Objectifs de ce chapite Mathématiques assistées pa odiateu Chapite 6 : Méthodes itéatives Michael Eisema Mat249, DLST L2S4, Aée 28-29 www-fouieujf-geoblef/ eisem/cous # mao Documet mis à jou le 6 juillet 29 L itéatio est ue techique omipésete ca souple et puissate : O pat d ue appoximatio u qui est pas top gossièe O costuit ue meilleue appoximatio u +1 = fu ) Ce pocédé est itéé das l espoi de covege ves ue solutio Bie sû, la éussite de ce pocédé déped fotemet de la foctio à itée et du poit de dépat Ceci méite ue étude détaillée! Ce chapite pésete d abod des exemples et u vocabulaie adéquat Esuite ous établissos deux ésultats fodametaux : 1 Le théoème de Baach pou les foctios s 2 La méthode de Newto pou les foctios déivables Ce sot des méthodes tès puissates Pou bie les applique il faut compede les citèes gaatissat leu covegece Ce cous œuve pou ede les ésultats mathématiques explicites, patiques, efficaces, pou qu ils soiet «pêt-à-pogamme» 1/48 2/48 Sommaie 1 Systèmes dyamiques et poits fixes Suites itéatives, covegece, poits fixes Appoximatio de acies d apès Newto Héo Istabilité uméique : l effet papillo Dyamique locale autou d u poit fixe 2 Le théoème du poit fixe de Baach Foctios s Le théoème du poit fixe de Baach Démostatio du théoème Avetissemets et gééalisatios 3 La méthode de Newto Poits fixes supe-attactifs L idée et la fomule de Newto Foctios covexes et covegece mootoe Citèes de covegece, bassi d attactio 3/48 Covegece d ue suite uméique appel) La otio de covegece sea fodametale das toute la suite Défiitio covegece) Ue suite u ) N das R est ue applicatio N R, u La suite u ) N das R covege ves l R si pou tout ε > il existe N N tel que pou tout N o ait u l ε Pou < 1 la suite géométique covege ves Soit u = puis u +1 = 9+u 1 pou tout N u =, u 1 = 9, u 2 = 99, u 3 = 999, u 4 = 9999, Cette suite covege ves 1, ca u 1 = 1 1 ) Execice) Ici o itèe la foctio f : R R doée pa fx) = 9+x 1 La limite 1 est u poit fixe ca f1) = 1 et il s avèe attactif 11 4/48 Suites itéatives Défiitio suite itéative) O cosidèe ue foctio f : R R et ue valeu iitiale u R Ceci défiit la suite itéative u ) N pa la écuece u +1 = fu ) Écitue alteative : u = f u ) où f = f f temes) Questios impotates : 1 Quel est le compotemet de la suite u? Covege-t-elle? Si oui, ves quelle limite? 2 Stabilité : ue petite vaiatio des doées iitiales mèe-t-elle à ue petite vaiatio des ésultats? Ou est-ce chaotique? 3 Si la suite u covege, covege-t-elle apidemet? Combie d itéatios faut-il pou ue pécisio doée? Obsevatio limites et poits fixes) Si f est cotiue et u covege ves l, alos l est u poit fixe de f Démostatio fl) = flim u ) = lim fu ) = lim u +1 = l 11 5/48 Covegece liéaie covegece liéaie à la Baach) O itèe f : R R, x 2x+2 x+2, à pati de u = 2 Poit fixe? fx) = x 2x + 2 = x 2 + 2x x 2 = 2 D apès ote obsevatio : si u covege, alos la limite est 2 Calcul des pemies temes : u 1 = 3 2 = 15 u 2 = 1 7 = 142857142857 u 3 = 17 12 = 141666666666 u 4 = 58 41 = 141463414634 u 5 = 99 7 = 141428571428 u 1 = 11482 8119 = 14142135731 u 11 = 1961 1386 = 141421356421 Empiiquemet, le ombe de décimales valables coît liéaiemet avec le ombe d itéatios Il ous fauda ecoe ue peuve! 