Chpitre 2 Intérle curviline et pplictions ux fonctions holomorphes 2. Intérle curviline - Indice d un point pr rpport à un lcet 2.. Définitions et propriétés de bses Soit f : [, b] R! C une fonction, on décompose f en prtie réelle et iminire, f (t) =u(t)+iv(t). On supposer que u et v sont continues. On définit b b b f (t)dt = u(t)dt + i v(t)dt (2.) où les intérles de u et v ont le sens usuel des intérles de fonctions d une vrible réelle u sens de Riemnn. On veut étendre cette définition ux intérles de fonctions le lon de chemins ou courbes dns C. 2..2 Chemins et lcets 2.. DÉFINITION Un chemin (ou courbe ou rc) est, pr définition, une ppliction continue : I! C d un intervlle fermé et borné I de R (non réduit à un point) dns C. Le chemin est dit C pr morceux si on peut subdiviser l intervlle I =[, b] en un nombre fini de sous-intervlles = < < < n = b tel que i = [i, i+ ] est de clsse C i.e. i est continue sur [ i, i+ ], pour tout pple i pple n.. Le point () (resp. (b)) est ppelé l oriine (resp. l extrémié) du chemin. 2. Un lcet est un chemin : [, b]! C tel que () =(b). 3. On note pr l ime du chemin. On dit qu un chemin est contenu dns un sous-ensemble W de C, si son ime W. 33
2. Intérle curviline et pplictions ux fonctions holomorphes: Intérle curviline - Indice d un point pr rpport à un lcet Chpter 4 : Complex Interls 34 4 3 (2) Usully, we do distinuish between the curve nd the function, nd simply refer to the Dns toute lnot suite, suf mention contrire, curvetous. les chemins seront supposés continus et C pr morceux. On dit qu un (tt),6= pour tout t, t 2], b[ tels que Definition. A curve : lcet [A,B]! C isest sid tosimple be simple ifsi(t) (6=t)(t2)6=whenever t2, with the exception (A) injective. = (B). A curve : [A,B]! C is sid to be closed if (A) = (B). t 6=possible t i.e. ],btht [ est 76 II Interl Clculus in the Complex Plne C From the lst point in the remrk follows: Theorem II..6 If continuous function f : D! C, D primitive then!"#$%&'()*'),-'+%,!&* f ( ) d =!"#$%&'()*'+%,!&* C open, hs F IGURE 2. lcet simple for ny closed piecewise smooth curve (A curve in D. : [, b]! C is clled closed, if () = (b).) Remrk II..7 Let r > nd ),-'!"#$%&'()*'),-'+%,!&* +%,!&*'()*'),-'!"#$%& non simple (t)f =IGURE r exp(it), 2.2 t lcet 2, ( simple circle covered nti-clockwise ). Then for n 2 Le théorème de Jordn suivnt, exprime un fit intuitivement évidente mis, ( for n 6=, d = dont l démonstrtion est nétonnmment difficile. 2 i for n =. II..7 In the domin D = C the (continuous) function 4.2. ContourCorollry 2..2 T HÉORÈME (Interls DE J ORDAN ) : D! lcet C, z 7 simple!, Le complémentire C \,fd un, deux composntes connexes, l une z A curve : [A,B]! C is sid to be n rc if is differentible in [A,B] nd is estdefinition. bornée (ppelée does not hvel intérieur ny primitive. de l courbe) et l utre n est ps bornée (ppelée l excontinuous [A,B]. Otherwise, becuse térieur dein l courbe). of II..6, the interl over ny closed curve in C would hve to vnish. However, d = 2 i Exmple 4.2.. The unit circle is simple closed rc, since we cn described it by : [,2 ]! C, L orienttion positive detoincheck estthttelle qundt 6=on se only déplce le lon du lcet circle positive trionometric sense) iven by (t) =foreitthe = cost +line isint.