Modéliaion de LCI PRNTATION LCI : YTM LINAIR : YTM CONTINU : 3 YTM INVARIANT : 3 4 YTM NON LINAIR: 3 RPRNTATION D LCI: 4 3 NTR TYP 4 4 TRANFORMATION D LAPLAC: 5 4 TRANFORM D LAPLAC : A QUOI ÇA RT? 5 4 DFINITION: 5 43 -PROPRIT D LA TRANFORM D LAPLAC: 6 44 TRANFORM D FONCTION COURANT: 7 45 XMPL D ROLUTION D UN QUATION DIFFTRNTILL 8 5 FONCTION D TRANFRT D'UN YTM: 8 5 GNRALIT 8 5 INTRT 9 53 FONCTION D TRANFRT N BOUCL FRM D'UN YTM ARVI: 54 FONCTION D TRANFRT N BOUCL OUVRT: 6 OPRATION UR L CHMA BLOC: 6 ÉLMNT D BA 6 OPRATION UR L CHMA BLOC 7 YTM LINAIR FONDAMNTAUX: 3 7 FONCTION D TRANFRT 3 7 RPON A UN CHLON 3 73 RPON A UN IMPULION 9 74 RPON A UN RAMP 8 IDNTIFICATION D UN MODL D COMPORTMNT A PARTIR D UN RPON A UN CHLON 3 8 PRINCIP 3 8 IDNTIFICATION D UN PRMIR ORDR NON RTARD 4 83 IDNTIFICATION D UN PRMIR ORDR RTARD 5 84 IDNTIFICATION PAR UN M ORDR APRIODIQU 5 85 IDNTIFICATION PAR UN M ORDR PUDOPRIODIQU 6 9 ANALY HARMONIQU 8 9 PRINCIP 8 9 LIUX D TRANFRT 9 93 PRMIR ORDR 3 94 IDNTIFICATION D UN MODL DU PRMIR ORDR A PARTIR D LA RPON HARMONIQU 33 95 RPON HARMONIQU D UN MODL DU DUXIM ORDR 34 96 IDNTIFICATION D UN MODL DU DUXIM ORDR A PARTIR D LA RPON HARMONIQU 37 Prof_ii le 3//3
Modéliaion de LCI Préenaion LCI : Un yème linéaire e reréené ou la forme de chéma-bloc, le enrée Caue éan iuée généralemen à gauche e le orie ffe à droie L inérieur du bloc conien une decriion du yème éudié Foncion de ranfer e YTM LINAIR e n k Caue Foncion de ranfer ffe Remarque : Dan le ca réel, k n, on arle alor de yème caual: la caue e récède l'effe yème linéaire : Un yème e di linéaire i la foncion qui le décri e elle-même linéaire Cee dernière vérifie alor le rincie de roorionnalié e de ueroiion: -Proorionnalié : i e la réone à l enrée e alor λ e la réone à λe e yème linéaire λe yème linéaire λ -ueroiion : e yème linéaire e yème linéaire e e yème linéaire yème coninu : Un yème e coninu, ar ooiion à un yème dicre, lorque le variaion de grandeur hyique le caracérian on de foncion à em coninu e que l on eu donc définir ce grandeur à ou inan On arle aui dan ce ca de yème analogique La luar de yème hyique, du oin de vue macrocoique, on coninu Un yème informaique ar conre a beoin d un em non nul our réalier un raiemen de l informaion On ne eu donc a le qualifier de yème coninu, il ne eu que raier de échanillon de ignaux coninu qui lui on oumi, on arle dan ce ca de yème échanillonné Prof_ii le 3//3
Modéliaion de LCI 3 yème invarian : Un yème e di invarian i on uoe que le caracériique du yème mae, dimenion, réiance, imédance, ne varien a au cour du em "le yème ne vieilli a" i e la réone à l enrée e alor -τ e la réone à e-τ 4 yème non linéaire: 4 Commen raier le non linéarié La lu ar de yème hyique ne on a linéaire ur oue la oalié de leur domaine d alicaion Ceendan dan de nombreux ca, il ne on uilié que ur une lage réduie de leur domaine ou ce condiion, il e oible en général d arocher le comoremen ar un modèle linéaire Le yème e di alor linéarié 4 Quelque non linéarié remarquable Le yème réel réenen de non linéarié Voici quelque ca rè courammen obervé : Dénominaion auraion euil Hyéréi chéma xemle Buée mécanique, aimanaion, moeur élecrique froemen Jeux mécanique, maériaux élaomère Prof_ii 3 le 3//3
