Lycée Thiers CORRECTION DS - Enoncé ) On développe en uilisan les hypohèses : ( f a ide ) ( f b ide ) = f 2 (a + b) f + ab id E = ( a 2 p + b 2 q ) (a + b) ( ap + bq ) + ab ( p + q ) = 2) On reprend le calcul précéden auremen : f a id E = ( ap + bq ) a ( p + q ) = (b a) q e de même : Donc : f b id E = (a b) p ( f a ide ) ( f b ide ) = (b a) 2 q p D après, e comme a b, il s ensui que q p =. Par ailleurs, f a id E e f b id E commuen, donc oujours d après : ( f b ide ) ( f a ide ) = mais aussi : ( f b ide ) ( f a ide ) = (a b) 2 p q Finalemen : p q = q p = () 3) On compose à gauche par p dans l égalié p + q = id E, ce qui donne p 2 + p q = p. D après ce qui précède : p 2 = p. De même : q 2 = q. Ainsi : p e q son des projeceurs (2) ) On vérifie par récurrence que : n N, f n = a n p + b n q En effe, f = id E = p + q e, si l égalié es supposée vraie au rang n pour un cerain n N, alors : f n+ = ( a n p + b n q ) ( ap + bq ) = a n+ p 2 + a n b p q + b n a q p + b n+ q 2 = a n+ p + b n+ q
On peu aussi uiliser la formule du binôme (puisque p e q commuen, alors d évidence ap e bq commuen aussi); pour n : 5) En posan : ( ap + bq ) n = n n a k b n k p k q n k = a n p n + b n q n = a n p + b n q k g = [ (a + b) ide f ] ab on voi d après que f g = g f = id E. Ainsi f GL (E) e : f = [ ] (a + b) p + q ap + bq ab soi finalemen : f = a p + b q ) a) Par définiion, Π es le sous-espace vecoriel de L (E) engendré par ( p, q ). Monrons que ( p, q ) es libre. Soien, y C els que p + yq = : en composan à gauche par p, il vien p 2 + y p q = c es-à-dire p =. Comme p par hypohèse, on obien =. De même y =. Ainsi ( p, q ) es une base de Π, d où dim (Π) = 2. Par ailleurs, id E = p + q Π e enfin Π es sable pour la loi puisque pour ou (, y,, y ) C : ( p + yq ) ( p + y q ) = p 2 + y p q + y q p + yy q 2 = p + yy q Π Moralié : Π es une sous-algèbre de (L (E), +,,.). b) En cherchan une racine carrée de l endomorphisme f = ap + bq sous la forme g = p + yq, il vien 2 p + y 2 q = ap + bq e donc, ( p, q ) éan libre : 2 = a e y 2 = b Comme ou nombre complee non nul possède eacemen deu racines carrées (opposées), on consae en noan α (resp. β) une racine carrée de a (resp. b) qu il eise au oal quare soluions, à savoir : αp + βq, αp + βq, αp βq, αp βq ) Pour ou < : Correcion Enoncé 2 ln ( + 2) ( = 2 ln ( ) + 2 ln (2) + ln + ) 2 Dans cee dernière somme, le premier erme end vers + andis que les deu aures son bornés au voisinage de. Ainsi : ln ( + 2) 2 ln ( )
Par ailleurs : 2 donc ln ( + 2) = o ( ). Par ailleurs, e 2 sin() es bornée, donc négligeable devan oue foncion ayan + pour limie. On peu conclure : f () 2 2) Les développemens demandés son les suivans : a) ln ( + 2) = 2 + o ( 3) b) = 2 2 2 3 + o ( 3) c) e 2 sin() = 2 sin () + 2 sin 2 () 3 sin3 () + o ( 3) = 2 3 + 2 2 3 3 + o ( 3), soi finalemen : e 2 sin() = 2 + 2 2 3 + o ( 3) 3) Ce qui précède donne immédiaemen : f () 3 3 ) D après la formule de Taylor-Young, e par unicié du DL : f () = f () = f () = e f () = 8 5) On sai que l équivalence des foncions préserve localemen le signe. Par conséquen, l équivalen obenu au 3 monre que f change de signe au voisinage de. Le racé fourni par l énoncé nous indui donc en erreur, car il ne suggère pas ce comporemen (quasimen invisible à cee échelle). En fai, il faudrai zoomer davanage pour consaer une concordance : Ci-dessus, on a racé le graphe de f (), afin de rendre plus visibles les variaions de f e son signe au voisinage de. On consae bien cee fois l annulaion avec changemen de signe.