11 6/48 Covegece quadatique covegece quadatique à la Newto) O itèe f : R R, x 1 2 x + 2 x ), à pati de u = 2 Poit fixe? fx) = x x + 2 x = 2x x2 = 2 D apès ote obsevatio : si u covege, alos la limite est 2 Calcul des pemies temes : u 1 = 3 2 = 15 u 2 = 17 12 = 14166666666666666666666666666666666666666 u 3 = 577 48 = 1414215686274598392156862745983921568 u 4 = 665857 47832 = 14142135623746899162629557889134911165 u 5 = 88673188897 6271356648 = 141421356237395488168962352532436149 u 6 = = 141421356237395488168872429698785696 Apès itéatios o a evio 2 chiffes valables! Empiiquemet, le ombe de décimales valables double à chaque itéatio Il ous fauda ecoe ue peuve! Appoximatio de acies d apès Newto Héo Popositio appel) Pou tout a R et N il existe u uique R tel que = a Aisi o défiit la acie ième a := Questio : Commet appoche a efficacemet? Théoème Newto Héo, vesio qualitative) Pou toute valeu iitiale u > la suite itéative [ ] u +1 = 1 1)u + a u 1 covege ves la acie := a Avatage impotat : la suite u ) N est facilemet calculable! Les quate opéatios aithmétiques +,,, / suffiset Questios patiques : Quelle est la vitesse de la covegece? Commet mesue la qualité de l appoximatio, u? 11 7/48 12 8/48
Appoximatio de acies suite) Théoème Newto Héo, vesio quatitative) Soit a > et := a Pou toute valeu iitiale u > les suites [ ] u = 1 1)u 1 + a u 1 1 et v = a/u 1 doet des ecademets v u de plus e plus fis : v 1 v 2 v 3 u 3 u 2 u 1 E paticulie u v pemet de majoe l eeu d appoximatio Quat à la vitesse de covegece, l eeu elative ε = u véifie ε +1 mi { 1 ε } 1, 2 ε2 Iitialemet, pou u loi de, la pogessio est au mois liéaie : ε +1 1 ε avec u appot de cotactio 1 < 1 Fialemet, pou u poche de, la covegece est quadatique : ε +1 1 2 ε2 12 9/48 s uméiques Appoximatio de = 2 à pati de u = 1 : 13333333333 15 1411764758 14166666667 14142114384 14142156863 14142135623 14142135624 Appoximatio de = 3 1 à pati de u = 1 : 625 4 1298298676748582 2875 185799887834728 23199432892249528 2131564665145386 21659615551777928 215431222511293 21544959251533748 2154434686551652 2154434691772293 215443469318837 215443469318838 Peu d itéatios suffiset pou gaati ue pécisio satisfaisate 12 1/48 Peuve de la méthode de Newto Héo Démostatio Cette esquisse est à détaille à tite d execice) [ O étudie f : R R défiie pa φx) = ] 1 1)x + a/x 1 Cette foctio est déivable et φ x) = 1 1 a/x ) Poit fixe : φx) = x 1)x + a/x 1 = x x = a Vaiatios : La déivée φ x) s aule e x = Pou x < o a φ x) <, doc φ décoît su ], ] Pou x > o a φ x) >, doc φ coît su [, [ L effet papillo : istabilité uméique La écuece de Fiboacci est défiie pa x +2 = x +1 + x stable 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 x 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 x 1 11 21 32 53 85 138 2113 3421 5534 8955 Défiitio stabilité uméique, fomulatio heuistique) U calcul est stable si des petits chagemets des doées iitiales etaîet que des petits chagemets des ésultats fiaux Itéatio : Quelque soit u R, o a u pou 1 Pou x o a φ x) 1, doc φ est su [, [ : O touve φx) = φx) φ) φ ξ) x 1 x Ceci mote que φ x) 1 ) x Vitesse de covegece : O pose ε := u càd u = 1 + ε ) O touve ε +1 = gε ) avec gε) = 1 ε + [ 1 1 + ε) 1 1 ] La foctio g est majoée pa hε) = 1 2 ε2 : o touve g) = h) = et g ) = h ) = aisi que g h = 1 La majoatio gε +1 ) 1 assue la covegece quadatique 1 2 3 4 5 6 x 1-618 382-236 146-9 56 x 1-619 381-238 143-95 48 7 8 9 1 2 3 x -34 22-12 1 23 2828 x -47 1-46 -45-6535 -8376 istable Avetissemet calcul istable) Des