(prmetrized It is esy (t) 6=que (t2) whenever t2, the l composnte bornée est à uche. Pr exemple, l orienttion du cercle trionome: [, 2 ]! C, exception bein () = (2 ). Furthermore, (t) = sint + icost is continuous in [,2 ]. t 7! r exp(it) (r > ). trique. II..7. In cse of n 6= the function f (z) = z hs the primitive Definition. Proof Supposeof tht C is n rc iven by the function : [A,B]! C. A complex vlued function 2..3 E XEMPLE. F (z) =i) zn+ Si.l ppliction dns Therefore its interl overest ny constnte closed curve vnishes. For I, n = est réduit à un point de n +on the rc C if the function (t) = f( (t)) is continuous in [A,B]. In this f is sid to be continuous however, hvecs que c est un lcet constnt. C. On,dit dnswe ce cse, the interl of f on C is defined to be n () f(z)dz = C B f( (t)) (t)dt. A Remrks. () Note tht () cn be obtined by the forml substitution z = (t) nd dz = (t)dt. (2) If we describe the rc C in the opposite direction from t = B to t = A, this opposite rc cn be desinted by C. Since
2. Intérle curviline et pplictions ux fonctions holomorphes: Intérle curviline - Indice d un point pr rpport à un lcet 35 ii) Soit 2 R et : I =[, ]! C le chemin défini pr (t) =e 2ipt. Alors (I) C = {z 2 C; z = }. Si = n 2, n (I) =C, mis, tout point du cercle est obtenu pour n vleurs distinctes de t. On dit que le cercle unité est prcouru n fois. Cet exemple montre qu il est essentiel de ne ps confondre un chemin et son ime = (I). 2..4 DÉFINITION Un chemin : [ã, b]! C est une reprmétre du chemin : [, b]! C, s il existe une ppliction de clsse C f : [, b]! [ã, b] vec f (t) >, f() =ã et f(b) = b telle que (t) = (f(t)). Pour un chemin : [, b]! C, on définit le chemin opposé, : [, b]! C, pr (t) := ( + b t). C est le chemin prcouru en sens inverse. Etnt donnés deux chemins : [, b]! C. et 2 : [c, d]! C. tels que l oriine 2 (c) de 2 soit l extrémité de (b) de. On ppelle juxtposition (ou joint) de et 2, noté _ 2, le chemin [, b + d c]! C défini comme suit : ( _ 2 (t) = (t) si pple t pple b, 2 (t b + c) si b pple t pple b + d c. (2.2) 2..5 REMARQUE Pour tout chemin, _ ( ) est un lcet. Lonuer d rc Soit : [, b]! C un chemin. A toute subdivision s =(t, t,...,t n ) de [, b], on ssocie l line polyonle de sommets (t i ) i 2{,,..., n} inscrite dns, notée ((t ), (t ),...,(t n )). Une pproximtion de l lonueur de pr rpport à s est l lonueur de cette line polyonle i.e. n L s () = Â (t i+ ) (t i ) i= et si Prtition[, b] est l ensemble des subdivision de [, b] lors l lonueur de l rc est l() := sup L s () s 2 Prtition[, b], On dit que l rc est rectifible si s lonueur est finie. 2..6 Exercice Montrer que le plus court chemin entre deux points est le sement qui les joint. (Hint : utiliser l inélité trinulire).
2. Intérle curviline et pplictions ux fonctions holomorphes: Intérle curviline - Indice d un point pr rpport à un lcet 36 2..7 EXEMPLE. Si on veut clculer l lonueur L de l dionle du crré de côté >, pr l suite de lines polyonles (voir fiure) on trouve 2, mis on sit d utre prt ( pythore) que L = p 2, ce qui entrînerit 2 = p 2, où est l erreur? On fit, cette suite de lines polyonles n est ps une pproximtion de l lonueur L, cr elle n est inscrite dns l dionle i.e. certins sommets ne sont ps sur l dionle. /4 /2 /4 /4 /2 /2 /4 /4 /4 etc... /4 /2 /4 Si