) Premiers ermes de la suie de Fibonacci : Correcion Enoncé 3 n 2 3 5 7 8 9 2 2 3 5 8 3 2 3 55 89 2) On calcule : A 2 = = 2 = + = I 2 + A 3) Comme I 2 e A commuen, on peu appliquer la formule du binôme : A 2n = ( A 2) n = (I2 + A) n = n n A k k ) Le calcul de A n pour les premières valeurs de n donne : A 2 = 2 ; A3 = 2 2 3 ; A = 2 3 3 5 ; A5 = 3 5 5 8 ce qui suggère la formule générale : n N, A n = + On prouve ceci par récurrence. Supposons cee égalié vraie au rang n, pour un cerain n N ; alors : A n+ = F n+ = + + + F = n+ + + F n+2 comme souhaié. Mainenan F 2n apparaî comme le erme (ligne, colonne 2) de A 2n ; e d après l égalié éablie au 2, on consae que : Vérifions pour n =. On a d une par : n N, F 2n = n n F k k F 2 = e d aure par : F k = k F + F + F 2 + 2 F 3 + 3 F + F 5 + 5 F = + + 5 + 2 2 + 5 3 + 5 + 8 = + 5 + + 5 + 3 + 8 = la vérificaion es concluane.
5) Comme la suie de Fibonacci es croissane, on a pour ou n N : n n F k k La majoraion proposée es donc vérifiée pour a = 2. n n k = 2 n ) Calcul eplicie de. a) On vérifie que : α + β =, αβ = Ces égaliés se prouven aisémen par un calcul direc, ou bien en remarquan que α, β son les racines du rinôme X 2 X. b) Pour ou n N : δ n+ = +2 α+ = (+ + ) α+ = β+ + = β (+ α ) = βδ n Ceci prouve que la suie (δ n ) n N es géomérique de raison β. c) D après ce qui précède, pour ou n N, δ n = β n δ ; c es-à-dire : + α = β n En divisan chaque membre par α n+, il vien : donc, après sommaion élescopique : + α n+ α n = α n β α α n F = n k β α α c es-à-dire : α n = α β n α β α soi finalemen, comme α β = 5 : = αn β n 5 d) L équaion caracérisique associée à la suie de Fibonacci es q 2 q =. Elle possède deu soluions disinces : α, β. Il eise donc ( λ, µ ) R 2 el que : n N, = λα n + µβ n En pariculier : λ + µ = F λα + µβ = F
d où : λ = F βf α β c es-à-dire, vu que F = e F = : µ = αf F α β λ = µ = 5 On rerouve bien l epression de obenue au -c). 7) Borne inférieure des a > pour lesquels F 2n a n APCR. a) L ensemble E es non vide (2 E d après ) e minoré (par ) donc adme une borne inférieure λ 2. b) Grâce au calcul eplicie de effecué au 5 -c, on voi que : F 2n = α2n β 2n α n β n = α n + β n α n (car α > e β < e donc α n andis que β n ) d où aussiô, pour ou a > : Il en résule que si a > α alors : e en pariculier : F 2n α n a n a a n F 2n n N; n n a n F 2n ce qui prouve que a E. En revanche, si < a < α alors : a n F 2n + e donc a E. On a prouvé que : inf (E) = + 5 2 c) Les calculs précédens monren que : n N, α n F 2n = + n β α Comme β α <, on consae que l inégalié F 2n α n n es vraie que si n es impair. En pariculier, elle n es pas vraie à parir d un cerain rang e donc α E. Correcion Enoncé ) Pour ou R : f () = 3 + 3 2 + = ( + ) ( + ) 3 3 3 2
e donc : soi finalemen : f () = ( + ) ( ) ( + 3 3 3 + o = ) 2 2 + 3 3 + o 2 2 f () = + 3 9 + o Ceci prouve que la droie d équaion y = 3 es asympoe à Γ en +. De plus f () 3 + 9 f () 3 < dès que convenable. Ainsi, Γ es en-dessous de à l infini. e donc Remarque. Ce n éai pas demandé, mais on peu facilemen éudier globalemen les posiions relaives de Γ e. En effe, pour ou R : f () 3 = 3 + 3 2 + 3 = 3 3 (3 2 + ) # 3 Ainsi Γ es au-dessus (resp. en-dessous) de pour les abscisses < 3 (resp. > 3). 2) On calcule la dérivée de f. Pour ou R : ( f () = 32 3 2 + ) ( 3 + ) # 3 + 3 2 = 3 ( 3 + 2 ) (3 2 + ) 2 Or 3 + 2 = ( ) ( 2 + + 2 ) e le discriminan du rinôme es = 7 <. Finalemen f () # ( ). Ainsi f es croissane sur ], ] e sur [, + [, décroissane sur [, ]. Remarque. Ce n éai pas demandé non plus, mais voici à ire indicaif le graphe de f : 3) Calcul du DL 3 ( ) de f. On pose = + h : f ( + h) = + ( + h)3 + 3 ( + h) = 3h 3h2 + h 3 2 h + 3h = 3h 2 h + h2 3 3h 2 + 3h2 Or : 3h 2 + 3h2 = + 3h 2 3h2 + 9h2 + o ( h 2) = + 3h 2 + 3h2 2 + o ( h 2)
