1. Probabilités sur les ensembles finis

. Probabilités sur les esembles fiis.. RAPPELS ET COMPLEMENTS. VOCABULAIRE DES EVENEMENTS Das ue expériece aléatoire, l'uivers Ω est l'esemble des résultats possibles. U évéemet est ue partie de l'uivers. U évéemet élémetaire est u évéemet possédat u seul élémet. Des évéemets A, B sot disjoits, ou icompatibles, si et seulemet si A B =. L'évéemet cotraire d'u évéemet A est l'esemble A des élémets de Ω 'apparteat pas à A. O ote P( Ω ) l'esemble des évéemets de l'uivers Ω. Exemple X X 3 Das le cas d'u lacer de dé, A = {5, 6} est X 5 A X 4 u évéemet de Ω puisque A Ω ; A P( Ω ) X 6 X. CALCUL DES PROBABILITES Défiitio Soit Ω u uivers fii. Ue probabilité sur Ω est ue applicatio P de l'esemble P( Ω ) des évéemets das l'itervalle [0, ] telle que Axiome P( Ω ) = ; Axiome Pour tous évéemets A et B, si A B =, alors P( A B ) = P(A) + P(B). Propriétés Pour tout évéemet A : P( A ) = - P(A). P( ) = 0 Pour tous évéemets A et B : P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) La probabilité d'u évéemet A est égale à la somme des probabilités des évéemets élémetaires iclus das A. Cas particulier importat: l'équiprobabilité L équiprobabilité correspod au cas où tous les évéemets élémetaires ot la même probabilité. Si les évéemets élémetaires sot équiprobables, chacu a la probabilité Das le cas où tous les évéemets élémetaires ot la même probabilité, la probabilité d'u évéemet A, est : P(A) = ombre d'élémets de A = ombre de cas favorables ombre d'élémets de Ω ombre de cas possibles Propriété : P( A) = P( A B) + P( A B ) E effet B B = Ω et A = A Ω = A ( B B ) = ( A B) ( A B ) BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page

.. PROBABILITE CONDITIONNELLE, EVENEMENTS INDEPENDANTS. PROBABILITE CONDITIONNELLE.. Exemple Cosidéros u lacer de dé das le cas de l'équiprobabilité des évéemets élémetaires de Ω = {,, 3, 4, 5, 6}. Soit A l'évéemet «le résultat est pair» : A = {, 4, 6} Soit B l'évéemet «le résultat est supérieur ou égal à 4» : B ={4, 5, 6} O a P(A ) = 3 = ; de même P(B) = 6 X 3 Dire que A est réalisé sigifie que le résultat est, 4 ou 6. X Alors B est réalisé das deux de ces trois cas équiprobables lorsque le résultat est 4 ou 6, c'est-à-dire lorsque A B est réalisé. Aisi, la probabilité de B sachat que A est réalisé est P( A B) 3. Nous remarquos que P( A) Soit C = { 3, 4, 5} O a P(C) = 3 = 6 Lorsque A est réalisé, C est réalisé das u seul cas : quad le résultat est 4, c'est-à-dire quad A C est réalisé. Aisi, la probabilité de C sachat que A est réalisé est P( A C) 3. Nous remarquos que P( A) = 3 = 3 E coclusio, le fait de disposer de l'iformatio supplémetaire «A est réalisé» modifie la probabilité de B et celle de C; ous avos itroduit ici ue ouvelle probabilité des évéemets B et C. Défiitio Soit P ue probabilité sur Ω et soit A u évéemet de probabilité o ulle. La probabilité sachat que A (est réalisé) est l'applicatio P A qui, à tout évéemet P( A B) B, associe le ombre PA ( B) = P( B / A) = P A ( ) P A (B) se ote aussi P( B A ) et se lit «probabilité de B sachat A», «réalisé» état sous-etedu. Propriétés Pour tous évéemets A et B de probabilités o ulles, P A B = P B A P A = P A B P B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A X X 4 X 6 X 5 B Défiitio. EVENEMENTS INDEPENDANTS Les évéemets A et B sot idépedats si et seulemet si P( A B) = P( A) P( B) Exemple Cosidéros le tirage au hasard d'ue carte d'u jeu de 3 cartes. L'expressio «au hasard» permet de cosidérer qu'il y a équiprobabilité des 3 évéemets élémetaires : «tirer l'as de pique», «tirer l'as de coeur»,..., «tirer le 7 de trèfle». Soit A l'évéemet «tirer u as». A a quatre élémets, puisqu'il y a quatre as das le jeu. Doc ( ) 4 P A = = 3 BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 8

Soit B l'évéemet «tirer u cœur» : B a huit élémets, puisqu'il y a huit cœurs das le jeu. 8 P B = = 3 Doc ( ) 4 A B est l'évéemet «tirer l'as de coeur» ; P( A B) = 3 P A P B = = = P A B 8 4 3 Nous costatos que ( ) ( ) ( ) Doc les évéemets A et B sot idépedats. Soit C l'évéemet «tirer u as rouge» : C a deux élémets, puisqu'il y a deux as rouges (cœur et carreau) das le jeu. P C = = 3 Doc ( ) 6 B C est l'évéemet «tirer l'as de cœur» ; P( B C) = 3 Doc les évéemets B et C e sot pas idépedats. 4 6 64 s Das le cas où A et B ot des probabilités o ulles, A et B sot idépedats si et seulemet si Nous costatos que P( B) P( C ) = = P( B C ) ( ) = P( B) ou P( A B) = P( A) P B A Cela sigifie que la réalisatio d'u des deux évéemets 'a pas d'ifluece sur celle de l'autre. Ne pas cofodre pour des évéemets A, B : A et B sot icompatibles: A B = 0et A et B sot idépedats : P( A B) = P( A) P( B).3. DENOMBREMENTS ELEMENTAIRES. APPLICATION D UN ENSEMBLE FINI DANS UN ENSEMBLE FINI.. Exemple Ue etreprise recherche des techicies supérieurs d'ue même spécialité pour ses trois usies, chacue pouvat e accueillir jusqu'à ciq. A l'issue des etreties avec les postulats, quatre persoes seulemet ot été recrutées. De combie de faço peut-o les affecter, c'est-à-dire les répartir etre les trois usies, sachat que, par exemple, les quatre techicies peuvet être affectés das ue seule et même usie? O ote E 4 l'esemble des quatre persoes recrutées otées X, Y, Z, T et F 3 l'esemble des trois usies otées A, B, C. Répartir ces quatre persoes etre les trois usies, c'est associer à chaque persoe ue usie et ue seule ; c'est doc défiir ue applicatio f de l'esemble E 4 = {X, Y, Z, T} das l'esemble F 3 = {A, B, C}. Il y a doc autat de répartitios possibles que d'applicatios de E 4 das F 3, c'est-à-dire de braches termiales das l'arbre ci-après (ue applicatio est schématisée aisi par ue successio de braches depuis le poit cetral commu jusqu'à l'extrémité d'ue brache termiale) ; A B B C B C Il y a doc 3 4 = 8 répartitios possibles de ces quatre persoes etre les trois usies, c'est-à-dire 3 4 applicatios de l'esemble E 4 à 4 élémets das l'esemble F 3 à 3 élémets... Cas gééral Soit E u esemble à élémets et F p u esemble à p élémets. Le ombre d'applicatios de E das F p est p BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 3

