LES DIMENSIONS DANS LA PERCEPTION DES INTERVALLES MUSICAUX *

LES DIMENSIONS DANS LA PERCEPTION DES INTERVALLES MUSICAUX * "W.J.M. LEVELT et R. PLOMP (Insttute for Percepton R.V.O.-T.N.O., SOESTERBERG, PAYS-BAS) Introducton Il est ntéressant de savor de quelle manère des sujets classent dans des catégores les dfférents accords de deux sons, quelles caractérstques de ces accords sont en général perçues par le sujet, autrement dt quels sont les trats «physques» spontanément utlsés par eux pour les dfférencer, ou, s Ton préfère ce terme, pour les «coder». Nous avons précédemment traté ce problème en présentant des accords de deux sons à des sujets et en leur demandant de les juger au moyen d'un jeu d'échelles sémantques selon la technque du dfférentel sémantque d'osgood. L'analyse factorelle fournt ensute les prncpales dmensons de cet espace de jugement (1). Ben sûr nous y avons trouvé une dmenson prncpale «d'évaluaton» dstnguant les accords agréables et désagréables. C'est dans cette dmenson que l'échelle «consonant-dssonant» a révélé une saturaton mportante, et nous en avons conclu que nos sujets naïfs utlsaent le terme consonant comme une catégore apprécatve. Il fut plus dffcle de précser les détermnants physques de cette évaluaton. De nouvelles expérences que je vas décrre dans un nstant, ont donné une vue plus drecte sur ce pont Une autre dmenson, dans cette premère analyse, parut relée à la grandeur de l'ntervalle : nous l'appelons «fuson». Cependant, les technques verbales de jugement ont des nconvénents. Le sujet est oblgé d'utlser une catégore qu'l n'emploerat pas spontanément ou qu ne lu semble pas pertnente. Nous avons donc cherché à utlser une technque non-verbale. La plus élégante nous a paru être une technque de comparasons tradques. Comparasons tradques des ntervalles muscaux. Procédure expérmentale, Le sujet dspose de tros boutons-poussors 3 chacun d'eux correspondant à un accord de deux sons. Sa tâche est de chosr parm eux * Cette étude a été réalsée avec le souten de l'organsaton Néerlandase pour le Développement de la Recherche Scentfque (Z.W.O.)- 172

les deux qu sont le plus semblables l'un à l'autre et les deux qu sont le plus dssemblables. Ce mode de jugement paraît asé pour le sujet, mas crée quantté de dffcultés pour l'expérmentateur. La premère concerne le jeu de trades à utlser, la seconde le mode d'analyse. TABLEAU I Proporton 1 :2 2 :3 3 :4 2 :5 3 :5 4 :5 5 :6 4 :7 5 :7 5 :8 4 :9 8 :9 11 :12 8 :15 15 : 16 Fréquences en Hz. 333 400 429 286 375 444 : 666 :600 :-572 : 715 625 :555 455 :546 364 637 415 :581 385 616 308 603 472 531 473 516 344 645 480 :512 Dstance en Hz. 333 200 143 429 250 111 91 263 166 231 385 59 43 301 32 Nous avons un ensemble de 15 accords, c'est-à-dre 15 stmul (Tableau I). Cependant, pour une expérence complète, le sujet devat juger 455 trades, ce qu état une tâche mpossble. Pour évter cec nous avons utlsé une procédure dte «ncomplète», dans laquelle un sujet devat juger seulement 35 trades, les sujets se complétant les uns les autres. Nous n'entrerons pas dans ces détals technques dont le reste sera publé par alleurs (2). Quant au mode d'analyse, après l'exécuton de l'expérence l fallat trouver une technque d'échelle multdmensonnelle. Une technque de ce genre a été développée récemment par le Dr Kruskal des Bell Téléphone Laboratores ('3). Tands que dans d'autres technques les fréquences relatves de jugements de smlarté entre stmul sont transformées en dstances spatales par une transformaton en notes normalsées (z), la technque de Kruskal est ndépendante de toute hypothèse de probablté. Elle utlse seulement l'ordre des rangs des fréquences relatves sans donner de sgnfcaton à leurs valeurs absolues. Le Dr Kruskal a eu la benvellance de nous envoyer son programme de calcul, mas ce n'est que récemment que les résultats expérmentaux ont pu être manpulés. On trouvera donc c seulement quelques consdératons prélmnares sur les résultats. (L'analyse défntve est conçue en (2).) 173

