Contribution à la théorie des entiers friables

UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN Cotributio à la théorie des etiers friables Souteue publiquemet le Juillet 25 Membres du Jury : M Étiee Fouvry Présidet & Rapporteur Professeur à l Uiversité de Paris XI M Régis de la Bretèche Rapporteur Maître de coféreces à l École Normale Supérieure M Marius Tucsak Examiateur Professeur à l Uiversité Heri Poicaré M Fracis Corad Examiateur Professeur à l Uiversité Heri Poicaré M Jie Wu Examiateur Chargé de recherche CNRS, Uiversité Heri Poicaré M Gérald Teebaum Directeur de Thèse Professeur à l Uiversité Heri Poicaré Istitut Élie Carta Nacy CNRS UMR 9973 Faculté des Scieces - BP 239-5456 Vadœuvre-lès-Nacy CEDEX

UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN Cotributio à la théorie des etiers friables Souteue publiquemet le Juillet 25 Membres du Jury : M Étiee Fouvry Présidet & Rapporteur Professeur à l Uiversité de Paris XI M Régis de la Bretèche Rapporteur Maître de coféreces à l École Normale Supérieure M Marius Tucsak Examiateur Professeur à l Uiversité Heri Poicaré M Fracis Corad Examiateur Professeur à l Uiversité Heri Poicaré M Jie Wu Examiateur Chargé de recherche CNRS, Uiversité Heri Poicaré M Gérald Teebaum Directeur de Thèse Professeur à l Uiversité Heri Poicaré Istitut Élie Carta Nacy CNRS UMR 9973 Faculté des Scieces - BP 239-5456 Vadœuvre-lès-Nacy CEDEX

Remerciemets Je ties à remercier chaleureusemet mo directeur de thèse, Gérald Teebaum pour so ivestissemet iestimable das ce travail Sa dispoibilité, ses ecouragemets et surtout sa verve mathématique, ot permis l aboutissemet de ce projet, chose que je parvies ecore difficilemet à réaliser Étiee Fouvry m a fait l hoeur d être rapporteur de ce travail et présidet de mo jury, je lui e suis très recoaissat Je ties à remercier Régis de la Bretèche, mo rapporteur, pour ses ombreuses remarques et suggestios qui ot permis d erichir ce travail et de le redre plus trasparet Je remercie Marius Tucsak et Fracis Corad de m avoir aiguillé e aalyse foctioelle et e aalyse umérique Je remercie égalemet Jie Wu pour sa participatio à ce jury U grad merci égalemet à Bruo Piço qui a pas épargé so temps pour m aider das la partie iformatique de cette thèse Je profite de cet istat pour remercier tous les eseigats, qui, par la qualité de leurs cours et leur ethousiasme, m ot appris à aimer les mathématiques E particulier, j ai ue pesée émue pour deux professeurs qui ot tiré leur derière révérece : MMichel, mo professeur de quatrième, qui m a iitié aux plaisirs de la démostratio, à ue période où les mathématiques e présetaiet aucu itérêt à mes yeux ; Jea Varouchas, dot je oublierai jamais le regard lorsqu il parveait à trouver ue ouvelle démostratio d ue idetité célèbre, au beau milieu d ue séace de travaux dirigés de Licece Je remercie égalemet Aick Adré et Charles Vix qui ot su me faire découvrir l élégace de cette disciplie, et m iciter aisi à y cosacrer de plus e plus de temps Le soutie de mo etourage a été particulièremet importat durat ces trois derières aées Je pese tout d abord à ma famille qui m a toujours souteu das les momets de découragemets Je ties à saluer tous mes amis qui, par leurs ombreuses sollicitatios, m ot empêché, si besoi était, de trasformer ma vie e sacerdoce mathématique U remerciemet tout particulier à mes colocataires : Mathou, Pablo, Jux, Alie et Greg et à la bade des luévillois : Jérôme, Mau, Pig, Scual, Jea-Yvouet, Pegg, Yoa, Flo, Willy, Nico U petit coucou égalemet aux groupes des choristes, des radoeurs et aux allumés d Improdisiaque Et je oublie pas Mao et Ae, rayos de soleil du laboratoire, dot le soutie a été essetiel

Table des matières géérale Notatios 5 Itroductio 7 Nouvelles idetités de Daveport 7 Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 57

Notatios La lettre p désige u ombre premier Das la partie cosacrée à l iégalité de Turá-Kubilius, il e est de même pour la lettre q a b sigifie que a divise b et p ν sigifie que p ν et p ν+ a, b désige le pgcd des etiers a et b := N ω := p et τ := { d ω si est sas facteur carré, µ := foctio de Möbius das le cas cotraire, { log p si = p Λ := ν, foctio de Vo Magoldt das le cas cotraire, ϕ := m, m,= est la foctio idicatrice d Euler P désige le plus grad facteur premier de, avec la covetio P = Sx, y := { x : P y} et Ψx, y est le cardial de Sx, y La foctio de Dickma ϱ est défiie comme l uique solutio cotiue de l équatio différetielle aux différeces fiies vϱ v + ϱv = v >, ϱv = v Nous posos égalemet ϱv = pour v < État doé u ombre réel x, ous otos [x] sa partie etière, x sa partie fractioaire, et x := dx, Z = mi Z x la distace de x à l esemble des etiers ξv désige, pour v >, l uique solutio strictemet positive de l équatio + vξv = e ξv O pose ξ = α = αx, y désige la solutio de l équatio trascedate p y log p p α = log x x y 2 ζ désige la foctio zêta de Riema log k désige la k-ième itérée de la foctio logarithme Nous utilisos idifféremmet la otatio de Ladau f = Og et celle de Viogradov f g pour sigifier que f C g pour ue costate positive C, qui peut être absolue ou dépedre de certais paramètres, auquel cas la dépedace pourra être idiquée e idice La otatio f g sigifie que f g et g f ot lieu simultaémet A désige l esemble des foctios arithmétiques additives à valeurs réelles, c est-à-dire telles que f = p ν fp ν N

Itroductio Cette thèse comporte deux parties idépedates, toutes deux dédiées à l étude des etiers friables, ou sas grad facteur premier, et à leur implicatio das la théorie aalytique et probabiliste des ombres Nous désigos par P le plus grad facteur premier d u etier 2 et ous posos P = L esemble Sx, y := { x : P y} dot le cardial est oté Ψx, y, a fait l objet d ue littérature cosidérable depuis le travail de Bruij e 95, et otammet lors des vigt derières aées L itroductio des etiers friables s est e effet révélée très utile das de ombreux problèmes Das la première partie, ous utilisos les etiers friables pour traiter u problème posé par Daveport e 937 cocerat des séries trigoométriques à coefficiets arithmétiques La première foctio de Beroulli ormalisée est défiie par { ϑ Bϑ = 2 si ϑ / Z, si ϑ Z, où désige la partie fractioaire Elle est e tout poit somme de so développemet e série de Fourier : o a, pour tout ϑ R, Bϑ = k si2πkϑ πk État doée ue foctio arithmétique g : N C, o déduit de le calcul formel 2 g Bϑ = g πk si2πkϑ,k = g m si2πmϑ, πm m où désige le produit de covolutio de Dirichlet, et la foctio arithmétique défiie par = pour tout E posat 3 f = g, ous pouvos réécrire 2 sous la forme D ϑ m fm πm si2πmϑ + g Bϑ = État doé u couple de foctios f, g liées par la relatio 3, détermier les ombres réels ϑ pour lesquels l idetité D ϑ pred u ses aalytique, est u problème difficile que l o e sait actuellemet pas résoudre e toute gééralité Nous oteros désormais f, g D ϑ pour sigifier qu u couple de foctios f, g, liées par la relatio 3, satisfait l idetité D ϑ Désigos par δ l élémet eutre pour la covolutio et par µ la foctio de Möbius Daveport a établi que δ, µ D ϑ pour tout ϑ R Plus précisémet, il obtiet l estimatio effective 4 ϑ, y := si2πϑ π + y µ Bϑ y 2, log y A

8 Bruo Marti où A est ue costate positive arbitraire La méthode de Daveport cosiste à utiliser la décompositio ϑ 2 ϑ ϑ, y = I + J avec I = ϑ2 ϑ ϑ, y dϑ et J = ϑ2 ϑ { ϑ, y ϑ, y } dϑ L itégrale I ramèe le problème à u cas où la série double figurat das 2 est sommable, et pour lequel l iterversio des sommatios est doc licite Estimer J cosiste essetiellemet à cotrôler les discotiuités de 5 ϑ y µ Bϑ Le saut de la foctio 5 e u poit de Farey a/q, avec a q y et a, q =, vaut y mod q µ = µq q y/q,q= µ q + log y A, pour tout A >, où la derière évaluatio peut être établie par ue méthode classique d itégratio complexe Daveport obtiet l évaluatio souhaitée e sommat sur tous les poits de Farey d ordre y apparteat à l itervalle [ϑ, ϑ] et obtiet l estimatio 6 ϑ, y ϑ, y ϑ ϑ y + O log y A, qui est suffisate pour coclure Cepedat cette méthode échoue das le cas de certaies foctios arithmétiques de référece Par exemple, lorsque f, g = log, Λ, où Λ désige la foctio de vo Magoldt, le cotrôle des discotiuités e semble plus evisageable, car le saut e u poit de Farey a/q de la foctio ϑ y ΛBϑ/ e ted pas vers lorsque y, cotrairemet au cas de la foctio µ Nous doos das l appedice A de la première partie de ce travail, u exposé plus détaillé sur la méthode de Daveport et ses limites Il est par ailleurs à oter que l extesio du résultat de Daveport par covolutio se heurte égalemet à des obstacles sérieux Aisi, o a bie 7 f ϑ, y : = fm πm si2πmϑ + g Bϑ m y y = fm mϑ, y/m, m m y mais la cotributio à 7, des etiers m y/2, pour lesquels le résultat 4 de Daveport est sas itérêt, peut être substatielle, hors des circostaces où l o dispose d ue forte coditio de décroissace pour la foctio f Eviro soixate aées plus tard, La Bretèche et Teebaum ot exploité les récets développemets effectués sur les etiers friables pour développer u cadre mieux adapté à ce problème La P -sommatio, itroduite par Fouvry et Teebaum e 99, costitue l outil détermiat de cette ouvelle méthode Ce procédé cosiste à sommer o plus sur les etiers y mais sur les etiers tels que P y L emploi de la P -sommatio pour traiter le problème de Daveport peut être justifié par l éocé suivat : le P -développemet e série de Fourier de la foctio B coverge poctuellemet vers B, c est-à-dire 8 ϑ, y := Bϑ Bϑ, y = o y

avec De plus, sup ϑ R Bϑ, y := Itroductio 9 P y Bϑ, y = sup Bϑ + o ϑ R si2πϑ π y, ce qui sigifie que le phéomèe de Gibbs est évité Le procédé de P -sommatio est doc plus régulier que la sommatio usuelle La Bretèche et Teebaum parvieet à établir, grâce à cette méthode, que log, Λ D ϑ pour tout ϑ R, alors que la méthode de Daveport fourissait seulemet le résultat pour presque tout ϑ Désigos par τ la foctio qui compte le ombre de diviseurs d u etier La Bretèche et Teebaum traitet égalemet le cas du couple τ, qui s avère être particulièremet itéressat das la mesure où l esemble des ombres réels ϑ pour lequels la relatio D ϑ est pas satisfaite est o vide Notat {q m } m= la suite des déomiateurs des réduites de ϑ, les auteurs de [3] obtieet que pour ϑ R Q, le couple τ, appartiet à D ϑ si, et seulemet si, la série m log q m+ m est covergete Qu ue coditio de croissace sur la suite {q m } m= iterviee ici est pas surpreat e soi : heuristiquemet, les ombre réels ϑ posat problème sot ceux pour lesquels les ombres ϑ approchet trop bie les discotiuités de la foctio B, c est-à-dire les ombres etiers E effet, c est e ces poits que la covergece du développemet e série de Fourier de B est la plus mauvaise Or, de tels poits sot précisémet ceux pour lesquels la suite {q m } m= croît très vite Nous ous sommes pechés sur le cas du couple τ κ+, τ κ où τ κ désige, pour κ >, la puissace de covolutio d ordre κ de la foctio ; autremet dit τ κ est le coefficiet géérique de la série de Dirichlet ζs κ où ζ désige la foctio zêta de Riema Nous obteos ue caractérisatio des ombres irratioels pour lesquels τ κ, τ κ+ D ϑ Pour éocer otre résultat pricipal, ous itroduisos la foctio multiplicative f κ défiie par q m f κ p ν : = κ τ κ p j+ν p p j j { } = τ κ p ν + O κ p ν, e coveat que la lettre p désige u ombre premier Nous obteos le résultat suivat Théorème Soiet κ > et ϑ R Q O a 9 m τ κ+ m πm si2πmϑ + τ κ Bϑ = si, et seulemet si, la série m log q m+ κ f κ q m q m m coverge Compte-teu des idetités τ =, τ 2 = τ et f =, ce théorème correspod à ue gééralisatio à κ > du résultat obteu par La Bretèche et Teebaum pour κ = La foctio f κ satisfait la majoratio f κ q κ q ε q, κ >

Bruo Marti U théorème de Khichie, das [], ous permet alors de motrer que l esemble des ombres irratioels pour lesquels la série est pas covergete, est de mesure de Hausdorff ulle Il est cepedat o vide : il est possible de costruire u ombre irratioel de sorte que ses réduites croisset suffisammet vite pour que la série diverge La Bretèche et Teebaum ot établi idirectemet das [3], que l idetité 9 est valide pour tout ϑ Q Nous retrouvos ce résultat e doat de plus ue estimatio de la vitesse de covergece des deux séries impliquées das 9 Par ailleurs, il est aussi possible de cosidérer la foctio τ z lorsque z est u ombre complexe La Bretèche et Teebaum ot établi la validité de l idetité m τ z+ m πm si2πmϑ + τ z Bϑ = pour tout ϑ R lorsque z C vérifie z Nous obteos qu ue coditio suffisate pour la validité de, lorsque z est u ombre complexe quelcoque et ϑ u ombre irratioel, est log q m+ z 2 lim f z q m = m q m Pour établir de tels résultats lorsque ϑ R Q, ous suivos la méthode itroduite par La Bretèche et Teebaum das [3] Nous commeços par établir que les deux séries, mises e jeu das, et la série 3 m log q m+ z f z q m q m m coverget ou diverget simultaémet pour tous z C et ϑ R Q L étude de la covergece de la série 4 m τ z+ m πm si2πmϑ z C, ϑ R Q se déduit, via ue sommatio d Abel, de l estimatio de la somme 5 τ z+ m si2πmϑ m x Ue telle estimatio est réalisée das [3] et repose sur l évaluatio des sommes d expoetielles τ z me 2iπam/q a q, a, q =, m x par la méthode de Selberg-Delage O e déduit ue estimatio de 5 faisat iterveir les déomiateurs des meilleures approximatios ratioelles de ϑ, c est-à-dire les élémets de l esemble Dϑ := {q 2 : qϑ < mi r<q rϑ }, où ϑ désige la distace du ombre réel ϑ à l etier le plus proche O sait classiquemet que Dϑ coïcide avec {q m } m=, ce qui ous permet de relier la covergece de la somme 4 à la covergece de la série Pour étudier la covergece de la série 6 τ z Bϑ ous employos le fait, établi das [3], que la foctio τ z est bie répartie das les progressios arithmétiques de petit module

Itroductio Nous faisos iterveir les etiers friables pour établir, qu e cas de covergece, les séries 4 et 6 ot des sommes opposées, c est-à-dire que 7 τz+ ϑ; y := τ z+ m πm si2πmϑ + τ z Bϑ = o y m y y La P-sommatio état plus régulière que la sommatio usuelle, La Bretèche et Teebaum précoiset d établir e premier lieu la validité du P -aalogue de 7, c est-à-dire 8 τz+ ϑ, y := τ z+ m πm si2πmϑ + τ z Bϑ = o y, P m y puis d e déduire 7, via la formule où l o a posé et P y τz+ ϑ; y = τz+ ϑ, y U τz+ ϑ; y V τz ϑ; y y 2, U τz+ ϑ; y := V τz ϑ; y := P m y m>y P y >y τ z+ m πm si2πmϑ, τ z Bϑ L étude des défauts de P -régularité, U τz+ ϑ; y et V τz ϑ; y, est effectuée das [3] E approchat B par ue foctio dot le développemet e série de Fourier est absolumet coverget, et e procédat à ue iterversio de sommatio deveue licite, La Bretèche et Teebaum motret que l étude de V τz ϑ, et à l évidece celle de U τz+ ϑ, y, peut se rameer à celle des sommes d expoetielles 9 τ z e 2iπϑ z C Sx,y La Bretèche a établi das [] des résultats permettat d évaluer des sommes du type 9 Cela repose essetiellemet sur la méthode classique de Viogradov pour évaluer des sommes d expoetielles sur des arcs mieurs E choisissat y de maière à ce que ϑ appartiee à u arc mieur, La Bretèche et Teebaum obtieet la formule lim if y U τ z+ ϑ, y + V τz ϑ, y = Pour établir 8, ous exploitos u autre aspect capital de la P -sommatio, à savoir le respect de la structure multiplicative du produit de covolutio de Dirichlet : la formule, dite des covolutios complètes, affirme que pour deux foctios arithmétiques f, g, ous avos f gm = f gk, P y P m y P k y sous réserve de covergece des trois séries Rappelat la défiitio de ϑ, y e 8, ous obteos e particulier 2 τz+ ϑ, y = τ z m mϑ, y, m P m y formule que l o peut avatageusemet comparer à 7 : les etiers y/m ot disparu Nous utilisos alors ue estimatio effective de la formule 8, établie au Théorème 22 de [3] Nous obteos que la somme iterveat das 2 est essetiellemet domiée par 2 P y ϑ /y τ z E localisat les etiers, dot la cotributio à 2 est o égligeable, à l aide des approximatios diophatiees de ϑ, ous obteos que 8 est satisfaite dès que la coditio 2 est remplie Cette derière étape écessite égalemet ue estimatio de la moyee de τ z sur les etiers friables, fourie par Smida, das []

2 Bruo Marti La deuxième partie de cette thèse se place das le cadre de la théorie probabiliste des ombres et de l étude de la répartitio des foctios additives via l iégalité de Turá-Kubilius Coveos que la lettre p désigera toujours u ombre premier Si f est ue foctio additive, ous pouvos écrire f = p ν fp ν = p x f p x, où les f p sot défiies par 22 f p = { fp ν si p ν si p Si ν x désige la mesure uiforme sur Ω x := { x}, o a ν x {f p = fp ν } = ω x p ν : = x { [ ] [ x x p ν = p ν p p ν+ + O ] } x La répartitio de la foctio f peut doc être modélisée par celle d ue variable aléatoire Z f,x défiie par Z f,x = p x ξ p, où les ξ p sot des variables aléatoires idépedates géométriques de paramètre /p Les approximatios aturelles de l espérace et de la variace d ue foctio additive f défiie sur Ω x sot doc A f x := EZ f,x = fp ν p ν, p VZ f,x = B f x 2 p x p ν x 2 { fp ν } 2, p p ν ν log x/ log p où l o a posé B f x 2 := EZ 2 f,x = p ν x fp ν 2 p ν p, et où E et V désiget respectivemet l espérace et la variace relatives à la loi de probabilité des variables aléatoires ξ p Avec ces otatios, l iégalité classique de Turá-Kubilius s éoce sous la forme 23 V f x := x { f Af x} 2 B f x 2, x où la costate implicite e déped pas de la foctio additive f La quatité V f x e représete pas exactemet la variace de f sous la mesure ν x, qui s écrit V # f x = x { f Ef x } 2, x avec E f x = f x x Cepedat, l écart etre V f x et V # f x reste égligeable devat B f x 2

Itroductio 3 La costate C peut doc être vue comme ue mesure de l écart séparat la théorie probabiliste des ombres et la théorie des probabilités Plus précisémet, o peut cosidérer la costate C = lim sup x sup f A V f x B f x 2, où la lettre A désige l esemble des foctios additives à valeurs réelles Das [2], La Bretèche et Teebaum déduiset d ue formule asymptotique pour la variace V f x, établie par Hildebrad das [], l égalité C = 2 O peut espérer approfodir otre compréhesio de la ature probabiliste de l esemble Ω x, e remplaçat la mesure ν x par la mesure uiforme sur Sx, y, que ous désigos par ν x,y E coservat la défiitio 22 des foctios f p, ous avos, pour ue foctio additive f dot le support est iclus das Sx, y, f = p y f p Notat Ψ m x, y := { Sx, y :, m = }, ous observos que la loi des f p est désormais doée par 24 ν x,y {f p = fp ν } = Ψx/pν, y Ψx/p ν+, y Ψx, y = Ψ px/p ν, y ν Ψx, y Pour costruire u modèle probabiliste de f das ce cadre, il ous suffit doc de disposer d ue approximatio simple du rapport Ψ p x/p ν, y/ψx, y L estimatio de Ψx, y, obteue das [4] par la méthode du col, suggère que ce rapport est proche de la quatité p να p α, où α désige la solutio de l équatio trascedate p y log p p α = log x Cela ous amèe à approcher la répartitio de f par celle de la variable aléatoire Z f,x,y := p y ξ p, où les ξ p sot des variables aléatoires idépedates dot la loi est défiie par Pξ p = fp ν = p να p α ν Tout comme das le cas x = y, ous sommes coduits à cosidérer les approximatios aturelles de l espérace et du momet d ordre 2 de f, A f x, y := EZ f,x,y = B f x, y 2 := EZ 2 f,x,y = p ν Sx,y p ν Sx,y fp ν p να p α, fp ν 2 p να p α

4 Bruo Marti Avec ces otatios, La Bretèche et Teebaum établisset das [2] que la majoratio 25 V f x, y := Ψx, y est uiforme pour f A et 2 y x Sx,y { f Af x, y } 2 Bf x, y 2 Là ecore, se pose le problème d élucider le comportemet asymptotique de la costate optimale impliquée das 25, c est-à-dire, V f x, y Cx, y := sup f A B f x, y 2 Lorsque x = y, les iégalités 23 et 25 coïcidet à u terme égligeable près, aussi peut-o affirmer que Cx, x = 2 + o x La Bretèche et Teebaum établisset par ailleurs que 26 Cx, y = + o das le domaie y x o et y log x L objet de otre étude cosiste à détermier le comportemet asymptotique de Cx, y lorsque le paramètre u := log x/ log y est fixé Plus précisémet, ous étudios la valeur de Cu := lim sup Cx, x /u u x Tout comme das le cas x = y, ous remarquos que la quatité V f x, y e représete pas la variace empirique relative à la mesure ν x,y d ue foctio additive mais la moyee de l écart quadratique etre f et l espérace de so modèle Il serait doc plus juste, das la perspective de jauger l écart etre la théorie probabiliste des ombres et la théorie des probabilités, d étudier les quatités, V # f x, y := { f Ef x, y } 2, Ψx, y avec et E f x, y := Sx,y Ψx, y C # u := lim sup u sup f A Sx,y f, V # f x, y B f x, y 2, d autat que ces quatités ot pas, a priori, le même comportemet que V f x, y et Cu dès que u > Cepedat la quatité V f x, y est plus maiable que V # f x, y et doc plus susceptible d applicatios : La Bretèche et Teebaum déduiset par exemple de l iégalité 25 u théorème portat sur la structure multiplicative des etiers friables Les deux approches présetet doc u itérêt Das u souci de clarté, ous ous cotetos d exposer das cette itroductio des résultats cocerat la variace semi-empirique V f x, y et la costate Cu À chacu de ces résultats correspod u aalogue pour la variace empirique V # f x, y et la costate C# u dot ous doeros le détail das le développemet de ce travail L étude précise de l approximatio du rapport Ψ p x/p ν, y Ψx, y

