Ue méthode alteratve de provsoemet stochastque e Assurace No Ve : Les Modèles Addtfs Gééralsés Lheureux Else B&W Delotte 85, av. Charles de Gaulle 954 Neully-sur-See cedex Frace Drect: 33(0).55.6.65.3 Fax: 33 (0).55.6.6.3 Elheureux@bw-delotte.com Résumé Cet artcle trate des modèles de provsoemet stochastque à travers les Modèles Addtfs Gééralsés. Leur méthodologe repose sur le lssage o paramétrque qu offre ue grade flexblté das l austemet du modèle du fat de l dépedace du prédcteur avec ue quelcoque forme rgde paramétrque, permettat as au modèle de suvre la tedace présete das les doées. Cette structure est égalemet adaptée au calcul de mesures de volatlté des estmatos de réserves et d dcateurs de valeurs cetrales de la lo des réserves (quatles, ). Mots clés Provsoemet stochastque, Modèles Addtfs Gééralsés, Modèles Léares Gééralsés, Cha Ladder, Mack, Bootstrap, Méthode Delta, quatles.
SOMMAIRE I. INTRODUCTION... II. METHODOLOGIE DES MODELES ADDITIFS GENERALISES...3 III. DISCUSSION...8 IV. RESULTATS...9 V. CONCLUSIONS... BIBLIOGRAPHIE... ANNEXES...3 I. INTRODUCTION Les ouvelles ormes IFRS duset de profods chagemets e ce qu cocere les provsos techques et e partculer la provso pour sstre à payer. U des prcpes sous-acets à ces ormes est l évaluato au plus uste du motat des réserves. Das les pays aglo-saxos, l estmato e «best estmate» est désormas ue pratque courate, alors que la plupart des assureurs o-ve d Europe cotetale ot pas de règles clares quat au veau de provsos requs. De ce fat, certas assureurs ot prs l habtude d clure ue marge das leurs réserves, dot le but recherché peut être par exemple de lsser les résultats das le temps. Le passage e «best estmate» et la écessté de predre e compte le rsque lé à l certtude du motat de réserves lmterot ce gere de pratque et oblgerot la compage d assuraces à ustfer les hypothèses sous-acetes au veau de so provsoemet d ue aée sur l autre. As, le traval de l actuare cosstera à mettre œuvre des modèles de provsoemet stochastque, lesquels deveet cotourables pour répodre à ces problématques. L obectf de cet artcle est de préseter ue ouvelle classe de modèles pour le provsoemet stochastque e Assurace No Ve, qu ous semble plus souple que les méthodes exstates. Il s agt de la classe des Modèles Addtfs Gééralsés (Geeralzed Addtve Models ou GAMs). Ces modèles permettet d applquer aux doées ssues de la famlle expoetelle des techques de lssage o paramétrque. Ils préservet la structure sous-acete des Modèles Léares Gééralsés [9] (Geeralzed Lear Models ou GLMs) car la relato etre la varable répose et les varables explcatves est modélsée. Mas la dfférece maeure etre ces deux modèles résde das le fat que cette relato est paramétrque das les GLMs alors que la répose est lée aux varables explcatves par ue procédure de lssage o paramétrque das le cas des GAMs. Ce type de modèle s adapte formellemet à tout tragle de lqudato mas l estmato des réserves est d autat plus précse que le développemet des sstres de la brache étudée est stable. As, les études de modélsato GAMs ot usqu à préset été applquées à des tragles «classques» servat de référece pour tester de ouvelles méthodes. Nous avos cepedat chos d llustrer os aalyses à partr de tragles de lqudato «réels», chacu d etre eux correspodat à ue brache dfférete. Parm les tros braches étudées, l ue est à déroulemet relatvemet court et correspod à la catégore «Dommages aux bes Automoble». Les deux autres braches sot à déroulemet plus ou mos log et correspodet aux catégores «Resposablté Cvle Automoble» et «Resposablté Cvle Géérale». L étude de ces dfféretes braches ous a as perms d llustrer la mse e
œuvre des modèles GAMs e focto de la logueur de la cadece de développemet des sstres. Nous avos utlsé le logcel R mu du package «mgcv» («Mmzg Geeralzed Cross Valdato») qu ous fourt les méthodes et sortes formatques écessares à cette étude. Le prcpal avatage des modèles de provsoemet stochastque est de dsposer de mesures de précso des estmatos des réserves effectuées : das ce but, ous avos calculé le «Root Mea Square Error of Predcto» (RMSEP). Nous avos égalemet cherché à estmer la dstrbuto des réserves à l ade de la méthode du Bootstrap af d obter ses dfférets quatles et so écart-type. Ef, ous avos utlsé certaes méthodes alteratves au Bootstrap, basées sur les premers momets et l approxmato de dstrbutos ; celles-c permettet d estmer les quatles du motat de réserves