petites eeus peuvet se popage, s amplifie, et fialemet etaîe ue eeu cosidéable au cous de quelques itéatios 2 ε2 12 11/48 13 12/48 Excusio : mécaique céleste d apès Newto La mécaique céleste est u système dyamique célèbe O cosidèe N objets célestes, ici uméotés i = 1,, N À l istat t = o coaît leu positio x i ) et leu vitesse v i ) Système dyamique difféetiel D apès Newto o a x i t) = v it) et v i t) = j i γm j xj xi xj xi 3 O peut appoche ce système e passat du temps cotiue t R à u temps discet t Z t avec u pas t R > assez petit Heuistiquemet x xit+ t) xit) i t) et v i vit+ t) vit) t) t Système dyamique discet O pose x i t + t) = x i t) + t v i t) et v i t + t) = v i t) + t xj xi j i γm j xj xi 3 t C est l itéatio d ue foctio Φ: R 6N \ {x i = x j } R 6N O espèe que le modèle discet appoche le modèle difféetiel Ceci doe lieu à des études expéimetales et théoiques! Dyamique locale autou d u poit fixe cas liéaie) O cosidèe ue foctio liéaie f : R R, fx) = x avec ue costate R Évidemmet elle admet a = pou poit fixe Deux phéomèes peuvet se poduie : Si < 1, pa exemple = 1 2, alos f u ) a = u a O dit que a est u poit fixe attactif ou stable Si > 1, pa exemple = 2, alos f u ) a = u a O dit que a est u poit fixe épulsif ou istable Si = 1 : pou f = id tous les poits sot fixés, pou f = id la suite u = 1) u oscille Passos maiteat aux foctios déivables 13 13/48 14 14/48 Rappel : le théoème des accoissemets fiis Théoème des accoissemets fiis, TAF) Soit f : [a, b] R ue foctio cotiue su [a, b] et déivable su ]a, b[ Alos il existe ξ ]a, b[ tel que f ξ) = fb) fa) b a fb) Dyamique autou d u poit fixe attactif Popositio Soit f : R R cotiûmet déivable et soit a = fa) u poit fixe Si f a) < 1 alos a est u poit fixe attactif Démostatio O peut choisi R telle que f a) < < 1 La cotiuité de f assue l existece d u ε > tel que f ξ) pou tout ξ das le voisiage V = [a ε, a + ε] fa) Autemet dit, fb) fa) = f ξ)b a) Ou ecoe fb) = fa) + f ξ)b a) C est Taylo Lagage à l ode a ξ 14 15/48 b O applique le théoème des accoissemets fiis : pou tout x V il existe u ξ ete a et x tel que fx) fa) = f ξ)x a), doc fx) a = fx) fa) = f ξ)x a) x a Aisi les images itéées de x V coveget ves a : f x) a x a pou tout N Autemet dit, a est u poit fixe attactif 14 16/48
Dyamique autou d u poit fixe épulsif Popositio Soit f : R R cotiûmet déivable et soit a = fa) u poit fixe Si f a) > 1 alos a est u poit fixe épulsif Démostatio O peut choisi R telle que f a) > > 1 La cotiuité de f assue l existece d u ε > tel que f ξ) pou tout ξ das le voisiage V = [a ε, a + ε] O applique le théoème des accoissemets fiis : pou tout x V il existe u ξ ete a et x tel que fx) fa) = f ξ)x a), doc fx) a = fx) fa) = f ξ)x a) x a Aisi les images itéées de x V \ {a} s éloiget de a : f x) a x a, puis ils sotet du voisiage V Autemet dit, a est u poit fixe épulsif Dyamique autou d u poit fixe douteux Remaque Le cas d u poit fixe a avec f a) = 1 est douteux Das ce cas ue aalyse plus fie s impose s typiques : Pou fx) = x x 3 le poit fixe est attactif Pou fx) = x + x 3 le poit fixe est épulsif Pou fx) = x + x 2 il est attactif à gauche mais épulsif à doite Pou fx) = x x 2 il est attactif à doite mais épulsif à gauche Remaque E dimesio 2 la situatio est plus compliquée! Recosidéos le cas d ue applicatio liéaie x y ) λ µ ) x y ) Si λ, µ < 1, le poit fixe