Itroductio 5 par la quatité p να p α, est évidemmet fodametal pour otre étude O sait classiquemet que l expressio de la desité aturelle des etiers friables fait iterveir la foctio ϱ de Dickma, défiie comme état l uique solutio cotiue de l équatio différetielle aux différeces fiies avec la coditio iitiale vϱ v + ϱv = ϱv = v C est otammet l objet de la formule de Hildebrad [2] Par ailleurs, ue estimatio de α das otre domaie étude est idispesable et s exprime e foctio de ξu, qui est l uique solutio strictemet positive de l équatio + uξu = e ξu, lorsque u > Nous posos ξ = Ces cosidératios ous amèet à costater que la foctio h défiie par hu, v := ϱu v e vξu ϱu u, v u, joue u rôle capital das ce travail A l istar de Hildebrad pour le cas u =, ous établissos ue formule asymptotique pour V f x, y afi d e déduire des estimatios de Cu Nous employos les otatios g m α := p m p α m N et u d := log d log y d Cette formule fait égalemet iterveir ue foctio ϑ x,y p ν, précisémet défiie au chapitre suivat Das le cadre de cette itroductio, ous ous cotetos de préciser que ϑ x,y p ν = hu, u p ν lorsque p ν Sx/y, y et que ous disposos d u ecadremet optimal de ϑ x,y p ν das le domaie p ν Sx, y Sx/y, y Théorème 2 Soit A > et z : R + R + ue foctio telle que zt t pour t, et lim t zt = + Il existe ue suite {ε m } m= e dépedat que de A, et covergeat vers, telle que l o ait, uiformémet pour f A, x 2, y = x /u, u A, 27 V f x, y = P f x, y + ϕ, S u ϕ u R f x, y + { ε + o } B f x, y 2 x, avec et P f x, y := R f x, y := p ν Sx,y p zy ν g p αϑ x,y p ν fpν 2 p να, g p αhu, u p ν fpν p να 2 Das ce théorème, S u désige u opérateur, exprimé e foctio de hu, v, défii sur l espace de Hilbert H u = L 2 [, ], m u où m u est ue mesure adaptée au problème ϕ est ue foctio de H u qui est ue approximatio quadratique de f suffisammet précise pour que ϕ 2 u { + o } fp 2 g p α x p p y L u des aspects cruciaux de la formule 27, est que l opérateur S u est autoadjoit et compact Il existe doc ue base hilbertiee de vecteurs propres diagoalisat S u E otat κu la plus grade valeur propre de l opérateur S u, ous avos doc immédiatemmet, 28 ϕ, S u ϕ κu + o ϕ 2 u κu + o fp 2 g p α p Nous itroduisos les quatités h u := p y max hu, v et v u h u := mi hu, v v E distiguat bie la cotributio des ombres premiers p y, de celle des ombres etiers p ν Sx, y avec ν 2, ous déduisos de la formule asymptotique 27 et de la majoratio 28, l ecadremet suivat pour Cu

6 Bruo Marti Corollaire 3 Soit u O a 29 max { 2hu, u, h u + κu} Cu max { 2hu, u, h u + κu } Hildebrad a démotré que κ = /2 Pour u >, ous e pouvos pas détermier explicitemet κu Cepedat, ous pouvos employer ue méthode classique d aalyse umérique pour obteir ue approximatio de κu avec ue précisio arbitraire De plus, e établissat la cotiuité de l applicatio u κu, ous déduisos de 29 qu il existe u voisiage de u = pour lequel Cu = 2hu, u Par ailleurs, e étudiat la répartitio des valeurs propres de l opérateur S u, ous obteos ue versio effective de 26, soit Cu = + O u Nous amélioros aisi le terme d erreur e / u qui découle des calculs meés par La Bretèche et Teebaum das [2] La forme quadratique ϕ, S u ϕ figurat das la formule 27, proviet d ue certaie forme quadratique Q f x, y apparaissat aturellemet e développat V f x, y e utilisat l additivité de f Ue partie importate du travail cosiste aisi à établir que l o peut approcher certaies sommes discrètes sur Sx, y, par des itégrales e dépedat plus de x et y Cela écessite d obteir des propriétés cocerat les vecteurs propres de S u Bibliographie [] R de la Bretèche, Sommes d expoetielles et etiers sas grad facteur premier, Proc Lodo Math Soc 3 77 998, 39-78 [2] R de la Bretèche et G Teebaum, Etiers friables : iégalité de Turá-Kubilius et applicatios, Ivet Math 59 25, 53 588 [3] R de la Bretèche & G Teebaum, Séries trigoométriques à coefficiets arithmétiques, J Aal Math, 9 24, 79 [4] H Daveport, O some ifiite series ivolvig arithmetical fuctios, Quart J Math Oxford 8 937, 8 3 [5] H Daveport, O some ifiite series ivolvig arithmetical fuctios II, Quart J Math Oxford, 8 937, 33 32 [6] E Fouvry & G Teebaum, Etiers sas grad facteur premier e progressios arithmétiques, Proc Lodo Math Soc 3 63 99, 449 494 [] A Hildebrad, A asymptotic formula for the variace of a additive foctio, Math Z 83 983, 45-7 [2] A Hildebrad, O the umbers of positive itegers x ad free of prime factors > y, J Number Theory 22 986, 289-37 [4] A Hildebrad et G Teebaum : O itegers free of large primes factors, Tras Am Math Soc 296, 265-29 986 [] A Khitchie, Cotiued fractios, Noordhoff, Groige, 963 [] H Smida, Valeur moyee des foctios de Piltz sur les etiers sas grad facteur premier, Acta Arith 63, 993, 2 5

Nouvelles idetités de Daveport Sommaire Itroductio 7 2 Rappels, otatios et prélimiaires techiques 2 2 Les foctios de Piltz 2 22 La foctio f z 2 23 Approximatios ratioelles des ombres réels 22 3 Éocé des résultats 23 4 Le cas ϑ ratioel : preuve du Théorème 3 24 5 La ϑ-adaptatio du couple τ z+, τ z lorsque ϑ R Q 28 6 Preuve des Théorèmes 32 et 33 33 6 Réductio du problème 33 62 Covergece de Uτ z+ ; ϑ 34 63 Covergece de V τ z ; ϑ 39 7 Appedice A 43 8 Appedice B 46 9 Appedice C 55 Cosidéros la foctio B défiie par : Itroductio Bϑ = So développemet e série de Fourier s écrit : Bϑ = { ϑ 2 si ϑ / Z, si ϑ Z k= si2πkϑ πk Soit à préset ue foctio arithmétique g E effectuat ue iterversio formelle de sommatios, o obtiet l idetité 2 g Bϑ = g πk si2πkϑ,k = gm si2πmϑ, πm m où désige l opérateur de covolutio etre deux foctios arithmétiques et déote la foctio défiie par = N Le problème de décider si ce calcul formel est ou o licite a été itroduit par Daveport das [6] et [7] E posat f = g, l idetité 2 s écrit, D ϑ Uf; ϑ + V g; ϑ =, avec et Uf; ϑ := m= V g; ϑ := fm πm si2πmϑ, = g Bϑ État doé u couple de foctios arithmétiques f, g vérifiat 3 f = g,

8 Bruo Marti ous écriros f, g D ϑ pour sigifier que les séries Uf; ϑ et V g; ϑ coverget et que la relatio D ϑ est satisfaite, soit 4 f ϑ; y := m y fm πm si2πmϑ + y g Bϑ = o y Coformémet à l usage, ous désigos la foctio de Möbius par la lettre µ Das [7], Daveport établit que δ, µ D ϑ pour tout ϑ R Cepedat sa méthode échoue das le cas de foctios arithmétiques de référece tels que log, Λ, Λ, µ log ou τ,, où Λ désige la foctio de vo Magoldt et τ la foctio qui déombre les diviseurs d u etier Nous décrivos les mécaismes et les limites de la méthode de Daveport das l Appedice A Nous profitos égalemet de l occasio pour fourir les détails permettat de cofirmer l assertio de Daveport [6] selo laquelle la théorie des foctios L de Dirichlet implique directemet la relatio δ, µ D ϑ pour ϑ Q Nous doos e appedice B, deux argumets, l u élémetaire, l autre aalytique, auxquels Daveport pouvait vraisemblablemet soger, au vu des coaissaces dispoibles e 937 Das [3], La Bretèche et Teebaum ot employé ue ouvelle méthode, reposat sur l utilisatio des etiers friables, pour aborder la questio Ils ot pu aisi établir de ombreux résultats validité pour la relatio D ϑ, parmi lesquels plusieurs critères gééraux E particulier le cas des trois couples de foctios suscités, pour lesquels l approche de Daveport est iefficace, a pu aisi être complètemet élucidé Décrivos succitemet, à préset, les fodemets de cette approche ouvelle Désigos par P le plus grad facteur premier d u etier 2 et coveos que P = La méthode de [3] repose sur la P -sommatio, qui cosiste à sommer o plus sur les etiers y mais sur les etiers tels que P y Ce procédé iitialemet itroduit par Fouvry et Teebaum das [9] est plus régulier que la sommatio usuelle, das la mesure où il permet d éviter le phéomèe de Gibbs cf le théorème 5 de [3], ce qui justifie l emploi de la P -sommatio pour traiter ce problème La méthode de La Bretèche et Teebaum cosiste à établir e premier lieu le P -aalogue de 4, soit 5 f ϑ; y := P m y fm πm si2πmϑ + P y g Bϑ = o y Ils désiget esuite u couple f, g de foctios arithmétiques liées par 3 et vérifiat 5 comme ϑ-adapté Itroduisat, comme das [3], les défauts de P -régularité des P -sommes correspodat aux séries Uf; ϑ et V g; ϑ, soit U f ϑ; y := P m y m>y Nous obteos alors l idetité fm πm si2πmϑ, V gϑ; y := P y >y 6 f ϑ; y = f ϑ; y U f ϑ; y V g ϑ; y y 2 g Bϑ La Bretèche et Teebaum déduiset de cette formule plusieurs coditios suffisates usuelles de validité de D ϑ pour u couple ϑ-adapté, dot celle qui suit Propositio Soit f, g u couple ϑ-adapté Si les deux séries Uf; ϑ et V g; ϑ sot covergetes et si l o a 7 lim if y V gϑ; y + U f ϑ; y =, alors f, g D ϑ Décrivos plus avat la techique employée das [3] pour établir la ϑ-adaptatio d u couple f, g de foctios liées par 3 Elle trouve so origie das la formule des covolutios complètes :

Nouvelles idetités de Daveport 9 état doées quatre foctios arithmétiques A, f, g et h telles que f = g h, ous avos, sous réserve de covergece absolue des séries impliquées, l idetité 8 fa = g ham y P y P y P m y Posos maiteat 9 Bϑ; y := P y si2πϑ π E appliquat la formule 8 avec h = et A : si2πϑ/π, ous obteos pour u couple f, g lié par 3 toujours sous réserve de covergece absolue, P m y fm πm si2πmϑ + P y g Bϑ; y = y 2 Nous déduisos doc des relatios Bϑ; y = Bϑ ϑ; y, δ ϑ; y = si2πϑ π + P y µ Bϑ, les idetités f ϑ; y = P y g ϑ; y = P m y fm m δmϑ; y Établir la ϑ-adaptatio d u couple f, g, lié par 3, cosiste doc à motrer ue forme e moyee d ue des relatios ϑ; y = o, δ ϑ; y = o que, d après respectivemet le théorème de [9] et le théorème 22 de [3], l o sait être valable pour tout ϑ R lorsque y Das cette étude, ous emploieros la méthode de La Bretèche et Teebaum afi d étudier les idetités de Daveport vérifiées par les couples τ z+, τ z, où τ z désige la puissace de covolutio d ordre z de la foctio Nous éoceros doc des coditios sur ϑ et z telles que l idetité 2 m= τ z+ m πm si2πmϑ + = τ z π Bϑ = soit valide Le cas z = correspod au développemet e série de Fourier de la foctio B Le cas z = correspod au couple δ, µ, traité par Daveport : la relatio D ϑ est alors valide pour tout ϑ R Efi, La Bretèche et Teebaum caractériset les ombres réels ϑ pour lesquels le couple τ, appartiet à D ϑ, élucidat aisi le cas z = théorème 44 de [3] Ils démotret égalemet que le couple τ z+, τ z appartiet à D ϑ pour tout ombre réel ϑ dès que z + théorème 48 de [3]

2 Bruo Marti 2 Rappels, otatios et prélimiaires techiques 2 Les foctios de Piltz Nous commeços par rappeler quelques propriétés des foctios de Piltz, τ z, lorsque z C Par défiitio, τ z est le coefficiet géérique de la série de Dirichlet de ζs z o choisira das toute cette étude la détermiatio pricipale du logarithme complexe soit : ζs z = τ z s E effectuat le développemet e produit eulérie de ζs z, o costate que τ z p ν s écrit sous la forme d u coefficiet biômial gééralisé, à savoir : 2 τ z p ν z + ν = ν Pour plus de détails, ous revoyos au chapitre II5 de [4] Das [], Selberg a évalué le comportemet e moyee de τ z : pour tout A >, o a uiformémet pour z A, x 2, 2 2 τ z = x Γz log zz + O xlog x z 2 x Nous employos la otatio Sx, y := { x : P y} Nos calculs écessitet ue estimatio, fourie par le théorème de [3], du comportemet e moyee de τ κ sur les etiers friables lorsque κ est u ombre réel positif Nous posos H ε := O a alors, uiformémet pour x, y H ε, 2 3 { x, y : x 2, log x log y exp log y 3/5 ε} Sx,y log x τ κ xϱ κ log y κ, log y où ϱ κ désige la puissace de covolutio d ordre κ de la foctio ϱ de Dickma Sigalos que cette estimatio résulte égalemet du corollaire 23 de [7] Nous auros aussi recours à l iégalité 2 4 τ z m τ λ m z λ, m Efi lorsque κ est u ombre réel positif, ous disposos de la majoratio 2 5 τ κ κ + ε log / log 2, pour tout ε > E particulier, 2 6 τ κ ε, pour tout ε >

Nouvelles idetités de Daveport 2 22 La foctio f z Nos résultats fot iterveir ue foctio arithmétique qui apparaîtra aturellemet à plusieurs reprises lors de calculs ultérieurs Lorsque z est u ombre complexe, ous posos pour q N, z ϕq 2 7 f z q := τ z p l+ν q p l l p ν q La foctio f z est multiplicative Il sera utile de disposer d ue autre expressio de f z E appliquat la formule de Taylor avec reste itégral à la foctio h z : x x z à l ordre ν etre les poits et /p, ous obteos 2 8 f z p ν = /p p ν /p t ν h ν z t dt p ν! = ν p zp /p ν τ z p ν /p t ν t t ν dt E effectuat le chagemet de variables u = tp/ t, il viet f z p ν = p z τz p ν ν u ν p u z du p E itégrat par parties, ous obteos fialemet l idetité { 2 9 f z p ν = τ z p ν z } z p z u ν p u z 2 du p E particulier, ous costatos immédiatemmet que f p ν = pour ν Il sera utile de disposer d ue estimatio basique pour f z q, valable pour chaque z C fixé et uiformémet pour q Soit κ tel que z κ Nous avos z ϕq f z q = τ z q + τ zp ν+ q τ z p ν p + τ z p ν+l τ z p ν p l l 2 p ν q E utilisat 2, ous remarquos que, pour tout ombre premier p, τ z p ν+l τ z p ν τ κp ν+l τ κ p ν Comme de plus, la foctio τ κ est sous-multiplicative lorsque κ, ous pouvos écrire z ϕq f z q = τ z q + z + ν q ν + p + O τ κ p l p l p 2 ν q l 2 z ϕq = τ z q + z + ν q ν + p + O κp 2 p ν q Nous e déduisos la majoratio suivate, 2σ κ /2 ϕq f z q τ κ q, q où ous avos employé la otatio σ := Re z E particulier, pour tous ε > et z C fixés, 2 f z q q ε Par ailleurs, ous pouvos déduire de 2 la mioratio suivate, valable pour chaque z fixé et uiformémet pour q 2σ+κ+/2 ϕq 2 2 f z q τ σ q q

22 Bruo Marti 23 Approximatios ratioelles des ombres réels Plusieurs de os résultats sot exprimés e foctio des boes approximatios ratioelles d u ombre réel ϑ Nous posos, selo l usage, ϑ := mi ϑ Z ϑ R Pour ϑ R et Q N o a, e vertu du théorème de Dirichlet, µϑ; Q := Nous utilisos systématiquemet la otatio mi mϑ /Q m Q 2 3 qϑ; Q := mi { q : q Q, qϑ = µϑ; Q } Par commodité d écriture, ous étedos la défiitio de t qϑ; t à [, [ e posat qϑ; t := qϑ; [t] Les qϑ; t décrivet l esemble 2 4 { q : qϑ < mi r<q rϑ } Nous rappelos efi certaies propriétés coues du développemet e fractio cotiue des ombres irratioels Notat {q m } m= = {q m ϑ} m= la suite des déomiateurs des réduites de ϑ, o a q = et q m = mi{q : qϑ < q m ϑ } m La croissace de la suite des q m l iégalité est au mois expoetielle Nous disposos par exemple de 2 5 q m ϕm 5 m, où ous avos posé ϕ = + 5/2 Désigat par a m /q m la m-ième réduite de ϑ R Q, ous posos ε m := ϑ a m /q m La quatité m ε m est de sige costat O a d où 2 6 ε m q m q m+ + q m < ε m < m, q m q m+ q m q m+ m Soiet B ue costate positive et Q x := x/log x B x 2 L esemble des ombres réels x tels que qϑ, Q x = q m est l itervalle défii par les coditios q m Q x < q m+ ; ous le otos [ξ m, ξ m+ [ Nous utiliseros les relatios 2 7 ξ m q m log q m B, ε m ξ m log q m B q m+, ε m ξ m+ log q m+ B q m

Nouvelles idetités de Daveport 23 3 Éocé des résultats Lorsque ϑ est u ombre ratioel, l argumet employé par de la Bretèche et Teebaum pour traiter le cas z est e fait valable pour tout z C Aisi τ z+, τ z D ϑ pour tous ϑ Q et z C Nous ous proposos d établir ce résultat par ue méthode différete, reposat égalemet sur la ϑ-adaptatio, qui fourira u reseigemet qualitatif supplémetaire Nous obteos l estimatio suivate Théorème 3 Soiet z C et ϑ Q Le couple τ z+, τ z appartiet à D ϑ et de plus pour tout A >, o a uiformémet pour y 2, 3 m y τ z+ m πm si2πmϑ + y τ z Bϑ log y A Le cas ϑ Q est relativemet aisé das la mesure où u résultat spécifique de ϑ-adaptatio pour les ratioels s applique ici, à savoir le théorème 34 de [3] E revache, lorsque ϑ est irratioel, les résultats gééraux éocés das la troisième partie de [3] e s appliquet que lorsque z théorème 32 de [3] Nous prouvos cepedat que l idetité 2 est valide pour ue large classe de ombres réels ϑ Rappelat la défiitio de f z q e 2 7, ous itroduisos l esemble Ξz des ombres irratioels ϑ tels que log q m+ z 3 2 lim f z q m = m q m Nous obteos alors le résultat suivat Théorème 32 Soiet z C R + et ϑ u ombre irratioel Si ϑ Ξz alors le couple τ z+, τ z appartiet à D ϑ Lorsque z est fixé, le complémetaire das R de Ξz est de mesure de Lebesgue ulle, d après l estimatio 2 de f z et le théorème 3 de [] E fait la démostratio de [] fourit u résultat plus fort : la dimesio de Hausdorff de R Ξz est ulle Nous pouvos égalemet evisager la ature de Ξz e termes de mesure d irratioalité O dit qu u ombre réel ϑ admet le ombre positif µ pour mesure d irratioalité si, pour tous ε >, p, q N Z, o a x p/q q µ ε pour q assez grad D après le théorème de Dirichlet, toute mesure d irratioalité µ vérifie µ 2 Nous pouvos alors affirmer que tout ombre réel ϑ possédat ue mesure d irratioalité fiie appartiet à Ξz E effet, si µ est ue mesure d irratioalité pour ϑ, alors, d après 2 6, ous avos pour m assez grad, ce qui etraîe q m µ+ε ϑ a m, q m q m+ q m q m+ q µ +ε m, et doc ϑ Ξz Par exemple, les ombres ζ2 et ζ3 appartieet à l esemble Ξz, d après les résultats établis das [] Cepedat l esemble Ξz est iclus strictemet das R Q Nous pouvos e effet costruire ue ifiité de ombres réels ϑ pour lesquels la coditio 3 2 est pas satisfaite, e détermiat leurs réduites par récurrece Lorsque z, le théorème 48 de [3] affirme que τ z+, τ z D ϑ pour tout ϑ R La coditio 3 2 est doc pas écessaire das ce cas État doé z R +, ous costruisos e appedice C u ombre réel ϑ, qui vérifie la coditio 3 2, mais pour lequel la relatio D ϑ est pas satisfaite Le théorème 32 est doc optimal das la mesure où l o e peut pas l étedre à z R + Le théorème suivat permet d élucider complètemet le cas z R +, exclu das le Théorème 32 : ous caractérisos les ombres réels ϑ pour lesquels τ z+, τ z D ϑ et gééralisos aisi le théorème 44 de [3]

24 Bruo Marti Théorème 33 Soiet κ > et ϑ u ombre irratioel Le couple τ κ+, τ κ appartiet à D ϑ si, et seulemet si, la série 3 3 coverge m log q m+ κ f κ q m q m m Lorsque z C, ous motros cf Propositio 6 ifra que la série 3 4 m log q m+ z f z q m q m m coverge si, et seulemet si, les séries Uτ z+ ; ϑ et V τ z ; ϑ coverget De fait, ous démotros das la preuve du Théorème 32 que la coditio 3 2 etraîe la covergece de la série 3 4, dès que z C R + E revache, lorsque z R +, la coditio 3 2 est plus suffisate mais écessaire à la covergece de la série 3 4 Cela explique pourquoi l éocé du Théorème 32 iclut pas le cas z R + Nous remarquos efi que l esemble des réels ϑ satisfaisat à l idetité 2 pour z R + costitue u esemble possédat les mêmes caractéristiques que les esembles Ξ décrit précédemmet, e terme de mesure de Lebesgue et de mesure d irratioalité D après le Théorème 33, lorsque κ >, il suffit que la série m log q m+ κ q m f κ q m coverge pour que τ κ+, τ κ D ϑ Cette coditio est cepedat pas écessaire E effet, ous pouvos costruire u ombre réel ϑ tel que la série 3 5 m log q m+ κ f κ q m q m m coverge, tadis que la série 3 6 m log q m+ κ q m f κ q m diverge Le détail de cette costructio, qui fourit égalemet le cotre-exemple aocé après le Théorème 32, figure e appedice C 4 Le cas ϑ ratioel : preuve du Théorème 3 La preuve du Théorème 3 écessite quelques estimatio prélimiaires Nous auros tout d abord besoi d ue estimatio du comportemet e moyee de la foctio τ z sur les etiers friables, mois précise que 2 3 mais valable sur u domaie plus large Propositio 4 Soit κ > Il existe ue costate b = bκ telle que l o ait uiformémet, pour x, y 2, z C, z κ, 4 Sx,y τ z xlog x κ e b log x/ log y Démostratio Lorsque 2 x y, ous retrouvos l estimatio 2 2 de Selberg Nous supposos désormais que 2 y x D après l iégalité 2 4, ous avos Sx,y τ z Sx,y τ κ

D après l estimatio de Selberg 2 2, ous pouvos écrire Sx,y Nouvelles idetités de Daveport 25 τ κ = S x,y τ κ + xlog x κ + x x P y x x P y τ κ τ κ Notos y le produit de tous les diviseurs d d u ombre etier tels que P d y Lorsque P y, y = Aisi, τ κ τ κ x< x P y x y x Nous pouvos alors appliquer le lemme 2 de [5] avec f = τ κ, ζ = x, ξ = y : il existe ue costate b = bκ telle que x y x τ κ xlog x κ e b log x/ log y Nous obteos doc la coclusio souhaitée Doos à préset ue estimatio du comportemet e moyee de la foctio τ z χ sur les etiers friables, où χ est u caractère o pricipal de Dirichlet Propositio 42 Soit A > et κ Il existe ue costate d = dκ, A telle que l o ait uiformémet pour z C, z κ, 2 y x, q log x A, χ u caractère o pricipal de module q, χτ z xe clog x/3 Sx,y L uiformité e q e ous est pas idispesable pour établir le Théorème 3 mais ous la metioos à fi de référeces ultérieures Démostratio Das u souci de lisibilité, ous employos la otatio X := e log x Nous utilisos ue techique développée par Teebaum das [5] Remarquos tout d abord, e vertu de la Propositio 4, que 4 2 Sx,y χτ z = x X<P y Maiteat, ous effectuos la décompositio 4 3 x X<P y χτ z = X<p y = S + S 2, χτ z + Oxe b/2 log x χp m x/p P m p χmτ z mp où, et S 2 := X<p y χp S := κ m x/p P m p m,p> X<p y χp m x/p P m p χmτ z mp κ χmτ z m, X<p y χp m x/p P m p m,p> χmτ z m