l rc est de clsse C, s lonueur peut être clculée pr le théorème suivnt : 2..8 THÉORÈME (Lonueur d rcs C ) Si : [, b]! R n est de clsse C, lors l() = b (t) dt. Démonstrtion: Il suffit de montrer (i) L s () est inférieure à l intérle précédente pour toute subdivision s 2 Prtition[, b], et (ii) qu il existe une suite s n de subdisvisions de [, b] telle que lim n! L sn () est éle à l intérle. L première est une conséquence de l exercice précédent. Pour démontrer l seconde prtie, on prend pour s n l subdivision définie pr t i := + i(b )/n. Pr définition de l intérle, pour tout e >, on peut trouver n ssez rnd tel que b (t) dt n  (b ) (t i ) n i= pple e 2. (2.3) Mintennt d près le théorème des ccroissements finis on, n  (t i+ ) (t i ) i= n  (b ) (t i ) n i= pple n  i= ( sup s i 2[t i,t i+ ] (s i ) (b ) (t i ) ) n. et d près l inélité trinulire sup (s i ) (t i ) pple sup (s i ) (t i ). s i 2[t i,t i+ ] s i 2[t i,t i+ ]
2. Intérle curviline et pplictions ux fonctions holomorphes: Intérle curviline - Indice d un point pr rpport à un lcet 37 Finlement, comme est continue sur [, b], on peut choisir n ssez rnd pour que Les trois dernière inélités donnent sup (s i ) (t i ) pple s i 2[t i,t i+ ] e 2(b ). n  (t i+ ) (t i ) i= n  (b ) (t i ) n i= pple e 2 (2.4) b (t) dt n  (t i+ ) i= (t i ) pple e ce qui termine l preuve. 2.. REMARQUE Pour un rc C pr morceux, l formule précédente permet de clculer s lonueur comme somme finie des rcs C qui le composent. 2..3 Intérle le lon d un chemin 2.. DÉFINITION Soit f : W! C continue définie sur un ouvert W de C, et : [, b]! C un chemin C pr morceux (comme dns 2..) tel que ([, b]) W. L expression f (z) dz := est ppelée l intérle de f le lon du chemin. n i+  f ((t)) (t) dt (2.5) i= i Cette définition est nloue à celle de l intérle le lon d un chemin des fonctions à deux vribles réelles : Soit P(x, y) et Q(x, y) deux fonctions à vleurs dns R et un chemin. P(x, y)dx + Q(x, y)dy = n i+  P(x(t), y(t)) dx + Q(x(t), y(t))dy dt (2.6) i= i dt dt où (t) =(x(t), y(t)). L reltion entre ces deux définitions est donnée pr : 2..2 PROPOSITION Si f (z) =P(x, y)+iq(x, y), lors f (z) dz = P(x, y)dx Q(x, y)dy + i P(x, y)dy + Q(x, y)dx (2.7)
2. Intérle curviline et pplictions ux fonctions holomorphes: Intérle curviline - Indice d un point pr rpport à un lcet 38 Démonstrtion: f ((t)) (t) =[P(x(t), y(t)) + iq(x(t), y(t))].[x (t)+iy (t)] =[P(x(t), y(t))x (t) Q(x(t), y(t))y (t)] + i[p(x(t), y(t))y (t)+q(x(t), y(t))y (t)] En intérnt les deux membres sur [ i, i+ ] pr rpport à t, on obtient le résultt désiré. On peut fcilement mémoriser ce résultt, on écrivnt formellement f (z)dz =(P + iq)(dx + idy) =(Pdx Qdy)+i(Pdy + Qdx). 2..4 PROPOSITION Pour des fonctions continues f,, des constntes c, c 2, et des chemins,, 2, on i) R (c f + c 2 )(z) dz = c R f (z) dz + c R 2 (z) dz ii) R f (z) dz = R f (z) dz iii) R _ 2 f (z) dz = R f (z) dz + R 2 f (z) dz vi) Si : [, b]! C est un lcet constnt i.e. l ime de est un point, = {()}, lors R f (z) dz = 2..5 Exercice Démontrer cette proposition. 2..6 PROPOSITION Si est un reprmétre de, lors f (z) dz = f (z) dz pour toute fonction continue f définie dns un ouvert contennt l ime de qui est ussi l ime de. Démonstrtion: On peut, quitte à subdiviser [, b], supposer que est de clsse C. Alors, R f (z) dz = R b f ((t)) (t) dt. Comme = f, on (t) = (f(t)).f (t). Soit s = f(t) l nouvelle vrible, lors s = ã lorsque t = et s = b lorsque t = b insi R f (z) dz = R b = R f (z) dz. f ((t)) (t) dt = R b f ( (f(t))) (f(t)).f (t) dt = R b ã f ( (t)) (t) dt 2..8 EXEMPLE. On veut évluer R xdz, où est le sement d oriine z = et d extrémité z = + i. Dns ce cs, on peut choisir le prmétre du chemin : [, ]! C, donnée pr (t) =t + it et l fonction f à intérer est f : C! C définie pr f (z) =x = Re(z). Alors, f (z) dz = xdz = x (t) (t) dt = Re((t)) (t) dt d où xdz= t( + i) dt = + i 2
2. Intérle curviline et pplictions ux fonctions holomorphes: Intérle curviline - Indice d un point pr rpport à un lcet 39 2..9 EXEMPLE (EXEMPLE FONDAMENTAL). Soit m 2, R > et z 2 C. On note pr C + (z, R) le cercle de centre z et de ryon R, orienté dns le sens positif (i.e. dns le sens trionométrique) et prcouru une seule fois. Une prmétristion est donnée pr : [, 2p]! C, telle que (t) =z + Re it. ( On v montrer : (z z ) m si m 6= dz = C + (z,r) 2ip si m = 2p 2p En effet, (t) =ire it, et (z z ) m dz = ((t) z ) m (t) dt = (Re it ) m ire it dt C(z (,R) + 2p = ir m+ e i(m+)t si m 6= dt = 2ip si m =. On rppelle que l lonueur d un chemin ( de clsse C ) = x + iy : [, b]! C, est définie pr l() = R dz = R b (t) dt = R b p x (t) 2 + y (t) 2 dt Comme dz = dx + idy, on ur dz = (t) dt = p x (t) 2 + y (t) 2 dt et insi l() = R b (t) dt = R dz. Le résultt suivnt donne un bon moyen d estimer les intérles. 2..2 PROPOSITION Soit f : W! C une fonction continue et : [, b]! W un chemin. Soit M telle que f (z) pplem pour tout z dns l ime de, lors f (z) dz pple Ml() Démonstrtion: Pour une fonction à vleurs complexes (t) = u(t) +iv(t) définie dns [, b], on b b Re (t) dt = Re(t) dt cr, R b (t) dt = R b u(t) dt + i R b v(t) dt. On v utiliser cette remrque pour montrer que b Posons R b (t) dt = reiq où r Alors, (t) dt pple b (t) dt et q sont deux réels fixés. b b r = Re(r) =Re e iq (t) dt = Re(e iq (t)) dt
2. Intérle curviline et pplictions ux fonctions holomorphes: Intérle curviline - Indice d un point pr rpport à un lcet 4 D utre prt, Re(e iq (t)) pple e iq (t) = (t), d où R b Re(e iq (t)) dt pple R b (t) dt b b et pr suite (t) dt = r pple (t) dt, pr conséquent R f (z) dz = R b f ((t)) (t) dt pple R b f ((t)) (t) dt = R f (z) dz Si f ((t)) pplem, lors b b f ((t)) (t) dt pple M (t) dt = Ml(). 2..4 Théorème fondmentl du clcul différentiel et intérl Le Théorème fondmentl du clcul intérl et différentiel est un résultt de bse, pour les fonctions d une vrible réelle, qui dit essentiellement que l intérle de l dérivée d une fonction est éle à l différence des vleurs prises pr cette fonction ux bornes de l intervlle d intértion. On v étblir l nloue de ce théorème pour les fonctions à vleurs complexes. 2..22 THÉORÈME Soit F : W! C une fonction holomorphe et de clsse C et : [, b]! C un chemin dns l ouvert W C. Alors, En prticulier, si est un lcet (i.e. (b) =()), F (z) dz = F((b)) F(()) (2.8) F (z) dz = Démonstrtion: Posons F((t)) = U(t) +iv(t) lors, t (F((t))) = F ((t)) (t) = U (t)+iv (t) D où F (z) dz = b b F ((t)) (t) dt b = U (t) dt + i V (t) dt = U(b) U()+i(V(b) V()) = U(b)+iV(b) (U()+iV()) = F((b)) F(()). L utilistion de ce résultt peut éprner bien des efforts.
2. Intérle curviline et pplictions ux fonctions holomorphes: Intérle curviline - Indice d un point pr rpport à un lcet 4 2..24 EXEMPLE. Soit à clculer z 3 dz où est l portion d éllipse x 2 + 4y 2 = qui relie z = àz = i 2. Pour évluer cette intérle, on remrque que z3 = 4 (z4 ) et donc pple z z 3 4 dz = 4 i 2 = 4! i 4 4 = 5 2 64. (2.9) On noter qu on n ps eu besoin de prmétrer le chemin et qu on obtient le même résultt pour tout chemin relint à i 2. 2..25 EXEMPLE. D près le clcul de 2..9, l intérle de z le lond du lcet C+ (, R) est éle à 2ip donc non nulle, insi l fonction z n ps de primitive dns C {} i.e. le lorithme n ps de détermintion dns C {}. 2..5 Primitives 2..26 DÉFINITION Soit f : W! C une fonction continue, W un ouvert de C. Une primitive de f dns W est une fonction holomorphe F : W F = f.! C telle que 2..27 REMARQUE Une primitive d une fonction continue dns un ouvert est une fonction holomorphe dont l dérivée f est continue, elle est donc de clsse C. 2..28 THÉORÈME Soit f : W! C une fonction continue dns un domine W C. Les conditions suivntes sont équivlentes i) f dmet un primitive dns W. ii) Il existe une fonction F : W! C telle que pour tout chemin : [, b]! W, fdz= F((b)) F(()) iii) L intérle le lon de tout lcet est nulle : i.e. si est un lcet de W, lors fdz= (2.) iv) L intérle ne dépend ps du chemins i.e. si z et z sont deux points de W et et sont deux chemins de W relint z à z, lors fdz= fdz (2.)
2. Intérle curviline et pplictions ux fonctions holomorphes: Intérle curviline - Indice d un point pr rpport à un lcet 42 Démonstrtion:. i) ) ii) Soit : [, b]! W un chemin C et F : W! C telle que F = f, lors h(t) =F((t)) est de clsse C et h (t) =F ((t)) (t) = f ((t)) (t), d où F((b)) F(()) = h(b) h() = R b h (t) dt = R f ((t)) (t) dt = R fdz. ii) ) iii) trivil iii) ) iv) Soient, : [, ]! W deux chemins tels que () = () et () = (). On définit = _ ( 2 ) : [, 2]! W est un lcet fdz= F (z) dz = F(z ) F(z )= F (z) dz = fdz (2.2) iv) ) i) On v définir u moyen de l intérle une primitive de f. On fixe un point z de W. Soit z un utre point de W. Comme W est un domine, il existe un chemin dns W relint z à z. On pose F(z) = R f (x) dx. On obtient insi une fonction F dns W, cr d près l hypothèse iv), l vleur F(z) ne dépend que de z et ps du chemin choisi. On dit que F est bien définie. Il reste à montrer que F est dérivble et que F = f. Soit e >. Comme W est ouvert et f continue en z, il existe d > tel que le disque D(z; d) W et f (z + h) f (z) < e si h < d. Soit z + h 2 D(z; d), comme le disque est convexe, le chemin r(t) =z + th, pple t pple est contenu dns D(z; d). on pose 2 = r _. Alors : F(z + h) F(z) = f (x) dx 2 f (x) dx = f (x) dx r
2. Intérle curviline et pplictions ux fonctions holomorphes: Intérle curviline - Indice d un point pr rpport à un lcet 43 D où F(z + h) h F(z + h) Donc lim h! h souhité. F(z) F(z) F(z + h) F(z) hf(z) f (z) = h = R r f (x) dx f (z) R r dx h = R f (x) f (z) dx r h pple el(r) = e h = e h h (2.3) = f (z), pr suite F est dérivble et F = f, comme 2..3 EXEMPLE. ) Soit le cercle de ryon r > et de centre 2 C orienté positivement. Clculer R (z )n dz pour tout entier n 2. Solution : Premièrement si n lors, (z ) n = n+ ((z )n+ ) est l dérivée R d une fonction holomorphe dns C, d près le théorème précédent (z )n dz = Secondo, pour n pple 2, on ussi (z ) n = n+ ((z )n+ ) qui est holomorphe dns W = C \{}. Comme est un lcet du domine W, on R (z )n dz = Finlement, si n =. On v clculer directement. On prmètre pr (t) =re it +, pple t pple 2p. Alors (t) =ire it, d où 2p z dz = 2p (re it + ) ireit dt = idt= 2ip. En résumé : (z ) n dz = ( si n 6=, 2ip si n =. (2.4) 2) Montrer qu il n existe ps de fonction holomorphe dns W = C\{} telle que f (z) = z. Solution : Si une telle fonction existe, lors R z dz = si est le cercle unité. Mis, d près le ccul précédent R z dz = 2ip 6=. 2..3 REMARQUE Il s en suit, qu il n existe ps de détermintion du lorithme dns le domine W = C \{}. 2..32 PROPOSITION Soit W un domine de C et f : W! C une fonction continue. Si F et F 2 sont deux primitives de f. Alors il existe c 2 C tel que F = F 2 + c. Démonstrtion: F = F 2 = f, pr suite F F 2 = dns W, d où F = F 2 + constnte.
2. Intérle curviline et pplictions ux fonctions holomorphes: Intérle curviline - Indice d un point pr rpport à un lcet 44 2..6 Indice d un point pr rpport à un lcet Il existe une formule utile pour exprimer combien de fois une courbe fermée ou lcet tourne utour d un point donné z. Ce nombre, est ppelé indice de pr rpport u point z. L formule qu on v utiliser pour clculer l indice est bsée sur le clcul qu on fit dns l exemple 3.2 : Si est le cercle unité (t) =e it,pple t pple 2p dz = 2ip (2.5) z Si (t) =e it,pple t pple 2np, lors tourne utour de l oriine n fois, et on trouve de l même fçon Nottion : Pour un chemin : I dz = n (2.6) 2ip z! C on noter pr son ime (I). 2..34 DÉFINITION Soit un lcet de C et z 2 C un point qui n est ps sur i.e. z 62. On ppelle indice de z pr rpport à le nombre Ind (z )= dz (2.7) 2ip (z z ) 2..35 REMARQUE i) Ind (z ) n est ps défini si z 2 ii) Ind (z )= Ind (z ) iii) Si et 2 sont deux lcets de même oriine et z 62 [ 2 lors Ind _ 2 (z )=Ind (z )+Ind 2 (z ). FIGURE 2.3 l indice de pr rpport u premier lcet est et pr rpport u second 2..36 THÉORÈME (THÉORÈME DE L INDICE) Pour tout lcet : [, b]! C, on :
2. Intérle curviline et pplictions ux fonctions holomorphes: Intérle curviline - Indice d un point pr rpport à un lcet 45 (i) Pour tout z 2 C \, Ind (z ) est un entier. (ii) l fonction z 7! Ind (z) est une fonction continue. (iii) Elle est constnte sur chque composnte connexe de C \, et est nulle sur l composnte non-bornée. Démonstrtion: (i) Soit lors ux points où Pr suite (t) = t (s) ds (s) z (s) est continue, on (s) z (t) = (t) (t) z d dt e (t) ((t) z )= u point où (t) existe, et lors e (t) ((t) z ) est constnte pr morceux sur [, b]. Mis, e (t) ((t) z ) est continue, donc elle est constnte sur [, b]. On obtient lors e () (() z )=e (b) ((b) z ). Comme est un lcet () =(b), ce qui entrîne e () = e (b). D utre prt () =, d où e (b) = pr conséquent il existe un entier n 2 tel que (b) =2inp i.e. n = (b) 2ip = b 2ip (s) ds = (s) z 2ip (z z ) dz = Ind (z ) (ii) Fixons z 2 C \, et soit r > tel que le disque D(z ;2r) soit contenu dns C \. Pour tout z 2 C \ tel que R z z ppler on Ind (z) Ind (z )= 2ip (x z) dx R 2ip (x z ) dx = z R z 2ip ((x z)(x z )) dx. Comme pour tout x 2 on x z 2r et x z r, on ur Ind (z) Ind (z ) pple z z 4pr 2 l() ce qui prouve l continuité. (iii) Comme Ind (.) est continue et à vleurs dns, elle est lors constnte sur chque composnte connexe. On noter que est un sous-ensemble borné de C, d où il existe R > tel que D(; R), lors, l composnte non-bornée de C \ est le domine contenu dns C \ et contennt C \ D(; R). On noter pr C cette composnte. Soit z 2 C tel que z > R. Comme z z z R sur, on Ind (z ) = 2p z z dz pple 2p. z R l()
