SERIES ET INTEGRALES IMPROPRES

4 - Gérard Lavau - htt://erso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté our télécharger, imrimer, hotocoier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio commerciale est iterdite sas accord de l'auteur. Si vous êtes le gestioaire d'u site sur Iteret, vous avez le droit de créer u lie de votre site vers mo site, à coditio que ce lie soit accessible libremet et gratuitemet. Vous e ouvez as télécharger les fichiers de mo site our les istaller sur le vôtre. SERIES ET INTEGRALES IMPROPRES PLAN I : Défiitios ) Séries ) Exemles de séries 3) Proriété de Cauchy 4) Itégrales imrores II : Séries à termes ositifs et foctios ositives ) Critères de covergece ) Comaraiso avec ue itégrale 3) Foctios et séries de réferece III : Séries ou itégrales quelcoques ) Absolue covergece ) Covergece e moyee, e moyee quadratique 3) Série roduit 4) Critère de D'Alembert 5) Séries alterées 6) Séries de vecteurs Aexe I : Absolue covergece, semi-covergece Aexe II : La formule de Stirlig das le calcul d'etroie Aexe III : La trasformée de Lalace Aexe IV : Série de vecteurs (Comlémet de cours MP/MP*) Aexe V : Accélératio de covergece Das ce chaitre sot traités e arallèle les séries umériques (à valeurs réelles ou comlexes) et les itégrales imrores de foctios. E effet, les méthodes utilisées et les théorèmes éocés sot comarables das ces deux domaies. Les foctios sot défiies sur des itervalles I ouverts ou semi-ouverts, borés ou o. O suosera les foctios cotiues ar morceaux sur tout segmet J iclus das I, et o dira qu'elles sot cotiues ar morceaux sur I. I : Défiitios Séries DEFINITION : O aelle série ( x ) de terme gééral x, réel ou comlexe, la suite de terme gééral S = x +... + x, aelée somme artielle. La série coverge si la suite des sommes artielles coverge. La limite S s'aelle somme de la série. La quatité R = S S s'aelle reste de rag. O ote x la limite lorsqu'elle existe. = - -

La défiitio choisie our la covergece est la lus simle qui uisse doer u ses à ue somme ifiie, mais ce 'est as la seule. Sigalos ar exemle qu'euler, au XVIIIème teait le raisoemet suivat : soit S = + + +... Alors S = ( + +...) = S doc S =. Cette méthode était largemet accetée à l'éoque, bie que le même, aliqué aux uissaces de, suscitât des réticeces. Soit S = + + 4 + 8 +... = + ( + + 4 + 8 +...) = + S doc S =!!! Si certais eset que tout ceci 'est que fariboles et divagatios, je leur aredrai que la formule + + 4 + 8 +... = est vraie das u certai cors de ombre (dit cors -adique : à titre idicatif, o eut écrire das ce cors les ombres avec u déveloemet ifii vers la gauche au lieu d'utiliser u déveloemet ifii vers la droite comme our le cors des réels. Si o travaille e base, o vérifiera bie que, si S =..., alors S + =, la reteue se roageat idéfiimet vers la gauche, et doc que S = ) et que la formule + +... = serait vraie si o reait comme défiitio de la somme d'ue série o as la limite des sommes artielles, mais la limite de leur moyee (dite limite au ses de Cesaro, les sommes artielles reat alterativemet les valeurs et, leur moyee ted vers ). Euler a égalemet cherché à doer u ses à la somme de la série! +! 3! + 4! +... Sas se soucier du fait que la série y = x!.x +!.x 3 3!.x 4 +... 'est jamais covergete our x, il la dérive terme à terme et obtiet formellemet l'équatio différetielle x y' + y = x. Or cette équatio a effectivemet ue seule solutio telle que y() =, doée ar l'exressio : x e /t xe u y(x) = e /x dt = t + xu du (avec u = t x ) Euler cosidère doc que y() est la somme qu'il cherche, soit aroximativemet,596347, valeur qu'il obtiet égalemet ar d'autres méthodes. Il existe efi des situatios aussi bie e mathématiques qu'e hysique das lesquelles o obtiet des séries divergetes au ses usuel et our lesquels il faut bie attribuer ue somme. Citos ar exemle le cas suivat. O eut motrer que (formule de Stirlig) : l(!) = ( + )l() + l(π) + B.. B 3.4. 3 +...+ ( ) B ( ).. + o( + ) à tout ordre, où les ( ) B sot les ombres dits de Beroulli. A fixé, la récisio est d'autat meilleure que est grad, mais à fixé, il est illusoire de redre davatage de termes car la série diverge lorsque ted vers l'ifii. Ce roblème est articulièremet euyeux car o souhaiterait bie que la formule de Stirlig doe ue valeur de l(!) à ue récisio arbitraire!! Vers la fi du XIXème se osait doc le roblème suivat. Etat doé ue suite (a ), commet doer u ses à la somme des a? Voici u bref résumé de quelques méthodes : La méthode usuelle, celle que ous allos étudier, qui cosiste à redre la limite des sommes artielles. Elle date de Cauchy, das la remière moitié du XIXème : S = lim + a k k= La méthode de Cesaro, qui cosiste à redre la limite des moyees des sommes artielles : S = lim + S k k= + où S k = a +... + a k La méthode d'abel qui cosiste à multilier a k ar r k avat de faire tedre r vers : - -

S = lim r r < = a r = lim r r < - 3 - lim N a r N + = La méthode de Borel, cosistat à utiliser le fait que! = e t t dt our défiir : S = e t a =! t dt e esérat que la série a =! t coverge au ses usuel. Boros-ous à sigaler que la méthode usuelle est la lus simle, mais as la lus efficace. E effet, les méthodes de Césaro et d'abel sot lus uissates : das le cas où la méthode usuelle doe ue valeur à S, il e est de même de ces deux méthodes (avec la même valeur de S). E ce qui cocere ar exemle la covergece au ses de Cesaro, c'est u exercice classique de motrer que, si ue suite S admet ue limite S, alors la S suite des moyees k admet la même limite. Cet exercice est souvet traité e remière aée, k= + mais so itérêt our les séries e eut être souligé à cette ériode. Car l'itérêt de la covergece au ses de Césaro est de ouvoir attribuer ue somme à des séries divergetes au ses usuel. Il e est de même de la méthode d'abel. Par exemle, la série d'euler + +... se voiet attribuer la valeur ar les méthodes de Césaro et d'abel alors que la méthode usuelle échoue. Quat à la e t méthode de Borel, elle attribue à cette série la valeur ( ) t 'est autre que e t de sorte que l'itégrale deviet! ( ) =! e t dt = là aussi. t dt or ous verros que = La luart des résultats éocés das ce chaitre sot dus à Cauchy e 8, qui écrira à cette occasio : Je me suis vu forcé d'admettre lusieurs roositios qui araîtrot eut-être u eu dures au remier abord. Par exemle [...] qu'ue série divergete 'a as de somme. - Exemles de séries EXEMPLE : u remier exemle de série est fouri ar le déveloemet décimal d'u réel. O a e effet : x = M + = où M est la artie etière de x, et les a i des chiffres tels que, m >, a m 9. (Cette coditio a our but d'éviter les écritures décimales avec ue ifiité de 9. Au lieu de,9999999999..., o a tout simlemet). EXEMPLE : il 'est as difficile de motrer que, our x <, o a x =. Il s'agit d'ue série = x géométrique. a