26 Bruo Marti Comme κ, la foctio τ κ est sous-multiplicative, ce qui fourit Fialemet, S 2 τ κ p ν τ κ k X<p y ν k x/p ν+ xlog x κ τ κ p ν p p ν xlog x κ X<p y X<p y p 2 ν 4 4 S 2 xlog x κ e log x Pour estimer S, ous remarquos tout d abord que x X<P y χτ z = κ mp m x P m y χmτ z m P m p x/m X<p y χp D après le théorème des ombres premiers e progressios arithmétiques, pour tout B >, il existe ue costate cb, pour laquelle o a uiformémet, pour t 2, q log t B et χ u caractère o pricipal de module q, χp te cb log t p t Nous e déduisos doc, e posat c := c2a, S x mp m x P m y τ κ m m e c2a logx/m Nous posos à préset, pour j log x, M j := x e j Dès lors, ous avos S x j log x xlog x κ e c j M j j log x M j+<m M j P m e j+ τ κ m e c j blog x/j+ Or, pour tout j log x, c j + blog x/j + A,κ log x /3 Par coséquet, il existe ue costate d = da, κ telle que 4 5 S xe dlog x/3 Les estimatios 4 2, 4 3, 4 4 et 4 5 fourisset la coclusio attedue Nous sommes maiteat e mesure de démotrer le Théorème 3 Soit ϑ u ombre ratioel s écrivat ϑ := a/q avec a, q = et z C État doé A >, ous établissos l estimatio 3 par le biais de la formule 6 appliquée à f = τ z+ Le théorème 34 permet d établir directemet que le couple τ z+, τ z est ϑ-adapté E fait la démostratio de ce théorème permet d obteir ue estimatio effective de τz+ ϑ; y Nous

Nouvelles idetités de Daveport 27 redoos les détails das u souci de lisibilité D après la défiitio de la foctio τ z, ous disposos de la majoratio suivate, valable pour tout z C τ z τ z z 4 6 p P y P y log y z Nous pouvos doc appliquer la formule puisque la majoratio précédete garatit la covergece absolue des séries qui y sot impliquées Nous obteos aisi, comme ous l avos remarqué das l itroductio, 4 7 τz+ ϑ; y = τ z+ m + δ mϑ; y m P m y Or, d après le théorème 22 de [3], ous avos uiformémet pour y 2, a Z, q N, q y/log y 5A+ z ++2, δ ϑ; y log y A+ z + Nous e déduisos, qu uiformémet pour y 2, 4 8 τz+ ϑ; y log y A Estimos à préset le défaut de P -régularité U τz+ ϑ; y La famille des caractères impairs de Dirichlet de module divisat q costitue ue base de l espace vectoriel des foctios impaires, q-périodiques, défiies sur N et à valeurs complexes Or la foctio m si2πam/q est ue foctio impaire et q-périodique Nous avos doc, d après le Propositio 42, uiformémet pour 2 y x, Z τz+ x, y; a/q := m x P m y p y Nous procédos alors à ue sommatio d Abel : pour y 2, U τz+ a/q; y = m>y P m y τ z+ m si2πam/q xe clog x/3 τ z+ m m = Z τ z+ y, y; a/q y si2πam/q Z τz+ t, y; a/q + y t 2 dt Nous obteos doc l estimatio 4 9 U τz+ a/q; y y 2 log y A Comme la foctio Ba/q est égalemet q-périodique, u argumet idetique fourit la majoratio 4 V τz a/q; y y 2 log y A E reportat les estimatios 4 8, 4 9 et 4 das la formule 6, ous obteos bie 3 Pour motrer que τ z+, τ z D ϑ, il ous suffit de prouver que la série Uτ z+ ; a/q est covergete Le lemme 6 de [3] permet, e idetifiat les parties imagiaires de l égalité fourie, d obteir l évaluatio suivate, valable pour tout z C, 4 Z τz+ x, x; a q := 2πa τ z+ si q x À préset, e effectuat ue sommatio d Abel, il viet τ z+ 2πa 4 2 si = Z τ z+ x, x; a/q + q x x x, pour tout A > log x A x Z τz+ t, t; a dt q t 2 E appliquat 4 avec A >, ous costatos das 4 2 que le premier terme du membre de droite ted vers et que l itégrale est covergete La série Uτ z+, ϑ est doc covergete

28 Bruo Marti 5 La ϑ-adaptatio du couple τ z+, τ z lorsque ϑ R Q Nous éoços avat tout u lemme permettat d alléger la preuve des résultats clefs de cette sectio Lemme 5 Soit κ > O a uiformémet pour y 2, q N, q y, P y τ κ q log y κ f κ q Démostratio Soit q u etier fixé La foctio arithmétique τ κ q/τ κ q est multiplicative O obtiet doc pour q y, e effectuat u développemet eulérie : P y τ κ q = τ κ q p y ν = τ κ q p y ν p q τ κ p ν q p ν τ κ q τ κ p ν p ν p y p j q ν τ κ p ν+j p ν τ κ p j = /p κ /p κ p y ν p q p j q τ κ p ν+j p ν, ce qui fourit le résultat aocé Lorsque < z, la foctio τ z est borée et appartiet doc clairemet à l esemble L 2 des foctios arithmétiques h telles que lim sup x x h 2 < D après le lemme 95 de [3], le couple τ z+, τ z est alors ϑ-adapté si, et seulemet si, lim y P y x τ z { ϱu ϑ,y} Bϑ où ous avos employé la otatio u ϑ,y := log/ ϑ / log y La propositio suivate permet, lorsque z >, d étedre ce résultat à ue large classe de réels ϑ compreat otammet l esemble Ξz Propositio 52 Soiet z u ombre complexe et ϑ u ombre réel tels qu il existe ε > satisfaisat à log q m+ z +ε lim = m q m Le couple τ z+, τ z est ϑ-adapté si, et seulemet si, lim y P y τ z { ϱu ϑ,y} Bϑ =, = Démostratio Pour alléger les otatios, ous poseros systématiquemet κ := z das toute la suite de cette démostratio D après la remarque qui précède, ous pouvos supposer κ > Soit A u ombre réel tel que A > κ Nous posos Q y := y/log y 4A+2 et q := qϑ, Q y E appliquat la formule avec f = τ z+ et g = τ z, ous pouvos écrire que P m y τ z+ m πm si2πmϑ + P y τ z Bϑ; y = y 2

Nouvelles idetités de Daveport 29 Cette idetité est licite car, d après l estimatio 4 6, les séries impliquées sot absolumet covergetes Nous obteos doc, comme ous l avos remarqué das l itroductio, τz+ ϑ; y = τ z ϑ; y P y E appliquat le théorème 22 de [3] et e posat q := qϑ; Q y, il viet 5 τz+ ϑ; y = τ z { ϱu ϑ,y} Bϑ + R y + R 2 y, où et R y log y P y P y 2 ωq log q 2 ϱu ϑ,y logu ϑ,y + 2 R 2 y log y A ϕq P y τ κ τ κ O a R 2 y log y κ A doc R 2 y = o lorsque y puisque ous avos supposé A > κ Il suffit doc de prouver que 5 2 R y = o y pour établir la coclusio aocée La foctio ϱ de Dickma satisfait l iégalité cf Théorème 5 chapitre III5 de [4], ϱv v, Γv + où Γ désige la foctio Gamma d Euler La foctio v ϱv logv + 2 est doc borée sur R + De plus, d après des estimatios classiques cf chapitre I5 de [4], ous avos, pour tout ε > fixé, 2 ωq log q 2 ϕq q ε q Nous obteos aisi que R y log y P y τ κ q ε Posos Y := y c log 2 y où c est ue costate que ous fixeros par la suite Majoros tout d abord la cotributio à R y des etiers y-friables excédat Y Pour cela, défiissos Z := Zy R par log Z log y = explog y/2 Nous pouvos alors écrire = D après 2 3, l estimatio 5 3 >Y P y τ κ Sx,y Y < Z P y τ κ + >Z P y τ κ xϱ κ ulog y κ τ κ est valable pour tous x, y tels que 2 y x Z ous rappelos la otatio u := log x/ log y De plus, il résulte du théorème de [2] que, pour tout B >, 5 4 ϱ κ v B e Bv v E effectuat ue sommatio d Abel, puis e utilisat les estimatios 5 3 et 5 4, ous obteos τ κ e B log Y/ log y e B log Z/ log y log y κ Y < Z P y pour tout ombre réel B > e B log Y/ log y log y κ,

3 Bruo Marti D après l estimatio 4, il existe ue costate b = bκ telle que Sx,y τ κ xe bu log x κ xe bu/2 E effectuat ue sommatio d Abel, ous obteos >Z P y τ κ x > Z e b log Z/2 log y log y Nous e déduisos que, pour tout B > fixé, ous avos >Y P y τ κ Y < Z P y τ κ e B log Y/ log y log y κ log y κ Bc Il suffit de choisir B > κ /c pour costater que cette cotributio ted vers lorsque y Maiteat ous observos que : log y Y q log y 2κ τ κ q ε log Y κ log y +2κ ε log 2 y κ = o log y +κ 2ε y Il ous reste doc à étudier la cotributio de Nous avos la majoratio Sy := log y Sy log y 4κε Y q log y 2κ τ κ q ε Y q log y 2κ τ κ q +ε Soit Y tel que q log y 2κ Nous pouvos alors écrire = m/d avec d := q et m := q Y log y 2κ De plus, par défiitio de q = qϑ, y, ous avos mϑ = q ϑ Q y Comme de plus Y log 2κ Y 2 pour y assez grad, cela implique la majoratio Sy = log y 4κε log y 4κε m Y 2 mϑ /Q y m Y 2 mϑ /Q y τ κ m/d m d ε d m τ κ m m F κm,

Nouvelles idetités de Daveport 3 où F κ est la foctio multiplicative défiie, pour tout ombre premier p et tout etier ν, par F κ p ν = j ν τ κ p ν j τ κ p ν p jε Comme κ >, la foctio ν τ κ p ν est croissate, ce qui implique que l o ait, uiformémet pour tout ombre premier p et tout etier ν, 5 5 F κ p ν = + O ε /p ε Soiet α et β deux exposats cojugués ; d après l iégalité de Hölder, 5 6 Sy et où log y 4κε S y /α S 2 y /β, S y := Y 2 ϑ /Q y τ κ α S 2 y := F κ β Y 2 D après 5 5, ous obteos immédiatemmet que 5 7 S 2 y p Y 2 + p + O p +ε log Y Pour étudier la cotributio S, ous cosidéros l uique etier m = my tel que Le ombre réel ϑ peut alors s écrire : Si 2 q m+ et mod q m alors Aisi, q m Q y /2 < q m+ ϑ = a γ +, γ q m q m q m+ ϑ = a + γ q m q m q m+ > 2q m Q y 5 8 S y Gy + Hy où et Gy := Hy := Y 2 mod q m q m+/2< Y 2 ϑ /Q y τ κ α τ κ α

32 Bruo Marti Pour étudier la quatité Gy, ous observos que l o peut écrire, pour tout ombre etier m, τ κ m α = τ κ α gm où g est ue foctio multiplicative telle que pour tout ombre premier p et tout etier ν, gp = et gp ν p δν, où δ est u ombre réel apparteat à l itervalle ] : /2[ E utilisat le Lemme 5 et l estimatio 2, ous obteos alors τ κ α Gy Doc, pour tout ε >, P Y 2 mod q m q m τ καq m P Y 2 log Y κα f κ αq m q m 5 9 Gy log yκα +ε q m gk k P k Y 2 Étudios efi la cotributio Hy E utilisat la majoratio 2 5, ous obteos tout d abord que Hy κ + 2α log Y/ log 2 Y q m+/2< Y 2 ϑ /Q y À préset, ous observos que la coditio ϑ /Q y implique que ϑ appartiet à au plus q m+ /Q y itervalles de logueur /q m+ Soit I l u de ces itervalles et u etier tel que ϑ I D après le lemme 63 de [3], peut predre au plus 6 valeurs das u sous-esemble de N du type [kq m+ ; k + q m+ [ k N Nous désigos par a k la plus petite des valeurs modulo q m+ que peut predre l etier das u tel sous-esemble Nous remarquos que a > q m+ /2 d après les coditios posées sur das la somme étudiée Aisi Hy q m+ κ + 2αc log y Q y a k + kq m+ k Y 2 log y κ + 2αc log Y y Q y log y4a+22 2αc logκ+ E choisissat la costate c = /4α logκ +, ous obteos alors qu il existe ue costate C > telle que 5 Hy y C Fialemet, d après 5 6, 5 7, 5 8, 5 9 et 5, /α log y κα +ε Sy + q m y C log y +/β+4κε 5 /α log q m+ κα +ε +4ακε log y4κε /α + y C q m Aisi, e choisissat α, ε et ε suffisammet petit, ous obteos 5 2, d après la coditio posée sur ϑ Nous sommes à préset e mesure d éocer et de démotrer le résultat pricipal de cette sectio

Nouvelles idetités de Daveport 33 Propositio 53 Soit u ombre complexe z quelcoque Si ϑ est u ombre irratioel apparteat à l esemble Ξz, alors le couple τ z+, τ z est ϑ-adapté Démostratio Nous coservos la otatios κ := z D après la défiitio de Ξz et la majoratio 2, la coditio de la Propositio 52 est vérifiée Ue coditio suffisate de ϑ-adaptatio est doc : T y := ϑ /y P y τ κ = o y Posos Y = y c log 2 y, avec c = /2 logκ + D après la preuve de la Propositio 52, ous avos >Y ϑ /y P y τ κ >Y P y τ κ = o y Évaluos à préset la cotributio Y ϑ /y P y τ κ État doé y 2, ous cosidéros l uique etier m = my tel que q m y/2 < q m+ Il suffit alors d appliquer mutatis mutadis la méthode employée pour estimer S y das la démostratio de la Propositio 52 Nous obteos fialemet la majoratio 5 2 ϑ /y P y τ κ log q m+ κ q m f κ q m + o y D après 3 2, cette quatité ted bie vers lorsque y ted vers l ifii 6 Preuve des Théorèmes 32 et 33 6 Réductio du problème Nous démotros tout d abord que les preuves des Théorèmes 32 et 33 peuvet être déduites de la propositio suivate Propositio 6 Soiet z C, ϑ R Q et {q m } m la suite des déomiateurs des réduites de ϑ Les trois coditios suivates sot équivaletes : i La série Uτ z+ ; ϑ coverge ; ii la série V τ z ; ϑ coverge ; iii la série 6 m log q m+ z f z q m q m m coverge

34 Bruo Marti Déductio du Théorème 32 à partir de la Propositio 6 Soit z C R + et ϑ Ξz Nous utilisos la 2 D après la Propositio 53, le couple τ z+, τ z est ϑ-adapté Motros à préset que la coditio 3 2 implique la covergece absolue de la série 6 et, par coséquet, la covergece des séries Uτ z+ ; ϑ et V τ z ; ϑ Lorsque Re z, cette série umérique est toujours absolumet covergete e vertu de 2 5 Supposos désormais que z C R + et Re z > et posos Comme ϑ Ξz, il existe A > tel que a m = log q Re z m+ f z q m q m 6 2 log q m+ z q m f z q m A Nous déduisos de 6 2 et de l estimatio 2 que, pour tout ε >, il existe u etier m ε tel que 6 3 a m Alog q m+ Re z z q ε m m m ε Doc pour tous α, β > tels que α + β =, et m m ε, a m log Re z qm+ q m q ε m A log q Re z β z m+ qm α ε α Alog q m+ Re z z q ε Fixos β tel que β > Re z/ z puis ε tel que ε < α Nous obteos aisi qu il existe η >, tel que, pour m assez grad, a m A qm η D après 2 5, la série m a m est doc covergete et il s esuit que la série 6 est bie absolumet covergete Maiteat, le lemme 69 de [3] motre que U τz+ ϑ; y = o lorsque y sous la coditio qϑ; y/log y 4κ2 ++2 log y 4κ2 ++2 Par ailleurs, d après le lemme 34 de [3], V τz ϑ; y ted vers lorsque y de faço que qϑ; y/log y 5κ2 +26 log y 5κ2 +26 Comme qϑ; q m = q m, la coditio 7 est bie vérifiée Déductio du Théorème 33 à partir de la Propositio 6 Soiet κ > et ϑ R vérifiat les hypothèses du Théorème 33 Le critère du Théorème 33 coïcide avec la coditio iii de la Propositio 6 Cette coditio est doc bie écessaire à la validité de D ϑ pour le couple τ κ+, τ κ Pour motrer qu elle est suffisate ous utilisos la 2 Comme le terme gééral de la série 3 3 ted vers, ϑ Ξκ et la Propositio 53 assure que le couple τ κ+, τ κ est ϑ-adapté L argumet utilisé ci-dessus pour traiter les défauts de P -régularité reste valide et aisi la coditio 7 est vérifiée Les deux paragraphes suivats ot pour objectif de démotrer la Propositio 6 62 Covergece de Uτ z+ ; ϑ Nous traitos d abord le cas où Re z > Désormais z désigera u ombre complexe tel que σ := Re z > Nous oteros égalemet z := κ Nous éoços tout d abord u lemme techique permettat de simplifier la preuve de la Propositio 6 m β

Nouvelles idetités de Daveport 35 Lemme 62 Soit ϑ u ombre réel, {q m } m la suite de ses réduites et g ue foctio arithmétique pour laquelle il existe b ]; /σ[ tel que l o ait uiformémet pour q N 6 4 gq q b Alors les séries 6 5 et 6 6 m log q m+ z f z q m q m m m log q m+ z m f z q m q m + gq m log q m+ sot simultaémet covergetes ou divergetes Démostratio Posos et a m = m log q m+ z q m f z q m b m = a m + gq m log q m+ Supposos que la série 6 6 coverge et motros que cela implique la covergece de la série 6 5 Pour cela ous itroduisos les esembles M := {m N, log q m+ > q c m} et M 2 := N M, où c est u ombre réel tel que b < c < b/σ u tel choix est possible au vu de la coditio imposée sur b Nous pouvos remarquer tout de suite qu e vertu de 6 4, 2 et de la croissace expoetielle des q m, les séries m M 2 a m et m M 2 b m sot absolumet covergetes O peut doc supposer que l esemble M est ifii Cela implique égalemet que la série m M b m est covergete E particulier b m = o pour m M Par ailleurs, lorsque m M, gq m log q m+ qm c b Nous e déduisos que a m = o pour m M La série m M a m gq m / log q m+ est doc absolumet covergete ce qui etraîe la covergece de la série m M a m Comme la série m M 2 a m est absolumet covergete, ous pouvos coclure que la série m a m est covergete La démostratio de la réciproque état similaire, ous omettos les détails E vue d itégratio par parties ultérieures, ous rappellos le lemme 6 de [3] qui doe ue évaluatio de Z τz x, x; ϑ := x τ z si2πϑ Lemme 63 Soit A >, ε >, et B = 4A + 4κ + 2 + 2 O a uiformémet pour x 2, Q x := x/log x B, ϑ R, q = qϑ; Q x, a Z, a, q =, qϑ a /Q x, ϑ q = ϑ a/q, 6 7 Z τz x, x; ϑ = xlog xz q { f z q si 2 πϑ q x q ε log + ϑ 2 qx 2 + O Γz πϑ q x ϑ q x log x } + O x log x A

36 Bruo Marti E fait, le coefficiet du terme pricipal figurat das le lemme 6 de [3] s écrit sous la forme z+ ϕq g z q = τ z+ p l+ν q p l τ z+p ν /p l p ν q Mais le calcul qui suit motre que les deux foctios multiplicatives f z et g z sot idetiques Soiet p u ombre premier et ν N E utilisat l idetité de covolutio τ z+ = τ z, o obtiet l τ z+ p l+ν p l τ z+p ν = /p p l l = τ z p j j = = /p l l j ν j ν j l+ν p l τ z+p ν /p τ z p j + /p τ zp ν + j ν+ j ν+ τ z p j τ z+p ν /p τ z p j p j ν /p τ z+p ν /p τ z p j p j ν /p Comme /p = ϕp/p, ce calcul implique que g z p ν = f z p ν Nous obteos bie la coclusio aocée Nous sommes maiteat e mesure d étudier la covergece de Uτ z+ ; ϑ O applique le Lemme 63 avec ε = /2B pour évaluer l itégrale ξm+ ξ m Z τz+ t, t; ϑ dt t 2 Lors de ce calcul, ous feros u usage fréquet des relatios 2 6 et 2 7 Avec le chagemet de variables t = u ε m, il viet : ξm+ ξ m Z τz+ t, t; ϑ dt t 2 = sgε εm ξ m m+ f z q m log u log ε m z si 2 πu Γzq m ε m ξ m πu 2 + O q /2B m εm ξ m+ log + u 2 ε m ξ m u 2 du σ u ξm+ dt log du + ε m ξ m tlog t A = sgε εm ξ m m+ f z q m log u + log q m + log q m+ z si 2 πu Γzq m ε m ξ m πu 2 + O log ξ m+ σ q /2B m εm ξ m+ ε m ξ m log + u 2 u 2 du + ξm+ ξ m du dt tlog t A = sgε εm ξ m m+ f z q m log u + log q m + log q m+ z si 2 πu Γzq m ε m ξ m πu 2 + O log q m+ σ q /2B m ξm+ + ξ m dt tlog t A, la derière évaluatio proveat de l itégrabilité sur R + de u log + u 2 /u 2 du

Nouvelles idetités de Daveport 37 Lorsque b a, o dispose de la majoratio a + b z a z ba σ Dès lors, ξm+ ξ m Z τz+ t, t; ϑ dt t 2 = sgε ξm+ ε m m f z q m log q m+ z Γzq m + O + O + O ξ m ε m si 2 πu πu du f z q m ξm+ ε m log q m+ σ si 2 πu q m ξ m ε m u 2 log u du f z q m log q ξm+ ε m m log q m+ σ si 2 πu q m ξ m ε m u 2 du log q m+ σ q /2B m ξm+ + ξ m dt tlog t A, soit, e utilisat l itégrabilité de u si 2 πu/πu 2 log u et u si 2 πu/πu 2 sur R +, ξm+ ξ m Z τz+ t, t; ϑ dt t 2 = sgε ξm+ ε m m f z q m log q m+ z Γzq m Par ailleurs, le même calcul fourit 6 8 x ξ m Z τz+ t, t; ϑ dt t 2 + O log q m+ σ q /2B m ξm+ + ξ m ξ m ε m si 2 πu πu dt tlog t A log q m+ σ qm /2B f z q m + q m f z q m log q m+ ξm+ dt + ξ m tlog t A ξ m < x ξ m+ Nous rappelos à préset le développemet asymptotique effectué das le paragraphe 2 de [3] εm ξ m+ si ε m ξ m 2 πu πu 2 du = π 2 + O q /B m log q m+ + log q m B q m+ Par ailleurs, comme σ >, τ z q τ σ q Doc, d après 2 2, ous avos 2σ+κ+/2 ϕqm 6 9 f z q m qm /2B Aisi, il existe ue foctio arithmétique h z telle que 6 ξm+ ξ m q m Z τκ+ t, t; ϑ dt t 2 =π sgε m 2 f z q m log q m+ z Γzq m ξm+ dt + O tlog t A, ξ m du + h zq m log q m+ et h z q m q /B m

38 Bruo Marti E choisissat A >, ous obteos que le terme d erreur de 6 est le terme gééral d ue série covergete Comme sg ε m = m sg ε, ous obteos que la covergece de la série 6 m ξm+ ξ m Z τz+ t, t; ϑ dt t 2 équivaut à celle de la série m log q m+ z m f z q m q m + h zq m log q m+ Nous pouvos appliquer le Lemme 62 avec g h z et b = /B E effet, ous avos bie B > σ puisque B = 4A + 4κ + 2 + 2 Nous pouvos doc d affirmer que la covergece de la série 6 équivaut à celle de la série 6 Nous pouvos à préset établir l équivalece i iii de la Propositio 6 Cosidéros u ombre réel x 2 et désigos par M = M x l uique etier tel que ξ M x < ξ M+ O a, par 6 8 et 6 9 6 2 x τ z+ si2πϑ = Z τ z+ x, x; ϑ + x = m M ξm+ ξ m x Z τz+ t, t; ϑ dt t 2 Z τz+ t, t; ϑ dt t 2 + EM + o, où E est ue foctio arithmétique satisfaisat la majoratio uiforme pour m, 6 3 Em log q m+ z f z q m + q/b m q m log q m+ Lorsque la série 6 coverge, o a 6 4 lim Em = m E effet, c est ue coséquece directe du Lemme 62, appliqué avec gq := q /B Nous déduisos doc de ce qui précède l implicatio iii i Établissos la réciproque Au vu de 6 2, il suffit de prouver que la covergece de Uτ z+, ϑ implique 6 4 Or, o a 6 5 [ τ z+ Zτz+ x, x; ϑ si2πϑ = x ξ m< ξ m+ ] ξm+ ξm+ + ξ m ξ m Z τz+ t, t; ϑ dt t 2 La formule 6 7 et les relatios 2 7 permettet de motrer que le premier terme du membre de droite ted vers lorsque m E effet, 6 6 [ Zτz+ x, x; ϑ x ] ξm+ ξ m log ξ m+ σ f z q m+ ε m+ξ m+2 q m+ + log ξ m σ f z q m ε mξ m 2 f zq m qm+ q m Sous l hypothèse i, le membre de gauche de 6 5 ted vers puisque c est le terme gééral d ue série covergete Doc le terme pricipal du membre de droite de 6 ted vers lorsque m ted vers l ifii Cela permet d affirmer que f z q m log q m+ z /q m = o, lorsque m sous