2. Intérle curviline et pplictions ux fonctions holomorphes: Intérle curviline - Indice d un point pr rpport à un lcet 46 et donc Ind (z ) tend vers lorsque z vers +. Comme Ind (z) est constnte dns le domine C, cette constnte est. 2..38 EXEMPLE (FONDAMENTAL). Soit n : [, ]! C, t 7! Re 2inpt, n 2. Alors, ( n si z 2 D(; R), Ind n (z) = si z 2 C \ D(; R). Démonstrtion: L ensemble C \ deux composntes, une bornée D(; R) et une non-bornée C \ D(; R). R Si z 2 D(; R) lors Ind (z )=Ind () = 2ip z dz = n Si z 2 C \ D(; R), lors Ind (z )=. 2..4 DÉFINITION Soit : I! C un lcet. On ppelle intérieur de, l ensemble Int() := {z 2 C; Ind (z) 6= } et extérieur de, l ensemble Ext() := {z 2 C; Ind (z) =}. On remrquer que C = Int() [ [ Ext(). Comme Ind (z) est constnte sur chque composnte connexe de C \, Int() et Ext() sont des ouverts et leurs frontières vérifient : (Int()) et (Ext()). Dns ce dessin, chque nombre répresente l vleur de l indice d un point ce trouvnt dns le domine correspondnt. L indice vut pour les points dns le domine non borné. 2..7 Une méthode de clcul de l indice Soit : [, b]! C un chemin et z 2 C \ et u 2 C. On suppose que l demi-droite de direction u et d oriine z coupe en un nombre fini de points (t ), (t 2 ),...(t n ), ( < t < t 2 < < t n ) tels que les tnentes (t i ) existent et ne sont ps prllèles ( à u i.e. {u, (t i )} est une bse de R 2 si det[u, (t i )] >, pour tout i 2{, 2..., n}. On pose s i = si det[u, (t i )] <.
2. Intérle curviline et pplictions ux fonctions holomorphes: Le théorème de Cuchy-Gourst 47 Alors, Ind (z )= n  i= s i. S il existe une demi-droite de direction u 2 C et d oriine z qui ne coupe ps lors Ind (z )=. 2..4 Exercice Démontrer ce résultt. 2.2 Le théorème de Cuchy-Gourst 2.2. THÉORÈME (THÉORÈME DE CAUCHY-GOURSAT) Soit W C un domine. Soit f 2H(W). Soit un lcet tel que Int() W. Alors f (z) dz =. Ce théorème s pplique à tout domine et à tout lcet dont l intérieur est contenu dns le domine. 2.2.2 REMARQUE ) l condition Int() W est équivlente à : "z /2 W entrîne Ind (z) =" Il est importnt de noter que cette condition est nécessire. En effet, s il existe un lcet de W tel que Int() 6 W lors il existe 2 C \ W tel que Ind () 6=. Alors R l fonction f (z) = z est holomorphe sur W mis f (z) dz = 2ipInd () 6=. 2) On ne peut ps juste ppliquer le théorème 2..28, cr on ne sit ps si f dmet une primitive dns W. L démonstrtion de ce théorème est ssez lonue, elle se trouve à l fin du 3. 2.2. Primitives dns un domine simplement connexe On déj montrer (voir Remrque 2..3) que si W = C \{}, l fonction f (z) = z n dmet ps de primitive dns W. On remrquer l présence d un "trou" dns W. On v s intéresser ux domines de C dns lesquels toute fonction holomorphe dmet une primitive. On ppelle un tel domine, un domine simplement connexe. 2.2.3 DÉFINITION Un domine W de C est dit simplement connexe si l intérieur de tout lcet dns W est contenu dns W. Ceci est équivlent à dire que si est un lcet de W lors pour tout z /2 W on Ind (z) =.