EXEMPLE 3 : o aelle série harmoique la série. Elle diverge. Les démostratios e sot = iombrables, certaies datat du milieu du XVIIème : Démostratio La somme artielle, de à N = k est miorée ar : k = = + k = = k qui ted vers + avec k Démostratio Posos S = k= k et D = S S. O a évidemmet D >. De lus : D D = + = >. Doc la suite (D ) est strictemet croissate et strictemet ositive, doc elle e eut tedre vers, ce qui serait si la suite (S ) covergeait. Doc (S ) diverge. Démostratio 3 O a l( + x) x our x > doc k= k l( + k= k ) = +k l k= k série diverge vers + quad ted vers +. Démostratio 4 Posos S = k= k. O a : S = + +... + = + 4 +... + avec = + + et k k + k Doc S + + + 3 + 4 +... + + = + S Si la suite (S ) covergeait vers ue limite S, o aurait : S + S doc /. Démostratio 5 Posos S = k= k. O a : = l (+)! = l(+), doc la! S S = + + + +... + ombre de termes lus etit terme = = Si la série covergeait vers S, o aurait, e assat à la limité : = S S - 4 -

Démostratio 6 Pour tout etier, o a : + + +... + = + k= + k + = doc, e regrouat les termes de la série géométrique ar aquets etre l'idice et, o eut déasser toute quatité doée. Aisi : + ( + 3 + 4 ) + ( 5 +... + 5 ) + + = 3 Les regrouemets euvet être effectués aussi loi que l'o veut. Démostratio 7 Pour tout etier, o a + + + 3 doc : + ( + 3 + 4 ) + ( 5 + 6 + 7 ) +... + ( 3 + 3 + 3 + ) + 3 3 + 3 6 +... + 3 3 + + +... + soit S 3+ + S. Si la suite (S ) des sommes artielles covergeait vers S, o aurait S + S. EXEMPLE 4 : our tout x, l'iégalité de Taylor Lagrage doe : e x ( + x + x +... + x! ) M x + (+)! où M est u majorat de e x etre et x. O eut choisir ar exemle M = ex x. Le membre de droite de l'iégalité ted vers quad ted vers +, doc, our tout x : E articulier, =! = e et = ( )! = e e x = = EXEMPLE 5 : o motre das le chaitre FOURIER.PDF que = - 5 - x! = π 6 et = 4 = π4. Le calcul 9 de ces deux séries costituèret u défi au début du XVIIIème et leur somme fut établie ar Euler. L'exressio remarquable du résultat 'a d'égal que l'étoemet que l'o eut avoir sur la ossibilité de l'établir. Cela laisse faiblemet etrevoir la joie qu'a dû érouver Euler. Plus gééralemet o coaît la valeur de la série somme des iverses de 'imorte quelle uissace aire, mais o e coaît aucue formule our = irratioel). 3 (o sait seulemet deuis 978 qu'il s'agit d'u L'exemle 3 motre qu'il e suffit as que le terme gééral x d'ue série tede vers. C'est ceedat écessaire. E effet, si ue série coverge, alors S S ted vers S S =. Or

S S = x. Aisi, la série ( ) diverge et ous 'attribueros aucue valeur à cette somme, cotrairemet à Euler. Il est facile de vérifier que l'esemble des séries covergetes forme u esace vectoriel, et que l'o a = u + v = u + = = v et = λu = λ u. si u est comlexe égal à x + iy, alors la série = coverge si et seulemet si les séries x et y coverget et u = égalemet u = = = u. Cela résulte e effet des théorèmes sur les limites des suites. 3 Proriété de Cauchy = = = = x + i = u = y. O a Raelos la roriété de Cauchy our les suites : ue suite (u ) est covergete si et seulemet si : ε >, N, N,, u u < ε Pour ue série, cette roriété s'exrime ar : ue série ( u ) est covergete si et seulemet si : ε >, N, N,, uk < ε k=+ Preos ar exemle la série harmoique (démostratio 8). Alors, our tout, o a : k=+ k (ombre de termes fois le lus etit) Quad ted vers +, ce miorat ted vers. Si doc ε =, il est imossible de trouver N tel que la roriété de Cauchy soit vérifiée. La série est doc divergete. 4 Itégrales imrores Ue défiitio comarable de covergece eut être osée our les foctios cotiues ar morceaux sur des itervalles autres que les segmets : b Si f est cotiue ar morceaux sur [a, b[, o dit que l'itégrale f(t) dt est imrore (ou a x gééralisée). Elle est covergete si f(t) dt admet ue limite quad x ted vers b, e restat das a b [a, b[. f(t) dt désige alors la valeur de cette limite.l'itégrale est divergete s'il 'y a as de a limite. Ci-dessus, b est évetuellemet ifii. Das le cas d'u itervalle du tye ]a, b], (a évetuellemet ifii), o défiira : - 6 -

b f(t) dt = lim x a b f(t) dt si cette limite existe a x et das le cas d'u itervalle du tye ]a, b[, o osera : b f(t) dt = lim (x,y) (a,b) y f(t) dt = lim a x a c f(t) dt + lim x y b y f(t) dt si chacue des deux x c limites existe. c est u oit quelcoque de [a, b]. La covergece des itégrales est souvet lus facile à traiter car o disose arfois de rimitives : EXEMPLE : Soit a > e t dt = lim [ ] x x e t ce qu'o ote arfois [ e t ] = EXEMPLE : EXEMPLE 3 : t dt = lim x [ t] x = [ t] = dt = lim t x [ lt] x = diverge mais ous verros ci-arès des critères de covergece raides à mettre e oeuvre. Par assage à la limite des bores de l'itégrale, o motre facilemet que les roriétés usuelles de l'itégrale sur u segmet sot vérifiées ar les itégrales imrores (liéarité, relatio de Chasles, iégalité de la moyee, chagemet de variables). O redra garde ceedat que, our l'itégratio ar arties our laquelle l'itégrale I - 7 - + uv' est trasformée e la somme [ uv] I u'v, l'itégrale iitiale eut être covergete, alors que, séarémet [ uv] et u'v euvet diverger. Il I I coviet das ce cas d'itégrer ar arties sur des segmets J iclus das I et de e asser à la limite qu'à la fi du calcul. II : Séries à termes ositifs et foctios ositives Critères de covergece Ce aragrahe s'alique aux séries à terme gééral réel de sige costat. Quitte à chager tous les siges, o eut se rameer à des séries à terme gééral ositif. Pour ces séries, o disose des théorèmes de covergece suivats : PROPOSITION : i) Soit ( u ) ue série à termes ositifs ou uls. Alors la série coverge si et seulemet si les sommes artielles sot majorées. Das ce cas, = u = lim + S = Su S. I

ii) Soiet ( u ) et ( v ) deux séries à termes ositifs. Si u = O(v ) et si v coverge, alors u coverge. iii) Si ( u ) et ( v ) sot des séries de sige costat, et si u v au voisiage de +, alors u et v sot simultaémet covergetes ou divergetes (o dit que les deux séries sot de même ature). Démostratio : i) La suite des sommes artielles S = u +... + u est ue suite croissate. E effet, S + S = u + est suérieur ou égal à. Cette suite coverge si et seulemet si elle est majorée et alors, elle coverge vers sa bore suérieure. ii) O suose qu'il existe N et M tel que, our N, o ait u Mv. Suosos que la série ( v ) coverge. O a alors : k=n uk M k=n vk M k=n vk = M ( k= N vk vk ) k= car la série ( v ) coverge e croissat vers sa limite. Les sommes artielles uk sot doc k= majorées et o alique le i). Le lus souvet, o cherche directemet ue majoratio u v. Pour qu'ue série à termes ositifs coverge, il suffit de la majorer ar ue série covergete. E reat la cotraosée, our qu'ue série à termes ositifs diverge, il suffit de la miorer ar ue série à termes ositifs divergete. iii) Au voisiage de l'ifii, o a : v u 3v, doc : u = O(v ) et v = O(u ) d'où l'équivalece. EXEMPLE : + 3 + 3 + 5 6 Cette série est ue série divergete, car so terme gééral est équivalet à qui est ositif, et terme gééral d'ue série divergete. EXEMPLE : Cosidéros la série α. Nous disosos du résultat suivat : Les séries ( α ) coverget si et seulemet si α >. Si α, alors α, et comme la série diverge, il e est de même de α. Si α >, alors o remarque que : = α + α 3 α = α α 4 + α 5 + α 6 + α 7 4 α 4 = α... 4 α - 8 -

