TS Revoir le cors de ère I Gééralités ) Défiitio Les sites () Vocablaire sel des sites Rappels de ère et complémets 3 e faço : par compréhesio Exemple : 3,4596 4 3 ième décimale de Ue site mérie est e foctio : ) Notatio (les parethèses sot obligatoires) terme d idice Qad il y a pas de parethèses, c est por défiir le ombre Qad il y a des parethèses, c est por défiir la foctio Exemple : ad o dit «la site est croissate», o met des parethèses relatio de récrrece formle explicite sites compréhesio Première compétece attede : coaître la défiitio rigorese exacte d e site (celle-ci doit être se parfaitemet et pet être redemadée e cotrôle) 3 ) Différetes faços de défiir e site Il y e a trois pricipales «Ue site mérie est e foctio de das» ère faço : formle explicite doat le terme gééral e foctio de Exemple : e faço : par so premier terme et e relatio de récrrece (c est-à-dire e relatio liat dex termes coséctifs) (Novelle défiitio par rapport ax foctios) Exemple : 3 II Esemble de défiitio d e site ) Remare géérale Ue site pet être défiie sr o selemet sr e partie de Détermier l esemble de défiitio d e site défiie par e formle explicite est e gééral facile E revache, c est sovet pls difficile das le cas d e site défiie par récrrece et os avos pas ecore tos les otils (raisoemet par récrrece) ) Exemples de sites défiies par e formle explicite ➀ La site telle e est défiie sr ➁ La site telle e est défiie sr o à partir de l idice ➂ La site telle e est défiie à partir de l idice 3 ) Exemples de sites défiies par récrrece ➀ 3 La site est défiie de maière évidete sr (pas de problème de défiitio)
➁ 3 La site est défiie sr mais ce est pas assi évidet e das le er exemple ) Représetatio graphie das repère d pla termes O pet faire raisoemet de proche e proche (i pls tard sera remplacé par raisoemet par récrrece) 3 ➂ ; O e pet pas calcler 3 La site est pas défiie à partir de l idice 3 (site fiie) Lorse e site est défiie par so premier terme et e relatio de récrrece d type f où f est e foctio mérie, il pet y avoir problème de défiitio sivat la valer de et l esemble de défiitio de f j O i idices La site est représetée par des poits isolés («age de poits») 4 ) Propriété d existece d e site défiie par récrrece (admise sas démostratio) f est e foctio mérie défiie sr e partie D de telle e f D D (o dit e D est stable par f) Por tot réel a D a et la relatio de récrrece f, la site défiie par so premier terme 3 ) Lectre graphie des termes d e site récrrete d ordre doé por tot f : y x C f est défiie sr III Représetatios graphies ) Représetatio graphie sr axe gradé 5 6 4 (droite x réelle) O trace la corbe C f d éatio lorse le repère est orthoormé) j O i y f x et la droite d éatio y x («ère bissectrice» d repère 3 Recette : O place sr l axe des abscisses O mote js à C f O obtiet e ordoée car f O ralloge js à O redesced e abscisse ; o obtiet la valer de O recommece avec et aisi de site Il s agit d e costrctio des termes d e site récrrete sas calcl Il fat bie oter il y a ac calcl por faire le graphie Sivat les cas, o obtiet e costrctio e «marche d escalier» o «e spirale» («e escargot») 4
IV Ses de variatio d e site ) Défiitios 3 ) Méthodes d étde d ses de variatio d e site Pricipe Commetaires ) NB est e site O dit e est croissate por exprimer e : O dit e est strictemet croissate por exprimer e : O dit e est décroissate por exprimer e : O dit e est strictemet décroissate por exprimer e : O dit e est costate por exprimer e : O dit e est statioaire à partir de l idice por exprimer e : O dit e est mootoe por exprimer elle est soit croissate soit décroissate O dit e est strictemet mootoe por exprimer elle est soit strictemet croissate soit strictemet décroissate O observera e les défiitios d e site croissate, décroissate etc fot appel à des phrases atifiées Ue site pet être mootoe à partir d certai idice Méthode par comparaiso directe Méthode par différece Méthode par otiet Méthode par étde de foctio Méthode por les sites arithméties et les sites géométries O compare et e tilisat les théorèmes de ragemet O étdie le sige de la différece Lorse tos les termes sot strictemet positifs, o pet comparer à Si, alors est croissate Si, alors est décroissate Lorse f où f est e foctio défiie sr +, o pet étdier le ses de variatio de f sr + et e dédire celi de O pet tiliser les règles particlières i sot doées das le paragraphe sivat (par rapport à la raiso) Utilisatio assez limitée ; por les sites défiies par e formle explicite simple Il fat d abord vérifier e tos les termes sot de sige positif - Il fat coaître la foctio (foctio associée à la site) - Pas por les sites défiies par récrrece (voir remare das le 5 )) Méthode par récrrece O pose o P : P : - Voir pls tard le chapitre sr le raisoemet par récrrece - Pratie por les sites défiies par récrrece 4 ) Bêtises à e pas faire Pas de tablea de variatio por les sites Ne pas dire «croissate sr» mais «croissate à partir de l idice» Pas de dérivée de site doé f Le ses de variatio de f e doe pas celi de f croissate croissate f décroissate décroissate 5 6