2. Intérle curviline et pplictions ux fonctions holomorphes: Le théorème de Cuchy-Gourst 48 2.2.4 EXEMPLE. ) C, un disque, un demi-pln, C \ R, une bnde B = {z 2 C; < Im(z) < b} sont des domines simplement connexes. 2) Les ensembles suivnts ne sont ps simplement connexes : (i) W = C \{}. (ii) l extérieur du disque unité W = C \ D(; ). (iii) Une couronne C(; r; R) ={z 2 C; r < z < R}. 2.2.5 Exercice Un domine W est dit étoile pr rpport u point 2 W si pour tout z 2 W, le sement [; z] := {x 2 C; x = + t(z ), pple t pple } est contenu dns W. On dit dns ce cs que est un centre de W. Montrer que tout domine étoilé est simplement connexe. Solution : Quitte à fire une trnsltion on peut supposer que =. Soit lors : [, b]! W un lcet et z 62 W fixé. Pour tout s 2 [, ] posons G(t, s) =s(t) et définissons le lcet G s pr G s (t) = s(t). On pout tout s 2 [, ], G s est un lcet de W (cr W est étoilé pr rpport à ) et G =. Puisque l fonction G est continue sur le compct [, b] [, ] son ime K = [ pplespple G s est un compct de C contenu dns W ( puisque est un centre de W). Donc l distnce d = dist(z, K) est strictement positive. Alors pour < s pple on pose f (s) =Ind Gs (z )= b s (t) z dt = Ind 2ip s(t) z s (2.8) Cette dernière élité montre que l fonction f est continue puisque Ind (.) est continue sur C \. Il s en suit que l fonction f est constnte, d où f (s) = f () =Ind (z ). Or qund s!, Ind ( z s )= et pr suite Ind (z )=. z s! (cr z 6= ), d où pour s ssez petit f (s) = 2.2.6 REMARQUE ) Il existe des domines simplement connexes et qui ne sont ps étoilés ; pr exemples : C \ (R [{z = t + i; < t pple }) ou le complémentire dns C d une spirle. Une conséquence importnte du théorème de Cuchy-Gourst et de 2..28 est l existence de primitive pour toute fonction holomorphe sur un domine simplement connexe. 2.2.7 THÉORÈME Soit W un domine simplement connexe. Soit f : W lors :! C une fonction holomorphe! C holo- i) R f (z) dz = pour tout lcet W. ii) f dmet une primitive dns W i.e. il existe une fonction F : W morphe telle que F = f.
2. Intérle curviline et pplictions ux fonctions holomorphes: Le théorème de Cuchy-Gourst 49 2.2.2 Conséquences du théorème de Cuchy-Gourst Formule de Cuchy 2.2.8 THÉORÈME (FORMULE DE CAUCHY) Soit W un domine de C et f : W! C une fonction holomorphe. Soit : I! W un lcet tel que Int() W. Soit z un point de W \. Alors, Ind (z ). f (z )= f (z) 2ip (z z ) dz Le théorème dit que les vleurs de f à l intérieur de sont complètement déterminées pr ses vleurs sur son ime. Démonstrtion: Soit r le cercle de centre z et de ryon r (orienté dns le sens positif i.e. r (t) =z + re it, t 2 [, 2p], r est choisit ssez petit pour le disque D(z, r) soit contenu dns Int(). On v se rmener u cs où l indice u point z est nul. Sns perdre de énérlité on peut supposer que Ind (z ) >. Soit b un chemin qui relie à r Alors, le lcet G = _ b _ ( r _..._ r ) _ b, où on prend Ind (z ) fois le chemin r, un indice nul en z i.e. Ind G (z )=. Alors d près le théorème de Cuchy-Gourst ppliqué à l fonction holomorphe : W {z }!C, définie pr (z) = f (z) f (z ) nous donne z z = G (z) dz = + b r... r b (z) dz = (z) dz Ind (z ) (z) dz r d où R (z) dz = Ind (z ) R r (z) dz. D utre prt lorsque r!, R r (z) dz = R f (z) f (z ) f (z) f (z r z z dz pple sup ) z2r z z.2pr! f (z ). =. Ainsi, R (z) dz = i.e. f (z) dz dz = f (z ) = 2ip.Ind (z ). f (z ) z z z z Cette formule est extrêmement utile pour le clcul. Pr exemple, on obtient imméditement que R C + (,) ez z dz = 2ipe = 2ip. L formule de Cuchy est souvent utilisée dns le cs prticulier où le lcet est un cercle et z est un point du disque ouvert bordé pr. 2.2. COROLLAIRE Soit D = D(; R) un disque ouvert et f : D! C une fonction holomorphe. Alors pour tout < r < R et pour tout z 2 D(, r) on : f (z) = f (x) dx (2.9) 2ip C + (;r) (x z)