AVERTISSEMENT. D'autre part, toute contrefaçon, plagiat, reproduction encourt une poursuite pénale. LIENS

AVETISSEMENT Ce docuent est le frut d'un long traval approuvé par le jury de soutenance et s à dsposton de l'enseble de la counauté unverstare élarge. Il est sous à la proprété ntellectuelle de l'auteur. Cec plque une oblgaton de ctaton et de référenceent lors de l utlsaton de ce docuent. D'autre part, toute contrefaçon, plagat, reproducton encourt une poursute pénale. llcte Contact : ddoc-theses-contact@unv-lorrane.fr LIENS Code de la Proprété Intellectuelle. artcles L. 4 Code de la Proprété Intellectuelle. artcles L 335.- L 335.0 http://www.cfcopes.co/v/leg/leg_dro.php http://www.culture.gouv.fr/culture/nfos-pratques/drots/protecton.ht

UNIVESITE DE LOAINE ECOLE DOCTOALE "Inforatque, Autoatque, Electronque-Electrotechnque, Mathéatques" Départeent de Foraton Doctorale "Electronque/Electrotechnque" THESE de N attrbué par la bblothèque _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ DOCTOAT DE L UNIVESITE DE LOAINE Spécalté : Géne Electrque par Wattana KAEWMANEE MODELISATION DES PILES A COMBUSTIBLE DANS UN ENVIONNEMENT D ELECTONIQUE DE PUISSANCE Soutenue publqueent le 08 ars 0 Mebres du Jury apporteurs : Mare Cécle PEA (Présdent) Stéphan ASTIE Exanateurs : Olver BETHOUX Phatphat THOUNTHONG Melka HINAJE Bernard DAVAT Thèse préparée au sen du Groupe de echerche en Electrotechnque et Electronque de Nancy Ecole Natonale Supéreure d Electrcté et de Mécanque

Préabule Ce docuent présente une parte des travaux de recherche que nous avons réalsés dans le cadre de l Insttut d Innovaton Franco-Thaïlandas (IIFT ou plus counéent TFII pour Tha-French Innovaton Insttute). Exstant depus 990, cet nsttut coprend pluseurs départeents (Corroson, Energe, Métrologe, Productque, Soudure, Technologes électronque et électrque) collaborant chacun avec un ou pluseurs centres technques ou unverstés et pluseurs ndustrels. Pour le départeent des Technologes électronques et électrques, c est l Insttut Natonal Polytechnque de Lorrane (INPL) qu depus une dzane d années nous apporte une ade en parallèle avec le support d ndustrels coe Schneder Thaland Lted. La collaboraton avec l INPL a pers au travers d un Prograe d Acton Intégré (PAI France-Thaïlande 003-005) du Mnstère des Affares Etrangères franças et de son hoologue thaïlandas de développer la foraton de Master et de Doctorat ans que la recherche dans le doane du géne électrque. Un Prograe Hubert Curen (PHC 009-00) est actuelleent destné à développer des travaux de recherche autour de la ple à cobustble. Depus jun 005 je sus ensegnant au départeent de foraton des ensegnants en géne électrque à la faculté des ensegneents technques de l Unversté Kng Mongkut de Bangkok. Mon servce d ensegneent est d envron 0h par seane. J a coencé es travaux de recherche sur la ple à cobustble en novebre 008 au sen du laboratore GEEN. Cette thèse a été effectuée en alternance entre la France et la Thaïlande conforéent aux accords et à la bourse que l abassade de France a accordée. Ma preère année de thèse s est déroulée en France, pus je sus repart une année en Thaïlande et enfn 6 os au GEEN afn de fnalser es travaux. En rason du contexte, ce anuscrt a donc été rédgé en anglas et coporte un résué étendu en franças placé au début de la thèse. Ce résué reprend l ntroducton et la concluson de la thèse et décrt les dvers chaptres qu la coposent.

To y father, Leutenant Colonel Tanakorn KAEWMANEE, and to the eory of y other

Acknowledgents The preparaton of ths thess was ade possble by the gudance of y thess advsor, Professor Dr. Bernard DAVAT, and co-advsors, Dr. Melka HINAJE and Assocate Professor Dr. Phatphat THOUNTHONG. I would lke to thank each of the for ther patent and generously support. I also would lke to thank Professor Dr. Stéphane AEL for hs valuable suggeston. I would lke to thank Professor Dr. Fard MEIBODY-TABA, Professor Dr. Nourredne TAKOABET, Professor Dr. Serge PIEFEDEICI, Professor Dr. Dens NETTE, Dr. Babak NAHIDMOBAAKEH, Dr. Jean-Phlppe MATIN, Dr. Julen FONTCHASTAGNE, and M. Jean-Paul CAON for ther lectures. I owe a great debt to Assstant Professor Dr. Panart SETHAKUL, Mss Sukanjana LEKPAT, Mr. Matheepot PHATTANASAK, and Dr. Paraaporn CHIEWPATANAKUL who have been of great help durng the preparaton of ths work. I wsh to express y apprecaton to y colleagues who asssted e durng the preparaton of ths thess. Aong the, I would partcularly lke to thank Sylve COLINET, Latfa ZOUA, Fad SHAIF, Sophe GUICHAD, Isabelle SCHWENKE, Fabrce TESSON, Olver BEY, Majd ZANDI, oghayeh GAVAGSAZ, Dnh An NGUYEN, Dane LEBLANC, Tng Tng DING, Sa ZAIM, Perre MAGNE, aphaël ANDEUX, Ncolas LEBOEUF, Ahed Ed Moussa SHAHIN, Ehsan JAMSHIDPOU, Al ZENATI, Erc KENMOE-FANKEM and all those that I have forgotten. Fnally, I would lke to acknowledge the Tha-French Innovaton Insttute, the KMUTNB, the ENSEM, the INPL and the French governent who generously gave the fnancal support durng y Ph.D. progra.

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Secton A Abrdged Verson of the Thess n French

Soare. Introducton 6. Modèles ple à cobustble de type PEM (PEMFC) 7.. Modélsaton EDP 7.. Modèle eprque ou se-eprque 8..3 Modèle crcut équvalent 8..4 Modélsaton orentée contrôle 9. Objectf de cette thèse 9. Modèle de type crcut électrque equvalent 0. Descrpton Physque d une onocellule. Analoge de systèe physque.3 Modèle des canaux transportant les gaz.3. Eléent de dsspaton.3. Eléent d accuulaton de atère 4.3.3 Modèle crcut de dffuson d un gaz pur dans des canaux à secton rectangulare ou crculare 4.3.4 Modèle crcut de canaux de transports à secton rectangulare d un élange gazeux 5.4 Modèle de la couche de dffuson 0.4. Modèle crcut des couches de dffuson ssu de l équaton de Stefan- Maxwell.4. Eléent d accuulaton de atère dans la couche de dffuson 5.4.3 Dffuson de Knudsen dans les couches de dffuson 5.4.4 Modèle crcut de la dffuson de Knudsen 6.4.5 Cobnason de la dffuson et de la convecton dans le odèle crcut de la couche de dffuson 8.5 Modèle de la couche de réacton 9.5. éacton électrochque à l anode 9.5. éacton électrochque à l anode 30.5.3 Potentel réversble de l enseble de la cellule 30.5.4 Effet de double couche aux électrodes 3.5.5 Modèle crcut de la couche de réacton 3.6 Modèle de ebrane 33.6. Modèle athéatque de la ebrane 33.6. Modèle crcut de la ebrane 34.6.3 Eléent d accuulaton de atère 35.6.4 Modèle crcut coplet de la ebrane 36.7 Modèle de cellule de PEMFC 38.8 Modèle d un stack 3 cellules 4.9 Concluson 43

3. Ipléentaton du odèle et résultats 44 3. Sulaton d une cellule de ple et résultats 45 3. Caractérstque statque V-I 54 3.3 Couplage à convertsseur élévateur 55 3.4 Concluson 58 4. Concluson 59 5. Annexes 5 6. éférences 56 3

Noenclature a actvté de l eau - a actvté de l espèce - a daeter du tube de gaz c c Tube t concentraton de l espèce concentraton du élange gazeux 3 ol/ 3 ol/ d dstance entre les plaques kg/ 3 f j facteur de frcton ( s) h hauteur j densté de courant A/ j 0,anode densté de courant d échange à l anode j 0,cathode densté de courant d échange à la cathoode A/ A/ k B constant de Boltzann J/K w largeur asse de la olecule de l espèce kg ṁ debt assque kg/s n drag coeffcent électro-osotque - n pore nobre equvalent de pore - n débt olare ol/s H O, dff p presson partelle de l espèce Pa t épasseur de la eebrane u vtesse de l espèce /s v vtesse oyenne l espèce /s x fracton olare de l espèce - A GDL are de la secton transversal d une GDL C capacté électrque F C capacté equvalente de la GDL 3 /Pa GDL C Capacté de Helholtz F C H H O, C H O, DH O, D H O, D j λ capacté équvalente lée à la teneur en eau µ capacté équvalente lée au potentel électrochque λ coeffcent de dffuson de l eau dans la ebrane ol/ ol /J /s µ coeffcent de dffuson de l eau lé au potentel électrochque ol /(J..s) coeffcent de dffuson banre de Stefan-Maxwell between eff D j coeffcent de dffuson effectf /s /s D K coeffcent de dffuson de Knudsen /s E Tenson en crcut ouvert V OCV E Ο r reference potental at the standard state V 4

E r potentel réversble V EW asse equvalent de la ebrane kg/ol F constant de Faraday C/ol J densté de courant A/ K O facteur géoétrque des pore - L longueur ol/ N HO flux d eau ( s) N H + flux de proton ol/ ( s) N flux olare de l espèce ol/ ( s) P ch presson totale au leu du canal Pa P presson de vapeur saturante Pa Q sat debt voluque 3 /s constant des gaz parfat J/ ( K ol) ch résstance hydraulque du canal 3 Pa s/ résstance équvalente lée au potentel électrochque µ J s/ol H O, H + réstance onque de eebrane Ω 4 j résstance équvalente de dffuson de Stefan-Maxwell kg/ ( s) 4 K résstance equvalente de dffuson de Knudsen kg/ ( s) H hudté relatve % T tepérature K V volue du canal ch V volue du gaz gas Greek Sybols α coeffcent de transfert de charge à l anode - β coeffcent de transfert de charge à la cathode - ε porosté du leu - ε perttvté F/ 0 ε r perttvté relatve de la soluton - η vscosté dynaque Pa s η surtenson V η dstance par unté - λ teneur en eau - µ potentel électrochque de l eau dans la ebrane J/ol ρ HO asse voluque du flude ρ dry asse voluque de la ebrane sèche 3 3 3 kg/ 3 kg/ σ H + conductvté onque S/ τ tortuosté du leu - 5

Chaptre Introducton 6

. Modèles ple à cobustble de type PEM (PEMFC) Le fonctonneent d une PEMFC est très coplexe, un certan nobre de paraètres ou de condtons opératores affectent ses perforances et sa durée de ve. Les odèles de ples perettent de eux coprendre l nfluence de ces paraètres et leur répercusson. Ils ont égaleent pour but de prédre le coporteent de la ple à dfférentes sollctatons. Le degré de splfcaton dépend des objectfs et de l applcaton vsés. La ple à cobustble est un convertsseur électrochque, de ce fat sa odélsaton est ult-physque. Elle fat ntervenr l électroche, la écanque des fludes, la therque et le géne électrque. Pusque chaque phénoène dans les PEMFC est forteent couplé à l'autre, chaque type de odèle de PEMFC a quelques ntersectons avec l'autre, de sorte que, la catégorsaton du odèle de ple à cobustble n est pas tout à fat défntve. Les prncpaux types de odèle PEMFC sont présentés coe sut... Modélsaton EDP Fgure - Un exeple de résultat de sulaton ssu de la résoluton du odèle EDP [] Ce type de odèle repose sur les équatons de la physque, qu décrvent les phénoènes réels d une cellule de ple à cobustble [-]. Le odèle peut représenter la cellule entère ou juste une parte spécfque [-5]. Le odèle peut être une, deux ou tros densons [6-0] et basé sur des hypothèses dfférentes, telles que, avec ou sans changeent de phases, sotheres ou non sotheres [7, 0- ]. Pusque ce type de odèles est forteent non lnéare et coplexe, l est 7

généraleent résolu par la éthode des éléents fns qu exge un teps de calcul assez conséquent [6]... Modèle eprque ou se-eprque Le odèle eprque est égaleent connu en tant que odèle coporteental. Le odèle est basé sur le coporteent expérental observé auquel le systèe réel répond à dfférents stul [3-33]. Les courbes expérentales sont ensute approxées à l ade de fonctons athéatques de types exponentelle, logarthe, ou polynoale. L'avantage du odèle eprque est sa splcté. Le odèle, qu représente la caractérstque statque d'une cellule, peut être juste une équaton d une lgne. Une des équatons de caractérstque statques les plus sples est présentée en [3] où : EOCV E = I + Ih α (-) Dans cette équaton, paraètres d'ajusteent. E OCV est la tenson en crcut ouvert, Ih et α sont les Pusque le odèle est développé à partr de la réponse observée de la cellule, le odèle ne fournt pas un len solde entre les paraètres physques, par exeple la tepérature de la cellule, l'hudté relatve de l'ar à l'entrée ou la talle des pores du leu poreux, et les coporteents de la cellule. De nobreux chercheurs tentent de créer un odèle eprque qu ntègre certanes des proprétés physques des cellules. Ce type de odèles est consdéré coe un odèle se-eprque. La volonté d approxer au plus près le coporteent de la ple aboutt à des odèles de plus en plus coplexes. La dfférence entre le odèle se-eprque et le odèle physque est que le odèle eprque repose toujours sur les données esurées et les paraètres d ajusteent...3 Modèle crcut équvalent Ce odèle est étroteent lé au odèle eprque. La prncpale dfférence est que le len entre le stulus et la réponse n'est pas représenté par une foncton athéatque, as par un crcut électrque [6, 34-50]. Le odèle exge ons de teps de calcul que celu basé sur les phénoènes de transport de asse et de charge (équatons aux dérvés partelles). Il ntègre égaleent de anère transparente le couplage d une cellule à un convertsseur de pussance. Ce type de odèle est adapté aux applcatons en géne électrque. Dans la lttérature, les odèles de type crcut équvalent peuvent être classés en deux grandes catégores. Le preer est le crcut classque où les éléents sont dentfés grâce à la réponse fréquentelle (fgure -), [40, 45, 46, 49, 50]. Ce type de odèle se retrouve souvent en électroche. L'autre est celu qu reprodut la courbe caractérstque de la ple à cobustble [6, 9, 34, 35, 38, 39, 4-44, 47, 48]. 8

Anode Mebrane Cathode C dl,a C dl,c r ra ZW,a rc ZW,c Fgure - Un odèle de crcut électrque équvalent d une cellule de PEMFC [3]..4 Modélsaton orentée contrôle Ce type de odèle est développé à des fns de concepton de contrôle [6, 9, 49, 5-55]. C est généraleent une verson lnéarsée du odèle physque autour d un pont de fonctonneent. Le odèle est généraleent sous la fore d'équatons d état qu est confore aux dverses éthodes conventonnelles ou odernes de concepton du contrôle.. Objectf de cette thèse Les ples à cobustble de type PEM sont des sources basses tenson à dynaque lente. Le raccordeent drect d une ple à cobustble à une charge conventonnelle peut être probléatque. Les concepteurs en charge de densonner des convertsseurs de pussance destnés à transettre l'énerge électrque provenant de la ple à la charge sont des électrotechncens. Afn d'étuder et de vérfer leur concepton, ces personnes ont beson d'un odèle de type PEMFC qu pusse être facleent ntégré à leurs nouveaux crcuts de pussance. Pusqu ls ont à suler le coporteent du systèe ple à cobustble / convertsseur et ce pendant un teps ncalculable avant d arrver à obtenr une soluton correcte, un des crtères de chox du odèle devrat être le teps de calcul. Les odèles physques qu sont développées par les électrochstes ou par les écancens sont dffcleent utlsables pour des électrcens. Par alleurs, ce genre de odèles utlse souvent coe éthode de résoluton les éléents fns qu est non seuleent gourande en éore et en teps de calcul as égaleent ncopatble avec des sulatons de types crcuts. C'est pourquo le odèle de type eprque est préféré par les électrcens. Le odèle eprque est sple et nécesste un fable teps de calcul. Cependant, l'nconvénent du odèle eprque est l'absence de prse en copte des phénoènes électrochques et de transport qu peuvent s'avérer utle dans la concepton des crcuts de pussance. Par alleurs, pusque le odèle est basé sur des données esurées, tous les paraètres physques de la cellule ne peuvent être ajustés de anère à vor les dfférentes nteractons entre la ple et l électronque de pussance qu lu at assocée. Le but de ce traval est donc de cobler cette lacune. Un odèle de type crcut qu ntègre les écanses fondaentaux de la PEMFC et qu sot copatble avec des sulatons de crcuts est c notre objectf. 9

Chaptre Modèle de type crcut électrque équvalent 0

Ce chaptre présente le développeent d'un odèle de type crcut équvalent de la ple PEMFC. Nous allons coencer par la se en place des exgences du odèle en présentant une structure conceptuelle de la cellule. Cela garantt que nous avons la êe age de la structure cellulare dans nos esprts. La prochane étape est la dscusson sur le concept d'échange d'énerge qu sera largeent utlsée à travers le chaptre. Nous allons explcter le odèle de crcut parte par parte en coençant par les canaux, pus la couche de dffuson de gaz et la couche de réacton et en ternant par la ebrane. Les odèles de crcut éléentares ans obtenu seront ensute cobner pour forer le odèle ono-cellulare. Enfn, le odèle de ple à 3 cellules sera présenté.. Descrpton Physque d une onocellule Le odèle est quelque chose qu te le systèe réel. La nature du odèle est d'avor ons de détals que le systèe réel. Le nveau de splfcaton, qu a un effet drect sur la coplexté du odèle, dépend de l'objectf ou de l exgence du odèle vsé. Alors que, la preère étape de la odélsaton est d'nstaller l'exgence et les crtères du odèle. Dans cette thèse, nous cherchons à construre le odèle D d une PEMFC qu révèle du coporteent des transports de gaz dans les canaux, et dans les couches de dffuson. Le transport de l'eau dans la ebrane et la réacton chque dovent auss être ntégrés dans le odèle. Nous supposons que la tepérature de la cellule est constante et que l'eau dans la cellule est seuleent en phase gazeuse. À partr de ces exgences, nous splfons le systèe réel pour devenr une structure conceptuelle coe ndquée sur la fgure -. Le odèle d une ple copose de 3 cellules (ou stack de 3 cellules), qu est notre objectf fnal, est consdéré coe une verson étendue de cette structure. Fgure - Structure d une PEMFC utlsée dans ce traval

. Analoge de systèe physque Le concept d échange d'énerge est très connu et utlsé dans la odélsaton ultdscplnare [56]. L énerge crcule d un systèe à un l autre va un port d énerge, coe le ontre la fgure -. Le transfert d énerge a deux varables assocées, l'une des varables représente le flux d énerge et l'autre représente l'effort ou la force qu crée le flux. Le produt de ces deux varables est une pussance nstantanée, c'est-à-dre la proporton d'énerge transférée va le transfert d énerge par unté de teps. Energy Source Energy Energy Energy Energy Source Syste Syste Energy Snk Energy Energy Energy Snk Fgure - eprésentaton des systèes physques en éléents de transfert d'énerge.3 Modèle des canaux transportant les gaz Selon le prncpe du transfert d'énerge et les varables du systèe, l est connu que la presson du flude correspond un effort et le débt voluque à un flux. Le produt de ces deux varables est le traval fourn au systèe par unté de teps.3. Eléent de dsspaton Dans un crcut électrque, la résstance est consdérée coe un éléent de dsspaton d'énerge qu se tradut par une chute de tenson le long de la trajectore d'écouleent. De la êe anère, l'énerge du flude est égaleent dsspée le long du parcours du flude ce qu se tradut par une chute de presson dans le canal. Tout coe la lo d'oh pour les crcuts électrques, la lo de Hagen-Poseulle [57] décrt la relaton entre la chute de presson à travers un canal de flude, et le débt voluque du flude, coe sut : P = ch Q (-) où ch représente la résstance hydraulque du canal. Cette valeur dépend des proprétés du canal et du flude.

Fgure -3 Secton transversale crculare d un canal h Fgure -4 Secton rectangulare transversale d un canal Pour le systèe ple à cobustble, l exste prncpaleent deux types de canaux d acheneent des gaz qu sont de sectons crculares ou rectangulare. Un tube utlsé pour véhculer les agents oxydants et réducteurs d'un pérphérque à un autre sont généraleent de secton crculare. Les canaux de secton transversale rectangulare peuvent être trouvés à l'ntéreur de certans apparels, par exeple, une plaque dstrbutrce de gaz d une cellule de ple à cobustble. La résstance hydraulque d un canal rectlgne crculare est llustrée en fgure -3 : ch 8 = ηl a 4 π (-) où a est le rayon, L est la longueur du canal, et η est la vscosté dynaque du flude. Pour le canal drot avec secton rectangulare coe le ontre la fgure -4, la résstance hydraulque est :. η L = (-3) ch 3 0.63 h / w h w ( ) 3

où h et w sont la hauteur et la largeur du canal. La forule est vérfé pour w > h, s w < h, on peut fare une rotaton du canal pour passer de w à h..3. Eléent d accuulaton de atère Dans les systèes électrques, l'éléent de stockage de flux est un condensateur et sa capacté est défne coe sut : (Charge électrque) C = d d(potentel) (-4) Ans la capacté équvalente pour le systèe de flude est lttéraleent défne coe sut : C ch d = ( Volue du gaz) d ( Presson ) (-5) Coe nous supposons que les paros des canaux sont rgdes, le volue des canaux est constant, et les canaux se coportent coe un réservor pressursé. Pour un processus sothere gazeux, où la tepérature du gaz est constante : dv gas dp Vch = P (-6) Ans, la capacté de canal équvalente est défne par : C ch V P = ch (-7).3.3 Modèle crcut de dffuson d un gaz pur dans des canaux à secton rectangulare ou crculare Pour un canal rectlgne, l'effet capactf des canaux peut apparaître ndépendaent de la drecton du flude. Ans, la capacté pour le odèle de crcut devrat être placée au leu de la résstance estée du canal [47]. Cela peut être fat en dvsant la résstance du canal en deux résstances ; chaque résstance représente la oté de la résstance du canal (une résstance du canal de l'entrée ou de la sorte au pont leu du canal). Coe le flude est défn coe un gaz pur, l n'y a qu'une seule presson dans le systèe et une seule capacté est nécessare pour représenter la dynaque du systèe. La capacté équvalente est connectée au pseudo-pont leu coe le ontre la fgure -5. A noter que le êe crcut peut être utlsé dans le cas d un élange gazeux, s le pourcentage de chaque éléent du élange reste constant le long du tube. 4

Qn hyd / hyd / Qout Pnlet C hyd P ch Poutlet Fgure -5 Crcut équvalent d un canal rectlgne.3.4 Modèle crcut de canaux de transports à secton rectangulare d un élange gazeux Les gaz qu s écoulent dans les canaux de ple à cobustble de type PEM sont généraleent des élanges gazeux. Du côté cathode, le gaz est le plus souvent de l'ar hudfé. Côté anode, ben que l on alente en hydrogène pur à l'entrée de la cellule, le gaz à l'ntéreur de celle-c est en réalté un élange d'hydrogène et de vapeur d'eau qu provent de la dffuson de l eau de la cathode vers l'anode à travers la MEA. Lorsque le gaz a passé l'entrée du canal, le gaz alente la couche de dffuson (GDL) va un canal spécal qu s'appelle canal d'écouleent. Le canal d'écouleent a seuleent tros paros rgdes. La quatrèe face correspond à la surface de la couche de dffuson, qu peret le passage des gaz au travers. Chaque espèce du élange de gaz est consoée ou produte dans le canal à des rythes dfférents. Cela affecte clareent le rapport entre chaque espèce dans le canal, en partculer à bas débt. Par conséquent, le odèle essentel du canal présenté dans la fgure -5 n'est pas suffsant pour représenter le canal d'écouleent et le canal qu le précède. Nous allons coencer à développer un odèle de canal plus appropré en tenant copte des canaux côté anodque. Nous supposons que le gaz d'entrée est un élange d'hydrogène et de vapeur d'eau. Toutefos, avant de déarrer, les deux espèces hydrogène et vapeur d'eau ne sont pas entrées dans le canal, l seble être faux de supposer que le canal est coplèteent vde, c'est-à-dre sous vde. Dans la plupart des cas, les canaux à l'anode sont généraleent repls d'ar ou d'azote avant le déarrage. Deux solutons à ce problèe sont : ) Évter la pérode de déarrage en supposant que l'hydrogène est déjà présent dans le canal, ) ntrodure la trosèe espèce dans le odèle. Dans ce traval, nous supposons que l'azote ne partcpe nulleent à la réacton, un gaz non réactf, et occupe coplèteent le canal avant de déarrer la cellule. A partr de des hypothèses que nous avons fates, nous soes antenant prêts à poser les équatons régssant le odèle du canal à l anode. Nous consdérons en preer leu que la presson au leu du canal P ch est défnt coe sut : P = p + p + p (-8) ch H ( ch) HO ( ch) N ( ch) Chaque presson partelle est une conséquence du débt total de chaque espèce et de la capacté du canal. Les relatons peuvent s écrre de la anère suvante : 5

d p dt d p dt d p dt Q = H ( stored ) H ( ch) Cch Q = H O ( stored ) HO( ch) Cch Q = N ( stored ) N ( ch) Cch (-9) (-0) (-) où les débts totaux replssant le canal s écrvent : P P Q = Q Q (-) nlet outlet H ( stored ) H ( n) H ( out ) Pch Pch P P Q = Q Q (-3) nlet outlet H O( stored ) H O( n) H O( out ) Pch Pch P P Q = Q Q (-4) nlet outlet N ( stored ) N ( n) N ( out ) Pch Pch Coe l est dffcle de cobner la dynaque des tros tensons couplées en un seul condensateur, nous essayons de replacer le condensateur dans le odèle de la fgure -5 par une source de tenson dépendante coe le ontre la fgure -6. Qn ch / ch / Qout Pnlet P ch Poutlet P = p + p + p ch H ( ch) HO( ch) N ( ch) Fgure -6 Modèle odfé du crcut équvalent du canal Le débt d'entrée de chaque espèce, est anfesteent proportonnel au débt du élange gazeux entrant, Q n, et la fracton olare de chaque espèce à l'entrée. Nous supposons que les proportons de chaque espèce consttuant le élange gazeux à l'entrée sont contrôlées par un dspostf externe, et donc la fracton olare de chaque espèce est constante. Nous pouvons écrre : Q = x Q (-5) H ( n) H ( n) n Q = x Q (-6) H O ( n) H O ( n) n Q = x Q (-7) N ( n) N ( n) n Pusque la soe de toutes les fractons olares est égal à un, s écrt égaleent : Q = Q + Q + Q (-8) n H ( n) H O( n) N ( n) Qn 6

et en foncton des pressons coe : Q n Pnlet P ch Pnlet + P ch = ch Pnlet (-9) De la êe anère, pour la sorte des gaz : et : Q = x Q (-0) H ( out ) H ( ch) out Q = x Q (-) H O ( out ) H O ( ch) out Q = x Q (-) N ( out ) N ( ch) out Q = Q + Q + Q (-3) out H ( out ) H O ( out ) N ( out ) Le débt total du gaz en sorte s écrt : Q out Pch P outlet Pch + P outlet = ch Poutlet (-4) Cependant, les fractons olares de chaque espèce dans le canal ne sont pas nécessareent constantes. Ans, nous défnssons les fractons olares de chaque espèce dans le canal de la anère suvante : x x x H ( ch) HO( ch) N ( ch) ph ( ch) = Pch (-5) pho( ch) = Pch (-6) pn ( ch) = P (-7) ch Les équatons dérvées décrvent les écanses de transport de gaz dans le canal, et antenant nous soes prêts à construre le nouveau odèle de crcut équvalent. Les équatons (-9), (-), (-5), et (-0) aboutssent au odèle de sous-crcut représenté dans la fgure -7. De la êe anère, les équatons (-0), (-3), (-6) et (-) condusent à un odèle crcut représenté en fgure -8, et les équatons (-), (-4), (-7) et (-) au odèle du sous-crcut représenté fgure -9. Le odèle ult-espèces d un gaz, sous fore de crcut équvalent de l'enseble du canal côté anode, se copose des sous-crcuts présentés dans les fgures -6 à -9, fgure -0. Le êe processus peut être applqué aux canaux côté cathodque. Nous avons spleent changé la preère espèce d H en O. On obtent alors le odèle équvalent du canal d'écouleent (fgure -). 7

Q H ( n ) Q H ( out ) C p ch H ( ch ) Fgure -7 Modèle dynaque d une porton de canal coté H Q H O ( n ) Q H O ( out ) C p ch H O ( ch ) Fgure -8 Modèle dynaque d une porton de canal pour la crculaton d HO Q N ( n ) Q N ( out ) C p ch N ( ch ) Fgure -9 Modèle dynaque d une porton de canal pour la crculaton d N Q H ( n ) Q H ( out ) Q H O ( n ) Q H O ( out ) Q N ( n ) Q N ( out ) C p ch H ( ch ) C p ch H O ( ch ) C p ch N ( ch ) Qn ch / ch / Qout Pnlet P ch Poutlet P = p + p + p ch H ( ch) HO( ch) N ( ch) Fgure -0 Modèle crcut coplet d un canal d écouleent côté anode 8

Q O ( n ) Q O ( out ) Q H O ( n ) Q H O ( out ) Q N ( n ) Q N ( out ) C p ch O ( ch ) C p ch H O ( ch ) C p ch N ( ch ) Qn ch / ch / Qout Pnlet P ch Poutlet P = p + p + p ch O ( ch) HO( ch) N ( ch) Fgure - Modèle crcut coplet d un canal d écouleent côté cathode L'dée du odèle de canal ult-espèces peut être facleent applquée au canal d'écouleent. Nous avons entonné plus tôt que le canal d'écouleent est un canal spécal. Ce canal est un pett canal ntégré à la surface d'une plaque de graphte et recouvert par la couche de dffuson. Les prncpales fonctons de ce canal partculer sont d achener le gaz correspondant à la surface de la couche de dffuson de anère unfore et de recuellr ou de transettre des électrons à partr ou vers le ste de réacton, qu se stue à l nterface ebrane couche de dffuson. La prncpale dfférence entre un canal noral et un canal d'écouleent est que d'un côté du canal d'écouleent de chap est une paro poreuse. La paro poreuse peret à chaque espèce du élange gazeux d entrer ou de sortr du canal en êe teps. Ans, pour adapter le odèle crcut d un canal drot à un canal d écouleent, nous devons odfer les équatons (-), (-3) et (-4) coe sut : P P Q = Q Q Q (-8) nlet outlet H ( stored ) H ( n) H ( out ) H ( GDL) Pch Pch P P Q = Q Q Q (-9) nlet outlet H O( stored ) H O( n) H O( out ) H O( GDL) Pch Pch P P Q = Q Q Q (-30) nlet outlet N ( stored ) N ( n) N ( out ) N ( GDL) Pch Pch Le odèle crcut peut être odfé en ajoutant spleent une source de courant pour chaque capacté de canal. La source de courant représente une quantté d'espèce qu sort du canal en drecton des couches de dffuson. Le odèle crcut de canal d écouleent pour l'anode et la cathode est présenté respectveent en fgure - et -3. 9

GDL Q H ( GDL ) Q H O ( GDL ) Q N ( GDL ) Flow-feld channel Q H ( n ) Q H ( out ) QH O( n) Q H O ( out ) Q Q N ( n) N ( out ) C p ch H ( ch ) C p ch H O ( ch ) C p ch N ( ch ) Qn ch / ch / Qout Pnlet P ch Poutlet P = p + p + p ch H ( ch) HO( ch) N ( ch) Fgure - Modèle crcut coplet d un canal d écouleent côté anode GDL Q O ( GDL ) Q H O ( GDL ) Q N ( GDL ) Flow-feld channel Q O ( n ) Q O ( out ) QH O( n) Q H O ( out ) Q Q N ( n) N ( out ) C p ch O ( ch ) C p ch H O ( ch ) C p ch N ( ch ) Qn ch / ch / Qout Pnlet P ch Poutlet P = p + p + p ch O ( ch) HO( ch) N ( ch) Fgure -3 Modèle crcut coplet d un canal d écouleent côté cathode.4 Modèle de la couche de dffuson La couche de dffuson (GDL) est stuée entre la plaque dstrbutrce de gaz et la couche de réacton. La GDL est fate à partr de atéraux poreux, à travers laquelle les gaz réactfs dffusent. L ntéreur de la GDL est en contact avec la couche de réacton où se produt l oxydaton ou la réducton. Ce paragraphe sera axé d'abord sur la écanque de dffuson se déroulant dans le GDL, pus sur le odèle de crcut équvalent. 0

.4. Modèle crcut des couches de dffuson ssu de l équaton de Stefan- Maxwell Mantenant, nous allons établr des crcuts à partr de la dffuson de Stefan- Maxwell. Pusque le transport se fat par dffuson, nous supposons que la presson totale le long de la couche de dffuson est constante. La prse en copte du transport convectf sera tratée un peu plus lon. Selon le concept d'échange d'énerge dans les systèes physques, l seblerat que la varable d'effort est la fracton olare x, et la varable de flux est le flux olare N. Cependant, le produt de la fracton olare et du flux olare est la quantté qu a une autre unté que celle de la pussance. Pour fare une analoge correcte du crcut, l faut sélectonner une pare de varables plus approprées. Coe nous savons que des processus de dffuson sont plqués dans le déplaceent des olécules du flude, les varables du systèe sont censés être la presson et le débt voluque. Ans, nous odfons l'équaton de Stefan-Maxwell de anère à fare apparaître les varables entonnées précédeent. De la fore standard de l'équaton : qu est dérvée de : avec : et : d dz p d dz x x x n j j = N N (-3) j= ct Dj x x n j j = P N N (-3) j= ct Dj D x j P = (-33) f p P j = (-34) l équaton (-3) peut être réécrte : d dz p n p N j p j N = fj j= P ct P c t (-35) Nous avons antenant la presson partelle qu est la varable d effort du systèe cble. Coe ( N c ) t représente le débt voluque de l espèce par unté de surface, le débt voluque du systèe concerné est obtenu en ultplant les teres par la surface de dffuson coe sut :

d dz p n p A N j p j A N = fj j= P A ct P A c t (-36) Ou : d dz p f p A N p A N A P c P c n j j j = j= t t (-37) A N Le tere correspond au débt voluque de l espèce, ce qu peut être ct vérfé en consdérant ses untés : unt 3 3 A N x ol = c = t s ol s (-38) Nous pouvons égaleent odfer la dstance de dffuson pour être de valeur untare, notée η, où la valeur de base est l'épasseur de la couche de dffuson, qu est notée l : et où sa dérvée est : η = ( ) z z l (-39) 0 / d z = l dη (-40) En substtuant la dérvée η dans l équaton odfée qu devent : d p dη n l p A N j p j A N = fj j= A P ct P c t (-4) et : Défnssons : Q j l = fj A A N x x = ct (-4) (-43) l équaton précédente devent : d d ( ) (-44) n p = η j j= P p Qj p j Q

S l'on consdère que les pressons partelles sont équvalentes à des tensons et les débts voluques à des courants, le crcut équvalent est alors celu présenté en fgure -4. Nous contnuons de odfer le crcut par la théore de la transforaton de source et s nous supposons que la presson totale le long du canal est constante, seules (n-) équatons de Stefan-Maxwell sont ndépendantes. Le odèle de crcut de la fgure -4 peut être splfé coe ndqué dans la fgure -5. Un odèle de crcut équvalent pour un systèe de dffuson de 3 espèces peut être construt par le êe procédé. Pusque les paraètres du crcut dépendent des pressons partelles et et que celles-c ont tendance à changer le long du parcours de dffuson, des crcuts équvalents avec des paraètres fxes ne sont valable que s p est pett. Une soluton consste à dvser la couche de dffuson en sous-couches coe le ontre la fgure -6. Cela peret ans de ettre à jour les paraètres du crcut tout au long du parcours de dffuson, et d'obtenr des résultats plus précs. Q p Q P p P p p p + p Q p Q P p P p p p + p Fgure -4 Modèle de crcut équvalent ssu de la odfcaton de l équaton de dffuson de Stefan-Maxwell 3

p p Q Q p P Q p p p = p + p Q p Q p = P p Fgure -5 Crcut splfé pour espèces p p Q p Q p Q p P Q p P p p p p p Q p p Q p Q p Q p P Q p P p p p p p Q Dffuson Path Fgure -6 Subdvson possble de la couche de dffuson en sous-couches 4

.4. Eléent d accuulaton des atère dans la couche de dffuson Tout coe pour la odélsaton du canal, une capacté équvalente dans les couches de dffuson peut être calculée à partr de l'espace vde lé au volue géoétrque, et à la porosté du leu coe sut : C GDL _ total V P GDL = ε (-45) En se reportant au odèle de crcut proposé pour la couche de dffuson qu fractonne celle-c en pluseurs sous-couches, auxquelles est assocé le crcut équvalent et afn de placer la capacté équvalente dans chaque crcut de souscouche, celle-c dot être calculée en foncton de la géoétre de la sous-couche. Ans : C GDL A ε L GDL sub layer = (-46) P où AGDL est la secton transversale de la couche de dffuson et Lsub layer est l'épasseur de chaque sous-couche. Le condensateur équvalent peut être placé entre chaque souscouche coe ndqué en fgure -7..4.3 Dffuson de Knudsen dans les couches de dffuson En rége de Knudsen, le transport de gaz est contrôlé par les collsons successves des partcules avec la paro de la couche de dffuson. Autreent dt, les collsons des partcules les unes avec les autres n est pas le processus donant dans le transport du gaz : d c dz = N (-47) D K où c et N sont la concentraton olare et le flux de dffuson des espèces, et DK est le coeffcent de dffuson de Knudsen. Le coeffcent de dffuson de Knudsen est lé à la vtesse des olécules, et une constante K représente la géoétre des pores : O D = K v (-48) K O La constante KO est lée à la talle et à la fore des pores. Elle peut être estée par l'équaton (-49), toutefos, l est préférable de les déterner de anère expérentale. : K O ε r = (-49) 3 τ La vtesse des olécules se calcule de la anère suvante : 5

8 B k T v = (-50) π où kb est la constante de Boltzann et égale à.38 0 3 J/K, T est la tepérature absolue, et est la asse de la olécule de l espèce..4.4 Modèle crcut de la dffuson de Knudsen Pusque le rége de Knudsen suppose aucune collson entre les olécules de gaz, et la quantté de ouveent transférée à la paro poreuse a tout spleent dsparu du systèe, le odèle de crcut se rédut à une résstance pour chaque espèce. Pour être confore au odèle de crcut proposé de la dffuson de Stefan- Maxwell, où le débt voluque est équvalent à un courant dans le crcut, nous devons odfer l'équaton de dffuson de Knudsen coe sut. est : Nous allons coencer avec l'équaton de dffuson de Knudsen entonné, qu Pusque : d c = N (-5) dz D c p T K = (-5) avec l hypothèse que la tepérature dans chaque sous-couche est constante, nous pouvons écrre : d dz p T = N (-53) D K En ncorporant l are de la surface, A, et la concentraton olare total, c t, dans l équaton (-53), l vent : pus : d T A c t p = N (-54) dz DK A ct d N A p = P dz D A c K t (-55) La dernère odfcaton consste à raener la dérvée par unté de longueur dans le systèe d équatons de Stefan-Maxwell par : η = ( ) z z l (-56) 0 / 6

p p ( n ) ( n ) Q p p ( n) ( n) Q Q p P ( n ) Q ( n) p P K p ( n ) p ( n ) p ( ) p n ( n ) C GDL C GDL p ( n) p ( cat.) Q p p ( n ) ( n ) Q p p ( n) ( n) Q Q p P ( n ) Q ( n) p P K p ( n ) p ( n ) p ( n ) ( ) C p n GDL C GDL p ( n) p ( cat.) Q sub-layer No.(n-) sub-layer No.(n) Knudsen Fgure -7 Modèle de crcut équvalent de la dffuson de Knudsen avec une résstance Il en résulte d l N A p = P dη DK A ct (-57) En coparant les varables du odèle crcut de Stefan-Maxwell, nous défnssons : l l = K P fk D A = A (-58) K où K est une résstance équvalente de la dffuson de Knudsen. La valeur effectve de la résstance du crcut vare en foncton de la presson totale. Mason et Evans [58, 59] ont suggéré que les effets des transferts ouveent dans chaque rége devrat être cobnés de anère addtve, nous plaçons donc la résstance équvalente de dffuson de Knudsen en sére avec le crcut de Stefan- Maxwell. Pusque la couche poreuse est très fne côté couche de dffuson, l convendrat d'ajouter la résstance équvalente de dffuson de Knudsen en sére avec la dernère 7

sous-couche ou à l ntéreur de quelques sous-couches du odèle de crcut équvalent des couches de dffuson. La fgure -7 ontre le odèle de crcut GDL où la résstance de dffuson de Knudsen équvalente est en cascade avec la dernère souscouche de crcut..4.5 Cobnason de la dffuson et de la convecton dans le odèle crcut de la couche de dffuson Le odèle de crcut proposé dans le paragraphe précédent ne représente que le transport en ode de dffuson. En d'autres teres, la presson totale est supposée constante le long de la couche de dffuson. La dfférence de presson totale est consdérée coe un oteur pour la convecton. La êe dée pour le transport de gaz dans un canal d'écouleent, qu est le transport convectf, est applquée à la couche de dffuson. Le débt voluque de convecton dans la couche de dffuson est calculé grâce à la relaton suvante Q conv P P P + P = conv P (-59) Pusque l'nforaton de la résstance hydraulque ou de convecton de la couche de dffuson est restrente, nous approxons la résstance de couche de dffuson par le odèle tubulare de canal avec une correcton de Bruggean : conv.5 ε 8 = ηl 4 n pore π a pore (-60) où a pore est le rayon oyen des pores de la couche de dffuson, n pore est le nobre équvalent de pores, calculé à partr de l are de la secton transversale, A, de la couche de dffuson : n pore A = π a pore (-6) Le flux de gaz dans ce ode de transport peut être ntrodut dans le crcut va les sources de courant. Pusque le flux de convecton et de dffuson replssent les êes pores de la couche de dffuson, Qconv et Qdff sont regroupés pour charger la êec GDL. La cobnason du débt voluque de dffuson et de convecton est consdérée coe le débt voluque total. Un couple de sources courant-tenson contrôlées est utlsé pour prévenr l'effet de la dfférence de presson totale sur les crcuts de dffuson. Le crcut équvalent odfé du transport dans la couche de dffuson est présenté dans la fgure -8. La êe dée peut être applquée pour un systèe de tros espèces. 8

p Q p, dff Q Q,dff p P Q,dff p Q k P p = k p P Q,conv Q,conv C p GDL k P = P p P = p p Q p, dff Q Q,dff p P Q,dff p Q k P p = k p P Q,conv Q,conv C p GDL Fgure -8 Modèle de transport pour un couple d espèce.5 Modèle de la couche de réacton Les couches de réacton des PEMFC sont des couches nces stuées entre la couche de dffuson et la ebrane. Les réactons électrochques se produsent dans ces couches. Le platne (Pt) est le elleur catalyseur de l'anode et la cathode pour les PEMFC. Les nanopartcules de platnes ntégrés à la poudre de carbone sont répartes sur la face ntéreure de la couche de dffuson pour forer la couche de réacton. L hydrogène est oxydé à l anode (HO) et l oxygène rédut à la cathode (O). Les odèles de crcut proposés porteront sur les réactons électrochques et l'effet de la capacté de couche double à l nterface ebrane-électrodes..5. éacton électrochque à l anode La réacton à l'anode est l'oxydaton de l'hydrogène et s écrt : + H H e + (-6) Le potentel therodynaque ou réversble de la réacton peut être calculé à partr de l'équaton de Nernst : 9

E T a F a H + Ο r, anode = Er, anode + ln H (-63) où E Ο r est le potentel de référence, dans les condtons standards E Ο r = 0 V par défnton, est la constante des gaz parfat, T la tepérature, F la constante de Faraday, a + a H et H sont respectveent les actvtés de l hydrogène et des protons. La cnétque de réacton est exprée par l équaton de Butler-Voler : F T j = j0, anode e e F T α η ( α ) η (-64) où j est la densté de courant, j0,anode est la densté de courant d échange, α est le coeffcent de transfert de charge, et ηest la surtenson..5. éacton électrochque à l anode La réacton à la cathode est la réducton de l oxygène et s écrt : O + 4H + 4e H O (-65) + Tout coe à la cathode, le potentel réversble s obtent par : E a 4 T + Ο H O r, cathode = Er, cathode + ln 4F ah O a (-66) Ans, la cnétque de la réacton est écrte coe sut : j = j0, cathode e e 4F 4F T T β η ( β ) η (-67) où β est le coeffcent de transfert de charge pour cette réacton. Notez que les pussances des exponentelles sont ultplées par quatre, ce qu correspond au nobre d'électrons transférés lors de la réacton..5.3 Potentel réversble de l enseble de la cellule Sachant que la réacton à l'anode et la cathode sont en sére, le potentel réversble de la cellule entère se calcule de la anère suvante : E = E + E (-68) r r, cathode r, anode 30

T ah a + Ο Ο O H r = r, cathode + r, anode + ln F ah O a + H E E E a (-69) E Ο Pusque r, anode est égal à zéro par défnton et que la ebrane entre la couche de réacton est très fne s ben que les protons se déplace d un côté à l autre en ren de teps, l équaton du potentel réversble de la cellule se rédut à : Où : E r T a a + (-70) E Ο H O = r ln F aho E Ο Ο Ο r Er, cathode Er, anode = + (-7) La fore la plus coune de l équaton est : E r T p p + (-7) E Ο H O = r ln F pho qu s obtent en supposant que les pressons des élanges gazeux des réactants sont dentques et que tous les gaz plqués dans la réacton se coportent coe des gaz parfats..5.4 Effet de double couche aux électrodes L'effet de double couche est le phénoène à l'nterface électrode/électrolyte [60]. Un odèle sple de capacté de double couche est proposé par Helholtz. Il consdère la séparaton des charges opposées coe deux couches de charges parfates [6]. La capacté par unté de surface selon Helholtz est défne par : C H ε ε d r 0 = (-73) où ε r est la perttvté relatve de la soluton ε 0 perttvté de l espace vde et d est la dstance entre les plaques chargées..5.5 Modèle crcut de la couche de réacton La séparaton des réactons anodque et cathodque ntrodut l'actvté du proton dans la ebrane dans les équatons de potentels réversbles à l'anode et à la cathode. En cobnant les potentels réversbles à l anode et à la cathode, l'actvté des protons n apparaît plus dans l équaton (-70). Ans, nous chosssons d'élner l'actvté de protons en chosssant un potentel de référence de nouveau arbtrare : 3

I = f ( η cathode ) η E r, cathode cathode C dl, cathode + H + E Cell E r, anode I = f ( η anode ) C dl, anode + η anode Fgure -9 Modèle crcut de la couche de réacton (présenté avec la résstance de ebrane) + A noter que : a Ο Ο T H E r, anode = Er, anode ln F a H + a Ο Ο T H E r, cathode = Er, cathode + ln F a H + (-74) (-75) E + E = E + E = E (-76) Ο Ο Ο Ο Ο r, anode r, cathode r, anode r, cathode r En fat, la défnton E Ο r, anode = 0 ne sgnfe pas qu'l n'y at pas de réacton. Ben évdeent, l y a une réacton et l y a un certan nveau de potentel, as nous l avons chos coe référence de potentel (0V) : et : E r, anode = 0 (-77) T a E r, cathode = E Ο H a O r + ln (-78) F a HO L'actvté du proton a été élnée, et nous pouvons antenant passer à la odélsaton crcut. Le odèle de crcut de la couche de réacton est assez sple [6], pusque le potentel de la réacton est la soe des potentels réversbles et des surtensons, Cobné avec l'effet de la capacté de double-couche, le odèle du catalyseur est ontré dans la fgure -9. Le rôle de la résstance de la ebrane, +, sera dscuté dans le prochan paragraphe. H 3

.6 Modèle de ebrane.6. Modèle athéatque de la ebrane La conductvté onque de la ebrane est l'une des proprétés les plus portantes, elle nflue drecteent sur la caractérstque statque de la ple à cobustble. La conductvté onque de la ebrane est essentelleent foncton de la teneur en eau locale et de la tepérature de la ebrane. La teneur en eau de la ebrane est défne par : où [ ] λ [ H O] = SO3 H O est la concentraton en eau et SO 3 sulfonque dans la ebrane. (-79) est la concentraton en acde Un autre paraètre portant est la conductvté onque de la ebrane. Sprnger et al [63] ont ené une expérentaton et proposé une corrélaton entre la conductvté onque, σ +, la teneur en eau, et la tepérature : H σ ( 0.539 λ 0.36) exp 68 for H 303 T λ + = > (-80) éceent, Frte et al [64] propose un nouveau odèle de conductvté de ebrane basé sur les phénoènes physques se déroulant dans la ebrane : σ + H q λ ct ( ε ε 0 ) + F D D M = for λ >.5 λ λ λ + + T D D M D D M D M D M (-8) où ε 0 est le seul de porosté, D est le coeffcent de dffuson bnare entre les ons hydronu et les olécules d'eau, D M est le coeffcent de dffuson de l hydronu DM dans la ebrane, est le coeffcent de dffuson de l'eau dans la ebrane, et q est un paraètre de réglage. Le odèle de transport de l'eau suggéré par Sprnger et al [63], nous peret d ester le profl de teneur en eau le long de la ebrane : N n N D ρ d λ EW dz dry HO, total = drag + H HO, λ (-8) 33

Dans cette équaton, NH O, total est le flux d'eau dans la ebrane, N H + est le flux de protons, DH O, λ est le coeffcent de dffuson de l'eau dans la ebrane, ρdry est la asse voluque de la ebrane sèche, EW est le pods équvalent de la ebrane. n est le coeffcent électro-osotque qu représente le nobre de drag olécules d eau entraînées par les ons H + lors de leur déplaceent de l anode vers la cathode, ce coeffcent est envron égal à. Le coeffcent de dffuson de l'eau dans la ebrane est égaleent foncton de la teneur en eau de la ebrane. Sprnger et al. [63] l a esté à : D H O, λ = exp 46 303 T 3 ( ).563 0.33λ + 0.064λ 0.00067λ for λ > 4 (-83) Le odèle énonce que le flux d'eau totale est coposé du flux d'eau électroosotque et du flux dû au gradent de concentraton de l'eau..6. Modèle crcut de la ebrane Le odèle crcut qu représente les écanses de transport de l'eau dans chaque sous-couche est décrt par l'équaton (-8) et est représenté dans la fgure - 0. La résstance dans le crcut est défne coe sut : H O, λ EW z = Dλ ρ dry (-84) L équaton (-8) peut être se sous la fore suvante, fasant apparaître ans le potentel électrochque : n = n n µ (-85) HO, total HO, drag + H, HO HO, µ où : HO, µ z = (-86) A D HO, µ Le odèle crcut de l équaton (-85) est présenté dans la fgure -. 34

N H + n drag F J N H O, total H O, λ λz λ z + z Fgure -0 Exeple de odèle crcut du transport d eau dans la ebrane n H O, drag n drag F n H O, total µ H O, n H O, dff µ µ H O, z H O, z+ z Fgure - Modèle crcut du transport d eau dans la ebrane fasant ntervenr le potentel électrochque.6.3 Eléent d accuulaton de atère La teneur en eau locale d'une pette porton de ebrane change selon le déséqulbre entre le flux d entrée et de sorte d'eau. La capacté assocée s écrt : C ρ a dλ EW T da dry H O, µ = za (-87) Le odèle de crcut équvalent de la ebrane utlsée dans ce traval est présenté dans la fgure -. 35

n H O, drag n drag F n H O, total µ H O, µ H O, µ H O, z C µ H O, µ H O, z+ z/ µ H O, z+ z Fgure - Modèle crcut équvalent de la ebrane utlsé dans ce traval.6.4 Modèle crcut coplet de la ebrane Le odèle crcut équvalent, coprenant les condtons aux frontères de la ebrane est ontré dans les fgures -3 et -4. Les nforatons sur le potentel chque ssues de la sulaton du crcut sont utlsées pour calculer la teneur en eau de la ebrane. Ensute, à partr du profl de la teneur en eau, nous déternons la conductvté onque de la ebrane grâce à l'équaton (-80). La résstance totale de la ebrane se calcule de la anère suvante : + H t = dz A (-88) σ λ 0 + H ( ) où t est l épasseur totale de la ebrane. La verson dscrétsée de la résstance est la suvante : + H n z = (-89) A σ λ = 0 + H ( ) où λ est la teneur en eau dans la sous couche. Cette résstance totale de ebrane est celle utlsée dans la fgure -9. 36

GDL+Catalyst Mebrane p H Q H sub-layer sub-layer ( ndrag / ) F ( ndrag / ) F Q H O n H O p H O µ H O, a C µ H O, µ H O, C µ H O, µ H O, = H O, µ / Fgure -3 Modèle crcut de la ebrane coprenant la frontère côté anode Mebrane GDL+Catalyst sub-layer n- ( ndrag / ) F sub-layer n ( ndrag / ) F Q O p O n H O Q H O C H O, µ µ H O, n C H O, µ µ H O, n µ H O, c Q Q HO H O, created p H O = H O, µ / Q N = 0 p N Fgure -4 Modèle crcut de la ebrane coprenant la frontère côté cathode 37

.7 Modèle de cellule de PEMFC Le odèle de cellule unque peut être foré en cobnant les canaux de transport de gaz, les couches de dffuson, la couche de réacton et le odèle de la ebrane. Le odèle partant de l'anode jusqu à la ebrane est présenté dans les fgures -5 à -7. Le odèle de la cathode est presque un ror du côté anode. La dfférence entre l'anode et la cathode ont déjà été dscutées. Le odèle de cellule entère est représenté par le schéa présenté dans la fgure -8. P nlet, anode ( FF ) P ch P outlet, anode ( ) Q n ch / ch / ( ) Q out ( FF ) Q H ( n ) ( FF ) Q H ( out ) ( FF ) Q H O ( n ) ( FF ) Q H O ( out ) ( FF ) Q N ( n ) ( FF ) Q N ( out ) ( FF ) C p FF H ( FF ) C p FF H O ( FF ) C p FF N (Not connected to the GDL) Fgure -5 Modèle crcut du canal 38

( FF ) p ( FF ) p () () p Q () p, dff ( n ) p Q ( n ) p, dff Q Q,dff () p () p Q,dff Q Q,dff ( n ) p ( n ) p Q,dff Q () () ( FF ) k P p Q Q k,conv,conv GDL P C p () ( n ) p Q k ( n ) P k p ( n ) ( n ) P Q,conv Q,conv p () P ( FF ) = () p () p Q, dff k p k = ( n ) ( ) ( ) n P n p p ( n ) p ( n ) p Q, dff Q Q,dff () p () p Q,dff Q Q,dff ( n ) p ( n ) p Q,dff Q () () ( FF ) k P p Q Q k,conv,conv GDL P C () p ( n ) p Q k ( n ) P k p ( n ) ( n ) P Q,conv Q,conv sub-layer No.() sub-layer No.(n) C GDL C GDL K ( n ) p K ( n ) p Knudsen Effect ( cat.) p ( cat.) p Fgure -6 Modèle crcut de la couche de dffuson à l anode 39

Electrcal Ternal (anode) E Cell η anode E r, anode + H C dl, anode Catalyst (Electrochecal Doan) Catalyst Mebrane sub-layer sub-layer ( n drag / F ) ( n drag / F ) n H O µ H O, a C H O, µ µ H O, C H O, µ µ H O, = H O µ, / Electrcal Ternal (cathode) E r, cathode η cathode C dl, cathode sub-layer n- ( n drag / F ) C H O, µ µ H O n,( ) Catalyst sub-layer n ( n drag / F ) Q O p O p H Q H Q H O n H O C H µ O, µ H O, n µ p H O, c Q H O Q H H O O ( created ) p H O Fgure -7 Modèle crcut de la couche de réacton et de la ebrane 40

P nlet, anode P nlet, cathode E Cell, E Cell, + P outlet, anode P outlet, cathode Fgure -8 Dagrae block représentant le odèle d une onocellule.8 Modèle d un stack 3 cellules La structure du stack 3 cellules est présentée dans la fgure -9. Le odèle de ce stack peut être développé en ajoutant le canal coun aux cellules qu peret une dstrbuton en parallèle des gaz. Le odèle de cette artère prncpale de dstrbuton est dentque à celu des canaux des plaques dstrbutrces de gaz. On peut égaleent tenr copte, dans la odélsaton, des tubes achenant le gaz depus le détendeur jusqu à la ple, s nécessare. Fgure -9 Structure d un stack coposé de 3 cellules 4

Q nlet, anode P nlet, anode Q nlet, cathode P nlet, cathode Q outlet, cathode P outlet, cathode Q outlet, anode P outlet, anode Q H n ) ( QH out ) ( Q H O ( n ) Q H O ( out ) p H ch ) C ch ( p H O ( ch C ch ) ch P ch Cathode Coon Chaber Model (sae as above) Cathode Coon Chaber Model (sae as below) ch P ch Q H n ( ) Q H out ( ) Q H O ( n ) Q H O ( out ) ph ch ) C ch ( p H O ( ch C ch ) Q N n ) ( QN out ) ( pn ch ) C ch ( P nlet, anode E Cell, P outlet, anode ( ) QN out ) Q N n ) ( pn ch ) ( C ch Q H n ) ( QH out ) ( p H ch ) C ch ( P nlet, cathode E Cell, + P outlet, cathode Q H n ) ( QH out ) ( ph ch ) C ch ( ch ch Q H O ( n ) Q H O ( out ) p H O ( ch C ch ) P ch P ch Q H O ( n ) Q H O ( out ) p H O ( ch C ch ) Q N n ) ( QN out ) ( pn ch ) C ch ( P nlet, anode E Cell, P outlet, anode Q N n ) ( QN out ) ( pn ch ) C ch ( Q H n ) ( QH out ) ( p H ch ) C ch ( P nlet, cathode E Cell, + P outlet, cathode Q H n ) ( QH out ) ( ph ch ) C ch ( ch ch Q H O ( n ) Q H O ( out ) p H O ( ch C ch ) P ch P ch Q H O ( n ) Q H O ( out ) p H O ( ch C ch ) Q N n ) ( QN out ) ( pn ch ) C ch ( P nlet, anode E Cell, P outlet, anode Q N n ) ( QN out ) ( pn ch ) C ch ( P nlet, cathode P outlet, cathode E Cell, + Fgure -30 Modèle d un stack coposé de 3 cellules 4

.9 Concluson L établsseent d un odèle de type crcut d une ple à cobustble type PEMFC a été présenté dans ce chaptre. Ce odèle est basé sur les phénoènes physques du cœur de ple. Il se copose de résstances non-lnéares et de sources de courant et de tenson contrôlées qu sont falères au doane du géne électrque. Ce odèle est pléentable dans les logcels usuels du coerce très utlsés en électrcté, tels que PSpce, Saber, Matlab ou d autres équvalents. 43

Chaptre 3 Ipléentaton du odèle et résultats 44

Ce chaptre présente les résultats de sulaton du odèle développé. La sulaton est fate sous Matlab/Sulnk. La preère sulaton présente le fonctonneent dynaque de la ple à cobustble. La deuxèe sulaton présente le fonctonneent statque de la ple sous dfférents débts d'alentaton de gaz. L'effet du réseau de canaux a été égaleent dscuté. Le chaptre se terne par la sulaton d un stack de 3 cellules couplé à un convertsseur élévateur. 3. Sulaton d une cellule de ple et résultats La sulaton du odèle de cellule unque est présentée dans ce paragraphe. Les paraètres de sulaton sont donnés dans les tableaux 3- à 3-5. Table 3- Paraètres Paraètre Sybole Valeur Presson de fonctonneent [Pa] P Tepérature [K] T 333.5 0 5 Hudté relatve à l entrée de l anode [%] Hudté relatve à l entrée de la cathode [%] H A 0 H K 60 Table 3- Tubes et artère prncpale Paraètre Sybole Valeur Daètre du tube à l anode [] Daètre du tube à la cathode [] a Tube _ A a Tube _ K 5 0 3 0 3 Longueur du tube d alentaton côté anode [] l Tube _ A _ nlet Longueur du tube en sorte de cellule côté anode l Tube _ A_ outlet [] Longueur du tube d alentaton côté cathode [] l Tube _ K _ nlet Longueur du tube en sorte de cellule côté cathode l Tube _ K _ outlet [] Denson de l artère prncpale [] Largeur Hauteur Longueur w FF _ chaber 30 h FF _ chaber 0 l FF _ chaber 5 0 3 0 3 0 3 Denson du canal splfé à l anode [] Largeur Hauteur Longueur w FF _ A.5 h FF _ A l 5 FF _ A 0 3 0 3 Denson du canal splfé à la cathode [] 45

Largeur Hauteur Longueur wff _ K 4.4 hff _ K. lff _ K 50 0 3 0 3 0 3 Table 3-3 Paraètres des couches de dffuson Paraètres Sybole Valeur Are de la secton transverse [ ] A 00 Epasseur [] l 00 Porosté [-] ε 0.4 0.5 Tortuosté [-] τ ε Coeffcent de dffuson [ /s ] entre O HO entre O N entre HO N Coeffcent de dffuson de Knudsen [ /s ] entre GDL D 8.85 eff O H O D 6.588 eff O N D 8.894 eff H O N H H K D.83 entre HO DH O K 4.95 entre entre O O K N N K Epasseur de la couche cro-poreuse [] Nobre de sous couches anode/cathode [-] D 3. D 3.444 l 0 MPL n 4 GDL _ sub layer 0 4 0 6 0 6 0 6 0 6 0 3 0 4 0 4 0 4 0 6 Table 3-4 Paraètres de la couche de réacton Paraètres Sybole Valeur Courant d échange à l anode [ A/ ] Courant d échange à la cathode [ A/ ] Potentel en crcut ouvert [V] Capacté de double couche [F] j 0,anode 35 j 0,cathode 3 0 3 E Ο r.9 C dl 46

Table 3-5 Paraètres de ebrane Paraètres Sybole Valeur Epasseur de la ebrane [] Nobre de sous couches [-] l 30 n 4 ebrane _ sub layer Masse équvalente (EW) [ kg/ol ] EW. 3 Masse voluque de la ebrane sèche [ kg/ ] Coeffcent électro-osotque [-] Conductvté onque 0 6 ρ dry 967. n drag σ H + Eq.(-8) Coeffcent de dffuson de l eau [ /s ] DH O, λ Eq.(-83) Nous sulons le fonctonneent de la cellule lorsque celle-c est connectée à une charge contrôlée en courant. La fgure 3- présente le profl de courant applqué à la ple. Les résultats de sulaton de fonctonneent en rége peranent sont présentés dans les fgures 3- à 3-3. La tenson de cellule calculée est coparée à celle esurée (fgure 3-3). Fgure 3- Courant de charge 47

Fgure 3- Presson partelle de H dans les dfférentes couches de dffuson à l anode Fgure 3-3 Presson partelle d H O dans chacune des sous couches de dffuson à l anode 48

Fgure 3-4 Presson partelle d O dans chacune des sous couches de dffuson à la cathode Fgure 3-5 Presson partelle d H O dans chacune des couches de dffuson à la cathode 49

Fgure 3-6 Presson partelle de N dans chacune des couches de dffuson à la cathode Fgure 3-7 Potentel chque d HO dans chacune des sous couches 50

Water Content n Mebrane [-] Fgure 3-8 Teneur en eau ( λ ) dans chacune des couches de la ebrane Fgure 3-9 ésstance de la ebrane 5

Fgure 3-0 ésstance totale de la ebrane Voltage Across the Mebrane esstance [V] Fgure 3- Chute de tenson dans la ebrane 5

Fgure 3- Potentel de cellule Fgure 3-3 Tenson de cellule sulée et esurée 53

3. Caractérstque statque V-I La courbe statque V-I de la ple à cobustble est l'une des nforatons les plus portantes. La chute de tenson de la cellule est due au potentel d'actvaton, à la résstance de la ebrane et à la perte de concentraton. Les pertes dues à l actvaton et à la résstance de la ebrane sont fxes et très peu odfables. Les scentfques qu ne travallent pas sur l AME peuvent juste gérer les condtons opératores de sorte à rédure ces pertes. La perte de concentraton, ou la dnuton du potentel de cellule est généraleent due à une alentaton en gaz nsuffsante. Dans la plupart des cas, le problèe survent à la cathode où l'oxygène de l'ar est nsuffsant pour produre le courant électrque. La consoaton des réactfs au nveau du catalyseur est calculée de la anère suvante : Q Q H _consued O _consued I ref T = F P I ref T = 4F P (3-) (3-) où I ref est le courant de référence. Ben que la consoaton exacte des réactfs au nveau du catalyseur peut être calculée, la totalté de l'oxygène entrant dans la cellule n attent pas le catalyseur, une parte de l'oxygène passe juste par la surface de la couche de dffuson et sort drecteent de la cellule. Cela plque qu l y at suralentaton en gaz. D'une part, cette sous-alentaton en gaz engendre une chute de tenson. D'autre part, une suralentaton en gaz est du gaspllage d H et une perte d énerge au nveau du copresseur. Il est donc portant de déterner correcteent la quantté de gaz d'alentaton. Ce paragraphe présente la courbe V-I de la cellule du odèle développé. Les paraètres de sulaton sont donnés dans le paragraphe précédent et les débts des gaz sont calculés coe sut : Q gas_anode Iref T = ζ A F P (3-3) Q gas_cathode Iref T = ζ K 0. 4F P (3-4) La fgure 3-4 présente les courbes de polarsaton sous dfférentes alentatons en gaz. 54

Fgure 3-4 Courbes statques pour dfférentes alentatons en gaz 3.3 Couplage à convertsseur élévateur Le odèle développé est destné à des applcatons en géne électrque, nous le connectons à un convertsseur. Le convertsseur élévateur est l'une des topologes de base de convertsseur DC-DC. Le convertsseur élévateur est utlsé pour augenter la tenson de sorte de la ple, qu est une source basse tenson, à un nveau de tenson adapté à la charge. Le schéa du crcut de sulaton est présenté dans la fgure 3-5. Les paraètres de la ple sont les êes que dans la secton 3.. Le convertsseur fonctonne en boucle ouverte avec un rapport cyclque de 70% et la fréquence de coutaton est fxée à 5 khz. Les résultats des sulatons sont présentés dans les fgures 3-6 à 3-9. Fgure 3-5 Schéa d une ple de 3 cellules connectée à un convertsseur 55

Fgure 3-6 Tensons de sorte de ple et du convertsseur Fgure 3-7 Courants de sorte de ple et du convertsseur 56

Fgure 3-8 Presson partelle de chaque espèce au nveau de la couche de réacton à l anode Partal Pressure at Cathode Catalyst [Pa] Fgure 3-9 Presson partelle de chaque espèce au nveau de la couche de réacton à la cathode 57

3.4 Concluson La se en œuvre du odèle de crcut équvalent de la ple à cobustble a été étable dans ce chaptre. Dans ce traval, nous avons chos de ettre en œuvre le odèle de crcut sous le logcel coercal Matlab /Sulnk. Le odèle développé fournt une large capactés de sulaton, du fonctonneent en statque au dynaque, et peret de nobreux paraètres de réglage. Cec est possble car le odèle est élaboré à partr des équatons physques. Cette fonctonnalté n'est pas dsponble dans la plupart des odèles eprques. La sulaton ontre que le odèle développé peut être ntégré de façon transparente avec des crcuts d électronques de pussance. Ce odèle peret d étuder en détal l'nteracton entre les crcuts de pussance et la ple à cobustble. 58

Chaptre 4 Concluson 59

Ce traval a pour objectf d établr un odèle appropré pour utlsaton en géne électrque. Le odèle recherché dot être en esure d'ntégrer des odèles de crcuts d électronque de pussance et valable sur une large plage de fonctonneent Le odèle que nous avons établ reste un odèle local et non global ce qu autorse une étude du cœur de ple. Nous avons coencé par étuder les écanses de transport dans la ple à cobustble. Pusque le odèle est destné à un usage en géne électrque, l a été ntéressant d utlser l'analoge des phénoènes de transport de asse et de charge dans le cœur de ple avec l électrcté. Cette analoge est basée sur les transferts d énerge. L'exgence du fable coût de calcul plque de lter le odèle à une seule denson. Nous avons d'abord développé un odèle des tubes de gaz et de canaux pour les systèes ult-espèces, des couches de dffuson de gaz, des couches de réacton et de la ebrane. A ce nveau, nous avons obtenu un nouveau odèle crcut équvalent d une cellule de ple. Pour la odélsaton d un stack coposé de n-cellules, la façon la plus sple d y arrver, est de ultpler la tenson de sorte de la cellule par n (ce que l on trouve dans la plupart des ouvrages). Cependant, nous avons chos un odèle de ple qu tent copte du canal coun aux cellules et de la crculaton des fludes dans chacune des cellules, ce odèle est plus proche de la réalté. Nous nous soes ltés à un stack de 3 cellules. Nous avons décdé de ettre en œuvre le odèle sous Matlab / Sulnk, logcel du coerce très utlsé en électrcté. Les résultats de sulatons ont ontré que le odèle est assez fdèle au fonctonneent réel de la ple. La tenson de sorte de cellule calculée est en d'accord avec celle obtenue expérentaleent. L'effet du réseau de canaux entre chaque cellule de la ple a été exploré. Nous avons rearqué que l'effet du réseau de canaux pour une ple de 3 cellules est très fable. L effet ne peut être très prononcé en rason de la pette talle du stack (3 cellules), D alleurs on note des dfférences de nveau de tenson d une cellule à l autre dans de plus grand stack (6 cellules) et partculèreent en rége dynaque. Pour prouver que le odèle peut attendre l'objectf fxé, le odèle de ple de 3 cellules a été connecté à un convertsseur élévateur. Nous avons constaté que la sulaton peut être fate sans problèe. L'nteracton entre la ple à cobustble et le crcut convertsseur est ben se en évdence. Notre odèle étant élaboré à partr des équatons physques, l ouvre la voe à un large évental de futurs travaux de recherche. Dverses structures de contrôle peuvent être aélorées grâce à ce odèle. L étude de l'pédance de la cellule à partr du odèle développé est le sujet preer dans notre lste de travaux futurs. 60

Secton B Unabrdged Verson n Englsh 6

Contents. Introducton 66. Why should we work on Fuel Cell Systes? 67. Prelnary on Proton Exchange Mebrane Fuel Cells 68.3 PEMFC Models 70.3. Physcal Model 70.3. Eprcal or Se-Eprcal odel 7.3.3 Equvalent crcut odel 7.3.4 The control orented odel 7.4 The objectve of ths thess 7. Equvalent Crcut Models for PEMFCs 74. Physcal Descrpton of a Sngle Cell Syste 75. Analogy of physcal systes 76.3 Gas Channel Model 77.3. Analogy of Flud Systes 77.3.. Dsspaton Eleent 77.3.. Flow Store Eleent 79.3. Crcut Model for Gas Tubes or Straght Channels wth Sngle-Speces Gas 80.3.3 Crcut Model for Gas Tubes or Straght Channels wth Mult-Speces Gas 8.4 Gas Dffuson Layer Model 87.4. Physcal Descrpton of Gas Dffuson Layers 87.4. Gas Transport n Porous Meda 88.4.3 Stefan-Maxwell Dffuson 89.4.4 The effect of porous edu to the olecular dffuson 9.4.5 Crcut Model of Gas Dffuson Layers 9.4.6 Flow Store Eleent of GDL 00.4.7 Knudsen ege n GDL 0.4.8 Crcut Model of Knudsen Dffuson 0.4.9 The Cobnaton of Dffuson and Convecton Mode n GDL Crcut Model 04.5 Catalyst Layer Model 05.5. Electrochecal eacton on the Anode Sde 06.5. Electrochecal eacton on the Cathode Sde 07.5.3 Overall Cell eversble Potental 07.5.4 Double Layer Effect at the Electrode 08.5.5 Crcut Model of the Catalyst layer 09.6 Mebrane Model.6. Matheatcal Model of the Mebrane.6. Crcut Model of the Mebrane 5.6.3 The Flow Store Eleent 8.6.4 The Coplete Equvalent Crcut of the Mebrane 0.7 The Sngle Cell Model.8 The 3-Cell Stack Model 5.9 Concluson 7 6

3. Model Ipleentaton and esults 8 3. Ipleentaton of the PEMFC Equvalent Crcut Model 9 3. Error fro Layer Dscretzaton 3 3.3 Sngle Cell Sulaton and esults 34 3.4 Statc V-I Curves 43 3.5 Effects of the Channel Network 44 3.6 Connected wth Boost Converter 45 3.7 Concluson 48 4. Concluson 49 5. Appendx 5 6. Bblography 56 63

Glossary of sybols a water actvty - a actvty of speces - a gas tube daeter c c Tube t olar densty of speces xture olar densty 3 ol/ 3 ol/ d dstance between the charge plates kg/ 3 f j frcton factor ( s) h heght j net current densty A/ j 0,anode anode exchange current densty j 0,cathode cathode exchange current densty A/ A/ k B Boltzann s constant J/K w wdth olecular ass of speces kg ṁ ass flow rate kg/s n drag water dragged coeffcent - n pore equvalent pore holes nuber - n olar transfer rate ol/s H O, dff p partal pressure of speces Pa t thckness of the ebrane u velocty of speces /s v average velocty /s x olar fracton of speces - A GDL cross-secton area of the GDL C electrcal capactance F C GDL equvalent capactance 3 /Pa GDL C Helholtz s capactance F C H H O, H O, λ equvalent capactance n water content doan ol/ C equvalent capactance n checal potental doan µ ol /J D H O, H O, D j λ water dffuson coeffcent n ebrane /s D µ water dffuson coeffcent n checal potental doan ol / ( J s) Stefan-Maxwell dffusvty between speces and j eff D j effectve dffuson coeffcent /s /s D K Knudsen dffuson coeffcent /s E open crcut voltage V OCV E Ο r reference potental at the standard state V 64

E r reversble potental at specfed state V EW equvalent weght of the ebrane kg/ol F Faraday s constant C/ol J current densty A/ K O pore-hole geoetry factor - L length ol/ N HO water flux ( s) N H + proton flux ol/ ( s) N olar flux of speces ol/ ( s) P ch xture pressure at the ddle of the channel Pa P saturaton pressure of water Pa Q sat flud voluetrc flow rate 3 /s gas constant J/ ( K ol) ch H O, hydraulc resstance of channel 3 Pa s/ equvalent resstance n checal potental doan µ J s/ol + ebrane onc resstance Ω H j Stefan-Maxwell dffuson equvalent resstance 4 kg/ ( s) 4 K Knudsen dffuson equvalent resstance kg/ ( s) H elatve hudfer % T absolute teperature K V channel volue ch V gas gas volue Greek Sybols α anode charge transfer coeffcent - β cathode charge transfer coeffcent - ε porosty of the edu - ε perttvty of free space F/ 0 ε r relatve perttvty of soluton - η dynac vscosty Pa s η overpotental V η per-unt dstance - λ water content - µ checal potental of water n ebrane J/ol ρ HO ass densty of the flud ρ dry specfc weght of the ebrane 3 3 3 kg/ 3 kg/ σ H + onc conductvty S/ τ tortuosty of the edu - 65

Chapter Introducton 66

. Why should we work on Fuel Cell Systes? Energy fro fossl fuels has been used for growng and supportng huan cvlzatons for any decades. The use of fossl fuels,.e., coal, ol, natural gas, transfors the ndustry, expands the econoc, advances the technology, and proves the lvng standards of people [65-68]. Undoubtedly, the fossl fuels becoe the vtal aterals for econocs of countres around the world. The hard truth s that the current cvlzatons cannot be sustaned by the energy fro the fossl fuels. Ths s because the fossl fuels n the world are lted and the use of the results n envronental degradatons. Precsely, burnng fossl fuels generates toxc gases and carbon doxde whch s regarded as the root of clate change [68-70]. If huan gnores ths truth, the cvlzatons wll have rsk to collapse n the near future. Scentsts around the world are tryng to solve the proble by two approaches. The frst one s workng on the deand sde whch s to reduce the energy deand and to prove the effcency [7-73]. The second one s to lookng for the new energy sources. The good news s that there are varous renewable energy sources [74-77], ths knd of the energy sources replensh the self autoatcally or by a lttle help fro huan. The ajor source of the renewable energy s the sun. The world energy consupton s just a tny quantty copared to the energy that the sun transtted to the world. The current technology lke solar cell or wnd turbne allows us to convert the renewable energy nto electrcty. The ajor proble of electrcty fro the entoned sources s that they are not always avalable durng a day. Ths s the pont where the hydrogen and fuel cells enter the scene. Hydrogen s a gas that can be created fro water by electrolyss process. The electrolyss process let water olecules adsorb energy fro electrcty and detach nto hydrogen and oxygen gases. Ths process can be occurred n the reverse drecton, the recobnaton of hydrogen and oxygen result n water and releasng the adsorbed energy. The splest way to observe the recobnaton process s to gnte the hydrogen; the released energy can be seen edately as the heat fro burnng. A odfed nternal cobuston engne whch uses hydrogen as fuel can be confgured as a pre over of an electrc generator for supplyng electrcty. Ths syste frst converts checal energy to knetc energy, and then to electrc energy. Snce the loss of energy appears n each step of conversons, the total energy loss of usng an nternal cobuston engne wth an electrc generator s sgnfcant. An alternatve ethod to convert checal energy to electrc energy s to use fuel cells. Fuel cells convert checal energy to electrc energy n sngle step. Fuel cells operate quetly and et no polluton, so that, they are copatble wth the concept of clean energy for the future. One ore advantage of the fuel cell and hydrogen syste to be addressed here s that hydrogen can be created fro the current energy sources lke fossl fuel or nuclear energy [69, 78]; ths feature allows a sooth transton fro the current technology to the future. The sustanable energy syste s the key factor for huan lvng condton n the near future. Although any progresses have been ade, there are stll any challenges ahead. The tgaton fro the ol age s peratve. The dffculty of nventng a new technology does not suggest huan to gve up, n contrast, t suggest huan to ake t quckly. 67

. Prelnary on Proton Exchange Mebrane Fuel Cells The frst deonstraton of fuel cell was conducted by Sr Wlla Grove n 839 [79]. The research on fuel cell was very actve n 960 where fuel cells were developed for the NASA s space progra. Technology at that te let the Alkalne Fuel Cell (AFC) be the best choce of electrcal source on the space shuttle. The frst Proton Exchange Mebrane Fuel Cell (PEMFC) was developed durng ths progra. The breakthrough of DuPont on Nafon ebrane n late of 960 ade the PEMFC ore sutable for real world applcaton [80]. The researches on fuel cells have been ncreased rapdly snce 997 by the awareness of the energy and envronental probles. Varous types of fuel cell are avalable, but PEMFC s seeed to be the ost practcal aong the low teperature types. The applcatons of the PEMFC ranges fro sall portable devces to statonary power supples for resdent or ndustral use [78, 8]. e Flow Channel Flow Channel H ( Inlet ) Ar, H O( Inlet ) ( ) ( + ) Coolng Water ( Inlet ) e H + Coolng Water ( Inlet ) Coolng Water ( Outlet ) H + Coolng Water ( Outlet ) Flow Channel Flow Channel H ( Outlet ) Ar, H O( Outlet ) GDL Catalyst Stes Mebrane Catalyst Stes GDL Fgure - The PEMFC structure 68

Fgure - Typcal V-I characterstc of the PEMFC The splfed structure of the PEMFC s shown n fgure -. The ebrane s stuated n the ddle of the cell. The unque property of the ebrane s that the proton can travel across the ebrane whle the electron cannot. As hydrogen enterng the anode sde of cell, t wll ove to the catalyst layer whch s at the boundary of the ebrane. Here the hydrogen wll separate nto hydrogen ons (or sply called protons) and electrons. The checal forula of ths reacton s: + H H e + (-) Snce the ebrane s the proton conductor, protons can ove drectly to the cathode sde of the ebrane. The electron cannot ove through the ebrane, t can reach the cathode sde only f we provde an external crcut between the anode and cathode sdes. The travelng of the electrons through an external crcut s the usable electrcal current. As the electrons reached the cathode sde, they cobne wth the protons and oxygen atos, and result n water. The checal forula on the cathode sde can be wrtten as: The overall reacton s: + + (-) + H e O HO H + O HO + released energy (-3) 69

The electrcal potental across the cell at open crcut state, E 0, s related to the released energy by released energy E0 = F (-4) where F s Faraday s constant. For PEMFC the E 0 at the standard state s equal to.9 Volt. However, ths potental s not observable at the cell ternal. The cell ternal potental s decreased by several factors. To archve ore potental, scentsts buld a cell stack whch s a pack of several fuel cells connected together n seres. Although a hgher potental can be obtaned fro the cell stack, the connecton of the cell stack to the real world load stll a challenge. The an proble s that the cell potental changes draatcally when t takes load. The typcal V-I characterstc of PEMFC s shown n fgure -. Moreover, the dynac response of the cell s slow and nonlnear [8, 83]. Not uch applcaton n the real world deands a constant current. These reasons suggest that a power electronc converter wth auxlary energy storage should be connected between fuel cells and loads [84-88]..3 PEMFC Models The operaton of the PEMFC s very coplex, a nuber of paraeters or condtons affect ts perforance and lfete. The study of cell operatons cannot always be done by experental due to the lt of cost or technology. Models of the PEMFC can be used n place of the real syste for studyng purpose. Model s a thng that we use to represent soethng n real world [89]. The odel cannot have detals greater than ts orgnal. The level of splfcaton s dependng on the objectves and the requreents of the odel. PEMFCs are ultdscplnary devces; varous approaches of dfferent scentfc felds have been used for studyng dfferent phenoena of the cells. Snce each phenoenon n the PEMFC s hghly coupled wth the other, each knd of PEMFC odel has soe ntersecton wth the other, so that, the categorzaton of the fuel cell odel s qute not defnte. The ajor types of the PEMFC odel are presented as follow..3. Physcal Model Ths knd of odel reles on the physcs equatons whch descrbe the real phenoena of the fuel cell [-]. The odel ay represent the whole cell or just a specfc part [-5]. The odel s range fro -denson to 3-densons [6-0] and dfferent assuptons, for exaple, one or two phase flow, sotheral or nonsotheral, can also be ade [7, 0-]. An exaple result for a -denson physcal odel s shown n fgure -3. Snce ths knd of odels s hghly coplex and nonlnear, t s usually solved by fnte eleent ethod whch requres a treendous coputatonal cost [6]. 70

Fgure -3 An exaple of sulaton result fro a PEMFC physcal odel [].3. Eprcal or Se-Eprcal odel The eprcal odel s also known as the behavoral odel. The odel s based on the observed behavor whch the real syste response to the stulus [3-33]. The atheatcal forula, lke exponental, logarth, or polynoal, can be used to provde a lnk between the stulus and the responses. The advantage of the eprcal odel s the splcty. The odel whch represents a statc characterstc of an observed cell can be just a one lne of equaton. One of splest statc characterstc equaton s shown n [3] where EOCV E = I + Ih α (-5) In ths equaton, E OCV s the open crcut voltage, Ih and α are the fttng paraeters. Snce the odel s developed fro the observed response of the cell, the odel does not provde a sold lnk between physcal paraeters, for exaple the cell teperature, the relatve hudty of the ar at the nlet, or the pore sze of porous eda, to the cell behavors. Many researchers try to create an eprcal odel whch ncorporates soe physcal propertes of the cells. Ths knd of odels s regarded as a se-eprcal odel. The establshng of physcal aspect to the odel results n an ncreasng of odel coplexty. The dfferent between the se-eprcal odel and the physcal odel s that the eprcal odel stll reles on the easured data and fttng paraeters. 7

.3.3 Equvalent crcut odel Ths odel s closely related to the eprcal odel. The an dfferent s that the lnk between the stulus and the response s not represented by a set of atheatc functons, but by an electrc crcut [6, 34-50]. The odel requres less coputatonal cost than the odel that based on physcs equaton. An exaple of PEMFC crcut odel s shown n fgure -4. The PEMFC equvalent crcut odel can be ntegrated sealessly wth a crcut odel of power electronc converter that connected to the cell electrc ternal. Ths knd of odel s preferred by electrcal engneers. Anode Mebrane Cathode C dl,a C dl,c r ra ZW,a rc ZW,c Fgure -4 An exaple of PEMFC equvalent crcut odel [3] The equvalent crcut odel n lterature can be classfed n two ajor categores. The frst one s the classcal crcut whch based on the response n frequency doan [40, 45, 46, 49, 50]. Ths knd of odel s well studed n electrochestry. The other one s the crcut that cs the characterstc curve of the fuel cell [6, 9, 34, 35, 38, 39, 4-44, 47, 48]..3.4 The control orented odel Ths knd of odel s developed for control desgn purpose [6, 9, 49, 5-55]. It s usually a lnearzed verson of the physcal odel at a certan operatng pont. The odel s usually n the for of state-equaton whch confors to varous conventonal or odern control desgn technques..4 The objectve of ths thess As we have entoned that PEMFCs have low output voltage level and slow dynac response. Connectng the fuel cell output drectly to the conventonal load ay results n a serous proble. The responsble for desgnng the power electronc converter to transt electrcal energy fro the cell output to the load properly belongs to electrcal engneers. In order to study and verfy ther desgn, electrcal engneers need a PEMFC odel that can be easly ncorporated wth ther novel power electronc crcuts. Snce engneers have to sulate ther fuel cell/converter syste n countless te before they arrved at a good soluton, the odel of choce should also requre a reasonable coputatonal cost. The physcal odels whch are developed by checal or echancal engneers are very dffcult for the electrcal engneers. Furtherore, ths knd of odels uses fnte eleent ethod whch s not just requres a hgh coputatonal 7

cost, but s also not copatble wth crcut sulatons. Ths s why the eprcal type of the PEMFC odels s preferred by electrcal engneers. The eprcal odel s sple and requres a lttle coputaton cost. However, the drawback of the eprcal odel s the absent of the nternal checal or transportaton echancs whch ay useful n the desgnng of the power electronc crcuts. Moreover, snce the odel s based on the easured behavoral data, scentsts or engneers cannot adjust any physcal paraeter of the cell to see the dfferent nteracton between the cell and the power electronc crcuts. The a of ths work s to fll ths gap. A crcut odel whch ncorporates the fundaental echancs of the PEMFC and copatble wth crcut sulatons s the goal of ths thess. 73

Chapter Equvalent Crcut Models for PEMFCs 74

Ths chapter presents the developent of an equvalent crcut odel of the PEMFCs stack. We begn the chapter wth settng up the requreent of the odel, then presentng the conceptual structure of the cell. After that we dscuss about the energy exchange concept whch s used extensvely throughout the chapter. The developent of the crcut odel s presented part-by-part fro the channels, the flow-feld plate, the gas dffuson layer, the catalyst layer and the ebrane, n a step-by-step anner. Then we cobne each part together to for the sngle-cell odel. At last, the stack odel of 3-cell s presented.. Physcal Descrpton of a Sngle Cell Syste Model s soethng that cs a real syste [89]. The nature of the odel s havng less detal than the real syste. The level of splfcaton whch affects the coplexty of the odel s subject to the objectve or requreent of the odel. In ths thess we a to construct a one denson PEMFC odel that reveals the gas transport behavor n channels, flow-feld plates and the gas dffuson layers. The odel ust also nclude the ebrane water transport and necessary checal effects. We assue that the teperature of the cell s constant and the water n the cell s only n gas phase. Fro the requreents, we splfed the real PEMFC syste to a conceptual structure as shown n fgure -. The 3-cell PEMFC stack odel, whch s our fnal goal, s consdered as an extended verson of ths structure. Fgure - The PEMFC conceptual structure of PEMFC used n ths work 75

. Analogy of physcal systes Energy exchange concept s a faous dea used n ultdscplnary odelng [56]. Ths concept consders each coponent n a dynac syste as an energy anpulator, as shown n fgure -. The energy flows fro one syste to another syste va an energy port. The energy port has two assocated varables, where one of the varables represents the flow of the energy and the other one represents the effort or the strength that create the flow. The product of these two varables s an nstantaneous power,.e., the rate that the energy transferred through the energy port per unt te. Energy Energy Energy Energy Source Source Energy Syste Syste Energy Energy Snk Energy Energy Snk Fgure - Physcal systes as energy transfer eleents Two systes n dfferent doan are shown n fgure -3 and -4. The syste n fgure -3 s n electrcal doan where the effort s the voltage and the flow s the current. The syste n fgure -4 s n hydraulc doan where the effort s the pressure and the flow s the voluetrc flow. v( t) ( t) p( t) = v( t) ( t) Fgure -3 Efforts and flows n an electrcal crcut 76

Syste Syste F F Q (flow) P P (effort) Power = P Q (effort) Fgure -4 Efforts and flows n a hydraulc syste Snce energy s appeared n every physcal syste, the concept provdes a proper ethod to lnk systes fro dfferent energy doans together. Thus we wll follow ths concept for akng an approprate crcut analogy odel of the fuel cell systes..3 Gas Channel Model.3. Analogy of Flud Systes Accordng to the prncple of energy transfer and syste varables, t s well known that the flud pressure s an effort and the voluetrc flow rate s a flow. The product of these two varables s the work done per unt te on the syste..3.. Dsspaton Eleent In electrcal crcut, resstance s consdered as an energy dsspatng eleent whch results n a dropped voltage along the charge flow path. In the sae anner, flud energy s also dsspated along the flud flow path whch results n a dropped pressure across the channel. As Oh s law n electrcal crcut, Hagen Poseulle law [57] descrbes the relatonshp between the pressure dropped across a flud channel, p, and the flud voluetrc flow rate, Q, as: P = ch Q (-) where ch represents a hydraulc resstance of the channel. Ths value depends on propertes of the channel and the flud. 77

Fgure -5 A crcular cross-secton channel Fgure -6 A rectangular cross-secton channel For the fuel cell syste, there are anly two knds of gas channel whch are crcular and rectangular cross-secton channels. A tube used to convey oxdzng and reducng agents fro one devce to another usually have crcular cross-secton shape. ectangular cross-secton channels can be found nsde of soe devces, for exaple, a flow feld plate of the fuel cell. The hydraulc resstance of the straght crcular channel depcted n fgure -5 s defned as: ch 8 = ηl a 4 π (-) where a s the radus, L s the length of the channel, and η s the dynac vscosty of the flud. The dynac vscostes of the gas used n the PEMFC are presented n table -. For the straght channel wth rectangular cross secton as shown n fgure -6, the hydraulc resstance s descrbed as: ch η L = 0.63 / ( ) 3 h w h w (-3) 78

Table - Vscosty of the nterested gases at bar (0 5 Pa) [90] Gas Vscosty ( µpa s) 300 K 400 K H 9.0 0.9 N 7.9. O 0.8 6. Ar 8.6 3. where h and w are the heght and wdth of the channel. The forula requres that w > h, n case of w < h, a rotaton ay apply to the channel to swtch between w and h..3.. Flow Store Eleent In electrcal systes, the flow store eleent s a capactor and ts capactance s defned as: (Electrc Charge) C = d d(potental) (-4) Thus the equvalent capactance for the flud syste s lterally defned as: C ch d = ( Gas Volue) d ( Pressure) (-5) As we suppose that the channel walls of fuel cell systes are rgd, volues of the channels are constant, and the channels behave lke a pressurzed tank depcted n fgure -7. The voluetrc flow rate whch flow nto the closed tank s the nlet flow rate subtracted by the outlet flow rate of the channel. Fro the ass conservaton prncple, the relatonshp between the flow rate and the tank pressure s dρ = ρ Q = V (-6) dt or ch dvgas dρ ρ = Vch (-7) dt dt where ṁ s the ass flow rate and ρ s the ass densty of the flud, Vgas of the gas flow nto the tank, and V ch s the channel volue. s the volue 79

Q Fxed Volue Pressure Fgure -7 A pressurzed tank whch exhbt a flow store behavor [56] The relatonshp between the flud ass densty and the flud pressure s ρ d ρ = dp β (-8) For an sotheral gaseous process, where the gas teperature s constant, β = P. Put (-8) n (-7), results n dv gas dp Vch = P (-9) Thus, the descrpton of the equvalent channel capactance s defned as: C ch V P = ch (-0).3. Crcut Model for Gas Tubes or Straght Channels wth Sngle-Speces Gas For a straght channel, the channel capactance effect ay appear regardless of the drecton of the flud. Thus, the capactance for the crcut odel should be placed n the ddle of the evaluated channel resstance [47]. Ths can be done by dvdng the channel resstance nto two resstors; each resstor represents a half of channel resstance,.e. a channel resstance fro the nlet or outlet to the ddle pont of the channel. As the flud s defned as a pure gas, there s only one pressure n the syste and only one capactance s requred to represent the dynac of the syste. The equvalent capactance s connected at the pseudo-ddle pont as shown n fgure -8. Please note that the sae crcut can be appled to a xture gas syste f ts coponent ratos are constant along the tube. Qn hyd / hyd / Qout Pnlet C hyd P ch Poutlet Fgure -8 An equvalent crcut odel of a straght channel 80

.3.3 Crcut Model for Gas Tubes or Straght Channels wth Mult-Speces Gas Gas n the PEMFC channel s usually a xture gas. The ost coon gas on the cathode sde s hudfed ar. Even on the anode sde where the pure hydrogen s fed to the cell nlet, the gas nsde the fuel cell s actually a cobnaton of hydrogen and the water vapor whch dffuses through the MEA fro cathode to anode sde. As the gas fro the supply passed the nlet channel, the gas s fed to the gas dffuson layer (GDL) va a specal channel whch called a flow-feld channel. The flow-feld channel has only three rgd walls. The other sde of the wall s a surface of GDL, whch allows gases to pass through. Each speces of the xture gas s consued or produced n the channel at dfferent rates. Ths clearly affects the rato between each speces n the channel, especally at low gas flow rate. As a result, the essental odel of the gas channel n fgure -8 s not suffcent to represent the flow-feld channel and the channel pror t. We shall begn to develop a ore sutable channel odel by consderng the PEMFC anode channel. We assued that the nlet gas s a cobnaton of hydrogen and water vapor. However, before startng up, where both hydrogen and water vapor have not entered the channel, t sees ncorrect to assue that the channel s copletely epty,.e. n a vacuu state. In ost cases, the anode channel s usually flled wth ar or ntrogen before startng up. Two solutons to ths ssue are: ) skp the start up perod by assue that the hydrogen s already flled n the channel, ) ntroduce the thrd speces n the odel. In ths work, we supposed that ntrogen, a non-reactve gas, s occuped the whole channel before we start up the cell. Fro the assuptons we had ade, we were now ready to establsh the governng equatons of the anode channel odel. We frstly consdered the pressure at the ddle of the channel, P ch, whch defned as: P = p + p + p (-) ch H ( ch) HO( ch) N ( ch) Each partal pressure s a consequence of the total flow rate of each speces and the channel capactance. The relatonshps can be wrtten as follow: d p dt d p dt d p dt Q = H ( stored ) H ( ch) Cch Q = H O ( stored ) HO( ch) Cch Q = N ( stored ) N ( ch) Cch (-) (-3) (-4) where the total flow rates are the rates that the gases fll the channel, whch are descrbed as: Pnlet Poutlet Q = H ( stored ) QH ( n) QH ( out) P ch P (-5) ch Pnlet Poutlet Q = HO( stored ) QH O( n) QH O( out ) P P (-6) ch ch 8

Qn ch / ch / Qout Pnlet P ch Poutlet P = p + p + p ch H ( ch) HO( ch) N ( ch) Fgure -9 A odfed crcut for the flow feld channel odel P P Q = Q Q (-7) nlet outlet N ( stored ) N ( n) N ( out) Pch Pch Snce t was dffcult to cobne the dynac of three dependent voltages n a sngle capactor, we anaged to replace the capactor n the essental odel n fgure -8 by a dependent voltage source as shown n fgure -9. The nlet flow rate of each speces, Q X ( n), s clearly proportonal to the nlet xture gas flow rate, Q n, and the olar fracton of each speces at the nlet. We assued that the gas coposte rato at the nlet s controlled by an external syste, thus the olar fracton of each speces s constant, and can be wrtten as: Q = x Q (-8) H ( n) H ( n) n Q = x Q (-9) HO( n) HO( n) n Q = x Q (-0) N ( n) N ( n) n Snce the su of all olar fractons s equal to one, the followng relaton also holds: Q = Q + Q + Q (-) n H ( n) HO( n) N ( n) The nlet gas flow rate was deterned by Hagen Poseulle law as follow Q n Pnlet P ch Pnlet + P ch = ch Pnlet (-) In the sae anner, for the outlet: and Q = x Q (-3) H ( out ) H ( ch) out Q = x Q (-4) HO( out ) HO( ch) out Q = x Q (-5) N ( out) N ( ch) out Q = Q + Q + Q (-6) out H ( out) HO( out) N ( out ) 8

Q H ( n ) Q H ( out ) C p ch H ( ch ) Fgure -0 A sub-crcut odel for H dynac response n the flow feld channel Q H O ( n ) Q H O ( out ) C p ch H O ( ch ) Fgure - A sub-crcut odel for HO dynac response n the flow feld channel Q N ( n ) Q N ( out ) C p ch N ( ch ) Fgure - A sub-crcut odel for N dynac response n the flow feld channel The gas flow out rate was deterned by Q out Pch P outlet Pch + P outlet = ch Poutlet (-7) However, the olar fractons of each speces n the channel are not necessary to be constant. In other words, they ay change fro ther ntal values toward the values at the nlet. Thus, we defned the olar fractons of each speces n the channel as: x x x H ( ch) HO( ch) N ( ch) ph ( ch) = Pch (-8) pho( ch) = P (-9) ch ch pn ( ch) = (-30) P 83

Q H ( n ) Q H ( out ) Q H O ( n ) Q H O ( out ) Q N ( n ) Q N ( out ) C p ch H ( ch ) C p ch H O ( ch ) C p ch N ( ch ) Qn ch / ch / Qout Pnlet P ch Poutlet P = p + p + p ch H ( ch) HO( ch) N ( ch) Fgure -3 A coplete crcut odel for the anode sde flow-feld channel Q O ( n ) Q O ( out ) Q H O ( n ) Q H O ( out ) Q N ( n ) Q N ( out ) C p ch O ( ch ) C p ch H O ( ch ) C p ch N ( ch ) Qn ch / ch / Qout Pnlet P ch Poutlet P = p + p + p ch O ( ch) HO( ch) N ( ch) Fgure -4 A coplete crcut odel for the cathode sde flow-feld channel The derved equatons are coverng the detal of the gas transport echancs n the channel and now we were ready to construct the new equvalent crcut odel. Equaton (-), (-5), (-8), and (-3) led to a sub-crcut odel shown n fgure -0. In the sae anner, equaton (-3), (-6), (-9) and (-4) led to a crcut odel shown n fgure -, and equaton (-4), (-7), (-0) and (-5) led to the sub-crcut odel shown n fgure -. The overall equvalent crcut odel of the channel wth ult-speces gas on the anode sde, whch coposes of the sub-crcuts shown n fgures -9 to -, are depcted n fgure -3. The sae process was appled to the channel on the cathode sde. We erely changed the frst speces fro H to O then we obtaned the flow feld equvalent channel odel as shown n fgure -4. The dea of ult-speces channel odel can be easly appled to the flow-feld channel. We entoned earler that the flow-feld channel s a specal channel. The channel s a sall canal ebedded on a surface of a graphte plate and covered wth the GDL. The an functons of ths specal channel are to delver the correspondng gas to the GDL surface unforly and to collect or transt electrons fro or to the reacton ste, whch stuates nsde next to the GDL. 84

The pattern of the canal, whch s lkely to be found on the anode sde, s the parallel-serpentne pattern as shown n fgure -5. The parallel of drect channels, as shown n fgure -6, s preferred on the cathode sde because t can reove water droplet faster than the serpentne pattern [9]. Gas Flow In Gas Flow Out Fgure -5 Parallel-serpentne pattern of the flow feld plate (adapted fro [9]) Gas Flow In Gas Flow Out Fgure -6 Drect parallel pattern of the flow feld plate (adapted fro [9]) 85