Stmul* Nous avons réalsé deux expérences. Dans la premère, les 15 stmul du Tableau I étaent des ntervalles composés de sons smples (snusoïdaux); c'est l'expérence des sons smples. Dans la seconde expérence, les mêmes 15 stmul ont été utlsés, mas ls étaent composés de sons complexes. Chaque son résonnat avec tous ses partels, chacun d'eux ayant la même énerge. On a fltré les partels au-delà de 4.000 Hz. C'est l'expérence des sons complexes. Chacun des stmul avat une fréquence de 500 Hz, de sorte qu'ls semblaent tous avor la même hauteur moyenne. La presson sonore avat un nveau de 60-70 db. Résultats. Une parte des résultats d-e nos analyses est donnée dans le Tableau IL Ce tableau fournt l-es saturatons des 15 stmul en tros dmensons orthogonales, à gauche pour l'expérence des sons smples, à drote pour celle des sons complexes. La poston des axes auss ben que l'unté de mesure sont arbtrares. Les deux confguratons montrent des dfférences caractérstques. Pour les besons de cet exposé, nous consdérerons seulement une dfférence typque, mportante pour l'étude de TABLEAU II Projecton des Î5 stmul en tros dmensons (KRUSKAL's MDSCAL-program) Tons smples (S) Tons complexes (C) I II III I II III 1:2 2:3 3 : 4 2:5 3 :5 4. : 5 5 :6 4 :7 5 :7 5:8 4 :9 8:9 11 :12 8 :15 15 : 16.734.096.714.596.292.088.041.133.061.848.314.389.246 -.486.365.692.118.266,460.745.496.042.458 -.839.382 --1.111.868.396,590»-1.077.731.032.900 1.105.04'5.630.701.075.923.272 1.089.223.160.328.149 1.261.857.394.924.098.168.520.364.459.387.099.469.435.585.146.234.223.358.453.607.658.400.738.142.578.943.702.623.368.793.122.620.652.364.418.471.346.092.972.539.517.404.954.641.923 174

la consonance muscale. La consonance d'un ntervalle a toujours été attrbuée à la smplcté du rapport des fréquences qu le composent. Cependant une queston de fat se pose : un sujet utlse-t-l la complexté de ce rapport comme un moyen de codage dans la percepton des ntervalles muscaux? Mathématquement cette queston revent à se demander s nous pouvons trouver dans l'espace des stmul un axe sur lequel les projectons des stmul sont ordonnées selon la complexté de ces stmul. Autrement dt : ayant un espace undmensonnel c, dans lequel les 15 stmul ont des valeurs selon leur complexté, nous essayons d'amélorer la covarance de c et l'espace tr-dmensonnel du stmulus S, par une rotaton de e en S. En fat cec est un problème d*algèbre matrcelle dont le Professeur Van de Geer a trouvé la soluton générale (4). Cec également sera publé par alleurs (2). Il nous sufft c de donner pour chaque soluton les coeffcents de drecton de l'axe à rotaton optmale dans l'espace du stmulus. La complexté du rapport de fréquences est plus convenablement défne par le nombre le plus élevé du rapport (ans, par exemple, 2 pour l'octave, 3 pour la qunte, 5 pour la terce majeure, etc). Ce n'est pas là la défnton la plus évdente, mas pour le moment nous nous y tendrons et l'appellerons complexté I. À cause de la dstrbuton oblque de ces nombres (qu est un nconvénent pour l'analyse optmale) nous avons utlsé dans notre analyse les mesures logarthmques des complextés. 15 ' 3 le VU " o's 5g Q.S «"fc* o^ 0.5 ES 0.0 II 28 o*c» 1 ( " ' coeffcents de drecton '.779 -.073 -.622_ n a 1 a 1 «* -0.5 1.0 - B o 1.5- -2.0 - ' r=,407 log complexté p*,* 0,6 0.6 0.8 1.0 1,2 l.a Fgure L Relaton entre l'axe optmal de complexté dans l'espace des sons smples et la complexté I des rapporta de fréquences. Nous avons calculé d'abord Taxe optmal de complexté dans l'espace des sons smples. La Fg. 1 représente le résultat de cette analyse. Cet axe optmal est représenté par les coordonnées vertcales, les coordon- 175

nées horzontales représentent les logarthmes de la complexté ï. Il est mmédatement évdent à la vue de cette fgure que les sujets ne dstnguent pas les accords d-e deux sons smples selon la complexté de eurs rapports de fréquences. Un des prncpaux moyens de les dfférencer paraît être la grandeur de l'ntervalle. Cec est clar dans la Fg. 2. La grandeur de l'ntervalle est défne par la dstance en cycles,.o? 05 o "m Dans une communcaton fate au V Congrès Internatonal d'esthétque (5), nous avons appelé ces ndces «nterférences». Dans les expérences de psychophysque l est possble de montrer que deux sons smples produsent des nterférences physologques lorsqu'ls sont sécocffctents de drecton -.A 08.632 -.659 o o w -a -0.5 Ko o~ E f*.952 a -..o M O _ 0 100 200 300 00 H* Fgura î. Relaton entre l'axe dstance optmal en Ire tons de dstance * dans l'espace des sons smples et la largeur des ntervalles (dstance en Hz). par seconde entre les deux sons de l'ntervalle. L'axe vertcal représente Taxe optmal des dstances dans l'espace des sons smples, tands que l'axe horzontal représente la grandeur des ntervalles. Cette relaton paraît ben étable. On en conclut que dans des accords de deux sons smples les sujets entendent la grandeur de l'ntervalle mas non la complexté du rapport de fréquences. Voyons mantenant ce qu'l en est des accords de deux sons complexes. Le calcul de Taxe optmal de complexté dans cet espace donne le résultat représenté dans la Fg. 3. Ic une relaton clare semble exster entre l'axe optmal de complexté et les logarthmes de la complexté ï des 15 stmul. Apparemment les sujets dfférencent les ntervalles de sons complexes selon la complexté de leur rapport de fréquences. Nous en concluons que la percepton de la complexté dépend de la présence d'harmonques. Il ne semble pas y avor de sensaton nhérente à la smplcté du rapport de fréquences. Le jugement de complexté et de smplcté est dû à des ndces rattachés à la structure des harmonques. Interférence. 176