Modéliaion de LCI Reréenaion de LCI: n réalié, le yème qu'on éudiera ne on ni coninu oin de vue microcoique, ni invarian vieilliemen, ni linéaire n faian de hyohèe imlificarice, on e ramène à ce ca, c'e-à-dire à de yème don le comoremen eu êre reréené ar de équaion différenielle à coefficien conan: quaion fondamenale a d n n n d a b d m e m m d b e Deux modèle de yème fondamenaux on à éudier dan le cadre de clae réaraoire : o le yème du remier ordre : τ o le yème du deuxième ordre : o gain b e de o dérivaeur b d d o inégraeur a e d 3 nrée Tye d e d d d m e d d Foncion de Dirac ou imulion unié δ: δ, Cee foncion reréene une acion 'exerçan endan un em rè cour Foncion échelon unié u: u i < e u i δ u remarque : la réone à l échelon unié e aelée réone indicielle Foncion rame de ene uniaire: f i < e f i donc f u Foncion inuoïdale: f in u Prof_ii 4 le 3//3
Modéliaion de LCI f f 4 Tranformaion de Lalace: 4 Tranformée de Lalace : A quoi ça er? Il agi d une méhode de réoluion our réoudre le yème d équa diff La ranformaion mahémaique va remlacer la réoluion de l'équaion différenielle ar l'éude d'une fracion olynomiale Méhode ar le ranformée de Lalace : Tranformaion de Lalace quaion algébrique Condiion iniiale Décomoiion en forme «ye» criure ou forma ye Domaine de Lalace Tranformaion de Lalace invere quaion différenielle avec econd membre oluion oale 4 Définiion: Domaine emorel La ranformée de Lalace de la foncion f e noée F L [f] Avec : e une variable comlexe ajb f e inégrable f croi moi vie q une exonenielle > convergence Condiion de Heaviide : f L F e f d On di qu une foncion du em f vérifie le condiion de Heaviide i elle vérifie : Prof_ii 5 le 3//3
f ' f '' f, 43 -Proriéé de la ranformée de Lalace:, c e à dire i le condiion iniiale on nulle Modéliaion de LCI 43 -Proriéé générale : - Unicié: à f correond F unique, à F correond f unique - Linéarié: L [f f ] L [f ] L [f ] F F L [λ f] λ L [f] λ F -Tranformée de la dérivée: Pour cela, inégron ar arie : ' ' ' L f e f d e f e f d [ ] e f d f L f f Car la foncion f e inégrable Aini, nou avon de même, avec la même démarche : [ ] [ ] ' L f L f f '' ' L f L f f f Dan le condiion de Heaviide, une dérivaion dan le domaine emorel revien à une mulilicaion ar dan le domaine ymbolique de Lalace -Tranformée de l'inégrale: L [ f udu ] L [ f udu ] F g -Théorème du reard: f f-τ L [f-τ] e f τd L [f-τ] e -τ F τ 43 Théorème de la valeur iniiale: Ce héorème erme de déerminer la valeur iniiale du yème 433 - Théorème de la valeur finale: lim f lim F Prof_ii 6 le 3//3
lim f lim F Modéliaion de LCI Remarque: ce deux dernier réula n'on de en que i le limie exien Remarque: faire aenion au dan le héorème récéden Ne a l oublier! 44 Tranformée de foncion courane: démonraion échelon unié u i < e u i L [u] e ud e d Démonraion exoneniel e L [u ] L [e -a u] a Tableau de ranformée de Lalace uuelle fu F fu F δ a e in a e a in co Foncion de Dirac ou imulion unié δ: ar définiion δ, Cee foncion reréene une acion 'exerçan endan un em rè cour e a co a n e n e τ a a a n! a n n! n τ d'où L [δ] [ e ] d δ L [δ ] Foncion rame de ene uniaire: f i < e f i donc f u df u L [u] d U f L [u] Prof_ii 7 le 3//3
Modéliaion de LCI Foncion inuoïdale: f in u F e in d qu'on inègre ar arie en oan du in d e v e - co e - co e d in e in e d F L [in u] 45 xemle de réoluion d une équaion différenielle d d oi un yème régi ar l'équaion différenielle 5 6 e d d e e 6 u On alique la ranformaion de Lalace à cee équaion: avec, ' d d [ ] [ ] L 5L 6 L L e d d ² ' 5 [ ] 6 ² 5[ ] 6 6 oi 6 5 6 6 3 On décomoe cee fracion en élémen imle: A B C 3 Par idenificaion, on rouve 5 4 3 On reourne au domaine emorel en renan le ranformée invere, d'où : e e u 3 5 4 5 Foncion de ranfer d'un yème: 5 Généralié noaion : Dan le domaine ymbolique, la relaion enre l'enrée e la orie 'écri donc H H La foncion de ranfer d un LCI e dan le condiion de Heaviide : On aelle foncion de ranfer H du yème: H bm m b an n a Démonraion : Prof_ii 8 le 3//3
Modéliaion de LCI oi un yème décri ar l'équaion différenielle: a d n k d e n a n bk b e k d d n d d'arè le héorème de la dérivée dan le condiion d'heaviide:: L [ ] n F n d On alique la ranformaion de Lalace à l'équaion différenielle: a n n a b m m b d où H b a k n k n b a Cee relaion e rè uile our calculer de réone emorelle de yème à l aide de ranformée de Lalace Il uffi de calculer le ranmiance du yème, de rendre la ranformée de Lalace du ignal d enrée e de faire le rodui de ce deux grandeur Une ranformée invere donne enfin la réone emorelle ouhaiée La foncion de ranfer reréene le comoremen du yème e 'exrime imlemen comme le raor de deux olynôme en fracion raionnelle conrui à arir de coefficien de l'équaion différenielle régian on évoluion Forme canonique de la foncion de ranfer: avec n ordre du yème α clae du yème gain aique H m' bm' α n' a n' n exlician le racine comlexe évenuellemen de ce olynôme, H eu 'écrire: H 5 Inérê k z z z n m le z i on le zéro e le i le ôle de la foncion de ranfer La connaiance de la foncion de ranfer d un yème erme de connaîre a réone à une olliciaion an réoluion d équaion différenielle Conidéron le yème moeur élecrique u en V MCC en rad/ on comoremen e régi ar le équaion uivane : di élecrique : u e R i L d élecromécanique : mécanique : On a donc e e c d J c f d i R d L d d u J f J f d d d u en V u f R JR Lf d LJ d d d en rad/ Prof_ii 9 le 3//3
Dan le domaine de Lalace e dan le condiion de Heaviide, cee équaion devien : U f R JR Lf LJ Ω Modéliaion de LCI Ω D où H U Le yème eu êre reréené ar R L J f U H Ω La réone à une enrée e connue e donnée en uilian la démarche uivane : e yème Le L - H H 53 Foncion de ranfer en boucle fermée d'un yème aervi: ε M B A A H A B 54 Foncion de ranfer en boucle ouvere: La foncion de ranfer en boucle ouvere e définie comme la foncion de ranfer du yème lorque le reour ur le ommaeur e coué lle comrend la chaîne d'acion e la chaîne de meure ε M H FTBO - M Figure : yème en boucle ouvere La foncion de ranfer en boucle ouvere écri : M FTBO H Prof_ii le 3//3
Modéliaion de LCI On eu oujour e ramener à un yème à reour uniaire: A B /B H AB AB B yème rédui de foncion de ranfer H r AB AB On noe FTBO la foncion de ranfer en boucle ouvere du yème oi FTBO AB e on éudie la foncion de ranfer du yème rédui oi FTBO FTBF FTBO i on connaî la FTBO en général imle à calculer, la FTBF e rouve en réalian la ranformaion 6 Oéraion ur le chéma bloc: 6 Élémen de bae xemle : C I C f J Ω U car ε - R L I C J f Ω U R L I Ω Le bloc : Il coniennen une foncion de ranfer H caracérian la relaion enre l'enrée e la orie Le lien : Il reréenen une grandeur U dan le domaine de Lalace Le oin de joncion : Une joncion erme de ranmere une grandeur en enrée de luieur bloc ou ommaeur Le ommaeur : Il addiionnen ou ouraien elon le igne le différene enrée Il n'on qu'une orie Le erme qui déenden du em deviennen le enrée e orie de chéma bloc 6 Oéraion ur le chéma bloc FT en érie H 3 H H 3 H H H H H 3 FT en arallèle Prof_ii le 3//3
H H - H Modéliaion de LCI H H H délacemen d une joncion: H H H' H' /H H H H' H' H Délacemen d'un ommaeur: H H H ' H' H H H Ca de yème erurbé Ce yème on deux enrée : l une e maîriée ar l uiliaeur l aure e imoée ar le milieu exérieur Q H ' H' /H H H - R Q i Q alor on obien HH HH R e i on obien Q H H HR Le yème éan linéaire, on eu aliquer le héorème de ueroiion ce qui donne HH Q H H R H H HR Prof_ii le 3//3
7 yème linéaire fondamenaux: Modéliaion de LCI 7 Foncion de ranfer remier ordre : d τ e d deuxième ordre : L gain aique τ conane de em τ H τ d d d m e d forme canonique avec gain aique ulaion rore m coefficien d'amoriemen La ranformée de Lalace de cee équaion donne: m d'où la foncion de ranfer: H m 7 Réone à un échelon L e u 7 Premier ordre τ Pour connaîre comlèemen, il fau décomoer en élémen imle: A B τ τ - - τ τ L - - e τ u ene à l origine lim lim lim aymoe horizonale lim lim τ lim τ e lim ' lim lim aymoe horizonale de valeur τ τ ene à l'origine Raidié : em de réone à 5% au bou d un em 3τ, la réone aein 95% de la valeur finale : em de réone à 5% inan r our lequel r,95 max r r - e τ,95 e τ,5 r 3τ Le em de réone à 5% d un yème du remier ordre e égal à 3τ : R5% 3τ Le racé de la réone e donné ci-deou : Prof_ii 3 le 3//3
Modéliaion de LCI Prof_ii 4 le 3//3 7 Deuxième ordre Le réula déend de racine du dénominaeur ude de ôle de la foncion de ranfer H racine du dénominaeur H > : H oède deux ôle réel H : H oède un ôle réel double H < : H ne oède a de ôle réel H 7 réone en régime aériodique > γ β α γ β α avec H Arè ranformée de Lalace invere : > our e e Tracé : Valeur iniiale : lim Pene à l origine : lim Valeur finale : lim Tem de réone à 5% em néceaire our que la réone e abilie à ± 5% de la valeur finale : voir courbe
Modéliaion de LCI exemle: réone indicielle our, rad/, m 7 réone en régime aériodique criique Prof_ii 5 le 3//3
Modéliaion de LCI Prof_ii 6 le 3//3 γ β α γ β α avec H Arè ranformée de Lalace invere : [ ] > our e Tracé : Valeur iniiale : lim Pene à l origine : ' lim ' Valeur finale : lim Déaemen : aucun Tem de réone à 5% em néceaire our que la réone e abilie à ± 5% de la valeur finale : voir courbe xemle : réone indicielle our, rad/, m 73 réone en régime eudo ériodique <
Modéliaion de LCI Prof_ii 7 le 3//3 γ β α γ β α avec H en oan Ω e arè ranformée de Lalace invere : in co in co > Ω Ω > Ω Ω our e our e en oan : ϕ ϕ in co in > Ω our e ϕ Valeur iniiale : lim Pene à l origine : ' lim ' Valeur finale : lim Tem de réone à 5% em néceaire our que la réone e abilie à ± 5% de la valeur finale : voir courbe our < eudo ériode : π T dae de exréma π k k k : enier naurel diance de exréma à la valeur finale : π k D k e %
Modéliaion de LCI déaemen ranioire % D D D3 D4, D5 D6 D7 D8,,, xemle : réone indicielle our, rad/, m3 Prof_ii 8 le 3//3
74 Comaraion Modéliaion de LCI Réone indicielle d'un yème du deuxième ordre,8,6,4,,5,95,8,6,,,4,7,4, 4 6 8 4 6 em rédui τ 73 Réone à une imulion eδ Lδ 73 Réone à une imulion our un modèle du remier ordre τ τ τ e τ τ d où xemle e au Prof_ii 9 le 3//3
73 Réone à une imulion our un modèle du deuxième ordre m D Modéliaion de LCI avec D de dicriminan rédui ' m - m remier ca: m> D a alor racine réelle e - m - m e - m m avec < < La décomoiion en élémen imle donne : A B m d'où e - m e u yème amori régime aériodique : il n y a a de déaemen deuxième ca: m< D a alor racine comlexe conjuguée - m - j m e - m j m De lu On eu alor écrire ou la forme: m m oien m e a m m a d'où m e in m u m yème ou-amori régime eudo-ériodique La eudo-ériode de ocillaion vau T π m Prof_ii le 3//3
Modéliaion de LCI T enveloe exonenielle Lorqu'il n'y a a d'amoriemen m, on a une réone inuoïdale de ulaion ce qui juifie le nom de ulaion rore donné à roiième ca: m D a alor une racine double L'allure de la réone erai comarable à celle obenue dan le ca du régime aériodique mai ce ca e imoible dan la réalié: on ne eu avoir une valeur réelle de m exacemen égale à! 74 Réone à une rame 74 Premier ordre a e a u a τ ene à l origine lim ' lim ² aymoe lim ² ² a τ lim end ver a-τ, le erme τe -/ τ e raiquemen éein au bou de 4τ Pour connaîre comlèemen, il fau décomoer en élémen imle: a τ a a τ a τ - τ L - a - τ τe τ u car de raînage ε v : Pour ε lim [ e ] v aτ Pour ε v va varier our Prof_ii le 3//3
Modéliaion de LCI T e e ε v at e < > O -at T T T 74 Deuxième ordre Avec e au, oi a ², on a a H z ² ² ² De la même manière que récédemmen, la décomoiion de déend de racine du dénominaeur D, donc de z La réone e foncion de qui déend de z : Ca z > : régime aériodique - La réone emorelle e a - T - T T e T - T e T avec T n z - z² - e T T - T n z z² - Ca z : régime aériodique criique [ ] a - T T e - T u avec T n Ca z < : régime ocillaoire n n u z z n a e in n - z² Φ u avec Φ Arc an n n - z² - z² z L allure de la réone emorelle reemble à celle du remier ordre en régime ermanen z La réone end aymoiquemen ver une droie d équaion a L écar de raînage ε V end ver l infini lorque e différen de : le yème ne ui a L écar de raînage ε v end ver za lorque n Il augmene roorionnellemen à l amoriemen e inveremen roorionnellemen à la ulaion non amorie n Prof_ii le 3//3
e a u Modéliaion de LCI z< z z> z y a- n 8 Idenificaion d un modèle de comoremen à arir d une réone à un échelon 8 Princie Lorque le loi de comoremen ne on a connue ou ro comlexe, on eu rocéder à de idenificaion de courbe de réone enrée yème Réone du yème Modèle qui eu convenir e LCI Modèle remier ordre non reardé LCI Modèle remier ordre reardé LCI3 3 Modèle deuxième ordre aeriodique LCI4 4 Modèle deuxième ordre eudo eriodique Lorque le choix du modèle e effecué, il fau idenifier le différen aramère Prof_ii 3 le 3//3
Modéliaion de LCI 8 Idenificaion d un remier ordre non reardé La réone d un yème du ier ordre à un échelon d amliude e définie ar l équaion : e τ u u reréene la foncion échelon uniaire où Déerminaion du gain : Il e li direcemen ur la courbe réone car Déerminaion de la conane de em τ : - Par la angene à l origine τ Aelon y la foncion qui définie la angene à la courbe à l inan : y τ τ ' τ e e lim ene ou en ou oin de la courbe réone Calculon l inan ou cee droie coue l aymôe : y Tr Par le em de réone à 5% : τ 5% 3 i la réone e ro erurbée our racer la angene ou évaluer le em de réone on eu rocéder comme ci-deou : on race T c en foncion de c T T T c T τ τ e e τ τ τ e e e Il agi d une droie de coefficien direceur τ e T c Prof_ii 4 le 3//3
Modéliaion de LCI Pene a T τ ln a 83 Idenificaion d un remier ordre reardé La réone d un yème du ier ordre reardé à un échelon d amliude e définie ar l équaion : T τ e u T où u-t reréene l échelon uniaire reardé de l inan T 84 Idenificaion ar un ème ordre aériodique La réone d un yème du ème ordre aériodique à un échelon d amliude e définie ar l équaion : τ τ τe τ e τ τ u on uoera τ > τ Prof_ii 5 le 3//3
Modéliaion de LCI lim Déerminaion du gain : Il e li direcemen ur la courbe réone car Déerminaion de conane de em τ τ e τ: i τ << τ on fera le choix d une modéliaion ar un remier ordre reardé A l inan bien arè le oin d inflexion on eu déerminer τ ar l éude de la angene à la courbe e τ en τ τ e τ τ meuran la orie i la réone e erurbée, on eu uilier une méhode imilaire à celle emloyée our le ier ordre mie en œuvre lu délicae e réula moin ne Dè qu'on 'éloigne de, le yème du econd ordre e comarable à un remier ordre Au débu de l'évoluion, le remier ordre réagi lu vie ene à l'origine non nulle 85 Idenificaion ar un ème ordre eudoériodique La réone d un yème du ème ordre eudoériodique à un échelon d amliude e définie ar l équaion : e z z z in z arcan u z Prof_ii 6 le 3//3
Modéliaion de LCI lim Déerminaion du gain : Il e li direcemen ur la courbe réone car π z z Déerminaion du coefficien d amoriemen z : D e % Déerminaion de la ulaion rore : π T z Prof_ii 7 le 3//3
Modéliaion de LCI 9 Analye harmonique 9 Princie L analye harmonique d un yème conie à lui aliquer une enrée e inuoïdale, noée e in Vocabulaire : e l amliude du ignal, d unié celle de e, oiive e la ulaion en rad/ ou avec π f π, définie en donnan la fréquence T f en Hz ou la ériode T en econde e Dan le ca d un yème able, une foi le régime ermanen aein, la orie e égalemen inuoïdale, de même ulaion On noe alor : in ϕ comlexe : Pour lu de imlicié, comme en hyique, nou inroduion le noaion j e e e Im e avec j ϕ e Im Nou avon alor clairemen : jϕ e e L analye harmonique inéree donc aux deux quanié : *, raor de amliude e * arg ϕ, déhaage enre la orie e l enrée e Rael : Un yème dynamique, coninu, linéaire, invarian, monovariable e décri ar une équaion différenielle linéaire, à coefficien conan de la forme uivane : e yème n m d d d e de an a a bm b be d d d d Le yème hyique vérifien oujour n m n remlaçan le foncion emorelle ar le foncion comlexe, on rouve Prof_ii 8 le 3//3
m b b j bm j H j n a a j a j e n Modéliaion de LCI concluion: Lorqu un yème able e ollicié ar un ignal inuoïdal, la orie e égalemen inuoïdale, le ulaion on le même e : Le raor de amliude e le module de la foncion de ranfer harmonique : H j 9 Lieux de ranfer Le déhaage de la orie ar raor à l enrée e l argumen de la foncion de ranfer harmonique : ϕ arg H j Le lieux de ranfer on de reréenaion grahique de H j j ϕ e 9 Lieu de Nyqui informaion Im H j G ϕ Re H j C e la reréenaion dan le lan comlexe de H j 9 Lieu de Black informaion Ce diagramme en coordonnée caréienne réene en abcie la hae ϕ en degré e en ordonnée le gain G db en décibel Comme le lieu de Nyqui, le lieu de Black doi êre gradué en fréquence ou en ulaion Prof_ii 9 le 3//3
gain db db Modéliaion de LCI -8-9 db hae - db - db -3 db -4 db -5 db 93 Lieux de Bode fondamenal Il agi de courbe graduée, don le abcie on de axe gradué en log, c e à dire log, qui donnen : Le gain H j exrimé en db, c e à dire : GdB log H j La hae arg H j, exrimée en degré ou en radian Une exloiaion comlèe néceian une viion imulanée de deux courbe, elle figuren ur un même grahique Remarque Inérê de l échelle log Un de inérê de l uiliaion du logarihme our le module e que le rodui de module e remlacé ar une omme Par conéquen la reréenaion d une foncion de ranfer comlexe ourra êre effecuée facilemen à arir d un rodui de erme élémenaire De la même manière, l argumen era obenu facilemen en faian la omme de argumen de erme élémenaire L axe de abcie e gradué ur une échelle logarihmique our imlifier la reréenaion de la courbe de gain erme en Log e our ouvoir reréener une grande lage de meure Prof_ii 3 le 3//3
Modéliaion de LCI 4 courbe de gain décade Gain db - -4-6 -8,, rad/ Une décade correond à une mulilicaion ar en ulaion Proriéé de diagramme de Bode Produi de foncion de ranfer : Tracé aymoique : uoon que H j F j G j alor : H j F j G j n conéquence, nou avon : log H j log F j log G j Le courbe de gain addiionnen arg H j arg F j arg G j Le courbe de hae addiionnen Ce diagramme e dérivé du diagramme de Bode en remlaçan le courbe ar leur aroximaion aymoique Plu clair, ce diagramme ermeen d'arécier globalemen le comoremen du yème modélié à % ou % rè: come enu de imréciion ur le valeur réelle de aramère du modèle, une elle réciion 'avère ouven uffiane Le calcul e fon our ; ; Prof_ii 3 le 3//3
Modéliaion de LCI db db db courbe de gain - db courbe aymoique - db -3 db courbe aymoique rd/ -9-8 courbe de hae 93 Premier ordre Rerenon H Nou avon alor τ H j τj j Tracé réel n général il e long e faidieux De logiciel le fon rè bien Voir Didacyde i l on veu racer le lieu réel courbe liée ur le racé ci-deu, on exrime analyiquemen le gain e la hae de la foncion de ranfer harmonique H j e d aure ar : G db log log arg H j arg j arcan / n F db ϕ Remarque Log aymoe bae fréquence Log - 3db -45 ulaion de couure Log-Log/ n -9 aymoe haue fréquence Remarque : Prof_ii 3 le 3//3
Le deux aymoe à la courbe de gain e couen à l abcie n la courbe réelle ae ar le oin uivan : Modéliaion de LCI le racé de la hae e ymérique ar raor au oin n,-45 ; la angene au oin de ymérie coue aymoe à n /4,8 e ar ymérie aymoe -9 à 4,8 n ; le diagramme aymoique eu êre amélioré en raçan la angene au oin d inflexion 94 Idenificaion d un modèle du remier ordre à arir de la réone harmonique 94 L aymoe horizonale erme de rouver Prof_ii 33 le 3//3
Modéliaion de LCI La ulaion de couure erme de rouver τ C On a Φ τ 45 A en db log 3 diagramme aymoique log - log / C τ diagramme de gain O Φ en degré C τ diagramme aymoique -45-9 diagramme de hae 95 Réone harmonique d un modèle du deuxième ordre Rerenon H Nou avon alor H j m m j H j Il exie une réonance our Démonraion : m m H j D m Il exie un maxima i la dérivée ' 3 D ' D D D ' 3 D ' H j annule m Arg H j Arc an e cee dérivée annule our D m m ' ' Prof_ii 34 le 3//3
Il exie un maxima our m c e à dire our m Modéliaion de LCI Conrucion : F j n 8 i > j ε F la courbe e au-deou de l'aymoe 8 i < j ε F la courbe e au-deu de l'aymoe F j n 8 F db Log 4Log n aymoe haue fréquence -4db/décade Ca où m > G db log log m -4 db / décade log ϕ log π π Prof_ii 35 le 3//3
Ca où m Modéliaion de LCI G db log m m log -4 db / décade log max m grande Pour z donné, la fréquence de couure C e donc la bande aane, on d auan lu grande que la fréquence rore e grande Raidié e bande aane évoluen dan le même en Tracé our La foncion de ranfer réene deux ôle réel : F j j j On eu conidérer que le yème du deuxième ordre e équivalen à la ueroiion de deux yème du remier ordre Dan le lan de BOD le racé aymoique e conrui en ajouan le racé de deux yème du remier ordre ϕ F db Log arcan arcan Log Log Log Prof_ii 36 le 3//3
Modéliaion de LCI 96 Idenificaion d un modèle du deuxième ordre à arir de la réone harmonique L aymoe horizonale erme de rouver Le diagramme de hae erme de rouver On a Φ 9 Le diagramme de gain erme de rouver Ca où > : GdB log our m Ca où : A max our r n Prof_ii 37 le 3//3
Modéliaion de LCI Prof_ii 38 le 3//3