sas écesster ue estmato de la dstrbuto de ces réserves. Cet artcle présete égalemet ue comparaso des résultats avec ceux obteus par d autres modèles détermstes et stochastques, déà utlsés e pratque. L aalyse de la qualté de l austemet de ces dfférets modèles (mesure aalytque de varablté, étude des résdus, ) et de leur «best estmate» ous codut au fl de l étude à cosdérer les modèles GAMs comme des modèles robustes et satsfasats pour répodre au cocept de «best estmate» et au beso d ue mesure du rsque assocé. II. METHODOLOGIE DES MODELES ADDITIFS GENERALISES Nous proposos das cet artcle d utlser les méthodes de lssage o paramétrque à travers les modèles GAMs [5] comme ue alteratve aux méthodes de provsoemet déà exstates. Nous cosdéros sas perte de gééralté u tragle de doées avec aées d orge et aées de développemet. Nous désgos les motats crémetaux relatfs à l aée d orge et à l aée de développemet par Y. Les doées sot alors : { : =,..., ; =,..., }. Y Nous désgos das la sute de cette étude les varables aée d orge et aée de développemet par Year et Dev. La composate aléatore Les modèles GAMs reposet sur l hypothèse forte suvate : Ho : Les varables aléatores Y sot dépedates mas o detquemet dstrbuées. Ces modèles supposet égalemet l apparteace des varables Y à la famlle expoetelle à deux paramètres dot la desté est : yθ b( θ ) f ( y, θ, φ) = exp( c( y, φ)) (II.) φ 3
où θ est u paramètre réel dt «aturel», Φ > 0 est u paramètre de dsperso ou d échelle (cou), dépedat de et, les foctos b et c sot des foctos spécfques de la dstrbuto expoetelle. Sous cette hypothèse de dstrbuto, l espérace et la varace des Y peuvet s écrre : E ( Y ) = b'( θ ) = µ et Var Y ) = φ b"( θ ) = φ V ( µ ) (II.) ( La focto V(.) est appelée la focto de varace de la dstrbuto et Φ le paramètre de dsperso. Esemble, ls détermet de maère uque la dstrbuto. Les dfféretes dstrbutos et foctos de le que ous allos tester sur os doées sot résumées das le tableau c-dessous. Nous cosdéros les foctos de le stadards Idetté, Caoque, Logarthme, et Race Carré. Tableau II. Dstrbutos et foctos de le testées. Dstrbuto Desté de Y Domae des paramètres Normale Posso Surdspersé Gamma Iverse Gaussee Focto de le g Focto de varace V(.) Paramètre de dsperso Φ cou et estmé ( µ ) exp( y µ Є R, g(µ)= µ V(µ)= Φ = σ ) σ >0 πσ σ e µ µ y µ > 0 g(µ)= µ, V(µ)= µ Φ g(µ)= l(µ), y! g(µ)= µ ry µ, r > 0 g(µ)= µ V(µ)= µ Φ = /r r ( ) r y r e µ g(µ)= l(µ), Γ( r) µ g(µ)= /µ µ, r > 0 g(µ)= / µ, V(µ)= µ 3 Φ = r exp ( y µ ) g(µ)= µ, π. ry 3 rµ y g(µ)= l(µ) LogNormale (l( y) µ ) exp( ) πσy σ µ Є R, σ >0 g(µ)= µ V(µ) Φ Chox des varables explcatves du modèle Les varables terveat das la modélsato d u tragle de lqudato correspodet à ses tros dmesos «aturelles» : e lge avec les aées d orge des sstres, e coloe avec les aées de développemet des paemets, et e dagoale avec les aées caledares. Cepedat, ous e preos pas e compte das otre modélsato cette derère varable aée caledare qu représete l flato car ous travallos sur des tragles déflatés das le cotexte de cette étude. 4
La mse e œuvre d ue modélsato GAM requert la cotuté de ces varables du fat de l utlsato de foctos de lssage. Or la varable aée de développemet est ue varable quattatve dscrète. Nous la redos cotue e défssat ue varable artfcelle Y= qu sera tratée comme ue varable cotue. La varable aée d orge est quat à elle ue varable qualtatve ordale et est as tratée comme u dce das les modélsatos classques telles que Cha Ladder ou GLM. Mas s cette varable état vramet u pur dce, alors les lges pourraet être versées sas aucu effet sur le modèle. Or cec est pas supporté par la théore sous-acete du provsoemet et l est as plus appropré de caractérser la varable aée d orge comme u dce ordoé. De plus, les aées d orges sot régulèremet espacées et peuvet être cosdérées comme ue sére «chroologque», suggérat as de trater cette varable, o pas comme u dce ordoé, mas comme ue varable cotue e défssat ue varable artfcelle X= qu sera elle auss tratée comme ue varable cotue. Cela permet au modèle d applquer égalemet ue focto de lssage à cette varable. La composate systématque, la focto de le U modèle GAM peut être vu comme ayat la structure d u modèle factorel à facteurs (aée d orge et aée de développemet ), dot la varable répose Y appartet à la famlle expoetelle à deux paramètres (cf. équato (II.)). La présece supplémetare d u lssage des deux varables explcatves Year et Dev dfférece