ECS 2 B Correcion du DM d analyse de Toussain I. Eisence e propriéés élémenaires de l opéraeur U. Eude de l équaion (E f a. Soi f E, y C (I, R e h : e a y(. h es dérivable sur I e pour ou I, h ( = (y ( ay(e On en dédui que y es soluion du problème (E f si e seulemen si pour ou I, h ( = f(e Comme e a f( es coninue sur I, cee foncion es la dérivée sur I de H : e a f(d. Comme de plus I es un inervalle, on dédui que y es soluion du problème (E f si e seulemen si h H es consane sur I c es-à-dire si e seulemen si il eise un réel K el que pour ou I, e a y( = K + H( c es-à-dire si e seulemen si il eise un réel K el que : I, y( = e (K a e a f(d. b. Supposons qu il eise une soluion y de (E f qui soi bornée sur I ; soi y une aure soluion de (E f. Il es clair que y y es soluion du problème (E. D après.a., il eise un réel K el que pour ou I, y( y ( = Ke Comme a >, lim + ea = +, e que la foncion y es bornée si e seulemen si Ke a es bornée, on en dédui que y es bornée si e seulemen si K =, c es-à-dire y es bornée si e seulemen si y = y. Cela prouve que s il eise une soluion y de (E f qui soi bornée sur I, celle-ci es unique. c. L applicaion e a f( es coninue sur I. L inégrale proposée es impropre uniquemen en +. f es bornée sur I, soi un réel posiif M el que pour ou I, f( M. lors, pour ou I, f( e a Me Comme e a d es convergene puisque la foncion à inégrer adme pour primiive a e a qui adme une limie finie en +, le héorème de comparaison par inégalié sur les foncions posiives perme d affirmer que l inégrale convergene donc convergene. d. En uilisan le.a. avec K = e a f(d es absolumen e a f(d, on voi que l applicaion g : e a e a f(d es une soluion de (E f. Monrons qu elle es bornée sur I. En uilisan l inégalié riangulaire sur les inégrales impropres convergenes, on dédui que pour ou I, g( e a e a f( d Me a e a d = M a +. Grâce à.b., cela prouve que g : e a e a f(d es l unique soluion de (E f qui soi bornée sur I. Dans ou la suie du problème, si f E, on noe U(f la foncion g obenue à la quesion d. 2. Linéarié de U a. Remarquons ou d abord que l applicaion consane en es bien élémen de E. + Pour ou I, U(( = e a e a d = a ea ( lim + e a e a = U( es donc l applicaion consane sur I en
b. Monrons que U es un endomorphisme de E. Tou d abord l applicaion U es, par définiion, à valeurs dans E. Monrons ensuie que U es linéaire. Soi f, g E e λ R. Pour ou I, [λu(f + U(g]( = λ[u(f]( + [U(g]( = λe a e a f(d + e a e a g(d = e a e a (λf( + g(d. vec.d., on dédui que pour ou I, [λu(f + U(g]( = U(λf + g( donc λu(f + U(g = U(λf + g. On en conclu que U es un endomorphisme de E. c. Eudions l injecivié de U. Soi f E elle que U(f =. On a alors, puisque U(f es soluion de (E f, pour ou I, f( =, donc f es nulle sur I. En conclusion, U es injecif. d. Pour ou enier naurel n, définissons la proposiion P(n : P(n : Pour ou f E, U n+ (f es la foncion e a ( n e a f(d. P( es vraie. Soi n N el que P(n soi vraie, monrons que P(n + es vraie. Soi f E e I. Comme U n+2 (f = U n+ (U(f, en uilisan P(n on dédui que : [U n+2 (f]( = e a ( n e a [U(f](d = e a ( n ( e au f(udu d Or pour ou >, une inégraion par paries sur [, ] (licie car les foncions en jeu son de classe C sur I donne : On a : lim + ( n+ e a ( n+ f(d = [ (n +! (n +! ( n+ = (n +! e au f(udu ] e au ( n ( f(udu + e au f(udu d e au f(udu + e au f(u du M ( n ( e au du = M a e a e au f(udu d; e comme ( n+ e a =, en faisan endre vers l infini dans l égalié (, on dédui que : (n +! ( n+ e a ( n ( f(d = e au f(udu d, (n +! e par suie [U n+2 (f]( = e a ( n+ e a f(d. (n +! Cela prouve que P(n + es vraie e on conclu avec le principe de récurrence que P(n es vraie pour ou n N. 3. Cas des foncions eponenielles Soi k un nombre réel posiif e f k la foncion e k. a. Pour ou I, U(f k ( = e a e a e k d = b. Soi λ ], a ]. U(f k = a + k f k. ea a + k e (a+k = e k a + k D après ce qui précède, pour ou réel l, f l Ker(U λid E si e seulemen si 2 ( (car a + k >, ainsi : ( a + l λ f l =,
c es-à-dire (puisque f l /= si e seulemen si a + l λ =. Comme λ k = λ a, k es alors un réel posiif e f k es un élémen de Ker(U λid E. On en dédui que, pour ou réel λ ], a ], Ker(U λid E /={}. c. Soi un enier naurel n non nul e k un nombre réel posiif. Soi I, [U n (f]( = e a ( n e a e k d. (n! a, il suffi de prendre Effecuons le changemen de variable = + v, il es licie car φ : v + v es de classe C a + k a + k e sricemen croissane sur ], + [ e indui une bijecion de R + sur, + [, par héorème on a donc : [U n (f]( = e a v n (a + k n (n! e v e (a+k dv = e k e k (a + k n Γ(n = (n! (a + k n. En conclusion U n (f k = (a + k n f k. ( Comme (a + k n end vers si a + k =, vers si a + k >, vers + si a + k <, on en n N dédui que pour ou I, la suie ([U n (f]( n N end vers e k si a + k =, vers si a + k >, vers + si a + k < (car e k >. 4. Une aure epression de U(f Soi f de E. Soi I, U(f( = e a e a f(d. Effecuons le le changemen de variable = + u, il es licie car ψ : u + u es de classe C e sricemen croissane sur ], + [ e indui une bijecion de R + sur, + [, par héorème on a donc : 5. Posiivié de U U(f( = e a e a(u+ f( + udu = e au f( + udu. a. Soi f E. Remarquons déjà qu alors f E. Pour ou I, en uilisan l inégalié riangulaire sur les inégrales généralisées convergenes, on a U(f( e a f( + d = U( f (. (d après 4.. On a ainsi monré que, pour ou élémen f de E, U(f U( f. b. Soi φ un élémen de E à valeurs posiives e ψ = U(φ. Monrons que ψ es à valeurs posiives. Pour ou I, ψ( = e a φ( + d par posiivié des inégrales convergenes. c. On suppose de plus que φ es décroissane. Soi I. Pour ou, φ( + φ( donc e a φ( + e a φ( (car e a, en inégran sur ], + [ e avec la croissance des inégrales convergenes, on dédui que e a φ( + d e a φ(d, c es-à-dire ψ( φ( On a donc monré que aψ φ. Enfin, la décroissance de φ e la croissance des inégrales convergenes enrainen que ψ es décroissane. 6. Commuaion de U avec la dérivaion 3
a. Soi f un élémen de E. lors f es élémen de E. Soi >. En effecuan une inégraion par paries sur [, ] pour R + avec des foncions qui son bien de classe C sur [, ], on obien : ae a f( + d = [ e a f( + ] + e a f ( + d e en faisan endre vers l infini, comme lim + e a f( + = puisque f es bornée e a >, on en dédui en faisan endre vers l infini que a[u(f]( = f( + [U(f ](. On a ainsi prouvé que : au(f = f + U(f. b. Soi f un élémen de E. U(f es soluion de (E f donc D(U(f au(f + f =. Or d après ce qui précède, f au(f = U(D(f. On en dédui que D(U(f U(D(f = donc que D(U(f = U(D(f. c. Soi f E à valeurs posiives e décroissane. lors D(f E e es à valeurs négaives, e d après le 5.b. U(D(f es à valeurs négaives sur I. On en dédui que D(U(f es à valeurs négaives sur l inervalle I donc U(f es décroissane sur I. On rerouve le résula du 5.c. II. Convergence absolue de U(f. Cas des foncions posiives Dans cee quesion, f es un élémen de E, à valeurs posiives el que On noe F e G les applicaions définies sur I par F : f(d e G : f(d converge. g(d. a. G = g = U(f, or g ag + f = donc G ag + F = sur l inervalle I donc l applicaion G ag + F es consane sur l inervalle I, cee consane es en pariculier égale à la valeur de la foncion en, c es-à-dire G (, i.e g(. On a ainsi prouvé que G ag = F + g(. b. F es de classe C sur I car f es coninue sur I, de plus comme f es posiive sur I e que converge, on a pour ou I, F ( f(d f(d ; cela monre que F es dans E. Il es clair qu alors F g( es aussi dans E. L égalié du.a. prouve que G es soluion du problème (E F g( ; d après le résula du I..a., il eise une consane réelle C elle que, pour ou I G( = e (C a e a (F ( g(d ; En décomposan l inégrale d après la relaion de Chasles, on obien successivemen ( G( = Ce a e a e a F (d G( = Ce a + +[U(F ]( g( a ( En posan K = C + g( e a d réelle K elle que : ( e a F (d + e a g( e a d ( g( e a d e a F (d ; + ea e a d ; e a F (d, on a prouvé l eisence d une consane I, G( = Ke a + [U(F ]( g( 4
c. g es borné sur I, soi M une borne de g sur I. En uilisan l inégalié riangulaire, on obien, pour ou I, G( g( d M( donc G( M. Cela prouve que la foncion G( es bornée sur I. d. U(F es borné, donc s ensui que K ea suie que G = U(F g( [U(F ]( e. F adme une limie finie en + puisque g( a es bornée sur I (n oublions pas que I = [, + [. Il e a = +, que K =, e par es bornée sur I, ce qui impose, puisque lim + f(d converge donc U(F adme une limie finie en + aussi (d après le résula que l on adme, e par suie G adme une limie finie en + aussi. Cela signifie que 2. Cas général g(d converge. Soi f es un élémen de E el que f( d converge. On applique les résulas précédens à f, on en dédui que U( f (d converge. Or U(f U( f. Le héorème de comparaison par inégalié sur les foncions posiives donne la convergence de c es-à-dire l absolue convergence de g(d. U(f (d, 5