Nouvelles idetités de Daveport 39 la coditio log q m+ > q D m, avec /B < D < /B/σ u tel choix est possible puisque B > σ, ce qui implique 6 4 sous la même coditio La relatio 6 4 est ecore vérifiée sous la coditio log q m+ q D m d après 6 3 Cela achève la preuve de l équivalece Lorsque Re z, des calculs similaires, mais cepedat plus simples car de ombreux termes d erreurs disparaisset, fourisset les estimatios ξm+ 6 7 Z τz+ t, t; ϑ dt t 2 = m log q m+ z ξm+ dt f z q m + O + Γzq m qm tlog t A ξ m ξ m et 6 8 x τ z+ si2πϑ = m M + O ξm+ ξ m Z τz+ t, t; ϑ dt log qm+ z f z q M q M t 2 + o D après 6 7, la covergece de la série 6 équivaut à la covergece de la série m ξm+ ξ m Z τz+ t, t; ϑ dt t 2 L équivalece des poits i et iii de la Propositio 6 s établit alors e suivat la même démarche que précédemmet D après 6 8, la covergece de la série 6 etraîe la covergece de Uτ z+ ; ϑ Pour démotrer la réciproque, il suffit, au vu de 6 8 et 6 7, de prouver que la covergece de Uτ z+ ; ϑ implique 6 9 log q m+ z q m f z q m = o m Or, les relatios 6 5 et 6 6 motret que ξm+ ce qui permet, d après 6 7, d établir 6 9 ξ m Z τz+ t, t; ϑ dt = o m, t2 63 Covergece de V τ z ; ϑ Nous commeços par estimer W τz x, x; ϑ := x τ zbϑ, e vue d itégratio par parties ultérieures Pour cela, ous rappelos la défiitio d ue foctio de type Siegel-Walfisz fort doée das [3] Défiitio 64 O dit qu ue foctio arithmétique f est de type Siegel Walfisz fort, et l o ote f SW +, si l ue des deux coditios équivaletes suivates est satisfaite : i pour tout A > fixé, et uiformémet pour r N, m N, c N, c, m =, o a 6 2 x/r c mod m fr = ϕm x/r,m= fr + O ii pour tout A > fixé, et uiformémet pour q N, a Z, o a 6 2 x a mod q où l o a posé m := q/q, a f = ϕm mx/q,m= fq/m + O x log x A ; x log x A,

4 Bruo Marti Le lemme suivat de [3] permet d évaluer W f x, x; ϑ pour ue foctio f de type Siegel- Walfisz fort So éocé écessite quelques otatios Lorsque ϑ R Q et b, ous posos x b := mix, b/ qϑ et itroduisos, état doée ue foctio arithmétique f, les sommes 6 22 T b = T b x; ϑ := T 2 b = T 2 b x; ϑ := T 3 b = T 3 b x; ϑ := a + b fb q x b < x b+ ϑ q b q x b < x b+ f x b < x b+ a b mod q Efi lorsque a, q = et m q, o itroduit la quatité 6 23 γm; b/q := qui est idépedate de a d m d,m= f ad B m + b, q Lemme 65 Soiet A, B > O a uiformémet pour f SW +, ϑ R Q, x 2, Q x := x/log x B, q = qϑ; Q x log x B, a Z, a, q =, qϑ a /Q x, ϑ q := ϑ a/q >, 6 24 W f x, x; ϑ = T b + O log x B N f x où N f x := max x f et b x qϑ 6 25 T b := T b + T 2 b 2 T 3 b De plus, o a sous les mêmes coditios, et uiformémet pour b x qϑ, 6 26 T b = m q T 3 b = ϕd γm; b/q ϕm dx b /q<l dx b+ /q l,d= x b m/q<l x b+ m/q l,m= f ql d f + O,, ql x + O m log x B+A, x log x B+A, où l o a oté d = q/b, q et où les costates implicites e dépedet que de celles de 6 2 et 6 2 Nous sommes maiteat e mesure d évaluer W τz x, x; ϑ Nous coservos les otatios κ := z et σ := Re z Lemme 66 Soit A > et B = 5A+κ 2 +κ+4, o a uiformémet pour x 2, Q x = x/log x B, ϑ R, q := qϑ; Q x, a Z, a, q =, qϑ a /Q x, ϑ q := ϑ a/q, 6 27 W τz x, x; ϑ x log x σ { τ κ+2 q log q q et + } log x A x qϑ >, 6 28 W τz x, x; ϑ = sgϑ q f zq 2Γzq xlog xz + Rx, q x qϑ, où Rx, q xlog x σ τκ qlog q 2 q log x + x qϑ x + q log x A+B

Nouvelles idetités de Daveport 4 Démostratio L évaluatio 6 27 coïcide avec celle du lemme 36 de [3] Quat à 6 28, o peut remarquer que les deux membres sot des foctios impaires de ϑ O peut doc supposer par la suite que ϑ q > O applique alors le Lemme 65 à la foctio τ z, qui est de type Siegel-Walfisz fort comme l affirme le lemme 35 de [3] Ici, comme x < / qϑ, W τz x, x, ϑ = T + Olog x B Si m N, ous pouvos remarquer qu e vertu de la symétrie des etiers premiers à m par rapport à m/2, γm; = Nous pouvos doc écrire, d après 6 26, T x = O log x A+B Par ailleurs, Efi, T 2 = τ z ϑ q = ϑ q τ z x x ϑ q x 2 log x σ = qϑ x 2 log x σ, q T 3 = l x/q τ z q l + O x log x A+B Afi d évaluer le terme pricipal, ous allos appliquer la méthode de Selberg-Delage Posos H z,q x := l x τ z ql La série de Dirichlet associée à H z,q s écrit, suite à u calcul similaire à celui réalisé das le paragraphe 2, pour s C avec Re s >, où G z est défii par : G z s, q = p q τ z q s = ζs z G z s, q, p s z p j q O a la majoratio suivate, pour s / log2q : ν G z s, q τ κ q log2q τ z p ν+j p νs Ue applicatio du théorème 3 du chapitre II5 de [4] fourit alors l estimatio suivate : τ z lq = f zq log q 2 Γzq x log xz + O x log x σ 2 x + q log x A+B, l x/q ce qui achève la preuve du lemme Nous sommes maiteat e mesure d évaluer l itégrale suivate ξm+ ξ m W τz t, t; ϑ dt t 2 Nous supposos tout d abord que σ > Nous omettos les détails qui sot similaires à ceux du paragraphe précédet Nous obteos / qmϑ W τz t, t; ϑ dt ξ m t 2 = sgε m log q m+ z τκ q m log q m 2 f z q m + O 2Γzq m f z q m log q m+ ξm+ dt + O tlog t A, ξ m

42 Bruo Marti et ξm+ / q mϑ W τz t, t; ϑ dt t 2 τ κ+2q m log 2 q m log q m+ σ ξ m q m ξm+ dt + O tlog t A Nous e déduisos les estimatios 6 29 ξm+ ξ m W τz t, t; ϑ dt t 2 = sgε m log q m+ z qm /B f z q m + O 2Γzq m log q m+ ξm+ dt + O tlog t A, ξ m et 6 3 x ξ m W τz+ t, t; ϑ dt t 2 log q m+ σ f z q m q m ξm+ + ξ m + q/b m log q m+ dt tlog t A ξ m < x ξ m+ Nous pouvos maiteat établir l équivalece ii iii La preuve état similaire à celle de l équivalece i iii effectuée das le paragraphe précédet, ous e doos que les étapes essetielles Nous déduisos de la formule 6 29, et des estimatios 2 6 et 6 9, qu il existe ue foctio arithmétique h z telle que 6 3 ξm+ ξ m W τz t, t; ϑ dt t 2 = sgε m log q m+ z f z q m 2Γzq m ξm+ dt + ξ m tlog t A + h z q m log q m+ et hz q m q /B m Cela permet d établir, e appliquat le Lemme 62 avec g = h z et b = /B, que la covergece de la série ξm+ W τz t, t; ϑ dt t 2 m ξ m équivaut à celle de la série 6 Pour x 2, ous désigos par M = M x l uique etier tel que ξ M x < ξ M+ Ue sommatio d Abel fourit alors l idetité 6 32 x τ z Bϑ = m M ξm+ ξ m W τz t, t; ϑ dt t 2 + F M + o, où F est ue foctio arithmétique satisfaisat à la majoratio, uiforme pour m, F m log q m+ z f z q m + q/b m q m log q m+ Supposos que la série 6 coverge Le Lemme 62 appliqué avec gq := q /B prouve que F m = o lorsque m Cela fourit l implicatio iii ii

Nouvelles idetités de Daveport 43 Supposos réciproquemet que la série V τ z ; ϑ coverge De l idetité ous déduisos que [ τ z Bϑ = Wτz x, x; ϑ x ξ m< ξ m+ ξm+ ξ m ] ξm+ ξm+ + ξ m ξ m W τz t, t; ϑ dt = o m t2 W τz t, t; ϑ dt t 2 La relatio 6 3 permet alors d établir que F m = o lorsque m sous la coditio log q m+ > q D m avec /B < D < /B/σ Comme F m ted égalemet vers lorsque m sous la coditio log q m+ q D m, ous pouvos fialemet écrire que F m = o m Cela fourit l implicatio ii iii, au vu de 6 32 et Lorsque σ, ous obteos les estimatios suivates, qui permettet de coclure ξm+ ξ m W τz t, t; ϑ dt t 2 x = sgε m log q m+ z f z q m + O + 2Γzq m qm τ z Bϑ = m M + O ξm+ ξ m W τz t, t; ϑ dt log qm+ z f z q M q M t 2 + o ξm+ ξ m dt tlog t A Nous omettos les détails qui sot idetiques à ceux du paragraphe précédet pour le cas σ 7 Appedice A Das [7], Daveport établit que δ, µ appartiet à D ϑ pour tout ϑ R Il obtiet même l estimatio effective 7 ϑ; y := δ ϑ; y = si2πϑ π + y µ Bϑ log y A valable pour tout A >, uiformémet pour y 2 et ϑ R Nous décrivos ici les étapes essetielles du raisoemet de Daveport afi d e examier les possibilités de gééralisatio Pour obteir l estimatio 7, Daveport applique u pricipe classique d aalyse selo lequel le cotrôle d ue foctio umérique sur u itervalle I, peut être obteu par le cotrôle de sa moyee et de ses accroissemets sur I Daveport effectue aisi la décompositio 7 2 ϑ 2 ϑ ϑ ; y = I + J avec et J := I := ϑ2 ϑ ϑ2 ϑ ϑ; y dϑ, { ϑ ; y ϑ; y } dϑ

44 Bruo Marti Itégrer ϑ; y permet de rameer le problème d iterversio des sommatios au cas trivial d ue série double sommable Plus précisémet, Daveport obtiet avec 7 3 T ϑ, y = 2π 2 O a doc trivialemet I = T ϑ 2, y T ϑ, y >y µ 2 I /y, m cos2πmϑ m 2 mais cette première évaluatio est cepedat isuffisate pour coclure car les valeurs critiques de ϑ 2 ϑ das 7 2 sot o/y Daveport établit alors que l estimatio 7 4 µe 2iπϑ y log y A y est valable, pour tout A >, uiformémet pour y 2, ϑ R E itervertissat les sommatios das 7 3 puis e effectuat ue sommatio d Abel, il obtiet aisi, pour tout A >, 7 5 I ylog y A, où la costate implicite e déped que de A Esuite, e vue d estimer l itégrale J, Daveport établit la validité de l estimatio 7 6 ϑ 2 ; y ϑ ; y yϑ 2 ϑ + log y A, pour tout A > et uiformémet pour y 2, ϑ < ϑ 2 La foctio sius état cotiue, ce problème est immédiatemet réduit à l étude des accroissemets de la foctio R y ϑ := y µ Bϑ, à y fixé Sur tout itervalle sur lequel R y est dérivable, sa dérivée R y est uiformémet majorée par µ y y Il reste doc à étudier la cotributio des discotiuités de R y sur l itervalle [ϑ, ϑ 2 ] Ces discotiuités se situet aux poits de Farey a/q, avec a q y, a, q =, et a/q [ϑ, ϑ 2 ] E u tel poit a/q le saut de la foctio R y vaut S y a/q; µ := µ = µq µk q k y q k y/q k,q= Par ue techique classique d itégratio complexe, Daveport établit, pour tout A >, la majoratio uiforme S q q; µ q + log y A Notos a /q,, a r /q r les poits de Farey de l itervalle [ϑ, ϑ 2 ], ragés das l ordre croissat Il est classique que a j+ /q j+ a j /q j = /q j q j+ Daveport e déduit que la somme de tous les sauts de l itervalle [ϑ, ϑ] vaut r S y a j /q j ; µ j= r j= r y j= r q j + log y A y { aj+ q j+ a j q j } + j= q j q j+ + log y A log y A ϑ ϑ y + log y A Fialemet, ous obteos bie 7 6 E choisissat ϑ 2 = ϑ + /ylog y A, Daveport déduit 7 de la décompositio 7 2 et des estimatios 7 5 et 7 6

Nouvelles idetités de Daveport 45 Pour reproduire u tel raisoemet pour u couple de foctios f, g lié par 3, ous devos doc être e mesure d établir : C ue bore uiforme e ϑ pour la somme d expoetielles ge 2iπϑ ; y C2 la cotiuité de la foctio ϑ Uf; ϑ ou, ce qui est plus faible, la covergece de la série Uf, ϑ et ue estimatio du type fm ylog y h, m y où h est ue costate fixée dépedate de de f ; C3 l estimatio ϑ <a/q<ϑ 2 S y a/q, g = o y, où S y a/q, g désige le saut de la foctio ϑ y gbϑ/ e u poit a/q, et où la somme porte sur tous les poits de Farey a/q [ϑ, ϑ 2 ] dot le déomiateur excède pas y Notos d emblée qu ue évaluatio uiforme des sommes d expoetielles, aalogue à 7 4 est pas dispoible, pour la foctio g = Λ : la méthode de Viogradov permet d obteir pour tout A >, l estimatio Λe 2iπϑ y ϕq + O y log y A, y où q est le déomiateur d ue boe approximatio ratioelle de ϑ Cette estimatio, optimale lorsque ϑ est ratioel d après le théorème des ombres premiers e progressios arithmétiques, est isuffisate dès que q est petit La coditio C3 semble actuellemet hors d atteite pour ue grade classe de couples f, g Étudios par exemple le cas du couple Λ, µ log et cosidéros les accroissemets de la foctio 7 7 ϑ y µ log Bϑ Le saut de cette foctio e u poit de Farey a/q vaut 7 8 S y a/q; µ log := µq q y/q,q= µ logq = µq q p q log p p + O log q q e logy/q E coservat les otatios employées pour traiter le cas de la foctio µ, ous avos 7 9 S y a j /q j ; µ log = S y a r /q r ; µ log + O log y q j j<r = S y a r /q r ; µ log + O ϑ 2 ϑ y log y j<r Pour le choix ϑ 2 = ϑ + /ylog y A+ avec A >, le terme d erreur de 7 9 ted bie vers lorsque y E revache, e l absece d u reseigemet sur la taille ou la factorisatio de q r, le terme pricipal de 7 9 e ted pas vers Ue autre voie pourrait être d estimer le ombre de poits de Farey das l itervalle [ϑ, ϑ 2 ] e utilisat ue estimatio de N q t := t,q= t > Pour ue estimatio précise de cette somme d expoetielles, ous revoyos à 8

46 Bruo Marti Mais cette méthode échoue égalemet Défiissos R q t par l idetité { ϕq } 7 N q t = t + R q t q t > Nous avos la majoratio classique R q t 2ωq t t >, qui s obtiet par iversio de Möbius Nous avos alors, uiformémet pour ϑ ϑ 2, 7 S y a j /q j ; µ log = S y a/q; µ log { N q ϑ 2 q N q ϑ q } j r q y = ϑ 2 ϑ ϕqs y a/q; µ log + O S y a/q; µ log 2 ωq q y q y Le terme d erreur de 7 e ted pas vers lorsque y D autres estimatios plus fies de R q sot établies au paragraphe 3 de [3] mais elles e permettet pas plus de coclure Ue derière possibilité pour motrer que la somme des sauts ted vers cosisterait à étudier les évetuelles compesatios iduites par les facteurs µq j das la somme j r S y a j /q j, µ log = j r µq j q j y/q j,q j= µ logq j Il faudrait, pour cela, être e mesure d obteir des reseigemets sur la factorisatio des déomiateurs des fractios de Farey situés das u petit itervalle Cela semble hors d atteite, au vu des techiques actuellemet dispoibles 8 Appedice B Dès l itroductio de [6], Daveport éoce que le couple δ, µ, appartiet à D ϑ pour tout ϑ Q Il doe comme justificatio : the covergece of the series for ratioal ϑ is easily deduced from the theory of Dirichlet s series, ad the idetities are the valid Nous proposos ici de justifier cette assertio e employat que des outils cous e 937 Nous fourissos tout d abord ue preuve reposat sur deux estimatios obteues par la méthode classique d itégratio complexe Nous établissos par la suite que le recours à l aalyse complexe est pas idispesable et que l o peut déduire, de maière élémetaire, ce résultat du théorème des ombres premiers e progressios arithmétiques Cosidéros doc u ombre ratioel ϑ s écrivat ϑ = a/q avec a, q = Nous rappelos que la famille D + q des caractères impairs de Dirichlet de module divisat q costitue ue base de l espace vectoriel des foctios impaires, q-périodiques, défiies sur N et à valeurs complexes Pour s, ous itroduisos la foctio arithmétique λ s défiie par 8 λ s := d µd d s Cette foctio apparaîtra aturellemet das la preuve de l assertio de Daveport

Nouvelles idetités de Daveport 47 Lemme 8 Il existe des costates c > et d > dépedat au plus de q, tels que l o ait, uiformémet pour x 2, s, χ D + q, χ o pricipal, 8 2 A s x := λ s mχm = Oxe c log x m x et 8 3 Cx := x µχ = Oxe d log x Démostratio Établissos l estimatio 8 2 Notos G s la série de Dirichlet associée à λ s, soit G s w := m λ s m m w χm Nous désigeros respectivemet par σ et τ la partie réelle et la partie imagiaire de la variable complexe w D après 8, ous avos, pour σ >, G s w = χ µm w χm mw+s m Lw, χ = Lw + s, χ Or, il existe c > tel que le domaie H du pla complexe défii par 8 4 σ c / log τ + 2, soit ue régio sas zéro de la foctio w Lw, χ Par coséquet, G s admet u prologemet aalytique das le domaie 8 4 État doées les estimatios classiques voir par exemple le chapitre III de [2] des foctios L de Dirichlet das le domaie H, il existe ue costate C tel que l o ait uiformémet pour w H, τ 3 et s, 8 5 G s w log τ C Posos maiteat κ := + / log x E appliquat la secode formule de Perro à A s, ous obteos, pour T 2, D après le théorème de Cauchy, ous avos A s x = κ+it G s w xw 2iπ κ it w dw + O x log T T κ+it κ it G s w xw w dw = G G s w xw w dw, où G est la lige brisée κ it, c / log T it, c / log T + it, κ + it D après la majoratio 8 5, la cotributio des segmets horizotaux de G à l itégrale est tadis que celle du segmet vertical est x log T C, T xlog T C e c log x/ log T E choisissat T = e log x, ous obteos bie l estimatio 8 2

48 Bruo Marti L estimatio 8 3 s obtiet de maière idetique La série de Dirichlet associée à µχ vaut µ w χ = Lw, χ σ > Elle admet doc u prologemet aalytique das le domaie H Comme de plus, il existe ue costate D telle que l o ait uiformémet pour w H, τ 3, Lw, χ log τ C, ous pouvos obteir 8 3 de la même maière que 8 2 Nous sommes maiteat e mesure de démotrer directemet que δ, µ appartiet à D ϑ Nous établissos tout d abord la covergece de la série µ B Par liéarité, il suffit de motrer la covergece de a q 8 6 µ χ pour tout caractère χ o pricipal de module divisat q Pour cela ous effectuos ue sommatio d Abel, soit µ Cx x χ = x + Ct t 2 dt x La covergece de la série 8 6 est doc ue coséquece directe de l estimatio 8 3 Établissos à préset l idetité 8 7 si2πa/q π = µ B a q Rappelos tout d abord le théorème d Abel pour les séries de Dirichlet Soit F w := a w ue série de Dirichlet covergete pour σ > S il existe c C tel que alors o a a = c + o x x, F σ = c + o σ + La série µba/q/ état covergete, ous pouvos écrire, d après le théorème d Abel, que avec µ B fs = a = lim q fs, s + µ s B a q E itroduisat le développemet e série de Fourier de la foctio B das l expressio de f, ous obteos fs = µ si2πak/q s kπ k

Or, pour s > et M, ous avos M µ s De plus, il est bie cou que Il s esuit que π fs = π = π Cela implique l idetité k t M m M Nouvelles idetités de Daveport 49 k M/ si 2πkϑ k si2πak/q k = m M = ϑ + O + t ϑ λ s m m 2πam si q t, ϑ R { µ si2πak/q } s + O + O k M s k M/ >M λ s m m fs = π si2πam/q + o M m λ s m m 2πam si q s > Comme lim s + λ s m = δm, il ous suffit, pour prouver 8 7, de motrer que la série λ s m 2πam m si q m coverge uiformémet e s sur tout itervalle [; b], avec b > Nous pourros alors effectuer ue iterversio de limites et obteir µ a B = lim q λ s m 2πam s + π m si q m = λ s m 2πam lim π s + m si q m = si2πa/q, π c est-à-dire la coclusio souhaitée Par liéarité, ous ous rameos à étudier 8 8 λ s mχm/m, m où χ est u caractère o pricipal de module divisat q Or, par sommatio d Abel, ous obteos m>x λ s m m χm = A sx + x x A s t t 2 D après 8 2, la covergece de la série étudiée est bie uiforme pour s, ce qui achève la preuve de 8 7 Nous avos utilisé ue méthode d itégratio complexe pour démotrer la covergece de la série 8 6 et la covergece uiforme de la série 8 8 Motros maiteat que ces deux poits peuvet être déduits de maière élémetaire du théorème des ombres premiers e progressio arithmétique qui stipule que, si χ est u caractère o pricipal de module q, alors o a 8 9 Λχ = ox x x Nous auros besoi de deux résultats auxiliaires dt

5 Bruo Marti Lemme 82 Soit {a } = ue suite borée de ombres complexes et f : R C ue foctio admettat ue limite fiie l C e + Nous avos a x f = l a + olog x x x x Démostratio Soit ε > Il existe A tel que 8 fx l ε x A Comme x x / log 2 x est ue foctio croissate, il existe x tel que, pour tout x x, x / log 2 x A Dès lors, e otat X := x / log 2 x, ous avos, pour tout x x, a x { x } f l = a X { x } f l + X< x a { x } f l Pour X, ous avos x/ A Nous déduisos doc de 8 a x { x } log x f l ε log 2 x + O log 2 x x x Nous obteos fialemet qu il existe x tel que, pour tout x x, a x { x } f l ε log x, ce qui correspod à la coclusio attedue Lemme 83 Soit q N O a uiformémet pour x 2, s 2, χ u caractère de Dirichlet o pricipal dot le module divise q, 8 8 2 8 3 x x x Λ s χ s = Ls, χ + Ox s, χ = L s, χ + o L µ χ, s x, Démostratio Soit Kx := x χ De l estimatio classique ous déduisos, grâce à ue sommatio d Abel, x χ s Kx q 2, = Ls, χ + Kx x s x Kt dt t+s Cela implique immédiatemmet l estimatio 8 E effectuat ue sommatio d Abel et e utilisat 8 9, ous obteos, uiformémet pour < s 2, Λ s χ = L L s, χ + ox s x x Comme L, χ, la foctio s L /Ls, χ est cotiue au poit s = ; cela ous permet d obteir 8 2 e faisat tedre s vers