( ) + α ( + ) + α ( + ) +... + α ( + ) α ( ) = α ( ) α N E majorat la somme artielle = α ar ue somme artielle aalogue comreat u ombre de termes suérieur à N de la forme + et e utilisat les iégalités récédetes, o a : N = coverge vers α = ( ) = α = ( α ) = ( α ) série géométrique de terme gééral α < qui. Les sommes artielles état majorées, la série = α α coverge. Il faut redre garde que les séries sot des limites et o des sommes fiies, sous eie de coaître des déboires cuisats. Doos de suite u exemle fraat (U autre exemle tout aussi troublat est doé das le III)-4) séries alterées EXEMPLE ). E 655, Wallis doe la formule suivate : π =.3.3.5.5.7.7.9.9.....4.4.6.6.8.8... Il s'agit d'u roduit ifii mais o se ramèe à des séries e reat le logarithme. Nous e chercheros as à motrer cette formule mais ous ous livreros simlemet à quelques calculs élémetaires... et aradoxaux. Cosidéros doc : l(.3.3.5.5.7.7.9.9.....4.4.6.6.8.8... ) = l( 3 3 4 5 4 5 6 7 6 7 8...) = l( ) + l(3 ) + l(3 4 ) + l(5 4 ) + l(5 6 ) + l(7 6 ) + l(7 8 ) +... somme de la forme (l = l + l + ). So terme gééral eut s'écrire : + + l = l( + ) + l( + ) = + + O( ) (déveloemet limité de l) = ( ) + O( )) 4 terme de sige costat Comme la série coverge, il e est de même de (l + l + = ). Remarquos maiteat que, état eutre our le roduit, o devrait aussi bie avoir : π =.3.3.5.5.7.7.9.9.....4.4.6.6.8.8... que π = 3.3.5.5.7.7.9.9.....4.4.6.6.8.8... ou π =..3.3.5.5.7.7.9.9.....4.4.6.6.8.8... Mais la formule π = 3.3.5.5.7.7.9.9... 3 est costitué de roduits..4.4.6.6.8.8..., 5 4, 7 6,... tous lus grads que, doc le roduit augmete et est suérieur à, et e saurait coverger vers, qui est strictemet π iférieur à. D'ailleurs, e reat les logarithmes, o trouve : - 9 -

l( 3 ) + l( 5 4 ) + l( 7 ( + ) 6 ) +... = + l = () = l = - - = l( + ) série à termes = ositifs dot le terme gééral est équivalet à, terme gééral d'ue série divergete. Aisi, le fait même de surimer le facteur ourtat sas itérêt das u roduit (ou de surimer de la somme l() qui est ul) et de réordoer les termes red la formule divergete. Si au cotraire, o rajoute our obteir la formule..3.3.5.5.7.7.9.9.....4.4.6.6.8.8..., alors les facteurs sot, 3 4, 5 6,... tous iférieurs à, doc le roduit sera iférieur au remier facteur = 4 alors que π est strictemet suérieur à cette valeur. Aburdité égalemet. E reat les logarithmes, le terme gééral ( ) deviet l () = l = l( + ) là aussi terme gééral d'ue série divergete. Pour les foctios, le théorème corresodat s'éoce comme suit, ar exemle das le cas où I = [a, b[. Le lecteur adatera aisémet le résultat our les autres formes ossibles d'itervalles. PROPOSITION : i) Soit f ue foctio cotiue ar morceaux sur I et ositive ou ulle. Alors l'itégrale f coverge si et seulemet si les itégrales f où J arcourt les segmets iclus das J sot J majorées. ii) Soit f et g défiies sur [a, b[, ositives. Si, au voisiage de b, f = O(g) et si g coverge alors f coverge. I iii) Si, au voisiage de b, f g, alors g et f sot de même ature (toutes deux covergetes ou I I toutes deux o divergetes). Démostratio : elle est tout à fait comarable à celle relative aux séries. i) f est la limite des f lorsque les bores de J tedet vers celles de I. Comme f croît avec J, I J cette limite existe si et seulemet si les f sot borés. J ii) Il existe M et c élémet de [a, b[ tels que, our x élémet de [c, b[, o ait : f(x) Mg(x), et doc : x x b x f(t) dt M g(t)dt M g(t)dt uisque g(t)dt est ue foctio croissate de x c c c c b c majorée ar sa limite g(t)dt. E rajoutat f(t)dt qui est u ombre fii, o voit que la quatité c a f(t)dt est ue foctio croissate de x est majorée, doc covergete. I J I a x

Le lus souvet, o cherche directemet ue majoratio f g au voisiage de b. Pour que l'itégrale d'ue foctio ositive coverge, il suffit de la majorer ar ue foctio dot l'itégrale coverge. E reat la cotraosée, our qu'ue itégrale d'ue foctio ositive diverge, il suffit de la miorer ar ue foctio ositive dot l'itégrale diverge. iii) Il suffit de remarquer que sur u voisiage [c, b[ de b, o a u ecadremet du tye g f 3g. Si l'itégrale de g coverge, il e est de même de celle de 3g et doc de f, d'arès i). De même, si l'itégrale de f coverge, celle de g aussi. Comaraiso série-itégrale Début de artie réservée aux PSI/PSI* L'aalogie etre série et itégrale imrore aaraît de maière ecore lus aarete das le théorème suivat : THEOREME : Soit f ue foctio ositive décroissate sur [,+[, cotiue ar morceaux sur tout itervalle [,x]). Alors : i) la série de terme gééral w = f(t) dt f() est covergete. ii) la série ( f()) coverge si et seulemet si l'itégrale f(t) dt coverge. E outre, Démostratio : i) f état décroissate ositive coverge vers ue limite l e +. Pour tout, o a : f() f(t) dt f( ) f(t) dt f() f( ) f() Il suffit doc de rouver que la série ( f( ) f()) coverge, or les sommes artielles de cette série valet f(k ) f() = f() f() qui coverge vers f() l. O remarquera que : k= w +... + w = f(t) dt f() k= Aisi, la différece etre l'itégrale artielle sur [,] et la somme artielle est-elle covergete. ii) Suosos maiteat que f coverge. O a alors : k f(k) f(t) dt = k= k= f(t) dt f(t) dt k doc la série coverge (les sommes artielles sot majorées). Réciroquemet, si la série coverge, o eut majorer les itégrales artielles. Si x est u réel de artie etière, o a : - -

x f(t) dt + + k + f(t) dt = f(t) dt f(k ) = f(k) f(k) k= k= k= k= k Comme l'itégrale artielle est ue foctio croissate de x et majorée, elle coverge. O a efi l'ecadremet : + f(t) dt k= f(k) f() + f(t) dt Ci-dessous les grahiques ermettet d'illustrer la démostratio : f(k) f(t) dt k= f(t) dt f(k) k= Les termes w sot les triagles curviliges aaraissat das la figure de gauche au dessus des rectagles. Si o les délace das la même coloe [,] [, f()], il aaraît clairemet que toute somme artielle des w est majorée ar f(). EXEMPLE : la série harmoique ( ) diverge (démostratio 9) car elle est de même ature que l'itégrale de dt. Ceedat, la différece etre la somme artielle et l'itégrale de à t coverge, ce qui ermet d'écrire : + +... + = l() + C + o() où C est ue costate, aelée costate d'euler. Ue valeur arochée est.577566... - -

EXEMPLE : o eut égalemet rocéder à des ecadremets e cas de foctio croissate. Cosidéros ar exemle l(!). O a : l(t) dt l() + l(t) dt l() ( )l( ) l() (+)l(+) l() O somme esuite les iégalités, de à our l'iégalité de gauche, et de à our celle de droite : l() + l(!) (+)l(+) e e! (+) + e Comme (+) + = ex[ (+)l(+)] = ex[ (+)l() + (+)l( + )] = ex[ (+)l() + (+)( + o( ))] = ex[ (+)l() + + o()] e! o e déduit que e est comris etre e et e qqc qui ted vers. Par des méthodes u eu lus! comliquées, o eut motrer que e π, ou ecore que! e π, ou efi que l(!) = l() + l() + l(π) + o() (Formule de Stirlig). Fi de la artie réservée aux PSI/PSI*. Retour à la artie commue PSI/PC 3- Foctios et séries de réferece Pour voir si ue série à termes ositifs ou ue itégrale imrore d'ue foctio ositive coverge, o red u équivalet our se rameer à ue exressio lus simle, servat de référece. Les cas les lus fréquets que l'o obtiet figuret ci-dessous. O vérifiera aisémet, e calculat ue rimitive que : α dt coverge si et seulemet si α > t diverge si et seulemet si α α dt coverge si et seulemet si α < t diverge si et seulemet si α a dt coverge si et seulemet si α < α t t t diverge si et seulemet si α e αt dt coverge our tout α > l(t) dt coverge - 3 -

= α coverge si et seulemet si α > diverge si et seulemet si α. Le résultat sur les séries a été démotré lus haut La série ci dessus s'aelle série de Riema. Elle sert souvet de série de référece our voir si ue série à termes ositifs coverge. EXEMPLE : P(t) dt où P est de degré et Q de degré m. Q(t) a E suosat Q o ul sur [a, +[, le seul roblème de covergece se ose e +. O a alors P(t) Q(t) x m. L'itégrale coverge si et seulemet si m >. EXEMPLE : Trouver les valeurs de x our lesquelles Γ(x) coverge, avec Γ(x) = E, e t.t x t x = t x dot l'itégrale coverge si et seulemet si x >. e t t x dt. E +, o a e t.t x t uisque e t.t x+ ted vers quad t ted vers +. Doc l'itégrale coverge e + our tout x. Aisi, Γ(x) est défii sur + *. O vérifiera que Γ(x+) = x Γ(x) et doc ar récurrece que, our etier, Γ(+) =!. Aisi, Γ est ue extesio aux réels strictemet ositifs de la factorielle. Voici le grahe de la foctio Γ etre 5 et 5, obteu avec MAPLE : O O eut s'étoer d'u tel grahe alors que ous avos vu que Γ 'était défii que our x >. E effet, o y voit Γ défii our les valeurs égatives o etières de x. E fait, o a rologé Γ aux valeurs égatives, ar exemle au moye de l'u des rocédés suivats : Das la relatio Γ(x) = Γ(x+), le membre de droite est défii our x élémet de ],[ ],+[. x O eut doc utiliser cette relatio our défiir Γ(x) sur ],[. Mais rereat la même relatio - 4 -

avec l'extesio de Γ, le membre de droite est cette fois défii sur ], [ ],[ ],+[, ermettat d'étedre Γ à ], [. De roche e roche, o défiit aisi Γ sur tout itervalle ], [. O eut aussi écrire (la coaissace du chaitre "Suites et Séries de foctios" est écessaire ici) : Γ(x) = e t t x dt = e t t x dt + e t t x dt = = ( t)! t x dt + = ( t) t x dt + e t t x dt =! ( ) = = (+x)! + e t t x dt exressio qui est défiie our tout x réel o etier égatif. e t t x dt avec covergece ormale de la série sur [,] Voici ue curieuse utilisatio de la foctio Γ : Cosidéros... ex( x... x ) dx dx... dx = ex( t ) dt Si o asse e coordoées shériques, x +... + x = r avec r variat de à l'ifii. L'élémet de volume sera égal à dr aire de la surface de la shère S (r) = {(x,..., x ), x +... + x = r }. Par homothétie de cetre de raort r, la surface de cette shère est égale à r aire de S (). (O a S (r) = πr et S (r) = 4πr ). O a doc :... ex( x... x ) dx dx... dx = S () ex( r ) r dr Posos t = r. O a ex( r ) r dr = ex( t) t / dr = Γ(/). O a doc fialemet : ex( t ) dt = S () Γ(/) Pour =, cette formule corresod à ex( t ) dt = S () Γ() = π, doc : ex( t ) dt = π formule qu'o recotre égalemet sous la forme t ex( ) dt = π - 5 -

O e déduit égalemet que π = S () Γ(/) π Γ(/). Pour = 3, o obtiet : π3 = π Γ(3/) Γ(3/) = et doc que l'aire de la shère uité de est π = Γ(/) Γ(/) = π Motros efi la formule de Stirlig :! e Séries de foctios" SUITESF.PDF est écessaire ici). O écrit :! = Γ(+) = e t t dt = = e ex( u ) ( + u ) ex( u + l( + u )) du L'itégrale est de la forme f (u) du avec : f (u) = si u < = ex( u + l( + u )) our u π (la coaissace du chaitre "Suites et du e faisat le chagemet de variable t = + u Quad ted vers +, our u fixé, f (u) sera égal à ex( u + l( + u )) our assez grad, de limite ex( u ). O vérifiera e outre que, our tout et tout u, f (u) ϕ(u) avec ϕ itégrable défiie ar : ϕ(u) = ex( u ) our u = (+u) ex( u) our u Le théorème de covergece domiée ermet alors de coclure que l'itégrale ted vers u ex( ) du, et dot la valeur est π comme vu récédemmet. III : Séries ou itégrales quelcoques Das ce aragrahe, o s'attache à détermier la covergece de deux tyes de séries, les séries dites absolumet covergetes, et les séries dites alterées. O aborde aussi le cas des itégrales absolumet covergetes. Absolue covergece DEFINITION Ue série ( u ) est dite absolumet covergete si ( u ) coverge. Ue itégrale f est dite absolumet covergete si I itégrable sur I. I f coverge. O dit aussi que f est - 6 -

Cette otio 'a évidemmet d'itérêt que our les séries à coefficiets (ou des foctios à valeurs) comlexes ou réels de sige o costats PROPOSITION : Ue série absolumet covergete est covergete. Ue itégrale absolumet covergete est covergete. Démostratio : Si u est à coefficiets comlexes, o écrit u = x + iy, et comme x et y sot iférieurs ou égaux à u, les séries obteues e reat les arties réelles et imagiaires sot elles mêmes absolumet covergetes. Il suffit doc de raisoer sur. O suose doc u réel. O ose : u + = u si u = sio u = u si u = sio O a alors : u = u + + u u = u + u Les séries ( u + ) et ( u ) sot des séries à termes ositifs ou uls, majorées ar la série covergete ( u ). Elles sot doc covergetes Il e est de même de la série ( u ), différece de ces deux séries. O a ar ailleurs, e majorat la valeur absolue des sommes artielles et e assat à la limite : = u = u Pour f à valeurs réelles, o rocède de maière aalogue e osat : f + = Su(f,) = (f + f ) f = Su( f,) = ( f f) de sorte que f = f + + f et f = f + f. Si f est itégrable, il e est doc de même de f + et f. O a alors : f(t) dt = f + (t) dt f (t) dt I I I O a ar ailleurs : f(t) dt = f + (t) dt + f (t) dt I I I de sorte que I f(t) dt I f(t) dt - 7 -

Si I = [a, b[, la limite lim x b a x 'existet : lim x b f + (t) dt, lim a x b a x f(t) dt eut fort bie exister sas qu'aucue des limites suivates x f (t) dt, lim x f(t) dt. O eut très bie avoir ar exemle : x b a x x lim x b f + (t) dt = lim a x b f (t) dt = + a alors que la différece coverge. De même our les séries. Il existe des séries qui sot covergetes sas être absolumet covergetes. Pour ces séries, o a + u = u = +, mais la série des différeces coverge. Nous verros que c'est le cas de ( ) + qui coverge vers l(). O aelle = semi-covergetes de telles itégrales ou séries. L'absolue covergece est ue coditio suffisate de covergece. Démostratio our les séries : Début de artie réservée aux PSI/PSI* Si la série ( u ) est absolumet covergete, elle vérifie le critère de Cauchy, à savoir : = = O e déduit qu'a fortiori : ε >, N, N,, k=+ u k < ε ε >, N, N,, uk < ε k=+ Doc la série ( u ) vérifie le critère de Cauchy et est covergete. Fi de la artie réservée aux PSI/PSI*. Retour à la artie commue PSI/PC Afi de voir si ue série ou ue itégrale quelcoque est covergete, o regarde si elle est absolumet covergete, se rameat aisi à des séries à termes ositifs ou à des foctios ositives. O eut alors aliquer les méthodes d'équivalets, de majoratios, de mioratios, de comaraiso avec les séries ou les itégrales de Riema. Les séries absolumet covergetes formet u esace vectoriel. E effet, si ( u ) et ( v ) sot absolumet covergetes, il e est de même de la somme, uisque : u + v u + v et la série somme, e valeur absolue, coverge, état majorée ar ue série covergete. La vérificatio our le roduit ar u scalaire est facile. Il e est de même des foctios itégrables. EXEMPLE : - 8 -

( ( )+ ) est absolumet covergete. O eut même e calculer la somme. E effet, ous avos doé lus haut la valeur de = artielles avat de redre leurs limites) que : air = = () = 4 = = π. O e déduit (au besoi e cosidérat les sommes 6 = π 4 imair = = air = π 6 π 4 = π 8 ( ) + = = imair air = π 8 π 4 = π EXEMPLE : si(x) x est itégrable sur [, +[ car si(x) x x qui est itégrable sur [,+[. Par cotre si(x) 'est as itégrable sur [,+[. E effet : x (k+)π si(x) (k+)π dx x (k+)π kπ si(x) dx = terme gééral d'ue série divergete (k+)π kπ Ceedat, si(t) dt coverge car : t x si(t) dt = t cos(t) x t x cos(t) t dt Le crochet admet ue limite et la foctio cos(t) t est, elle, itégrable, doc le membre de droite admet ue limite. De même, cos(t ) 'est as itégrable sur [,+[, mais cos(t ) dt existe (faire le chagemet de variable u = t uis ue itégratio ar artie). EXEMPLE 3 : Pour z comlexe de artie réelle ositive, o a e t t z ose alors Γ(z) = e t t z dt, défiie our z comlexe tel que Re(z) >. = e t t Re(z), itégrable our Re(z) >. O - Covergece e moyee, e moyee quadratique L'esemble C(I) des foctios cotiues itégrables sur I à valeurs comlexes forme u esace vectoriel. E effet, l'iégalité triagulaire ermet de motrer que, si f et g sot itégrables, il e est de même de f + g. Si o ose : - 9 -

N (f) = I f(t) dt N défiit alors ue orme sur C(I) dite orme de la covergece e moyee. f est dite de carré itégrable si I f(t) dt existe. Si f et g sot de carrés itégrables, alors fg est itégrable. E effet, our tout segmet J, l'iégalité de Schwarz ermet de coclure que : f(t)g(t) dt f(t) dt g(t) dt J J J E reat les limites des bores de J, o voit que cette iégalité reste valable sur I. O e déduit que l'esace des foctios cotiues de carrés itégrables est u sous-esace vectoriel de C(I). E effet, si f et g sot de carrés itégrables, il e est de même de f + g, uisque (f + g) = f + fg + g et que toutes les foctios du secod membre sot itégrables. O ose alors : N (f) f(t) dt I N est ue orme aelée orme de la covergece e moyee quadratique. L'iégalité de Schwarz doe : ou ecore : I f(t)g(t) dt I f(t)g(t) dt <f,g> N (fg) N (f)n (g) I f(t) dt I g(t) ce qui exrime que le roduit scalaire est ue forme biliéaire cotiue our la orme N. 3- Série roduit Début de artie réservée aux PSI/PSI* Soit ( u ) et ( v ) deux séries. O aelle série roduit (ou roduit de Cauchy) la série ( w ) de terme gééral : w = u v + u v +... + u k v k +... + u v = uk v k k= PROPOSITION : Si les séries ( u ) et ( v ) sot absolumet covergetes, il e est de même de la série ( w ) et l'o a : Démostratio o exigible Démostratio : Si les séries sot à termes ositifs, o a : et il suffit de asser à la limite. N = = N w = u = v = u v w u = N = N = N v = dt - -

Si ( u ) et ( v ) sot absolumet covergetes, alors, la série ( z ) défiie comme série roduit de ( u ) et ( v ) coverge. Comme w est iférieur ou égal à z, (car w = uk v k alors que k= z = k= u k v k, la série ( w ) est absolumet covergete. Il reste à motrer que sa somme est le roduit des sommes des deux séries. O a e effet : N = N u = N v w = u v q = (,q) E où E = {(,q) +q >,, q }. La somme est majorée ar : (,q) E N u v q = = N u = N v z = et cette derière exressio ted vers e vertu du résultat récédet sur les séries roduit à termes ositifs. Les résultats suivats sot doés à titre uremet idicatif our motrer que la situatio est mois triviale qu'il e araît : Il suffit que l'ue des séries u ou v soit absolumet covergete et l'autre covergete our que la série roduit w soit bie égale au roduit des deux séries. Si les deux séries sot covergetes, mais qu'aucue 'est absolumet covergete, il se eut que ( w ) diverge. Preos ar exemle u = v = ( ) dot ous motreros tout à l'heure la covergece, our. La série roduit est défiie ar : w = k= ( ) ( ) or ( ) est majoré ar 4, doc sa racie est majorée ar. O a doc w qui est mioré ar ( ) et qui e ted as vers quad ted vers +. Doc la série roduit diverge. Si u coverge, il existe ue série v covergete telle que w diverge. Si les trois séries u, v et w sot covergetes, la série roduit w est bie égale au roduit des deux séries. Si les deux séries u et v coverget, et si u = O( ) et v = O( ), alors la série roduit w soit bie égale au roduit des deux séries. Fi de la artie réservée aux PSI/PSI*. Retour à la artie commue PSI/PC 4 Critère de D'Alembert Voici efi u critère de covergece, articulièremet adaté our les séries dot les termes utiliset des uissaces ou des factorielles. Soit ( u ) ue série à termes o uls. Alors : - -

(i) si lim + u + u = l <, la série est absolumet covergete. u (ii) si lim + = l >, la série est diverge. + u Das tous les autres cas, o e sait as coclure. O otera que les cas où l'o e sait as coclure sot fréquets, uisqu'il y figure toutes les séries de Riema, covergetes ou divergetes! Démostratio : (i) Soit q comris etre l et. Il existe N tel que, our N, o ait : u + u q doc u u N q N et u = O(q ). La série ( u ) se trouve majorée ar ue série géométrique de raiso q iférieure à, doc covergete. Elle est doc elle même covergete. (ii) Soit q comris etre et l. Il existe N tel que, our N, o ait : u + u q et doc ici, o a u u N q N. Comme lim q = +, il e est de même de u est la série diverge. + EXEMPLE : rereos la série de l'exoetielle, mais aliquée aux comlexes. u = z!. Alors : u + u = La série = cette série. 5 Séries alterées z qui, our tout z, ted vers. + z est doc covergete our tout z. O aelle exoetielle comlexe la somme de! O dit que ( u ) est alterée si ( ) u est de sige costat. PROPOSITION : Soit ( ( ) u ) ue série alterée dot le terme gééral u est ositif et décroît et ted vers. Alors la série coverge. E outre, le reste R est majoré e valeur absolue ar u + et du sige de u +. Démostratio : O suose ar exemle u du sige de ( ), et doc de la forme ( ) v avec v ositif. O a alors : S + S = u + + u + = v + v + S + S = u + + u = v + + v - -

Doc la suite (S ) est décroissate. La suite (S + ) est croissate, et S S + = v +. Ces deux suites sot doc adjacetes et ossèdet ue limite commue S, ce qui sigifie que la série iitiale coverge vers S. Pour ue telle série, o a, our tout : S + S S Doc u + = S + S R = S S. De même, R = S S S S = u Il résulte de cette roositio que, our tout α ositif, la série ( ( ) ) coverge. α EXEMPLE : la série ( ( ) ) coverge. Soit L sa limite. O a : k= ( ) k k = k= k k= k or P + I = k= et P = k= I P = l() + C + o() où C est la costate d'euler. k k = (l() + C + o()) I = l() + l() + C + o() I P = l() + o() de sorte que la limite cherchée est L = l() = ( ) k k= k A titre de curiosité, où est l'erreur das le raisoemet suivat? Nous avos : l() = + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 9 +... O ermute les termes de faço à ce que, our imair, le terme soit lacé derrière le terme, et our air, le terme soit lacé devat le terme. O obtiet alors : + l() = 4 + 3 6 8 + 5 + 7 4... 4k + k+ 4k+... = 4 + 6 8 + + 4... 4k + 4k+... = [ + = l()??? 3 4 + 5 6 + 7... k + k+... ] EXEMPLE : Raelos la formule de Taylor avec reste itégral our ue foctio de classe C. - 3 -

f(b) = f(a) + (b a)f '(a) + (b a) f"(a) +... + (b a) f( ) b (a) ( )! + (b t) a Preos f(x) = l(+x), a =, b =. O a f '(x) = formule doe doc : l() = + ( )... + 3 + et l'itégrale est majorée e valeur absolue ar f() (t) ( )! dt +x et, ar récurrece f(k) k (k )! (x) = ( ) (+x) k. La ( t) ( ) (+t) dt ( t) dt = qui ted vers. Doc : EXEMPLE 3 : O eut ecore rocéder comme suit : t l() = ( ) k k= k Soit I = ( ) +t dt. O a I = l() et o eut écrire I sous la forme : I = ( ) t (+t) t dt = ( ) t +t dt + I = ( ) + I I = ( ) + ( ) +... 3 + + I = l() ( ) k k= k E outre, o a I t dt = qui ted vers, doc, e assat à la limite, o obtiet : + = l() ( ) k k= k EXEMPLE 4 : La même méthode s'alique à : I = ( ) t +t dt = ( ) t (+t ) t +t dt = ( ) t dt + I = ( ) + I avec I = +t dt = π 4 I = ( ) + ( ) 3 +... + 3 + I = π 4 k= ( ) k k E outre, o a I t dt = qui ted vers, doc, e assat à la limite, o obtiet : + ( ) k = π 4 k= k ou ecore π 4 = k= ( ) k k EXEMPLE 5 : Plus gééralemet, la même méthode ermet de motrer que, our tout α strictemet ositif : - 4 -

t α +t α dt = k= Il suffit de redre I = ( ) +t dt. O aura I α = ( ) k kα+ ( ) α α+ + I. EXEMPLE 6 : Le rogramme e révoit que deux situatios où l'o sait coclure sur la covergece de séries à termes quelcoques : les séries absolumet covergetes, et les séries alterées. Il est ceedat ossible de coclure das d'autres cas, mais c'est lus difficile. Nous ous boreros à u exemle : = si(x) Pour x mod π, Posos U = si(x) +... + si(x) de sorte que : k= si(kx) k = k= U k U k k = U + U k k= k U k k+ = U k= = U k k= k U k k= k = U k k= k U k k= k+ U k k(k+) O a utilisé la méthode d'abel cosistat à faire ue "sommatio ar arties", comarable à ue itégratio ar arties. O remarque alors que, x état fixé, (U ) est ue suite borée. E effet : U = Im ( + e ix + e ix +... + e ix ) = Im si (+)x si x e(+)ix e ix = si x U si x Doc, quad ted vers +, U ted vers. Par ailleurs, la série U k k(k+) covergete. Doc la série si(kx) coverge. k est absolumet Aexe I : Absolue covergece, semi-covergece La série ( ) est covergete sas être absolumet covergete. Elle est dite semi-covergete. E 89, das u article sur les séries trigoométriques, Dirichlet relève ue erreur chez Cauchy. Das u article de 83, ce derier utilise le fait que, si le quotiet de u sur si(x) ted vers, alors u coverge uisque si(x) coverge. L'erreur, commuémet commise de os jours ar tout étudiat débutat das l'étude des séries, est de croire que u coverge lorsque la suite (u ) est équivalete à la suite (v ) et que v coverge. Raelos que our établir ce résultat, ous avos utilisé le fait que les séries étaiet ositives. Dirichlet doe u cotre-exemle : ( ) coverge, - 5 -

mais ( ) ( ) ( + ) diverge, alors même que le quotiet des termes de même rag ted vers. E 854, das so mémoire sur les séries trigoométriques, Riema défiit à la suite de Dirichlet deux tyes de séries, celles que ous ommos maiteat série absolumet covergete et semicovergete : E javier 89, arut das le Joural de Crelle u mémoire de Dirichlet, où la ossibilité de la rerésetatio ar les séries trigoométriques se trouvait établie e toute rigueur our les foctios qui sot, e gééral, suscetibles d'itégratio, et qui se résetet as ue ifiité de maxima et de miima. Il arriva à la découverte du chemi à suivre our arriver à la solutio de ce roblème, ar la cosidératio que les séries ifiies se artaget e deux classes suivat qu'elles restet covergetes ou o covergetes, lorsqu'o red leurs termes tous ositifs. Das les remières, les termes euvet être itervertis d'ue maière quelcoque ; das les deux autres, au cotraire, la valeur déed de l'ordre des termes. Si o désige, e effet, das ue série de secode classe, les termes ositifs successifs ar a, a, a 3,..., et les termes égatifs ar b, b, b 3,..., il est clair que a, aisi que b, doit être ifiie ; car, si ces deux sommes étaiet fiies l'ue et l'autre, la série serait ecore covergete lorsqu'o doerait à tous les termes le même sige ; si ue seule était ifiie, la série serait divergete. Il est clair maiteat que la série, e laçat les termes das u ordre coveable, ourra redre ue valeur doée C ; car, si l'o red alterativemet des termes ositifs de la série jusqu'à ce que sa valeur soit lus grade que C, uis des termes égatifs jusqu'à ce que sa valeur soit moidre que C, la différece etre cette valeur et C e surassera jamais la valeur du terme qui récède le derier chagemet de sige. Or les quatités a, aussi bie que les quatités b, fiissat toujours ar deveir ifiimet etites our des valeurs croissates de l'idice, les écarts etre la somme de la série et C deviedrot ecore ifiimet etits, lorsqu'o rologera assez loi la série, c'est-à-dire que la série coverge vers C. C'est aux seules séries de la remière classe que l'o eut aliquer les lois des sommes fiies ; elles seules euvet être cosidérées comme l'esemble de leurs termes ; celles de la secode classe e le euvet as : circostace qui avait échaé aux mathématicies du siècle derier, ricialemet ar la raiso que les séries qui rocèdet suivat les uissaces ascedates d'ue variable aartieet, gééralemet arlat (c'est-à-dire à l'excetio de certaies valeurs articulières de cette variable), à la remière classe. Nous avos vu lus haut qu'e ermutat l'ordre des termes de la série ( ), o eut la faire coverger ou bie vers l() ou bie vers l(). L'exlicatio de ce héomèe est exliqué cidessus ar Riema. Il résulte du fait que la série 'est as absolumet covergete. La somme va déedre de l'ordre das lequel sot ris les termes. Ce héomèe e se roduit as avec les séries absolumet covergetes. Aexe II : La formule de Stirlig das le calcul d'etroie L'etroie d'u système das u certai état est défiie ar S = k lw, où k est ue costate et W le ombre de cofiguratios ermettat d'obteir l'état cosidéré. Plus ce ombre est imortat, lus S est élevé. Aisi, S doe ue mesure de la robabilité de l'état cosidéré, l'état le lus robable corresodat à u maximum. O red u logarithme car o souhaite que l'etroie de la réuio de deux systèmes idéedats soit S = S + S, avec S i etroie de chaque système. Or s'il y a W cofiguratios our le remier système et W our le deuxième, le ombre de cofiguratios our la - 6 -

réuio est W W. L'utilisatio d'u logarithme ermet de covertir ce roduit e somme. Efi, le choix de la valeur de la costate k est lié à des cosidératios thermodyamiques qui imortet eu ici. Cosidéros u système costitué de N articules, ouvat se réartir das iveaux, cavités, aquets... Aelos x i le ombre de articules das le i ème aquet, et i = x i la roortio de ces N articules. E rageat les N articules das u ordre arbitraire et e laçat les x remières das le N! remier aquet, les x suivates das le deuxième,..., o obtiet W =. E effet, il y a N! x!...x! faços de rager les N articules das l'ordre, mais armi celles-ci, les x! ermutatios des remières articules doerot la même cofiguratio, de même que les x! ermutatios des suivates, etc... O obtiet ue exressio de S sous forme de foctio cotiue et même différetiable e utilisat la formule de Stirlig : De même : N! N N e N πn l(n!) = NlN N + ln + l(π) + o() l(x i!) = x i lx i x i + lx i + l(π) + o() S k = lw = NlN N + ln + l(π) (xi l(x i ) x i + i= lx i + l(π)) + o() = NlN + ln l(π) (xi l(x i ) + i= lx i) + o() car i= Or tous les termes sot égligeables devat N sauf NlN et xi l(x i ) i= xi = N S k = NlN xi l(x i ) + o(n) i= = NlN i= Ni l(n i ) + o(n) = NlN i= = N ( i l( i ) + o()) (foctio f) i= Ni ln Ni l( i ) + o(n) i= N état e gééral extrêmet grad, cela coduit à défiir l'etroie comme état : S = Nk i l( i ) i= Cette exressio ermet de doer la réartitio statistique de Boltzma d'ue oulatio de articules e foctios de leur éergie. Suosos que les aquets das lesquelles o réartit les articules corresodet à iveaux d'éergie ar articule E,..., E. L'éergie moyee d'ue articule est alors, comte teu de la réartitio statistique, E +... + E, et l'éergie totale du - 7 -

système est E = N( E +... + E ). Comte teu du fait que +... + =, ous cosidèreros que E est foctio des variables,...,. A savoir : E = N [ E +... + ( - )E ] De même l'etroie S est foctio des variables,...,, à savoir : S = Nk [ i l( i ) + ( - ) l( - ) ] i= La quatité ds de est défiie à l'équilibre thermique comme état, où T est la temérature du milieu. T Or, our i comris etre et, o a d'ue art : S = Nk [ l( i ) + l( - ) ] = Nk l( i ) i et d'autre art : S = ds i de E = i T N [E i E ] l( i ) = E E i kt l( i ) + E i kt = l( ) + E = Cte idéedat de i kt i ex( E i ) = C Costate idéedat de i kt i = C ex( E i kt ) E La costate C est détermiée de faço que +... + =, autremet dit C ex( i i= kt ) =. O eut vérifier les résultats obteus de la faço suivate : E = N i= S = Nk i= E i E i = NC ex( i i= kt ) E i de sorte que ds de = comme attedu. T E i l( i ) = NCk ex( i i= kt ) E i kt = NC T E ex( i i= kt ) E i = E T Ue autre démostratio de cette réartitio est doée das le chaitre FPLSVAR.PDF. Aexe III : La trasformée de Lalace Défiitio : O se lace sur l'esace des foctios f cotiues ar morceaux sur, ulles sur ],[. La trasformée de Lalace de f est : L(f)() = e t f(t) dt = F() - 8 -

où est u comlexe. Das la luart des cas, f sera borée de sorte que F est défiie au mois sur le demi-la comlexe Re() >, ce qui est égalemet le cas si f est majoré ar u olyôme. L est clairemet liéaire. Table de trasformée : La table qui suit se dresse aisémet. δ désige la distributio de Dirac e, défiie das le aragrahe suivat. u est la foctio d'heaviside ou foctio échelo, ulle sur ],[ et égale à sur ],+[ (la valeur e u oit de discotiuité d'ue foctio cotiue ar morceaux imorte eu). f(t) F() δ u(t) u(t a) e a t t! + e at + a e iωt iω = + iω + ω cos(ωt) + ω si(ωt) ω + ω Il est bie etedu que toutes les foctios sot suosées être ulles our t égatif. Par exemle, la foctio cos(ωt) ci-dessus désige e fait la foctio u(t)cos(ωt), ulle our t < et égale à cos(ωt) our t >, doc ayat ue discotiuité e. Par ailleurs, o vérifiera aisémet que : L(e at f)() = L(f)( + a) = F( + a) doat bie d'autres trasformées, et illustré das la table récédete ar : L(e at )() = L(e at u(t))() = L(u)( + a) = + a O a égalemet : L(tf)() = te t f(t) dt = d d e t f(t) dt = d d e t f(t) dt e vérifiat les hyothèses de domiatio adéquates = d d L(f)() - 9 -

C'est aisi que L(tsi(t))() = ( + ) Distributio de Dirac : Ue résetatio de la trasformée de Lalace e eut se faire de faço totalemet cohérete qu'e itroduisat les distributios, mises au oit ar Lauret Schwartz das les aées 95. Ue distributio est simlemet ue forme liéaire sur u esace de foctios. Sas etrer das les détails tro techiques, ous doeros comme seul exemle la distributio de Dirac. a état u réel ositif ou ul, cosidéros la foctio ar morceaux suivate : f h (t) = si t < a f h (t) = h si a < t < a + h f h (t) = si t > a + h a a+h f h corresod à ue imulsio, d'autat lus brève et itese que h est etit. L'aire coteue sous la courbe vaut. La trasformée de Lalace de cette imulsio vaut : L(f h )() = h a+h e t dt = e a e (a+h) dot la limite vaut e a quad h ted vers. La limite h a aisi obteue est aelée trasformée de Lalace de la distributio de Dirac δ a e a. δ a est ue forme liéaire qui, à toute foctio g, associe g(a). Par covetio de otatio et ar aalogie avec le calcul itégral, au lieu de oter g(a) = δ a (g), o ote, même si δ a 'est as ue foctio e tat que telle : g(a) = g(t) δa dt = g(t) δa dt si g est ulle sur ],[. Cette otatio se justifie ar le fait que, si g est cotiue, alors : g(a) = lim h g(t) fh (t) dt comme o ourra le motrer e exercice, de sorte que δ a est, d'ue certaie faço, la limite de f h quad h ted vers. Cette covetio d'écriture est e outre bie cohérete avec : L(δ a )() = e a = δ a (e t ) = e t δ a dt O remarque ar ailleurs que la rimitive de f h s'aulat sur ],[ est de la forme : - 3 -

a a+h Quad h ted vers, o obtiet la foctio échelo e a, t u(t a) : a Nous diros, qu'au ses des distributios, u(t a) est ue rimitive de δ a et que δ a est la dérivée de u(t a). Nous adoteros les otatios suivates : ' ou d désige la dérivée usuelle de sorte que u', dt dérivée usuelle de la foctio de Heaviside, est ulle sur * et o défiie e. D désige la dérivée au ses des distributios, de sorte que Du = δ. Si f est ue foctio cotiue C ar morceaux, alors Df = f '. Si f est cotiue ar morceaux et C ar morceaux, ous verros ci-arès commet est défii Df. Trasformée d'ue dérivée : Soit f cotiue, C ar morceaux, telle que f soit ulle sur ],]. O a : L(f ')() = e t f '(t) dt = e t f(t) dt e itégrat ar arties = L(f )() Qu'e est-il our ue foctio cotiue ar morceaux, C ar morceaux? O remarquera, qu'au ses des distributios, avec f = u, o a : L(Du)() = L(δ )() = = L(u)() uisque L(u)() = Cosidéros maiteat ue foctio ayat u ombre fii de discotiuité aux oits d'abscisse a i avec a < a <... < a. Notos s i = f(a + i ) f(a i ) = lim f(t) lim f(t) le saut de f e a i. Posos : x a i x a i x > a i x < a i g(t) = f(t) s u(t a ) s u(t a )... s u(t a ) g est obteue à artir de f e recollat de faço cotiue les morceaux discotius du grahe de f. Vérifios e effet que g est cotiue, ar exemle e a. O a : - 3 -

lim g(t) = lim f(t) s alors que lim g(t) = lim f(t) x a x a x a x a x > a x > a x < a x < a La différece etre les deux limites vaut lim f(t) lim f(t) s qui est ul ar défiitio de s. O x a x a x > a x < a rocède de même aux autres a i. f état ar ailleurs C ar morceaux, il e est de même de g, mais g est de lus cotiue, de sorte que la formule suivate est valide our g : L(g')() = L(g)() L(g')() = L(f(t) s u(t a ) s u(t a )... s u(t a ))() e remlaçat g ar sa défiitio L(g')() = [ L(f)() s e a e a s... s e a ] e utilisat la liéarité de L et la valeur de L(u(t a)) L(g')() = L(f)() s e a s e a... s e a e déveloat L(g')() = L(f)() s L(δ a )() s L(δ a )()... s L(δ a )() e utilisat la valeur de L(δ a ) L(f)() = L(g')() + s L(δ a )() + s L(δ a )() +... + s L(δ a )() = L(g' + s δ a + s δ a +... + s δ a )() e utilisat la liéarité de L O recoaît das g' + s δ a + s δ a +... + s δ a la dérivée de f = g + s u(t a ) +... + s u(t a ) à coditio de redre cette dérivatio au ses des distributios, c'est à dire de dériver les échelos corresodats aux discotiuités de f e des distributios de Dirac. Si f ' = g' e dehors des a i, o a Df = g' + s δ a + s δ a +... + s δ a = f ' + s δ a + s δ a +... + s δ a. Sous cette coditio, la relatio : reste valable. L(Df )() = L(f)() EXEMPLES : Das les exemles, ous avos rajouté systématiquemet u(t) e facteur our bie raeler que les foctios sot ulles our t < : Preos f(t) = u(t)si(ωt), cotiue sur. O a Df = f '(t) = ωu(t)cos(ωt) or L(u(t)si(ωt))() = ω + ω ω L(ωu(t)cos(ωt))() = + ω L(u(t)cos(ωt))() = ce qui est bie vérifié. + ω Preos f(t) = u(t)cos(ωt) discotiue e avec u saut égal à. O a, au ses des distributios, Df = f '(t) + δ = δ ωu(t)si(ωt). or L(u(t)cos(ωt))() = + ω L(δ ωu(t)si(ωt))() = + ω = ωl(u(t)si(ωt))() - 3 -

L(u(t)si(ωt))() = ω ce qui est bie vérifié. + ω Preos f(t) = u(t)e at, discotiue e, avec u saut de. Sa dérivée au ses des distributios, vaut Df = f '(t) + δ = δ au(t)e at. Doc : L(δ au(t)e at ) = L(u(t)e at ) al(u(t)e at ) = L(u(t)e at ) L(u(t)e at ) = ce qui est bie le cas. + a Foctio de trasfert d'u système : U système, automatique, mécaique, ou électrique, reçoit e etrée ue commade e(t) déedat du tems, et fourit e sortie u sigal s(t) déedat du tems égalemet. Par exemle, e(t) est l'agle d'ouverture d'u robiet et s(t) le débit d'eau du robiet. Ou bie e(t) est l'agle dot o toure u bouto et s(t) le iveau soore d'u haut-arleur... Das de très ombreuses situatios, e et s sot reliées ar ue relatio reat la forme d'équatio différetielle liéaire à coefficiets costats : a D s +... + a Ds + a s = b m D m e +... + b De + b e O suose que e et s sot uls our t <. O met le système e marche à t = e agissat sur e. O souhaite coaître s. Ue méthode de résolutio aisée reose sur la trasformée de Lalace. Notos S() = L(s)() et E() = L(e)(). Comte teu de la relatio L(Df)() = L(f)(), qui, itérée, doe L(D f)() = L(f)(), o obtiet : (a +... + a + a )S() = (b m m +... + b + b )E() S() = b m m +... + b + b a +... + a + a E() = H() E() avec H() = b m m +... + b + b a +... + a + a. H, idéedate de l'etrée choisie, est itrisèque au système. O l'aelle foctio de trasfert du système. La méthode de résolutio cosiste, au moye de tables de trasformées de Lalace à : (i) détermier la trasformée de Lalace E de l'etrée e(t) (ii) calculer le roduit S() = H()E() et, la luart du tems, le réduire e élémets simles. (iii) détermier la trasformée de Lalace iverse de S à l'aide la table des trasformées de Lalace. EXEMPLE : Circuit série RC. E t =, o ferme u circuit coteat e série u géérateur de tesio v, ue résistace R, ue caacité C de charge ulle. v R C Si i est l'itesité du courat, o a : i - 33 -