ici une fonction f suffismment régulière sur A et on donne des formules de développement beucoup plus fines de celles qu on donné vnt. Il s git en générl d pprocher une fonction f pr des fonctions polynomiles, en utilisnt les vleurs de f et de ses dérivées dns un point donné. Ce genre de développement est connu comme développement de Tylor. On présente ici deux différentes formules, qui donnent le même résultt (le même polynôme) mis l expression du reste est différente (et les hypothèses de régulrité ussi). On donner plus trd une définition plus générle de qu est-ce que c est qu un développement limité (ou DL, en générl il s git de remplcer une fonction pr un nombre limité d expressions plus fciles, des monômes) et on verr que les développements de Tylor sont des DL. On commence pr le premier, le développement de Tylor-Lgrnge. Théorème 4.2.1. Soit f : A R une fonction C n (A) qui dmet dérivées n + 1 ième en tout point de A et x 0 un point à l intérieur de A. Alors pour tout x A il existe un point ξ entre x 0 et x (c est-à-dire ξ ]x 0, x[ si x 0 < x ou ξ ]x, x 0 [ si x < x 0 ) tel que f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 f (x 0 )(x x 0 ) 2 + + 1 n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n + 1 (n + 1)! f (n+1) (ξ)(x x 0 ) n+1. Démonstrtion. (H.P.) L démonstrtion qu on v voir est un exemple de démonstrtion mgique où l on rrive à l thèse en considérnt des fonctions qui n ont ps grnde chose à voir et en leur ppliqunt d utres théorèmes, jusqu à en obtenir une formule qui, ppremment pr hsrd, est utilisble dns le cdre qui nous intéresse. Dns ce cs on considérer l fonction n (x t) k φ(t) = f(x) f(t) f (k) (x t)n+1 (t) A, k! (n + 1)! k=1 où A est une constnte à choisir pour fire en sorte d voir φ(x) = φ(x 0 ) et ppliquer le théorème de Rolle à φ sur l intervlle [x 0, x]. Remrquons d bord que φ(x) = 0 et φ(x 0 ) = R A(x x 0 ) n+1 /(n + 1)!, où R est le reste du développement de Tylor, c est-à-dire n (x x 0 ) k R = f(x) f(x 0 ) f (k) (x 0 ). k! k=1 Notre but ser exctement de montrer R = f (n+1) (ξ)(x x 0 ) n+1 /(n + 1)! pour un ξ entre x et x 0. Supposons mintennt qu on it choisi A de fçon à voir φ(x 0 ) = 0, c est-à-dire R = A (x x 0) n+1. (4.2) (n + 1)! On peut bien ppliquer le théorème de Rolle à l fonction φ cr elle est continue et dérivble prtout à l intérieur de l intervlle [x 0, x] pr conséquence du fit que f C n (A) (donc toutes les fonctions qui pprissent dns l définition de φ sont continues) et que f (n) est dérivble (et donc toutes les fonctions qui pprissent sont dérivbles ussi). Si l on clcule l dérivée de φ on trouve un effet téléscopique : φ (t) = f (t) + = n k=1 (x t) k 1 (k 1)! f (k) (t) (x t)n f (n+1) (x t)n (t) + A. n! (n)! 47 n (x t) k f (k+1) (x t)n (t) + A k! (n)! k=1

Le théorème de Rolle nous dit qu il existe un point ξ dns l intervlle entre x 0 et x vec φ (ξ) = 0. Ceci implique, grâce à l formule pour φ, qu on f (n+1) (ξ) = A. En remplcent A pr f (n+1) (ξ) dns (4.2), on trouve justement ce qui étit notre but. R = f (n+1) (ξ) (x x 0) n+1, (n + 1)! Comme dns le cs des ccroissements finis, on peut obtenir un utre développement, plus puissnt sous le point de vue hypothèses de régulrité-dégré du développement, mis dont le reste une formultion moins explicite. Théorème 4.2.2. Soit f : A R une fonction C n 1 (A) qui dmet une dérivée n ième u point x 0 A. Alors on f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 1 2 f (x 0 )(x x 0 ) 2 + + 1 n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n + o((x x 0 ) n ). Démonstrtion. Dns cette démonstrtion on v pr contre voir une utre technique de preuve très typique, et notmment celle de démonstrtion pr récurrence. On remrque que si n = 1 le théorème dit seulement que toute fonction dérivble dmet le développeent f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + o(x x 0 ). Ceci descend directement de l définition de dérivée. Or, supposons le théorème vri pour un certin rng n et démontrons-le pour n + 1. Prenons f qui stisfit les hypothèses de régulrité du théorème vec n + 1 : il est évident que lors f stisfit les hypothèses du théorème vec n. Appliquons donc le résultt à f : on trouve f (x) = n k=1 f (k) (x 0 ) (k 1)! (x x 0) k 1 + o((x x 0 ) n ). (4.3) On écrit R(x) = f(x) n k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k et on remrque que (4.3) peut s écrire sous l forme R (x) = ε(x)(x x 0 ) n, ε étnt une fonction qui tend vers zéro lorsque x x 0. Ceci signifie que pour tout η > 0 il existe δ > 0 tel qu on R (x) < η x x 0 n pour tout x (x 0 δ, x 0 + δ). L enoncé du théorème revient à montrer R(x) = o((x x 0 ) n+1 ). Pour cel on remrque R(0) = 0 et on écrit R(x) = R (ξ) x x 0 η ξ x 0 n x x 0 η x x 0 n+1, où l inéglité est vlble si x (x 0 δ, x 0 + δ), cr dns ce cs là ξ ussi pprtient u même intervlle. Ceci montre exctement et donc R(x) = o((x x 0 ) n+1 ). lim x x 0 R(x) = 0, (x x 0 ) n+1 Observtion 4.2.1. Il fut remrquer que l formule de Tylor-Young devient beucoup plus fcile à démontrer, et on peut l déduire de celle de Tylor-Lgrnge, si on met l hypothèse f C n (A) (ce qui est deux fois plus restricitve : prce que l on demnde une dérivée n ième prtout, ps seulement en x 0, et prce qu on l veut continue). En fit, il suffit d écrire l formule de Tylor-Lgrnge à l ordre n 1 et remrquer que (f (n) (ξ) f (n) (x 0 ))(x x 0 ) n = o((x x 0 ) n ). 48

Plus en générl on ppelle développement limité u point x 0 d une fonction f à l ordre n un polynôme P de dégré n tel que f(x) = P (x) + o((x x 0 ) n ). Ce qu on vient de montrer est que, si l fonction f est C n (C n 1 vec dérivées n ièmes étnt suffisnt) lors il existe en tout point un dévéloppement limité et les coefficients du développement sont clculés d près les vleurs des dérivées u point x 0. Il se peut que d utres fonctions, qui ne sont ps ssez régulières, dmettent qund même l existence d un développement limité d ordre supérieur à ce que l on urit pu s ttendre. En tout cs, si une fonction dmet un dévéloppement limité, ce développement est unique prmi les polynômes du même dégré. Théorème 4.2.3. Soit f : A R une fonction qui dmet deux dévéloppements limités du même ordre n et u même point x 0, de l forme vec deg P, deg Q n. Alors P = Q. f(x) = P (x) + o((x x 0 ) n ) = Q(x) + o((x x 0 ) n ), Démonstrtion. On déduit fcilement du fit que P et Q sont des dévéloppements limités d une même fonction f que P (x) Q(x) = o((x x 0 ) n ). On sit bien que tout polynôme peut être écrit en terme de puissnces de x x 0 à l plce des puissnces de x (il suffit de vérifier que 1, x x 0, (x x 0 ) 2,..., (x x 0 ) n forment une bse de l espce des polynômes de dégré inférieur ou égle à n, où de démontrer ce résultt pr récurrence sur n). Donc P Q peut s écrire sous l forme P (x) Q(x) = A(x x 0 ) k + n i=k+1 A i (x x 0 ) i, pour un coefficient A 0 (en choisissnt pour k le premier dégré vec coefficient non nul dns cette déomposition : si ce dégré n existe ps c est pr ce que P Q est le polynôme nul, et dns ce cs là on obtenu P = Q). Donc on A(x x 0 ) k + n lim i=k+1 A i (x x 0 ) i x x 0 (x x 0 ) n = 0. Pourtnt, dns cette limite, l seule prtie qui compte est A(x x 0 ) k lim x x 0 (x x 0 ) n, ce qui donne comme résultt soit ± si k < n soit A si k = n. Comme cette limite ne donne jmis zéro, on une contrdiction et donc P = Q. Ce résultt d unicité des DL plusieurs conséquences. Une première conséquence que l on voit concerne les fonctions pires et impires. Proposition 4.2.4. Soit A =], [ un ouvert symétrique de R qui inclut 0. Supposons que f : A R soit pire (c est-à-dire f(x) = f( x) pour tout x A). Alors tout développement limité de f en zéro est pire ussi (et donc le coefficient devnt toute puissnce d exposnt impire est nul). Si pr contre on suppose que f soit impire (c est-à-dire f(x) = f( x) pour tout x A) on peut dire lors que ses développements sont impires ussi. 49

Démonstrtion. Soit P un polynôme de dégré n tel que f(x) = P (x) + o(x n ) et f pire. On donc f(x) = f( x) = P ( x) + o(( x) n ) = P ( x) + o(x n ). Le polynôme x P ( x) est donc un utre DL du même ordre de f utour de zéro. Pr conséquent P (x) = P ( x) et donc P est pire. Si f est impire on obtient d où l on tire P (x) = P ( x). f(x) = f( x) = P ( x) o(( x) n ) = P ( x) + o(x n ), 4.3 Exemples et pplictions On v se rendre compte que l unicité du DL est à l bse de toute méthode de clcul du DL différente de l simple dérivtion iterée. On en donner tout de suite un exemple, mis cet exemple ser précédé pr quelques définitions concernnt l équivlence et l négligebilité des fonctions tendnt vers zéro. Définition 4.3.1. Soient f, g : A R deux fonctions définies u voisinge du point x 0 A et telles que lim f(x) = lim g(x) = 0, x x 0 x x 0 on dit lors que f et g sont équivlentes si et on dit que f est negligeble devnt g si f(x) lim x x 0 g(x) = l R \ {0}, f(x) lim x x 0 g(x) = l R \ {0}. Si f est équivlente à g on écrit f(x) = O(g(x)) et si f est négligeble devnt à g on écrit f(x) = o(f(x)). L reltion d équivlence étnt une reltion d équivlence, elle est symétrique et donc f(x) = O(g(x)) équivut à g(x) = O(f(x)). Observtion 4.3.1. On dit prfois que deux fonctions sont équivlentes en utilisnt une définition beucoup plus stricte, c est-à-dire que l limite fsse 1 à l plce de n importe quel nombre fini et non nul. Aussi, on prfois envie d étendre note définition u cs où l limite n existe ps : dns ce cs là on dit que les deux fonctions sont équivlentes si le quotient est loclement borné entre deux constntes c et C vec 0 < c < C < + (ou 0 > c > C > ). Non seulement, souvent pr bus de nottion on dit f(x) = O(g(x)) pour dire f est u pire de l ordre de g, c est-à-dire soit f(x) = O(g(x)), soit f(x) = o(g(x)). C est un peu comme qund on dit dénombrble pour dire soit dénombrble soit fini. Comme toujours, ce qui est importnt est d être clir, si vous utilisez l une de ces expressions, en fisnt comprendre, si besoin y, quelle convention vous choisissez, et de ne ps se bouleverser si trouvez une convention différente sur un livre ou un texte que vous lisez. On connit bien pr exemple les limites suivntes, qu on peut démontrer pr voie de considértions géometriques et de mnipultions lgébriques : sin x lim x 0 x = 1 ; lim 1 cos x x 0 x 2 = 1 2, ce qui nous donne les équivlences entre sin x et x et entre 1 cos x et x 2 u voisinge de 0. Ce qui nous intéresse en vue des DL est le suivnt : Observtion 4.3.2. Si f et g sont équivlentes u voisinge d un certin point x 0, les écritures o(f(x)) et o(g(x)) (eu voisinge du même point x 0 ) coïncident. 50

4.3.1 Clculs de DL et de limites En utilisnt tout ç, on peut voir les exemples suivnts. Exemple 4.3.3. Considérons l fonction f(x) = sin(2 sin(x/2)) et cherchons-en le DL jusqu à l ordre 4 en 0. On commence pr le sinus à l exterieur et on se souvient du DL sin y = y y 3 /3 + o(y 4 ). On v choisir près y = 2 sin(x/2). Pourquoi? pour réliser l sitution de l fonction qu on veut développer. Pourquoi -t on pris le DL du sinus jusqu à l ordre 4? cr le y qu on v utiliser ser équivlent à x et donc si l on cherche un reste o(x 4 ) on veut un reste du genre o(y 4 ). On donc sin(2 sin(x/2)) = 2 sin(x/2) 1 3 (2 sin(x/2))3 + o((2 sin(x/2)) 4 ). On peut remplcer o((2 sin(x/2)) 4 ) pr o(x 4 ) et les expressions vnt pr leurs DL. Celui de 2 sin(x/2) est fcile, mis pour le développement de son cube il y plusieurs mnières de procéder. On pourrit développer le sinus jusqu à l ordre 4 et puis en prendre le cube. Ceci v mrcher sûrement : il est toujours suffisnt de développer les fonctions qu on u dedns jusqu u même ordre qu on souhite réliser pour l fonction composée. Pourtnt, on peut fire mieux. Dns l expression (2 sin(x/2)) 3 = (2 sin(x/2)) (2 sin(x/2)) (2 sin(x/2)) = (x + o(x 2 )) (x + o(x 2 )) (x + o(x 2 )) on un produit vec un terme x 3 et d utres termes qui ont u moins deux fois x et une fois o(x 2 ). Comme x x o(x 2 ) = o(x 4 ), tous ces termes peuvent être negligés dns notre développement et mis ensemble u o(x 4 ) à l fin. On donc f(x) = sin(2 sin(x/2)) = x 2 6 Exemple 4.3.4. Considérons l fonction ( x 2 ) 3 + o(x 4 ) 1 6 x + o(x4 ) = x 5 24 x3 + o(x 4 ). f(x) = ln(cos x + x 3 ) et cherchons-en le DL jusqu à l ordre 5 en 0. On écrit ç comme f(x) = ln(1 + (cos x + x 3 1)) = ln(1 + y) vec y = g(x) = cos x + x 3 1. Comme ç on une fonction g telle que g(0) = 0 et on l compose vec l fonction ln(1 + y), dont on connît bien le développement, et notmment on ln(1 + y) = y y2 2 + o(y2 ) = y y2 2 + y3 3 + o(y3 ) = y y2 2 + O(y3 ). On utiliser l dernière version. Pourquoi s rrêt-on u reste O(y 3 )? Cr c est l fonction g qui ser de l ordre de x 2, et précisément g(x) = x2 2 + x3 + x4 24 + o(x5 ). On donc g(x) = O(x 2 ) (pour clculer l puissnce dont une fonction donnée est grnd O il suffit de trouver le développement de Tylor et près regrder le premier terme non nul). Or, si y = g(x) = O(x 2 ), on O(y 3 ) = O(x 6 ) = o(x 5 ). Il suffit donc de s rrêter à ce développement là dns le logrithme. Évidemment pour choisir l ordre où s rrêter dns l fonction à l extérieur il fut regrder l ordre d équivlence de l fonction à l intérieur de l composition. En générl il 51

est qund même toujours suffisnt développer l fonction à l extérieur ussi jusqu à l ordre finl souhité (dns ce cs, 5), mis prfois on peut économiser des clculs. Preil pour l fonction à l intérieur : il est toujours suffisnt d rriver jusqu à l ordre souhité, mis prfois on peut fire mieux. Notmment, si dns le développement de l fonction à l extérieur il y une prtie y (comme dns ce là), on y peut rien fire : on est forcé à développer jusqu u but cr de toute fçon on devr copier le développement de y = g(x) dns le résultt finl. Si pr contre on commence pr y 2 et on est dns le cs g(0) = 0 (donc g commence pr x) on se retrouver toujours à clculer des termes u moins g 2 (x) vec g qui commence pr x : chque terme de g ser multiplié dns le crré pr x u moins et on peut donc s rrêter un ordre vnt. C est un peu ce qu on v voir pour clculer g 2 (x) et son développement dns ce cs-ci. On g 2 (x) = ( ) 2 x2 2 + x3 + x4 24 + o(x5 ). On commence à multiplier chque terme fois tous les utres mis on néglige tout terme qui dépsse l ordre 5 (pr exemple x 3 fois x 3 ou x 4 fois x 2 ou les petits o). On obtient g 2 (x) = x4 4 x5 + o(x 5 ) et on s perçoit ussi que les termes en x 4 et o(x 5 ) n ont joué ucun rôle (cr, en étnt obligé de les multiplier toujours fois x 2 u moins, on dépssit sûrement l ordre 5). Plus en générl, si je dois clculer le DL à l ordre n d un produit du genre g 1 (x)g 2 (x) vec g 1 (x) = O(x k ) et g 2 (x) = O(x h ) on peut se contenter de développer g 1 jusqu à l ordre n h (cr on multiplier toujours fois x h u moins) et g 2 jusqu à n k (cr on multiplier toujours fois x k u moins). Qund on met tout ç ensemble on obtient f(x) = ln(cos x+x 3 ) = x2 2 +x3 + x4 24 +o(x5 ) 1 ( ) x 4 2 4 x5 + o(x 5 ) = x2 2 +x3 x4 12 +x5 2 +o(x5 ). Un utre exemple intéressnt est le suivnt. Exemple 4.3.5. Considérons l fonction f(x) = tn x et cherchons-en le DL jusqu à l ordre 3 en 0. Mis on veut le trouver rpidement, et sns regrder les tbleux de dévéloppements connus. Cependnt, on dmet de connître les dévéloppements du sinus et du cosinus, qui sont plus simples à s en souvenir. Non seulement, on dmet l existence du DL à l ordre 3 de l tngente, cr on sit qu elle est une fonction C (] π/2, π/2[). On écrit donc tn x cos x = sin x. On suppose tn x = A + Bx + Cx 2 + Dx 3 + o(x 3 ). Écrire les trois développements à l ordre 3 donner qutre équtions qui permettront de déduire les vleurs des snstntes inconnus A, B, C et D. Cependnt, fut ps exgérer : on sit bien que A vut 0 cr le premier terme du DL en un point x 0 est toujours l vleur f(x 0 ) et dns ce cs là on tn 0 = 0. En plus, on connît l vleur de B ussi, cr le coefficient du terme linéire coïncide toujours vec f (x 0 ). Ceci peut être vu en écrivnt le développement (4.1) et en utilisnt l unicité du DL. Et comme on sit clculer l dérivée de l tngente en 0 est elle vut 1, on ( x + Cx 2 + Dx 3 + o(x )) ( 3 1 1 ) 2 x2 + o(x 3 ) = x 1 6 x3 + o(x 3 ). En développnt les produits (et en négligent les termes en o(x 3 )) on trouve x + Cx 2 + Dx 3 1 2 x3 + o(x 3 ) = x 1 6 x3 + o(x 3 ). 52