w T 1 1 1 1 '"- "' " V log complexlfc '.» (nombre plus haut) -2.0 1 ' ' ' ' ' 0.4 0.6 0.8 1.0 12 14 Fgure S. Relaton entre l'axe optmal de complexté dans l'espaça des sons complexes et la complexté I des rapports de fréquences. u parés par une dstance mondre qu'une dstance crtque appelée la bande crtque. A l'ntéreur de cette bande on peut démontrer qu'l y a une sommaton des énerges stmulatrces e k t auss d'autres effets d'nteracton sonore. Ces effets sont absents lorsque les sons sont séparés par une dstance supéreure à la bande crtque. Mas la largeur de cette bande, lon d'être constante est foncton de la fréquence moyenne, comme nous allons le montrer tout à l'heure. Nous pouvons montrer que pour les pares de sons smples le degré d'nterférence, mesuré par exemple par le jugement de dssonance d'un sujet, est foncton du degré selon lequel les sons entrent dans leur bande crtque. Un exemple en est donné à la Fg. 4, Cette fgure représente les moyennes et les lgnes de 25 et 75 % des jugements de consonance sur des échelles en 7 pont fats par 14 sujets, en foncton de la largeur de l'ntervalle. Seuls des ntervalles de sons smples ont été utlsés, d'une fréquence moyenne de 500 Hz. La lgne pontllée vertcale représente la largeur de la bande crtque pour une fréquence moyenne de 500 Hz. L'échelle de consonance dans sa totalté est parcourue à peu près entre 25 et 100 % de la largeur de la bande crtque. Cec est auss vra pour d'autres fréquences moyennes pour lesquelles la largeur de la bande crtque peut être dfférente (6). L'exstence des bandes crtques n'est pas due à des processus centraux, mas à des processus ségeant dans l'organe pérphérque de l'ouïe. Il n'est donc pas surprenant que ce sot auss le cas de l'nterférence. Pour des sons smples, une seconde mneure est beaucoup plus dssonante qu'une septème majeure. Mas ces ntervalles sont estmés également consonants lorsque l'un des sons est présenté à une orelle et l'autre à une autre orelle (4). L'nterférence n'est alors plus possble, 177

"1 "I 1 "T 1 1 1 -J..I.I <\ V V» *N V N N V,/ / / / f 1 1 l 1 f 1 I ' 1 ' / ' // 4 / / 1 1 l 4 **^~" <y ' r / t î t r w ~" A \ \ \ \ 10* 2 5 10* 2 5 10 3 dstança (dffretnct trquentelle)encycl«sp. sec 1 Fgure 4. Relaton entre le degré de consonance de pares de sons smples et la largeur des ntervalles. Tous les accords de deux sons ont une fréquence moyenne de 500 Hz. La courbe pomtllée vertcale représente la largeur de la bande crtque pour 500 Hz. Il ressort clarement de ces consdératons que pour des pares de sons complexes l'nterférence ne coïncde pas avec la largeur de l'ntervalle, comme dans le cas des pares de sons smples, mas approxmatvement avec la complexté du rapport des fréquences défn plus haut. t Car l'nterférence ne dépend pas seulement alors de la dstance entre les sons fondamentaux, mas auss de la dstance entre harmonques, Des rapports smples donneront des coïncdences d'harmonques, et par sute une réducton du nombre de pettes dstances nterférentes. Ans nous pouvons employer alors une autre mesure de la complexté, c'est-à-dre la fréquence du premer partel commun des deux sons fondamentaux. Comme les autres harmonques communs ont des fréquences qu sont des multples du premer, leur fréquence mesure la densté de coïncdence des harmonques dans l'échelle des harmonques. Cec est une mesure plus compréhensble de la complexté nous l'appelons complexté II mas elle est fortement corrélée avec la complexté I. La Fg. 5 montre la relaton entre les logarthmes de la complexté II et l'axe optmal correspondant dans l'espace des sons complexes. Analyse des nterférences muscales. S l'nterférence est une dmenson mportante dans la percepton des ntervalles muscaux, on dot s'attendre qu'un composteur de musque tenne compte, entre autres choses, du degré d'nterférence qu'l ntrodut dans sa composton. Nous avons vu que l'écart entre l'nterférence mnmum et l'nterférence maxmum correspond à la dstance comprse entre la largeur de la bande crtque totale et un quart de cette largeur. Dans cet écart restrent de petts changements de la largeur des ntervalles correspondent à de grands changements d'nterférence. Cec donne au composteur un évental ntéressant de possbltés à utlser. Il est possble d'analyser des compostons de ce pont de vue.. De plus, 178