la modélsato GAM d u modèle d aalyse de la varace classque. La focto de le otée g, strctemet mootoe et dérvable, rele µ = E( Y ) au prédcteur ou composate systématque η qu fat terver uquemet les varables explcatves : η = g( µ ) = c sλ ( Year ) sν ( Dev ) (II.3) µ = g c s ( Year ) s ( Dev ) [ ] λ La focto s λ ( Year ) représete u lssage de la varable explcatve aée d orge avec le paramètre de lssage λ. De faço smlare, la focto s ν ( Dev ) représete le lssage de la structure de développemet du tragle avec le paramètre de lssage ν. E cosdérat les deux varables aée d orge Year et aée de développemet Dev comme des varables «cotues», la structure du modèle GAM cherche à lsser de telle faço que les valeurs de η etre et et etre et, e dffèret pas trop. C est ce qu llustre le graphque II.. η Graphque II. Illustrato d ue courbe de lssage ν 3 4, 5
Paramètres de la modélsato La focto de lssage U lsseur est u outl qu permet de résumer la tedace de la varable répose Y e ue focto de ue ou pluseurs varables prédctves. Cela produt ue estmato de cette tedace qu est plus stable que la varable Y elle-même. Ue proprété mportate du lsseur est sa ature o paramétrque : l e suppose pas ue forme rgde pour la dépedace de Y e focto des varables explcatves. Das cet artcle, ous ous cocetros uquemet sur la procédure de lssage «cubc smoothg sple» car elle seule est mplémetée das le logcel R avec le package «mgcv». U sple de lssage cubc ou «cubc smoothg sple» est la soluto du problème d optmsato suvat (appelé auss «Pealzed Resdual Sum Of Square»): Parm toutes les foctos g(x) et h(x) deux fos cotuemet dfféretables, trouver celles qu mmset la somme des carrés péalsés : ( y c g( Year ) h( Dev )) = = 444444 444444 3 Mesure l' écart avec les doées " " λ ( g ( t)) ν ( ( )) h t (II.4) 44444 44444 3 Péalse la courbure de la focto (Péalté de lssage) où Year ; Dev Year ; Dev λ, ν, costates fxées sot les paramètres de lssage. O peut motrer qu l exste ue soluto explcte et uque à ce problème de mmsato et que le mmum est u sple cubc aturel s λ et s ν avec des œuds uquemet aux valeurs Year et Dev. As les GAMs produset les estmatos { s λ ( Year ), s λ ( Year ),..., s λ ( Year )} et { s ν ( Dev ), s ν ( Dev ),..., s ν ( Dev )} qu correspodet respectvemet à l effet de lssage sur les aées d orge et à l effet de lssage sur les aées de développemet. Le chox du paramètre de lssage Les deux foctos de lssage ŝ λ et ŝ ν ot qu u seul paramètre de lssage chacue. Chaque paramètre gouvere le veau de lssage as que le comproms etre le bas et la varace : Quad λ, ν tedet vers 0, l y a pas de péalté de lssage et le modèle fourt u austemet parfat : les valeurs austées sot les doées elles-mêmes. Quad λ, ν sot grads (tedet vers l f), l austemet est u lssage parfat : les valeurs austées tombet le log d ue lge drote forçat as la laso à être léare. Il e résulte ue fable varace mas u bas mportat. Les paramètres λ et ν dovet être comprs etre ces deux cas extrêmes pour produre le veau désré de lssage qu permet d avor u bo austemet du modèle avec u équlbre bas - varace. Le chox de ces paramètres de lssage peut se fare à l ade de la méthode par valdato crosée géérale (GCV). Mas ue valeur partculère pour λ et ν peut égalemet être chose e fxat so-même le ombre de degrés de lberté. 6
La méthode de valdato crosée géérale (GCV) Wahba [5] a proposé la focto de valdato crosée géérale (GCV) pour résoudre les problèmes qu écesstet la sélecto de paramètres mmsat le rsque de prédcto. O peut motrer que η = c A( λ, ν ) Y, où A( λ, ν ) est ue matrce qu déped de λ, ν et de la sére de doées ; c est l aaloge avec ue matrce de proecto das ue régresso léare. Soet a kk les élémets dagoaux de A ( λ, ν ). La focto GCV à mmser est alors : GCV ( λ, ν ) = = = ( y η ) ( tr( A( λ, ν ))) (II.5) où tr( A ( λ, ν ) ) est la trace de la matrce A ( λ, ν ), sot la somme des élémets dagoaux de cette matrce. Malheureusemet, la méthode GCV est très coûteuse pour les problèmes à paramètres de lssage multples. Smo Wood [6] a développé ue approche amélorée pour résoudre ce problème das le cas d ue classe de modèles de sple de lssage cluat les modèles GAMs avec le problème d optmsato (II.4). Le logcel R utlse cette focto GCV «amélorée» comme crtère de sélecto des paramètres de lssage λ et ν. Le ombre de Degrés de Lberté (DF) Le logcel R permet auss de chosr le veau de lssage e fxat le ombre de degrés de lberté pour chaque lsseur sλ et s γ. Le ombre de degrés de lberté o paramétrques (DF) pour le lsseur s λ (respectvemet pour s γ ) peut être déf par : DF ( lsseur sλ ) = tr( A( y, λ)) (II.6) S ue valeur partculère est chose pour le ombre de degrés de lberté, alors pedat toute la phase du problème d optmsato (II.4), le paramètre λ (et respectvemet ν) satsfera l équato (II.6). 7