Ceci signifie que l même fonction, le sinus, dmet deux développements limités en 0, et donc ils coïncident. Ceci implique C = 0 et D 1/2 = 1/6, ce qui donne C = 1/3. On donc tn x = x 1 3 x3 + o(x 3 ). On peut voir ce qu il se psse vec les fonctions réciproques. Exemple 4.3.6. Cherchons les DL jusqu à l ordre 3 des fonctions f(x) = rcsin x et g(x) = rctn x. On sit sin(rcsin x) = x. Prenons les DL limités à l ordre 3 de toute expression. Évidemment on ne connît ps encore celui de l rcsinus, mis on peut svoir qu il est de l forme x + Ax 3 + o(x 3 ). Ceci on le sit cr l fonction rcsinus vut zéro en zéro, s dérivée vut 1, et il s git d une fonction impire (donc il n y ps de prtie de dégré 2). On donc rcsin x 1 6 (rcsin x)3 +o((rcsin x) 3 ) = x; x+ax 3 +o(x 3 ) 1 6 ( x + Ax 3 + o(x 3 )) 3+o((rcsin x) 3 ) = x. Grâce u fit que rcsin x est équivlent à x u voisinge de 0 (ce qui est une conséquence du fit que l fonction vut zéro en zéro mis s dérivée non), on peut remplcer le o((rcsin x) 3 ) pr o(x 3 ). En plus, en développnt et en négligent les termes d ordre trop élevé, on obtient d où l on tire A = 1/6. x + Ax 3 1 6 x3 + o(x 3 ) = x, De mnière toute à fit équivlente on suppose rctn x = x+bx 3 +o(x 3 ) et on trouve B = 1/3. On pplique tout ç u clcul d une limite. Exemple 4.3.7. On veut clculer l limite tn x rctn x lim x 0 sin x rcsin x. On remrque que dénominteur et numérteur, les deux, vlent 0 et qu on donc une condition d indétermintion 0/0. Ceci correspond à fire un développement à l ordre 0, c est-à-dire à ne regrder que les vleurs des fonctions, mis nous on peut fire mieux. On regrde le développement à l ordre 1 et là ussi on voit que, comme toutes les fonctions tn x, rctn x, sin x, rcsin x sont de l forme x + o(x), on tombe encore sur une expression qui ne nous ide ps. On en effet o(x) lim x 0 o(x), ce qu on n est ps cpbles de triter cr en ce qui concerne o(x) on sit seulement lim x 0 o(x)/x = 0 mis on ne sit ps diviser un o(x) pr un utre. Il fut donc continuer vec les développements jusqu à un résultt meilleur. On le trouve à l ordre 3, où l on tn x rctn x sin x rcsin x = x 1 3 x3 + o(x 3 ) x 1 3 x3 + o(x 3 ) x 1 6 x3 + o(x 3 ) x 1 6 x3 + o(x 3 ) = 2 3 x3 + o(x 3 ) 1 3 x3 + o(x 3 ) = 2 3 + o(x3) x 3 1 3 + o(x3 ) Mintennt on peut clculer les limites des nouveux dénominteur et numérteur séprément et on obtient tn x rctn x lim x 0 sin x rcsin x = 2. En générl on développe séprément dénominteur et numérteur jusqu u premier ordre qui ne donne ps un résultt bnl (ici, l ordre 3). Après on regrde les exposnts qu on obtenus : pr exemple x 5 + o(x 5 ) lim x 0 x 3 + o(x 3 ) = lim x 0 53 o(x5) 1 + x x2 5 = 0, 1 + o(x3 ) x 3 x 3.

lors que, vec l même méthode (toujours diviser pr l puissnce qui pprît dns chque terme de l frction) on x 3 + o(x 3 ) lim x 0 x 5 + o(x 5 ) = + ; lim x 3 + o(x 3 ) x 0 ± x 4 + o(x 4 ) = ± ; lim Ax n + o(x n ) x 0 Bx n + o(x n ) = A B. 4.3.2 Minim, mxim et DL Les clculs des limites ne sont ps les seules pplictions possibles et intéressntes des DL. Les développements limités sont ussi très importnts en vue de l détection des points des minim et mxim locux. On en fit le théorème suivnt, qu on donne dns le cs d une fonction C. Théorème 4.3.1. Soit f :], b[ R une fonction C (], b[) et x 0 ], b[. Soit n = min{k 1 : f (k) (x 0 ) 0}. lors : si n est impire x 0 n est ni un minimum locl ni un mximum locl ; si n est pire et f (n) (x 0 ) > 0 lors x 0 est un point de minimum locl ; si n est pire et f (n) (x 0 ) < 0 lors x 0 est un point de mximum locl. Démonstrtion. Grâce u développement de Tylor on et donc f(x) = f(x 0 ) + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + o((x x 0 ) n ) n! f(x) f(x 0 ) = (x x 0 ) n ( f (n) (x 0 ) n! + o((x x 0) n ) ) (x x 0 ) n. Le signe à droite est donné pr le signe de (x x 0 ) n fois le signe de l prenthèse, qui ne dépende loclement que du signe de f (n) (x 0 ), cr f (n) (x 0 ) 0 et lim x x0 o((x x 0 ) n )/(x x 0 ) n = 0. Dns le cs n impir le signe du premier fcteur vrie selon l position de x pr rpport à x 0 lors que l utre ne vrie ps. Pr conséquent, u voisinge de x 0, l quntité f(x) f(x 0 ) est d un côté positive et de l utre négtive, ce qui implique que x 0 ne peut être ni un point de minimum locl (cr dns ce cs là on urit eu f(x) f(x 0 ) 0), ni de mximum locl (cr on urit eu f(x) f(x 0 ) 0). Dns le cs n pir, pr contre, le premier fcteur est e tout cs positif. Ceci implique que f(x) f(x 0 ) le même signe de l prenthèse, et donc on un minimum (f(x) f(x 0 ) 0) dns le cs f (n) (x 0 ) > 0 et un mximum (f(x) f(x 0 ) 0) dns le cs f (n) (x 0 ) < 0. Dns ce théorème on n ps supposé {k 1 : f (k) (x 0 ) 0} simplement cr l énoncé même du théorème portit sur n, son minimum : si cet ensemble est vide lors n n existe ps et donc il n y rien à démontrer. Il y ussi un vice-vers un peu plus fible. cette version porte directement sur x 0 et déduit quelque chose sur n, et c est pour ç qu on suppose, pour clrifier, que n existe (c est -à-dire que l ensemble dont on prend le minimum soit non vide). Théorème 4.3.2. Soit f :], b[ R une fonction C (], b[) et x 0 ], b[. Supposons {k 1 : f (k) (x 0 ) 0} et soit n = min{k 1 : f (k) (x 0 ) 0}. Alors : si x 0 est un point de minimum locl lors n est pire x 0 et f (n) (x 0 ) > 0 ; si x 0 est un point de mximum locl lors n est pire x 0 et f (n) (x 0 ) < 0. Démonstrtion. Il suffit d utiliser le théorème de tout à l heure pour en déduire qu il n est ps possible que n soit impire, ni que n soit pire mis que l dérivée it le muvis signe : dns ce cs là on urit un point qui est u même temps mximum locl et minimum locl, mis cel implique que l fonction est loclement constnte, c est à dire que toute dérivée s nnule en x 0. Et cel est en contrdiction vec les hypothèses. 54

Ces théorèmes correspondent un peu à ce qu on dns le cs de l dérivée première (si un point est un extremum locl lors l dérivée vut zéro, et cel peut s étendre à toute dérivée d ordre impir, dns un certin sens) et ux théorèmes bien connus sur l dérivée seconde (si elle est strictement positive le point rélise un minimum locl, si le point rélise un minimum locle lors elle est 0 : ici l inéglité est stricte mil reste qund même l possibilité que les dérivées s nnule toutes, ce qui correspond u cs d églité). Or, dns notre intuition on ne connît ps trop de fonctions qui ont toutes les dérivées nulles en un point donné et qui ne sont ps l fonction nulle. Pr exemple on sit que cel ne peut ps être vri pour un polynôme, cr un polynôme coïncide vec son développement de Tylor (c est-à-dire le DL d ordre n d un polynôme d ordre n reste nul, et cel peut être vérifié en utilisnt l unicité du DL). Pourtnt, il y l exemple suivnt. Exemple 4.3.8. Considérons l fonction f(x) = { 0 si x 0 e 1/x si x > 0. Cette fonction est une fonction C (R) et f (k) (0) = 0 pour tout k N. Pour s en rendre compte, on commence pr voir que lim x 0 + f(x) = 0 cr 1/x + et donc e 1/x e = 0. Ceci montre l continuité. Pour les dérivées, il suffit de clculer l dérivée à droite et on f (x) = e 1/x e 1/x x 2 et lim x 0 + x 2 = 0, cr cette dernière limite est une forme indéterminée 0/0 mis le zéro du numérteur l emporte sur celui du dénominteur grâce à son comportement exponentiel. Plus en générl, on peut montrer que l dérivée k ième de f est de l forme f (k) (x) = P (x) Q(x) e 1/x pour des polynômes P et Q (ceci peut être montré pr récurrence). Pr conséquent, on toujours lim f (k) (x) = 0, x 0 + ce qui montre u même temps que l fonction est C k (cr de l utre côté toute dérivée est nulle, l fonction étnt constnte) et que f (k) (0) = 0. 55

Chpitre 5 Intégrles 5.1 Fonctions Intégrbles Supposons qu une voiture roule à une certine vitesse v le long d une utoroute u déprt de Pris et qu on veuille svoir à quelle distnce de Pris elle se trouver près un temps T : l réponse est évidemment vt. Supposons mintennt que l voiture n it ps une vitesse constnte mis qui elle chnge de temps en temps s vitesse et que, pr exemple, elle it une vitesse v 1 pendnt un certin temps T 1, puis une nouvelle vitesse v 2 pendnt un temps T 2 (c est-à-dire entre l instnt T 1 et l instnt T 1 + T 2 ) et enfin une vitesse v 3 à prtir de l instnt T 1 + T 2 : si l on veut clculer l distnce où elle se trouver près un temps t l réponse ser v 1 t si t T 1 ; v 1 T 1 +v 2 (t T 1 ) si T 1 t T 1 +T 2 ; v 1 T 1 +v 2 T 2 +v 3 (t (T 1 +T 2 )) si T 1 +T 2 t. Et si l vitesse chngeit continuellement? l idée est que pour clculer l réponse dns le cs d une vitesse qui chnge de temps en temps il fut fire une somme de résultts du type vitesse fois temps" et que pour une vitesse en vrition perpétuelle il fudr une nouvelle technique, ce qui donner lieu ux intégrles. Pourtnt, elle ne ser ps si nouvelle que ç, comme en fit s définition ser bsée justement sur l idée d pprocher une vitesse en vrition pr des cs où elle vrie de temps en temps (mis très souvent, pour réliser une meilleure pproximtion). On commence donc pr l définition de fonction qui vrie seulement de temps en temps". Définition 5.1.1. On ppelle fonction étgée toute fonction f : [, b] R telle qu il existe un nombre fini de points (t i ) i=1,...,n vec = t 0 < t 1 < < t n 1 < t n = b tels que f est constnte sur tout intervlle de l forme I i =]t i, t i+1 [ vec i < n. On dit que les points t i donnent lieu à une prtition dptée à l fonction étgée f. On écrir E([, b]) pour l ensemble des fonctions étgées sur l intervlle [, b]. Une fonction étgée ser donc de l forme k 0 si x =, m 1 si = t 0 < x < t 1, k 1 si x = t 1, m 2 si t 1 < x < t 2, f(x) = k 2 si x = t 2,... k n 1 si x = t n 1, m n si t n 1 < x < t n = b, k n si x = b. (5.1) 56

Souvent on considère des intervlles semi-fermés du genre [t i, t i+1 [ de fçon à voir k i = m i+1 mis ce qu on veut souligner pr cette définition est que l vleur de f ux points de séprtion entre les intervlles n est ps importnte. En fit, dns les intégrles, l vleur en un point seul ne compte jmis. Évidemment toute fonction étgée f dmet, pr définition, u moins une prtition dptée mis elle en dmet en générl plusieurs (tout intervlle où l fonction est constnte peut en fit être ultérieurement séprée, tout en grdnt son crctère dpté). En suivnt l esprit des reltions qu on présentés entre vitesse et position, on peut définir l intégrle d une fonction étgée : Définition 5.1.2. Si f : [, b] R est une fonction étgée de l forme (5.1) on définit l intégrle de f sur l intervlle [, b] l quntité n f(t)dt := m i (t i t i 1 ). i=1 Cette quntité est bien définie (elle ne dépende ps de l prtition dptée choisie pour représenter f). Qund il n y ur ps d mbiguïté on pourr omettre l indiction de l vrible muette t et/ou de l intervlle d intégrtion, en écrivnt pr exemple f. Il fut qund même démontrer que l intégrle d une fonction étgée est bien définie. Démonstrtion. Considérons deux prtitions différentes T = ((t i ) i ) et S = ((s j ) j ) et supposons que l deuxième soit plus fine que l première : cel signifie que tout intervlle du type ]t i, t i+1 [ est divisé en plusieurs intervlles du type ]s j, s j+1 [ pour j = j i,..., j+ i. L fonction f vlnt m i sur tout le gros intervlle on obtiendrit un terme m i (t i+1 t i ) dns l expression de l intégrle due à l première prtition, églisée pr un terme j + i m j=j i (s j+1 s j ). Ceci montre que l i vleur de l intégrle ne chnge ps si l on psse d une prtition à une prtition plus fine. Comme deux prtitions distinctes dmettent toujours une prtition qui est plus fine des deux (il suffit de prendre l prtition composée pr l réunion des points des deux prtitions), on en déduit que l vleur de l intégrle est indépendnte de l prtition dptée choisie. Il est fcile vérifier l propriété suivnte : Proposition 5.1.1. Soient f et g deux fonctions en E([, b]) : on lors (f + g)(t)dt = f(t)dt + g(t)dt. Démonstrtion. En pssnt à une prtition plus fine, on peut supposer d écrire f sous l forme (5.1) et g sous une forme nlogue pour des coefficients m i qui remplcent les m i et l même prtition (t i ) i. On donc n n n (f +g)(t)dt = (m i +m i)(t i t i 1 ) = m i (t i t i 1 )+ m i(t i t i 1 ) = i=1 i=1 i=1 f(t)dt+ g(t)dt. Le but de l théorie de l intégrtion (ce type d intégrtion s ppelnt notmment Intégrtion de Riemnn est de donner un sens à l expression f(t)dt qund f n est ps n est ps étgée. On s occuper de le fire dns les prochines sections pour les fonctions continues, pr une procédure d pproximtion supérieure et inférieure. 57

Définition 5.1.3. Si f : A R est une fonction bornée et I R on dit que l intégrle de f sur A vut I si l propriété suivnte est stisfite : pour tout ε > 0 il existe une fonction étgée g + f et une fonction étgée g f telles que g + (t)dt < I + ε et g (t)dt > I ε. A Une fonction est dite intégrble si il existe une vleur I R qui stisfit cette définition. Pourquoi vons-nous supposé que f est bornée? prce qu utrement les ensembles des g E(A); g f et des g E(A); g f pourrient être vides. Si vous y réfléchissez-bien, cel rppelle un peu l définition de limite. On v donc donner un théorème d unicité ussi. Proposition 5.1.2. Si f : A R est intégrble, lors l vleur de son intégrle est unique. Démonstrtion. Il fut démontrer qu on ne peut ps voir deux vleurs différentes I < J qui stisfont en même temps l définition d intégrle. Pour le fire, prenons ε < (J I)/2. Il existe lors g + E(A) telle que g + f et A g+ (t)dt < I +ε. Il existe ussi g E(A) telle que g f et A g (t)dt > J + ε. Or, puisque J ε > I + ε, on trouve A g+ (t)dt < A g (t)dt. Pourtnt on g f g + et on sit que l intégrle préserve l ordre. On donc une contrdiction. Les fonctions intégrbles d près cette définition sont souvent dites fonction intégrbles selon Riemmnn ou Riemnn-intégrbles pour les distinguer des fonction intégrbles d près une utre définition, plus générle, donnée plus trd pr Lebesgue. On noter R(A) l ensemble des fonctions intégrbles selon Riemnn sur l intervl A. On remrquer ussi l crctéristion suivnte : Proposition 5.1.3. Une fonction bornée f : A R est intégrble si est seulement si, pour tout ε > 0, il existe une fonction étgée g + f et une fonction étgée g f, définies sur une même prtition dptée (t i ) i=1,...,n pr g + = m + i sur ]t i, t i + 1[ et g = m i sur ]t i, t i + 1[, telles que n 1 (t i+1 t i )(m + i m i ) < ε. i=0 Démonstrtion. Démontrer que si f est intégrble lors des fonctions g ± comme ç existent n est ps dur. Le fit qu elles soient définies sur une même prtition dptée n est ps restrictif (il suffit de rjouter des points ux prtitions, si nécessire). L condition qu on cherche à vérifier est g + (t)dt g (t)dt < ε, A A ce qui est évidemment vérifié si on prend les fonctions correspondntes à ε/2 dns l définition d intégrle. Il est pr contre très délict de démontrer l réciproque. Pourquoi? prce que pour démontrer qu une fonction f dmet une intégrle (et elle est donc intégrble), il fudrit produire l vleur du nombre I. Il fudrit en effet prendre quelque chose du type le minimum prmi les vleurs qui sont plus grndes que toutes les intégrles des fonctions étgées inférieures ou égles à f. Mis il fudrit démontrer que ce minimum existe. Cel repose sur des propriétés des nombre réelles qu on ne peut ps pprofondir, on v donc y croire. Ce critère d intégrbilité nous dit que les fonctions intégrbles sont celles qu on peut encdrer pr des fonctions étgées tout en obtennt une différence très petite entre les deux intégrles. Ceci demnde à voir soit des petites vleurs de t i+1 t i, soit des petites vleurs de m + i m i. A 58

On peut donc dire que les fonctions intégrbles sont les fonctions qui ont une petite oscilltion, si l on considère l possibilité de découper [, b] en sous-intervlles pour réduire les oscilltions et on pondère ces oscilltions vec les longueurs des correspondnts intervlles. Une fonction est intégrble donc si elle oscille peu ou si ses grndes oscilltions sont concentrées sur des petits intervlles. Il est fcile vérifier l propriété suivnte : Proposition 5.1.4. L espce R(A) est un espce vectoriel et, si f, g R(A) et λ R, lors A (f + g)(t)dt = A f(t)dt + A g(t)dt et A (λf)(t)dt = λ A f(t)dt. De plus, si φ : [c, d] R est une fonction Lipschitzienne et f(a) [c, d] lors φ f est intégrble ussi. Pour terminer, fg ussi est intégrble Démonstrtion. Commençons pr démontrer que f + g est intégrble, si f et g le sont. Évidemment elle est bornée comme somme de fonctions bornées. Considérons en plus des fonctions étgées h ± et k ±, toutes définies sur une même prtition dptée vec vleurs h ± i et k ± i sur ]t i, t i + 1[, respectivement, et telles que n 1 i=0 h + f, h f, k + g et k g, n 1 (t i+1 t i )(h + i h i ), (t i+1 t i )(k i + ki ) < ε/2. i=0 Si l on considère les fonctions étgées u ± = h ± + k ± on justement u + f + g u et u ± = h ± i + k ± i sur ]t i, t i + 1[, tout en ynt ussi n 1 i=0 (t i+1 t i )((h + i + k + i ) (h i + k i )) < ε. Ceci montre que f + g est intégrble grâce à l Proposition (5.1.3). Pour démontrer que f + g = f + g il suffit de prendre I et J ; intégrles de f et g, et des fonctions étgées h ± et k ± telles que I ε 2 < h (t)dt < h + f, h f, k + g et k g, h + (t)dt < I + ε 2 ; J ε 2 < k (t)dt < k + (t)dt < J + ε 2. Ceci nous montre fcilement que les fonctions étgées stisfont h + + k + f + g h + k et (h + + k + )(t)dt < I + J + ε et (h + k )(t)dt > I + J ε, ce qui nous dit (f + g)(t)dt = I +J = f(t)dt+ g(t)dt (remrquer comment cette preuve est similire à celle correspondnte concernnt les limites). Pour montrer que si f est intégrble et λ R lors λf est intégrble on peut voir ç comme un cs prticulier de l composition vec une fonction Lipschitzienne qu on verr plus en bs. Pr contre, dns le cs générl d une fonction Lipschitzienne il n est ps possible de déterminer l vleur de l intégrle. Ici il est u contrire simple de démontrer qu elle vut λ f et l démonstrtion procède comme celle pour le cs de l somme On veut montrer ussi l intégrbilité de φ f et fg. Pour l première, prenons g ± fonctions étgée définies usuellement vec g + f g et n 1 i=0 (t i+1 t i )(m + i m i ) < ε/l, où L est l constnte de Lipschitz de φ sur l intervlle [c, d]. On peut ussi supposer que, comme f(a) [c, d], les coefficients m ± i ont été choisis dns l intervlle [c, d]. Posons h + i := mx{φ(s) : s [m i, m+ i ]}; h i := min{φ(s) : s [m i, m+ i ]}. 59