est attactif Si λ, µ > 1, il est épulsif Si λ < 1 < µ, il existe ue diectio stable et ue diectio istable 14 17/48 14 18/48 Objectif : la méthode de poit fixe de Baach Nous veos de discute les suites itéatives e toute gééalité et la dyamique locale autou d u poit fixe attactif ou épulsif) Note pochai objectif est d établi des ésultats globaux : le théoème du poit fixe de Baach assue, sous cetaies coditios assez gééales, l existece et l uicité d u poit fixe Souligos qu il s agit, fot heueusemet, d u poit fixe attactif et que le théoème fouit ue méthode itéative pou l appoche Cette méthode est uméiquemet stable et évite doc l effet papillo Remaque pélimiaie : existece de poits fixes Théoème de poit fixe de Bouwe e dimesio 1) Soit f : [a, b] [a, b] ue foctio cotiue Alos il existe au mois) u poit fixe, c est-à-die qu il existe x [a, b] véifiat fx) = x Cosidéos la foctio auxiliaie g : [a, b] R défiie pa gx) = fx) x Les poits fixes de f sot les zéos de g O a fa) a, doc ga) O a fb) b, doc gb) TVI = Il existe x [a, b] véifiat gx) = O peut l appoche pa dichotomie a! Il peut y avoi plusieus poits fixes a Oute la cotiuité de f, l itevalle [a, b] joue u ôle pimodial : L éocé est faux su R, pa exemple fx) = x + 1 L éocé est faux su ], 1[, pa exemple fx) = x 2 L éocé est faux su [ 2, 1] [1, 2], pa exemple fx) = x b b 21 19/48 Foctios s Soit I R u itevalle femé : [x 1, x 2 ] ou [x 1, + [ ou ], x 2 ] ou R Défiitio foctio ) O dit que f : I R est de appot où < 1 si fx) fy) x y pou tout x, y I Autemet dit, la foctio f est si elle appoche les poits, d u appot < 1 fixé d avace Popositio citèe patique) Soit f : I R déivable tel que f ξ) pou tout ξ I Si < 1 alos f est de appot Démostatio Soit x, y I Pa le théoème des accoissemets fii o a fx) fy) = f ξ) x y) pou u ξ ete x et y O coclut que fx) fy) = f ξ) x y x y 22 21/48 21 2/48 Le théoème du poit fixe de Baach Soit I R u itevalle femé : [x 1, x 2 ] ou [x 1, + [ ou ], x 2 ] ou R Théoème du poit fixe, Baach 1922) Soit f : I I ue foctio de appot < 1 Alos : 1 Il existe u et u seul poit a I véifiat fa) = a 2 Pou tout u I la suite itéative u +1 = fu ) covege ves a 3 O a u a u a, la covegece ves a est doc au mois aussi apide que celle de la suite géométique ves 4 Pou cotôle l appoximatio o a l estimatio de l écat u a 1 u u 1 O igoe souvet la limite a mais o peut facilemet calcule la suite itéative u : c est elle qui pemet d appoche la valeu chechée a Pou cotôle la qualité de l appoximatio u, o majoe l écat u a ete u et la limite icoue pa la quatité 1 u u 1 Tout est pafaitemet explicite et immédiatemet calculable 23 22/48 d applicatio 1/3) O se popose de ésoude l équatio x = cosx) Pou applique le théoème du poit fixe, il faut d abod touve u itevalle I su lequel fx) = cosx) satisfasse aux hypothèses : U dessi aidea! fi) I et f I : I I est plot[x,cosx)], x=pi/2) O voit qu ue solutio se touve das [6, 8] y 1 8 6 4 2 d applicatio 2/3) O se popose de ésoude l équatio x = cosx) Pou fx) = cosx) essayos l itevalle I = [6, 8] : O a f6) = 825 > 8, doc fi) I Aisi f e se esteit pas à f : I I Essayos l itevalle I = [, π/2] : O a fi) = [, 1] I, doc c est bo O a f x) = six), doc 1 f Malheueusemet f π/2) = 1, doc f I est pas! Le théoème e s applique pas bêtemet : Il faut bie choisi l itevalle puis véifie les hypothèses 2 4 6 8 1 12 14 24 23/48 24 24/48