Graphque II. Effet du lssage sur les aées d orge pour u DF de 3 et de 9 As, comme l llustre le graphque II., plus le ombre de degrés de lberté DF de s λ augmete, plus λ dmue et mos la courbe est lssée (et versemet). Par la sute, ous utlseros la méthode GCV «amélorée» pour le chox du paramètre optmal et cela pour chacue des deux varables explcatves Year et Dev. Nous sommes à la lmte féreure du ombre de doées écessare ( = 55) pour utlser ce crtère de sélecto mas ce derer a l avatage cosdérable d être automatsé et de permettre as u ga de temps o églgeable lors du processus de sélecto des modèles. III. DISCUSSION Présetato des doées L approche des modèles addtfs gééralsés est suette au rsque d erreur de spécfcato du modèle, comme tout modèle stochastque. Pluseurs exgeces cocerat les doées sot requses af d obter u modèle correctemet austé : - dsposer d ue part d u ombre suffsat de doées (ue cquatae de doées au mmum), - vérfer d autre part qu l y a pas de doées aberrates. Nous dsposos pour chacue des tros braches «Dommages aux bes Automoble», «Resposablté Cvle Automoble» et «Resposablté Cvle Géérale», d u eu de 55 doées correspodat à dx aées de surveace de sstres avec u développemet des paemets sur u maxmum de dx as. Cepedat, avat toute modélsato, ous avos supprmé das os doées la derère valeur de paemet coue de la premère aée de surveace ( Year = et Dev =0) pour les braches «Resposablté Cvle Automoble» et «Resposablté Cvle Géérale». E effet, cette valeur état aberrate pour ces deux braches, et aurat perturbé les résultats de toute modélsato. Pour des questos pratques, os tros tragles de lqudato ot été modélsés bruts de recours; la théore sous-acete aux modèles GAMs dque qu l est pas écessare de 8
fare l hypothèse que tous les motats crémetaux soet postfs à codto que la somme de chaque coloe du tragle sot postve. Cepedat, l usage de certaes foctos de le (logarthme, race carré,..) das la modélsato GAM e permet pas la présece de motats égatfs, à mos d gorer les cellules cocerées, ou be d utlser la Quas Vrasemblace. Il ous a doc semblé plus adapté de fare cette étude sur des tragles etèremet postfs, e e teat pas compte des recours ecassés. Avatages d ue structure de lssage U des gros avatages de l utlsato de ces lsseurs résde das l absece d ue structure prédétermée das le développemet du tragle, permettat as au modèle de suvre la tedace présete das les doées, d où ue grade flexblté das l austemet du modèle. E outre, la méthodologe ous semble téressate car elle permet de lsser les facteurs de développemet de la méthode Cha Ladder et d obter drectemet ue estmato du facteur de queue, sas écesster ue étape supplémetare das le processus de provsoemet. Cet avatage o églgeable des modèles GAMs est dû à la présece de varables explcatves cotues das la modélsato offrat as la possblté d extrapoler au-delà des ragées de doées observées. C est ue alteratve aux pratques habtuelles qu cosstet à auster u modèle stadard aux motats cumulés du type Cha Ladder pus d auster esute u autre modèle aux facteurs de développemet qu e découlet. L extrapolato de la courbe de lssage est égalemet beaucoup plus tutve et cosstate que cette derère techque. Notos égalemet que les modèles GAMs, grâce à leur structure, cotrôlet leur veau d austemet aux doées e ayat u ombre de degrés de lberté rasoable cotraremet aux modèles GLMs qu ot tedace à être sur-paramétrés par rapport à la talle des doées [4]. Ef, l est mportat de sgaler que les mêmes méthodes d estmato d ue dstrbuto du motat de réserve (Bootstrap) et de calculs de quatles (Bootstrap, Approxmatos Normal Power, Gamma,..) utlsées sur les modèles GLMs s applquet égalemet aux modèles GAMs. IV. RESULTATS Processus de sélecto des GAMs Le dagramme IV. llustre le processus suv au cours de otre étude pour sélectoer et valder les modèles GAMs les meux adaptés à chacue des braches étudées parm la sélecto décrte das le tableau II.. Le tableau IV. présete les ou 3 modèles faux reteus pour chacue des braches étudées. Ceux-c serot esute comparés avec d autres modèles détermstes et stochastques utlsés e pratque. Cette étude ous permettra d llustrer l térêt des Modèles Addtfs Gééralsés par rapport à d autres méthodes coues et utlsées usqu à préset. 9