A l'aide de ce résultat, o démotre que si E est u esemble à élémets, alors P(E ) a élémets. Aisi pour Ω = {pile, face}, P(Ω ) a élémets ; pile face : {pile, face} : {pile} face : {face} P( Ω )={, {face}, {pile}, {pile, face}} : Pour Ω = {,, 3, 4, 5, 6}, P(Ω ) a 6 =64 élémets. Pour l'uivers Ω des 3 cartes d'u jeu, P( Ω ) a 3 =49496796 élémets. La croissace très rapide de la suite ( ) est de type expoetiel.. BIJECTION (CAS D ENSEMBLES FINIS) - PERMUTATIONS.. Exemple Ue chaîe d'hypermarchés souhaite stimuler ses vetes das ue ville par ue campage publicitaire comportat ue tombola avec, e particulier, quatre lots prestigieux d'importace décroissate qui sot attribués à l'issue d'ue double sélectio : d'abord u tirage au sort de quatre cliets puis u classemet de ceux-ci à l'aide d'ue série d'épreuves publiques. Das la phase de classemet, de combie de faços ces quatre lots peuvet-ils être répartis etre les quatre cliets tirés au sort? Soit E 4 l'esemble des quatre lots et soit F 4 l'esemble des quatre cliets tirés au sort. Répartir les quatre lots etre les quatre cliets, c'est associer à chaque lot u cliet bééficiaire et u seul ; c'est doc défiir ue applicatios de l'esemble E 4 des quatre lots das l'esemble F 4 des quatre cliets tirés au sort. Cette applicatios est ue bijectio car chaque cliet tiré au sort est bééficiaire d'u lot et d'u seul. Il y a doc autat de répartitios possibles que de telles bijectios, c'est-à-dire de braches termiales das u arbre que l o pourrait costruire Il y a doc 4 3 = 4 répartitio possibles des quatre lots etre les quatre cliets tirés au sort. Ce ombre 4 3 est le produit des ombres etiers aturels de 4 à. 4 3 est oté 4! qui se lit «factorielle 4»... Cas gééral Soit E et F des esembles à élémets. Le ombre de bijectios de E sur F est! = L 3 ( )( ) Permutatio Cosidéros le cas particulier F = E. O appelle permutatio de E ue bijectio de E sur E. Le ombre de permutatios de élémets est! Il existe 4! permutatios des quatre cliets tirés au sort. Pour tout etier aturel o ul,! est le produit de tous les etiers compris etre et. Doc ( ) ( ) ( )( ) +! = + L 3. Doc ( + )! = ( + I)! Pour que cette égalité soit ecore vraie pour = 0, o coviet que 0! =. BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 4

3. ARRANGEMENTS 3.. Exemple Repreos l'exemple précédet. Das ue autre ville, o commece par tirer au sort dix cliets, puis o sélectioe e les classat les quatre gagats des quatre lots prestigieux, les six autres cliets ayat le même lot de cosolatio. De combie de faço les quatre premiers lots peuvet-ils être répartis etre les dix cliets tirés au sort? Pour répartir les quatre lots etre les dix cliets, o met e œuvre ue méthode aalogue à celle utilisée das le paragraphe précédet e costruisat u arbre. Il y a doc 0 9 8 7 listes Possibles des quatre gagats pris parmi les dix persoes. 0 9 8 7 est le Produit des 4 premiers ombres etiers égaux ou iférieurs à 0, le derier de ces etiers est doc 0-4 +. 0 9 8 7 est oté A 4 0 qui se lit «A dix quatre». C'est le ombre de listes (ordoées) de 4 élémets disticts pris parmi 0. O peut exprimer A 4 0 à l'aide de factorielles : A 0 ( ) 0 9 8 7 6 5 4 3 0! 4 = = = 6 5 4 3 6! 3.. Cas gééral 0!! ( 0 4) Défiitio : Soit F u esemble à élémets. U arragemet (sas répétitio) d'ordre p, où p est ue liste (ordoée) de p élémets de F Le ombre d'arragemets d'ordre p de F est A p = ( ) ( p + ) =! L p! Exemples A = 6 5 = 30 A 6 4 8 = 8 7 6 5 = 680 Cas particulier Si = p, alors A O retrouve le cas des permutatios.! = =! 0! 4. COMBINAISONS ( ) 4.. Exemple Repreos otre chaîe d'hypermarchés. Das ue troisième ville, o commece par tirer au sort dix cliets puis o sélectioe sas les classer les quatre gagats de quatre gros lots idetiques, les six autres cliets ayat le même lot de cosolatio. De combie de faços les quatre gros lots peuvet-ils être répartis etre les dix cliets tirés au sort? Soit N le ombre cherché : c'est le ombre de sous-esembles costitués de quatre élémets de l'esemble des dix cliets tirés au sort. Pour chacu de ces sous-esembles, il y a 4! listes (ordoées) costituées avec les quatre élémets. Doc, avec les N sous-esembles différets de quatre élémets, il y a 4!.N listes ordoées costituées de quatre élémets pris parmi les dix cliets tirés au sort. Or, d'après ce qui précède, le ombre de ces listes est A 0! N A Doc 4 0 4 =. D où N 4 A0 0! = = 4! 6!4! Ce ombre est oté C 4 0 qui se lit «C dix quatre». 4 BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 5

4.. Cas gééral Soit F u esemble à élémets. Ue combiaiso (sas répétitio) d'ordre p, où p, est ue partie de F à p élémets. Le ombre de combiaisos d'ordre p de F est! C p p = oté aussi p! p! Exemples 4 C6 = 5 C8 = 70 Propriétés p p A C = p! C p ( ) C 0 = et C = p p+ p+ = C C = C + C + p Triagle de Pascal Il s'agit d'u tableau doat les ombres lorsque, état fixé, p varie de 0 à. Das le triagle de gauche ci-dessous, dit «triagle de Pascal», chaque ombre est la somme des deux ombres situés immédiatemet à gauche et à droite sur la lige du dessus, par exemple + -> 3 O obtiet alors les différetes valeurs de C p idiquées à droite. C 0 0 C 0 + C 0 3 3 C 3 0 4 6 4 C 4 0 4.3. Formule du biôme de Newto Quels que soiet les ombres réels a et b, et pour tout etier aturel o ul, o a : ( ) a + b = C a b p= 0 p p p Démostratio : (a + b)" = (a + b)(a + b)...(a + b) facteurs O obtiet chaque terme a -p b p du secod membre du résultat e preat p fois le ombre b parmi les facteurs (a + b ). Il a doc C p faço d'obteir a -p b p. Applicatio Développer ( + x) 6 O trouve ( + x) 6 = + 6x + 5x + 0x 3 + 5x 4 + 6x 5 + x 6 Pour déombrer, o utilise gééralemet l u de ce trois schémas Diagramme de Ve Arbre des évéemets Diagramme de Caroll A A B B Ω Choix pour A C 4 Choix pour B C 3 C C 4 C C 3 C C 4 3 C 3 3 A A C 4 4 Alice au pays des merveilles B B BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 6

. Variable aléatoire à valeurs réelles.. LOI DE PROBABILITE FONCTION DE REPARTITION. EXEMPLE.. Calcul de probabilités sur u uivers Ω Tiros au hasard ue boule d'ue ure coteat ue boule rouge R, ue boule verte V et ue boule bleue B. Remettos-la das l'ure et effectuos u secod tirage d'ue boule, chacue des trois boules ayat, das ce cas aussi, la même probabilité d'être choisie. Comme ous l'avos vu au chapitre précédet, o peut calculer des probabilités cocerat cette situatio ; choisissos, par exemple, comme uivers Ω l'esemble de tous les couples dot le premier élémet est la boule obteue au premier tirage et le secod, celle obteue lors du secod tirage. er tirage R V B ème tirage R (R, R) (V, R) (B, R) V (R, V) (V, V) (B, V), B (R, B) (V, B) (B, B) D'après l'éocé, les euf évéemets élémetaires sot équiprobables : leur probabilité commue est doc 9 Nous pouvos alors calculer la probabilité de tout évéemet aisi, par exemple, la probabilité de tirer au mois ue boule verte est : P({(R, V), (V, R), (V, V), (V, B), (B, V)}) = 5 9.. Variable aléatoire à valeurs réelles Complétos la situatio précédete par ue règle du jeu Pour chaque boule rouge tirée, o gage 6. Pour chaque boule verte tirée, o gage. Pour chaque boule bleue tirée, o perd 4. Soit X l'applicatio de Ω das IR qui, à tout tirage de deux boules décrit au paragraphe précédet, associe le gai aisi obteu ; ue perte est cosidérée comme u gai égatif. (R, R) (V, R) (R, V) 7 (B, R) (V, V) (R, B) (V, B) -3 (B, V) (B, B) -8 X:ω a X ( ω), gai obteu avec le tirage ω. Ω IR. X est ue variable aléatoire à valeurs réelles. L esemble {-8, -3,, 7, } des gais possibles, c'est-à-dire des valeurs prises par X, est oté X(Ω). X(Ω) = {-8, -3,, 7, } est l'image de Ω par X. O peut défiir plusieurs variables aléatoires sur u même esemble Ω. il suffit, par exemple, de créer de ouvelles règles du jeu..3. Probabilité image défiie par ue variable aléatoire Das la situatio décrite ci-dessus, u joueur préfère, avat de jouer, coaître la probabilité de gager ou de perdre 3 plutôt que celle de tirer telle ou telle boule de couleur. Aussi allos-ous chercher à bâtir, à partir de la probabilité P défiie sur Ω, ue ouvelle probabilité P défiie sur X(Ω) = {-8, -3,, 7, }. Pour toute partie E de X(Ω), o veut défiir ue probabilité P'(E) à l'aide de P et de X. Observos par exemple sur la figure le sigleto {} de X(Ω). Il est l'image par X de la partie { (B, R), (V, V), (R, B) } de Ω. BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 7

Or P({ (B, R), (V, V), (R, B) }) = 3 9 = 3 Aussi est-il «aturel» de poser P'( )= 3 De même, soit G l'évéemet «avoir u gai positif». G = {, 7, } puisque X(Ω)= {-8, -3,, 7, }. G est l'image de X de la partie { (R, R), (V, R), (R, V), (B, R), (V, V), (R, B) } de Ω costituée de six évéemets élémetaires de Ω. Doc P({ (R, R), (V, R), (R, V), (B, R), (V, V), (R, B)}) = 6 9 3 = Il est aturel de poser P'(G)= 3 Aisi P'(G) est la probabilité (mesurée par P) de l'esemble des élémets ω de Ω dot l'image X(ω) par X appartiet à G. ({ }) ( ) ω ( ω) P G = P Ω; X G. D'ue maière géérale, soit P l'applicatio qui à toute partie A de ({ }) ( ) ω Ω; ( ω) P A = P X A X(Ω) = {-8, -3,, 7, } associe le ombre O peut démotrer que P' vérifie les axiomes d'ue probabilité défiie sur l'esemble des parties de X(Ω) P' (X(Ω) = ; Pour toute parties A, B de X(Ω), si A B =, alors P ( A B) = P ( A) + P ( B ) P' est la probabilité image de la probabilité P par la variable aléatoire X. O sait calculer la probabilité de 'importe quelle partie de X(Ω) = {-8, -3,, 7, } à l'aide des probabilités des évéemets élémetaires {k}. P = P ω Ω; X ω = ({ }) O adopte pour celles-ci les otatios suivates : ({ }) ( ) Cela se ote plus simplemet : P( X = ). Aisi P( X = ) = 3 D'ue maière géérale, pour tout ombre k de X(Ω), o ote P(X = k) le ombre P { k} = P ω Ω; X ω = k Défiitio ( ) ({ ( ) }).4. Loi de probabilité ou distributio d'ue variable aléatoire La loi de probabilité ou distributio de la variable aléatoire X est la foctio : k a P( X = k) X ( Ω) [ 0, ] Tableau de valeurs diagramme e bâtos /3 k -8-3 7 P(Y = k) /9 /9 /3 /9 /9 /9 /9 Les iformatios coteues das ce tableau de valeurs suffiset pour calculer la probabilité de 'importe quelle partie de X(Ω)..5. Foctio de répartitio { } Nous avos déjà vu, au paragraphe.3, que P(G)= 3 où G ω X( ω) -8-3 7 = Ω; > 0 (G : «avoir u gai positif»). O coviet de oter P(G) = P(X > 0) ; de même, pour l'évéemet cotraire, o ote P( G ) = P( X 0 ). D'ue maière géérale, pour tout ombre réel x, o ote P( X x ) le ombre réel ω Ω; ( ω) ({ }) P X x Par exemple, P( X 0 ) = 3 BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 8

Défiitio La foctio de répartitio de la variable aléatoire X est la foctio F: x a F( x) = P( X x) Représetatio graphique de F /3 /3-8 -3 0 7 F(x) est la somme des ombres P(X = k), s'ils existet, pour lesquels k appartiet à X(Ω) et k Les ombres P(X = k) apparteat à [0, ], la foctio F est croissate (au ses large) sur IR. F(x) = 0 pour tout x < -8. F(x) = pour tout x >. Ce derier résultat est à rapprocher de P'(X(Ω) =. La doée de F suffit à défiir X : e effet, par différece, o peut retrouver la loi de probabilité de X. Aisi 8 F( 7) = et F( 6, 5) = ; comme 7 est le seul élémet de X(Ω) apparteat à l'itervalle [6, 5 ; 7], o a 9 3 P(X = 7) = F(7) - F(6,5), doc P(X = 7) = 9. Cepedat pour ue variable aléatoire comme X, il est plus simple d'utiliser la loi de probabilité que la foctio de répartitio.. AUTRES EXEMPLES.. Exemples de variables aléatoires discrètes. Soit Y la variable aléatoire mesurat le ombre k de voitures euves vedues e u jour par u cocessioaire d'ue certaie marque. Supposos que la loi de probabilité de Y soit la suivate : k 0 3 4 5 P(Y = k) 0,0 0,08 0, 0,3 0,4 0, Bie que l'uivers Ω sur lequel la variable aléatoire Y est défiie e soit pas précisé, ous pouvos effectuer des calculs de probabilités avec Y et représeter graphiquemet la loi de probabilité et la foctio de répartitio de Y. x. Loi de probabilité Foctio de répartitio 0,4 0, 0 5 0 5 La somme des ombres P(Y = k) où k appartiet à {0,,, 3, 4, 5} est P( Y k) 5 k = 0 = =. C'est aussi F(x), pour x 5. BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 9