d applicatio 3/3) O se popose de ésoude l équatio x = cosx) Essayos l itevalle I = [, 1] : O a f x) = six) su [, 1], doc f décoît de f) = 1 à f1) = 543 > 5 O coclut que fi) [5, 1] I O a f x) = cosx) < su [, 1], doc f décoît de f ) = à f 1) = 8414 > 85 O coclut que f 85 =: su I O peut doc applique le théoème Pou u = 1 o obtiet la suite u 1 = 5432358 u 9 = 73144424 u 19 = 7389377567 u 2 = 8575532158 u 1 = 7442373549 u 2 = 7391843997 O touve u 2 u 19 < 25 et O coclut que u 2 a 1 = 5666 < 6 1 u 2 u 19 < 15 24 25/48 Démostatio du théoème 1/2) Uicité du poit fixe : Si a = fa) et b = fb), alos a b = fa) fb) a b avec < 1 Autemet dit 1 ) a b, avec 1 ) > et a b Ceci est possible que pou a b =, doc a = b Covegece : Pou u I et u +1 = fu ) o touve u +1 u = fu ) fu 1 ) u u 1 u 1 u Pa le même picipe o obtiet u +m u = u +m u +m 1 + u +m 1 u +1 + u +1 u u +m u +m 1 + + u +2 u +1 + u +1 u m 1 + + 1 + ) u +1 u = 1 m 1 u +1 u 1 1 u +1 u 1 u 1 u La suite u ) est doc de Cauchy et covege puisque R est complet 25 26/48 Démostatio du théoème 2/2) Existece du poit fixe : O viet de pouve que u ) N covege Motos que a := lim u est u poit fixe de f Tout d abod, o a a I pace que l itevalle I R est femé Puisque f est, elle est cotiue Aisi fa) = flim u ) = lim fu ) = lim u +1 = a Vitesse de covegece : Pou toute valeu iitiale u o a u a u a, doc u a Cette iégalité mote que la covegece ves a est au mois aussi apide que celle de la suite géométique ves Avetissemet : attetio aux détails! 1 f : [, 1] R, fx) = x 2 + 1, est mais admet pas de poit fixe Le poblème est que f[, 1]) [, 1] et o e peut pas itée : u =, u 1 = 1, u 2 = 15, mais u 3 est pas défii! 2 f : ], 1] ], 1], fx) = x 2, est et véifie f], 1]) ], 1] mais admet pas de poit fixe Le poblème est que ], 1] est pas femé : lim u = est pas coteue das ], 1] 3 O peut défii f : I I, fx) = 1 2 x + 2 x ), su I = [1, 2] Q La foctio f est Pou tout u I la suite itéative u ) covege, mais lim u = 2 est pas coteue das I 4 f : R R, fx) = x + 1 1+e x véifie fx) fy) < x y pou tout x y, mais admet pas de poit fixe Le poblème est que f est pas! Pou tout u R o obtiet u + Cotôle de l appoximatio : Nous avos moté que u +m u 1 u u 1 Pou m o obtiet a u 1 u u 1 25 27/48! Souligos que la majoatio u u 1 ε implique pas focémet que u x ε Il faut tei compte du facteu 1! 5 Soit f : R R doée pa fx) = x avec = 999999 Elle est et l uique poit fixe est Les valeus u = 1 et u 1 = 999999 sot poches, mais ecoe tès loi du poit fixe! 26 28/48 Gééalisatio du théoème Le théoème du poit fixe est u impotat picipe costuctif : Il assue l existece et l uicité d ue solutio Il doe aussi ue méthode pou appoche la solutio Il se gééalise de R à R voie à tout espace métique complet Théoème du poit fixe, Baach 1922) Soit X R femé et soit f : X X de appot < 1 Alos il existe u et u seul poit a X véifiat a = fa) Pou tout u X la suite itéative u +1 = fu ) covege ves a O a u a u a aisi que u a 1 u u 1 Démostatio Note peuve se gééalise mot à mot illustatif : Plaços ue cate de Geoble su la table Existe-t-il u poit su la cate qui se touve exactemet à l edoit qu il désige? Objectif : la méthode de poit fixe de Newto Le théoème du poit fixe de Baach assue, sous cetaies coditios assez gééales, l existece et l uicité d u poit fixe Ce théoème fouit aussi ue méthode itéative pou l appoche O, la vitesse de covegece est e