Uiversité Pierre et Marie Curie 04 05 M00, Exame partiel du 5 février 05 Versio corrigée Exercice ( Questio de cours) Soit (u ) N ue suite réelle Doer la défiitio de : la suite (u ) N est ue suite de Cauchy Solutio : Ue suite (u ) N est de Cauchy si elle vérifie : ε > 0, N N, N, p N, u u p ε Exercice Décomposer e élémets simples sur R les deux fractios ratioelles suivates : ) X + (X + ) ; ) X Solutio : D après le théorème de décompositio e élémets simples, il existe deux ombres réels a et b tels que S = a X + + b ax + a + b E mettat au même déomiateur, o obtiet la relatio S = (X + ) (X + ) O peut alors idetifier les coefficiets : a = et b = O coclut que la décompositio e élémets simples de S est S = X + (X + ) De faço alterative, o peut aussi directemet costater : X + (X + ) = (X + ) (X + ) = X + (X + ) O commece par factoriser le déomiateur : X = (X )(X + X + ) et X + X + a pas de racies réelles D après le théorème de décompositio e élémets simples, il existe trois ombres réels a, b et c tels que T = a X + bx + c X Pour détermier a, o peut multiplier l égalité + X + par X puis évaluer e X = ; o obtiet a = E multipliat l égalité par X puis e preat la limite e X +, o obtiet 0 = a + b, soit b = Efi, o peut évaluer l égalité e 0 pour obteir = a + c, soit c = O coclut que la décompositio e élémets simples de T est T = (X ) X + (X + X + ) [0; + [ R Exercice O cosidère la foctio f : x x + Étudier la foctio et tracer approximativemet so graphe sur [0; ] O predra ue échelle où l uité est d eviro 0 cetimètres Solutio : La foctio x x + est défiie, cotiue, strictemet croissate et strictemet positive sur [0, + [, et dérivable sur ]0, + [ Doc f est défiie et cotiue sur [0, + [, dérivable sur ]0, + [ et strictemet décroissate, comme iverse de foctio strictemet croissate O calcule de plus f(0) =, f() = et f(x) = 0 lim x + Pour le tracé du graphe, o revoie à la figure plus loi
Démotrer que le poit est l uique poit fixe de f sur [0, + [ Solutio : f est cotiue et strictemet décroissate sur [0, + [ Doc la foctio x f(x) x est cotiue et strictemet décroissate sur [0, + [ Doc cette foctio s aule au plus ue fois sur [0, + [ Or, o a déjà calculé f() = Doc l uique poit fixe de f est Démotrer que les relatios u 0 = 4 et u + = f(u ) pour tout 0 défiisset ue suite (u ) N [ dot tous les termes appartieet à l itervalle 4, 4 ] [ Solutio : Motros que l itervalle I = 4, 4 est stable par f Comme f est cotiue et décroissate, ] l image de I est l itervalle [f( 4 ), f( )] Or o calcule 4 f( 4 ) = 4 + = + = 4 De plus, f( 4 ) = = 4 + + 4 4 Doc l image par f de l itervalle I icluse das I L itervalle I est doc stable Aisi, la suite (u ) N est bie défiie et tous les termes appartieet à l itervalle [ 4, 4 ] 4 Calculer u et u Représeter graphiquemet sur le graphe de f les termes u 0, u, u, u, u 4 sas les calculer Solutio : O a u = f( 4 ) = 4 comme o l a déjà calculé De plus u = f( 4 ) = + O représete les termes sur le graphe de f (voir figure ) 5 Prouver que la sous-suite (u ) N est croissate et que la sous-suite (u + ) N est décroissate Solutio : La foctio f est décroissate Doc les deux sous-suites (u ) N et (u + ) N sot mootoes de ses cotraires Or o a déjà motré que u = + 4 = u 0 Doc la suite (u ) N est croissate et la suite (u + ) N est décroissate 6 E déduire que ces deux sous-suites sot covergetes Solutio : Ces deux suites sot borées (miorées par 4 et majorées par 4 ) et mootoes Elles sot doc covergetes 7 Motrer que f est dérivable [ sur ]0, + [ et calculer sa dérivée Quelle est la valeur maximale de f (x) sur l itervalle 4 ], 4? Solutio : f est dérivable sur ]0, + [ comme quotiet défii de foctios dérivables O calcule f (x) = x ( x + ) = x( x + ) Sa valeur absolue f (x) = x( x + ) est décroissate sur ] 4, 4 [ Elle atteit doc sa valeur maximum e x = 4 Cette valeur maximale est f ( 4 ) = ( + = 8 ) 9