. Soit X la variable aléatoire mesurat le ombre de lacers d'ue pièce de moaie écessaires pour obteir face pour la première fois, e supposat qu'à chaque lacer pile et face sot équiprobables. X peut predre pour valeur tout ombre etier k supérieur ou égal à. L évéemet X = k correspod à: «obteir pile à chacu des (k - premiers lacers et face au k-ième lacer». ( k) P X = = L (k - ) facteurs E effet les lacers sot idépedats et, à chaque lacer, P(X = k) pile et face o la même probabilité ½ d'être obteus. Doc pour tout k plus grad que, P( X k) = = k Soit u ombre etier aturel o ul. P( X k) raiso q= ½. Doc P( X k) x= = = k = x= k = = = q q E passat à la limite, o ote le résultat suivat : P( X k) x= k = = = k 3 4 5 6 7 est la suite géométrique de premier terme ½ et de Comme P(X = k) = P(X ) = F(), où F est la foctio de répartitio de X, o a alors que lim F( ) = +.. Exemple de variable aléatoire cotiue Das les exemples précédets, les variables aléatoires preet des valeurs «isolées» les ues des autres : aisi, le ombre de voitures vedues ou le ombre de lacers de pièce peut être ou 3, mais i,468, i 3. Or, das les domaies écoomiques et idustriels, o est ameé à étudier des variables aléatoires pouvat predre, au mois théoriquemet, 'importe quelle valeur das IR ou das u itervalle de IR. C'est le cas, par exemple, de la variable aléatoire X mesurat la durée de bo foctioemet, e jours, d'u équipemet particulier fabriqué e grade série, avec l'itervalle [ 0,+ [. Pour ue telle variable aléatoire, les évéemets itéressats e sot pas du type X = 400, ou X = 7,35, mais plutôt X 400 ou X > 000, ou 400 X 00. C'est-à-dire que l'o privilégie, parmi les évéemets, ceux qui correspodet à des itervalles. Pour ue telle variable aléatoire, la foctio de répartitio joue doc u rôle essetiel et permet de calculer des probabilités : o suppose que cette foctio de répartitio F est défiie par ( ) F x F x x = 0 ( ) = ( ) 0 f t dt pour tout x < 0 pour tout x > 0 où f ( t) = 0 00e 0,, 00 t pour tout t 0 Aisi pour tout x, F(x) est l aire de la portio de pla sur la figure ci-dessous 0,00 F(x) O e déduit que P( X ) F( ) x 500 000 400 = 400 0 55,. BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 0

E utilisat l'évéemet cotraire de X > 000, ous obteos P(X > 000) = - P( X 000 ), soit P(X > 000) = -F(000) = 0,4. P( 400 X 00 ) = F(00) F(400) = 0,36 Nous admettos que P(X = 400) = 0 et, de maière géérale, que, pour tout x > 0, o a P(X= x) = 0. Coclusio Pour ue telle variable aléatoire, les valeurs «isolées» k prises par les variables aléatoires discrètes sot remplacées par des itervalles, graphiquemet, la logueur d'u segmet de droite représeté das u diagramme e bâtos est remplacée par l'aire d'ue portio de pla défiie par u itervalle et ue foctio. Propositio : Pour tous a et b tels que b a 0. La foctio f défiie par f (t) = 0 pour tout t < 0, f(t) = 0,00e -0,00t pour tout t 0 ( ) ( ) ( ) ( ) P a X b = F b F a = f t dt est la desité de probabilité de la variable aléatoire X. C'est ue foctio telle que, pour tout t 0, o a f (t) 0. D'autre part, ous x avos vu que, pour tout x 0 : ( ) ( ) F x = f t dt = e 3. CAS GENERAL 0 0, 00 x b a. Doc lim F( x) x + Trois types de variables aléatoires figuret au programme de mathématiques des sectios de techicies supérieurs. Variable aléatoire discrète, preat u ombre fii de valeurs paragraphe.. Variable aléatoire discrète, preat ue ifiité «déombrable» paragraphe.. Variable aléatoire cotiue, ayat ue desité de probabilité. paragraphe.. O étudie ue variable aléatoire e utilisat les défiitios et les méthodes figurat das les exemples du même type cités ci-dessus. =.. ESPERANCE MATHEMATIQUE, VARIANCE, ECART- TYPE. Nous avos vu, au paragraphe précédet, que la doée de la foctio de répartitio d'ue variable aléatoire X permet de calculer la probabilité d'évéemets faisat iterveir X. Cepedat, la foctio de répartitio peut faire iterveir de ombreux itervalles et il peut être itéressat de sythétiser l'iformatio coteue das celle-ci.. ESPERANCE MATHEMATIQUE Nous souhaitos dégager ue «tedace cetrale» des valeurs prises par ue variable aléatoire... Exemple Repreos l'exemple du paragraphe.. O a obteu la distributio suivate pour X: k -8-3 7 P(X = k) 9 La somme des gais multipliés par leur probabilité est : ( 8) ( 3) 9 3 9 + 9 + 3 + 7 9 + 9 = Ce ombre est, par défiitio, l'espérace mathématique de X ; o le ote E(X). C'est le gai moye qu'u joueur obtiedrait s'il jouait u très grad ombre de fois. 9 9 BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page

.. Défiitio L espérace mathématique d'ue variable aléatoire discrète preat valeurs x i avec les probabilités P(X = x i ) = p i, où < i <, est E( X ) Exemple Das le cas du paragraphe.., E(Y) = 3,8 où Y est la variable aléatoire mesurat le ombre de voitures euves vedues e u jour par u cocessioaire..3. Autres exemples = i= p i x i E se référat toujours au paragraphe.., mais au cas, ous avos p x i lim + = i i i i =. O peut démotrer que i i= i=. Ici E(X) = car, par défiitio, E(X) est la limite fiie, si elle existe. E effet das certai cas, cette i= limite existe pas, par exemple si l o décide d attribuer u gai x i = i lorsque la partie s arrête au i ème lacer. L variable aléatoire X a pas alors d espérace mathématique. t E se référat toujours au paragraphe..3, ous avos pour tout a>0, ( ) 0 0 00 0 a 0, 00t tf t dt =, te dt + partie puis e passat à la limite o motre que E(X)=500. O ote alors E( X ) ( ) = tf t dt. E itégrat par.4. s. Soit a et b des ombres réels et soit X ue variable aléatoire d'espérace mathématique E(X). O démotre que ax + b est ue variable aléatoire d'espérace mathématique E(aX + b) = ae(x) + b.. Historiquemet, Pascal a itroduit la otio d'espérace mathématique avat celle de probabilité ; so but était de comparer des jeux de hasard à l'aide de l'espérace mathématique du gai d'u joueur à ue partie. 3. U jeu est équitable si l'espérace mathématique de la variable aléatoire mesurat le gai est égale à la mise. Aisi, das l'exemple du jeu de pile ou face du paragraphe.., comme E(X) =, le jeu est équitable si u joueur doit payer par partie. 4. L espérace mathématique e suffit pas à décrire ue variable aléatoire ; e effet, soit X la variable aléatoire mesurat le gai das ue loterie comportat 000 uméros faisat tous gager 5 et soit Y so aalogue das ue loterie comportat 000 uméros dot u seul est gagat, le lot état de 5 000.. VARIANCE, ECART-TYPE.. Défiitio La variace d'ue variable aléatoire X est, si elle existe, l'espérace mathématique de la variable aléatoire (X - E(X)). O la ote V(X). L écart type de X est σ( X ) = V ( X ).. Théorème Soit X ue variable aléatoire et soit V(X) sa variace (X - E(X)) = X - (E(X))X + [E(X)] Doc V(X) = E( X - (E(X))X + [E(X)] ) D'après la remarque de la fi du paragraphe ci-dessus, V(X) = E(X ) - E(X) x E(X) + [E(X)] puisque E(X) et [E(X)] sot des costates. Doc V(X) = E(X ) - [E(X)]. BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page

Si ces ombres existet, alors V ( X ) = E ( X E( X )) ( ) = E( X ) E( X ) [ ] Coséquece V(aX + b) = a V(X). V(X) = 00 9.3. Exemples et σ ( X ) = 5,77 pour les gais avec le tirage de boules das l'ure. V(Y) =,36 et σ (Y) =,5 pour le ombre de voitures euves vedues e u jour par u cocessioaire. V(X) = 50 000 et σ (X) = 500 pour la durée de bo foctioemet d'u équipemet..3. LOIS USUELLES Parmi les variables aléatoires les plus souvet utilisées, ous allos ous itéresser ici à trois d'etre elles, ue de chacu des types déjà recotrés.. LOI BINOMIALE.. Exemple Das le fichier «Clietèle» d'ue société de vete par correspodace, chaque cliet correspod à ue fiche uique. U tiers des cliets est domicilié das la régio Ile-de-Frace. Tiros ue fiche au hasard e supposat que toutes les fiches ot la même probabilité d'être choisies. Nous pouvos alors predre pour uivers l'esemble Ω = { J J} Frace»., où J est l'évéemet «la fiche tirée est celle d'u cliet d'ile-de- E otat p la probabilité de J et q celle de J o a p = 3 et q = - p = 3 d'après la compositio du fichier et l'équiprobabilité de tirage des fiches. Prélevos aisi ciq fiches avec remise de faço que les ciq tirages d'ue fiche soiet idépedats. Nous pouvos alors predre pour ouvel uivers l'esemble Ω 5 décrit par l'arbre suivat. J (J, J, J, J, J) J J J (J,J,J,J, J ) J J. J J J J.. J er tirage ème tirage ( J, J, J, J, J ) Soit X la variable aléatoire qui, à u tel prélèvemet de ciq fiches, associe le ombre de ces fiches correspodat à des cliets domiciliés das la régio Ile-de-Frace, c'est-à-dire le ombre de J figurat das le quituplet aisi obteu. X(Ω) = { 0,,, 3, 4, 5 }, par défiitio de X. Pour étudier la loi de probabilité, ou distributio, de la variable aléatoire X, commeços par calculer, par exemple, la probabilité P(X = ). Probabilité d'u évéemet élémetaire coteat deux fois J, par exemple ω = {(J, J, J, J, J )} : P(ω = p x q x p x q x q, où p est la probabilité de J et q = p. celle de J, car les ciq tirages sot idépedats. Doc P(ω)= p q 3 O remarque que cette probabilité e déped pas du placemet des deux J das le quituplet. Nombre d'évéemets élémetaires coteat exactemet deux J: C'est le ombre de faços de choisir les deux emplacemets des J parmi les ciq places d'u quituplet Ce ombre est C 5, car das u esemble de ciq élémets il y a C 5 faços de costituer u sous esemble de deux élémets. BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 3

Calcul de P(X = ) : Aisi il existe C 5 évéemets élémetaires de même probabilité p q 3 pour lesquels X pred la valeur. Doc P(X = ) = p q 3 + p q 3 +. + p q 3 C 5 termes. Doc P( X ) 3 = = C p q 0, 39 Le même raisoemet permet d'obteir u résultat aalogue pour chaque probabilité P(X = k) où k est u élémet de X(Ω). D où le tableau suivat : k 0 3 4 5 P(X = k) C p q 5 0 0 5 C p q 5 4 0,3 0,39 O peut tracer u diagramme e bâtos O pourrait étudier aussi la foctio de répartitio de X. C p q 5 3 0,39 5 C p q 5 3 3 0,65 4 4 C5 p q 0,04 C p q 5 5 5 0 0,004.. Défiitio - Propriétés Ue variable aléatoire X suit la loi biomiale B(, p) de paramètres et p, où est u ombre etier aturel et p u ombre réel compris etre 0 et, lorsque sa loi de probabilité est défiie de la maière suivate : k k k Pour tout ombre etier aturel k, tel que 0 k, P( X = k) = C p ( p) Exemple La variable aléatoire X étudié au paragraphe précédet suit la loi biomiale B(5, 3 ) D'après la formule du biôme de Newto, o peut vérifier que P( X k) = = x= Nous avos doc vérifié que, quels que soiet l'etier aturel et le ombre réel p compris etre 0 et, la somme de ces probabilités est. Propriétés Soit X ue variable aléatoire suivat la loi biomiale B(, p) E(X) = p, V(X) = p( -p), σ( X ) = p( p)..3. Champ d'itervetio de la loi biomiale Il s'agit de décrire ue situatio type das laquelle apparaît ue variable aléatoire suivat la loi biomiale. O cosidère ue «épreuve aléatoire» élémetaire pouvat déboucher sur deux résultats et deux seulemet, appelés par exemple «succès» et «échec», de probabilités respectives p et q = - p. O réalise fois cette épreuve aléatoire avec remise et o ote X la variable aléatoire mesurat le ombre de «succès» obteus au cours de ces épreuves aléatoires élémetaires. Si ces épreuves aléatoires élémetaires sot idépedates, alors X suit la loi biomiale B(, p). O a vu au paragraphe précédet que, das le cas de tirages avec remise, il y a idépedace etre les tirages. E revache, lorsque les tirages sot sas remise, ou exhaustifs, il 'y a plus idépedace etre les tirages, car la compositio du fichier chage d'u tirage à l'autre. Das ce cas, X suit ue loi dépedat de trois paramètres :, p et N l'effectif total du fichier. Cepedat, lorsque est «petit» devat N, o peut cosidérer que X suit approximativemet la loi biomiale B(, p) BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 4

. LOI DE POISSON.. Défiitio Ue variable aléatoire X suit la loi de Poisso P(λ) de paramètre positif lorsque sa loi de probabilité est : k λ Pour tout ombre etier aturel k, P( X = k) = e λ k! Exemple La variable aléatoire X mesurat le ombre de cliets se présetat au guichet «Affrachissemets» d'u bureau de poste par itervalle de temps de durée 0 miutes, etre 4 h 30 et 6 h 30, suit la loi de Poisso de paramètre λ = 5. La table du formulaire doe, pour λ = 5, les probabilités des évéemets P(X = k) pour tout etier k. O peut alors faire la représetatio graphique de la loi P(5) Calcul de la probabilité qu'etre 6 h et 6 h 0 mi, 8 persoes au mois se présetet à ce guichet P X 8 = P X < 8 = P X = 0 + P X = + L+ P X = 7 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8) = 0, 867 = 0, 33 P X.. Propriétés Soit X ue variable aléatoire suivat la loi de Poisso σ X = E(X) = λ, V(X) = λ, ( ) λ Aisi, das l'exemple ci-dessus, E(X) = 5 : e moyee, ciq persoes se présetet au guichet par itervalle de dix miutes. Approximatio d'ue loi biomiale par ue loi de Poisso Das ue etreprise, o cosidère que la probabilité d'obteir u article défectueux à la sortie d'ue chaîe de fabricatio est p = 0,05. Lors d'u cotrôle de qualité, o evisage de prélever u échatillo de 0 articles. Bie que ce prélèvemet soit exhaustif, ous cosidéros que la productio est suffisammet importate pour qu'o puisse assimiler ce prélèvemet à 0 tirages avec remise, doc idépedats, d'u article défectueux ou o. La variable aléatoire X mesurat le ombre d'articles défectueux d'u tel échatillo suit alors la loi biomiale B( 0 ; 0,05), et l'espérace mathématique de X est 0 x 0,05 = 6. Comparos la loi de X avec celle d'ue variable aléatoire Y suivat la loi de Poisso P(6). k 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 Loi de X 0,00 0,03 0,04 0,087 0,34 0,63 0,65 0,4 0,05 0,069 0,040 0,0 0,00 Loi de Y 0,00 0,05 0,045 0,089 0,34 0,6 0,38 0,03 0,069 0,04 0,03 0,03 0,0 O observe que la loi de la variable Y est suffisammet proche de celle de X pour qu'o puisse utiliser la loi de Poisso pour calculer par exemple la probabilité qu'u échatillo de 0 articles cotiee au mois u article défectueux, puis la probabilité que cet échatillo cotiee au plus trois articles défectueux. O admet que si est «grad», p «voisi» de 0 et p pas «trop grad», alors la loi B(, p) est très proche de la loi P(λ) où λ = p O coviet e gééral d'utiliser cette approximatio lorsque > 30, p < 0, et p < 5, ou lorsque >- 50, p <- 0, et p < 0..3. Champ d'itervetio de la loi de Poisso L idée à reteir est qu'ue loi de Poisso iterviet das la modélisatio de phéomèes aléatoires où le futur est idépedat du passé. BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 5

Aisi, ue loi de Poisso peut iterveir das des problèmes cocerat : les paes de machies, les siistres (couverts ou o par ue assurace), les appels téléphoiques das u stadard, les files d'attete, la mortalité, le temps de guériso de petites blessures, les stocks, Il est à oter que si le ombre de taxis passat à u edroit doé pedat u certai itervalle de temps peut être mesuré par ue variable aléatoire suivat ue loi de Poisso, il 'e est pas de même pour les autobus ou les trais, qui ot des heures de départ fixes : le futur, l'istat de leur passage à u edroit doé, 'est pas idépedat du passé, l'istat fixé de leur départ à u poit fixe. 3. LOI NORMALE 3.. Défiitio Défiitio Ue variable aléatoire X suit la loi ormale. N(m, σ) de paramètres m et σ lorsque sa desité de probabilité est la foctio f défiie sur IR par f ( t) Exemples La foctio f, est la desité de probabilité de la loi ormale. N (, ). ( ) La foctio f, est la desité de probabilité de la loi ormale. N (0, ). ( ) = e σ π f t = e σ π f t = e σ π Soit X ue variable aléatoire suivat la loi ormale. N(m, σ) : σ X = σ E(X) = m V(X) = σ ( ) t m σ t Aisi, ue variable aléatoire X qui suit la loi ormale, N(0, ) a pour espérace mathématique 0 et pour écart type. La loi ormale. N(0, ) est dite loi ormale cetrée réduite. 3.. Loi ormale cetrée réduite - N(0, ) t Théorème Si ue variable aléatoire suit la loi ormale N(m, σ) alors la variable aléatoire T ormale cetrée réduite N(0, ). = X m σ suit la loi Ce résultat est très importat, car il permet de limiter l'étude des lois ormales à celle de la seule loi ormale cetrée réduite. N(0, ), dot la desité de probabilité a pour représetatio graphique la courbe suivate. Π(t) - - 0 t BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 6

Pour calculer la probabilité d'u évéemet cocerat ue variable aléatoire T suivat la loi ormale. N(0, ), o utilise e gééral la table du formulaire et les deux propriétés suivates de cette courbe : Cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordoées. L'aire totale comprise etre la courbe et l'axe des abscisses est égale à. Exemples. Calcul de P(T,67) = Π(,67 ) La table doe directemet le résultat. Il suffit de trouver les deux premiers chiffres de t das la première coloe, soit,6 : le troisième chiffre de t est idiqué das la première lige, soit 0,07. La répose est doée à l'itersectio de la lige correspodat à,6 et de la coloe correspodat à 0,07, soit P(T,67) = 0,95 5.. Calcul de P(T,5). P(T,5) = - P(T <,5). Or Π(,5) P(T,5) et P(T =,5) = 0 puisque T est ue variable aléatoire cotiue, d'où P(T,5) = - Π(,5) = - 0,8944 = 0, 056. 3. Calcul de P(T -,67). P(T -,67) = Π(-,67) = P(T,67) vu la symétrie de la courbe = - Π(,67) = - 0,955 = 0,0475. 4. Calcul de P( t T t ) ( ) ( ) P( t T t ) = Π t Π t Das le cas particulier où t = t o pose t=t >0. Alors P( -t T t ) = Π(t) - Π(-t) = Π(t) ( - Π(t) ) vu la symétrie de la courbe. = Π(t) - ( ) P( t T t) = Π t Coséquece Soit X ue variable aléatoire suivat la loi ormale, N(m, σ) o sait que T = Pour t > 0, P( -t T t ) = P( -tσ σt tσ ) = P( m - tσ m - σt m + tσ ) Aisi, e particulier,. P( m - σ m - T m + σ ) 0,95 σ π X m suit la loi ormale. N(0, ). σ m 3 σ m + 3 σ m-3σ m-σ m-σ m+σ m+σ m+3σ 0,5 0,68 0,95 0,997 BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 7

3.3. Approximatio due loi biomiale par ue loi ormale Propositio O admet que si est «grad» et p i «trop voisi» de 0 i «trop voisi» de, alors la loi B(, p) est très proche de la loi N(m,σ), où m = p et σ = p( p) L'itérêt de cette approximatio est de simplifier les calculs umériques. O coviet e gééral d'utiliser cette approximatio lorsque p et ( - p) sot supérieurs à 5, ou lorsque p et ( - p) sot supérieurs à 0. O peut de même être ameé à approcher ue loi de Poisso par ue loi ormale. 3.4. Champ d itervetio de la loi ormale Ue loi ormale iterviet das la modélisatio de phéomèes aléatoires possédat de ombreuses causes idépedates dot les effets s'ajoutet, sas que l'u d'eux soit domiat. Compte teu de la complexité des phéomèes écoomiques et sociaux, la loi ormale iterviet das tous les secteurs. Comme ue loi ormale est défiie par la doée de deux paramètres m et σ, o peut la predre pour modèle das des phéomèes où des études statistiques prélimiaires coduiset à des histogrammes très différets. E effet, pour ue même valeur quelcoque de m, o peut avoir des courbes variées. O peut même utiliser ue loi ormale pour ue variable aléatoire mesurat ue quatité e variat pas aléatoiremet das IR mais das ue partie de IR seulemet, par exemple ]0; 30]. C'est le cas e particulier lorsque X mesure u prix, ue logueur ou ue masse. Aisi, e cotrôle de qualité, il est a priori étoat d'evisager le calcule de la probabilité d'évéemets tels que X -4, X > 00, lorsque X, mesurat ue logueur, suit la loi ormale de moyee m = 0 cm et d'écart type σ = cm ; il est e effet impossible, das ue même chaîe de fabricatio, d'obteir u produit de logueur -5 cm ou 0 cm. Avec la loi ormale, o obtiet d ailleurs P(X -4) 0 et P(X > 00) 0. Ces résultats sot compatibles avec la réalité. E revache, il peut être imprudet de choisir pour modèle ue loi ormale lorsqu'ue étude statistique préalable débouche sur u petit ombre de classes de grade amplitude. Efi, lorsque les effets de ombreuses causes idépedates sot multiplicatifs, la loi ormale e costitue pas u bo modèle. Il est préférable de s'orieter vers ue autre loi, par exemple la loi «logormale»..4. SOMME DE DEUX VARIABLES ALEATOIRES. EXEMPLE.. Exemple Deux représetats A et B d'ue même etreprise travaillet e équipe pedat u mois pour proposer des cotrats à d'évetuels cliets. A est chargé de placer de ouveaux cotrats à des cliets actuels de l'etreprise, tadis que B doit prospecter de ouveaux cliets. Soit X (resp. Y) la variable aléatoire mesurat le ombre de cotrats obteus par A (resp. B) au cours d'ue demi-jourée. O suppose que X pred des valeurs das {0,,, 3}, que Y pred des valeurs das { 0, } et que, pour tout élémet x de {0,,, 3} et pour tout élémet y de { 0, }, la probabilité P(X = x et Y = y) est doée par le tableau suivat : X 0 3 Y 0 0,05 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 0,05 L'etreprise s'itéresse à la variable aléatoire, otée X + Y, mesurat le ombre total de cotrats obteus par l'équipe costituée de A et de B au cours d'ue demi-jourée. X + Y pred ses valeurs das {0,,, 3, 4} L'évéemet X + Y = 0 correspod à (X = 0 et Y = 0 ). Doc P(X + Y = 0) = 0,05. L évéemet X + Y = correspod à (X = et Y = 0 ) ou (X = 0 et Y = ) ; ces deux deriers évéemets état icompatibles, o a : P(X+ Y= ) = P(X= et Y=0)+P(X= 0 et Y= ) = 0,5+0,0 = 0,5. Par u raisoemet aalogue, o obtiet le tableau suivat : k 0 3 4 P(X + Y = k) 0,05 0,5 0,40 0,5 0,05 L espérace mathématique de la variable aléatoire X + Y est E(X+Y) = 0x0,05+x0,5+x0,40+3x0,5+4x0,05 = BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 8

La variace de X + Y est V(X +Y) = (0-) x0,05+(-) x0,5+(-) x0,40+(3-) x0,5+(4-) x0,05 V(X + Y) = 0,9. s. Le tableau iitial permet de détermier les lois de probabilité respectives de X et de Y E effet, l'évéemet X = 0 correspod à (X = 0 et Y = 0 ) ou (X = 0 et Y = ). Doc P(X = 0) = P(X = 0 et Y = 0) + P(X = 0 et Y = ) = 0,05 + 0,0 = 0, 5. O obtiet de même P(X = ), P(X = ) et P(X = 3) e ajoutat les ombres figurat das ue même coloe du tableau iitial. D'autre part, l'évéemet Y = 0 correspod à (X = 0 et Y = 0 ) ou (X = et Y = 0 ) ou (X = et Y = 0 ) ou (X = 3 et Y = 0 ). Ces quatre évéemets état icompatibles deux à deux, P(Y = 0) est la somme des probabilités de ces évéemets : P(Y = 0) = 0,05 + 0,5 + 0,0 + 0, 0 = 0,5. L'évéemet cotraire Y = a doc pour probabilité P(Y = ) = - P(Y = 0) = 0,5. O peut alors compléter le tableau iitial X 0 3 Y loi de Y 0 0,05 0,5 0,0 0,0 0,5 0,0 0,0 0,5 0,05 0,5 loi de X 0,5 0,35 0,35 0,5. Iversemet, la doée des lois margiales de X et Y e suffit pas à défiir le tableau iitial : le ouveau tableau obteu e permutat les deux liges du précédet est différet de celui-ci et il correspod cepedat aux même lois margiales de X et Y 3. Les variables aléatoires X, Y et X + Y ot pour espérace mathématiques respectives : E(X) =,5 E( Y) = 0,5 E(X + Y) = Doc E(X + Y) = E(X) + E( Y). Les variaces de ces mêmes variables aléatoires sot V(X) = 0,85 V(Y) = 0,5 V(X +Y) = 0,9 Doc V(X + Y):# V(X) + V(Y)... Exemple Repreos l'exemple, utilisé pour itroduire la loi biomiale, du fichier «Clietèle» das lequel u tiers des fiches correspodet à des cliets domiciliés das la régio Ile-de-Frace. Effectuos u premier tirage avec remise e supposat que toutes les fiches ot la même probabilité d'être choisie. La variable aléatoire X qui pred la valeur si la fiche tirée correspod à u cliet d'ile-defrace et qui, sio, pred la valeur 0, a pour loi de probabilité k 0 P(X l = k) 3 3 La variable aléatoire X défiie de la même faço pour u secod tirage avec remise a la même loi de probabilité. La variable aléatoire, otée X + X mesurat le ombre de fois qu'ue fiche d'ile-de-frace est obteue au cours des deux tirages, pred des valeurs das {0,, }. L'évéemet X + X = 0 correspod à (X = 0 et X = 0) Doc P(X + X = 0) = P(X = 0 et X = 0) = P(X = 0) x P(X = 0) car les tirages état avec remise, les évéemets X = 0 et X = 0 sot idépedats. O obtiet alors la loi de probabilité de X + X k 0 P(X l + X = k) 4 9 4 9 9 L'espérace mathématique de X + X est E(X + X ) = 3 La variace de X + X est V(X + X ) = 4 9 E(X + Y) = E(X) + E( Y). V(X + Y) = V(X) + V(Y). das ce cas très précis. BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 9

. INDEPENDANCE DE DEUX VARIABLES ALEATOIRES Défiitio Soit X ue variable aléatoire discrète preat u ombre fii de valeurs k, k,, k i, k. Soit Y ue variable aléatoire discrète preat u ombre fii de valeurs k, k, k j, k. X et Y sot idépedates si pour tout i, i, et pour tout j, j p, o a: P(X = k i et Y = k j ) = P(X = k i ) x P(Y = k j ). Exemple O peut vérifier que das l exemple, les variables aléatoires X et Y e sot pas idépedates. Exemple O a remarqué que, les tirages état effectués avec remise, le résultat d'u tirage est idépedat du résultat d'u autre tirage, et cela quels que soiet ces résultats. Aisi, les variables aléatoires X et X sot idépedates. O peut démotrer qu'ue variable aléatoire qui suit ue loi biomiale B(,p) est la somme de variables aléatoires de Beroulli idépedates de même paramètre p. 3. ESPERANCE MATHEMATIQUE D UNE SOMME DE VARIABLES ALEATOIRES Propositio E(X + Y) = E(X) + E(Y), si ces ombres existet. 4. VARIANCE DE LA SOMME DE DEUX VARIABLES ALEATOIRES INDEPENDANTES Propositio X et Y état des variables aléatoires idépedates, V(X + Y) = V(X) + V(Y) 5. SOMME DE VARIABLES ALEATOIRES SUIVANT LES LOIS USUELLES 5.. Lois ormales Propositio si X et X sot deux variables aléatoires idépedates suivat les lois ormales respectives. N(m, σ ) et. N(m, σ ), alors X +X suit la loi ormale de moyee m +m et d'écart type σ + σ Cette propriété des lois ormales est très importate. Avec les mêmes hypothèses, X + X suit la loi ormale de moyee m +m et d'écart type σ + σ Le résultat sur ue somme s'éted à ue somme de variables ormales idépedates. 5.. Lois de Poisso Si X et X sot deux variables aléatoires idépedates suivat les lois de Poisso respectives P(λ ) et P(λ ) alors leur somme X +X est ue variable aléatoire suivat la loi de Poisso P(λ +λ ) BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 0

3. Échatilloage 3.. LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES Cosidéros u évéemet A de probabilité p ; par exemple, A cosiste à obteir pile avec ue pièce usuelle p = ou u as avec u dé usuel p = ou u coeur das u jeu de 3 cartes p = 6 4 Effectuos expérieces idépedates ; par exemple, effectuos lacers d'ue pièce ou d'u dé, ou tirages au hasard avec remise d'ue carte das u jeu de 3 cartes. Pour la i-ème expériece ( i ), otos X i la variable aléatoire qui, si l'évéemet A apparaît, pred la valeur, sio la valeur 0. Aisi, la variable aléatoire S = X + X +... + X i +... + X permet de compter le ombre d'apparitios de l'évéemet A au cours des expérieces. Nous savos que S suit la loi biomiale de paramètres et p. Doc E(S ) = p et V(S ) = pq, où q = - p. S La variable aléatoire pred pour valeur la fréquece d'apparitio de l'évéemet A au cours des expérieces. E S = E S ( ) V S = V S S L'écart type de S L'évéemet «S p p ( ) est ; doc E S = ; doc p V S = ( p) p p ( p) pred ue valeur apparteat à l itervalle ( p) So évéemet cotraire s écrit S p > p ( p) p p ( p) p( p) p +,» s écrit Théorème (admis) p Etat fixé das [0,], pour tout ombre etier > 0 et pour tout ombre réel t > 0, ( ) P S p p p > t t S Ce théorème idique que, pour 'importe quels ombre réel t > 0 et ombre etier > 0, la variable mesurat la fréquece d'apparitio d'u évéemet A de probabilité p au cours de expérieces idépedates pred ue valeur extérieure à l'itervalle p t p ( p) p( p) p + t, avec ue probabilité iférieure ou égale à Exemple : A est l évéemet «choisir au hasard u garço das ue classe composée de 8 filles et garços» p = 0,4 ; = 00 ; t = 0. ( ) P S 00 0 4 > 0 0 4 0 4 00,,, 00 00 t doc P S 00 0, 4 > 0, 35 0, 0 00 BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page