Dagramme IV. Schéma récaptulatf du processus d évaluato et de sélecto des modèles GAMs. Dstrbutos à tester Avec les foctos de le stadards (Idetté, Log, Race Carré) et caoques : Posso Posso Sudspersé Gaussee Gamma Iverse Gaussee Avec la focto de le Idetté : LogNormale Approche descrptve Dstaces de Kolmogorov-Smrov (KS) et d Aderso Darlg. Crtère de comparaso Maxmsato de la statstque de Quas Vrasemblace Etedue q. Sélecto et valdato statstque des modèles GAMs Vérfcato de l hypothèse d dépedace de la varable répose Y Test de sgfcatvté des coeffcets (Devace) Graphques des résdus : - Hypothèses (asymptotques) de ormalté et d équdstrbuto à vérfer (hstogramme, QQplot, test de Shapro-Wlks, aalyses des graphques) - Structure o aléatore pour les graphques des résdus e focto : du prédcteur et des varables explcatves. Das le cas cotrare, mauvas chox de la dstrbuto et/ou de la focto de le. Graphque Valeurs Austées x Valeurs Observées : les pots dovet être algés le log de la ère bssectrce. 0
Nous apportos quelques remarques à predre e compte lors de la mse e pratque de ces dfférets crtères et tests : Le calcul des dstaces de Kolmogorov Smrov (KS) et d Aderso Darlg cosste e ue approche descrptve et o quattatve de l adéquato du modèle aux doées. E effet, l faut être prudet avec la théore de ces tests statstques qu repose sur l hypothèse «forte» d dépedace et d équdstrbuto des doées alors que les varables Y e sot pas équdstrbuées. De plus, le ombre de doées ( = 55) est trop fable et egedre ue bade de coface beaucoup trop grade ous forçat à accepter toutes les los testées. Nous avos quad même effectué ces tests e e coservat que les los ayat ue dstace de KS et d Aderso suffsammet pette, ous permettat as d avor ue premère dée des dstrbutos les meux adaptées aux doées. La lo LogNormale e peut se comparer aux autres los avec le crtère de Quas Vrasemblace Etedue détallé e aexe, car cette statstque fat terver la dévace et as tègre das so calcul l écart de la varable l(y ) avec sa prédcto et o de la varable Y avec l expoetelle de cette prédcto. La vérfcato des hypothèses sur les résdus est alors ue méthode alteratve qu ous permet de valder ou o la cohérece du chox de cette dstrbuto LogNormale. L hypothèse de ormalté des résdus dot être vérfée o pas asymptotquemet mas exactemet pour cette dstrbuto. Il faut être prudet avec l esemble des tests asymptotques effectués et leurs coclusos, car l faut garder à l esprt que le eu de doées sur lequel ous travallos est de talle =55, ce qu est a pror suffsat pour u cadre asymptotque. Il faut oter qu ue partcularté des deux braches logues «Resposablté Cvle automoble» et «Resposablté Cvle Géérale» est la écessté d extrapoler les résultats au-delà du tragle de doées car la totalté des paemets est pas réglée au bout de 0 as de développemet. Or, certaes foctos de le telles que l Idetté ou la Racé Carrée e sot pas adaptées à ue extrapolato des résultats. Seule la focto de le logarthme est acceptable pour ue modélsato GAM avec extrapolato, car so verse g - est la focto expoetelle. E effet, état doé qu à partr d ue certae valeur de Dev (>0) qu dffère selo le modèle GAM, le prédcteur η décroît égatvemet, l équato (II.3) dque que pour rester cohéret avec la réalté, seule la focto de le logarthme permet à l espérace des motats crémetaux de paemets µ de tedre vers 0 e restat postve. A l ssue de ces tests, u à deux modèles GAMs ot été reteus selo la brache étudée pour poursuvre cette étude, comme l dque le tableau IV. c-dessous. Nous ous téressos à d autres méthodes de provsoemet détermstes et stochastques (Cha Ladder, Mack, GLM et LogNormale) et les applquos aux mêmes tros braches d actvtés étudées pour les GAMs af de comparer les résultats obteus et d aalyser les avatages et partculartés propres à chacue des méthodes selo des logueurs de cadece de développemet des sstres dfféretes. Le lecteur pourra retrouver la théore détallée de ce pael de modèles das l artcle d Eglad et Verral [4]. Pour meer à be cette étude comparatve des GAMs avec les autres modèles, ous cosdéros u modèle de référece détermste ommé «Cha Ladder Austé» qu est élaboré à l ade d u logcel développé par la socété (CROS) et qu fourt le «Best estmate» grâce à ue combaso adéquate de modèles Cha Ladder.