V Sites arithméties et géométries Exemples : ) Tablea de formles 3 4 38 termes Relatio de récrrece / r Sites arithméties raiso arithmétie (ombre fixé) Sites géométries raiso géométrie (ombre fixé) termes Applicatios : si est e SA : si est e SG de raiso : Relatio etre dex termes elcoes d idices et p Sommes de termes coséctifs Formles sommatoires p r p (e particlier por p et p r r ) Somme des termes ombre de termes er derier p p Somme des termes er terme ombre de termes termes termes 3 ) Recoaître e SA o e SG ère méthode r o r SA de raiso r termes termes Ses de variatio (mootoie) (ombre de termes moyee des termes extrêmes) r site strictemet croissate r site strictemet décroissate r site costate site strictemet décroissate site strictemet croissate site o mootoe site strictemet croissate site strictemet décroissate site o mootoe (cotraire das les dex premiers cas) o SG de raiso La méthode par otiet écessite d avoir motré préalablemet e tos les termes de la site sot o ls ce i est pas tojors possible o ce i est parfois difficile e méthode a b SA de raiso b a b SG de raiso b Ue site arithmétie est tojors mootoe ) Complémet : ombre de termes d e somme de termes coséctifs p p p termes Ue site géométrie de er terme différet de est mootoe si et selemet si 3 ) Idetités algébries : formles sommatoires à coaître Somme des premiers etiers atrels (SA) ( ) 4 ) Représetatio graphie Somme des pissaces coséctives d même ombre différet de (SG) Les poits de la représetatio graphie (age de poits) d e SA sot aligés sr e même droite Cette propriété caractérise les SA 7 8
VI Sites périodies ) Défiitio O dit e site est périodie lors il existe etier p tel e p Le pls petit etier atrel p i vérifie la propriété est appelé la période de la site ) Exemple est la site défiie sr par (calcl sr les idices) Aisi la site est périodie de période VII Sites majorées, miorées, borées ) Défiitio est e site O dit e est majorée por exprimer il existe réel M tel e majorat de la site) O dit e est miorée por exprimer il existe réel m tel e miorat de la site) O dit e est borée por exprimer il existe dex réels m et M tel e ) Exercice est la site défiie sr par Démotrer e est borée Méthode : M (M est m (m est m M Démostratio : Mioratio : Doc est miorée par ( est miorat de la site ;,5,,,,33 Majoratio : (o arait assi p écrire > ) 3 Doc est majorée par 3 (3 est majorat de la site) Bila : 3 Doc la site est borée 3 ) Propriété (évidete) Tote site croissate est miorée par so premier terme Tote site décroissate est majorée par so premier terme E effet : si est e site croissate, o a : ; si est e site décroissate, o a : 4 ) Méthodes por démotrer e site est miorée o majorée Por démotrer ombre m est miorat d e site : Pricipe Commetaires Il fat démotrer il existe dex réels m et M tels e Atremet dit, il fat ecadrer par dex ombres fixes Exploratio mérie : O pet chercher e calclat les premiers termes por avoir e idée 5 3 7 3,, 3, 4, 5 3 5 semble miorée par et majorée par 3 m M Méthode par comparaiso directe O compare et m e tilisat les théorèmes de ragemet Méthode par différece O étdie le sige de la différece m et o motre e cette différece est positive o lle por tot etier atrel Méthode par récrrece O pose par exemple P : «m» - Utilisatio lorse la site est défiie par e formle explicite - O tilise les théorèmes de ragemet - Pas tojors possible Assez commode e pratie lorse la site est défiie par e formle explicite Commode lorse la site est défiie par récrrece Voir pls tard 9 Méthode par mioratio d e somme Voir pls tard Utilisatio por e site défiie sos forme d e somme
Les mêmes méthodes s adaptet por démotrer ombre M est majorat d e site 5 ) Remare Ue site dot tos les termes sot positifs o ls est miorée par Ue site dot tos les termes sot égatifs o ls est majorée par VIII Bila ) Q est-ce étdier e site? L étde d e site pet cosister à démotrer : e site est défiie calcler explicitemet le terme gééral étdier la mootoie étdier la covergece (voir pls tard) ) Otils d étde d e site - otils méries - otils graphies Avec tilisatio de la calclatrice (voir Appedice) o d tabler por programmer le calcl des termes et faire des représetatios graphies Sr tabler, o pet représeter age de poits IX Appedice : tilisatio de la calclatrice por les sites méries ) Por détermier les termes d e site récrrete TI 83 MODE (Se o Sit) ENTER d QUIT Y= Mi : premier idice d 7 por taper : Toche X, T,, por (Mi) : première valer de Se placer e mode «site» Éditer la site Par exemple, soit la site défiie par : 4 3et et o TI : attetio, est oté exprime e foctio de Casio : o choisit d'abord le type de site à eregistrer La site est otée a Por calcler des valers TI : régler la table (TblSet) et l'afficher (Table) Casio : régler les paramètres de la Table Sr TI, les valers pevet être obtees directemet sr l'écra de calcl : (5) affiche 5 Casio Graph 35 MENU 8 (RECUR) F3 (TYPE) F ( a ) Por taper a o, F4 pis F o F F5 (RANG) (Start) EXE (Ed) EXE 3 ( a ) EXE ) Por représeter e site IX Sommes : écritre avec le symbole ) Objectifs - modalité d écritre - commet o développe ) Exemple k5 k k 3 4 5 Compredre e l o part de et e l o va js à 5 3 ) Exemple k k k TI 83 WINDOW Régler la feêtre d ZOOM (FORMAT) Time ENTER GRAPH Régler la feêtre d'affichage TI : Mi et Max sot les idices des premier et derier terme, PlotStart, l'idice d premier terme à tracer, PlotStep, le pas etre dex valers de Faire tracer le age de poits e appyat sr TRACE O est obligé d écrire la somme avec des petits poits Casio Graph 35 SHIFT F3 (V-Widows) Régler la feêtre Retorer à la table, F6 (TABL) F6 (G-PLT)