gééale que liéaie La célèbe méthode de Newto affie l appoche des poits fixes et pemet de passe des poits fixes attactifs aux supe-attactifs Aisi o aive à ue vitesse de covegece qui est quadatique! La costuctio de cette méthode et sutout ses citèes de covegece ous occupeos das le este de ce chapite 26 29/48 31 3/48 Poits fixes supe-attactifs Soit φ: R R ue foctio de classe C 2 Défiitio U poit fixe a = φa) est dit supe-attactif si φ a) = Poit fixe attactif covegece liéaie : Il existe u voisiage V = [a ε, a + ε] su lequel φ 1 2 Ceci implique que φ V cotacte de appot 1 2 et assue φv ) V Pou tout u V la suite itéative u = φ u ) covege doc ves a Poit fixe supe-attactif covegece quadatique : Soit M := max V φ Pou x V le développemet de Taylo doe φx) = φa) + φ a)x a) + 1 2 φ ξ)x a) 2 Aisi φx) a M 2 x a 2 ou ecoe M 2 φx) a ) M 2 x a ) 2 Pou u V o e déduit que M 2 φm u ) a ) M 2 u a ) 2 m Dès que M u a 1 ceci assue ue covegece quadatique! Le picipe de la méthode de Newto O cheche à ésoude ue équatio fx) = das R O peut utilise des suites itéatives et le théoème de Baach Commet ede les solutios de fx) = supe-attactives? Objectif La méthode de Newto emplace l équatio fx) = pa ue équatio de poit fixe φx) = x, de sote que les zéos de f devieet des poits fixes supe-attactifs de φ Ceci ous pemetta des calculs extêmemet efficaces! Ne pas cofode l équatio iitiale fx) = à ésoude et l équatio de poit fixe φx) = x de la méthode de Newto 31 31/48 32 32/48
La fomule de Newto L idée est de tie pofit du calcul difféetiel, u outil tès puissat! O pat d ue appoximatio u d ue solutio de l équatio f) = O appoche f pa la tagete e u : tx) := fu ) + f u ) x u ) C est l appoximatio de Taylo d ode 1 u u +1 Pou u +1 o peda l uique solutio de l équatio affie tx) = : u +1 = u fu ) f u ) Autemet dit, o itèe l applicatio de Newto φ défiie pa φx) = x fx) f x) : pou fx) = x a la solutio [ de f) = véifie = a Ici o touve la fomule φx) = ] 1 1)x + a/x 1 déjà vue! 32 33/48 Newto est supe-attactif Défiitio Soit f : R U R ue foctio cotiûmet déivable L applicatio de Newto φ: U R associée à f est défiie pa φx) = x fx) f x) su U = {x U f x) } Popositio Les zéos de f sot les poits fixes de φ) Pou tout U o a f) = si et seulemet si φ) = Si f est de classe C 2, alos tout poit fixe = φ) véifie φ ) = Si l o choisit u poche d ue solutio de l équatio f) =, alos la suite u = φ u ) covege ves de maièe quadatique! Démostatio Évidemmet f) = φ) = Esuite φ x) = 1 f x)f x) fx)f x) f x) 2 Aisi f) = implique φ) = et φ ) = = fx)f x) f x) 2 32 34/48 Newto e covege pas toujous classique : f : R R, fx) = actax) L uique solutio de l équatio f) = est = O a f ) = 1, doc = est bie ue acie simple φx) = x fx) f x) = x 1 + x2 ) actax) Pou u poche de o touve φ u ), comme il faut À tite d avetissemet, peos ue valeu iitiale u loi de : Foctios covexes et covegece mootoe 1/2) Recosidéos l itéatio de Newto das la situatio suivate : u +1 u u 1 u u 2 u = +15 u 1 = 1694796 u 2 = +23211269 u 3 = 5114878 u 4 = +322956839 u Le bassi d attactio de = est l itevalle ] a, +a[ où a est la solutio positive de φa) = a Numéiquemet o touve a 13917 32 35/48 Théoème covegece mootoe) Soit f : [a, b] R ue foctio deux fois déivable, véifiat fa) < fb) et f a) > et f su [a, b] Alos il existe ue uique solutio [a, b[ véifiat f) = Pou tout u [a, b] véifiat fu ) > la suite u +1 = u fu) f u) est défiie pou tout N, décoissate, et covege ves De plus o peut majoe l eeu pa u fu) f a) 33 36/48 Démostatio Foctios covexes et covegece mootoe 2/2) Supposos f) = et f ) Quate cas typiques se pésetet : f coissate & covexe : f a) >, et f su [a, b] f décoissate & covexe : f b) <, et f su [a, b] u +1 Puisque fa) < fb) il existe [a, b[ véifiat f) = TVI) Nous avos f doc f coît su [a, b] Nous avos f a) > doc f > su [a, b] Puisque f est stictemet coissate su [a, b], la solutio véifiat f) = est uique u u +1 u f décoissate & cocave : f a) <, et f su [a, b] u +1 u u u +1 f coissate & cocave : f b) >, et f su [a, b] u u +1 Nous avos fu ) > si et seulemet si u ], b] Puis o touve u +1 = u fu) f) f u) ],1[ { }} { = u f ξ)u ) f u) = u ) 1 f ξ) f u)) O a fu ) f) = u )f θ) doc u = fu) f θ) fu) f a) 33 37/48 O choisit u tel que fu ) > covexe) esp fu ) < cocave) O a la majoatio u fu) mi f où mi f = f a) esp f b) 33 38/48 Bassi d attactio das le pla complexe Si la méthode de Newto covege, elle covege fialemet tès vite Mais la suite φ u ) e covege pas pou toute valeu iitiale u! 1 Tout d abod il faut assue que la solutio visée soit ue acie simple : f) = et f ) 2 Esuite il faut bie choisi ue valeu iitiale u poche de Questio patique : commet choisi u pou assue la covegece? Le bassi d attactio d ue acie est A) := {u φ u ) } Illustatio La questio de covegece de φ u ) doe lieu à de jolies images factales! Vous voyez ici les bassis d attactio des tois acies complexes du polyôme f : C C, fz) = z 3 1 Ue obite attactive de péiode 2 Das la méthode de Newto le choix du poit iitial est pimodial Remaque Même pou u polyôme o e peut pas espée la covegece pou «pesque toute» valeu iitiale Cosidéos fz) = z 3 2z + 2 La méthode de Newto itèe φz) = z z3 2z + 2 3z 2 2 = 2z3 2 3z 2 2 O costate que φ) = 1 et φ1) = : c est u cycle de logueu 2 Autemet dit, et 1 sot des poits fixes de φ φ La déivée de φ est φ z) = 6z4 12z 2 + 12z 9z 4 12z 2 + 4 O voit que φ ) =, et pa coséquet φ φ) ) = Ceci mote que le cycle 1 1 est supe-)attactif : Tous les poits das u cetai voisiage de {, 1} sot attiés ves ce cycle et e covegeot doc pas ves ue acie de f 34 39/48 34 4/48
Bassi de supe-attactio Théoème bassi de supe-attactio) Soit f ue foctio de classe C 2 Supposos que f) = aisi que f m > et f M su B, η) O pose ε := miη, m M ) > Alos pou toute valeu iitiale u B, ε) la suite de Newto u +1 = u fu) f u) covege ves à ue vitesse quadatique : u 1 2) 2 1 u Notatio : boule ouvete Ba, ρ) := {x x a < ρ}, boule femée Ba, ρ) := {x x a ρ} Das R o a bie sû Ba, ρ) = ]a ρ, a + ρ[ et Ba, ρ) = [a ρ, a + ρ] Gééalisatio : Le théoème et sa peuve se gééaliset de R à C et à R 34 41/48 Démostatio du théoème Pa taslatio o peut suppose que = Nous avos u +1 = u fu ) f u ) = f u )u fu ) f u ) Le développemet de Taylo d ode 1 e u ous doe = f) = fu ) + f u ) u ) + 1 2 f ξ ) u ) 2 pou u ξ, u coveable De ces deux équatios o déduit u +1 = 1 f ξ )u 2 2 f u ) Avec f m > et f M ceci doe u +1 M 2m u 2 ou ecoe M 2m u +1 M 2m u ) 2 Pa écuece o obtiet M M 2 2m u ) 2m u Pou u m M o a M 2m u 1 2, doc u 1 2) 2 1 u 34 42/48 d applicatio O ecosidèe la foctio fx) = actax) et l uique acie = Appliquos le théoème au voisiage B, η) de ayo η = 1 Étude de foctio O a f x) = 1 1+x 2 et f x) = 2x 1+x 2 ) 2 puis f x) = 6x 2 2 x 6 +3x 4 +3x 2 +1 Mioatio de f Su B, 1) o