Tableau IV. Modèles GAMs sélectoés par brache étudée Calcul des réserves avat et après extrapolato Après avor austé chaque modèle sur le tragle de doées, ous obteos l estmato des réserves e sommat les paemets estmés approprés du tragle féreur. Les motats de réserves estmés par l esemble des modèles étudés sot présetés pour chaque brache das les tableaux IV.4, IV.5 et IV.6. Nous cosdéros que les sstres de la brache courte «Dommages Automoble» sot etèremet réglés au bout de 0 as car la cadece de règlemet est de 99.9%. Les deux autres braches plus logues «Resposablté Cvle Automoble» et «Resposablté Cvle Géérale» ot ue cadece respectve de 94% et 98% au bout de 0 as, écesstat de prologer les estmatos de paemets pour le calcul de la charge ultme. Pour ue smple comparaso des modèles etre eux et otammet avec celu de Cha Ladder, ous trodusos pas dès cette étape l estmato supplémetare lée à l extrapolato des paemets au-delà du tragle de doées. Le calcul des réserves est effectué à la f de la derère aée comptable coue (3//) ce qu géère u motat de réserves ul la premère aée d orge car tous les paemets sot cous à cette date (sous l hypothèse de o extrapolato). Pour les deux braches logues (tableau IV.5 et IV.6), le motat de réserves de la deuxème aée d orge est égalemet ul car le motat correspodat à (Year=, Dev=0) e retre pas das la modélsato (e rouge das le tableau IV.3) ; as aucu motat de paemet est estmé pour (Year=, Dev=0), =,, et tervet doc pas das le calcul du motat de réserves correspodat s l y a pas d extrapolato. Ce pot est llustré par le tableau IV.3 : les valeurs estmées par le modèle sot surlgées e vert et leur somme par aée d orge costtue le motat de réserve par aée d orge au 3// qu repose sur l hypothèse de o extrapolato, c'est-à-dre qu l se base uquemet sur l hstorque. La parte grsée correspod aux motats qu e peuvet être estmés qu e utlsat ue méthode d extrapolato. Cette techque fat l obet de la secto suvate et doera leu à u calcul de motat de réserve ultme.
Tableaux IV.3 Illustrato du tragle de paemet des deux braches logues Tableau IV.4 Motat de Réserves estmé pour la brache Dommages Auto Quelque sot la brache étudée, le modèle Cha Ladder Austé, qu est otre «Best estmate» détermste est plus pessmste que le Cha Ladder stadard. La dfférece se fat sur les ou 3 derères aées d orge. E tat que modèle d expert, le Cha Ladder Austé pred e compte certaes formatos (après échage avec le clet, les gestoares de sstres, ) qu l ctet à «gofler» les provsos des aées 8, 9 et/ou 0 selo la brache étudée. Le modèle Cha Ladder stadard ou sa verso stochastque GLM Posso Surdspersé doet par costructo, ue mportace excessve aux premers développemets cous, e partculer pour les aées d orge les plus récetes ; or l se trouve que pour les aées d orge 8, 9 et/ou 0, les motats des premers développemets dspobles sot assez fables et se répercutet das les estmatos des paemets des développemets suvats, 3
permettat au Cha Ladder stadard ou GLM Posso Surdspersé d être plus optmstes qu ls e devraet. Cette remarque peut égalemet être fate pour le modèle GLM Gamma qu a la même costructo que le GLM Posso Surdspersé et qu estme des motats de réserves sesblemet proches de ceux du modèle GLM Posso Surdspersé ou du modèle Cha Ladder stadard. Nous retedros doc que pour chaque brache étudée, les modèles GLMs de Posso Surdspersé et Gamma sot très élogés e terme de «best estmate» du modèle de référece e comparaso avec la régresso LogNormale et les modèles GAMs (écarts avec Cha Ladder Austé surlgés e rose das les 3 tableaux IV. 4,.5,.6). Ce phéomèe s observe de faço mportate pour la brache courte «Dommages aux bes Automoble» avec u et écart de plus de 3% etre le «best estmate» et les estmatos des modèles de Cha Ladder stadard et GLMs, alors qu a pror, cette catégore est la plus facle à modélser et e devrat pas egedrer de telles dfféreces etre les modélsatos. Tableau IV.5 Motat de Réserves estmé pour la brache RC Auto Seuls les motats de réserve totale estmés par les modèles GAMs et parfos par le modèle LogNormal excepté pour la brache «Resposablté Cvle Automoble» sot assez proches du «Best estmate» du Cha Ladder Austé. Il semble que GAM s adapte très be aux aées d orge 8, 9 et/ou 0 selo la brache étudée (valeurs surlgées e rose), qu sot comme ous l avos remarqué précédemmet, les aées pour lesquelles Cha Ladder Austé dffère le plus des modèles de Cha Ladder stadard, GLMs et LogNormale. 4