Nouvelles idetités de Daveport 5 De l idetité de covolutio δ = µ et de 8, ous déduisos = d x µd d s χd = Ls, χ d x m x/d χm m s µd d s χd + O Comme la foctio Ls, χ est cotiue et e s aule pas pour s, ous obteos bie 8 3 Pour démotrer la covergece de la série 8 6, ous employos le théorème de Tauber pour les séries de Dirichlet dot ous rappelos l éocé Soit F w := a / w ue série de Dirichlet O suppose qu il existe l C tel que et que x F σ = l + o σ +, a log = olog x x Le théorème de Tauber stipule alors que la série a / est covergete et que l o a a = l Motros que ous pouvos appliquer ce théorème à la série 8 6 Pour σ >, ous avos, d après la cotiuité de /Ls, χ au voisiage de, µ σ χ = Lσ, χ = + o σ + L, χ Par ailleurs, de l idetité de covolutio µ log = Λ µ, ous déduisos x µ χ log = µm m χm m x d x/m E appliquat 8 2 puis le Lemme 82, ous obteos x µ L χ log = L, χ m x Fialemet, la relatio 8 3 fourit x Λd d χd µm χm + olog x x m µ χ log = olog x x Le théorème de Tauber fourit doc la coclusio requise Pour motrer la covergece uiforme de la série 8 8, ous ous rameos tout d abord à l étude d ue foctio complètemet multiplicative Pour cela, ous itroduisos la foctio complètemet multiplicative λ s défiie, pour tout ombre premier p et tout etier ν, par λ sp ν = p s ν

52 Bruo Marti O a λ s = λ s g s, où g s est la foctio multiplicative défiie, pour tout ombre premier p, par g s p = et g s p ν = λ s p { λ s p } ν 2 Comme λ s p = p s, ous avos g s p ν pour tout ν 2 Il s esuit que la série g s χ est absolumet et ormalemet covergete 2 Comme ous avos m λ s m m χm = il ous suffit doc de démotrer que la série g s χ d λ sd d χd, 8 4 d λ sd d χd coverge uiformémet pour s [; b] où b est ue costate > arbitraire Pour cela, ous employos u raffiemet du théorème de Tauber, qui est ue coséquece directe de la démostratio de ce théorème Soit F s w := a s/ w, ue série de Dirichlet, où s est u paramètre réel O suppose qu il existe ls C et b > tels que 8 5 F s σ = ls + o σ +, s b, et que, uiformémet pour s b, 8 6 Alors la série x a s log = olog x x a s coverge uiformémet vers ls pour s b Motros que ce théorème s applique à la série 8 4 avec b = 4/3 Nous avos tout d abord m λ sm m σ χm = λ s pχpp σ p = χpp σ + χpp σ s p Lσ, χ = + Op 2σ s, Lσ + s, χ ce qui fourit la coditio 8 5, par cotiuité respective de σ Lσ, χ et σ /Lσ +s, χ e σ = et σ = s pour s p 2 Cette coclusio reste valide lorsque s C : ous avos g s =, sauf lorsque l etier est de la forme = u 2 v 3 auquel cas ous disposos de la majoratio g s 2 ωuv ; la propriété requise résulte alors de l iégalité classique 2 ω τ et de la majoratio 2 6

Nouvelles idetités de Daveport 53 Pour établir la coditio 8 6, il ous suffit de motrer que, uiformémet pour s 4/3, ous avos 8 7 m x λ sm χm = olog x x m Coveos désormais que toutes les relatios asymptotiques et toutes les majoratios serot établies uiformémet pour s 4/3 De l idetité de covolutio log = λ, ous déduisos m x Nous allos établir les deux estimatios λ sm m χm log m = λ s χ x d x/m 8 8 E s x := x et 8 9 D s x := d x avec λ s χ λ sd d χdλd λ sd χdλd = rs + o x, d rs D après le Lemme 82, cela impliquera bie l estimatio 8 7 Pour estimer E s, ous itroduisos la foctio multiplicative h s défiie par : 8 2 λ hs µ s =, f s où f s est défiie, pour m, par f s m = m s Nous avos alors, pour tout ombre premier p, h s p =, h s p ν = ps + p s ν 2 p s ν 2 E particulier, ous disposos de la majoratio suivate, valable uiformémet pour tout ombre premier p et tout ν 2 h s p ν 2ps ν p s p s ν 2 Nous e déduisos que 8 2 h s < E effet, comme la foctio h s est multiplicative, il suffit de prouver que la série p ν h s p ν p ν est absolumet covergete Or, comme ous supposos que s 4/3, ous avos 8 22 p ν h s p ν p ν p p p s ν p ν ν 2 p 2ν/3 p ν 2 < p4/3

54 Bruo Marti Maiteat, d après 8 2, ous pouvos écrire E s x = x h s s χ µd d s χd χm m d x/ m x/d x 2 Nous déduisos doc de 8, 8 3 que E s x = x = x h s s χ {L, χ µd } d s χd + O d x/ h s { L, χ } s χ + O + O x 2 Ls, χ Par aalycité de s /Ls, χ sur [; + [, ous avos doc, E s x = O x h s s x 2 Fialemet, d après 8 2, ous obteos bie l estimatio 8 8 Évaluos à préset D s Comme λ s p = p s, ous avos D s x = p x = p x = x λ sp Λpχp + p p ν x ν 2 Λp p χp p x Λ χ x λ sp ν p ν Λpχp ν Λp p s χp + p ν x ν 2 λ sp ν p ν Λpχp ν Λ s χ + Λpχp ν { p ν λ sp ν p ν s} p ν x ν 2 La derière série est absolumet covergete, et sa somme est uiformémet borée puisque λ sp ν p ν s Nous obteos doc, d après 8 2, D s x = L L L s, χ, χ + ts + o L x, avec ts L aalycité de s L /Ls, χ sur [; + [ implique alors immédiatemmet l estimatio 8 9 Nous avos aisi établi la coditio taubériee 8 6 Le théorème de Tauber s applique et fourit bie la coclusio souhaitée, à savoir la covergece uiforme de la série 8 8 pour s 4/3

Nouvelles idetités de Daveport 55 9 Appedice C Nous fourissos ici le cotre-exemple aocé das la troisième partie cocerat le Théorème 33 Pour cela ous costruisos les réduites de ϑ par récurrece suivat la relatio q m+ = a m+ q m + q m Supposat les m premières réduites costruites pour m assez grad, motros que l o peut trouver q m+ tel que qm /κ qm { /κ q m+ soit premier et log qm+ + } m m m Nous employos la otatio habituelle, πx, a, q := x a mod q x, q N, a q Le théorème de Siegel-Walfisz stipule qu état doé A >, il existe ue costate c > e dépedat que de A telle que l o ait uiformémet, pour x 2, q log x A, a N, a, q =, x πx, a, q = ϕq log x + Oxe c log x Nous e déduisos, sous les mêmes hypothèses, que si < h x, alors h πx + h, a, q πx, a, q = ϕq log x + Oxe c log x Afi d alléger la présetatio des calculs, ous employos la otatio λ m := q m /m /κ Comme q m, q m = et q m λ A m dès que A > κ, ous pouvos employer le théorème de Siegel-Walfisz pour évaluer πx + h, q m, q m πx, q m, q m, avec x = e λm et x + h = e λm+/m Aisi, il existe ue costate c > telle que e λm/m πx + h, q m, q m πx, q m, q m = eλm ϕq m λ m Comme ϕq m q m et que q m = mλ κ m, ous obteos πx + h, q m, q m πx, q m, q m eλm e λm/m m λ κ+ m { + O + Oe λm c λm e c λ m m λ κ+ m e λm Pour m assez grad, e vertu de la croissace expoetielle des q m et doc de λ m, ous costatos que cette derière quatité est strictemet positive, ce qui permet d achever la costructio de q m+ Remarquos que l emploi du théorème de Dirichlet das les progressios arithmétiques aurait été isuffisat pour coclure, das la mesure où l uiformité e q m et m est idispesable Lorsque m est assez grad, q m est premier ce qui fourit l estimatio f κ q m = κ + O κ q m Nous savos d autre part que log q m+ κ = q { } m + O m m Cela ous permet d éocer que la série 6 5 est de même ature que la série m m, m qui est covergete, tadis que la série 6 6 est de même ature que la série m, qui est divergete m }

56 Bruo Marti Bibliographie [] R Apery, Irratioalité de ζ2 et ζ3, Astérisque 6 979, -3 [2] A Blachard, Iitiatio à la théorie aalytique des ombres premiers Duod, Paris, 969 [3] R de la Bretèche & G Teebaum, Séries trigoométriques à coefficiets arithmétiques, J Aal Math, 92 24, 79 [3] R de la Bretèche et G Teebaum, Propriétés statistiques des etiers friables, Ramauja J, à paraître [5] NG de Bruij ad YH va Lit, Icomplete sums of multiplicative fuctios I,II, ibid67964, 339-347 ;348-359 [6] H Daveport, O some ifiite series ivolvig arithmetical fuctios, Quart J Math Oxford 8 937, 8 3 [7] H Daveport, O some ifiite series ivolvig arithmetical fuctios II, Quart J Math Oxford, 8 937, 33 32 [8] H Daveport, Multiplicative umber theory, deuxième éditio, Graduate Texts i Mathematics 74 Spriger, Berli, 98 [9] E Fouvry & G Teebaum, Etiers sas grad facteur premier e progressios arithmétiques, Proc Lodo Math Soc 3 63 99, 449 494 [] A Khitchie, Cotiued fractios, Noordhoff, Groige, 963 [] A Selberg, Note o a paper by LG Sathe, JIdia MathSoc NS8 954, 83-87 [2] H Smida, Sur les puissace de covolutio de la foctio de Dickma, Acta Arith 59 99, 24 43 [3] H Smida, Valeur moyee des foctios de Piltz sur les etiers sas grad facteur premier, Acta Arith 63, 993, 2 5 [4] G Teebaum, Itroductio à la théorie aalytique et probabiliste des ombres, 2 e éditio, Cours Spécialisés,, Société Mathématique de Frace, 995 [5] G Teebaum, Uiform distributio o divisors ad Behred sequeces, L Eseigemet Mathématique, 42 996, 53 97 [6] G Teebaum, e collaboratio avec Jie Wu, Exercices corrigés de théorie aalytique et probabiliste des ombres, Cours spécialisés, 2, Société Mathématique de Frace, 996 [7] G Teebaum et J Wu, Moyees de certaies foctios multiplicatives sur les etiers friables, J reie agew Math, 564 24, 9 66 Bruo Marti Istitut Élie Carta Uiversité de Nacy BP 239 5456 Vadœuvre Cedex Frace Courriel : marti@iecu-acyfr

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables Sommaire Itroductio 57 L iégalité de Turá-Kubilius 57 2 Etiers friables 59 2 Estimatios fodametales 64 3 Méthode employée 65 4 Résultats 68 4 Formule asymptotique pour V # f x, y 68 42 Estimatio de C # u 69 43 La variace semi-empirique et Cu 7 44 Comportemet asymptotique de C # u et Cu 72 5 Commetaires sur le cas u = 73 6 Estimatios relatives aux foctios ϱ et ξ 74 6 Rappels cocerat la foctio ξ 74 62 Dérivée logarithmique de ϱ 74 63 Estimatio de hu, v 77 7 Comportemet local de Ψx, y : preuves des Propositios 2 et 22 78 8 Estimatio de ϑ x,yp ν lorsque p ν > x/y 79 9 Estimatio de R f x, y 8 Estimatios de K us, t 82 Majoratio élémetaire 82 2 Estimatio uiforme e u pour K us, t 83 Cotiuité de u λu 84 2 Approximatio de sommes discrètes par des itégrales 86 3 Vecteurs propres de T u 87 4 Iégalité de Bessel pour les foctios additives : preuve de la Propositio 3 9 5 Estimatio de Q f x, y 9 6 Mioratio de C # u : preuve de la 6 9 97 7 Variace semi-empirique : preuves de la Propositio 45 et du Corollaire 46 99 8 Étude asymptotique de Cu et C# u : preuve de la Propositio 47 9 Calculs umériques 3 2 Appedice 6 Itroductio L iégalité de Turá-Kubilius La théorie probabiliste des ombres a pour objet l étude de la répartitio des foctios arithmétiques cosidérées comme des variables aléatoires sur les espaces Ω x := { N x} muis de la mesure uiforme ν x Das ce cadre l espérace et la variace, dites empiriques, de f sot défiies par les formules E f x := f x 2 x et V # f x := x x x { f E f x} 2 x 2 Ce poit de vue est particulièremet pertiet das le cas d ue foctio additive, dot la répartitio peut être comparée à celle d ue somme de variables aléatoires idépedates Coveos que les lettres p et q déotet systématiquemet, désormais, des ombres premiers et ous désigos par A l esemble des foctios additives à valeurs réelles État doée ue foctio f A, ous posos, { fp ν si p ν, ν, f p = si p

58 Bruo Marti O a doc f = p x f p pour Ω x Posos 2 ω x p ν := x 2, ν x x p ν La loi de f p sur Ω x, ν x est doée par 3 ν x {f p = fp ν } = w x p ν = p ν + O, p x où, par abus de otatio, ous iterprétos 3 e coveat que si plusieurs valeurs fp ν sot égales, la probabilité correspodate est la somme des probabilités apparaissat au secod membre Nous useros libremet de cette covetio das la suite La descriptio probabiliste d ue foctio additive f repose sur l observatio que les foctios f p sot, au mois pour les petites valeurs de p, asymptotiquemet idépedates La théorie est doc sous-tedue par l idée heuristique que f se comporte essetiellemet comme ue somme de variables aléatoires idépedates Ce poit de vue est cofirmé par plusieurs théorèmes de théorie probabiliste des ombres qui fourisset, pour ue large classe de foctios additives, des aalogues arithmétiques de théorèmes probabilistes classiques À titre d exemple, les théorèmes d Erdős-Witer et Erdős-Kac voir par exemple [6] et [7] sot les pedats respectifs du théorème des trois séries de Kolmogorov et de celui de la limite cetrale Au vu de 3, il est aturel de modéliser la répartitio d ue foctio additive f à support das Ω x, par celle d ue variable aléatoire Z f,x défiie sur u espace de probabilité abstrait par Z f,x = p x ξ p, où les ξ p sot des variables aléatoires idépedates dot la loi est doée par P ξ p = fp ν = p ν ν p Nous désigos respectivemet par A f x et VZ f,x, l espérace et la variace de Z f,x soit A f x := fp ν p p ν, p ν x VZ f,x := fp ν 2 p p ν { } 2 fp ν p p ν p ν x p x ν Le momet d ordre 2 de Z f,x vaut semblablemet B f x 2 := Eξp 2 = fp ν 2 p ν, p p ν x p ν x et l iégalité de Cauchy Schwarz fourit immédiatemet 2 B f x 2 fp ν 2 p ν 2 VZf,x B f x 2 p p ν x Il est aturel de comparer la variace empirique V # f x à la variace VZ f,x du modèle, et, hormis les questios fies relatives à la valeur exacte des costates impliquées, cela équivaut à comparer V # f x à B f x 2 Das sa forme classique, l iégalité de Turá-Kubilius s écrit aisi, pour f A, 4 V # f x B f x 2, x 2, où la costate implicite e déped pas de f E vue d applicatios ultérieures, par exemple la détermiatio de l ordre ormal d ue foctio additive, il peut être plus judicieux de mesurer l écart quadratique etre f A et l espérace A f x de so modèle probabiliste Aussi l iégalité de Turá-Kubilius est-elle plus souvet éocée sous la forme 5 V f x := { 2 f A f x} Bf x 2 x 2 x x

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 59 Aisi que le remarque Hildebrad, das l itroductio de [], les iégalités 4 et 5 sot équivaletes das la mesure où E f x A f x = o B f x 2 x, et doc 6 V f x = V # f x + ob f x 2 x Le problème du comportemet asymptotique de la meilleure costate das l iégalité 4, c est-à-dire V # f Cx := sup x f A B f x 2, se pose aturellemet Nous pouvos remarquer qu e vertu de 6, o a égalemet V f x Cx = sup f A B f x 2 + o x Kubilius [5],[6] et Hildebrad [] ot tout d abord comparé V f x à u autre majorat de VZ f,x, à savoir B + f x2 := fp ν 2 p ν p ν x Ils ot obteu tous deux, par des méthodes différetes, l estimatio V f x 7 sup f A B + = 3 f x2 2 + o x Das [7], Lee obtiet u résultat plus précis : il existe des costates c et d telles que, pour x assez grad, 3 2 c log x sup V f x f A B + 3 f x2 2 d log x Das [2], La Bretèche et Teebaum déduiset des résultats obteus par Hildebrad que V f x 8 sup f A B f x 2 = 2 + o x La différece de comportemet etre ces deux rapports est ue questio délicate Nous retrouvos les formules asymptotiques 7 et 8 à partir des résultats de otre étude, et reveos e détail sur ce phéomèe au paragraphe 5 2 Etiers friables Nous rappelos que P désige le plus grad facteur premier d u etier 2 et que l o pose par covetio P = Coformémet à l usage, ous employos les otatios suivates Sx, y := { x, P y} et Ψx, y := x, y 2 Sx,y Depuis ue vigtaie d aées, l étude des etiers friables, ou sas grad facteur premier, occupe ue place gradissate au sei de la théorie aalytique et probabiliste des ombres La questio d établir ue iégalité de Turá-Kubilius où seuls les etiers de Sx, y sot reteus est à ce titre aturellemet posée

6 Bruo Marti Das cette perspective, muissos l espace Ω x de la mesure uiforme sur Sx, y, otée ν x,y Nous désigos respectivemet par E f x, y et V # f x, y l espérace et la variace empiriques de f relatives à cette mesure, c est-à-dire 9 E f x, y := et V # f x, y := Ψx, y Ψx, y Sx,y Sx,y f { f E f x, y} 2 Notat Ψ m x, y := Sx,y,m= m N, ous pouvos exprimer la loi de f p sous ν x,y par la formule ν x,y {f p = fp ν } = ν x,y { x, p ν } = Ψ px/p ν, y Ψx, y ν Tout modèle probabiliste d ue foctio additive à support das Sx, y est doc assujetti à ue évaluatio du rapport Ψ p x/p ν, y Ψx, y Coformémet à l usage, ous désigos par ϱ la foctio de Dickma, défiie comme l uique solutio de l équatio différetielle aux différeces vϱ v + ϱv = v >, satisfaisat la coditio iitiale ϱv = v O prologe classiquemet ϱ sur ], [ e posat ϱv = v < Hildebrad a établi das [2] la validité de la formule 2 Ψx, y = xϱu { + O ε } logu + log y das le domaie x, e log 2 3x5/3+ε y x, où ε est u paramètre strictemet positif arbitraire Cela suggère d approcher le rapport par 3 ϱu u p ν p ν, ϱu p où l o a posé 4 u d := log d/log y d

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 6 C est la voie emprutée par Alladi [] puis Xua [22],[23] Posat 5 Alladi établit que l iégalité 6 Ψx, y η f x, y := ϑ f x, y := Sx,y Sx,y Sx,y fpϱu u p pϱu fp 2 ϱu u p, pϱu { f η f x, y} 2 ϑf x, y, est valable pour toute foctio f fortemet additive das le domaie explog x 2/3 y x À l époque de la rédactio de [], la formule 2 était établie que pour le domaie explog x 3/5 y x Ue isertio de 2 das la preuve de Alladi fourit immédiatemet pour 6 le domaie de validité exp { log x log 2 x } y x Xua établit das [23] l aalogue de 6 pour toutes les foctios additives mais pour le domaie restreit exp { log x /2+ε} y x ε >, e posat 7 η f x, y := ϑ f x, y := Sx,y Sx,y fp ν ϱu u p ν p ν ϱu fp ν 2 ϱu u p ν p ν ϱu E compliquat les défiitios de η f x, y et de ϑ f x, y, Xua parviet das [22] et [23] à établir l aalogue de 6 das le domaie log x c+ε y x / log 2 x, où c est ue costate qui vaut lorsque f est fortemet additive et 2 das le cas gééral E 25, La Bretèche et Teebaum choisisset d exploiter les résultats cocerat les estimatios du rapport issues de la méthode du col Notos α = αx, y, l uique solutio de l équatio trascedate log p p α = log x p y et itroduisos la foctio troquée ζ de Riema, ζs, y := p s p y Rs >, y 2 Hildebrad et Teebaum ot établi das [4] l estimatio 8 Ψx, y = xα ζα, y { α + O 2πσ 2 u} où l o a posé et u := log x log y, u := mi y u,, log y [ d 2 log ζs, y σ 2 := ds 2 ]s=α 2 y x, Cette estimatio est due à de Bruij das [4]

62 Bruo Marti La formule 8 suggère que le rapport est proche de 9 p να p α Cette approximatio ous ivite à modéliser la répartitio de f relativemet à ν x,y par celle de la variable aléatoire Z f,x,y défiie par Z f,x,y := p y ξ p, où les ξ p sot des variables aléatoires idépedates dot la loi est doée par 2 P ξ p = fp ν = p να p α Nous emploieros désormais la otatio g k s := p k p s k, s C Itroduisos l espérace et la variace de Z f,x,y, A f x, y := Eξ p = p y VZ f,x,y := et le momet d ordre 2 de Z f,x,y, p ν Sx,y 2 B f x, y 2 := p y p ν Sx,y g p α fpν 2 p να Eξ 2 p = g p α fpν p ν, p y p ν Sx,y { ν g p α fpν p να } 2, g p α fpν 2 p να Ces termes restet très maiables das la mesure où Hildebrad et Teebaum ot établi das [4] des approximatios précises et simples de α suivat l ordre de gradeur de y par rapport à x Pour fixer les idées, ous doos l estimatio, valable pour x y 2, α log + y/ log x log y Comme précédemmet, il est utile das les applicatios de cosidérer la variace semi-empirique V f x, y, itroduite das [2] et mesurat l écart quadratique etre ue foctio f A et la moyee de so modèle, doc défiie par 22 V f x, y := Ψx, y Sx,y { f Af x, y } 2, x, y 2 Das [3], La Bretèche et Teebaum étudiet avec précisio la qualité de l approximatio du rapport par l expressio 9 Ils e déduiset das [2] que l o a uiformémet pour f A, 2 y x, 23 V f x, y B f x, y 2 La Bretèche et Teebaum privilégiet, das [2], la quatité V f x, y à V # f x, y car elle est bie adaptée aux applicatios, comme par exemple les théorèmes de type Erdős Witer ou l étude de la structure multiplicative d u etier friable cfles théorèmes 4 et 6 de [2]

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 63 La variace empirique et la variace semi-empirique sot liées par la relatio 24 V f x, y V # f x, y = E f x, y A f x, y 2 Nous pouvos établir directemet à partir du théorème 24 de [3], l estimatio uiforme pour f A, 25 A f x, y E f x, y B f x, y u 2 y x, qui etraîe, d après 24, 26 V f x, y = V # f x, y + O Bf x, y 2 u Nous retrouvos et précisos 26 das la Propositio 45 ifra E particulier, d après 26, l iégalité 27 V # f x, y B f x, y 2, est égalemet valable uiformémet pour f A et 2 y x Aisi que le fot remarquer La Bretèche et Teebaum das [2], das le cas x = y les iégalités 5 et 23 sot équivaletes : l estimatio ifra 2 doe αx, x = + O log x 2, ce qui implique que 28 Bf x A f x = A f x, x + O log x { B f x = B f x, x + O log x Bf x V f x = V f x, x + O log x, }, Tout comme das le cas x = y, se pose le problème de détermier le comportemet asymptotique de la meilleure costate das l iégalité 23, c est-à-dire V f x, y Cx, y := sup f A B f x, y 2 2 y x Les estimatios 8 et 28 motret que Cx, x = 2 + o x De plus, La Bretèche et Teebaum ot égalemet établi que lorsque u et x/ log y Cx, y = + o Il faut remarquer que la meilleure costate asymptotique das l iégalité 27, V # C # f x, y x, y = sup f A B f x, y 2, a pas, a priori, le même comportemet que Cx, y das la mesure où ous e disposos pas d u aalogue de 6 pour les variaces friables V f x, y et Vf x, y