0,05 0,4 0,75 À l'issue de 00 tirages, la fréquece d'apparitio d'u garço est iférieure à 0,05 ou supérieure à 0,75 avec ue probabilité iférieure ou égale à 0,0. E coséquece, cette fréquece est comprise etre 0,05 et 0,75 avec ue probabilité supérieure ou égale à 0,99. Théorème : Avec ue probabilité choisie aussi grade que l'o veut, S pred ue valeur aussi proche que t l'o veut de p lorsque est suffisammet grad: c'est la loi faible des grads ombres. s. Jacques Beroulli avait mis ce phéomèe e évidece vers 700, comme le rappelle Laplace u siècle plus tard : «E multipliat idéfiimet les observatios et les expérieces, le rapport des évéemets de diverses atures qui doivet arriver, approche de celui de leurs possibilités respectives, das des limites dot l'itervalle se resserre de plus e plus et deviet moidre qu'aucue quatité assigable.». La loi faible des grads ombres justifie le poit de vue des «fréquetistes» qui attribuet comme probabilité d'u évéemet ue valeur autour de laquelle la fréquece d'apparitio de cet évéemet se stabilise lorsque le ombre d'expérieces idépedates deviet très grad. Cepedat, par exemple e écoomie, il 'est pas toujours possible d'effectuer de telles expérieces, et o peut alors être coduit à fixer a priori la valeur attribuée à la probabilité d'u évéemet ; o cotrôle et évetuellemet valide ce choix a posteriori, e étudiat ses coséqueces. 3. La loi faible des grads ombres a ue grade importace théorique, mais elle coduit, das bie des cas, à choisir des valeurs de beaucoup trop grades. E effet, cette loi s'appuie sur u résultat de portée très géérale, l'iégalité de Bieaymé- Tchebychev qui, das des cas particuliers, peut être amélioré. 3.. THEOREME DE LA LIMITE CENTREE Comme o e recotre pas toujours des variables aléatoires ormales, il est écessaire d'étudier quelle propriété possède la variable aléatoire X (moyee de variables aléatoires de même loi) lorsque l'hypothèse de ormalité des variables aléatoires X i 'est plus satisfaite. Théorème de la limite cetrée (admis) Soit X, X,, X, variables aléatoires idépedates, suivat toute la même loi, admettat ue moyee µ et ue variace σ (σ 0 ). Pour suffisammet grad, la variable aléatoire X +... + X X = suit approximativemet la loi ormale N µ, σ Coséquece X Pour suffisammet grad, s µ = σ. O a ecore ici E( X ) = µ, V ( X ) X µ σ suit approximativemet la loi ormale N(0, ). = σ et l écart type de X est Mais Y e suit plus ue loi ormale pour tout ; ce 'est que pour les «grades» valeurs de que la loi suivie par X se rapproche d'ue loi ormale.. L iterprétatio statistique de ce résultat sera faite aux paragraphes suivats das deux cas fodametaux. C'est e vue de cette étude que l'hypothèse selo laquelle les X i suivet toutes la même loi a été choisie ; o aurait pu predre ue hypothèse u peu mois restrictive. σ. BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page

3.3. DISTRIBUTION D ECHANTILLONNAGE DES MOYENNES. LE PROBLEME DE L ECHANTILLONNAGE La théorie de l'échatilloage cosiste, coaissat des propriétés d'ue populatio, à détermier des propriétés d'échatillos prélevés das la populatio. E réalité, o est le plus souvet cofroté au problème iverse, celui de l'estimatio : o possède des reseigemets sur u ou plusieurs échatillos, et o cherche à e déduire des iformatios sur la populatio totale. Cepedat, il est importat de s'itéresser d'abord à l'échatilloage, car ous obtiedros aisi des résultats utiles pour l'estimatio. Pour cela, à l'aide du calcul des probabilités, ous allos chercher u modèle théorique décrivat au mieux ue situatio de statistique descriptive. Pour y parveir, ous e cosidéreros ici que des échatillos aléatoires, c'est-à-dire costitués d'élémets pris au hasard das la populatio. Ils sot obteus par tirage das ue ure ou par utilisatio d'ue table de ombres aléatoires ; certaies calculatrices permettet égalemet d'obteir des ombres «pseudo-aléatoires». Nous e ous itéresseros doc pas aux échatillos obteus suivat la méthodes des quotas, qui cosiste à chercher à créer ue ou plusieurs «populatios e miiature» : par exemple, même proportio d'idividus par âge, sexe, catégorie socioprofessioelle, régio,... das la populatio et das u échatillo. Le tirage des élémets d'u échatillo aléatoire peut être sas remise, ou exhaustif ; das ce cas, la compositio de l'ure est modifiée à chaque tirage : les tirages e sot pas idépedats. Sio, le tirage est avec remise, ou o exhaustif ; das ce cas, les tirages sot idépedats. Das la plupart des cas où la populatio a u grad effectif dot o tire ue faible proportio d'élémets, o assimile u tirage sas remise à u tirage avec remise.. DISTRIBUTION D ECHANTILLONNAGE DES MOYENNES Cosidéros ue populatio d'effectif N, de moyee m et d'écart type σ. Prélevos das cette populatio, u échatillo (aléatoire) de taille ; o ote x la moyee de cet échatillo et σ so écart type. Cosidéros les variables aléatoires X, X,... X i,... X où chaque variable aléatoire X i, i, associe au i-ème tirage le ombre correspodat à l'élémet choisi. Si ous supposos que le tirage des élémets de l'échatillo a été effectué avec remise, alors les variables aléatoires X i sot idépedates. Elles suivet toutes la même loi, ot toutes la même moyee m et le même écart type σ. La variable aléatoire X X +... + X = échatillo de taille la moyee de cet échatillo. associe alors à cet échatillo sa moyee x ; plus gééralemet, X associe à tout effectif moyee x x... x i écart type σ ' σ ' σ i ' Échatillo Échatillo Échatillo i Populatio : effectif N, moyee m, écart type σ. X pred pour valeurs les moyees x, x, L, x i, populatio. Lde tous les échatillos de même effectif, prélevés avec remise das la D'après le théorème de la limite cetrée, pour suffisammet grad, X suit approximativemet la loi ormale N m, σ Nous pouvos alléger l'écriture e otat X la variable aléatoire X car ici, état fixe, il 'y a pas de risque de cofusio. Coséquece du théorème de la limite cetrée Cosidéros ue populatio de moyee m et d'écart type σ. Soit la variable aléatoire qui, à tout échatillo aléatoire prélevé avec remise et d'effectif fixé, associe la moyee de cet échatillo. Pour suffisammet grad, X suit approximativemet la loi ormale N m, σ BTS MAI EPouli 8/03/09 @ E. Pouli page 3