Chaptre V page V-1 V FORMTION DES IMGES DNS L EXEMPLE DU MIROIR PLN Le but de ce chaptre est d ntrodure la noton d mage { travers l exemple du mror plan. Vous vous êtes sûrement déjà regardé(e) dans un mror ; ou plus exactement vous avez déj{ vu l mage que le mror donne de vous-même. Comment l mage se forme-t-elle? Quelles sont ses proprétés? Quelles sont, pour former une mage, les qualtés du mror?. Image d un pont objet donnée par un mror plan 1. La stuaton (M) a) Schéma du mror plan et du pont objet lumneux En optque, un mror plan (M) se schématse par un segment qu représente la face réfléchssante du mror, vue de profl. La face cachée du mror est représentée par des hachures. Le mror plan est le premer exemple de système optque que nous rencontrons. fg. 5.1 : mror plan et pont objet lumneux Un pont objet lumneux est le plus smple des objets lumneux car l se rédut à un pont. C est une source lumneuse ponctuelle ou un objet ponctuel éclaré 1. Expérmentalement, le pont objet lumneux est réalsé grâce à une source ou un objet quas-ponctuels. b) Défnton Le pont sera dt «mage du pont donnée par le mror» s tous les rayons lumneux ssus de passent par après réflexon sur le mror. Nous verrons, au cours de ce chaptre, l usage et la nécessté de défnr ans l mage. Voyons d abord comment nous servr de cette défnton. c) Descrpton du problème Nous c est à dre vous et mo - consdérons un pont objet lumneux et nous cherchons l mage qu en donne un mror plan. 1 Vor le chaptre III Réflexon, réfracton, paragraphe B.4.
Chaptre V page V-2 D après la défnton du pont mage, l nous faut donc tracer tous (!) les rayons lumneux ssus du pont objet, construre leurs rayons réfléchs en applquant les los de la réflexon, et enfn trouver le pont d ntersecton de ces rayons réfléchs. Cette ntersecton est le pont mage du pont objet donnée par le mror. 2. La constructon a) Constructon d un rayon ncdent et de son rayon réfléch R R R N I N I N I S H S H ' fg. 5.2a : constructon du premer rayon fg. 5.2b : constructon du deuxème rayon fg. 5.2c : constructon de l'mage Nous commençons donc par tracer un premer rayon lumneux (I) ssu de et frappant le mror en I. Vor fgure 5.2a c-dessus. Il se réflécht en formant le rayon (IR) que nous construsons en applquant les los de la réflexon 2 : Les rayons (I), (IR) et la normale (IN) au mror sont coplanares ; De plus, l angle de réflexon est égal à l angle d ncdence. De par sa défnton, le pont mage appartent à (IR). Cette proprété n est pas suffsante pour localser. Il faut donc utlser un deuxème rayon lumneux. b) Constructon d un deuxème rayon ncdent et de son réfléch Nous allons chosr un rayon partculer pour rendre la constructon plus smple. Vor fgure 5.2b c-dessus. Nous construsons donc comme deuxème rayon lumneux, le rayon (H) toujours ssu de et frappant mantenant le mror en H, sous ncdence normale. Il se réflécht sur lu-même en formant le rayon (HS). 3. Le pont mage : sa nature, sa poston a) Le pont est une mage vrtuelle Vor fgure 5.2c c-dessus. Nous constatons que les rayons réfléchs (IR) et (HS) ne se coupent pas en avant du mror. Mas leurs prolongements, tracés en pontllés sur le schéma, se coupent en arrère du mror en un pont qu, par défnton, est l mage. Donc, quand vous regardez le mror, les rayons réfléchs semblent provenr du pont. L mage est dte vrtuelle parce que ce sont les prolongements des rayons qu se coupent en et non les rayons eux-mêmes. 2 Vor le chaptre III Réflexon, réfracton, paragraphes.2 et B.2
Chaptre V page V-3 Le sens de l adjectf «vrtuelle», utlsé en optque depus fort longtemps, n a ren à vor avec son utlsaton contemporane. Dre que l mage est vrtuelle, c est seulement dre que ce sont les prolongements des rayons lumneux qu se coupent et non les rayons eux-mêmes. Dans le cas où les rayons lumneux se coupent effectvement, l mage est dte réelle. Nous en rencontrerons dans les chaptres suvants. b) Etude de la symétre du problème Par constructon, le rayon réfléch ( IR) est le symétrque par rapport au mror du rayon ncdent (I). En effet : I est son propre symétrque. De plus les angles (HI) et (HI ) sont égaux car : HI, et ' IN ', donc HI'. Fnalement HI HI '. 2 2 Donc le rayon réfléch est symétrque du rayon ncdent par rapport au mror. S R N 2 - H I ' fg. 5.3 : poston géométrque de l'mage Il en est de même du rayon ncdent (H) et de son réfléch ( HS). Donc le pont, ntersecton des rayons réfléchs, est le symétrque du pont, ntersecton des rayons ncdents : est le symétrque de par rapport au mror. Cec permet de donner une relaton qu donne la poston de l mage en foncton de celle de l objet. c) Relaton de conjugason En optque, on appelle «relaton de conjugason», la relaton qu donne la poston de l mage en foncton de celle de l objet. et sont dts «ponts conjugués». x' (M) H ' N' fg. 5.4 : poston algébrque de l'mage x + La symétre entraîne que H' H et cec, sachant que et sont de part et d autre de H, détermne la poston de. Nous pourrons nous contenter de cette égalté, cependant nous allons tradure algébrquement cette proprété de symétre car ans, nous n aurons plus beson de précser que et sont de part et d autre de H. Pour cela, nous transformons la drote (H) en l axe (x x), perpendculare au mror et orenté dans le sens de la lumère ncdente (c est à dre de vers H). Vor fgure 5.4. La symétre donne, en utlsant les mesures algébrques 3 sur l axe (x x) : 3 Sur les mesures algébrques, vor le complément mathématque.
Chaptre V page V-4 H' H Cette dernère égalté est la relaton de conjugason de et par rapport au mror. 4. Le stgmatsme S R T H J fg. 5.5 : constructon du trosème rayon I a) Tous les rayons ncdents et leurs rayons réfléchs Consdérons un trosème rayon lumneux (J) ssu de et frappant le mror en J. Il se réflécht en formant le rayon (JT) dont le prolongement en arrère du mror coupe les deux premers rayons réfléchs en car les proprétés géométrques ' sont toujours les mêmes, le rayon (JT) est symétrque du rayon (J) par rapport au mror et l dot donc passer par. Et l en est ans de tous les rayons lumneux ssus de : leurs rayons réfléchs semblent tous provenr de. b) La formaton de l mage Comme tous les rayons réfléchs semblent provenr du même pont, lorsque nous regardons la ponte d un crayon grâce à un mror plan, nous la voyons nette. C est ans que nous voyons une mage de bonne qualté. Imagnons que la moté des rayons lumneux réfléchs semblent provenr de et l autre moté d un pont, nous verrons alors deux mages (chacune deux fos mons lumneuses que l mage habtuelle). Et s les rayons réfléchs semblaent provenr, non pas d un pont ou de pluseurs, mas d une pette tache, nous verrons une «mage» floue elle serat d autant plus floue que la tache serat étalée. Dans le cas du mror plan, tous les rayons réfléchs (ssus de rayons ncdents venant du pont ) semblent provenr d un seul pont. Pour nommer cette proprété, on dt qu l y a stgmatsme rgoureux. c) Défnton Il y a stgmatsme lorsque l mage d un pont est un pont. C est une proprété du système optque qu est dt stgmatque. d) Stgmatsme rgoureux, stgmatsme approché, astgmatsme Lorsque tous les rayons lumneux ssus de passent par cas de l mage réelle - ou semblent provenr de cas de l mage vrtuelle -, le stgmatsme est dt rgoureux. Il est dt approché lorsque cette condton est presque réalsée : nous précserons cette noton dans le chaptre qu trate du doptre plan.
Chaptre V page V-5 Il y a astgmatsme 4 lorsque cette condton n est pas du tout réalsée. Le système est alors astgmatque. e) Exemples Le mror plan est rgoureusement stgmatque. Nous rencontrerons des systèmes optques qu réalsent le stgmatsme approché : ce sont les plus fréquents (lunettes, objectfs photographques). Certanes personnes sont astgmates : un de leurs yeux ou les deux ne forment pas une mage ponctuelle lorsque l objet est un pont ; sans correcton, les objets ne leur apparassent pas nettement (ls sont flous et déformés). f) Utlsaton d une mage Lorsque nous utlsons un système optque (S), c est toujours pour former une mage qu ensute nous regardons ou photographons (pus nous regardons la photo, donc l œl est le derner mallon). L apparel photo (S ) ou l œl sont eux-mêmes des systèmes optques. En d autres termes, nous fasons se succéder deux systèmes optques (S) et (S ). Pour l nstant, nous ne connassons qu un système optque : le mror plan. Plaçons un second mror (M ) sur le trajet des rayons réfléchs. Ils devennent des rayons ncdents pour ce second mror. Ces rayons ncdents semblent provenr du pont qu devent un objet pour le second mror. Donc le pont donne une mage symétrque de par rapport au second mror. Nous obtendrons la même mage en remplaçant l objet et le premer mror par un objet stué en. '' ' (M') (M) fg. 5.6 : successon de deux mrors Pour cette deuxème réflexon, peu mporte que les rayons semblent provenr ou provennent du pont, ce qu compte c est la drecton des rayons et cette drecton est donnée mmédatement par la poston de. Une mage, réelle ou vrtuelle, s utlse de la même façon qu un objet lumneux. Quel que sot le deuxème système optque (mror, apparel photo, œl), l utlsaton de l mage, réelle ou vrtuelle, reste la même. 4 Le préfxe a- est c prvatf, ssu du grec.
Chaptre V page V-6 Remarque : Le mror (M ) donne auss du pont une mage 1 et ans de sute B. Image d un objet étendu donnée par un mror plan 1. La stuaton a) Les objets lumneux étendus Les objets lumneux étendus sont tous les objets lumneux non ponctuels. Rechercher l mage d un objet étendu est donc a pror complexe. Nous allons donc d abord envsager le cas d un objet étendu de forme très smple : un segment B perpendculare à l axe (x x). Pourquo nous ntéressons-nous à un objet s désncarné? En fasant tourner cet objet autour de l axe (x x), l engendre un objet plan. Pus en le déplaçant le long de l axe, l crée un objet quelconque. Donc de proche en proche, s nous savons construre l mage d un segment, nous saurons construre celle de tout objet étendu. b) Vocabulare : plan de front Un plan perpendculare à l axe (x x) est dt «plan de front». En optque, lorsqu on consdère un objet lumneux étendu, l s agt d un segment stué dans un plan de front. Les autres objets étendus s en dédusent. 2. Expérence de la bouge a) Descrpton Lorsque vous regardez une vtrne de magasn, vous voyez les objets exposés grâce à la réfracton à travers la vtre mas vous voyez auss votre mage par réflexon sur la vtre. L expérence de la bouge s nspre de cette observaton usuelle. Une vtre sert de mror. Une bouge vtre est placée devant la vtre. L observateur vot smultanément la bouge et son mage. Une autre bouge est alors placée derrère le table mror comme un objet exposé dans premère bouge fg. 5.7 : expérence de la bouge une vtrne. L observateur vot alors tros bouges : la premère, son mage obtenue par réflexon sur la vtre et la deuxème bouge par réfracton. On déplace la deuxème bouge de façon qu elle sot au même endrot que l mage de la premère bouge. Lorsque le réglage est fat, l observateur ne vot plus que deux bouges. Et on constate que la bouge et son mage sont symétrques par rapport à la vtre-mror.
Chaptre V page V-7 Nous pouvons dramatser cette expérence en allumant la premère bouge. Comben y a-t-l de bouge(s) allumée(s)? Comben l observateur vot-l de bouge(s) allumée(s)? Que se passe-t-l s l expérmentateur met ses dogts dans la flamme de l mage? Se brûle-t-l? 5 b) Concluson B (M) B' L mage est stuée derrère la vtre-mror, à une dstance égale à celle C C' qu sépare l objet de la vtre-mror. Elle n est pas collée contre le ' mror, n «dans» le mror. c) Interprétaton Un objet étendu est un ensemble d objets ponctuels contgus (collés fg. 5.8 : mage d'un objet étendu les uns aux autres). Chaque pont C appartenant au segment B donne un pont mage C symétrque de C par rapport au mror. Donc l mage du segment B est le segment B symétrque de B par rapport au mror. 3. Poston et grandeur de l mage d un objet étendu a) Poston de l mage + La poston de l mage d un segment stué dans un plan de B B' front est donnée par la poston de, elle-même donnée par la relaton de conjugason : H' H b) Grandssement transversal H ' fg. 5.9 : poston et grandssement + Le grandssement transversal est une grandeur algébrque qu compare la talle de l mage à celle de l objet. Ces talles sont mesurées algébrquement sur l axe (y y), perpendculare à l axe (x x) et orenté vers le haut de la page. Pour un objet en forme de segment, stué dans un plan de front, on appelle grandssement transversal la quantté : B ' ' B C est un nombre sans dmenson (l est le quotent de deux grandeurs de même nature). Il peut être postf ou négatf. Dans le cas du mror plan = +1. 5 Il y a une seule bouge allumée, mas l observateur en vot deux, la bouge allumée et son mage. L expérmentateur ne se brûle pas et ne peut étendre la flamme.
Chaptre V page V-8 Lorsque est postf l mage est dte drote, lorsqu l est négatf l mage est dte renversée. Dans le cas du mror plan, l mage est drote. Lorsque 6 > 1 l mage est dte agrande, lorsque < 1 l mage est dte rédute. Lorsque = 1, l mage et l objet ont la même talle, c est le cas du mror plan. c) Remarque L mage d un objet étendu, en forme de segment B stué dans un plan de front, est entèrement connue s la relaton de conjugason et le grandssement transversal sont connus. 4. planétsme 7 a) Image d un objet étendu plan Lorsqu on fat tourner l objet B autour de l axe (x x), l engendre un objet plus étendu en forme de dsque de centre et perpendculare à l axe. Smultanément, à cause de la symétre, l mage B engendre un dsque mage de centre, lu auss perpendculare à l axe. Pour nommer cette proprété, on dt qu l y a aplanétsme rgoureux. Le mror plan est rgoureusement aplanétque. Cette proprété du mror plan entraîne que la qualté de l mage est parfate. Nous voyons grâce au mror une mage parfatement nette à cause du stgmatsme - et de même forme que l objet à cause de l aplanétsme. Imagnons que l mage d un dsque perpendculare à l axe est une calotte sphérque (une porton de sphère), alors nous verrons une mage déformée. b) Défnton Consdérons un pont objet et son mage donnée par un système optque rgoureusement stgmatque. Il y a de plus aplanétsme rgoureux lorsque l mage d un plan de front contenant est un plan de front contenant. Le système est dt rgoureusement aplanétque. c) Commentare Le stgmatsme n est alors pas lmté à un couple de ponts conjugués. Il s étend aux plans de front contenant ces ponts. L aplanétsme tradut la conservaton du stgmatsme dans un plan de front. d) Exemple Le mror plan est rgoureusement stgmatque et aplanétque. Donc, la qualté de l mage est parfate. 6 Sur la noton de valeur absolue, vor le complément mathématque. 7 Le préfxe a- est c ssu du latn et ndque la destnaton, la drecton vers. planr sgnfe rendre plan. Comparer cette constructon avec astgmatque, non stgmatque.
Chaptre V page V-9 Remarque : Cependant, ben que le grandssement transversal du mror sot égal à +1, l mage d un objet plan n est pas superposable à l objet. En effet, l mage d une lettre «d» est une lettre «b» et récproquement. Il en est de même pour les lettres «p» et «q». Ou encore, une man drote devent une man gauche. table b objet b mror mage b rotaton du d fg. 5.10 : l'mage d'un d est un b Sur la fgure 5.10 c-dessus, un expérmentateur place une lettre d devant un mror. Un observateur, s l est placé entre la lettre et le mror la vot comme un d et s l est placé derrère la lettre d, la vot comme un b ans que son mage. Le schéma annexe montre comment l observateur en tournant autour du d, le vot se transformer en b. Nous avons défn la noton d mage comme ntersecton des rayons réfléchs ce qu est nécessare { son utlsaton, en tant qu objet lumneux, par un deuxème système optque quelconque et partculèrement par l œl. De plus, cette mage est caractérsée par sa nature, réelle ou vrtuelle ; Elle est détermnée par sa poston grâce à la relaton de conjugason et par sa talle grâce au grandssement transversal ; Et la netteté de l mage est due aux qualtés du système optque : son stgmatsme et son aplanétsme. Nous avons ntrodut toutes ces notons sur le cas partculer du mror plan, mas elles sont générales.
Chaptre V page V-10 Résumé Noton d mage Le pont sera dt «mage du pont donnée par le mror» s tous les rayons lumneux ssus de passent par après réflexon sur le mror. L mage est dte «vrtuelle» lorsque ce sont les prolongements des rayons réfléchs qu se coupent et non les rayons eux-mêmes. Relaton de conjugason de et par rapport au mror plan : H' H. B ' ' Grandssement transversal : vaut +1 dans le cas du mror plan. B Stgmatsme Il y a stgmatsme lorsque l mage d un pont est un pont. C est une proprété du système optque qu est dt stgmatque. Lorsque tous les rayons lumneux ssus de, passent effectvement par cas de l mage réelle - ou semblent provenr de cas de l mage vrtuelle -, le stgmatsme est dt rgoureux. Il est dt approché lorsque cette condton est presque réalsée : nous précserons cette noton dans le chaptre qu trate du doptre plan. Il y a astgmatsme lorsque cette condton n est pas du tout réalsée. Le système est alors astgmatque. planétsme Consdérons un pont objet et son mage donnée par un système optque rgoureusement stgmatque. Il y a de plus aplanétsme rgoureux lorsque l mage d un plan de front contenant est un plan de front contenant. Le système est dt rgoureusement aplanétque.