Tableau IV.6 Motat de Réserves estmé pour la brache RC Géérale Les deux braches logues «Resposablté Cvle Automoble» et «Resposablté Cvle Géérale» écesstet ue extrapolato des paemets estmés au-delà du tragle de doées pour chaque modèle étudé. La charge ultme pred e cosdérato l esemble de ces motats estmés. Tableau IV.7 Motat de Réserves estmé pour la brache RC Auto après extrapolato U des avatages des GAMs est la présece de varables explcatves cotues das le modèle qu offret la possblté de prologer la courbe de lssage s ν ( Dev ) au-delà des ragées de doées observées. Cette techque est assez tutve et est ue alteratve aux pratques habtuelles réalsées sur les modèles Cha Ladder Austé, LogNormale et GLMs qu cosstet à auster ue courbe paramétrque sur les facteurs de développemet ssus du modèle étudé et à la prologer usqu à ce qu elle devee stable. Les facteurs de 5
développemet sot das le cas du modèle GLM Posso Surdspersé les mêmes que ceux de Cha Ladder stadard ; pour les autres modèles l s agt de facteurs de développemet «équvalets» obteus [3] e applquat la même techque que Cha Ladder stadard aux valeurs austées par le modèle étudé. Ue fos l austemet de la courbe paramétrque sur les facteurs de développemet effectué, les motats estmés sot calculés e applquat la méthode de Cha Ladder stadard aux facteurs de développemet austés sur les derères aées de développemet. Tableau IV.8 Motat de Réserves estmé pour la brache RC Géérale après extrapolato Ue aalyse des tableaux de résultats IV.7 et IV.8 ous dque que l écart etre le «Best estmate» de Cha Ladder Austé et le motat de réserve des GAMs s est creusé pour les deux braches sute à l extrapolato. L explcato de cet écart tet essetellemet das la dfférece de techque utlsée pour obter les estmatos des paemets au-delà du tragle de doées. Les résultats des GAMs restet ecore très satsfasats, otammet pour le GAM Posso Surdspersé de la brache «Resposablté Cvle Géérale» et pour le GAM Gamma de la brache «Resposablté Cvle Automoble». L esemble des remarques fates avat extrapolato reste valable après extrapolato. De plus, l extrapolato des GAMs est ue techque plus cosstate que celle applquée aux autres modèles e austat ue courbe paramétrque, reforçat as os coclusos sur les résultats des GAMs des tableaux IV.7 et IV.8. Précso de l estmato des réserves L erreur de prédcto ou RMSEP («Root Mea Square Error of Predcto») U des prcpaux avatages des modèles de provsoemet stochastque est l exstece de mesures de précso des estmatos. Nous avos chos d utlser le «Root Mea Square Error of Predcto» ou RMSEP. Supposos que ous ayos ue estmato R du motat de réserve total R. Alors le RMSEP est déf par : E( R R). 6
Le RMSEP est ue mesure de varablté de l estmato R et peut être cosdéré comme la somme de deux composates : la varablté des doées (varace du processus) et la varablté due à l estmato (varace de l estmato). Ue méthode détallée e aexe doe ue approxmato du calcul du RMSEP. Ce calcul écesste la matrce de varace-covarace des coeffcets paramétrques pour les GLMs et o paramétrques pour les GAMs. La méthode sera surommée «Delta». L approxmato du RMESP peut être utlsée égalemet pour costrure des tervalles de coface. Le modèle de Mack [6] permet égalemet le calcul d u RMSEP qu est u crtère d évaluato de la varato des estmatos de Cha Ladder stadard et de Cha Ladder Austé. Ce calcul dffère de celu des GAMs et GLMs car l repose sur les facteurs de développemet ; l est égalemet exposé e aexe. Les RMSEP rapportés au motat de réserve estmé servet d dcateur de qualté des estmatos des réserves. Le tableau IV.9 résume l esemble des résultats de RMSEP obteus pour les modèles de Cha Ladder et Cha Ladder Austé (avec Mack), les modèles GLMs, GAMs et LogNormale austés sur la brache «Resposablté Cvle Géérale». Les coclusos apportées sur cette catégore sot égalemet valables pour les deux autres catégores. Les résultats de l erreur de prédcto RMSEP exprmés e u pourcetage de l estmato du motat des réserves e sot pas comparables pour des dstrbutos dfféretes. E effet, la dfférece etre les erreurs de prédcto des modèles Posso Surdspersé et Gamma est e parte due à la présece du paramètre d échelle Φ. Quat à la dstrbuto LogNormale, le mode de calcul du «MSEP» est dfféret de celu des autres modélsatos. Ue remarque peut cepedat être fate : pour les premères aées d orge (Year 3, Year 4, ) des modèles GAMs et GLMs, le rapport RMSEP(R )/R de la lo Gamma est plus fable que celu de la lo Posso Surdspersé ; la modélsato Gamma prvlége les aées les plus acees. Ce comportemet se reverse pour les aées les plus récetes (Year 0, Year 9, ) car le rapport RMSEP(R )/R de la lo Gamma est plus élevé que celu de la lo Posso Surdspersé. As, comme ces derères aées ot u pods très mportat das le motat de réserve total, le rapport RMSEP(R)/R de la lo Gamma est supéreur à celu de la Posso Surdspersé. E outre, la comparaso des modèles GLMs avec les modèles GAMs pour ue dstrbuto fxée peut se fare et elle dque que ces derers doet de melleurs résultats e terme de varablté du motat de réserves estmé par aée d orge et au total. Tableau IV.9 RMSEP et Itervalle de Coface de chaque modèle pour la brache RC Géérale 7