64 Bruo Marti Notre étude porte sur le comportemet asymptotique de Cx, y et C # x, y lorsque le paramètre u = log x/ log y est fixé Das ce domaie, l approximatio 3, issue de la formule de Hildebrad, du rapport est meilleure que 9 Toutefois les iégalités de Turá-Kubilius friables 23 et 27 sot valables sas restrictio sur x et y et les expressios de A f x, y et B f x, y 2 sot plus maiables que leurs aalogues 7 Nous coserveros doc le poit de vue de La Bretèche et Teebaum et étudieros les costates C # u := lim sup x C # x, x /u et Cu := lim sup Cx, x /u x La relatio 24 implique que C # u Cu u Par ailleurs, ous avos, d après 8, 26 et 28, C = C # = 2, aisi que lim u C# u = lim Cu = u 2 Estimatios fodametales Les estimatios doées das ce paragraphe sot uiformes lorsque la variable u est coteue das u esemble compact de [, [ Doos dès maiteat ue estimatio de α das otre domaie d étude Pour v >, ous défiissos ξv comme l uique solutio réelle positive de l équatio + vξ = e ξ lorsque v et ous posos ξ = La formule 78 de [4] idique alors que pour u fixé, ous avos 2 α = ξu log y + O log y 2 x 2, y = x /u Nos travaux écessitet des estimatios précises du rapport pour u fixé Elles fot iterveir la foctio h défiie par 2 2 hu, v := ϱu ve vξu ϱu u, v u, qui joue u rôle cetral das otre étude Nous regroupos quelques estimatios essetielles cocerat la foctio h das le Lemme 63 ifra Nous rappelos la otatio u d := log d/ log y et ous désigos par ωk le ombre de diviseurs premiers d u etier k, coformémet à l usage L estimatio suivate est ue coséquece directe du théorème 23 de [3] et de la formule de Hildebrad 2 Propositio 2 Soit A > Il existe ue costate C absolue, telle que l o ait, uiformémet pour x 2, y = x /u, d, P k y, ωk, u A, 2 3 avec Ψ k x/d, y Ψx, y = g { kα d α hu, u d + O Rx, y, d }, Rx, y, d = d C log y + x

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 65 L estimatio 2 3 présete l avatage d ue grade gééralité et d ue certaie maiabilité Cepedat, elle souffre d u défaut de précisio lorsque d est proche de x C est pourquoi ous doos ue autre estimatio du rapport Ψ k x/d, y/ψx, y, das le cas où d = p ν et k = p, mois maiable mais cepedat plus précise Rappelat la défiitio de ω x p ν ν e 2, ous itroduisos la foctio ϑ x,y défiie par hu, u p ν 2 4 ϑ x,y p ν = ω x p ν p ν g p ϱue u p ν ξu si p ν x/y, si p ν > x/y Propositio 22 Soit A > O a uiformémet pour x 2, y = x /u, p ν Sx, y, u A, 2 5 Ψ p x/p ν, y Ψx, y { = g pα } p να ϑ x,yp ν + O log y Nous prouvos les Propositios 2 et 22 au paragraphe 7 3 Méthode employée Notre démarche cosiste à établir ue formule asymptotique pour V # f x, y dot ous déduiros des estimatios de C # u Pour cela ous gééralisos la méthode employée par Hildebrad das [] pour traiter le cas u = Esuite, ous préciseros le lie etre V # f x, y et V f x, y pour obteir des résultats cocerat Cu Par additivité de f, ous obteos 3 V # f x, y = P f x, y + Q f x, y R f x, y, avec 3 2 P f x, y := p ν Sx,y fp ν 2 Ψ px/p ν, y, Ψx, y 3 3 Q f x, y := et p ν,q µ Sx,y p q 3 4 R f x, y := p y { fp ν fq µ Ψp x/p ν, yψ q x/q µ, y Ψx, y 2 Ψ pqx/p ν q µ, y }, Ψx, y ν fp ν Ψ px/p ν, y 2 Ψx, y Au vu de 2 5, l étude de P f x, y et R f x, y se réduit à celle de la foctio ϑ x,y Nous effectuos ce travail aux paragraphes 8 et 9

66 Bruo Marti L étude de Q f x, y est plus délicate et costitue le cœur de la méthode de Hildebrad La formule 2 3 suggère que Q f x, y est proche de 3 5 où K u est la foctio défiie par p ν,q µ Sx,y p q g pq α fpν fq µ p να q µα K uu p ν, u q µ, 3 6 K u s, t := hu, shu, t hu, s + t s, t [, ] Nous observos dès maiteat que K u s, t s, t [, ] Cela résulte immédiatemet de la croissace sur [, [ de la dérivée logarithmique de /ϱ, rv := ϱ v ϱv v, qui a été établie par Hildebrad 2 D après l estimatio 2 employée sous la forme { 3 7 d α = e u dξu } + O, log y la quatité 3 5 est elle-même proche de 3 8 p ν,q µ Sx,y p q g pq α fpν fq µ p ν q µ K u u p ν, u q µe u pν +u qµ ξu Nous obteos e fait le résultat suivat, éocé rigoureusemet au Lemme 52 ifra, et qui motre que la cotributio à Q f x, y des puissaces de ombres premiers p ν avec ν > peut être égligée pour la recherche de C # u O a avec 3 9 Q f x, y := Q f x, y = Q f x, y + ob f x, y 2 x p,q y Nous sommes doc rameés à étudier Q f x, y fpfq K u u p, u q e up+uqξu pq À x et y fixés, Q f x, y est ue forme quadratique e la variable f A Nous allos ous rameer à étudier ue forme quadratique défiie sur u espace de Hilbert e approchat des sommes discrètes par des itégrales, e dépedat que de f et u, pour ue mesure adaptée L expressio de Q f x, y suggère l emploi de la mesure m u défiie sur [, ] par sξu ds 3 dm u s = e s 2 Voir la preuve du lemme de [2]

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 67 Posos H u = L 2 [, ], m u et muissos cet esemble du produit scalaire caoique 3 ϕ, ψ u := ϕsψs dm u s, qui lui cofère ue structure d espace de Hilbert séparable L expressio de Q f x, y ous icite à cosidérer la forme quadratique Q défiie sur H u par Q u ϕ := Cosidéros à préset l opérateur T u de H u défii par 3 2 T u ϕs := de sorte que ϕsϕtk u s, t dm u s dm u t ϕ H u ϕtk u s, t dm u t, Q u ϕ = ϕ, T u ϕ u ϕ H u Nous démotros au paragraphe que K u L 2 [, ] 2, m u m u ce qui implique que T u est u opérateur de Hilbert-Schmidt, e particulier u opérateur compact Comme K u est de plus symétrique, l opérateur T u est autoadjoit D après u théorème classique d aalyse foctioelle, H u admet doc ue base hilbertiee de vecteurs propres pour T u De plus, les valeurs propres costituet ue famille discrète de ombres réels possédat comme uique poit d accumulatio 3 Notos q j j cette base hilbertiee et λ j j la famille de valeurs propres associée de sorte que Nous avos e particulier 3 3 Qu ϕ = T u ϕ, ϕ u = j T u q j = λ j q j j λ j ϕ, q j 2 u λu j ϕ, q j 2 u ϕ H u, où 3 4 λu := max j λ j > La méthode de Hildebrad cosiste à établir que l o peut approcher ue foctio arbitraire f A par ue suite de foctios {ϕ } = de H u, de sorte que Q f x, y soit approché par Q u ϕ = ϕ, T u ϕ u, e vue d appliquer 3 3 à ϕ Afi de costruire la suite {ϕ } =, ous adaptos la structure préhilbertiee de H u à l espace A, e itroduisat le pseudo-produit scalaire défii par 3 5 f, g A := p y fpgpe upξu p f, g A De plus, pour j, ous défiissos la foctio arithmétique additive q j par 3 6 q j p ν := q j u p ν p 2, ν Nous pouvos alors établir que les foctios q j j costituet ue pseudo-base orthogoale de l espace A E effet, d après le Lemme 2 et la majoratio 6 2 ifra, ous avos, pour j, k, q j, q k A = q j p q k pe upξu = p p y = q j, q k u + o = δ j,k + o q j sq k s dm u s + o y 3 Pour tout ce qui cocere la théorie des opérateurs, o pourra cosulter par exemple la référece [8]

68 Bruo Marti État doée ue foctio f A, ous itroduisos aturellemet la suite {c j f} j= coefficiet de Fourier das cette pseudo-base hilbertiee e posat de ses c j f := f, q j A = p y fp q j pe upξu p f A, j Nous défiissos alors ϕ par 3 7 ϕ t := c j fq j t j t [, ], j, ce qui correspod essetiellemet à la projectio orthogoale de la foctio f sur l espace egedré par les foctios {q j } j= Nous doos dès maiteat u aalogue de l iégalité de Bessel das l espace A mui du pseudo produit scalaire défii e 3 5 Nous itroduisos la quatité 3 8 B f x, y2 := g p α fp2 p α B f x, y 2 p y Propositio 3 Soiet N, u O a uiformémet pour f A, x 2, y = x /u, 3 9 c j f 2 { + o } B f x, y2 x j 4 Résultats 4 Formule asymptotique pour V # f x, y Afi d éocer ue formule asymptotique pour V # f x, y, ous itroduisos pour u les quatités suivates : 4 h u := max hu, v, v u h 2 u := max{2hu, u, hu, u } Nous metioos dès maiteat la formule 4 2 h u = max hu, v, v mi,u établie au Lemme 63 Comme ξ/ log 2 = 2 et comme la foctio ξ est croissate, ous avos 4 3 h 2 u = e uξu ϱu De plus, max { 2, e ξu} { 2hu, u si u / log 2, = hu, u si u > / log 2 4 4 h 2 u = e {+o}u u Rappelos que 4 5 V # f x, y = P f x, y + Q f x, y R f x, y, où P f x, y, Q f x, y et R f x, y sot respectivemet défiis e 3 2, 3 3 et 3 4 Pour établir ue formule asymptotique pour V # f x, y, ous évaluos idépedammet les trois termes figurat das 4 5

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 69 La foctio ϑ x,y p ν est défiie e 2 4 Il résulte directemet de l estimatio 2 5 que 4 6 P f x, y = p ν Sx,y g p αϑ x,y p ν fpν 2 p να + o B f x, y 2 x Lorsque p ν x/y, ous avos ϑ x,y p ν = hu, u p ν Pour redre exploitable la cotributio à 4 6 des ombres p ν Sx, y tels que p ν > x/y, ous établissos, à la Propositio 8, les ecadremets suivats, qui sot asymptotiquemet optimaux O a pour p ν Sx, y, { e ξu /ϱu + o ϑ x,y p hu, u + o si x/y p y, 4 7 hu, u/2 + o ϑ x,y p ν h 2 u + o si ν 2, x/y p ν x, p y Nous sigalos que das le cas u = et ν =, le miorat optimal de ϑ x,x p est e fait /2+o L évaluatio du terme Q f x, y est l objet de la Propositio 5 et fait iterveir la foctio ϕ dot ous rappelos la défiitio e 3 7 Efi le terme R f x, y est l objet de la Propositio 9 Théorème 4 Soit A > et z : R + R + ue foctio vérifiat zt t pour t, et lim t zt = + Il existe ue suite réelle {ε } =, e dépedat que de A et covergeat vers, telle que, pour tout etier, o ait uiformémet pour f A, x 2, y = x /u, u A, 4 8 V # f x, y = P f x, y + ϕ, T u ϕ u R f x, y + { ε + o } B f x, y 2 x, où 4 9 P f x, y := et 4 R f x, y := 42 Estimatio de C # u p zy p ν Sx,y { ν Rappelos la défiitio de B f x, y e 3 8, posos g p αϑ x,y p ν fpν 2 p να g p αhu, u p ν fpν p να } 2 B 2 f x, y2 := B f x, y 2 B f x, y2 = et coservos la otatio λu itroduite e 3 4 p ν Sx,y ν 2 g p α fpν 2 p να Soit f A Appliquos 3 3 à ϕ puis utilisos l iégalité 3 9 Nous obteos ϕ, T u ϕ u λu ϕ, q j 2 u = λu c j f 2 4 j j { λu + o } x B f x, y2 Nous sommes alors e mesure de déduire de la formule asymptotique 4 8 et des estimatios 4 7 ue majoratio de la variace V # f x, y Majorat trivialemet le terme R f x, y par, ous obteos V # f 4 2 x, y P f x, y + λub f x, y2 + o B f x, y 2 H ub f x, y2 + H 2 ub 2 f x, y2 + o B f x, y 2, avec H u := max { h u, hu, u } + λu = h u + λu, H 2 u := max{h u, h 2 u} où ous avos utilisé le fait que hu, u h u Posat ous obteos aisi ue majoratio de C # u h # u := max{h 2 u, λu + h u},

7 Bruo Marti Corollaire 42 Pour tout u fixé et uiformémet pour f A, o a 4 3 V # f x, y {h# u + o}b f x, y 2 E particulier, o a, pour u, 4 4 C # u h # u Lorsque u / log 2, ous avos h 2 u = 2hu, u d après 4 Lorsque u / log 2, ous avos, e vertu de 4 3 et 4 2, h 2 u = hu, u h u Comme λu >, il suit { max{2hu, u, λu + h # h u} si u / log 2, u = λu + h u si u / log 2 Toute comparaiso de V # f x, y et B f x, y 2 pour ue foctio f A particulière est susceptible de fourir ue mioratio de C # u Nous ous restreigos das ce qui suit à ue classe de foctios f satisfaisat Rf x, y = o B f x, y 2 x, de sorte que la cotributio de Rf # x, y à V f x, y reste égligeable Posos, pour ϕ H u, R u ϕ := ϕt 2 hu, t dm u t u Désigat par ϕ u u vecteur propre ormalisé de l opérateur T u associé à la valeur propre λu, ous obteos le résultat suivat où ous posos h u := mi hu, v v Propositio 43 Soit u Alors { } 4 5 C # u max 2hu, u, R u ϕ u + λu E particulier, 4 6 C # u max{2hu, u, h u} Das le cas où u =, Hildebrad démotre que λ = /2 Lorsque u >, ous e sommes plus e mesure d expliciter u vecteur propre de T u Toutefois, ous pouvos obteir ue approximatio umérique de λu avec ue précisio arbitraire, grâce à ue méthode classique d aalyse umérique exposée au paragraphe 9 Compte teu de 4 4 et de 4 5, ous avos l implicatio 2hu, u h u + λu C # u = 2hu, u Or 2h, = 2 > 3 2 = h + λ De plus, les applicatios u 2hu, u et u h u sot clairemet cotiues et ous établissos la cotiuité de l applicatio u λu à la Propositio Nous obteos doc aisi la valeur exacte de C # u das u voisiage de u =

Corollaire 44 Il existe u # Posos Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 7 > tel que, pour u u#, o ait C # u = 2hu, u u # := sup{u : C# u = 2hu, u} Alors u # est fii e vertu de la mioratio 4 5 puisque l o a h u > 2hu, u, pour u assez grad, d après le Propositio 47 ifra et l évaluatio 4 4 Le Corollaire 44 motre que u # > Nous pouvos établir par calcul que, 32 < u # <, 48 Pour u > u #, alors que l iégalité 4 6 e fourit pas de bo résultat umérique, les relatios 4 4 et 4 5 permettet u ecadremet umérique satisfaisat de C # u E l absece de formule explicite pour u vecteur propre ϕ u, ous exploitos la méthode umérique d approximatio de λu, qui permet égalemet d approcher u vecteur propre pour cette même valeur propre Les détails sot exposés au paragraphe 9 Nous obteos aisi u ecadremet de C # u dot l amplitude maximale est iférieure à, 2 E modifiat légèremet la défiitio de B f x, y 2, il est possible de détermier la valeur exacte de la costate asymptotique optimale das l iégalité de Turá-Kubilius Nous éoços le résultat correspodat et les étapes pricipales de sa démostratio das l Appedice 43 La variace semi-empirique et Cu Nous rappelos la défiitio de la variace semi-empirique V f x, y e 22 Cette quatité peut être étudiée par la même méthode que celle employée pour V # f x, y, mais sas faire appel aux résultats précédemmet obteus : ous pouvos aisi établir que V f x, y = P f x, y R f x, y fpfq J u u p, u q e up+uqξu + o B f x, y 2 x pq où J u est défiie par p,q y J u s, t := hu, t + hu, s hu, s + t s, t [, ] Cosidéros l opérateur S u défii sur H u par S u ϕt := ϕsj u s, t dm u s ϕ H u, qui, tout comme T u, est autoadjoit et compact Nous obteos pour V f x, y et Cu des résultats similaires à 4 8, 4 4 et 4 5 : il suffit de remplacer T u par S u, λu par la plus grade valeur propre κu de S u, et ϕ u par u vecteur propre de S u Les méthodes umériques développées das le paragraphe 9 sot égalemet valables pour approcher κu Cela doe lieu aux résultats éocés das l itroductio géérale de cette thèse Nous avos cepedat privilégié la voie qui cosiste à comparer les variaces V f x, y et V # f x, y Pour cela, ous défiissos, pour u fixé, ue foctio w u par 4 7 w u t := hu, t t [, ] O a w u H u, comme l atteste l estimatio 6 6 ifra Cette même estimatio motre de plus que w u 2 u u 2 e tξu dt, u u Propositio 45 Soit u O a uiformémet pour f A, x 2, y = x /u, 2 4 8 V f x, y V # fpw u u p f x, y = e upξu + o B f x, y 2 x p et p y 4 9 V f x, y V # f x, y + w u 2 u B f x, y2 + o B f x, y 2 x E particulier, 4 2 V f x, y V # f x, y B f x, y 2 u

72 Bruo Marti Nous pouvos alors déduire de la Propositio 45 et des estimatios de C # u obteues au paragraphe 4, u ecadremet de Cu Nous itroduisos à cette fi la quatité hu : = max h 2 u, h u + λu + w u 2 u { max 2hu, u, h u + λu + w u 2 u si u / log 2 = h u + λu + w u 2 u si u > / log 2 Corollaire 46 Soit u Alors o a { } 4 2 max 2hu, u, w u, ϕ u 2 u + R u ϕ u + λu Cu hu E particulier, il existe u > tel que Soit Cu = 2hu, u u u u := sup{u : Cu = 2hu, u} La quatité u est fiie, pour les mêmes raisos que u #, et ous obteos par calcul l ecadremet, 32 < u <, 48 Nous avos doc Cu = C # u das u voisiage de u = Nous cojecturos que cette égalité e persiste pas pour tout u et qu il existe v tel que C # u < Cu u > v Nous doos les détails de la preuve du Corollaire 46 au paragraphe 7 44 Comportemet asymptotique de C # u et Cu Bie que les estimatios 4 4, 4 5 et 4 2 e soiet pas explicites, du fait de la présece de λu, elles ous permettet d etrepredre ue étude asymptotique des costates C # u et Cu lorsque u Nous obteos la propositio suivate qui améliore l estimatio Cu = + O / u découlat des calculs meés das la partie 5 de [2] Propositio 47 O a C # u = + O u et Cu = + O u u Le poit délicat das la preuve de la Propositio 47 réside das l étude asymptotique de λu Elle repose sur u phéomèe spécifique de l opérateur T u : lorsque u ted vers l ifii, la plus petite valeur propre de T u reste voisie de tadis que les autres tedet vers Nous metioos dès maiteat la majoratio 4 22 λu u u, qui est établie au Lemme 82 ifra Nous termios ce paragraphe e sigalat que tous ces résultats restet valables pour des foctios arithmétiques additives à valeurs complexes, e posat V f x, y := f A f x, y 2 et B f x, y 2 := g p α fpν 2 Ψx, y p να, Sx,y p ν Sx,y et e effectuat les chagemets ad hoc Il coviet otammet de choisir u autre produit scalaire sur H u, soit ϕ, ψ u := ϕtψt dm u t, pour lequel l opérateur T u est hermitie et compact et dot le spectre demeure doc ichagé

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 73 5 Commetaires sur le cas u = Nous profitos de l occasio pour teter d expliquer le lie etre les costates 3/2 et 2 qui itervieet respectivemet das les résultats 7 et 8 Nous rappelos les estimatios 28 et 6 qui motret que l o peut travailler idifféremmet avec V f x, x ou V f x = V # f x, x, et B f x, x 2 ou B f x 2 Hildebrad a démotré que λ = /2 D après la formule 3, l estimatio 5 ifra et la majoratio 4, il viet soit ecore V f x P f x, x + 2 p ν x p x fp 2 + o B f x 2 x, p p 5 V f x fp ν 2 ω x p ν + fp 2 + o B f x 2 x 2 p p p x Nous allos motrer que les formules asymptotiques 7 et 8 résultet toutes deux de 5 E employat la majoratio ω x p ν /p ν das 5, ous obteos directemet V f x, x { 3 2 + o} p ν x fp ν 2 p ν = { 3 2 + o} B + f x2 Comme le remarque Hildebrad, cette iégalité est optimale : il suffit de cosidérer u vecteur propre ϕ associé à la valeur propre /2 de T et d appliquer le Lemme 6 ifra à ϕ e otat que h, t = pour t [, ] Cela établit bie 7 Établissos à préset la formule 8 à partir de 5 Nous avos 5 2 V f x p x fp 2 ω x p + 2 p x fp 2 + fp ν 2 ω x p ν + o B f x 2 p p p ν x ν 2 x E vertu de la majoratio ω x p p + mi p p x 2,, ous avos fp 2 ω x p fp 2 + fp 2 p p p 2 + fp 2 x p x p x x p x p x fp 2 + 2 fp 2 p p x p p x p x fp 2 + o B f x 2 x p p p x Par ailleurs, pour p ν x, la majoratio 5 3 ω x p ν 2 p ν p est optimale : c est e fait ue égalité asymptotique pour p = 2 et x = 2 ν Il s esuit que p ν x ν 2 fp ν 2 ω x p ν 2 p ν x ν 2 fp ν 2 p p

74 Bruo Marti Fialemet, ous avos établi la majoratio 5 4 V f x 3 fp 2 + 2 2 p p Aisi p x p ν x ν 2 5 5 V f x { 2 + o } B f x 2 x fp ν 2 p p ν + o B f x 2 E s ispirat du cas d égalité de 5 3, La Bretèche et Teebaum cosidèret la foctio f A défiie par { si p = 2 et 2 fp ν ν x < 2 ν+, = sio, et établisset aisi que 5 5 est optimale, ce qui implique bie 8 Nous costatos que, das 5 4, la costate 3/2, proveat de la cotributio à P f x, x des ombres premiers p et de la majoratio de Q f x, x, est éclipsée par la costate 2, proveat de la cotributio à P f x, x des ombres p ν avec ν 2 Lorsque u est proche de, le même phéomèe se produit pour V # f x, y : la cotributio des ombres premiers p et la majoratio de Q f x, y fourit la costate h u + λu qui est éclipsée par la costate 2hu, u issue de de la cotributio à P f x, y des ombres p ν avec ν 2 Mais, comme 2hu, u ted rapidemet vers tadis que h u + λu = + O/u, le rapport de prépodérace etre ces deux costates s iverse assez rapidemet : le seuil critique est la valeur que ous avos otée u # 6 Estimatios relatives aux foctios ϱ et ξ 6 Rappels cocerat la foctio ξ Nous disposos des estimatios { 6 ξ j j j! } v = v j + O j, v log 2v Plus précisémet, Hildebrad et Teebaum explicitet ue représetatio de ξv sous forme d ue série double das [3] du type ξv = log v + log 2 v + c mk + log2 v log v m v v, v log v m k dot ous déduisos par dérivatio les estimatios suivates, qui ous serot utiles par la suite, ξ v = v 6 2 2 v 2 ξv + O v 2 log 2v 2 ξ v = 2 v 3 + 2 v 3 ξv + 5 v 3 ξv 2 + O v v 3 log 2v 3 62 Dérivée logarithmique de ϱ Posos 6 3 rv := ϱ v ϱv = ϱv vϱv Hildebrad a démotré 4 que la foctio r est strictemet croissate sur [, [ Le comportemet asymptotique de la foctio r peut être déduit de celui de la foctio ξ par le biais de la formule de Alladi-de Bruij voir par exemple [2] III5, théorème 8, qui fourit ue formule asymptotique pour ϱv e foctio de ξv et de sa dérivée Il est aisi établi au lemme 37 de [2] que l o a, uiformémet pour v, 6 4 6 5 6 6 rv = ξv + O/v, r v = ξ v + O/v 2, r v /v 2 Nous auros l usage de ouvelles estimatios relatives à la foctio r 4 Voir la preuve du lemme de [2]