8 Motrer qu o a f(x) f(y) 8 [ 9 x y pour x, y das 4, 4 ] E déduire que la suite (u ) N coverge Quelle est sa limite? [ Solutio : O a motré que sur 4, 4, o a f ] (x) 8 D après l iégalité des accroissemets fiis, o [ 9 obtiet que, pour x, y das 4 ], 4, o a f(x) f(y) 8 x y 9 [ La foctio f est doc cotractate sur 4, 4 La suite (u ) N coverge alors vers l uique poit fixe [ ] de f sur 4 ], 4 Elle coverge doc vers Exercice 4 O cosidère la fractio ratioelle X X Détermier les coefficiets de sa décompositio e élémets simples a X + b X + c X + Solutio : O vérifie bie que X X = X(X )(X + ) La décompositio e élémets simples est doc de la forme R = a X + b X + c Pour détermier a, o peut multiplier l égalité par X et X + évaluer e X = 0 : a = Pour b, o multiplie l égalité par X et o évalue e X = : b = Pour c, o multiplie l égalité par X + et o évalue e X = : c = La décompositio est doc : R = X + (X ) + (X + ) Démotrer e utilisat la questio précédete que pour tout etier o a : k= k k = k= ( ( k + ) ) k + k Solutio : E évaluat la fractio ratioelle e X = k, pour u etier k, et e utilisat l égalité de la questio précédete, o obtiet k k = k + (k ) + Il reste à faire la somme pour k (k + ) compris etre et : k k = ( ( k + ) ) k + k k= k= E déduire, pour tout etier, l égalité : k= k k = 4 + ( + ) Solutio : O peut maipuler les sommes : k= k k = = ( k= k= ( k + k + k + k= ) ) k k + k= k
Das la première somme apparaisset tous les iverses d etiers etre et tadis que das la deuxième somme apparaisset les iverses des etiers etre et + Doc o peut écrire : k= k k = ( = k + + k= + + k= k= k k k= ) + k ( k= k + + ) ( + + k= k + ) La somme k se simplifie, il reste 4 + ( + ) ( + + qui doe bie le terme ) 4 + ( k= + ) Méthode alterative : o motre l égalité par récurrece C est vrai pour = car le terme de gauche vaut 6 et le terme de droite 4 ( ) = 6 Supposos que c est vrai au rag et motros le au rag : k = k k k + k= k= [par hypothèse de récurrece] = 4 + ( ) + [d après la questio précédete] = 4 + ( ) + = 4 + ( + ) ( + + ) 4 O pose u = sa limite k= pour Motrer que la suite (u ) est covergete et détermier Solutio : O utilise la questio précédete : u = 4 + coverge vers 4 ( + ) Aisi, o obtiet que (u ) Exercice 5 Soit a u ombre complexe tel que a = et a O cosidère la suite géométrique (a ) N Motrer que si elle coverge vers ue limite L, alors o a L = al Solutio : Notos (u ) N cette suite et supposos qu elle coverge vers L La suite vérifie la relatio u + = au Or, quad ted vers l ifii, o sait que u + ted vers L et au ted vers al Par uicité de la limite, o a L = al Motrer que cette suite est pas covergete Solutio : O a supposé que a Doc l équatio L = al a ue uique solutio das C : c est L = 0 Or la suite (u ) N e ted pas vers 0 E effet, e fixat ε =, o a pour tout etier u 0 = a = a = >
Motrer qu elle possède ue sous-suite covergete Solutio : Pour tout etier, le module de u vaut La suite (u ) N est doc ue suite complexe et borée D après le théorème de Bolzao-Weierstrass, elle admet ue sous-suite covergete 4 Soit l la limite d ue telle sous-suite covergete Motrer que l = Solutio : D abord, comme a est de module, tous les termes de la suite (u ) N sot de module Soit doc (u ϕ() ) N ue sous-suite qui coverge vers l Alors, par théorème du cours, sa partie réelle (Re(u ϕ() )) N coverge vers Re(l) et de même pour les parties imagiaires Doc la suite de terme gééral u ϕ() = (Re(u ϕ() )) + (Im(u ϕ() )) coverge vers (Re(l)) + (Im(l)) = l Comme u ϕ() =, o obtiet l = 5 Quelles sot les valeurs possibles de l quad a = i Solutio : Das le cas où a = i, la suite est périodique et pred les valeurs, i, et i Doc ue sous-suite e peut coverger que vers ue de ces quatre valeurs O vérifie que ces quatre valeurs sot possibles, e cosidérat respectivemet les sous-suites (u 4 ) N, (u 4+ ) N, (u 4+ ) N et (u 4+ ) N, qui sot chacue des suites costates, doc covergetes
8 6 4 08 06 04 0 u 4 0u 0 04 06 08 u u u 4 6 8 Figure Le graphe de f (e bleu) et les 5 premiers termes de la suite