e donc : Finalemen : f ( + h) = 3h = 3h ( h + h2 3 ( + h 2 + h2 3 + o h 2) ) ( + 3h 2 + 3h2 = 3h + 3h2 8 + h3 + o ( h 3) 2 + o h 2) f () = 3 ( + ) + 3 8 ( + )2 + ( + )3 + o ( ( + ) 3) ) f es coninue es sricemen croissane sur ], [, donc indui une bijecion F de ], [ sur f ], [ = ], [. Comme F es de classe C e comme F ne s annule pas, alors F es aussi de classe C. De ce fai, F adme un développemen limié à ou ordre au voisinage de ou élémen de ], [ (e en pariculier au voisinage de ). 5) On écri la forme a priori du DL 3 () de F : F () = a + b + c 2 + d 3 + o ( 3) avec a = F () =. Alors : = F ( F () ) = F ( + b + c 2 + d 3 + o ( 3)) e donc, d après le 3 ) : 3 ( = b + c 2 + d 3) + 3 2 b + c 2 + 8 = 3b + ( 3c + 3b2 3d 2 + 8 + 3bc + b3 (b)3 + o ( 3) ) 3 + o ( 3) Par unicié du DL, on en dédui le sysème : 3b 3c + 3b2 8 3d + 3bc + b3 = = = d où l on ire : Finalemen : b = 3 c = 8 9 d = 32 8 F () = + 3 8 9 2 + 32 8 3 + o ( 3) Remarque. On pouvai affirmer d emblée que : b = ( F ) () = (F F ) () = f ( ) = ) = 3 ce qui réduisai (un peu) la aille du sysème à résoudre. ( 3
) Posons Correcion Enoncé 5 F : ], + [ R, On sai que F es la primiive de ], + [ R, e puis, d après la relaion de Chasles : >, F () = e d qui s annule en. Donc : >, ϕ () = F (2) F () Il en résule que ϕ es aussi de classe C e : >, ϕ () = 2 F (2) F () = e 2 e Cee epression monre que ϕ es de classe C ; il en va donc de même pour ϕ. 2) Le plus simple : ], + [, [, 2], e 2 e donc : c es-à-dire : e 2 2 d ϕ () e 2 d e 2 ln (2) ϕ () e ln (2) e il ne rese plus qu à faire endre vers en invoquan le héorème d encadremen : lim ϕ () = ln (2) + On peu aussi consaer que e, ce qui condui à conjecurer que ϕ () se compore, lorsque +, 2 d comme = ln (2). On eamine alors la différence : ln (2) ϕ () = 2 d Comme l applicaion u : R R, e es prolongeable par coninuié en (la valeur de prolongemen es ) e adme une limie (nulle) en +, elle es bornée sur ], + [ : Il s ensui que : M > ; >, e >, ln (2) ϕ () 2 M M d = M
e donc, de nouveau : lim ϕ () = ln (2) + On peu donc prolonger ϕ en une applicaion coninue sur [, + [, que l on noera ϕ (cf. quesions 5 e suivanes). 3) Pour ou > : e donc ϕ () 2 d = e e 2 lim ϕ () = + Remarque. D aures majoraions son possibles : ϕ () e 2 d = e ln (2) ou encore (l applicaion ], + [ R, e éan décroissane) : ϕ () (2 ) e = e ) On inègre par paries en posan : u = ; v = u = 2 ; v = ce qui donne : Or l encadremen prouve que : Il s ensui que : ou, plus simplemen : 2 2 [ d = e 2 ] 2 = 2 d 2 d 2 d 2 ( 2 ) d = o 2 + d ϕ () + e e 2 2 ϕ () + e 5) Le prolongemen ϕ : a) On consae, en développan chaque eponenielle à l ordre au voisinage de, que : lim ϕ () = +
D après le héorème de la limie de la dérivée, ϕ es de classe C sur [, + [ e ϕ () =. b) Noons Γ le graphe de ϕ e T sa angene à l origine. Comme ϕ () = ln (2), une équaion T es : y = + ln (2) On déermine les posiions relaives de Γ e T e éudian le signe de la différence : () = ln (2) ϕ () = 2 d Or, on sai que u R, + u e u. Par conséquen, () pour ou >, e donc Γ es au-dessus de T. ) Pour ou > : ϕ () = ( e 2e 2) + e e 2 # g () 2 où l on a posé g () = ( e 2e 2) + e e 2, d où g () = ( e 2 e ) # e. Il en résule que g es croissane sur [, 2 ln (2)] puis décroissane sur [2 ln (2), + [. Comme g () = e lim + g =, on voi que g es posiive sur [, + [ e donc ϕ es convee. Quan à ϕ, elle es aussi convee (passer à la limie dans la définiion de la conveié). 7) D après l epression de sa dérivée (cf. quesion ), ϕ es décroissane. 8) D après le DL de l eponenielle en : c es-à-dire : ϕ () = e 2 e [( = 2 + 2 2 3 3 + o ( 3)) ( + 2 2 3 + o ( 3))] ϕ () = + 3 2 7 2 + o ( 2) d où par inégraion e compe enu de ϕ () = ln (2) : ϕ () = ln (2) + 3 2 7 8 3 + o ( 3) Noer que ce DL perme de rerouver (localemen!) les posiions relaives du graphe de ϕ e de sa angene au poin de coordonnées (, ln (2)).