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 75 Lemme 6 O a, uiformémet pour v, log 2v 6 7 rv 3rv + 3rv 2 rv 3 = ξ v + O v 4 Démostratio Nous employos la méthode utilisée das [2] pour établir l estimatio log 2v 6 8 rv 2rv + rv 2 = ξ v + O v 3 v au cours de la preuve du Lemme 37 D après le théorème de [2], ous disposos d u développemet asymptotique de ϱ à l ordre 4, soit ϱv = où h est ue foctio vérifiat ξ v 2π exp { γ v ξw dw} + hv + O/v 4, 6 9 h j v v j+ j 3, v Nous e déduisos le développemet asymptotique rt = ξt { h t + Ht } log 2v + ft + O v 4, avec et ft ξt + /t : = ξ t + ξ t 2 ξ t h t + tξt + + 5 2 ξ t 6 ξ t 7 48 ξ tξ t + 8 ξ t 2 48 ξ t 3 ξ t 2 8ξ y ξ t 2 32 ξ t 2 + ξ tξ t 32 ξ t 2 3ξ t 3 28 ξ t 3 Ht := hth t + 2 h t + ht 3 ht 2 Nous pouvos établir, grâce aux relatios 6 et 6 9, que f t log 2t t 4, Ht t 3, H t t 4 La formule de Taylor-Lagrage ous permet alors d obteir 6 7 Lemme 62 O a uiformémet pour v, 6 r v v 3 Démostratio Nous posos sv := r v/rv = rv rv /v de sorte que, d après la formule 68 de [9], 6 sv v log2v v Nous itroduisos égalemet la foctio tv := r v rv = sv2 + r v r v + v 2

76 Bruo Marti Nous avos d après 6 6, tv v 2 v E dérivat l idetité r v = tvrv, ous obteos r v rv = t v + tvsv = 2s vsv + r v r v 2 v 3 + O v 3 log 2v = 2s vsv + rvtv rv tv 2 v 3 + O v 3 log 2v Nous avos, d après 6 6, s v /v 2, doc il suit r v rv = rvtv rv tv 2 v 3 + O v 3 log 2v = rvsv 2 rv sv 2 + rv { rvsv rv sv } rv { rv sv rv 2sv 2 } + rv rv v2 v 2 2 v 3 + O v 3 log 2v = rvsv 2 rv sv 2 + rv { rvsv 2rv sv + rv 2sv 2 } + { rv rv }{ rv sv rv 2sv 2 } + rv rv v2 v 2 2 v 3 + O v 3 log 2v Nous obteos aisi r v 6 2 rv = Av + rv2 Bv + rvcv + Dv + Ev 2 v 3 + O v 3, log 2v où ous avos posé Av := rvsv 2 rv sv 2, Bv := sv 2sv + sv 2, Cv := 2sv { rv rv } sv 2 { rv rv 2 }, Dv := { rv rv }{ rv sv rv 2sv 2 }, Ev := rv rv v2 v 2 Nous évaluos ces quatités e employat les estimatios 6 8, 6 7, 6 2 et 6 6 Nous avos Av = rv { sv + sv }{ sv sv } + sv 2{ rv rv } = rv { sv + sv }{ rv 2rv + rv 2 + } + O v 2 v 3 log 2v = rv { sv + sv } ξ v + v 2 + O v 3 log 2v = O v 3 log 2v

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 77 Bv = rv 3rv + 3rv 2 rv 3 2 v 3 + O v 4 = ξ v 2 v 4 + O log 2v v 3 = 2 v 3 ξv + 5 v 3 ξv 2 + O v 3 log 2v 3, Cv = 2sv { rv rv } sv 2 { rv rv 2 } = sv { rv 2rv + rv 2 } + { rv rv 2 }{ sv sv 2 } { } log 2v = sv ξ v + O v 3 + { rv rv 2 }{ } v 2 ξv + O v 2 log 2v 2 = svξ v 2r v v 2 ξv + O v 3 log 2v 2 Dv = { rv rv } rv { sv sv 2 } + sv 2 { rv rv 2 } = r vrv v 2 ξv + O v 3 log 2v Ev = rv v 2 { } v 2 + rv rv v 2 = 2rv v 3 + r v v 2 + O v 3 log 2v E reportat ces estimatios das 6 2, et e employat 6 4, 6 5 et 6, ous obteos ce qui correspod à la coclusio attedue r v rv v 3 log 2v, 63 Estimatio de hu, v Nous regroupos das le lemme suivat certaies estimatios utiles cocerat la foctio hu, v défiie e 2 2 et que l o peut réécrire sous la forme 6 3 hu, v = ϱu v e vξu = exp ϱu Nous rappelos la défiitio de h u e 4 Lemme 63 i O a v {ru t ξu} dt 6 4 hu, w max hu, v u, w, v e particulier 6 5 h u = max hu, v v mi,u ii O a uiformémet pour u et v u, v 2 6 6 hu, v = + O, u 6 7 hu, v

78 Bruo Marti Démostratio Aisi qu il est remarqué das [8], ous avos ru ξu ru u > La foctio r état strictemet croissate sur [, [, ous avos doc, pour w, d après 6 3, { w } hu, w = hu, exp {ru t ξu} dt hu,, ce qui implique bie 6 4 L estimatio 6 6 est établie au Lemme 6 de [9] et l estimatio 6 7 est ue coséquece directe de 6 4 et 6 6 7 Comportemet local de Ψx, y : preuves des Propositios 2 et 22 Nous commeços par démotrer la Propositio 2 Le cas d > x est trivial das la mesure où hu, v = dès que u < v Nous supposos désormais que d x D après le théorème 23 de [3], il existe ue costate absolue C > telle que Ψ k x/d, y Ψx, y = g k α Ψx/d, y Ψx, y { + O log y + d x } C Nous employos à préset la formule asymptotique de Hildebrad, que ous écrivos sous la forme { logu + Ψx, y = xϱu + O ε + } x 2, e log 2 3x5/3+ε y, log y x où le terme e /x permet de teir compte du cas où x < y Nous e déduisos que { } Ψ k x/d, y = g mαϱu u d d C + O Ψx, y dϱu log y +, x où l o a posé C = mi, C Nous employos alors l estimatio 2 sous la forme { 7 d α = e u dξu } + O, log y et ous obteos bie 2 3 Démotros à préset la Propositio 22 Lorsque p ν Sx/y, y, l estimatio 2 5 est ue coséquece directe de 2 3 appliqué avec d = p ν et k = p Lorsque p ν > x/y, ous avos x Ψ p ν, y = [ ] [ ] x x x p ν p ν+ = ω x p ν La formule 2 de Hildebrad implique que Ψ p x/p ν, y Ψx, y = g pα p να = g pα p να ω x p ν p να ϱug p α où la derière égalité résulte de 7 Nous avos g p s s ω x p ν p ν e upν ξu ϱug p α { } + O log y { } + O, log y = log p p s s [α, ] L estimatio 2 implique doc la formule { } g p α = g p + O, log y qui etraîe bie la validité de 2 5 pour p ν > x/y

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 79 8 Estimatio de ϑ x,y p ν lorsque p ν > x/y Rappelos la défiitio de ϑ x,y e 2 4 et celle de h 2 u e 4 Ce paragraphe est dévolu à établir u ecadremet optimal de ϑ x,y p ν lorsque x/y < p ν x Nous obteos le résulat suivat Propositio 8 Soit A > O a uiformémet, lorsque x, y = x /u, p ν Sx, y, u A, { e ξu /ϱu + o ϑ x,y p hu, u + o si x/y < p y 8 hu, u/2 + o ϑ x,y p ν h 2 u + o si ν 2, x/y < p ν, p y Les ecadremets sot optimaux à l exceptio du cas u = et ν =, pour lequel le miorat optimal vaut 2 + o Démostratio Nous commeços par observer que ϑ x,y p ν = pν ω x p ν e upξu /pϱu Posos p = y t Il suit, lorsque x/y < p ν x, ϑ x,y p ν e tνξu ϱu e u pν ξu ϱu mi /p, + p ν /px ytν u mi, + y t y t Nous allos évaluer le maximum de cette quatité sur l itervalle w t z lorsque u w := max, log 2, z := mi, u ν log y ν Ue coditio écessaire pour que l itervalle [w, z] soit o vide est u ν +, ce que ous supposeros désormais Cette foctio de t est le miimum de deux foctios covexes Elle atteit doc so maximum, soit à ue extrémité de l itervalle, soit lorsque les deux foctios sot égales Le cas d égalité correspod à t = u νt, ie t = u/ν + Nous avos aisi établi que ϑ x,y p ν ϱu maxb, C, D où l o a posé B := e νzξu y z, C := e wνξu ywν u mi, + y w y w, D := e uνξu/ν+ y u/ν+ Supposos tout d abord que z = Nous avos alors B = e νξu y e u ξu + o, puisque ν u Das le cas où z = u/ν, il viet puisque z log 2/ log y Esuite, ous observos que l o a C = B 2e uξu, e wνξu y w si w u/ν + e wνξu + ywν u y w si w u/ν +

8 Bruo Marti Cosidéros e premier lieu le cas w = u /ν Comme ν + u, ous avos w u/ν + et, par suite, C = { + y y w } e u ξu { + 2y } e u ξu { + o}e u ξu, où la première iégalité proviet de la mioratio w log 2/ log y Examios esuite le cas w = log 2/ log y, de sorte que u /ν log 2/ log y u/ν Si ν + w u, autremet dit 2 ν+ y u, alors C = e wνξu + ywν u y w = e wνξu + 2y wν u Posos wν = u ϑ avec u/ν + ϑ E utilisat à ouveau la covexité, ous obteos que C = e u ϑξu + 2y ϑ e uξu maxe ξu, 2 + o, puisque y u/ν+ 2 + o lorsque y Si ν + w u, alors C = e wνξu y w = 2e wνξu 2e uξu+wξu = {2 + o}e uξu Efi, ous avos D e uξu+uξu/ν+ e uξu max /y u/ν+ e uξu max 2, e ξu + o u/{+log x/ log 2} ϑ e ϑξu y ϑ Nous avos doc motré que l o a das tous les cas, lorsque u est fixé et y, sup x/y<p ν x p y ϑ x,y p ν { + o} + max{, eξu }, e uξu ϱu ce qui fourit bie la majoratio 8 lorsque ν 2 La majoratio 8 das le cas ν = correspod à u cas particulier de la preuve effectuée plus haut E effet, lorsque ν =, ous avos z = et w = u /ν pour y assez grad, ce qui implique maxb, C e u ξu + o ν =, y De plus, D e u /2ξu + o ν =, y

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 8 Établissos à préset les mioratios de ϑ x,y p ν Lorsque x/y < p ν x/2, ous avos Lorsque p ν > x/2, p ν+ > x Il suit ϱuϑ x,y p ν = pν ω x p ν { } g p x e u pν ξu e upν ξu pν xg p e u pν ξu 2 ϱuϑ x,y p ν = e uξu { } + o x 2 [ ] pν x g p p ν e u p ν ξu Sur l itervalle [, [, la bore iférieure de la foctio x [x]/x vaut /2 Nous e déduisos que ϱuϑ x,y p ν = e u pν ξu 2g p De plus, lorsque p ν = x/2, ous avos e u pν ξu 2 ϱuϑ x,y p ν = e upν ξu { + o} 2 x/2 < p ν x Nous obteos bie la coclusio requise pour p ν Sx, y avec ν 2 et pour le cas ν =, u = Lorsque < u 2 et x/y < p y, ous avos p/x = o quad x Il suit, ϱuϑ x,y p = pω xp g p x e upξu e upξu{ p } xg p = e upξu{ + o } e ξu{ + o } x, x/y < p y Cette mioratio est asymptotiquemet optimale lorsque p = y et que x/y 2 est u etier tadis que x/y ted vers u etier par valeurs iférieures Nous obteos bie la coclusio requise pour < u 2 et x/y < p y 9 Estimatio de R f x, y Rappelos la défiitio de R f x, y e 3 4 Nous ous proposos ici d établir la propositio suivate Propositio 9 Soiet A > et z : R + R + ue foctio qui ted vers l ifii e l ifii O a, uiformémet pour f A, x 2, y = x /u, u A, 9 R f x, y = Démostratio Posos p zy { ν g p αhu, u p ν fpν p να } 2 + o Bf x, y 2 x ν p := log x log p 2 p x E employat l estimatio 2 3 et la majoratio 6 7, ous obteos avec et R f x, y = p y { ν S := log y g p αhu, u p ν fpν p να } 2 + OS + S 2, { p y ν ν p g p α fpν p να } 2 S 2 := { g p α fpν }{ p να g p α fpν p ν p να x p y ν ν p ν ν p C }

82 Bruo Marti Nous avos, d après l iégalité de Cauchy-Schwarz, S log y log y { p y }{ fpν 2 g p α } p να p να ν ν p g p α ν ν p g p α fpν 2 p B f x, y 2, ν+α log y p ν Sx,y et S 2 { x C p y B f x, y 2 x ν ν p g p α }{ fpν 2 g p α } /2{ } /2 p να p να p να2c ν ν p ν ν p Il suit R f x, y = p y { ν Nous remarquos par ailleurs que pour z y, z p y { ν g p αhu, u p ν fpν p να } 2 + o Bf x, y 2 x g p αhu, u p ν fpν p να } 2 z p y z α p y { g p α ν ν p g p α ν ν p }{ fpν 2 g p α } p να p να ν ν p fpν 2 p να B f x, y 2 z α Cela implique bie la coclusio souhaitée Nous rappelos la défiitio de K u e 3 6 Majoratio élémetaire Estimatios de K u s, t Nous doos tout d abord ue estimatio de K u écessaire aux calculs ultérieurs Lemme Nous avos, uiformémet pour u, s, t [, ], K u s, t ], [ s + t u + ru mis, t E particulier, pour chaque u > fixé, ous avos 2 K u s, t mis, t s, t [; ] 2, où la costate implicite peut dépedre de u Démostratio D après 6 7, ous avos uiformémet pour u, s, t [, ], 3 K u s, t Lorsque s + t u, ous pouvos utiliser le fait que la foctio ϱ est lipschitziee sur R + Plus précisémet, o a ϱu s ϱu s max t [,s] ϱ u t = s ϱ u s = ru sϱuhu, sse sξu ruϱuse sξu s u, où ous avos utilisé la décroissace de ϱ, la croissace de la foctio r et la majoratio 6 7

Nous e déduisos que Il s esuit que Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 83 K u s, te s+tξu = ϱu 2 { ϱu sϱu t ϱuϱu s t } Par symétrie de K u s, t, ous obteos = { } ϱu s ϱu s t + O ruse sξu ϱu ruse s+tξu K u s, t rus 4 K u s, t ru mis, t, s, t [, ], s + t u La majoratio est ue coséquece immédiate de 3 et 4 Pour établir 2, il ous suffit de remarquer que pour u > ous avos, d après 3 et 4, K u s, t t t u, K u s, t t t u, où la costate déped de u La coclusio requise résulte alors de la symétrie de K u s, t Nous pouvos d ores et déjà déduire du Lemme que K u appartiet à L 2 [, ] 2, m u m u E effet, d après la majoratio, ous avos, uiformémet pour u, e 2ξu K u s, t 2 dm u s dm u t s dt ds t s + ru2 log s ds s + ru2 log s ds s + ru2 s dt + s s + s log s 2 ds s s + log s 2 ds s dt 2 ds t s Comme les deux derières itégrales sot covergetes, ous obteos la majoratio suivate, valable uiformémet pour u, 5 K u s, t 2 dm u s dm u t + ru 2 e 2ξu Cela implique bie la coclusio requise 2 Estimatio uiforme e u pour K u s, t L objet de cette sous-sectio est d établir l estimatio suivate de K u dot l uiformité e u est cruciale pour établir la majoratio 4 22 Lemme 2 O a, uiformémet pour u 2, s, t [, ] 2, 6 K u s, t = st hu, shu, t { r u s + t r u st } 2 2 r u 2 + O u 3 Démostratio Nous avos { } ϱu sϱu t K u s, t = ϱu 2 e s+tξu ϱu s tϱu ϱu sϱu t { t { } } = hu, shu, t exp ru s w ru w dw

84 Bruo Marti Or, d après le Lemme 62, t { } t { ru s w ru w d = sr u w + s2 s } 2 r u w + O u 3 dw t { } = sr u + wsr u + s2 st 2 r u dw + O u 3 { = st r s + t } st u r u + O 2 u 3 D après 6 5, 6 et 6 6, ous obteos bie 6 Cotiuité de u λu Rappelos les défiitios de la mesure dm u e 3, du produit scalaire ϕ, ψ ϕ, ψ u e 3, de l opérateur T u e 3 2 et celle de λu e 3 4 Nous ous proposos ici d établir le résultat suivat Propositio L applicatio u λu est cotiue sur [, + [ Démostratio Soiet u et v R tel que u + v 2u Das les calculs qui suivet, les termes d erreur sot autorisés à dépedre de u Comme la foctio t e tξw est borée sur [, ] pour w, les mesures dm u et dm u+v sot équivaletes sur [, ], et doc H u = H u+v Nous désigos par N w la orme d opérateur correspodat à la orme w Comme T u et T u+v sot deux opérateurs compacts autoadjoits, ous avos λu = max ϕ, T uϕ u, λu + v = max ϕ, T u+vϕ u+v ϕ u = ϕ u+v = La foctio v ξv état de classe C, ous pouvos écrire ϕ 2 u+v = = ϕt 2 tξu+v dt e t ϕt 2 t{ξu+ov} dt e = { + o} ϕ 2 u ϕ H u, v t Par ailleurs, d après l iégalité de Cauchy-Schwarz et l estimatio 5, ous avos 2 ϕ, T u+v ϕ u+v ϕ 2 u+v N u+vt 2 ϕ 2 u, où la derière majoratio proviet de Nous déduisos de et 2 la formule ϕ, T u+v ϕ u+v λu + v = max ϕ ϕ 2 u+v = max ϕ ϕ, T u+v ϕ u+v { } + o ϕ 2 u ϕ, T u+v ϕ u+v = max ϕ ϕ 2 + o = max ϕ, T u+vϕ u+v + o v ϕ u = u Maiteat, ous avos, pour ϕ H u, avec ϕ, T u+v ϕ u+v = bu, v := = ϕsϕtk u+v s, t dm u+v s dm u+v t s+tξu+v ds dt ϕsϕtk u+v s, te st = bu, v { + Ov } ϕsϕtk u+v s, t dm u s dm u t

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 85 Il résulte de l iégalité de Cauchy-Schwarz que bu, v ϕ 2 u Or, d après, ous disposos de la majoratio K u+v s, t 2 dm u s dm u t K u+v s, t ], [ s + t u v + mis, t ], [ s + t + mis, t Le calcul effectué à la fi du paragraphe motre alors que bu, v ϕ 2 u Nous obteos aisi l évaluatio ϕ, T u+v ϕ u+v = bu, v + O v ϕ 2 u Il s esuit que λu + v = où T u+v est l opérateur défii par Nous avos alors De même, λu + v T u+vϕs := max ϕ, T u+vϕ u + o v, ϕ u = ϕtk u+v s, t dm u t s [, ] max T uϕ, ϕ u + max T u+v T u ϕ, ϕ u + o ϕ u = ϕ u = λu + N u T u+v T u 2 + o v λu λu + v + N u T u+v T u 2 + o Nous obteos doc λu + v λu N u T u+v T u 2 + o v Il ous suffit doc d établir que lim N ut u+v T u = v Nous avos, d après l iégalité de Cauchy-Schwarz, T u+v T u ϕ 2 = { Ku+v s, t K u u s, t } 2 ϕs dm u s dm u t Il suit ϕ 2 u NT u+v T u 2 { Ku+v s, t K u s, t } 2 dmu t dm u s { Ku+v s, t K u s, t } 2 dmu t dm u s Or, ous avos lim K u+vs, t K u s, t = v pour tout s, t [, ], sauf évetuellemet sur les droites d équatios s + t = u, t = et s = dot la réuio est de mesure ulle De plus, K u+v s, t K u s, t ], [ s + t u v + ], [ s + t u + mis, t ], [ s + t + mis, t, la majoratio état uiforme e v Comme l applicatio s, t ], [ s + t + mis, t appartiet à L 2 [, ] 2, m u m u, ous pouvos appliquer le théorème de la covergece domiée La coclusio requise e résulte

86 Bruo Marti Nous rappelos la otatio 2 Approximatio de sommes discrètes par des itégrales u d := log d log y d Lemme 2 Soit et g : [, ] R ue foctio Riema-itégrable telle que 2 gx,, x f x f x x,, x [, ], où les f j j sot des applicatios absolumet cotiues sur [, ], à valeurs das R +, telles que les itégrales 2 2 f j t dt t j soiet covergetes Alors o a p,,p y gu p,, u p p p = Démostratio Soit ε > Nous pouvos écrire 2 3 avec et p,,p y S y := S 2 y := [,] fx,, x dx dx x x + o y gu p,, u p p p y ε <p,,p y p,,p y i,p j y ε = S y + S 2 y gu p,, u p p p gu p,, u p p p Le lemme 9 de [9] permet d écrire 2 4 S y = gx,, x dx dx + o ε y [ε,] x x La majoratio 2 implique S 2 y p,,p y mi p j y ε f u p f u p p p j F j ε h h j F j, où l o a posé F j t := p y t f j u p p j Maiteat, ue ouvelle applicatio du Lemme 9 de [9] permet d écrire où h j ε ted vers avec ε F j F j ε = = y ε <p y f j u p p = ε f j t dt t + o ε f j t dt t + h jε + o ε y

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 87 De plus, ue sommatio d Abel à partir de l estimatio classique p = logt log y + c + O + t log y p y t fourit, e itroduisat la dérivée presque partout f j L [, ], F j ε = = = ε ε ε f j t dt t + ε f j t dt t + O f j t dt t + o ε, t f j t do + t log y fj ε ε + ε log y + f j t dt + t log y d après le théorème de Lebesgue Il s esuit qu il existe ue foctio umérique h tedat vers à l origie telle 2 5 S 2 y hε + o ε y Reportos cette estimatio das 2 3 e teat compte de 2 4 Nous obteos gu p,, u p = gx,, x dx dx + O hε + o ε y p p [ε,] x x p,,p y La formule requise e résulte e faisat tedre successivemet y vers l ifii puis ε vers 3 Vecteurs propres de T u Nous ous proposos ici d établir la propositio suivate relative aux vecteurs propres de l opérateur T u défii e 3 2 Propositio 3 Soit u Tout vecteur propre ϕ de T u est itégrable au ses de Riema sur [, ] et satisfait à la majoratio 3 ϕs s s [, ], où la costate implicite déped explicitemet de u, de ϕ u et de la valeur propre associé à ϕ Démostratio Soit ϕ u vecteur propre de T u associé à ue valeur propre λ Traitos tout d abord le cas où λ Das les calculs qui suivet les costates implicites sot absolues Nous omettos les détails de ces calculs qui reposet essetiellemet sur les estimatios s log t dt t ]/2;] s + ];/2] ss log s s ], ] et log t dt s 3/2 Nous avos s s [, ] 3 2 ϕs = λ ϕtk u s, t dm u t s [, ] Cela implique que ϕ est cotiue, doc Riema-itégrable De plus, d après l iégalité de Cauchy- Schwarz, ous avos ϕs λ ϕ u /2 K u s, t 2 dm u t s [, ]

88 Bruo Marti E employat la majoratio 3 3 K u s, t { + ru } ], [ s + t + mis, t s, t [, ], issue de, ous obteos ϕs eξu/2 + ru ϕ u { } log s + s + log s λ Reportos cette estimatio das 3 2 et utilisos à ouveau la majoratio 3 3 Il suit ϕs eξu + ru 2 ϕ u { λ 2 s } log s + Os s [, ] E reportat ue ouvelle fois cette estimatio das 3 2 et e utilisat 3 3, il viet ϕs M u ϕ u λ 3 s, avec M u := e 3ξu/2{ + ru } 3, ce qui correspod à la coclusio souhaitée Le cas λ = est plus délicat E prologeat à droite les dérivées successives de ϱ et e dérivat fois l équatio foctioelle de la foctio ϱ, ous obteos l idetité ϱ z + k = j + j= ϱz + k z + k j + ϱz + k jp j, z + k,, z + k j + k, z [, ] où les P j, sot des polyômes e j variables Par défiitio, u vecteur propre ϕ associé à la valeur propre vérifie l équatio 3 4 F t := ϕs{ϱu sϱu t ϱuϱu s t} ds s = t Soit k tel que k u < k + Effectuos le chagemet de variable z = u k t + et cosidéros d abord le cas z ]u k, ] Nous avos alors 3 5 Gz := ϕs{ϱu sϱz + k ϱuϱz s + k } ds s = E dérivat k fois l idetité 3 5, ous obteos où 3 6 G z := G k z = G z + G 2 z = u k z, { ϕs ϱzϱu s z + z + k ϱuϱz s z s z s + k } ds s, et avec G 2 z := j= ϕs { ϱu sq k z ϱuq k z s } ds s, k Q k z := ϱz + jp j,k z + j +,, z + k