1 5 I? coeffcents de drecton.at.,263.522 r s.928 1,0 05 95.15 o e * s 00-0.5 1.0-1.5 2.6 log complaxts 3.0 3.2 3,4 3.6 3.B Fgure 5 Relaton entr-e l'axe optmal de complexté dans l'espace des sons complexes et la complexté II (fréquence du premer partel commun). nous avons vu que la largeur de la bande crtque est foncton de la fréquence moyenne des ntervalles. Elle est plutôt constante jusqu'à 500 Hz (autour de 100 Hz), et augmente au-delà de 500 Hz presque proportonnellement à la fréquence moyenne. S l'nterférence joue un rôle mportant en musque, nous devons trouver une relaton quelconque avec la bande crtque en fasant des analyses muscales. Il est clar que nous ne sommes pas c concernés par la successon des accords, mas nous devons consdérer seulement la «dmenson vertcale de sons résonnant smultanément. Nous obtenons quelque dée de cette dmenson vertcale en cherchant la dstrbuton de la densté de sons smultanés en foncton de la fréquence. C'est là une approche statstque; elle ne nous donne pas d'nformaton sur l'apparton des accords spécfques, mas seulement les fréquences d'apparton des dfférentes combnasons sonores. Une llustraton peut explquer comment ces analyses furent fates» Supposons que nous nous ntéressons à la dstrbuton de la densté des ntervalles ayant pour son grave ut 2 (523,3 Hz). Nous prélevons alors dans une composton muscale tous les accords contenant ut 3 et un son plus agu. Nous détermnons ensute la fracton de temps pendant lequel le son agu le plus proche est séparé de ut 2 par une dstance d'un demton, deux, tros dem-tons, etc. Il apparaît alors que la dstance d'un dem-ton et celle de 15 dem-tons sont rares, tands qu'une dstance de 4 dem-tons est plutôt fréquente. De cette dstrbuton des denstés nous pouvons calculer la médane (50 %) et les ponts correspondant à 25 et à 75 % respectvement. Ces mesures donnent une bonne mpresson des grandeurs des ntervalles ayant ut 2 comme son grave. Ben entendu nous ne nous ntéressons pas seulement à ut 2 mas nous 179

devons répéter cette procédure pour tous les autres sons du morceau de musque. Les ponts médans (50 %) de ces analyses peuvent être relés par un trat le long de l'écart des fréquences et nous pouvons tracer également les lgnes des 25 et 75 %. Il y a cependant une dffculté. Une note écrte n'est pas la seule à se fare entendre. Nous devons tenr compte également des harmonques. Pour cette rason le morceau de musque est, pour ans dre, écrt à nouveau, mas à présent avec un certan nombre d'harmonques ajoutés à chaque son. «Pour ans dre» seulement, car nous pouvons fare toute l'analyse pour un nombre lmtable d'harmonques à l'ade d'un apparel à bande perforée spécalement construt, dans lequel la musque peut être jouée au moyen d'un claver. Jusqu'à présent deux morceaux ont été analysés de cette manère (6), tands qu'un certan nombre d'analyses ont été fates auparavant à la man (7). Ces analyses portent sur de la musque de Schûtz, J.S. Bach, Dvorak et Krenek. Les résultats pour ces composteurs sont essentellement les mêmes. Un exemple en est donné à la Fg. 6 : une analyse de la trosème parte du quatuor à cordes en m bémol, op. 51 de Dvorak. TÏ L 1 1 n 111 1 T 11 1000 u 500 " 200 c en w u I «o 50 I I l 1 1 t I I I I I 1 L. J L_J_..I I I 20 10* 2 5 I0 3 2 5 10 4 fréquence «n cycles p.sôc». Fgures 6. Dstrbuton de la densté des dstances entre des sons smultanés (y comprs les harmonques) en foncton de la fréquence (courbes des 25, 50 et 75 %). Quatuor à cordes en M bémol, op. 51 de Dvorak. Les courbes pon- Êllées supéreure et nféreure représentent respectvement les fonctons 100 et 25 % de la bande crtque. La courbe supéreure en pontllés représente la foncton de la largeur de la bande crtque, la courbe nféreure en pontllés, celle des 25 % de cette bande crtque. Les lgnes plenes sont les courbes des 25, 50 et 75 % pour ce morceau, l'analyse ayant été fate pour 8 harmonques de chaque son, ce qu est une estmaton rasonnable du nombre d'harmonques produts par des cordes. 180

Il ressort clarement de cette fgure que la musque «module» entre 25 et 100 % de la bande crtque, c'est-à-dre entre les lmtes du maxmum et du mnmum d'nterférence. De plus les courbes sont exactement parallèles à la foncton de la largeur de bande crtque, ce qu démontre l'mportance de cette foncton en musque. Fnalement on peut remarquer que la forme de cette courbe n'est pas entèrement due au chox conscent du composteur. Notre système à 12 dem-tons, tel qu'l a évolué au cours des sèclesj fournt un certan nombre de moyens de protecton contre les dévatons trop larges à l'égard de la règle de la bande crtque. Il est ntéressant d'observer qu'en fat une évoluton culturelle lente se produt en nteracton avec la structure de la percepton humane. BIBLIOGRAPHIE 1. VAN DE GEER (J.P.), LEVELT (WJ.3VL) & PLOMP (R.), The connotaton of muscal ntervas. Acta PsgchoL, 1962, 20, 308-319. 2. LEVELT ("W.J.M.), VAN DE GEER (J.P.) & PLOMP (R.), Tradc comparsons of muscal ntervas. Brt. J. Math. PsychoL (sous presse). 3» KRUSKAL (J.B.), Multdmensonal scalng by optmzng goodness of ft to a nonmetrc hypothess. Psychometnca, 1964, 29, 1-27. 4. VAN DE GEER (J.P.), Communcaton personnelle. 5. LEVELT (W.JJVL) & PLOMP (R.), The apprécaton of muscal ntervas. Actes V Q Congres Intern. d'esthétque, Amsterdam, 1964. 6. PLOMP (R.) & LEVSLT ("W.J.M.), Tonal consonance and crtcal bandwdth. J. Acoust. Soc. Amer., 1965, 38, 548-560. 7. PLOMP (R.) & LEVELT (W.J.M,), Muscal consonance and crtcal bandwdth. Proc, Fourth Intern. Congress on Acoustcs. Copenhagen, 1962. DISCUSSION Pr t Wellek, Quelle est la relaton entre la complexté et la fréquence? Dr. Levelt. J'a défn deux mesures de complexté qu dépendent de la relaton de fréquence et tout cela dépend de la théore de l'nterférence. Selon cette théore, des mesures exactes mportent peu pusque la consonance cour une pette dstance et pour une grande dstance est la même. Mas l est mportant d'avor leur relaton. Pr. Wellek. Cela confrme la découverte du phénomène du seul. Selon cette théore, ce n'est pas la relaton exacte 1 à 2 et à 3 ou 2 à 3 qu compte, mas la relaton autour de ces chffres. Il y a un problème d'ordre phénoménologque en ce qu concerne le procédé scentfque ou non nformé. Les nterférences acoustques de 100 à 200 cycles par seconde ne donnent pas les melleurs résultats. Les melleurs 181

résultats sont donnés là où la courbe devent plus aguë, donc ce qu est mportant c'est que ce sot plus agu et non pas plus correct mathématquement. J'a fat des expérences de cet ordre sur les dfférents types d'audton et j'a trouvé qu'l y a des ntervalles de dstance et des ntervalles consécutfs. Il s'agt en somme d'ntervalles smultanés et d'ntervalles consécutfs, qualtés d'ntervalles qu ont été découvertes par Abraham. Les relatons phonques (Tongketen) permettent une orentaton de chacun de ces types. Dr. LevelL Mon problème expérmental a été plutôt de trouver une manère drecte et naturelle de classfcaton de ce genre de tons. J'a ndqué au sujet d'utlser l'une ou l'autre de ces catégores. 182