Ces minim et mxim existent, prce que φ est une fonction continue et on regrde les intervlles compcts [m i, m+ i ]. Comme f(t) [m i, m+ i ] pour t ]t i, t i+1 [, lors les fonctions h ± définies comme étnt h ± i sur ]t i, t i+1 [ mjorent et minorent φ f, respectivement. De plus, grâce à l Lipschitziennité sur [c, d], on h + i h i L(m + i m i ). En prticulier n 1 i=0 ce qui montre l intégrbilité de φ f. (t i+1 t i )(h + i h i ) < ε, Pour le produit fg on utiliser un truc mlin : on note que fg = (f + g)2 f 2 g 2 2 et que le crré d une fonction intégrble est intégrble. Pourquoi? prce que si f est une fonction intégrble qui prend ses vleurs dns [c, d] (comme elle est bornée, ses vleurs sont toujours inclues dns un intervlle borné comme ç), lors on peut ppliquer le critère précédent, comme l fonction x x 2 est Lipschitzienne de constnte 2 mx{ c, d } sur cet intervlle (il s git d une fonction C 1 (R), donc s dérivée est bornée sur tout intervlle borné). En ppliqunt ceci à f, g et f + g, puis en fisnt des sommes et l multipliction pr 1/2, on trouve le résultt. On termine l section pr un exemple bien connu de fonction non-intégrble, qui est connue comme "fonction de Dirichlet". Exemple 5.1.1. Soit f l fonction donnée pr f(x) = { 1 si x Q, 0 si x / Q. Bien que bornée, l fonction f n est ps intégrble sur ucun intervlle [, b]. En effet, l fonction constnte 1 est une fonction étgée qui mjore f si comme l fonction constnte 0 est une fonction étgée qui l minore. De plus, toute fonction étgée qui mjore f doit vloir u moins 1 à l intérieur de tout intervlle ]t i, t i+1 [ de s prtition dptée, cr cet intervlle inclut forcement des points rtionnels où f vut 1. Symétriquement, toute fonction étgée minornte ne peut ps dépsser l vleur 0 sur les mêmes intervlles cr ces intervlles contiennent tous des point irrtionnels où f vut 0. Ceci montre que l intégrle des fonctions étgées minorntes vut u mximum 0 et celle des mjorntes u minimum 1. Il n est donc ps possible de stisfire l condition g + g < ε. 5.2 Des clsses de fonctions intégrbles 5.2.1 Fonctions monotones Dns cette section on v démontrer que des clsses suffismment mples de fonctions sont en fit des fonctions intégrbles. On prler notmment de fonctions continues et de fonctions monotone. Le cs le plus simple est celui des fonctions monotone. Nous rppelons ici que, bien qu on it mis en évidence u Chpitre 3 le lien entre signe de l dérivée et monotonie, il y des fonctions monotones non dérivbles. Et même non continues. Prce que si on se limitit ux fonctions dérivbles vec dérivée de signe constnte, ç serit des fonctions dérivbles, donc continues, et donc ps l peine de distinguer le cs des monotones de celui des continues. Théorème 5.2.1. Si f : [, b] R est monotone, lors f est intégrble. 60

Démonstrtion. Supposons pr simplicité que f soit croissnte (le cs décroissnte étnt tout à fit symétrique) Fixons n et prenons l prtition (t i ) i=0,...,n définie pr t i = + (b )/n (une prtition uniforme qui divise [, b] en n intervlles de même tille). On ppliquer le critère 5.1.3. Comme f est croissnte sur les intervlles t i, t i+1 [ on peut choisir deux fonctions étgées g + n et g n, mjornte et minornte de f, définies pr g + n (x) = f(t i+1 ), g n (x) = f(t i ) si x ]t i, t i+1 [, sur les mêmes intervlles de ces prtitions uniformes (t 0, t 1,..., t n ). Fisons le clcul de g+ n (t)dt g n (t)dt = (g+ n g n )(t)dt : (g + n g n )(t)dt = n 1 i=0 b n (f(t i+1) f(t i )) = b (f(b) f()). n Cette dernière quntité peut devenir ussi petite que l on veut si n est très grnd. Il suffit lors de choisir n suffismment grnd pour que cel soit plus petit qu ε et ppliquer donc le critère 5.1.3. L idée clé de cette preuve est que pour une fonction monotone on obtient un effet téléscopique de termes qui s effcent si l on prend des sous-intervlles de l même longueur. Il fut remrquer qu en générl il n est ps possible de démontrer l intégrbilité d une fonction en se restreignnt ux prtitions régulières (celles où tous les intervlles qui ont l même longueur). Le fit que pour les fonctions monotones soit possible est une propriété en plus de cette clsse de fonctions et le fit que l intégrle soit obtenue comme limite des sommes des vleurs de l fonction dns des points spéciux ussi. Les mêmes propriétés sont vries pour les fonctions continues mis sont moins évidentes. Ceci est dû u fit qu on n ps encore introduit une notion importnte reliée à l continuité, qui est celle de continuité uniforme. 5.2.2 L intégrbilité des fonctions continues et l uniforme continuité Définition 5.2.1. Une fonction f : A R est dite uniformement continue si pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que tout couple de points (x, y) A A stisfisnt x y < δ stisfit ussi f(x) f(y) < ε. C est quoi l différence entre l définition de continuité et d uniforme continuité? d bord l continuité est une propriété qui concerne une fonction f et un point x 0, lors que l uniforme continuité ne concerne que f. De plus, comme dns l définition de continuité le point x 0 été fixé, il le droit d intervenir dns le choix du δ, lors qu ici δ ne doit dépendre que de ε. Évidemment si une fonction est uniformément continue, lors elle est continue sur A (l notion d uniforme continuité est plus forte que celle de continuité en tout point de A). Le contrire n est ps vri, comme on peut voir de l exemple suivnt. Exemple 5.2.1. L fonction f : R R donnée pr f(x) = x 2 est continue mis elle n est ps uniformément continue. Pour voir ceci, il suffit d estimer les vritions de f entre un point x et un point x + h (prenons pr simplicité x, h > 0) : f(x + h) = x 2 + 2xh + h 2 f(x) + 2xh f(x). Si l on suppose pr l bsurde que f ést uniformément continue on urit f(x + h) f(x) ε pour tout h < δ. Mis l quntité 2xh peut être rendue ussi grnde qu on veut, si x est très grnd, et v sûrement dépsser ε. Pr contre, l même démonstrtion n urit ps mrché si on se restreignit à un ensemble borné de vleurs de x. 61

En revnche, il existe ps ml de clsses de fonctions qui sont uniformément continues et il s git en générl de clsses de fonctions où l continuité uniforme été mieux quntitifiée. Pr exemple, toute fonction Lipschitzienne est uniformément continue cr, si L est l constnte de Lipschitz d une fonction f, on stisfit toujours l définition d uniforme continuité en choisissnt δ = ε/l. Une clsse plus générle est l clsse des fonctions Hölderiennes (là ussi Hölder est le mec qui - peut-être - étudié le premier les propriétés de ces fonctions). Définition 5.2.2. Si α ]0, 1] une fonction f : A R est dite Hölderienne d exposnt α (ou α Hölderienne) si il existe une constnte C telle que f(x) f(y) C x y α pour tout couple (x, y) A A. Évidemment dns le cs α = 1 on retombe sur l définition des fonctions Lipschitziennes. Un exemple de fonction Hölderienne qui n est ps Lipschitzienne est le suivnt. Exemple 5.2.2. L fonction f : [0, 1] R donnée pr f(x) = x est Hölderienne d exposnt 1 2 mis elle n est ps Lipschitzienne. Pour voir qu elle Hölderienne, prenons x < y, puis considérons ( x + y x) 2 = x + y x + 2 x y x y. En prennt l rcine à droite et à guche on obtient x + y x y f(y) f(x) = y x y x 1/2. Pour voir qu elle n est ps Lipschitzienne il suffit de voir que s dérivée n est ps bornée. L 1 fonction f est en fit dérivble sur ]0, 1[ mis s dérivée est donnée pr 2 et on donc x lim x 0 + f (x) = +, ce qui implique que f n est ps bornée (et donc f n est ps Lipschitzienne sur ]0, 1[, ni fortiori sur [0, 1]. Observtion 5.2.3. Pourquoi prle-t-on de fonctions Höldériennes pour α 1 et non ps pour α > 1? Simplement cr les fonctions Höldériennes pour α > 1 sont triviles : toute fonction f : I R (I étnt un intervlle de R) stisfisnt f(x) f(y) C x y α pour un certin α > 1 est en fit constnte!! On peut le voir fcilement en clculnt s dérivée : f f(x) f(y) C x y α (x) = lim lim y x x y y x x y ce qui démontre que l fonction est prtout dérivble et l dérivée est prtout nulle. Comme on remrqué dns l exemple, l uniforme continuité est plus difficile sur R mis plus fcile sur les ensembles bornés. En prticulier, on les théorème suivnts, dont on ne voit ps es preuves. Théorème 5.2.2. Soient A un sous-ensemble fermé et borné de R et f : A R une fonction continue. Alors f est uniformément continue sur A. Une utre propriété importnte des fonctions uniformément continues est l suivnte : Théorème 5.2.3. Soit f : A R une fonction uniformément continue. Alors il existe une unique extension continue g de f à l dhérence Ā de l ensemble A, c est-à-dire une fonction continue g : Ā R telle que g(x) = f(x) pour tout x A. Corollire 5.2.4. Toute fonction f :], b[ R uniformément continue sur un intervlle borné est bornée. = 0, 62

Démonstrtion. Il suffit de prendre l extension g de f à [, b], qui ser une fonction continue sur un intervlle fermé et borné. Cette extension dmettr donc un mximum et un minimum et ser donc bornée. L fonction f résulte bornée comme restriction à un sous-ensemble plus petit d une fonction bornée sur un ensemble plus grnd. Observtion 5.2.4. L démonstrtion qu une fonction uniformément continue est bornée sur un intervlle bornée pourrit se fire sns psser à l extension continue sur un compcte. Il suffirit de dire que, en prennt ε = 1, il existe un δ > 0 tel que x y < δ entrîne f(x) f(y) < 1 et puis prendre une prtition t 0, t 1,... t n de l intervlle telle que t i+1 t i < δ. Si on pose M = mx i f(t i ) on trouve certinement f(x) M + 1 pour tout x, cr tout x est à distnce inférieure à δ de l un des points t i et donc f(x) f(t i ) + 1. Après cette prenthèse sur les fonctions uniformément continues, on peut profiter de cette notion pour revenir ux intégrles. Théorème 5.2.5. Soit f : [, b] R une fonction continue. Alors f est intégrble. Démonstrtion. Grâce u Théorème 5.2.2 l fonction f est uniformément continue ussi. Fixons ε > 0 et ppliquons l définition d uniforme continuité à ε/(b ) en trouvnt un δ. On diviser l intervlle [, b] en n sous-intervlles de l même longueur (b )/n en ppelnt t i = +i(b )/n les points de séprtion. Si on choisit n suffismment grnd on ur (b )/n < δ. Comme f est continue elle dmet un minimum et un mximum sur chcun des intervlles fermés [t i, t i+1 ] et on peut donc définir deux fonctions étgées g + et g, mjornte et minornte de f comme suit g + (x) = mx{f(t) : t [t i, t i+1 ]}, g (x) = min{f(t) : t [t i, t i+1 ]} pourx ]t i, t i+1 [. Remrquons que, à cuse de leur définition et du choix de δ, les fonctions g + et g stisfont g + (x) g (x) ε/(b ). En effet, on mx{f(t) : t [t i, t i+1 ]} = f(t M ) et min{f(t) : t [t i, t i+1 ]} = f(t m ) et t M t m t i+1 t i < δ et δ vit été choisi de mnière à grntir que t s < δ f(t) f(s) < ε/(b ). Fisons le clcul de g+ (t)dt g (t)dt = (g+ g )(t)dt : (g + g )(t)dt n 1 i=0 b n ε b = nb ε n b = ε. Ceci démontre que les intégrles des deux fonction étgées qu on choisies, qui mjorent et minorent f, diffèrent d une quntité plus petite que ε, et démontre l intégrbilité. Ceci montre que les fonctions continues ussi, comme les fonctions monotones, non seulement sont intégrbles, mis elles ont ussi l propriété que leurs intégrles peuvent être clculées pr prtitions uniformes. 5.3 Le théorème fondmentl du clcul et l IPP On verr dns cette section l instrument principl pour le clcul des intégrles, qui dns l prtique ne psse ps du tout pr l définition vi les fonctions étgées, ni pr les limites vec les prtitions. Cet outil qu on verr s ppelle à bonne rison théorème fondmentl du clcul intégrl" et relie les concepts d intégrle et de dérivée. Pour en prler on besoin d bord de remrquer un petit détil ssez fcile et connu sous le nom de formule de Chsles". 63

Lemme 5.3.1. Si f est une fonction intégrble sur un intervlle [, b] = [, c] [c, b] (c étnt un point intermédiire entre et b), lors on f(t)dt = c f(t)dt + f(t)dt. c Démonstrtion. Il fut d bord remrquer que cette églité, plutôt trivile, est encore plus trivile qund on prle de fonctions étgées, cr on à fire vec une églité des sommes. Si f est une fonction étgée et (t i ) i est une prtition qui lui est dptée, on peut supposer que c est l un des points séprteurs de l prtition (quitte à remplcer l prtition pr une prtition plus fine, où l on rjoute le point c). Supposons donc t k = c vec 0 < k < n. On n k 1 n 1 f(t)dt = m i (t i+1 t i ) = m i (t i+1 t i ) + m i (t i+1 t i ) = i=0 i=0 i=k c f(t)dt + f(t)dt. c Une fois cette églité étblie pour les fonction étgées, on l pplique ux fonctions g ± de l définition d intégrle pour f et le résultt découle pour f ussi. On est prêt à montrer le suivnt : Théorème 5.3.2 (Théorème fondmentl du clcul intégrl). Soit f : [, b] R une fonction intégrble, continue u point x 0. Alors l fonction F : [, b] R définie pr F (x) = x f(t)dt est dérivble u point x 0 et F (x 0 ) = f(x 0 ). Si f est continue en tout point lors F C 1 et F = f. Démonstrtion. Si l on remrque que toute fonction continue est intégrble, il suffit de démontrer l première prtie de l énoncé (le fit que l continuité en un point implique l dérivbilité de F u même point et l églité F = f à ce point-là). Qund f est continue en tout point, il suffir d ppliquer le même risonnement en tout point. Considérons donc f continue u point x 0. Si l on fixe ε > 0 et on pplique l définition de continuité on trouve un δ > 0 tel que t x 0 < δ implique f(t) f(x 0 ) < ε. Prenons mintennt x ]x 0, x 0 + δ[ : on F (x) = x f(t)dt = x0 x x f(t)dt + f(t)dt = F (x 0 ) + x 0 f(t)dt F (x 0 ) + (f(x 0 ) + ε)(x x 0 ). x 0 L dernière inéglité vient du fit que, si x ]x 0, x 0 + δ[ lors tous les points t ]x 0, x[ stisfont t x 0 < δ et donc f(t) f(x 0 ) + ε. On déduit donc F (x) F (x 0 ) x x 0 f(x 0 ) + ε pour tout x ]x 0, x 0 + δ[. On peut obtenir ussi F (x) F (x 0 ) x x 0 f(x 0 ) ε pour tout x ]x 0, x 0 + δ[ si l on considère que les points t ]x 0, x[ stisfont f(t) f(x 0 ) ε ussi. Ceci montre, pr l définition de limite, que l on lim x x + 0 F (x) F (x 0 ) x x 0 = f(x 0 ). 64

L limite de l utre côté n est ps différente si l on considère que l on, pour x < x 0, x x0 x0 x0 F (x) = f(t)dt = f(t)dt f(t)dt = F (x 0 ) f(t)dt x x et on continue vec les inéglités usuelles. Définition 5.3.1. Toute fonction dérivble F ynt l propriété F = f est dite une primitive de l fonction f. Ce qu on vient de montrer l double utilité de montrer que toute fonction continue dmet une primitive (et lors elle dmet une quntité infinie de primitives, F + c étnt elle ussi un primitive de f si F l est et c est une constnte) et que pour clculer des intégrles il suffit de clculer des primitives. En effet, pour clculer f(t)dt, il suffit de détecter une primitive F de f : cette primitive ne coïncider ps forcement vec l fonction G donnée pr G(x) = x f(t)dt, mis les dérivées des deux fonctions seront les mêmes. Alors on pourr dire que leur différence ser une constnte (comme l différence ur dérivée nulle). On ur lors F = G + c et on pourr clculer l constnte c en utilisnt G() = 0. On ur donc G(x) = F (x) F () (l constnte F () étnt l seule comptible vec G() = 0). En prennt x = b on ur donc f(t)dt = F (b) F (), pour n importe quelle primitive F de f, ce qui représente l méthode plus cournte de clcul d une intégrle. Pour plein de fonction en effet on est cpbles de déviner des primitives. Cel est plutôt fcile pour toute fonction puissnce : l primitive de x x k est x k+1 /(k + 1), pour tout k 1 (si k = 1 on ne peut ps utiliser l même formule, mis on s perçoit ssez rpidement qu on trouve un logrithme comme primitive de 1/x). Pourtnt, le clcul d une primitive ne suit ps les mêmes règles schémtiques du clcul d une dérivée et toute fonction n est ps fcile à intégrer (c est-à-dire en trouver une primitive). Non seulement, il y ussi des fonction élémentires" dont l primitive existe (cr elles sont des fonctions continues) mis elle n est ps de l même forme (élémentire, terme qui est utilisé pour indiquer toute fonction obtenue pr composition, produit, somme, quotient et prfois inversion des fonctions usuels : polynômes, exponentielles, logrithme, sinus, cosinus...). C est le cs pr exemple de l célèbre Gussienne f(t) = e t2. Pr contre une fonction ppremment plus compliquée comme f(t) = te t2 dmet une primitive clculble explicitement, donnée pr F (x) = e x2 /2. C est pour cette rison qu on est intéressée à des méthodes de clcul des intégrles qui nous ident soit à trouver des primitives, soit à trouver directement les vleurs d expressions de l forme f(t)dt. Ces expressions ne sont ps toujours clculées pr voie de l recherche d une primitive, cr prfois des considértions de symétrie (supposons que f est impire et = b, on obtient sûrement une intégrle nulle, quoi que ce soit l expression de f) peuvent ider, mis il est vri que souvent l même méthode de clcul de l intégrle serit cpble de donner le résultt générl (c est à dire pour tout b, et donc l primitive). Une méthode qui est souvent utile est celle d intégrtion pr prties, ce qui découle directement du théorème fondmentl du clcul Proposition 5.3.3 (Intégrtion pr prties, ou IPP). Soient f et g deux fonctions de clsse C 1 sur [, b]. On lors f(t)g (t)dt = f (t)g(t)dt + f(b)g(b) f()g(). 65

Démonstrtion. Prenons l fonction F = fg. S dérivée est F = f g + fg. On peut dire lors que F est l primitive de s dérivée et on donc ( f (t)g(t) + f(t)g (t) ) dt = F (b) F () = f(b)g(b) f()g(). En blnçnt le terme en f g de l utre côté on obtient l thèse. L utilité de l intégrtion pr prties est vriée. Elle donne une méthode de clcul des intégrles (et des primitives) qui est pplicble si l on un produit de deux fonctions (f et g ) dont une est fcile à dériver, l utre à intégrer (celle qui doit jouer le rôle de g ), et le produit de leur dérivée et primitive respectivement est fcile à intégrer (plus fcile que le produit originle). D utre côté l intégrtion pr prties est une méthode essentielle dns des problèmes vncés de mthémtiques en cs de mnque de régulrité. Si g est une fonction régulière mis f non, on peut remplcer l expression f g pr une expression contennt fg et les vleurs de f et g sur le bord. De plus, on peut vérifier (ce n est ps trivil mis ps trop difficile non plus) qu il vut l proposition suivnte : si u est une fonction telle que f(t)g (t)dt = u(t)g(t)dt + f(b)g(b) f()g() pour toute fonction g C 1 ([, b]), lors u = f. Ceci peut être utilisé comme crctéristion de l dérivée d une fonction. 5.4 Méthodes de clcul de primitives et intégrles On verr dns cette section, pr voie de nombreux exemples, l ppliction des méthodes les plus connues et utiles pour le clcul des intégrles. 5.4.1 Intégrles sur des intervlles spéciux (symétrie, périodicité) Exemple 5.4.1. Clculer 2π 0 sin 2 (x)dx. Si l on trce le grphe et on regrde le sous-grphe de x sin 2 (x) on s perçoit d une prticulrité : il est inscrit dns le rectngle [0, 2π] [0, 1] et ppremment l prtie qui lui mnque pour remplir le rectngle l même forme renversée et déclée. Ceci suggère que l ire mnqunte soit égle à l ire du sous-grphe et que donc l ire du sous-grphe soit l moitié de celle du rectngle. Ceci donnerit 2π 0 sin 2 (x)dx = π. Essyons de formliser ç vec des clculs. L prtie mnqunte correspond à l fonction différence entre 1 et sin 2 (x), c est-à-dire le cosinus crré. On 2π 0 sin 2 (x)dx + 2π 0 cos 2 (x)dx = 2π 0 1dx = 2π. Si l on montre que l intégrle du sinus u crré et du cosinus u crré donnent le même résultt (non ps leurs fonctions primitives, seulement leurs intégrles sur cet intervlle) on terminé, cr on ur 2 2π 0 sin 2 (x)dx = 2π 0 1dx = 2π. On remrque cos(x π/2) = cos(π/2 x) = sin(x), et donc cos(x π/2) 2 = sin 2 (x). Donc les deux fonctions sont l même, à un déclge de π/2 près. Ceci dit = 2π 0 0 π/2 sin 2 (x)dx = cos 2 (x)dx+ 2π cos(x π/2) 2 dx = 0 2π π/2 0 cos 2 (x)dx = 2π π/2 π/2 2π 2π π/2 cos 2 (x)dx 2π π/2 2π cos 2 (x)dx+ cos 2 (x)dx = cos 2 (x)dx. 0 0 66

On en conclut que l intéglre du sinus u crré sur cet intervlle est l moitié de celui de l fonction constnte 1. On utilisé l périodicité pour trnsformer 0 π/2 cos2 (x)dx en 2π 2π π/2 cos2 (x)dx. Exemple 5.4.2. Clculer 1 1 sin(x)ex2 log(1 + x ) cos(x 3 )dx. On remrque tout de suite qu essyer de clculer une primitive de l fonction intégrnde est un défi sns espoir de réussite : on n est ps trop cpbles de trviller vec des produits ni de mélnger fonctions trigonométrique et logrithme. Mis, il y une prticulrité de l fonction dns l intégrle qui nous pourr ider : elle est impire! pourquoi? cr si l on chnge le signe de x on chnge le signe à sin(x) mis on le lisse inchngé dns tous les utres fctors des produits, comme soit ils contiennent x ou x 2, soit ils sont des fonctions pires (comme le cosinus, où l on chnge le signe du cube à l intérieur). Et lors, c est combien l intégrle d une fonction impire sur cet intervlle? l intégrle est nulle comme l intervlle est symétrique (si on vit dû l intégrer sur [ 1, 2] on n urit ps pu le dire). Ceci est un résultt générl qui peut se démontrer (sns psser pr le chngement des vribles, ce qui simplifierit beucoup les choses) comme ç : démontrons que sur un intervlle symétrique M M f(t)dt = M M f( t)dt (cette propriété peut être obtenue à prtir des fonctions étgées) ; près on utilise le fit que f est impire pour dire M M f(t)dt = M M f( t)dt, et les deux églités ensemble disent que les deux intégrles sont nulles. Qu est-ce qu on urit pu dire à propose de l intégrle dune fonction pire, pr contre? Ici ce qu on peut montrer est M 0 f(t)dt = 0 M f(t)dt (toujours en héritnt l propriété des fonction étgées). Et donc M M f(t)dt = 2 M 0 f(t)dt. Mis ceci ne nous ide ps à clculer l vleur... 5.4.2 Intégrtion pr prtie : récurrence et ruses spéciles En prtnt du cs du sinus u crré, on se concentrer ici sur le clcul de quelques primitives et de quelques intégrles sur des intervlles qui ne présentent ps de symétrie spéciles, où l instrument principle est l intégrtion pr prtie. Pourtnt, il s gir d intégrtion qui ne seront ps tout de suite chevée pr une simple intégrtion pr prtie, mis il fudr fire quelque chose en plus. Exemple 5.4.3. Clculer sin2 (x)dx et déterminer une primitive de l fonction intégrnde. Comme on un produit (sin(x) sin(x)) dns l fonction intégrnde, on peut essyer une intégrtion pr prtie. On poser donc f(x) = sin(x) et g (x) = sin(x), ce qui entrîne f (x) = cos(x) et g(x) = cos(x). On donc sin 2 (x)dx = = f(x)g (x)dx = f (x)g(x)dx + [fg] b cos 2 (x)dx sin(b) cos(b) + sin() cos(). Il fut donc clculer l intégrle du cosinus u crré. Appremment on n ps ggné grnde chose cr l difficulté de cette intégrle ser l même de l utre. On peut en fit voir que l difficulté est l même si l on écrit cos 2 (x) = 1 sin 2 (x). On trouve donc sin 2 (x)dx = 1dx sin 2 (x)dx sin(b) cos(b) + sin() cos(). Appremment c est encore pire, cr pour clculer l intégrle du sinus u crré on justement trouvé une expression qui reprend l même vleur. Mis, les coefficients de cette intégrle d un côté et de l utre de l églité ne sont ps les mêmes, et on peut donc blncer l deuxième intégrle du côté guche de l églité en obtennt 2 sin 2 (x)dx = 1dx sin(b) cos(b) + sin() cos() = b sin(b) cos(b) + sin() cos(). 67

Ceci donne le résultt finl sin 2 (x)dx = b 2 1 2 sin(b) cos(b) + 1 sin() cos(). 2 C est qui l primitive ssociée à cette intégrtion? si on considère le Théorème fondmentl du clcul on sit que l on trouve une primitive d une fonction f si on clcule F (x) = x f(t)dt. Il suffit donc prendre l expression qu on clculée et remplcer b pr l vrible x. Non seulement, on même le droit d oublier tout ce qui ne concerne que, cr il ser une constnte pr rpport à l vrible. On donc F (x) = 1 2 x 1 sin(x) cos(x). 2 Comment peut-on vérifier que cel soit bien l primitive? en l dérivnt! est-il obligtoire de le fire? non, si on l trouvé grâce à une méthode existnte et rigoureuse, qu on n ps inventée. Cependnt, on peut le fire qund on n est ps sûr de notre résultt, et on peut le fire ussi chque fois qu on ne veut ps détiller les pssges intermédiires pour rriver u résultt même. Ceci pourrit être le cs soit qund ils sont trop longs, soit qund on doute de leur rigueur ou qund on est sûr de l bsence de rigueur (disons, qund on triché). Donc on utiliser dns ce cs nos clculs comme une ide à deviner une cndidte primitive, et son être primitive ser montré en dérivnt. Ici on F (x) = 1 2 1 2 cos2 (x) + 1 2 sin2 (x) = 1 2 sin2 (x) + 1 2 sin2 (x) = sin 2 (x). Exemple 5.4.4. Clculer sin3 (x)dx et déterminer une primitive de l fonction intégrnde. Ici ussi on un produit, de l forme sin 2 (x) sin(x), pr exemple. Il fut choisir qui jouer le rôle de f et qui de g. Le rôle plus délict est celui de g, cr il fudr intégrer cette fonction. Normlement on est cpble d intégrer les deux, mintennt, mis c est qund même vri qu intégrer le sinus plutôt que son crré est plus simple, lors que pour le dériver l différence n est ps trop grnde. Donc on pose f(x) = sin 2 (x) et g (x) = sin(x). On f (x) = 2 sin(x) cos(x) et g(x) = cos(x). Donc sin 3 (x)dx = 2 sin(x) cos 2 (x)dx sin 2 (b) cos(b) + sin 2 () cos(). Il fut intégrer sin(x) cos 2 (x). On peut utiliser cos 2 (x) = 1 sin 2 (x) et obtenir sin 3 (x)dx = 2 sin(x)dx 2 sin 3 (x)dx sin 2 (b) cos(b) + sin 2 () cos(). Comme tout à l heure, on peut rmener le terme en sinus u crré du côté droit sur le côté guche, en trouvnt et finlement 3 sin 3 (x)dx = 2 sin(x)dx sin 2 (b) cos(b) + sin 2 () cos() = 2 cos(b) + 2 cos() sin 2 (b) cos(b) + sin 2 () cos() sin 3 (x)dx = 2 3 cos(b) + 2 3 cos() 1 3 sin2 (b) cos(b) + 1 3 sin2 () cos(). On vérifie dns ce cs ussi, en posnt F (x) = 2 3 cos(x) 1 3 sin2 (x) cos(x). F (x) = 2 3 sin(x) 2 3 sin(x) cos2 (x) + 1 3 sin3 (x) = 2 3 sin(x)(1 cos2 (x)) + 1 3 sin3 (x) = sin 3 (x). 68

Le cs générl peut être pproché pr récurrence Exemple 5.4.5. Donner une formule récursive pour sinn (x)dx. On ppeller I n (, b) cette intégrle. Il s git de l intégrle d un produit, de l forme sin n 1 (x) sin(x), pr exemple. Le seul choix risonnble est f(x) = sin n 1 (x) et g (x) = sin(x). On donc f (x) = (n 1) sin n 2 (x) cos(x) et g(x) = cos(x). Donc sin n (x)dx = (n 1) sin n 2 (x) cos 2 (x)dx sin n 1 (b) cos(b) + sin n 1 () cos(). Pour le terme sin n 2 (x) cos 2 (x) on peut utiliser l stuce hbituelle et obtenir sin n (x)dx = Ceci signifie (n 1) sin n 2 (x)dx (n 1) sin n (x)dx sin n 1 (b) cos(b)+sin n 1 () cos(). I n (, b) = (n 1)I n 1 (, b) (n 1)I n (, b) sin n 1 (b) cos(b) + sin n 1 () cos(), d où I n (, b) = n 1 n I n 1(, b) 1 n sinn 1 (b) cos(b) + 1 n sinn 1 () cos(). Le même résultt peut être utilisé pour l recherche d une primitive, en obtennt 5.4.3 Des cs simples F n (x) = n 1 n F n 1(x) 1 n sinn 1 (x) cos(x). Ici on regrde deux exemples qui ont l seule propriété en commun de ne ps demnder trop de trvil : une intégrtion pr prtie qui n ps besoin de fire de l récurrence ou de rmener un terme de l utre côté et une fonction composée dont on peut deviner l primitive (et qui nous ser utile pour introduire les chngements de vribles). Exemple 5.4.6. Clculer x sin(x)dx et déterminer une primitive de l fonction intégrnde. On un produit, on envie de fire une intégrtion pr prtie. On veut trnsformer cette intégrle en une intégrle plus simple. Ceci est possible cr l fonction x se simplifie qund on l dérive lors que l fonction sin(x) ne se complique ps. Posons f(x) = x et g (x) = sin(x). On f (x) = 1 et g(x) = cos(x). Donc x sin(x)dx = cos(x)dx b cos(b) + cos() = sin(b) sin() b cos(b) + cos(). On vérifie dns ce cs ussi, en posnt F (x) = sin(x) x cos(x). Exemple 5.4.7. Clculer b > > 0). F (x) = cos(x) cos(x) + x sin(x) = x sin(x). ln k (x) x dx et déterminer une primitive de l fonction intégrnde (vec Ici le gros vntge est qu on le produit d une fonction du logrithme fois l fonction 1/x, qui en est l dérivée. Devinons l primitive : si l on prend une puissnce du logrithme en dérivnt on trouve bien une puissnce du logrithme divisée pr x. Il est fcile de voir que l exposnt à prendre ser un en plus pr rpport à l exposnt dns l intégrle. Le coefficient ussi peut être deviné. On pose F k (x) = ln k+1 (x)/(k + 1). On bien F k (x) = lnk (x)/x. Bien sûr, ce clcul ne mrche ps si k = 1. Ceci est norml, on ne peut ps clculer l primitive d une puissnce vec exposnt 1 en rjoutnt 1 à l exposnt, on le sit. On sit ussi que dns ce cs on trouverit un logrithme. On essie donc F 1 (x) = ln(ln(x)), ce qui donne bien F 1 (x) = 1/x ln(x). 69

Après voir trouvé les primitives, on peut fcilement dire ln k (x) ln k+1 (b) ln k+1 () dx = k+1, si k 1, x ln(ln(b)) ln(ln()) si k = 1. 5.4.4 Chngement de vrible d intégrtion L exemple 5.4.7 nous donne une idée intéressnte : si dns une expression à intégrer il y le logrithme qui pprit souvent, mis il y ussi l dérivée du logrithme, lors on peut oublier l prtie vec l dérivée, regrde l fonction qu on composée vec le logrithme, en prendre l primitive, et y mettre u dedns le logrithme dns le résultt. Ceci se peut générliser. En utilisnt l convention f(t)dt := b f(t)dt si > b, on : Théorème 5.4.1. Soit f : [, b] R une fonction continue et g : [c, d] [, b] une bijection C 1. Alors on f(t)dt = g 1 (b) g 1 () f(g(s))g (s)ds = d c f(g(s)) g (s) ds. Démonstrtion. Soit F une primitive de f, qui existe grâce u théorème fondmentl du clcul (f étnt continue). Considérons F g : est-elle primitive de quelque chose? oui, cr elle est C 1 (comme composée de fonctions C 1 ) et elle est donc une primitive de s dérivée. S dérivée est bien s f(g(s))g (s). On donc, pour tout x et y, y f(g(s))g (s)ds = F (g(y)) F (g(x)). Si l on prend x = g 1 () et y = g 1 (b) on trouve x g 1 (b) g 1 () f(g(s))g (s)ds = F (b) F () = f(t)dt, où l dernière églité vient du Théorème Fondmentl du Clcul et de ses conséquences. Ceci montre l première prtie de l thèse. Pour conclure et voir g 1 (b) g 1 () f(g(s))g (s)ds = d c f(g(s)) g (s) ds il suffit de distinguer deux cs : comme g est une bijection continue (elle est C 1 ), elle est strictement monotone ; soit elle est croissnte (et dns ce cs on g(c) = et g(d) = b, cr sinon on ne peut ps réliser une bijection, et g 0), soit elle est décroissnte (vec g(c) = b et g(d) = et g 0). Dns le premier cs l églité est immédite, dns le deuxième il y un double chngement de signe, cr l intervlle résulte renversé mis g = g. Ce théorème peut être utilisé dns deux directions : soit on doit intégrer une fonction composée f(g(t)) multipliée fois g (c est le cs de notre dernier exemple), et lors on psser à l intégrle de f tout court, soit on une fonction f(t) et pour quelques risons on soupçonne que remplcer t vec g(s) pourrit être mlin (il fut que dns le produit f(g(s))g (s) il y it quelque simplifiction, sinon cel ne vut ps le coup). Ce dernier cs ser développé dns l exemple suivnt. Exemple 5.4.8. Clculer 1 x 2 dx et déterminer une primitive de l fonction intégrnde (vec 1 < b 1). On fer le chngement de vrible suivnt : x = sin(y). L fonction y sin(y) est une bijection croissnte de [ π/2, π/2] vers [ 1, 1] et s restriction à l intervlle [rcsin(), rcsin(b)] le ser 70

vers [, b]. On ppliquer le théorème 5.4.1 vec f(t) = 1 t 2 et g(s) = sin(s). Il fut remplcer x vec sin(y), dx vec cos(y)dy et les bornes d intégrtion. On 1 x 2 dx = rcsin(b) rcsin() rcsin(b) 1 sin 2 (y) cos(y)dy = cos 2 (y)dy rcsin() (on utilisé cos 2 (y) = 1 sin 2 (y) mis cos(y) 0 sur [ π/2, π/2] ussi). Il fut mintennt clculer l primitive de cos 2 (y) mis cel on sit le fire. De l reltion cos 2 (y) = 1 sin 2 (y) on tire que l primitive F du cosinus u crré est donnée pr On donc F (x) = x 1 2 x + 1 2 sin(x) cos(x) = 1 2 x + 1 sin(x) cos(x). 2 1 x 2 dx = 1 2 (rcsin(b) rcsin())+1 2 sin(rcsin(b)) cos(rcsin(b)) 1 sin(rcsin()) cos(rcsin()). 2 On remrque sin(rcsin(x)) = x et cos(rcsin(x)) = 1 sin 2 (rcsin(x)) = 1 x 2 et on continue : 1 x 2 dx = 1 2 (rcsin(b) rcsin()) + 1 2 b 1 b 2 1 2 1 2. On peut déduire que une primitive de f(x) = 1 x 2 est donnée pr F (x) = 1 2 rcsin(x) + 1 2 x 1 x 2. Ce résultt peut être vérifié en utilisnt (rcsin) (x) = (1 x 2 ) 1/2, ce qui est une conséquence de l formule pour le clcul de l dérivée d une fonction réciproque. Dns l exemple précédent on directement cherché à clculer le résultt d une intégrle sur un intervlle [, b] et on bien fit ttention à chnger les bornes lors du chngement de l vrible. Il fut fire ttention qund on clcule une primitive ussi. Une écriture du type 1 x 2 dx = cos 2 (y)dy pourrit engendrer de l confusion et suggérer que l primitive de l fonction 1 x 2 coïncide vec l primitive de l fonction cos 2. Ceci n est ps vri, cr il fut composer cette dernière primitive vec l fonction réciproque du chngement de vrible, l rcsinus dns ce cs. On termine cette section pr quelques remrques sur des fonctions moins connues que le sinus et le cosinus mis qui peuvent être ussi utiles dns ce genre d intégrles. On définit les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique pr sinh(x) = ex e x ; cosh(x) = ex + e x. 2 2 Ces fonctions, qui sont définis tout à fit différemment (suf si l on considère l expression complexe du sinus et du cosinus, sin(x) = (e ix e ix )/2 et cos(x) = (e ix + e ix )/2), ont beucoup de propriétés similires ux fonctions trigonométriques, qui peuvent être vérifiées à l min. On notmment sinh = cosh; cosh = sinh; cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1; cosh(0) = 1, sinh(0) = 0; insi que des formules d ddition similires à celles trigonométriques. Dns tous les cs, il y des différences de signes. 71