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 89 Das 3 6, o a ϱz = et ϱz s = ], [ z s, doc z { ϱu s G z = ϕs z + z + k ϱu } ds z s z s + k s z ϱu s ds + ϕs z + z + k s Cela implique 3 7 G z = ϕzϱu zk! + + Rz où R C [, ] Par ailleurs ous avos 3 8 avec et G 2z = z + z z ϕs { ϱu srz ϱurz s } ds s ϕsϱu s ds s z ]u k, ] ϕs { ϱu ss k z ϱus k z s } ds s z i= ϕs { ϱu ss k z ϱut k z s } ds s, k S k z := ϱz + ju j,k z + j +,,, z + k k T k z := ϱz + ju j,k z + j +,,, z + k j= les U j,k désigat des polyômes e j variables Nous remarquos que S k est lipschitziee sur [, ] tadis que T k l est sur [, ] Les idetités 3 5, 3 7 et 3 8 impliquet alors l existece d ue foctio V, lipschitziee sur [, ] et d ue foctio W lipschitziee sur [, ] telles que ϕz z = z + ϕs { ϱu sv z ϱuv z s } ds s z ϕs { ϱu sv z ϱuw z s } ds s z ]u k, ] Nous pouvos obteir, e posat z = u k t et e dérivat k + fois l équatio 3 5, ue expressio équivalete de ϕ pour z ], u k] Il existe doc des foctios Ṽ et W respectivemet lipschitziees sur [, ] et [, ] telles que 3 9 ϕz z = z + ϕs { ϱu sṽ z ϱuṽ z s} ds s z ϕs { ϱu sṽ z ϱu W z s } ds s y ], ] Cela motre e premier lieu que ϕ est itégrable au ses de Riema Par ailleurs, e utilisat l iégalité de Cauchy-Schwarz aisi que le caractère lipschitzie de ϱ, Ṽ et W, ous obteos, soit ϕz z ϕ u z + log z ϕz z log z z ], ] z ], ], E réijectat cette derière iégalité das 3 9, ous e déduisos que 3 ϕz z + log t dt z ], ] L itégrale apparaissat das 3 est covergete Cela fourit la majoratio attedue

9 Bruo Marti 4 Iégalité de Bessel pour les foctios additives : preuve de la Propositio 3 Rappelos la défiitio des foctios q j j e 3 6 Soit D après l iégalité de Cauchy-Schwarz, ous avos 4 c j f 2 = fp c j f q j p H /2 H /2 2, p j p y j avec et H 2 := p y H := p y g p α f 2 p p α 2 p α c j f q j p g p α j D après les estimatios 2 et 3, ous avos H 2 = { } 2 log p p α c j f q j p + O log y p 2α c j f 2 p y j p y j = c j fc k f q j p q k pe upξu + o c j f 2 p j,k p y j = c j fc k f δ j,k + o + o c j f 2 j,k = { + o } j c j f 2 x j Nous déduisos doc de 4 et de l estimatio de H 2 que c j f 2 g p α fp2 + o p α x j p y Nous obteos bie 3 9 5 Estimatio de Q f x, y Pour f A, rappelos les défiitios de Q f x, y, Q f x, y et ϕ respectivemet e 3 3, 3 9 et 3 7 Das ce paragraphe, ous ous proposos d établir la propositio suivate Propositio 5 Soit A > Il existe ue suite réelle {ε } =, e dépedat que de A et covergeat vers, telle que, pour tout etier, o ait uiformémet pour f A, x 2, y = x /u, u A 5 Q f x, y = ϕ, T u ϕ u + { ε + o }B f x, y 2 x Nous démotros la Propositio 5 à partir de deux lemmes Lemme 52 Soit A > O a uiformémet pour f A, x 2, y = x /u, u A, 5 2 Q f x, y = Q f x, y + ob f x, y 2, x Afi d éocer le lemme suivat, ous itroduisos la quatité b f y 2 := f, f A = p y fp 2 e upξu p f A, y 2 Lemme 53 Soit A > Il existe ue suite réelle {ε }, e dépedat que de A et covergeat vers, telle que, pour tout, o ait uiformémet pour f, g A, x 2, y = x /u, u A, 5 3 p,q y fpgq pq K u u p, u q e up+uqξu b f yb g y { ε + o } + O j,k c j f c k g

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 9 Déductio de la Propositio 5 à partir des Lemmes 52 et 53 : soit f A, ous posos, f := c j f q j, r := f f Nous avos 5 4 où et Q f x, y = p,q y j = Σ + 2Σ 2 + Σ 3, Σ := f + r p f + r q K u u p, u q e up+uqξu pq p,q y Σ 2 := p,q y Σ 3 := p,q y La somme Σ fourit le terme pricipal Σ = c j fc k f j,k f pf q K u u p, u q e up+uqξu pq f pr q K u u p, u q e up+uqξu pq r pr q K u u p, u q e up+uqξu pq p,q y q j p q k q K u u p, u q e up+uqξu pq D après le Lemme 2 et l estimatio 3, ous avos doc, Σ = { } c j fc k f q j sq k tk u s, t dm u s dm u t + o 5 5 = j,k j,k { } c j fc k f q j, T u q k u + o = ϕ, T u ϕ u + o j c j f 2 = ϕ, T u ϕ u + o Bf x, y 2 x, où la derière égalité résulte de 3 9 Maiteat d après le Lemme 53, ous avos Σ 2 b f yb r y ε + o + O j,k c j f c k r Calculos le coefficiet c j f pour j D après le Lemme 2 et l estimatio 3, ous avos q j p q k pe upξu = q j u p q k u p e upξu 5 6 p p p y p y Il suit c j f = p y = q j, q k u + o = δ j,k + o j, k f p q j pe upξu p = c k f q j p q k pe upξu p k p y = c k f δ j,k + o k = c j f + o k c k f j

92 Bruo Marti Par liéarité de f c j f, ous avos égalemet Ces deux estimatios motret que j,k c j r = o k c j f c k r = o { j c k f j k } 2 c j f = o Il ous reste à évaluer b f y 2 et b r y 2 Nous avos, d après 5 6, Efi, Nous obteos doc b f y 2 = p y f p 2 e upξu p j = c j fc k f q j p q k pe upξu p j,k p y = c j f 2{ + o } j b r y 2 = b f y 2 + b f y 2 2 p y = b f y 2 + b f y 2 2 = { b f y 2 j Σ 2 b f y 2 + fpf pe upξu p j c j f p y c j f 2} + o j c j f 2 ε + o c j f 2 fp q j pe upξu Nous pouvos établir que cette majoratio est égalemet valable pour Σ 3 De plus, ous avos b f y 2 B f x, y 2 Nous e déduisos la majoratio 5 7 Σ 2 + Σ 3 B f x, y 2 + j c j f 2 ε + o B f x, y 2{ ε + o }, où la derière iégalité résulte de 3 9 Compte teu de 5 2, 5 4, 5 5 et 5 7 ous avos établi que Q f x, y = ϕ, T u ϕ u + B f x, y 2{ ε + o } x, où {ε } = est ue suite covergeat vers, ce qui correspod bie à la coclusio requise Démostratio du Lemme 52 D après la Propositio 2, ous avos Q f x, y := p ν,q µ Sx,y p q g pq α fpν fq µ p να q µα K uu p ν, u q µ + O R + R 2, p avec R := log y p ν,q µ Sx,y g pq α fpν fq µ p να q µα,

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 93 R 2 := p ν q µ Sx,y p q D après l iégalité de Cauchy-Schwarz, ous avos R B f x, y 2 log y g pq α fpν fq µ p ν q µ C p να q µα x p ν Sx,y p να log 2 y log y B f x, y 2 Par ailleurs, ous avos, toujours d après l iégalité de Cauchy-Schwarz, R 2 B f x, y 2 x C x ω=2 2C /2 /2 B f x, y 2 log2 2x, log x la derière majoratio résultat, via ue itégratio par parties, de l estimatio classique Aisi avos-ous établi que Q f x, y = p ν,q µ Sx,y p q z ω=2 z log 2 z log z, z 2 g pq α fpν fq µ p να q µα K uu p ν, u q µ + o B f x, y 2 x Étudios à préset la cotributio des couples p ν, q µ tels que ν ou µ 2 D après la majoratio, ous avos 5 8 avec et p ν,q µ Sx,y ν 2 S := S 2 := g pq αk u u p ν, u q µ fpν fq µ p να q µα S + S 2, p ν,q µ Sx,y p ν q µ >x,ν 2 p ν,q µ Sx,y ν 2 g pq α fpν fq µ p να q µα g pq αu p ν E utilisat l iégalité de Cauchy-Schwarz, ous obteos S B f x, y 2 p ν,q µ x p ν q µ >x,ν 2 fp ν fq µ p να q µα /2 p να q µα Nous déduisos de l estimatio 2 pour α la majoratio suivate p ν,q µ x p ν q µ >x,ν 2 p να q µα q µ x x /3 q µα q µ x p ν >x/q µ ν 2 p να q µ x q 2µα/3 x /3 q 2α/3 x /3 q 2/3 log x q x q x q µα /3 q µα x p ν,ν 2 p 2να/3

94 Bruo Marti Il suit 5 9 S B f x, y 2 log x Par ailleurs, toujours d après l iégalité de Cauchy-Schwarz, ous avos 5 S 2 B f x, y 2 log y p ν x ν 2 log p ν 2 /2 p να q µ x /2 Bf q µα x, y 2 log2 2x log x Nous déduisos doc de 5 8, 5 9 et 5, l estimatio Q f x, y = p,q y p q g pq α fpfq p α q α K uu p, u q + ob f x, y 2 Compte teu de l estimatio α = + o 3/4, ous obteos, de la même maière, 5 Q f x, y = p,q y p q fpfq p α q α K uu p, u q + ob f x, y 2 L erreur commise e omettat la coditio p q das 5 est, d après l estimatio 2, fp 2 log p log y p 2α B f x, y 2, log y p y ce qui implique Q f x, y = p,q y fpfq p α q α K uu p, u q + ob f x, y 2 E utilisat l estimatio 7, ous obteos alors, Q f x, y = Q f x, y + O log y p,q y = Q f x, y + o B f x, y 2 x, fpfq K u u p, u q + o B f x, y 2 pq où la derière égalité proviet de la majoratio 6 7 et de l iégalité de Cauchy-Schwarz Nous obteos bie la coclusio requise Démostratio du Lemme 53 Au cours de cette démostratio, ous précisos la dépedace e u des valeurs propres de T u e désigat par λ j u la j-ème valeur propre de T u Comme la suite {q j } j= costitue ue base hilbertiee de l espace H u = L 2 [, ], m u, la famille {q j q k } j,k costitue ue base hilbertiee de G := L 2 [, ] 2, m u m u mui du produit scalaire caoique, 5 2 ϕ, ψ G := ϕs, tψs, t dm u s dm u t ϕ, ψ G

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 95 Comme K u G, ous pouvos calculer so développemet das cette base, e effectuat le calcul suivat : K u, q j q k G = q k s q j tk u s, t dm u t dm u s = λ j q k sq j s dm u s = λ j δ j,k j, k, où δ j,k désige le symbole de Kroecker Nous avos doc 5 3 K u s, t = j λ j uq j sq j t s, t [, ] Il e découle la formule suivate, qui est classique pour u opérateur de Hilbert-Schmidt 5 4 À préset, ous posos λ j u 2 = j K u s, t 2 dm u s dm u t χ s, t := λ j uq j sq j t, j et ous effectuos la décompositio avec et p,q y S 2 := fpgq K u u p, u q e up+uqξu = S + S 2 pq S := p,q y Le calcul de S est immédiat : p,q y fpgq χ u p, u q e up+uqξu pq fpgq { Ku u p, u q χ u p, u q } e up+uqξu pq S = λ j u fp q j pe upξu gq q j qe uqξu p q j p y q y = λ j uc j fc j g, j ce qui, d après la formule 5 4 et l iégalité 5, fourit le terme d erreur de 5 3 D après l iégalité de Cauchy-Schwarz, ous avos de plus S 2 fp 2 gq 2 e up+uqξu pq p,q y b f yb g y où ous avos posé p,q y ϑ u u p, u q pq /2 /2, p,q y Ku u p, u q χ u p, u q 2 e u p+u qξu pq /2 ϑ u s, t := { K u s, t χ s, t } 2 e s+tξu s, t [, ]

96 Bruo Marti D après la Propositio 3 et la majoratio 2, la foctio ϑ u satisfait est Riema-itégrable et 5 5 ϑ u s, t st s, t [; ] Nous pouvos appliquer le Lemme 2 à la foctio ϑ u, pour le choix f t = f 2 t = t Nous obteos aisi 5 6 p,q y ϑ u u p, u q pq = = { Ku s, t χ s, t } 2 dmu s dm u t + o { λ j uq j sq j t } 2 dmu s dm u t + o j = j λ j u 2 + o, où la deuxième égalité résulte de la formule 5 3 La majoratio 5 5 état uiforme pour u A, les termes d erreur de 5 6 e dépedet que de et de A Posos F u := j λ j u 2 D après l idetité 5 4, ous avos et lim F u = u, F + u F u u Par ailleurs, ous sommes e mesure d établir la cotiuité des applicatios u λ j u j Pour cela, ous utilisos la caractérisatio suivate cf [5] p98 : si λ u λ 2 u λ j u, o a ϕ, T u ϕ u λ j u = mi max S V j x S ϕ 2, u où V j désige l esemble des sous-espaces de H u de codimesio j Ue caractérisatio similaire est dispoible pour les valeurs propres égatives ragées das l ordre croissat Nous omettos les détails qui sot similaires à ceux de la preuve de la Propositio, et qui reposet essetiellemet sur la cotiuité de l applicatio u T u De plus, si G désige la orme associée au produit scalaire défii e 5 2, l applicatio u K u G est cotiue Comme ous avos F u = K u G λ j u 2, j d après la formule 5 4, les foctios F sot égalemet cotiues Or, e vertu du théorème de Dii toute suite mootoe de foctios umériques cotiues covergeat simplemet vers ue foctio cotiue sur u esemble compact y coverge uiformémet Nous avos doc avec ε := p,q y Cela achève la preuve du Lemme 53 ϑ u u p, u q pq ε + o, sup F u et lim ε = u A

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 97 6 Mioratio de C # u : preuve de la 6 9 Commeços par éocer u lemme permettat d évaluer V # f x, y et B f x, y 2 pour ue classe assez géérale de foctios additives Nous rappelos la otatio R u ϕ := ϕt 2 hu, t dm u t u, ϕ H u Lemme 6 Soiet u et ϕ ue foctio de H u et vérifiat 6 ϕs s s [, ] Si f est la foctio additive défiie par fp ν := ϕu p ν pour ν, alors o a pour x 2 et y = x /u, B f x, y 2 = ϕ 2 u + o x et V # f x, y = R uϕ + T u ϕ, ϕ u + o x, où les termes d erreur dépedet implicitemet de u Démostratio D après la majoratio 6 et l estimatio α = + o 3/4 qui découle de 2, ous avos B f x, y 2 = ϕu p 2 p α + o x p y Par défiitio, V # f x, y = ϕu p ν 2 Ψ px/p ν, y Ψx, y p ν Sx,y p y D après 5 2 et 2 3 ous obteos avec ν ϕu p ν Ψ px/p ν, y 2 + Qf x, y Ψx, y V # f x, y = g p αhu, u p ν ϕu p ν 2 p να p ν Sx,y ϕu p ϕu q K u u p, u q e up+uqξu + R + R 2 + R 3, pq p,q y R log y R 2 R 3 p y p ν Sx,y p ν Sx,y ν ϕu p ν 2 p να hu, u p ν, ϕu p ν 2 p ν p να hu, u p ν x ϕu p ν 2 p να hu, u p ν Les majoratios 6 et 6 7 et des estimatios classiques de sommes portat sur des ombres premiers ous permettet d établir que C R = o, R 2 = o et R 3 = o x et que p ν Sx,y g p αhu, u p ν ϕu p ν 2 p να = p y ϕu p 2 p α hu, u p + o x

98 Bruo Marti Nous omettos les détails qui sot similaires à ceux de la preuve du Lemme 52 Nous avos doc V # f x, y = p y ϕu p 2 hu, u p p α p,q y ϕu p ϕu q K u u p, u q e up+uqξu + o pq x E employat l estimatio 7, ous obteos fialemet B f x, y 2 = ϕu p 2 e upξu + o p p y x, et V # f x, y = ϕu p 2 hu, u p e upξu p p y p,q y ϕu p ϕu q K u u p, u q e up+uqξu + o x pq E appliquat le Lemme 2 aux foctios t ϕt 2 e tξu, t ϕt 2 hu, te tξu et s, t ϕsϕtk u s, te s+tξu, ous obteos bie la coclusio souhaitée Nous sommes maiteat e mesure de démotrer la 6 9 Au cours de cette démostratio, les termes d erreurs sot autorisés à dépedre de u Comparos tout d abord V # f x, y et B f x, y 2 pour la foctio f A défiie par { fp ν si p = 2 et 2 = ν x < 2 ν+, sio Comme u est fixé, ous avos, d après la formule 2 de Hildebrad, V # f x, y = Ψx, y = + o xϱu x 2 ν Par ailleurs, e vertu de l estimatio 7, il viet, Nous e déduisos Il suit Ψx, y x B f x, y 2 = 2 να 2 α = + o 2 να+ = 2 ν+ eu 2ν ξu { + o } x 2 ν 2 = 2 ν+ euξu{ + o } x V # f x, y B f x, y 2 = 2ν x 2hu, u + o x C # u = lim sup C # x, x /u 2hu, u x Nous procédos de même e cosidérat la foctio f de A, défiie par fp ν = ϕ u u p ν D après la Propositio 3, ous disposos de la majoratio 6 2 ϕ u s s, s [, ]

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 99 D après le Lemme 6, ous avos doc 6 3 B f x, y 2 = ϕ u 2 u + o = + o x, et 6 4 V # f x, y = R uϕ u + T u ϕ u, ϕ u u + o = R u ϕ u + λu + o x Nous déduisos de 6 3 et 6 4 la mioratio ce qui achève la preuve de la 6 9 C # u R u ϕ u + λu, 7 Variace semi-empirique : preuves de la Propositio 45 et du Corollaire 46 Établissos tout d abord la Propositio 45 Nous rappelos l estimatio 7 V f x, y V # f E x, y = f x, y A f x, y { = fp ν Ψp x/p ν, y g } 2 pα Ψx, y p να p ν Sx,y 2 Nous avos, e vertu de 2 3 et de 6 7, avec E f x, y A f x, y = p ν Sx,y R := log y R 2 := p ν Sx,y g p α { hu, u p ν } fp ν p να + O R + R 2, p ν Sx,y g p α fpν p να g p α fpν p να E employat l iégalité de Cauchy-Schwarz, ous obteos p ν C R = o B f x, y 2, R 2 = o B f x, y 2 x Nous omettos les détails Par ailleurs, comme p ν Sx,y ν 2 g p α fpν p να u p ν B f x, y log p ν 2 /2 = o Bf log y p να x, y x, p ν Sx,y ν 2 ous obteos, d après l estimatio 6 6, x 7 2 E f x, y A f x, y = g p α fp { hu, up p α } + o B f x, y p y = fp { hu, up p α } + o B f x, y p y

Bruo Marti Il suit, au vu de 7 et de la défiitio de w u e 4 7 7 3 V f x, y V # f x, y = fpw u u p 2 + o Bf p α x, y 2 x p y E appliquat l estimatio 7, ous obteos bie 4 8 Maiteat, d après l iégalité de Cauchy-Schwarz et 2, ous avos 7 4 p y fp p α w uu p 2 p y g p α fp2 p α B f x, y2 p y p y w 2 uu p p α g p α wuu 2 p e upξu + o p Le Lemme 2 s applique à w u d après l estimatio 6 6, et il viet 7 5 p y wuu 2 p e upξu = w u 2 u p + o x Compte teu de 7 3, 7 4 et 7 5, ous obteos bie 4 9 Démostratio du Corollaire 46 : D après les estimatios 4 9 et 4 2, ous avos V f x, y h u + λu + w u 2 u B f x, y2 ce qui etraîe la majoratio + max{h u, h 2 u}b 2 f x, y2 + o B f x, y 2 x, V f x, y hu + o B f x, y 2 x, soit Cu hu Par ailleurs, ous avos Cu C # u 2hu, u Il ous reste à établir la mioratio 7 6 Cu R u ϕ u + λu + ϕ u, w u 2 u, où ϕ u u vecteur propre de T u associé à la valeur propre λu tel que ϕ u u = Notos f la foctio additive défiie par fp ν = ϕ u u p ν D après les formules 6 3, 4 8 et 6 4, ous avos B f x, y 2 = + o, V f x, y = R u ϕ u + λu + p y fpw u u p e upξu 2 + o p = R u ϕ u + λu + ϕ u, w u 2 u + o x, la derière égalité proveat du Lemme 2 appliqué à la foctio t ϕ u tw u t Cela fourit bie la mioratio 7 6 8 Étude asymptotique de Cu et C # u : preuve de la Propositio 47 Les deux lemmes suivats ous permettet d établir la Propositio 47 Lemme 8 O a uiformémet pour u et ϕ H u tel que ϕ u =, h u = + O, R u ϕ = + O u u Lemme 82 O a pour u λu u

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables Déductio de la Propositio 47 à partir des Propositios 8 et 82 Soit ϕ u u vecteur propre de T u de orme associé à la valeur propre λu D après 4 4 et 4 5, ous disposos de l ecadremet R u ϕ u + λu C # u h u + λu u > / log 2 L estimatio 8 C # u = + O u est doc ue coséquece directe des Lemmes 8 et 82 Par ailleurs, ous déduisos immédiatemet de 8 et 4 2 l estimatio Cu = + O u Preuve du Lemme 8 L estimatio h u = + O u est ue coséquece directe de 6 6 Toujours d après 6 6, ous avos, sous l hypothèse ϕ H u, R u ϕ = ϕt 2 hu, t dm u t = ϕ u { + O u} Nous obteos bie la coclusio souhaitée lorsque ϕ u = Preuve du Lemme 82 Notre méthode cosiste à estimer d ue part la plus petite valeur propre λ u de T u e utilisat la formule classique pour u opérateur compact et auto-adjoit 8 2 λ u = mi T u ϕ, ϕ u, ϕ H u ϕ u = et d autre part la somme des carrés des valeurs propres de T u par le biais de l idetité établie e 5 4, soit 8 3 λ 2 i = i K u s, t 2 dm u s dm u t Pour meer ces calculs, ous précisos l estimatio 6 6 Posat ϑu := ru ξu, de sorte que ϑu /u d après 6 4, la formule 6 6 implique le développemet asymptotique 8 4 hu, t = + tϑu 2 t2 r u + O u 2, t, u 2 Par ailleurs, pour chaque valeur du paramètre etier k, ous itroduisos les itégrales J k := s k e sξu ds, I k := k ϱu s s ds, L k := ϱu k ϱu s2 s ϱu 2 e sξu ds O a J = eξu ξu = u

2 Bruo Marti Ue itégratio par parties fourit la formule de récurrece J k+ = eξu ξu J k ξu k Nous e déduisos, grâce à 6 6, que J k I k L k u u Ces estimatios et le développemet asymptotique 8 4 fourisset I k = J k + ϑuj k+ 2 r uj k+2 + O, u L k = J k + 2ϑuJ k+ r uj k+2 + O u Nous sommes maiteat e mesure d effectuer les calculs aocés Estimos d abord λ u Pour cela, ous évaluos la quatité T u ϕ, ϕ u / ϕ, ϕ u pour le choix ϕt = t, qui est licite car ϕ appartiet bie à H u Nous avos ϕ, ