Evaluation des Options avec Prime de Risque Variable

Evaluaion des Opions avec Prime de Risque Variable Lahouel NOUREDDINE Correspondance : LEGI-Ecole Polyechnique de Tunisie, BP : 743,078 La Marsa, Tunisie, Insiu Supérieur de Finance e de Fiscalié de Sousse. E-mail : noureddinelahouel@yahoo.fr (006) Résumé L évidence empirique qui a monré que le prix d opions diffère sysémaiquemen de celui de Black-Scholes a airé l aenion de plusieurs chercheurs. L une des approches proposée comme alernaive au modèle de Black-Scholes éai le processus GARCH. Ce dernier évalue les opions en supposan une prime du risque consane. Cee hypohèse es discuée par Chrisoffersen-Jacobs (004), en proposan de considérer une prime de risque variable. Dans ce ravail, on essaie d élaborer une nouvelle version du modèle GARCH d opions qui ien compe de la prime du risque comme une variable condiionnelle. Le processus proposé a fai l obje d une éude empirique sur les opions sur l indice FTSE 00. Les performances, d ajusemen ou-of-sample e de couverure de posiions d opions, de ce dernier son éudiées relaivemen au modèle GARCH simple d évaluaion des opions. Mos clés: Evaluaion d opions, GARCH, volailié, prime de risque, performance, ou-of-sample, couverure.

. Inroducion La première approche d évaluaion des opions a eu le jour en 900 dans la hèse présenée à la Sorbonne, du mahémaicien français Louis Bachelier qui a invené le mouvemen brownien pour modéliser les opions sur les bons (ires) du gouvernemen français. C éai un modèle en emps coninu. La recherche dans ce domaine a éé reprise en 965 par Samuelson. Ce dernier a uilisé le mouvemen brownien géomérique pour modéliser le comporemen aléaoire de l acif sous-jacen. Sur cee base, il a modélisé la valeur aléaoire de l opion à l exercice. La formule proposée éai en grande parie arbiraire. Elle n offre pas les moyens aux acheeurs e vendeurs, ayan des degrés d aversion au risque différens, pour êre d accord sur un prix. Pour remédier à ce problème, Black e Scholes (973) on proposé une approche complèemen nouvelle. Ces deux aueurs on dérivé une formule d évaluaion d un call européen sur une acion ne payan pas de dividende. Ils on ravaillé en éroie collaboraion avec Meron qui a publié la même année cee formule e ses divers prolongemens. L hypohèse cruciale de Black e Scholes es la log-normalié des rendemens des acions: le logarihme de rendemen de l acion sui une loi normale de moyenne e de variance consanes. Des biais associés au modèle de Black e Scholes d évaluaion des opions on éé documenés dans la liéraure (Rubinsein 985, 994; Derman e Kani 994): le rendemen de l acif de base présene une ceraine déviaion par rappor à la log-normalié. Cela signifie que la volailié des rendemens es variable dans le emps. La quesion de modélisaion des rendemens présenan une volailié variable dans le emps a occupée une place imporane dans la liéraure économérique e financière. La première approche modélisan ce ype de rendemen a éé le modèle ARCH proposé par Engle (98). Plusieurs issues d exension de ce dernier en éé envisagées. Une forme généralisée du modèle ARCH a éé éablie par Bollerslev (986), c éai le modèle GARCH qui donne une forme plus parcimonieuse que le modèle ARCH d ordre élevé. Ce ype de modèle es perinen dans la modélisaion du comporemen des renabiliés boursières (Bollerslev, Chou e Kroner; 99). Ce dernier a éé largemen esé dans le cadre d évaluaion des opions. Récemmen, Bin Chang (00) a évalué la performance empirique de ce modèle e celle du modèle de référence de Black e Scholes. Il a aboui au fai que le modèle Black-Scholes es plus performan pour l esimaion in-sample e moins performan pour l évaluaion ou-of-sample. Cependan, ous les modèles GARCH éudiés prennen la prime du risque des rendemens des acifs sous-jacens comme consane. Cee hypohèse es criiquée dans l aricle de Chrisoffersen-Jacobs (004). Ces deux aueurs posen le problème de spécifier cee variable différemmen. Dans ce essaie, on propose de la considérer comme une variable qui bouge dans le emps, en la modélisan par un processus GARCH. Bien sûr, la spécificaion suggérée es jusifiée par cerains ess empiriques.

Le rese du ravail sera organisé ainsi comme sui: dans la deuxième secion, on discuera les modèles GARCH d évaluaion des opions. La secion rois s occupera de proposer le nouveau modèle e ses propriéés. Une applicaion empirique de ce modèle, compléée par une éude de sa performance par rappor au modèle simple, fera l obje de la secion quare. Enfin, la secion cinq va conclure.. Les modèles GARCH des opions.. Cadre héorique des modèles GARCH La liéraure sur les processus ARCH a éé iniiée par Engle (98). Ce son des processus sériellemen non corrélés, don les variances condiionnelles ne son pas consanes, mais avec des variances incondiionnelles (à long erme) consanes. Le modèle ARCH es défini par cee série d équaions : X = µ + ε () ε = u σ () σ = α 0 + q i= αi ε Où X es une série financière, µ es une consane, u es un processus brui blanc de variance, u e ε-i son indépendans l un de l aure, α 0 > 0, αi 0; pour i=,, q e σ es la variance du résidu ε sachan la quanié d informaion disponible en (-). L enier q déermine l ordre de reard. Dans ce modèle la variance peu changer dans le emps, e elle es prédie par les erreurs passées. Une forme plus populaire du processus ARCH es le modèle ARCH généralisé (GARCH) proposé par Bollerslev (986). Dans le modèle GARCH (p,q), la variance σ es spécifiée par : i (3) σ = α 0 + q i= αi ε i + p j= β j σ j (4) Où α0 > 0, αi 0 e β 0; i =,..., q e j =,..., p. Ces conraines son imposées j pour avoir une variance posiive. Le modèle es saionnaire si αi + β j <. Le modèle GARCH le plus simple e le plus uilisé es GARCH (,), qui es donné par : σ = α0 + αε- + βσ (5) 3 q i= p j=

Ce modèle es plus performan dans l ajusemen des rendemens financiers, que d aures plus compliqués (Pagan, 996). Les modèles ARCH e GARCH classiques permeen de prendre en compe le clusering de la volailié sur des données financières, qui es en éroie relaion avec le phénomène de la lepokuricié de la disribuion. Ils ne raien pas l effe d asymérie de cee dernière. Cee quesion a éé considérée par d aures ravaux comme le modèle ARCH à seuil (TARCH) de Rabemananjara e Zakoian (993) e Glosen, Jagannahan e Runkle (993) e le modèle ARCH à composanes (COMP-ARCH) de Engle e Lee (993), parmi aures... Les modèles GARCH des opions Le modèle GARCH peu êre uilisé pour valoriser les opions uniquemen lorsque les séries des rendemens des acifs sous-jacens son suscepibles de suivre un processus de ce ype. Les premiers ravaux d évaluaion des opions dans un cadre des processus GARCH éaien ceux de Duan (995) e Amin e Ng (993). Duan (995) a inrodui un modèle GARCH d opions avec sa validaion empirique. Il a commencé par un modèle pour les rendemens de suppors d une période. Les rendemens condiionnellemen S composés R = Log, où S es le prix de l acif suppor au emps, son modélisés S par : R r + λσ σ Avec : - r es le aux d inérê sans risque, - λ es le prix du risque consan, - η N( 0,). = + η σ (6) La dynamique de la volailié condiionnelle σ es la suivane : q i= p i η i + j= σ = α0 + αi σ β σ j (7) La forme simple de cee équaion s écri alors : σ = α0 + ασ η + βσ (8) Ce ype de modélisaion considère une prime du risque ( λ ) consane. Peer- Chrisoffersen (004) on conseillé de spécifier une prime du risque variable pour améliorer la performance des processus GARCH d évaluaion d opions. On propose une nouvelle approche qui s inscri dans ce cadre. j 4

3. Le modèle GARCH d évaluaion d opions avec prime de risque variable 3.. Hypohèses du modèle H : je considère une économie en emps discre, à vene d acifs à découver possible e à coûs de ransacion e axes nuls. L inceriude es caracérisée par un espace probabilisé ( R,τ, P), où R es l ensemble des réels, τ es la ribu borélienne e P es une mesure de probabilié objecive. Ce espace es muni d une filraion d informaion qui sui un mouvemen brownien sandard. ( F ) 0,... Je cherche à déerminer le premium d un call européen de prix d exercice K, de maurié T e poran sur un acif suppor ne payan pas de dividende. Le premium à calculer es donc supposé foncion du aux d inérê sans risque (consan) r e d un ensemble de variables d éa de R+. H : les variables d éa, desquelles dépend le premium du call européen, son : - Le cours de l acif sous-jacen, S ; - La volailié des rendemens de ce acif, σ ; - La prime du risque de la volailié de ce dernier. 3.. Spécificaion du modèle Sous les hypohèses ci-dessus, si on noe par C le premium d un call européen, alors : ( K, T, r ) C = f, x (9) 3 Avec x es le veceur de variables d éa : x R +. Les rendemens condiionnels son modélisés par : R = r + λσ σ + η σ (0) Où : λ es la prime du risque variable e σ es décrie par l équaion (8). 5

Frenkel (98) exprime la prime de risque variable sous la forme suivane : λ = ω + e () Avec ω la valeur moyenne e e es un brui blanc (de moyenne nulle e de variance ; T es la aille de l échanillon). Cee supposiion es foremen refusée par le es T de Box-Pierce (Q = 8.33) effecué sur des données inraquoidiennes sur l indice FTSE 00 de la période 4//000-30//005. En effe, le reje de l hypohèse nulle de brui blanc indique l exisence d une corrélaion significaive enre les résidus. Telle relaion peu êre confirmée par les figures suivanes : Auocorrelaion Parial Correlaion *** ** ** * * * Figure : FAC pour λ. Auocorrelaion Parial Correlaion ** ** *** *** ** * ** * ** * ** * ** Figure : FAC pour λ. Le fai que les λ son dépendanes peu êre modélisé par un processus de volailié de la forme (Con, 00) : = avec N( 0,) λ ω + υ u u. () Où es un brui blanc de moyenne nulle e es la volailié variable dans le emps u des primes de risque. On propose le cas où sui un processus GARCH : υ υ υ = 0 + a + a υ u b υ (3) Pour assurer la posiivié de la variance dans ce cas, il fau que a0 > 0, a 0 e b 0. La persisance du modèle exige : a + b <. En finance, la prime de risque es définie comme éan la différence enre le aux de rendemens des acifs e le aux d inérê sans risque. Par conséquen, on peu signaler Les données uilisées son les dividendes diminués du aux d inérê sans risque, qui es fixé arbirairemen à 5% par année. Soi un aux quoidien de 0.05/365 = 0.00037. 6

que la corrélaion enre prime de risque e rendemens financiers es significaivemen non nulle. Les deux premiers momens caracérisan le rendemen son alors : E ( ) = r + E( ) R λ σ 0.5σ = r + ωσ 0.5σ = σ λ + σ + ρ σ υ ( R) V ( ) = ( + + ) σ υ ρυ Avec ρ es le coefficien de corrélaion enre R e λ. 4. Applicaion du modèle V Pour évaluer les opions sous la dynamique GARCH, Hardle e Hafner (000) on uilisé une méhode en deux éapes. On essaie d adaper cee procédure à la spécificaion proposée. Telle méhode consise à esimer les paramères des équaions (8), () e (3) dans une première éape sous la mesure de probabilié physique P. Dans la seconde éape, on uilise les paramères ainsi esimés dans une dynamique risque-neure Q pour valoriser l opion. 4.. Les données Nous considérons la période de Janvier 00 qui inclu journées commerciales allan de à3 Janvier. Les données son composées d un même nombre d opions call e d opions pu, 30 pour chaque ype. Pour chaque jour, nous considérons quare mauriés. Les prix d exercice son encadrés par 45 e 65 avec un prix moyen de 56. Pour le aux d inérê, nous fixons arbirairemen un aux annuel égal à 5%. 4.. Esimaion des paramères : Approche in-sample Pour appliquer la première éape de la procédure d évaluaion décrie ci hau, on peu adoper par la méhode de maximum de vraisemblance en maximisan la foncion de log-vraisemblance ci-après : ln L = 0.5T ln T T T ( ) ( ) ( R r ωσ + 0.5σ ) ln 0.5 ln + + π σ υ ρυ (4) ( + ) = = = σ υ + ρυ Les déails sur la relaion enre la dynamique de probabilié physique e celle de risque-neure son expliciés dans Chrisoffersen-Jacobs (004). 7

Les ableaux e monren les paramères esimés du modèle GARCH-PR proposé e ceux du modèle GARCH simple de la secion (celui avec prime de risque consane). Nous esimons les deux modèles pour, ensuie, éudier leurs performances relaives : Paramères r α0 α β Esimaions 0.00037 9.36E-07 (3.7E-07) 0.098308 (0.044) 0.89470 (0.0407) Tableau : Esimaion des paramères du modèle GARCH simple. Paramères r α0 α β ω a0 a b ρ Esimaions 0.00037 9.3E-08 (3.9E-08) 0.0507 (0.03) 0.80400 (0.049) 0.0006 (3.7E-07) 9.38E-07 (3.7E-07) 0.09866 (0.043) 0.89439 (0.43) Tableau : Esimaion des paramères du modèle GARCH-PR. 0.99940 (0.0005) Les écars ypes (valeurs enre parenhèses dans les ableaux) son faibles, ce qui indique que les paramères son sables pendan la période d éude. On remarque que la persisance de la volailié des renabiliés ( α + β ) a diminué dans le modèle GARCH- PR par rappor celle du modèle GARCH simple (0.8907 dans GARCH-PR conre 0.99478 dans GARCH simple). Cela peu êre aribué à l inroducion de la prime du risque variable qui a expliqué une parie de la dynamique des rendemens. Ensuie, le modèle GARCH-PR es le meilleur pour raduire l évoluion de la volailié condiionnelle, éan donnée la valeur de Log-vraisemblance (4886.84 conre 4885.05 pour le modèle GARCH simple). Les paramères obenus seron uilisés dans une dynamique risque-neure pour valoriser l opion. Il convien alors d explicier, ou d abord, la relaion enre la dynamique de probabilié physique e la dynamique risque-neure. 4.3. Evaluaion des opions Pour dériver le modèle GARCH des opions, Duan (995) avai appliqué l évaluaion risque-neure définie comme éan la relaion d évaluaion localemen risque-neure (RELRN). Sous cee mesure, le processus de rendemen devien : R = r σ + η σ ; η N( 0,). (5) Le processus de la variance des rendemens, σ, devien : σ ( ) βσ = α 0 + α σ η λ + (6) 8

Par récurrence, on rouve facilemen que le prix de l acif sous-jacen à la dae de maurié T : S T T T = S exp r( T ) 0.5σ i + ηi σ (7) i= + i= + Le premium d un call européen, de prix d exercice K, peu êre calculé par : C ( ) Q ( r( T ) ) max( K,0) = exp E ST F (8) GARCH F éan généré par { S T, σ +,..., σ T}. Cependan, on ne dispose pas d expression analyique pour le prix d opion. On aura donc besoin de déerminer ce prix à l aide de la méhode de simulaion de Mone Carlo. 4.4. Mesure de la performance ou-of-sample Dans cee sous secion, on propose d éudier la performance ou-of-sample du modèle GARCH-PR relaivemen à celle du modèle simple. La performance du modèle peu êre esimée à l aide d une foncion de pere sandard (sandard loss funcion). Elle représene la moyenne des carrés des erreurs d évaluaion (mean square of valuaion errors : MSE). La performance ou-of-sample peu êre mesurée aussi par le pourcenage moyen des erreurs d évaluaion (mean of pourcenrage errors : MPE). Ces deux mesures on données par : MSE = N N ( i= mod mk Ci Ci ) (9) 00 MPE = N N i= C C mk Ci mod i mk i (0) Avec Ci mk es le prix observé de l opion i, Ci mod es le prix du modèle correspondan. N es le nombre des conras d opion dans l échanillon. En considéran les erreurs d évaluaion mesurées par les équaions (9) e (0), en foncion de moneyness e de maurié en jours. Les résulas obenus son résumés dans les ableaux suivans : La moneyness es le prix de l acif sous-jacen divisé par le prix d exercice de l opion. 9

Maurié en jours [,50] [5,80] [8,0] [,40] >40 Moneyness MSE MPE MSE MPE MSE MPE MSE MPE MSE MPE <0.90 0.90.00.00.03.03.06 >.06 Toues les opions.04 8.456 9.43.43 6.34 3.90 7.00.600-0.00 -.500 0.78.54.3.45 8.34 45.50 7.600.00-0.900 -.700 4.30 5.63 6.3 6.876 3.659 46.0 6.700.400-0.900 -.300.43 4.534 5.786 4.765 3.7 7.0.30.500 -.800-4.300 0.60 0.993.3 5.86 4.745 6.00.900-3.00-4.000-3.700 9.654.0 7.654 7.30 4.564 6.40 5.03 8.40.64 -.000 Tableau 3 : Somme des carrés des erreurs d évaluaion de modèle GARCH simple. Maurié en jours [,50] [5,80] [8,0] [,40] >40 Moneyness MSE MPE MSE MPE MSE MPE MSE MPE MSE MPE <0.90 0.90.00.00.03.03.06 >.06 Toues les opions 3.00 7.456 8.03 0. 4.54 9.90 6.300 -.300-0.00 -.300 9.578.64 8.03 0. 6.76 4.30 6.800.900-0.800 -.400 3.99 5. 6.009 6.6 3.3 4.00 6.000.00-0.800 -.000.3 3.897 5.046 4.3.97 65.60.00.00 -.400-3.800 0.60 0.903.00 4.89 3.445 5.600.700.600-3.500-3.300 8.600.00 5.854-7.0 3.04 6.0 5.039-8.0.00-0.900 Tableau 4 : Somme des carrés des erreurs d évaluaion du modèle GARCH-PR. D après les deux ableaux, 3 e 4, les deux mesures de performance adopées favorisen le modèle GARCH-PR. D un aure côé, la mesure MPE indique que les modèles éudiés enden à surévaluer les opions call ou-of-he-money e sous-évaluer celles inhe-money. Cee consaaion apparaî d une façon claire sur la figure suivane : 50 Marché GARCH simple 50 Marché GARCH-PR 00 00 50 50 00 00 50 50 0 4 6 8 0 4 6 8 0 0 4 6 8 0 4 6 8 0 Figure : Evoluion du premium du marché e celui calculé par les deux modèles. 0

Les deux racés monren une supériorié du modèle GARCH-PR dans l ajusemen des données empiriques sur l indice FTSE 00. Ce processus fourni un premium de l opion presque confondu avec celui du marché. 4.5. La performance de couverure Pour éudier cee quesion, on effecue des ess de couverure sur des sraddles qui poren sur l indice FTSE 00. Par définiion, un sraddle es une posiion consisan à combiner un call e un pu de même prix d exercice e de même maurié. De ce fai, le sraddle es une posiion insensible au sens de variaion du cours de l acif sous-jacen, mais il es sensible aux variaions de la volailié. D ailleurs, l opéraeur sur le marché es moivé par l acha de sraddle lorsqu il s aend à un changemen brusque dans le cours de l acif sous-jacen, sans savoir dans quel sens ce dernier va varier. On évalue la performance de couverure par rois crières : l erreur moyenne de couverure (mean hedging error : ME), la moyenne des valeurs absolues des erreurs de couverure (mean of absolue hedging error : MAE) e la moyenne des valeurs absolues des erreurs d évaluaion normalisées (normalized absolue hedging error : NAE). L erreur moyenne de couverure ne consiue pas une mesure de performance, mais elle fourni une informaion sur le fai qu un modèle pariculier perme de présener, sysémaiquemen, une sur (ou sous) couverure. Les deux ableaux suivans présenen les crières de mesure de la performance de couverure de posiions d opions par les deux modèles : Maurié en jours [,50] [5,80] [8,0] [,40] >40 Mesure jour 5 jours jour 5 jours jour 5 jours jour 5 jours jour 5 jours ME MAE NAE 0.056 6.09 0.753 0.044 5.63 0.707 0.754 5.999 0.70 0.665 5.34 0.576 0.548 5.005 0.63 0.55 4.765 0.588 0.44 4.765 0.600 0.335 4.449 0.545 0.367 4.540 0.50 0. 3.798 0.466 Tableau 5 : Erreurs de couverure des sraddles par le modèle GARCH simple. Maurié en jours [,50] [5,80] [8,0] [,40] >40 Mesure jour 5 jours jour 5 jours jour 5 jours jour 5 jours jour 5 jours ME MAE NAE 0.05 5.487 0.680 0.040 5.0 0.638 0.685 5.404 0.633 0.599 4.840 0.50 0.498 4.509 0.63 0.497 4.33 0.57 0.40 4.9 0.54 0.30 4.044 0.49 0.333 4.090 0.453 Tableau 6 : Erreurs de couverure des sraddles par le modèle GARCH-PR. 0.00 3.45 0.4 L erreur absolue normalisée es définie par : erreur /prix iniial.

Pour la couverure des sraddles sur l indice FTSE 00, le modèle GARCH-PR monre la performance la plus grande par rappor au modèle GARCH simple. Ce résula confirme la consaaion de la secion précédene concernan la performance ou-ofsample. 5. Conclusion Ce aricle présene une nouvelle spécificaion GARCH d évaluaion des opions. Il considère un modèle GARCH avec prime de risque variable dans le emps. Ce modèle es appliqué à des données d opions sur l indice FTSE 00 de la période janvier 00. La performance d ajusemen ou-of-sample de ce dernier es éudiée relaivemen à la spécificaion GARCH d opions la plus simple, e il es le plus performan. Les résulas des ess de couverure de sraddles monren aussi clairemen une supériorié de la spécificaion GARCH-PR proposée. Néanmoins, il fau oujours noer que les résulas obenus resen valables dans la limie de l échanillon éudié. On peu assiser à des résulas ou à fai différens lorsqu on uilise d aures données. Pour approfondir les résulas obenus dans ce ravail, un prolongemen naurel concerne la violaion de l hypohèse du aux d inérê consan considérée par les spécificaions GARCH d opions. On peu aussi s inéresser à des éudes empiriques qui comparen ce modèle avec d aures ypes d approches d évaluaion des opions.

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