Un chngement de vrible x = sinh(y) est très utile pour le clcul d une primitive de 1 + x 2 insi comme x = cosh(y) pour x 2 1 (remrquer l différence de signe pr rpport à l exemple précédent). Évidemment, dns le clcul explicite des primitives on trouver les fonctions réciproques du sinus et du cosinus hyperboliques, qui peuvent être obtenues en résolvnt les équtions e x e x 2 = y et ex + e x en mettnt X = e x, résolvnt une éqution de seconde dégré, puis prennt le logrithme. 2 = y, 5.4.5 Fonctions rtionnelles Exemple 5.4.9. Clculer x+1 dx et déterminer une primitive de l fonction intégrnde x 2 3x+2 (il fut se plcer sur un intervlle qui ne touche ps les zéros de dénominteur : pr souci de simplicité supposons ici 2 < < b). Pour trouver cette primitive on réécrir l fonction intégrnde de mnière plus simple. Il est en effet possible trouver des constntes A et B telles que x + 1 x 2 3x + 2 = A x 1 + B x 2. On verr près quelles sont les critères pour exprimer une frction du type P (x)/q(x) comme somme de frctions plus simples, et ici on se contenter de trouver explicitement ces deux constntes en résolvnt un système. Pour que l églité qu on cherche soit vérifiée il fut imposer x + 1 x 2 3x + 2 A(x 2) + B(x 1) = x 2, 3x + 2 ce qui équivut, en imposnt l églités des coefficients de x et des constntes, à { 1 = A + B, 1 = 2A B. L solution de ce système est A = 2, B = 3. On donc x + 1 x 2 3x + 2 = et donc l primitive cherchée est donnée pr 2 x 1 + 3 x 2 F (x) = 2 ln(x 1) + 3 ln(x 2). Exemple 5.4.10. Clculer x4 2dx et déterminer une primitive de l fonction intégrnde (là x 3 1 ussi, pr souci de simplicité, on supposer 1 < < b). On chercher de fire une décomposition de l frction intégrnde qui s inspire à celle de l exemple précedent. Pour commencer, cependnt, on s perçoit que, comme le numérteur un degré plus élevé que le dénominteur, il ser possible de sortir des termes de l frction. On en effet x 4 2 = x(x 3 1) + x 2 et donc x 4 2 x 3 1 = x + x 2 x 3 1. On est bien cpble de clculer une primitive de x et ce qui nous reste à fire est clculer une primitive de l frction qu on obtenu. L vntge est qu on réduit le degré du numérteur. Ceci peut être toujours fit si l on P (x)/q(x) et deg P deg Q : grâce à P = P 1 Q + P 2 (division euclidienne des polynômes vec un reste) on rrive à des frctions vec deg P 2 < deg Q. 72

Tout à l heure on vit décomposé l frction comme une somme de termes plus simples dont les dénominteurs étient les fcteurs du dénominteur initil. Ici, si l on veut fire une décomposition en fcteurs de degré 1, il fudrit psser ux complexes et utiliser x 3 1 = (x 1)(x + 1/2 i 3/2)(x + 1/2 + i 3/2). Pourtnt, si le but est prendre des primitives plus fciles et psser notmment ux logrithmes, ceci n est ps très utile cr ln(x + 1/2 i 3/2) ne signifie rien! On est donc forcé à grder l décomposition réelle (x 3 1) = (x 1)(x 2 + x + 1). Il ne ser ps possible lors d espérer de trouver une décomposition du type x 2 x 3 1 = A x 1 + B x 2 + x + 1 cr le résultt à droite ne dépende que de deux prmètres, lors que à droite on urit pu voir priori n importe quelle frction P 2 /Q vec deg P 2 < 3 (un résultt qui dépend donc de trois prmètres, les trois coefficients de P 2 ). L décomposition qui ser vrie ser pr contre l suivnte : x 2 x 3 1 = A x 1 + Bx + C x 2 + x + 1. Pour clculer les coefficients A, B et C (et u même temps démontrer leur existence, cr on n ps évoqué des théorèmes générux qui l ssurent) il fut imposer ce qui signifie x 2 = A(x 2 + x + 1) + (Bx + C)(x 1), 0 = A + B, 1 = A B + C 2 = A C. Ici ussi l solution est simple (il suffit de trouver A en sommnt les trois lignes) : A = 1/3, B = 1/3 et C = 5/3. On ne détiller ps tous les clculs ici mis on veut seulement montrer comment on peut intégrer les fonctions qui pprissent. Il n y ps de problèmes à intégrer A/(x 1), qui donner lieu à un logrithme. Concernnt l prtie (Bx + C)/(x 2 + x + 1), on commence en écrivnt le numérteur comme λ(2x+1)+µ (ce qui est possible en prennt λ = B/2 et µ = C B/2). Pourquoi? prce que l première prtie est fcile à intégrer. On en effet l frction (2x+1)/(x 2 +x+1), qui l propriété que le numérteur est l dérivée du dénominteur. Chque fois qu on u /u l primitive est ln(u) et ceci est fcile à vérifier en dérivnt. Ici on urit donc λ ln(x 2 + x + 1). Il nous reste à trouver une primitive de 1/(x 2 + x + 1).Plus en générl on vourrit trouver une primitive de toute frction du type 1 polyôme de degré 2 sns rcines réelles. Le cs typique est celui de l primitive1/(1 + x 2 ), qui est donnée pr l fonction rctn(x). Tout utre cs peut se rmener à celui-ci, grâce à une écriture du type et plus en générl x 2 + x + 1 = (x + 1 2 )2 + 3 4 Q(x) = c 1 (x x 0 ) 2 + c 2. Il est toujours possible écrire un polynôme de degré deux sous cette forme (on trouve c 1 d près le coefficient de x 2, puis x 0 pour fire en sorte que le double produit du crré église le terme en x, puis c 2 pr différence). Dns le cs d un polynôme sns rcines réelles on ur c 1 c 2 > 0. Ceci dit que, à un coefficient près, on peut se rmener à x 2 + 1. Ici on 1 x 2 + x + 1 = 4 3 1 1 + ( 2 3 (x + 1 2 ) ) 2 73

et une primitive ser donc donnée pr F (x) = 4 3 3 2 rctn ( 2 3 (x + 1 2 ) ). En composnt tous ces résultts on peut trouver une primitive de l fonction donnée et en clculer l intégrle. Dns le résultt il y ur un polynôme (qui vient de l prtie qui est sortie de l frction), un logrithme de x 1, un logrithme de x 2 + x + 1, une rcotngente. On verr un dernier exemple et on donner en suite une recette pour intégrer toute fonction rtionnelle. Exemple 5.4.11. Clculer 1 dx et déterminer une primitive de l fonction intégrnde. (x 3 1) 2 Il est encore sous-entendu que l intervlle ne touche ps les zéros de l fonction. De plus, on met 1 u numérteur pr simplicité cr on vu que l technique à utiliser dépend fortement du dénominteur et de s fctoristion, et le numérteur n influence que les constntes qui pprissent dns les frctions plus simples qu on v trouver. Ici le problème est que l fctoristion du dénominteur dmet des fcteurs multiples. En effet on (x 3 1) 2 = (x 1) 2 (x 2 + x + 1) 2 = (x 1)(x 1)(x 2 + x + 1)(x 2 + x + 1). Si on cherchit d écrire 1 (x 3 1) 2 = A x 1 + B x 1 + Cx + D x 2 + x + 1 + Ex + F x 2 + x + 1, on s percevrit que le résultt à droite ne dépend que de A + B, C + E et D + F, donc d un nombre trop petit de vribles. Du coup, on ne pourr ps s en sortir comme ç. Dns le cs de fcteurs multiples l décomposition est un peu plus subtile. On peut écrire 1 (x 3 1) 2 = A x 1 + B (x 1) 2 + Cx + D x 2 + x + 1 + Ex + F (x 2 + x + 1) 2, c est-à-dire on obtient une décomposition vec des frctions dont les dénominteur ont les fcteurs du dénominteur originl Q(x), à une puissnce qui v de un jusqu à l puissnce qu on voit dns Q, et dont le numérteur est une constnte s il s git d un fcteur de premier degré et un polynôme de degré un si le fcteur est de degré deux. En résolvnt le système on peut voir qu il dmet une solution unique et l trouver. On s intéresse mintennt à montrer que toute frction qu on écrite est fcile à intégrer. C est évidemment le cs de 1/(x 1), qui donne lieu à ln(x 1), et de 1/(x 1) 2, qui donne lieu à 1/(x 1). On déjà vu comment triter (Ax + B)/(x 2 + x + 1), en le décomposnt en une prtie vec (2x + 1)/(x 2 + x + 1), qui donne ln(x 2 + x + 1), et une vec 1/(x 2 + x + 1), qui donne un résultt du type c 1 rctn(c 2 (x x 0 )). Il nous reste l dernière frction. Là ussi on peut dire Ex + F = λ(2x + 1) + µ (toujours grâce à l division de polynômes). L prtie vec (2x + 1)/(x 2 + x + 1) 2 donne tout simplement 1/(x 2 +x+1). Pour l utre il fut fire le même chngement de vrible qui psse pr l écriture de x 2 + x + 1 comme c 1 + c 2 (x x 0 ) 2 et qui nous rmène à 1/(1 + x 2 ) 2 et se référer à l exemple suivnt. Exemple 5.4.12. Donner une formule récursive pour 1 (1+x 2 ) n dx. On ppeller I n (, b) cette intégrle, qu on sit clculer pour n = 0 et 1. On chercher une reltion entre I n et I n+1. On 1 b (1 + x 2 ) n dx = 1 + x 2 (1 + x 2 ) n+1 dx = I x n+1(, b) + x (1 + x 2 ) n+1 dx. 74

On intégrer pr prtie l dernière expression, en prennt f(x) = x et g (x) = x/(1 + x 2 ) n+1, ce qui donne f (x) = 1 et g(x) = (1 + x 2 ) n /(2n). On donc x 1 x (1 + x 2 dx = ) n+1 2n Ceci nous dit 1 (1 + x 2 ) n dx b 2n(1 + b 2 ) n + 2n(1 + 2 ) n = I n(, b) 2n b 2n(1 + b 2 ) n + 2n(1 + 2 ) n. = I n+1 (, b) = I n (, b)(1 1 2n ) + b 2n(1 + b 2 ) n 2n(1 + 2 ) n. On peut résumer l recette qu on construit vec les derniers exemples. Recette pour l intégrtion d une fonction rtionnelle P (x)/q(x) : diviser P pr Q en obtennt P = P 1 Q + P 2 et donc P (x)/q(x) = P 1 (x) + P 2 (x)/q(x) ; P 1 est fcile à intégrer ; fctoriser Q sous l forme Q = Q α 1 1 Q αm m Q α m+1 m+1 Qα k k, où les Q i vec i m sont des polynômes de degré un et les Q i vec i m + 1 sont des polynômes de degré deux sns rcines réelles ; les correspondnts α i leurs exposnts dns l fctoristion ; écrire P 2 (x) Q(x) = A 1,1 Q 1 (x) + + A 1,α 1 Q 1 (x) α + + A m,1 1 Q m (x) + + A m,α m Q m (x) αm + A m+1,1 + B m+1,1 x Q m+1 (x) + A k,1 + B k,1 x Q k (x) + + A m+1,α m+1 + B m+1,αm+1 x Q m+1 (x) α m+1 + + A k,α k + B k,αk x Q k (x) α, k +... c est-à-dire en mettnt u dénominteur tous les fcteurs Q i et en les prennt à une puissnce entre un et leur α i, et u numérteur soit des constntes (si deg Q i = 1), soit des polynômes de degré un (si deg Q i = 2) ; tous les termes du type A/Q β i vec deg Q i = 1 sont fciles à intégrer et donnent soit un logrithme (β = 1), soit une puissnce négtive de Q i ; tous les termes du type (A + Bx)/Q β i vec deg Q i = 2 se décomposent en λq i /Qβ i + µ/qβ i. tous les termes du type λq i /Qβ i sont fciles à intégrer et donnent soit ln(q i ) (si β = 1), soit une puissnce négtive de Q i ; pour les termes µ/q β i on utilise Q i (x) = c 1 + c 2 (x x 0 ) 2 pour se rmener à 1/(1 + x 2 ) β à des coefficients près, et puis on utilise le résultt de récurrence de l exemple 5.4.12 5.4.6 Fonctions rtionnelles de fonctions trigonométriques On montre mintennt une technique pour trnsformer ps ml d intégrles vec les sinus et les cosinus en d intégrles de fonctions rtionnelles. Exemple 5.4.13. Clculer sin 3 (x) cos 4 (x) dx et déterminer une primitive de l fonction sin(x) cos(x)+2 cos 3 (x) intégrnde. L idée pour clculer cette intégrle (qu on ne développer ps en détils) et l suivnte : le sinus et le cosinus peuvent s exprimer ssez bien à l ide d une quntité mgique commune, qui est t = tn(x/2), et cel donne lieu à un chngement de vrible ssez puissnt. On sin(x) = 2 sin(x/2) cos(x/2) = 2 tn(x/2) cos 2 (x/2) = grâce à l églité cos 2 = 1/(1 + tn 2 ). De même, on 2t 1 + t 2, ( ) sin(x) = cos 2 (x/2) sin 2 (x/2) = cos 2 (x/2) 1 tn 2 (x/2) = 1 t2 1 + t 2, 75

Fisons donc le chngement de vrible t = tn(x/2), qui implique x = 2 rctn(t). Il fut remplcer tous les sinus et les cosinus pr les expressions qu on trouvées, qui sont des fonctions rtionnelles de t. De plus, il fut remplcer dx pr 2dt/(1+t 2 ), grâce à l formule de chngement de vrible qui fit pprître une dérivée. Celle-ci ussi est une fonction rtionnelle de t. Dns notre cs on se rmerit à une intégrle du type ( 2t 1+t 2 ) 3 ( 1 t 2 2t(1 t 2 ) (1+t 2 ) 2 + 2 ) 4 1+t ( 2 ) 1 t 2 4 1+t 2 2dt 1 + t 2. Comme 1 + t 2 pprît u dénominteur un peu prtout, il est possible de le simplifier dns ps ml d endroits. Attention : on pourrit se demnder comment peut-on obtenir des sinus et des cosinus qund on clcule cette primitive et on l rédérive, si dns les formules pour les fonction rtionnelles ils n pprissent jmis...l réponse est évidemment qu il fut fire gffe ux bornes, cr il fut remplcer pr tn(/2) et b pr tn(b/2). 5.5 Applictions des intégrles ux développements limités On termine le long discours sur les intégrles vec deux pplictions ux DL. L première sort de l question suivnte : on connît les DL de l fonction 1/(1 + x 2 ) 1 1 + x 2 = 1 x2 + x 4 x 6 + + ( 1) n x 2n + o(x 2n+1 ). Peut-on déduire d ici les DL de s primitive, l fonction rcotngente? On imgine trouver rctn(x) = x x3 3 + x5 5 x7 x2n+1 + + ( 1)n 7 2n + 1 + o(x2n+2 ). L réponse est oui et elle est ssez générle. Théorème 5.5.1. Soit f : A R une fonction qui dmet un développement limité d ordre n u point x 0 A : f(x) = p(x) + o((x x 0 ) n ) vec p un polynôme de degré n. Soient F et P des primitives de f et p, respectivement, vec P (x 0 ) = 0 (c est-à-dire on forcement P (x) = x x 0 p(t)dt). Alors on le DL suivnt F (x) = F (x 0 ) + P (x) + o((x x 0 ) n+1 ). F (x) F (x Démonstrtion. On veut montrer lim 0 ) P (x) x x0 (x x 0 = 0. Soit H(x) = F (x) F (x ) n+1 0 ) P (x). On sit H(x 0 ) = 0 et H (x) = f(x) p(x). Comme on f(x) p(x) = o((x x 0 ) n ), on peut dire que pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que, si y x 0 < δ, lors H (y) < ε y x 0 n. Prenons mintennt x ]x 0 δ, x 0 +δ[. Grâce u théorème des ccroissements finis on H(x) = H(x) H(x 0 ) = x x 0 H (ξ) vec ξ ]x 0, x[ ]x 0 δ, x 0 + δ[. Donc H (ξ) ε ξ x 0 n ε x x 0 n et finlement H(x) ε x x 0 n+1. Ceci montre exctement que l quntité H(x)/(x x 0 ) n+1 tend vers zéro lorsque x x 0 et conclut l preuve. Dernière ppliction des intégrles, l fmeuse Formule de Tylor vec reste intégrle, qui est celle, prmi les Formules de Tylor, qui donne l expression du reste l plus précise. Dns l formule de Tylor-Young on vit en fit un terme en o((x x 0 ) n ), qui n est guère précis mis donne seulement des informtions sur son comportement locl utour de x 0 ; l formule de Tylor-Lgrnge donnit une vrie églité mis vec un terme f n+1 (ξ)(x x 0 ) n+1 /(n + 1)!, où le point ξ n est ps precisé ; cette formule donner pr contre une églité explicite. Pr contre, elle demnder plus de régulrité pour pouvoir l ppliquer. 76

Théorème 5.5.2. Soit f C n+1 (A) et x 0 A. Alors pour tout x A on f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 f (x 0 )(x x 0 ) 2 + + 1 n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n + 1 n! x x 0 (x t) n f (n+1) (t)dt. Démonstrtion. Le théorème ser démontré pr récurrence sur n. Si n = 0 il fut démontrer que pour toute fonction C 1 on f(x) = f(x 0 ) + x x 0 f (t)dt et ceci est vri comme conséquence du théorème fondmentl du clcul. Le fit que f soit continue est justment l bonne hypothèse pour l ppliquer. Supposons que le résultt soit vri pour un certin rng n. Pssons u rng suivnt : il fut prendre f C n+2 (A). Mis lors f C n+1 (A) et on peut ppliquer le résultt u rng n. On obtient bien f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 f (x 0 )(x x 0 ) 2 + + 1 n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n + 1 n! x x 0 (x t) n f (n+1) (t)dt. Dns l dernière intégrle il y un produit qu on peut triter grâce à une intégrtion pr prtie. Soit h(t) = f (n+1) (t) et g (t) = (x t) n. Grâce à l hypothèse f C n+2 (A) l fonction h est C 1 et on h (t) = f (n+2) (t), insi que g(t) = (x t) n+1 /(n + 1). x x 0 (x t) n f (n+1) (t)dt = = (x t) n+1 [ ] x f (n+2) (t)dt f (n+1) (x t)n+1 (t) x 0 n + 1 (n + 1) x 0 (x t) n+1 f (n+2) (t)dt + f (n+1) (x 0 ) (x x 0) n+1. x 0 n + 1 (n + 1) x x Pr conséquent on peut trnsformer l églité d en hut en f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 1 2 f (x 0 )(x x 0 ) 2 + + 1 n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n + 1 (n + 1)! f (n+1) (x 0 )(x x 0 ) n+1 1 x + (x t) n+1 f (n+2) (t)dt. (n + 1)! x 0 77

Chpitre 6 Courbes prmétrées plnes 6.1 Générlités On se plce dns le pln muni d un repère (O, i, j) orthonormé. Ce pln est lors identifié à R 2, l ensemble des couples de réels, vi le mécnisme des coordonnées crtésiennes. Définition 6.1.1. Un prmétrge de courbe plne ou, plus simplement, une courbe prmétrée plne est l donnée de deux fonctions réelles de vrible réelle x et y définies, continues sur un même intervlle non trivil I de R. C est ussi l donnée d une fonction continue 1 γ : I R 2, γ(t) = (x(t), y(t)). A chque t I, on ssocie le point M(t) de coordonnées γ(t) = (x(t), y(t)). L ensemble des points M(t) lorsque t décrit I Γ = {(x(t), y(t)), t I} est ppelé l courbe plne 2 ssociée à ce prmétrge. Exemples et remrques 6.1.1. 1. L droite. Donner un prmétrge de l droite D pssnt pr le point A = (1, 1), de vecteur directeur u = ( 2, 3). Donner un utre prmétrge de cette même droite. 2. Le cercle. Même exercice vec le cercle de centre 0 de ryon 1. En utilisnt le fit que le cercle de centre C = ( 1, 2), de ryon 3 est l imge pr une homothétie de centre O suivie d une trnsltion du cercle précédent, déterminer un prmétrge de ce cercle. 3. Le grphe d une fonction continue. Soit f : I R une fonction continue, son grphe Γ est l courbe prmétrée dont un prmétrge est x(t) = t, y(t) = f(x(t)), t I 4. Si Γ est l courbe prmétrée pr (x(t), y(t)), t I R et si φ est une bijection continue d un intervlle J R sur I lors Γ est ussi l courbe prmétrée pr (x(φ(s), y(φ(s)), s J. 6.1.1 Vecteur vitesse et tngente Dns les exemples qui vont nous occuper, les fonctions x et y seront, l pluprt du temps, des fonctions régulières (i.e. de clsse C 1 ) de t I. Dns une interpréttion physique usuelle des courbes prmétrées, l vrible t représente le temps et x(t), y(t) sont les coordonnées d un point mobile M(t). 1. Une fonction à vleurs R 2 est continue si chcune des fonctions coordonnées l est 2. ou courbe géométrique ou support de l courbe prmétrée 78

Si t t 0, l vitesse moyenne du mobile entre les instnts t et t 0 est donnée pr le vecteur 1 t t 0 M(t 0 )M(t) qui ( x(t) x(t 0) t t 0, y(t) y(t 0) t t 0 ) pour coordonnées dns l bse ( i, j). Lorsque t t 0, ce vecteur vitesse moyenne tend, u sens ou chcune de ses coordonnées tend, vers v(t 0 ) := (x (t 0 ), y (t 0 )). Ce vecteur est ppelée le vecteur vitesse instntnée ou vecteur vitesse de M à l instnt t 0. Lorsque v(t 0 ) 0, l droite pssnt pr le point M(t 0 ), de vecteur directeur v(t 0 ), donnée prmétriquement pr x T (s) = x(t 0 ) + (s t 0 )x (t 0 ), y T (s) = y(t 0 ) + (s t 0 )y (t 0 ), est ppelée l tngente à Γ u point M(t 0 ), à l instnt t 0. Une éqution crtésienne de l tngente à l courbe prmétrée à l instnt t 0 est donc (X x(t 0 )).y (t 0 ) (Y y(t 0 )).x (t 0 ) = 0 d inconnue (X, Y ) R 2 Dns le cs du prmétrge nturel d un grphe de fonction, on retrouve l notion de tngente à un grphe déjà rencontrée. Exemples et remrques 6.1.2. 1. Si φ est une bijection C 1 d un intervlle J R sur I R, (x(t), y(t)), t I R et ( x(s), ỹ(s)) = (x(φ(s)), y(φ(s))), s J sont lors deux prmétrges d une même courbe Γ. On lors, pr le théorème de dérivtion des fonctions composées, si t 0 = φ(s 0 ), que v(t 0 ) = φ (s). ṽ(s 0 ). Si φ (s 0 ) 0, l tngente à Γ en M(t 0 ) à l instnt t 0 est lors égle à l tngente à Γ en M(s 0 ) à l instnt s 0. Cel donne un début de définition intrinsèque, i.e. indépendnt du prmétrge choisi, de l tngente à une courbe prmétrée. 2. Il se peut que v(t 0 ) = 0 mis que le support de l courbe dmette qund même une tngente u point t = t 0. Juste pour fire un exemple, cel est le cs qund l limite de 1 (t t 0 M(t ) 2 0 )M(t) lorsque t t 0 existe et est non nulle. Pr extension, on dir ussi que cette limite est un vecteur tngent à l courbe à l instnt t 0. 6.1.2 Distnce prcourue entre deux instnts Définition 6.1.2. Soit γ(t) = (x(t), y(t)), t I une courbe prmétrée de clsse C 1 sur un intervlle I. Soit v(t) = γ (t) = x 2 (t) + y 2 (t). Soient t 0, t 1 I, t 0 t 1. On définit l distnce prcourue entre les instnts t 0 et t 1 pr l formule D(t 0, t 1 ) = t1 t 0 v(t) dt Exemples et remrques 6.1.3. 1. L quntité v(t) est l longueur du vecteur vitesse à l instnt t. C est ce que l on ppelle l vitesse instntnée. Si on imgine une voiture suivnt l courbe γ(t), t I, v(t) est ce que l on peut lire sur le compteur de vitesse de cette voiture. D une certine mnière, on oublie l informtion de direction contenue dns le vecteur vitesse v(t). Si l on pense qu une intégrle est un genre de somme, l quntité 1 t1 t 1 t 0 t 0 v(t) dt est en quelque sorte l moyenne des vitesses instntnées sur l intervlle de temps [t 0, t 1 ] : il s git donc de l vitesse moyenne sur cet intervlle de temps, i.e l distnce prcourue pr le mobile entre les instnts t 0 et t 1 divisée pr l durée t 0 t 1 de cet intervlle de temps. 79

2. Prenons l exemple d un segment géométrique L = [AB] où A pour coordonnées (x A, y A ), B pour coordonnées (x B, y B ). Ce segment est nturellement prmétré pr On γ(t) = ((1 t)x A + tx B, (1 t)y A + ty B ), t [0, 1] v(t) = (x B x A, y B y A ), v(t) = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 = AB D près l définition, l distnce prcourue entre les instnts t 0 = 0 et t 1 = 1 est donc 1 D(0, 1) = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 dt = AB 0 Dns ce cs, on voit donc que l distnce prcourue entre ces deux instnts est exctement l longueur du segment, ce qui est finlement rssurnt!! Un clcul similire montre que l distnce prcourue entre l instnt 0 et l instnt t [0, 1] quelconque est D(0, t) = t.ab, ce qui est exctement l longueur du segment Aγ(t). 3. Tritons mintennt l exemple d un cercle ou d une prtie de cercle. Nous llons voir que les distnces clculées à l ide de deux prmétrges distincts ont u bout du compte l même vleur () Prmétrge trigonométrique du cercle. Soit C le cercle de centre (0, 0), de ryon 1. Soit γ 0 (t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t [0, 2π] le prmétrge usuel de ce cercle. On v 0 (t) = ( sin t, cos t), v 0 (t) = cos 2 (t) + sin 2 (t) = 1 L distnce prcourue pr le mobile γ 0 (t) entre les instnts 0 et π 4 D 0 (0, π 4 ) = π 4 0 1 dt = π 4 est donc L trjectoire de γ 0 (t) sur l intervlle [0, π 4 ] est un huitième du cercle C, s longueur u sens usuel du terme est donc π 4, ce qui coincide bien vec l distnce prcourue. (b) Posons mintennt γ 1 (t) = (cos t 2, sin t 2 ), t [0, 2π]. Il s git d un utre prmétrge du même cercle C. On v 1 (t) = ( 2t sin t 2, 2t cos t 2 ), v 1 (t) = 4t 2 cos 2 (t 2 ) + 4t 2 sin 2 (t 2 ) = 2t L distnce prcourue pr le mobile γ 1 (t) entre les instnts 0 et π 4 est donc π π D 1 (0, 4 ) = 4 0 2t dt = [t 2] π 4 L trjectoire de γ 1 (t) sur l intervlle [0, π 4 ] est le même huitième du cercle C que précédemment et l encore, s longueur u sens usuel du terme coincide bien vec l distnce prcourue. L proposition suivnte indique, à l mnière de l énoncé similire sur les tngentes, que l distnce prcourue sur un rc prmétré est pr nture liée à l trjectoire et non à un prmétrge prticulier. Proposition 6.1.1. Soient I et J sont deux intervlles non triviux de R, σ : I J, une bijection croissnte de clsse C 1, γ 0 : I R 2 et γ 1 : J R 2 sont deux rcs prmétrés de clsse C 1, de vitesses instntnées respectives v 0 : I R et v 1 : J R, Si pour tout t I, γ 1 (σ(t)) = γ 0 (t) lors, pour t 0 < t 1, t 0, t 1 I, en posnt σ(t 0 ) = s 0 < s 1 = σ(t 1 ), on D 0 (t 0, t 1 ) = t1 t 0 v 0 (t) dt = s1 0 = π 4 s 0 v 1 (s) ds = D 1 (s 0, s 1 ) 80

Démonstrtion. Comme pour tout t I, γ 1 (σ(t)) = γ 0 (t), en dérivnt, on obtient que pour tout t I, σ (t). v 1 (σ(t)) = v 0 (t). Comme σ est croissnte, σ (t) 0 et donc, pour tout t I, σ (t).v 1 (σ(t)) = v 0 (t) On donc, pr le théorème du chngement de vrible, Théorème??, dns les intégrles que D 0 (t 0, t 1 ) = = s=σ(t) = t1 t 0 t1 t 0 s1 v 0 (t) dt σ (t).v 1 (σ(t)) dt s 0 v 1 (s) ds = D 1 (s 0, s 1 ) 6.1.3 Exemples de trcés - Coordonnées crtésiennes Schém générl Le but est de trcer une courbe prmétrée donnée pr le prmétrge x(t), y(t), t I. On regrde le domine de définition, l continuité, l dérivbilité des fonctions x et y On regrde si des symétries communes ux fonctions x et y ne permettent ps de réduire le domine d étude, quitte à compléter l courbe pr des symétries centrles, xiles, des trnsltions... On étudie les vritions de x et y que l on regroupe dns un tbleu de vritions commun à ces deux fonctions vec repérge des limites et de vleurs prticulières du prmètre t. On repère des points prticuliers de l courbe et l on clcule si besoin les tngentes à ces points : intersections vec les xes de coordonnées, points où les tngentes sont prllèles ux xes, points multiples 3 Une clsse importnte de points prticuliers sont les points «singuliers» du prmétrge, où l vitesse s nnule. On verr sur des exemples comment étudier l courbe u voisinge de tels points. recherche de droites symptotes On trce l courbe en respectnt ces contrintes Un exemple : x(t) = 3t 2 2, y(t) = 3t t 3, t R. 1. Les fonctions x et y étnt polynomiles, elles sont clirement de clsse C sur R. 2. Symétries : on remrque que pour t R, x( t) = x(t) et y( t) = y(t). Cel implique que l courbe est symétrique pr rpport à l xe des bscisses et que, pour l trcer, il suffit de l trcer pour t 0, le reste de l courbe s obtennt pr l symétrie xile. 3. Limites : on 4. Dérivées et vritions : on lim x(t) = et lim t ± y(t) = ± t ± x (t) = 6t et y (t) = 3(1 t 2 ) On obtient donc le tbleu de vritions suivnt sur [0, + [ 3. Ce sont les points de l courbe géométrique en lesquels on psse u moins deux fois, à deux instnts différents 81

t 0 1 + x (t) 0 + 6 + y (t) 3 + 0 + x(t) 1 2 2 y(t) 0 Le grphe dmet donc une tngente verticle u point M 0 = (0, 0) à l instnt t = 0 et une tngente horizontle u point M 1 = (1, 2) à l instnt t = 1. 5. Recherche de points doubles : résolvons le système de deux équtions à deux inconnues t, s R, t s { x(t) = x(s) y(t) = y(s) Les solutions de ce système telles que t s correspondent à un point de l courbe tteint à deux instnts distincts. Le système en question est équivlent succesivement à chcun des systèmes suivnts { { t 2 s 2 = 0 3t t 3 (3s s 3 ) = 0 s = t 3 (t 2 t 2 + t 2 ) = 0,, { s + t = 0 3 (t 2 + st + s 2 ) = 0, { s = t t = ± 3 Il y donc un «point double» sur l courbe, tteint ux instnts t = ± 3, il s git du point M 3 = (7, 0). L tngente T en ce point à l instnt t = 3 pour éqution prmétrique { xt (t) = x( 3) + tx ( 3) = 7 + 6 3.t y T (t) = y( 3) + ty ( 3) = 6t L tngente S en ce point à l instnt t = 3 est l symétrique de T pr rpport à l xe des bscisses. 82

6.1.4 x(t) = t 2, y(t) = t 3, t R. 1. On x( t) = x(t), y( t) = y(t), l courbe présente donc une symétrie xile pr rpport à l xe des bscisses et il suffit de l étudier sur [0, + [ puis de fire gir cette symétrie. 2. x (t) = 2t et y (t) = 3t 2. Sur [0, + [ les deux fonctions x et y sont donc strictement croissntes. L vitesse v(t) est nulle si et seulement si t = 0. 3. (L remrque qui tue). On, pour tout t R, t = 3 y(t) et donc x(t) = 3 y(t) 2. Cel signifie, pr exemple, que l courbe Γ, restreinte ux instnts t 0 est le grphe de l fonction y = x 3 2. Ce grphe est bien connu! On note pr exemple l présence d une demi-tngente verticle en x = 0, y = 0. L étude de ce type de courbe, x(t) = t p, y(t) = t q, t voisin de 0 vec p et q deux entiers nturels est très importnte pour l étude locle des courbes prmétrées u voisinge d un point singulier. Un point singulier d une courbe prmétrée est un point tteint à un instnt t 0 tel que v(t 0 ) = 0. il s git donc de ces instnts pour lesquels nous ne sommes ps cpbles de déterminer une droite tngente géométrique. 6.2 Courbes prmétrées en coordonnées polires 6.2.1 Courbes en polires : générlités Pssge d un système de coordonnées à l utre Considérons deux fonctions continues r(t) et θ(t) d une vrible réelle t, définies sur un même intervlle I de R. L courbe prmétrée définie en coordonnées polires (où ρ représente l distnce à l origine et θ l ngle, pris en sens trigonométrique, entre l direction du segment qui joint l origine u point et l xe horizontl orienté vers l droite) pr le système prmétrique ρ = r(t), θ = θ(t), t I est pr définition l courbe prmétrée définie en coordonnées crtésiennes pr le système prmétrique x(t) = r(t) cos θ(t), y(t) = r(t) sin θ(t), t I 83

Remrquons que si r(t) et θ(t) sont des fonctions régulières (pr exemple de clsse C 1 ), sur I lors x(t) et y(t) sont des fonctions ynt u moins le même degré de régulrité (dns l exemple, elles seront u moins de clsse C 1 ). Réciproquement, étnt donnée une courbe prmétrée donnée en coordonnées crtésiennes pr le système prmétrique x(t), y(t), t I R, on peut en donner une définition polire pr l correspondnce coordonnées crtésiennes coordonnées polires décrite dns l prtie précédente. Le fit que, pr exemple, r(t) = x 2 (t) + y 2 (t), montre qu en générl, on ne peut espérer que r(t) soit utomtiquement de clsse C 1 si x(t) et y(t) le sont. Les instnts t D où x(t) = y(t) = 0 posent en effet problème lors de l dérivtion. Le problème de l régulrité est encore plus prégnnt lors de l détermintion de l ngle θ(t). D une prt, lorsque r(t) = 0, l ngle n est ps défini et d utre prt, si l courbe fit «plus d un tour utour de 0», l fonction θ(t) risque d exhiber une discontinuité due u problème du choix de l ngle (prce que 2π et 0 sont le même ngle). Expression de l vitesse Posons quelques nottions courmment utilisées en physique. Si θ R, on pose 4 (u r, u θ ) forme une bse orthonormée et u r = (cos θ, sin θ), u θ = ( sin θ, cos θ) le vecteur OM est donc égl à ru r. En dérivnt et en utilisnt les règles de dérivtion d un produit et d une composée, on obtient que v = r.u r + rθ.u θ Le crré de l vitesse est donc v 2 = r 2 + r 2 θ 2 Le ryon dépend de l ngle Nous llons concentrer nos efforts dns l suite sur les courbes prmétrées données pr une éqution de l forme ρ = r(θ), θ I où r est une fonction régulière définie sur un intervlle I de R. Pr ceci, on entend les courbes définies en coordonnées polires pr le système prmétrique ρ = r(t), θ = t, t I L exemple le plus simple est donné pr le cercle de centre 0, de ryon r 0. Il est défini pr l éqution prmétrique r = r 0, θ R. En restreignnt le domine de vrition de θ, on obtient une prtie du cercle. Pr exemple, si θ 0 < θ 1, l courbe définie pr l éqution prmétrique r = r 0, θ [θ 0, θ 1 ] 4. les r, θ en indice n ont rien à voir vec les fonctions ou vribles portnt ces noms, les vecteurs u r et u θ dépendent seulement de l ngle θ 84

est l rc du cercle de centre 0, de ryon r 0 constitué des points dont l rgument vrie entre θ 0 et θ 1. Les droites ne pssnt ps pr 0 ont une éqution polire du type r = cos(θ θ 0 ) Si l on note H le projeté orthogonl de O sur une telle droite. On OH = et l ngle ( i, OH) est θ 0. 6.2.2 Un exemple : l crdioïde : r = 2(1 cos θ). 1. r est une fonction de clsse C sur R. Elle s nnule exctement ux point θ tels qu il existe une entier reltif k tel que θ = k2π. 2. Symétries. On r(θ + 2π) = r(θ). Il suffit donc d étudier l courbe sur un intervlle de longueur 2π pour obtenir toute l courbe géométrique. On pr illeurs r( θ) = r(θ), ce qui démontre que l courbe est symétrique pr rpport à l xe des bscisses. Il suffit d étudier r sur l intervlle [0, π] pour reconstituer l courbe en fisnt gir l symétrie. 3. On r (θ) = 2 sin θ. r est donc strictement positif sur ]0, π[, r est donc strictement croissnt sur [0, π], r y croit de 0 jusque 4. Le crré de l vitesse est r(θ) 2 + r (θ) 2 = 8(1 cos θ). L vitesse s nnule donc uniquement lorsque θ = 0. 4. Pour étudier l sitution u voisinge de θ, revenons en coordonnées crtésiennes et effectuons un développement limité de chcune des coordonnées : on x(θ) = 2(1 cos θ) cos θ = θ 2 + o(θ 2 ) y(θ) = 2 sin θ(1 cos θ) = sin 2θ = θ 3 + o(θ 3 ) On dmet qu u voisinge de θ = 0, l courbe «ressemble» 5 à l courbe donnée pr les premiers termes non triviux de chcun des développements limités : x(θ) = θ 2 y(θ) = θ 3 Cette courbe été étudiée dns l prtie précédente. Elle présente en 0 une demi-tngente horizontle et un point de rebroussement. 5. pr exemple u niveu du positionnement de l courbe pr rpport à s tngente ou demi-tngente 85

Chpitre 7 Fonctions réelles de deux vribles Dns ce chpitre ussi, le pln est rpporté à un repère orthonormé (O, i, j). On l identifie pr ce moyen à R 2. 7.1 Générlités 7.1.1 Fonctions, ensemble de définition Soit D une prtie de R 2. Une fonction f : D R est un moyen d ssocier à tout couple de réels (x, y) de l ensemble de définition D de f un nombre réel unique noté f(x, y). Exemples et remrques 7.1.1. 1. Les fonctions constntes. Soit un réel fixé. L formule f(x, y) = définit une fonction f : R 2 R. 2. Les fonctions ffines. Soient, b, c trois réels fixés, l formule f(x, y) =.x + b.y + c définit une fonction f : R 2 R. Les fonctions de cette forme sont ppelées fonctions ffines. 3. Les fonctions qudrtiques. Soit ij une fmille de nombres réels fixés. L formule f(x, y) = 20 x 2 + 02 y 2 + 11 xy + 10 x + 01 y + 00 définit là encore une fonction f : R 2 R. 4. Fonctions polynomiles. Elles sont définies pr une formule du type f(x, y) = finie i,j 0 ij x i.y j 5. Frctions rtionnelles : elles sont définies comme étnt le quotient de deux fonctions polynomiles, pr une formule du type f(x, y) = P (x, y) Q(x, y) Cette formule ne définit une fonction f : D R que sur une prtie du pln D sur lquelle Q ne s nnule ps, pr exemple D = {(x, y) R 2, Q(x, y) 0} = R 2 \ {(x, y) R 2, Q(x, y) = 0} () Supposons que Q(x, y) = 2x + 3y 2. Le domine de définition nturel de l fonction f définie pr l formule f(x, y) = x2 + 3xy 4 2x + 3y 2 86

est l ensemble D des points (x, y) tels que 2x + 3y 2 0. C est l réunion des deux demi-plns ouverts P + = {(x, y) R 2, 2x + 3y 2 > 0} et P = {(x, y) R 2, 2x + 3y 2 < 0} (b) Supposons que Q(x, y) = x 2 + y 2 1. L formule définit une fonction f : D R vec f(x, y) = x2 17xy + 12 x 2 + y 2 1 D = {(x, y) R 2, Q(x, y) 0} = R 2 \ {(x, y) R 2, Q(x, y) = 0} Géométriquement D est le pln, privé du cercle de centre 0 et de ryon 1. Ce cercle est exctement l ensemble C = {(x, y) R 2, x 2 + y 2 1 = 0} 6. On peut évidemment fire intervenir d utres fonctions élémentires d une vrible réelle. () L formule f(x, y) = ln(2x 2 4x + 2y 2 6) définit une fonction f : D R si l on prend D = {(x, y) R 2, 2x 2 4x + 2y 2 > 0} Comme 2x 2 4x+2y 2 6 = 2(x 1) 2 +y 2 8, l ensemble D est donc géométriquement l prtie à l extérieur du boule de centre (1, 0), de ryon 2. (b) L formule f(x, y) = rcsin(x+2y 3) définit une fonction f : D R sur le domine D du pln définit pr D = {(x, y) R 2, 1 x + 2y 3 1} Il s git de l prtie de pln comprise, u sens lrge, entre les deux droites d éqution x + 2y = 2 et x + 2y = 4. On voit de ces exemples que l détermintion du domine de définition d une fonction de deux vribles réelles ssociée à une formule f(x, y) =... nécessite l détermintion de prties du pln définies pr des équtions ou des inéqutions crtésiennes du type {(x, y) R 2, g(x, y) est défini et g(x, y) = 0} ou {(x, y) R 2, g(x, y) est défini et g(x, y) > 0} pour certines (utres) fonctions de deux vribles g. 7.1.2 Compositions Soit f : D R 2 R une fonction de deux vribles réelles à vleurs réelles. Avec les types de fonctions que nous vons déjà rencontrés, nous pouvons envisger les compositions suivntes : 1. Composition à guche vec une fonction réelle de vrible réelle. Soit g : I R une telle fonction définie sur I une prtie de R. L formule (g f)(x, y) = g(f(x, y)) définit l fonction g f sur l ensemble {(x, y) D, f(x, y) I} L fonction g f est définie sur D à prtir du moment où f(x, y) I pour toute vleur de (x, y) D. 2. Composition à droite vec un rc prmétré. Soit g : I R 2 une fonction définie sur une certine prtie I de R. L formule (f g)(t) = f(g(t)) définit l fonction f g sur l prtie de R {t I, g(t) D} L fonction f g est définie sur tout I à prtir du moment où g(t) D pour tout t I. 87

7.1.3 Représenttions grphiques Grphe Définition 7.1.1. Le grphe d une fonction f : D R 2 est l prtie de R 3 définie pr {(x, y, f(x, y)), (x, y) D} = {(x, y, z) R 3, (x, y) D et z = f(x, y)} On peut représenter le grphe d une telle fonction f comme une surfce dns l espce. On n insister ps ce semestre sur ce type de représenttion. Lignes de niveux Définition 7.1.2. Si f : D R est une fonction de deux vribles réelles, t R, l ligne de niveu t est l ensemble L t = {(x, y) D, f(x, y) = t} On peut représenter efficcement une fonction de deux vribles en dessinnt schémtiquement quelques lignes de niveux pour des vleurs de t bien choisies. 7.2 Limites et continuité 7.2.1 Boules, voisinges, prties ouvertes et fermées Nous llons définir l notion de limite de f(x, y) lorsque le couple z = (x, y) tend vers un certin couple fixé z 0 = (x 0, y 0 ). Pour cel nous llons copier l définition que nous vions en une vrible réelle. Les boules ouvertes B(z 0, ɛ) de centre z 0, de ryon ɛ vont jouer en deux vrible un rôle identique à celui que jouit en une vrible l intervlle ouvert ]x 0 ɛ, x 0 + ɛ[, centré en x 0, de ryon ɛ. Si z = (x, y), on pose z = x 2 + y 2, l distnce de z à 0. On lir z, le module de z, ou s norme. On remrque que si z = (x, y), z 0 = (x 0, y 0 ), lors est l distnce entre z et z 0. z z 0 = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 Le boule ouverte B(z 0, ɛ) de centre z 0 = (x 0, y 0 ), de ryon ɛ est B(z 0, ɛ) = {z = (x, y) R 2, z z 0 < ɛ} Soit z 0 un point, une prtie V de R 2 est dite voisinge de z 0 s il existe ɛ > 0 tel que B(z 0, ɛ) V Exemples et remrques 7.2.1. 1. Un demi-pln ouvert P est voisinge de chcun de ses points. Un tel demi-pln est défini pr trois nombres, b, c, (, b) (0, 0) pr P = {(x, y) R 2,.x + b.y + c < 0} 2. Une boule ouverte est voisinge de chcun de ses points. 3. Si V est l intersection d un nombre fini de demi-plns ouverts ou de boules ouverts lors V est voisinge de chcun de ses points. 88

Nous reprenons mintennt les définitions données u Chpitre 1. Définition 7.2.1. Soit A R 2 un ensemble quelconque et z 0 R 2. On dit que z 0 est dhérent à A si pour tout voisinge V de z 0 il y un point z A V. Définition 7.2.2. Soit A un sous-ensemble de R 2. On dit que A est ouvert si il est un voisinge de tous ses points : utrement, dit, si pour tout z A il existe un ryon r > 0 tel que B(z, r) A. On dit que A est fermé si son complémentire est ouvert. On noter encore Ā l ensemble des points d dhérence de A : Ā = {z R 2 : V voisinge de z on V A }. 7.2.2 Définition Définition 7.2.3. Soit z 0 R 2, f : D R une fonction de deux vribles, l R. On suppose z 0 D. 1. On dit que f pour limite l en z 0, ce que l on note lim f(z) = l z z 0 si, pour tout voisinge U de l dns R, il existe un voisinge V de z 0, tel que si z V D, lors f(z) U. 2. Si f est définie en z 0, on dit que f est continue en z 0 si lim z z 0 f(z) = f(z 0 ). 3. f est dite continue si elle est continue en tout point de son domine D. Proposition 7.2.1 (DL d ordre 0). Dns le même contexte que précédemment, f dmet pour limite l en z 0 si et seulement si il existe une fonction ɛ, définie u voisinge de (0, 0), de limite 0 en 0 telle que, pour tout z voisin de z 0, Remrques f(z) = l + ɛ(z z 0 ) 1. On, comme dns le cs d une vrible, unicité de l limite de f en z 0 sous réserve que cette limite existe. 2. Si f dmet une limite en un point z 0, l fonction f est bornée sur un certin voisinge de z 0. 3. Pour prouver qu une fonction ɛ(h, k) pour limite 0 en 0, il suffit de démontrer une mjortion du type ɛ(h, k) η( h 2 + k 2 ) pour une certine fonction η d une vrible réelle, de limite 0 en 0. 4. Dns le cs de deux vribles, nous n vons ps de notion de limite à droite ou à guche en un point cr cel n ps grnd sens. On peut en revnche définir l limite en un point suivnt une prtie A de R 2 comme suit. Définition 7.2.4. Soit f : D R une fonction, z 0 R 2, A D, l R. On suppose z 0 (D A). On dit que f pour limite l en z 0 en suivnt A, ce que l on note z z 0 z A lim f(z) = l ou f(z) l z z 0 z A si, pour tout voisinge U de l dns R, il existe un voisinge V de z 0, tel que si z V A D, lors f(z) U. 89

Exemples et remrques 7.2.2. ouvertes. 1. Les demi-plns ouverts, les boules ouverts sont des prties 2. Une intersection d un nombre fini de prties ouvertes est ouverte. 3. Une réunion de prties ouvertes est ouverte. 4. Pour démontrer qu une prtie D de R 2 est ouverte, il suffit de trouver une fonction continue g : R 2 R telle que D = {(x, y) R 2, g(x, y) > 0}. Disques et demi-plns ouverts rentrent dns ce cdre. 7.2.3 Opértions Les règles sur les opértions et les limites dns ce cdre sont les mêmes que les règles que nous vons énoncées pour le cs des fonctions d une vrible réelle. Nous nous foclisons sur le cs des fonctions continues sur un ensemble ouvert. Opértions lgébriques Proposition 7.2.2. Soient D un domine ouvert, f, g : D R, deux fonctions continues lors 1. f + g, f.g sont continues sur D. 2. l ensemble D = {(x, y) D, g(x, y) 0} est ouvert et l fonction f/g : D R définie pr l formule (f/g)(x) = f(x) g(x) est continue sur D. Exemples et remrques 7.2.3. 1. Les fonctions polynomiles sont continues sur R 2. 2. Une frction rtionnelle est continue sur son domine de définition, qui est ouvert. Composition Là encore, les résultts d une vrible réelle se trnsposent : l continuité se comporte bien vis à vis des compositions Proposition 7.2.3. Soit D une prtie ouverte de R, f : D R une fonction continue sur D. 1. Composition à guche. Soit g : I R vec I un intervlle de R une fonction continue sur I. Si f(x, y) I pour tout (x, y) D, l fonction g f est une fonction définie, continue sur D. 2. Composition à droite. Soit g : I R 2 vec I un intervlle de R une fonction continue sur I. Si g(t) D pour tout t I, l fonction f g est une fonction définie, continue sur I. 7.3 Dérivbilité 7.3.1 DL d ordre 1 En une vrible réelle, l notion de développement limité d ordre 1 en un point donné est intimement liée à l dérivbilité de l fonction en ce point. Le but est de comprer, loclement, u voisinge du point considéré l fonction vec une fonction ffine. Il en est de même en deux vribles. Définition 7.3.1. Soit f : D R, z 0 = (x 0, y 0 ), D voisinge de z 0. On dit que f dmet un DL d ordre 1 en z 0, ou de fçon plus courte, que f est différentible en z 0, s il existe, b R, une 90

fonction ɛ, définie u voisinge de 0 = (0, 0), de limite 0 en 0 telle que, pour z = (x, y), voisin de z 0, on f(x, y) = f(x 0, y 0 ) + (x x 0 ) + b.(y y 0 ) + (x x 0, y y 0 ) ɛ(x x 0, y y 0 ) ( ) f(z) = f(z 0 )+ <, z z b 0 > + z z 0 ɛ(z z 0 ) ou encore, telle que pour tout (h, k) suffismment voisin de (0, 0), on f(x 0 + h, y 0 + k) = f(x 0, y 0 ) +.h + b.k + (h, k) ɛ(h, k) ( ) ( ) h f(x 0 + h, y 0 + k) = f(x 0, y 0 )+ <, > + (h, k) ɛ(h, k). b k Nottion : on peut écrire indifféremment (h, k) ɛ(h, k) ou o( h 2 + k 2 ). Plus en générl, dns les DL des fonctions de deux vribles, on utiliser o( (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2n ). ( ) Si f dmet un DL d ordre 1 en z 0, le vecteur s ppelle le grdient de l fonction f en z b 0. On le note f(z 0 ), à lire «nbl» de f ou grdient de f en z 0. Exemples et remrques 7.3.1. 1. Fonctions ffines. Si f(x, y) =.x + b.y + c lors f dmet un DL d ordre 1 en tout z 0 = (x 0, y 0 ) R 2. On f(x 0 + k, y 0 + h) = f(x 0, y 0 ) + (x x 0 ) + b(y y 0 ) Le grdient de f en z 0 est donc le vecteur indépendnt de z 0 ( ) f(z 0 ) = b 2. Fonctions qudrtiques. Si f(x, y) = 20 x 2 + 11 xy + 02 y 2, on f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) = 2 20 x 0.h + 11 x 0.k + 11 y 0.h + 2 02 y 0.k + 20 h 2 + 11 hk + 02 k 2 = 2 20 x 0.h + 11 x 0.k + 11 y 0.h + 2 02 y 0.k + (h, k) ɛ(h, k) cr 20 h 2 + 11 hk + 02 k 2 C(h 2 + k 2 ) et donc 20 h 2 + 11 hk + 02 k 2 = h 2 + k 2 ɛ(h, k) où ɛ est une fonction de limite nulle en 0. Cel démontre que f dmet un DL d ordre 1 en tout z 0 = (x 0, y 0 ) et que le grdient de f en z 0 est ( ) 220 x f(x 0, y 0 ) = 0 + 11 y 0 2 02 y 0 + 11 x 0 Nous verrons un peu plus loin comment retrouver fcilement cette formule grâce u mécnisme des dérivées prtielles. Il est importnt de remrquer que, comme dns le cs des fonctions dérivbles en une vrible, les fonctions différentibles sont continues. Proposition 7.3.1. Soit f : D R, z 0 = (x 0, y 0 ), D voisinge de z 0. Si f est différentible en z 0, lors f est continue en z 0. Démonstrtion. Il suffit de remrquer que lim.h + b.k + (h, k) ɛ(h, k) = 0, (h,k) (0,0) ce qui montre que le DL à l ordre 1 donne églement un DL à l ordre 0 pour l fonction f. 91

7.3.2 Dérivées prtielles Une fçon nturelle d nlyser une fonction de deux vribles consiste à «geler» une vrible et à étudier l fonction d une vrible réelle obtenue en lissnt libre l utre vrible. Définition 7.3.2 (Applictions prtielles). Soit D R 2, f : D R une fonction, (x 0, y 0 ) D 1. L première ppliction prtielle f y=y0 est définie pr l formule f y=y0 (x) = f(x, y 0 ). Si D est voisinge de (x 0, y 0 ) lors le domine de définition de f y=y0 est voisinge, dns R, de x 0. 2. L deuxième ppliction prtielle f x=x0 est définie pr l formule f x=x0 (y) = f(x 0, y). Si D est voisinge de (x 0, y 0 ) lors le domine de définition de f x=x0 est voisinge, dns R de y 0. Remrque. Il s git en fit de regrder les restrictions de f sur les droites respectivement d éqution x = x 0 et y = y 0. On pour cel recours à un prmétrge de chcune de ces droites. Définition 7.3.3. Soit D une prtie ouverte de R 2, f : D R une fonction, (x 0, y 0 ) D Si l première ppliction prtielle f y=y0 est dérivble en x 0, on ppelle dérivée prtielle 1 de f pr rpport à l première vrible en (x 0, y 0 ) le nombre f x (x 0, y 0 ) = df y=y 0 dx (x 0) Si l deuxième ppliction prtielle f x=x0 est dérivble en y 0, on ppelle dérivée prtielle de f pr rpport à l deuxième vrible en (x 0, y 0 ) le nombre f y (x 0, y 0 ) = df x=x 0 (y 0 ) dy Exemples et remrques 7.3.2. 1. Soit f définie sur R 2 pr f(x, y) = x 2 + 3xy y 2. Soit (x 0, y 0 ) R 2. On f y=y0 (x) = x 2 + 3y 0.x y0 2 f x=x0 (y) = x 2 0 + 3y.x 0 y 2 En dérivnt l première églité, (y 0 est un prmètre dns ce cs), on obtient Pour l deuxième églité, on obtient f x (x 0, y 0 ) = df y=y 0 dx (x 0) = 2x 0 + 3y 0 f y (x 0, y 0 ) = df x=x 0 (y 0 ) = 3x 0 2y 0 dy Dns l prtique, on ccélère l écriture en omettnt les indices 0. Pour obtenir une expression de f(x,y) x, on dérive l expression de f(x, y) en considérnt que y est une constnte. 1. Dns cette prtie, conformément à l usge en physique et contrirement à l usge que nous nous sommes fixés jusqu à présent, les deux vribles d une fonction f vont porter des noms privilégiés. Dns l pluprt des exemples suivnts, l première vrible s ppeler x, l deuxième y. Si on définit une fonction g pr une formule du type g(u, v) =... pour (u, v), on considérer que s première vrible s ppelle u et l deuxième s ppelle v, on lisse u lecteur le soin d interpréter correctement les expressions g g et u v Si nous vions voulu nous conformer à notre usge que les rguments d une fonction ne portent ps de nom privilégiés, il fudrit, pour noter respectivement les première et deuxième dérivées prtielles de f, écrire 1f et 2f Cette nottion n est ps toujours très prlnte ussi nous ne l utiliserons ps. 92

2. Si f(x, y) = ln(1 x 2 2y 2 ) définie sur l ellipse remplie ouverte D = {(x, y) R 2, x 2 +2y 2 < 1}, on f 2x (x, y) = x 1 x 2 2y 2, f 4y (x, y) = y 1 x 2 2y 2 Proposition 7.3.2. Soit f : D R, D un ouvert de R 2, z 0 D. Si f est différentible en z 0 lors les deux dérivées prtielles de f en (x 0, y 0 ) existent et f(x 0, y 0 ) = ( f Démonstrtion. On ne trite que le premier cs. On x (x 0, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) f y=y0 (x 0 + h) = f(x 0 + h, y 0 ) ( ) h = f(x 0, y 0 )+ < f(z 0 ), > + h ɛ(h, 0) 0 ( ) 1 = f(x 0, y 0 ) + h < f(z 0 ), > + h ɛ(h, 0) 0 Cette expression fournit clirement un développement limité d ordre 1 de f y=y0 u voisinge de x 0. f y=y0 est donc dérivble en x 0 et De l même fçon, f x=x0 df y=y0 dx (x 0) = f ( 1 x (x 0, y 0 ) =< f(z 0 ), 0 est dérivble en y 0 et df x=x0 (y 0 ) = f ( 0 dy y (x 0, y 0 ) =< f(z 0 ), 1 Il est importnt de remrquer que si f est différentible lors elle dmet des dérivées prtielles, mis que l réciproque n est ps vrie. Exemple 7.3.3. Considérons l fonction f(x, y) = { 0 si xy = 0, 1 si xy 0. Les pplictions prtielles en (x 0, y 0 ) = (0, 0) coïncident vec l fonction nulle, et donc f x (0, 0) et f y (0, 0) existent et vlent 0. Pourtnt, f n est ps différentible en (0, 0), puisqu elle n y est ps continue. Pr contre, il est toujours vri que, en cs d existence des dérivées prtielles, le seul grdient possible de l fonction f est le vecteur composé pr ses dérivées prtielles. ) ) ) > > Attention ux limites prtielles! Nous pourrions être tentés d étudier les fonctions de deux vribles en se bsnt uniquement sur les pplictions prtielles, pour se réduire u cs (plus simple) de fonctions d une vrible. Cel est très dngereux! Nous venons de voir que les dérivées prtielles ne sont ps suffisntes à grntir l existence d un grdient. Plus en générl, lim f x x y=y0 (x) = lim f 0 y y x=x0 (y) = l 0 93

n implique ps lim (x,y) (x0,y 0 ) f(x, y) = l. Pour s en convincre, il suffit de regrder l exemple 7.3.3. Non seulement, les limites sur toutes les droites pssnt pr (x 0, y 0 ) ne sont ps suffisntes non plus. Considérons { 1 si y = x 2 et x 0, f(x, y) = 0 si y x 2 ou x = 0. Soit A une droite pssnte pr (0, 0) (c est-à-dire que soit A = {(x, y) : x = 0}, soit A = {(x, y) : y = kx} pour une certine vleur k R). Il est fcile de vérifier que lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0),(x,y) A Cel est vri cr toute droite n intersecte l ensemble {(x, y) : f(x, y) = 1} qu une seule fois et donc, u voisinge de (0, 0), f est nulle sur A. Pourtnt, l limite lim (x,y) (0,0) f(x, y) n existe ps prce que dns tout voisinge de (0, 0) l fonction f prend l vleur 0 ussi bien que l vleur 1. L étude des pplictions prtielles peut u contrire être utile pour nier l continuité d un fonction, s différentibilité, l existence d une limite... 7.3.3 Fonctions de clsse C 1 sur un ouvert du pln Nous introduisons mintennt une clsse de fonctions définies sur une prtie ouverte D de R 2 dont l différentibilité en chque point de D ser fcilement vérifible. Définition 7.3.4. Soit D une prtie ouverte de D, on dit que f : D R est de clsse C 1 sur D (ce que l on note f C 1 (D)) si 1. f est continue sur D 2. Les deux dérivées prtielles de f existent en chque point de D 3. Ces fonctions dérivées prtielles, f x f et y, sont continues sur D. Ce qui est importnt (et u même temps étonnnt, vu les recommndtions de toute à l heure) est le résultt suivnt. Proposition 7.3.3. Si f : D R est de clsse C 1 lors elle est différentible en tout point de D. Ensuite, il y évidemment tous les résultts usuels sur les fonctions de clsse C 1 et sur leur comportement vis à vis des opértions lgébriques, plus précisément Proposition 7.3.4. Soient f et g deux fonctions de clsse C 1 sur une prtie ouverte D de R 2 1. f + g et f.g sont de clsse C 1 sur D 2. Si g ne s nnule ps sur D, f/g est une fonction de clsse C 1 sur D On de plus les formules, pour l dérivtion prtielle pr rpport à l première vrible (f + g) x = f x + g x, (f.g) x = f g.g + f. x x, (f/g) x = 1 ( g 2 g f x f g ). x Les formules correspondntes pour l dérivtion pr rpport à l deuxième vrible étnt similires. 94

7.3.4 Dérivées d ordre 2 et DL d ordre 2 Définition 7.3.5. Soit D une prtie ouverte de D, on dit que f : D R est de clsse C 2 sur D (ce que l on note f C 2 (D)) si 1. f est de clsse C 1 sur D 2. Les deux dérivées prtielles de f sont de clsse C 1 sur D. 3. Les dérivées prtielles secondes sont définies pr 2 f x 2 = f x x, Ces qutre fonctions sont continues sur D. 2 f y x = f x y, 2 f y 2 = f y y, 2 f x y = f y x Une définition similire existe pour les fonction C k, à svoir on demnde à ce que les dérivées prtielles existe et soient C k 1. Les fonctions de clsse C 2 sur un domine ouvert se comportent bien vis à vis des opértions lgébriques (on ne préciser ps les détils). Le phénomène suivnt est ssez étonnnt Théorème 7.3.5 (Schwrz). Si f est de clsse C 2 sur D, les dérivées prtielles secondes 2 f et 2 f y x sont égles sur D. On dispose enfin d une formule de Tylor à l ordre 2. Théorème 7.3.6. Soit f une fonction de clsse C 2 sur D, (x 0, y 0 ) D, il existe lors une fonction ɛ de limite nulle en (0, 0) telle que, pour (h, k) voisin de (0, 0) f(x 0 + h, y 0 + k) = f(x 0, y 0 ) + } {{ } prtie cste. + h. f x (x 0, y 0 ) + k. f y (x 0, y 0 ) + } {{ } prtie linéire + 1 ( ) h 2. 2 f 2 x 2 (x 0, y 0 ) + k 2. 2 f y 2 (x 0, y 0 ) + 2hk. 2 f x y (x 0, y 0 ) + } {{ } prtie qudrtique + (h 2 + k 2 )ɛ(h, k) } {{ } reste 7.3.5 Dérivtion des fonctions composées Nous vons trité le cs des compositions à guche pr une fonction de vrible réelle. Nous exminons mintennt le cs d une composition à droite pr un rc prmétré. x y Formules Théorème 7.3.7. Soit f : D R une fonction de clsse C 1 sur D, une prtie ouverte de R 2. Soit γ : I R 2, γ(t) = (x(t), y(t)) un rc prmétré de clsse C 1 sur l intervlle I. Si γ(t) D pour tout t I, l fonction f γ est lors de clsse C 1 sur I et l on, pour t I (f γ) (t) = < f(γ(t))), γ (t) > = f x (x(t), y(t)).x (t) + f y (x(t), y(t)).y (t) 95

Exemples et remrques 7.3.4. Si f et γ sont de clsse C 2 lors f γ est de clsse C 2. L formule précédente montre qu en effet, (f γ) est de clsse C 1, du fit du même théorème. L formule pour (f γ) est donc (f γ) = f x.x + f y.y + 2 f x 2.x 2 + 2 f y 2.y 2 + 2 2 f x y.x.y Démonstrtion. On fixe t 0 I. On v chercher à fire un DL d ordre 1 de f γ u voisinge de t 0. L hypothèse donne que, γ dmet un DL d ordre 1 en t 0. On donc x(t 0 + τ) = x(t 0 ) + τ.x (t 0 ) + o(τ) y(t 0 + τ) = y(t 0 ) + τ.y (t 0 ) + o(τ) γ(t 0 + τ) = γ(t 0 ) + τ.γ (t 0 ) + o(τ) Pr illeurs, f est différentible en z 0 = (x 0, y 0 ) = γ(t 0 ) et donc, il existe η, une fonction de limite nulle en 0 telle que, pour (h, k) voisin de 0, ( ) h f(x 0 + h, y 0 + k)) = f(x 0, y 0 )+ < f(x 0, y 0 ), > +o( (h, k) ) k En substitunt h = τ.x (t 0 ) + o(τ) = x(t 0 + τ) x 0 k = τ.y (t 0 ) + o(τ) = y(t 0 + τ) y 0 dns l églité précédente ( cette substitution est légitime cr, lorsque τ est suffismment voisin de 0, (h, k) est suffismment voisin de (0, 0)), on obtient f(x(t 0 + τ), y(t 0 + τ)) = f(x 0, y 0 ) + τ. < f(x 0, y 0 ), γ (t 0 ) > +o(τ) où η tend vers 0 en 0. Ceci montre que f γ est dérivble en t 0 et l dérivée l forme nnoncée. L formule de cette dérivée montre qu elle est continue pr les théorèmes continuité de composées et de produits. Grdient et tngentes ux lignes de niveu Ce que montre le théorème précédent, c est que si γ(t), t I est une courbe prmétrée contenue dns une ligne de niveu de f (et donc fortiori si γ est un prmétrge d un morceu de ligne de niveu de f), on lors < f(γ(t)), γ (t) >= 0 En d utres termes, f(γ(t)) est orthogonl à l tngente en t à l courbe γ. 7.3.6 Le théorème des fonctions implicites Dns l section précédente, on vu que si f(x 0, y 0 ) 0 et si l ligne de niveu de f pssnt pr (x 0, y 0 ) est une courbe prmétrée dmettnt une tngente en ce point lors l éqution de cette tngente est (X x 0 ) f x (x 0, y 0 ) + (Y y 0 ) f y (x 0, y 0 ) = 0 Le théorème suivnt, que nous dmettrons, bien qu il soit démontrble vec les outils dont nous disposons, nous dispense du deuxième type d hypothèse. 96

Théorème 7.3.8 (Fonctions implicites). Soit f : D R une fonction de clsse C 1 sur D. (x 0, y 0 ) D. Si f y (x 0, y 0 ) 0, lors il existe un intervlle U, voisinge de x 0 dns R, un intervlle V, voisinge de y 0 dns R, une fonction φ : U V de clsse C 1 sur U telle que L f(x0,y 0 ) (U V ) est le grphe de l fonction φ. Pr illeurs, si x U, on φ (x) = f x f y (x, φ(x)) (x, φ(x)) Exemples et remrques 7.3.5. 1. On, pr définition de L f(x0,y 0 ) que x U, y V et f(x, y) = f(x 0, y 0 ) équivut à y = φ(x). En prticulier y 0 = φ(x 0 ). 2. Une fois que l on sit que le grphe de φ (une fonction de clsse C 1 ) est contenu dns l ligne de niveu, l formule de l dérivée est clire : il suffit de dériver pr rpport à x l reltion f(x, φ(x)) = Cste 3. On un énoncé nlogue en supposnt que f x (x 0, y 0 ) 0. L ligne de niveu pssnt pr (x 0, y 0 ) est lors loclement le grphe x = ψ(y) d une certine fonction ψ. 4. Si f(x 0, y 0 ) 0 lors l une des deux dérivées prtielles est non nulle et, dns tous les cs, L f(x0,y 0 ) est u voisinge de (x 0, y 0 ) une courbe géométrique dmettnt un prmétrge de clsse C 1, régulier 2 5. Si f est de clsse C 2, l fonction φ est de clsse C 2 comme le montre l formule. 7.4 Recherche d extrem locux et globux Comme pour les fonctions d une vrible, on dispose du critère d nnultion de l dérivée pour repérer les extrem locux d une fonction de deux vribles. 7.4.1 Extrem locux et points critiques Définition 7.4.1. Soit f : D R une fonction définie sur une prtie D de R 2. Soit (x 0, y 0 ) D. 1. On dit que f dmet un mximum locl en z 0 = (x 0, y 0 ) s il existe B(z 0, ɛ) une boule ouvert centré en z 0 tel que pour tout z B(z 0, ɛ) D, f(z) f(z 0 ). L vleur de ce mximum locl est f(z 0 ). 2. f dmet un minimum locl en z 0 = (x 0, y 0 ) s il existe B(z 0, ɛ) une boule ouverte centré en z 0 tel que pour tout z B(z 0, ɛ) D, f(z) f(z 0 ). L vleur de ce minimum locl est f(z 0 ). 3. f dmet un extremum locl en z 0 = (x 0, y 0 ) si elle y dmet un mximum locl ou un minimum locl. Théorème 7.4.1. Soit f : D R 2 une fonction de clsse C 1 sur D. Si f dmet un extremum locl en z 0 = (x 0, y 0 ), et si z 0 est à l intérieur de D (c est-à-dire qu il existe ε > 0 tel que B(z 0, ε) D) on lors f(z 0 ) = 0 Démonstrtion. L ppliction prtielle f y=y0 est définie, de clsse C 1 sur un certin voisinge de x 0. S dérivée s nnule donc en x 0 et l on donc 2. i.e. sns point singulier f x (x 0, y 0 ) = 0 97

Le même risonnement implique que f y (x 0, y 0 ) = 0 et finlement, le vecteur f(z 0 ) est nul. Exemples et remrques 7.4.1. Comme en une vrible il s git d une condition nécessire. Un point z 0 tel que f(z 0 ) = 0 s ppelle un point critique de l fonction f. Ce que dit le théorème c est que les extrem locux d une fonction de clsse C 1 sur D sont à rechercher en exminnt les points critiques de cette fonction. Une étude supplémentire u voisinge du point critique est lors nécessire pour ffirmer le crctère de mximum ou de minimum locl. 7.4.2 Conditions suffisntes à l ordre 2 Pour les fonctions d une vrible réelle, nous vons à notre disposition le critère suivnt (un cs prticulier du Théorème 4.3.1) pour conclure à l extrémlité d un point critique. Proposition 7.4.2. Soit I un intervlle ouvert de R, f : I R une fonction de clsse C 2 sur I et x 0 un point critique de f : f (x 0 ) = 0 1. Si f (x 0 ) > 0, l fonction f dmet un minimum locl en x 0. 2. Si f (x 0 ) < 0, l fonction f dmet un mximum locl en x 0. Pour les fonctions de deux vribles, on, pr une méthode similire le résultt suivnt Théorème 7.4.3. Soit D une prtie ouverte de R 2, f : D R une fonction de clsse C 2 sur D et z 0 = (x 0, y 0 ) un point critique de f : f(z 0 ) = 0 ( ) 1. Si 2 f 2 x y 2 f 2 f < 0 et 2 f > 0, l fonction f dmet un minimum locl en z x 2 y 2 x 2 0. ( ) 2. Si 2 f 2 x y 2 f 2 f < 0 et 2 f < 0, l fonction f dmet un mximum locl en z x 2 y 2 x 2 0. ( ) 3. Si 2 f 2 x y 2 f 2 f > 0, l fonction f n dmet ps d extremum locl en z x 2 y 2 0. Démonstrtion. L preuve est bsée sur un développement de Tylor de f en z 0 à l ordre 2. Écrivons le développement de Tylor à l ordre 2 de f en z 0 = (x 0, y 0 ). ( f(x 0 + h, y 0 + k) f(z 0 ) =.h 2 + 2b.hk + c.k 2) + o(h 2 + k 2 ) pour tout (h, k) voisin de 0, vec = 1 2 f 2 x 2 (x 0, y 0 ), b = 1 2 2 f x y (x 0, y 0 ), c = 1 2 2 f y 2 (x 0, y 0 ). Réécrivons cel en coordonnées polires vec h = r cos θ, k = r sin θ, d où r 2 = h 2 + k 2. Nous vons lors ( ) f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0 ) = r 2 cos 2 θ + 2b cos θ sin θ + c sin 2 θ + o(r 2 ) = r 2 g(θ) + o(r 2 ) Grâce u Lemme 7.4.4 nous vons l un des cs suivnts : si < 0 et > 0 on g(θ) 0 > 0, ce qui entrine f(x 0 +h, y 0 +k) f(z 0 ) r 2 ( 0 +o(r 2 )/r 2 ), et, pour r suffismment petit, r 2 ( 0 + o(r 2 )/r 2 ) > 0. Finlement cel démontre que z 0 est un minimum locl ; si < 0 et < 0 on g(θ) 1 < 0, ce qui entrine f(x 0 +h, y 0 +k) f(z 0 ) r 2 ( 1 +o(r 2 )/r 2 ), et, pour r suffismment petit, r 2 ( 1 + o(r 2 )/r 2 ) < 0. Finlement z 0 est un mximum locl ; 98

ou lors, si > 0, l fonction g(θ) prend des vleurs positives ussi bien que des vleurs négtives. En fixnt θ 0 tel que g(θ 0 ) < 0 et en regrdnt f sur l droite pssnt pr z 0 d ngle θ 0 nous vons un mximum. D utre prt, en fixnt θ 1 tel que g(θ 1 ) > 0 et en regrdnt f sur l droite pssnt pr z 0 d ngle θ 1 nous vons un minimum. Pr conséquent, z 0 n est ni un minimum ni un mximum locl de f. si = 0 nous ne pouvons ps déterminer l nture du point z 0. Lemme 7.4.4. Etnt donnés, b, c R, considérons l fonction g : [0, 2π] R donnée pr g(θ) = cos 2 θ + 2b cos θ sin θ + c sin 2 θ et posons = b 2 c. Alors, si < 0 et > 0, il existe un nombre positif 0 > 0 tel que g(θ) 0 ; si < 0 et < 0, il existe un nombre négtif 1 < 0 tel que g(θ) 1 ; si > 0 l fonction g prend des vleurs positives ussi bien que des vleurs négtives. Démonstrtion. Commençons pr < 0 et > 0. L fonction g étnt continue et l intervlle [0, 2π] compct, pour démontrer que g est minorée pr 0 > 0 il suffit de démontrer que son minimum, qui existe, est positif. Or, on g(0) = g(π) = > 0. Il suffit de prouver que g ne prend jmis l vleur 0. Cel démontrerit que le minimum doit être positif, cr, si g prenit des vleurs négtives, pr le TVI, elle prendrit ussi l vleur nulle. Or, si on considère θ 0, π, on peut diviser pr sin θ et on urit g(θ) = 0 X 2 + 2bX + c = 0, vec X = cos θ sin θ, mis l condition < 0 est bien celle qui grntit que le polynôme X 2 + 2bX + c n ps de rcines réelles. De mnière similire, si < 0 et < 0, lors g(0) = g(π) = < 0 et le même risonnement montre g(θ) < 0 pour tout θ. En considérnt le mximum de g on trouve l vleur 1 < 0. Si > 0 on sit que le polynôme X 2 + 2bX + c dmet une rcine réelle X 0 et prend des vleurs positives insi que des vleurs négtives (il s git d une simple prbole), disons X 2 1 +2bX 1+c > 0 et X 2 2 + 2bX 2 + c < 0. en correspondnce de X 1 et X 2 il y des vleurs θ 1 et θ 2 telles que X 1 = cos θ 1 / sin θ 1 et X 2 = cos θ 2 / sin θ 2, et on g(θ 1 ) > 0 insi que g(θ 2 ) < 0. 7.4.3 Extrem bsolus Dns cette section finle et courte, nous llons reprendre des idées qu on déjà vues dns le cs des fonctions d une vrible. Tout d bord cette définition vec le théorème qui en suit. Définition 7.4.2. Un sous-ensemble D de R 2 est dit borné s il existe un ryon R tel que D B(0, R). Un sous-ensemble de R 2 est dit compct s il est fermé et borné. On peut mintennt énoncer le bien connu théorème d existence des minim et mxim dns s version multidimensionnelle. Théorème 7.4.5 (Weierstrss 2D). Soit D un sous-ensemble compcte de R 2 et f : D R une fonction continue. Il existe lors un point z 0 D tel que f(z 0 ) = min{f(z) : z D} (et, symétriquement, il existe un point z 0 D tel que f(z 0 ) = mx{f(z) : z D}). Le lecteur pourr fcilement fire des exemples inspirés des exemples dns R qui montent l utilité de chque hypothèse de ce théorème. Aussi, on pourrit fire un nlogue du Théorème 2.2.5, mis on ne le fer ps prce qu on n ps donné une définition de limite en l infini dns R 2. 99

Critère de recherche de minim et mxim bsolus : Soit D un domine dns le pln délimitée pr une courbe F (l frontière de D). On suppose (le théorème des fonctions implicites peut nous ider à le grntir) que F est en effet une courbe prmétrée régulière. Soit, de plus, f : D R une fonction continue, différentible en tout point de D \ (S F ), où S est en ensemble fini et, si possible, petit.on peut donc dresser une liste de points de D qui sont cndidts à être minim et/ou mxim, et qui est composée de : tout point z 0 D \ (S F ) qui stisfsse f(z 0 ) = 0 (ce qui est souvent rélisé pr un petit nombre de points, puisqu il s git d nnuler les deux dérivées prtielles, c est-à-dire résoudre un système vec deux équtions et deux inconnues) ; les points de S cr le critère du grdient ne peut ps s ppliquer à ces points ; les points de l frontière F cr là non plus on ne peut l ppliquer. Les points de l dernière ctégorie sont priori infinis, donc trop nombreux pour les considérer tous. Cependnt, si F = {γ(t), t [, b]} (F est l imge d une courbe prmétrée, ou, de même, si il est l réunion d un nombre fini de courbes de ce type, ce qui est le cs pr exemple pour un polygone), il suffit de considérer l fonction d une vrible t f(γ(t)) et de dresser une liste de cndidts à l minimistion reltive à cette fonction (comme dns le chpitre 3). Cel réduit normlement l liste à un nombre fini de points. Ensuite, le théorème de Weierstrss en deux dimensions nous grntit que le minimum et le mximum existent et en plus on est sûr qu on les trouver prmi les points qu on listé. Il suffit donc de clculer les vleurs f(z) correspondnt à tous les points z de l liste et on trouver le (ou les) point(s) de minimum en prennt ceux qui ont les vleurs les moins élevées et les points de mximums en prennt ceux qui ont les vleurs le plus élevées. On fer juste remrquer que dns ce cdre bidimensionnel, une pproche pr tbleu de vritions n urit ps eu un sens. 100