Tableau IV.9- Sute RMSEP et Itervalle de Coface de chaque modèle pour la brache RC Géérale La comparaso des erreurs de prédcto des dfférets modèles avec celles de Mack est assez dffcle. Cette derère modélsato e repose pas sur l hypothèse d ue dstrbuto sous-acete mas les résultats de varablté du RMSEP permettet de doer ue dcato sur la robustesse du modèle. Das cette optque, l est téressat de oter que les résultats de varablté du motat de réserve global des modèles GAMs sot plus bas que ceux de Mack sur le modèle de référece. Pour la brache «Resposablté Cvle Géérale», les modèles GAMs semblet doc plus robustes que les GLMs et ot même u dcateur de varablté plus fable que celu du modèle de référece. Au se des modèles GAMs, le chox du modèle le meux adapté peut se fare etre la modélsato de Posso Surdspersé et celle de la lo Gamma. Il est dffcle de chosr aalytquemet l u des deux car ous veos de vor que leurs résultats de RMSEP e sot pas comparables. Mas à la vue des résultats précédets cocerat l écart relatf sur le motat de réserve avec la modélsato de Cha Ladder Austé avat et après extrapolato, o préférera le modèle GAM Posso Surdspersé. 8
L erreur de prédcto du Bootstrap La méthodologe du Bootstrap qu est pas décrte das cet artcle mas que le lecteur pourra lre e détal das Eglad P.D et Verrall R.J [], est ue techque de rééchatlloage des résdus du modèle qu permet d obter ue estmato de la dstrbuto des provsos. L écart-type ou l erreur stadard de la dstrbuto peut as être calculé. Cette erreur stadard ssue du Bootstrap est ue estmato de la race carrée de la varace de la dstrbuto. Cepedat, elle e peut être comparée drectemet avec so équvalet aalytque qu est la ème composate du RMSEP (varace de l estmato), car cette erreur e tet pas compte du ombre de paramètres utlsés das le modèle [3]. Pour obter l erreur de prédcto du Bootstrap otée PE et pouvor as la comparer avec le RMSEP, l est écessare d aouter ue estmato de la varace du processus, laquelle est égale au paramètre d échelle multplé par l estmato des réserves. Tableau IV.0 Idcateurs de la volatlté des prévsos de réserves de la brache RC Géérale : RMSEP (Mack et Delta) et PE (Bootstrap) A dstrbuto et focto de le fxées, les erreurs de prédcto Bootstrap (PE bs ) sot assez proches des erreurs de prédcto aalytques (RMSEP), à la fos au total et par aée d orge. Le tableau IV.0 llustre e parte cette costatato pour le motat total de réserve de la brache «Resposablté Cvle Géérale». Cec est assez remarquable état doée la dfférece structurelle qu exste etre les deux méthodes utlsées. Les résultats des tros braches étudées e sot pas présetés das le détal, excepté pour la brache «Resposablté Cvle Géérale», mas ous amèet aux mêmes coclusos : Les erreurs de prédcto Bootstrap (PE bs ) sot assez proches des erreurs de prédcto aalytques (RMSEP), à dstrbuto et focto de le fxées, avec cepedat ue légère tedace pour ces derères à être féreures à celles du Bootstrap. La comparaso des modèles GLMs avec les modèles GAMs, pour ue dstrbuto fxée, dque que ces derers doet de melleurs résultats e terme de varablté du motat de réserves estmé au global et par aée d orge, et cela, quel que sot l dcateur utlsé (la mesure aalytque ou la mesure ssue du Bootstrap). Les bades de coface costrutes avec les méthodes Delta et Bootstrap se recoupet assez be. 9
Dstrbuto de la prédcto et estmato des quatles Coaître les momets du motat de réserve R (espérace, varace) est pas suffsat pour obter certaes caractérstques de R : probablté d suffsace, quatles,. C est pourquo, l est écessare d applquer certaes méthodes comme le Bootstrap pour avor la dstrbuto de R ou ecore d autres méthodes alteratves [] pour avor les quatles de R. Ces derères reposet e parte sur les premers momets de R et cosstet e : ue approche addtve qu das le cas préset e s adapte qu à la dstrbuto de Posso Surdspersé, ue approxmato Normal Power qu s applque à toutes les dstrbutos étudées, ue approxmato Gamma qu e s applque qu aux dstrbutos ayat u coeffcet d asymétre élogé de 0. Le lecteur pourra trouver toute la théore et les champs d applcato de ces méthodes das l artcle de Partrat C., Pey N. et Schllg J. []. Tableau IV. Estmato des quatles de R par le Bootstrap et les méthodes alteratves sur la brache «Resposablté Cvle Géérale» Le tableau IV. dque que les dfféretes méthodes d estmato de quatles utlsées foursset des résultats assez proches, otammet pour les quatles à 50 et 75%. Toutefos, les quatles de l approxmato Normal Power semblet légèremet e dessous des autres et les derers quatles du Bootstrap ot tedace à s échapper vers le haut lassat présager quelques dérves sur la queue de dstrbuto. Ce problème de valeurs extrêmes est d alleurs vérfé par ue lecture graphque de l hstogramme de la dstrbuto 0