a max f = f ) = 1 et mi f = f 1) = 1 2 Aisi o obtiet f m := 1 2 su B, 1) Majoatio de f Su R o a max f = f 3 3 ) et mi f = f 3 3 ) Avec f ± 3 3 ) = 649 o coclut que f M := 65 Coclusio O obtiet ε = m M = 769 Le théoème gaatit la covegece de la méthode de Newto pou toute valeu iitiale u B, ε) Pa exemple, pou u = 769 o touve u 1 274, u 2 1354 1 2, u 3 1657 1 6, u 4 333 1 18, etc U citèe local de covegece État doé f et ue valeu iitiale u, commet savoi si l itéatio de Newto u = φ u ) covegea? Théoème Soit f ue foctio de classe C 2 O pose φx) := x fx) f x) Soit u ue valeu iitiale telle que fu ) et f u ) Soit η := u 1 u = fu) f u) le pas iitial das l itéatio de Newto Supposos que f est défiie su V := Bu, 2η) et véifie f x) f x) 1 8η pou tout x V Alos φ V est de appot 1 2 et véifie φv ) V Pa coséquet f V admet ue uique acie V, f) =, et la suite itéative u = φ u ) covege ves Fialemet la vitesse de covegece sea quadatique Le théoème et sa peuve se gééaliset de R à C et à R 34 43/48 34 44/48 Démostatio du théoème 1/3) Démostatio du théoème Pa hypothèse o a φu ) u = η La pemièe itéatio este doc bie das V = Bu, 2η) Il faut ecoe cotôle les itéatios suivates! L idée est de mote que φ V est de appot 1 2, c est-à-die φx) φy) 1 2 x y pou tout x, y V V φv) u u 1 φ V u u 1 Pou tout x avec x u 2η o touve φx) φu ) η puis φx) u φx) φu ) + φu ) u 2η Aisi φv ) V et la suite u = φ u ) est défiie pou tout N 34 45/48 Démostatio du théoème 3/3) Démostatio du lemme O a u) = η aisi que u x) 1 + M ux) pou tout x V = B, 2η) Pou tout η > η la foctio auxiliaie v : R R défiie pa vt) = η + 1 ) expmt) 1 M M véifie v) > u) aisi que v t) = 1 + Mvt) pou tout t [, 2η] Motos que ux) < v x ) pou tout x V Sio il existeait x V tel que ux) = v x ) Pou x miimal o aive à ue cotadictio : ux) u) ux) u) = = x x x 1 + M uξ) dξ x u ξ) dξ u ξ) dξ x 1 + Mvt) dt v t) dt = v x ) v) = ux) v) < ux) u) O a besoi que de l iégalité faible ux) v x ) pou tout x V Elle est véifiée pou η > η et este valable das la limite η = η 34 47/48 Démostatio du théoème 2/3) Apès taslatio o peut suppose que u =, doc V = B, 2η) Pa hypothèse f e s aule pas das V, doc φ est défiie su V Pou mote que φ V est de appot 1 2 o motea que φ x) = fx)f x) f x) 2 véifie φ 1 2 su V Étudios le quotiet ux) = fx) f x) et sa déivée u x) = 1 f x) f x) ux) O a u) = η aisi que u x) 1 + M ux) avec M := sup V f f Compaaiso La foctio v : R R défiie pa vt) = η + 1 ) expmt) 1 M M est coissate et véifie v) = η aisi que v t) = 1 + Mvt) Lemme ecoe à mote) O a ux) v x ) pou tout x V, doc u v2η) Pou M 1 8 o calcule que Mv2η) = 9 8 exp 1 4 ) 1 = 4445 < 1 2 Su V o coclut aisi que φ M u 1 2, comme souhaité 34 46/48 U citèe localisé e u seul poit Le citèe suivat se passe de l étude de f das u voisiage de u : il epose uiquemet su les déivées de f e u Théoème Smale, 1986) Soit f ue foctio aalytique O pose φx) := x fx) f x) Soit u ue valeu iitiale telle que fu ) et f u ) Soit η = fu) f u) le pas iitial das l itéatio de Newto O suppose que fz) = = a z u ) pou tout z Bu, 2η) Si a 8η) 1 a 1 pou tout 2, alos f admet ue uique acie das la boule Bu, 2η) et la suite de Newto u = φ u ) covege quadatiquemet ves : u 1 2 )2 1 u Ce théoème s applique paticulièemet bie aux polyômes Pou ue peuve voi Blum & Cuce & Shub & Smale : Complexity ad Real Computatio, Spige, New Yo 1998, chap 8 34 48/48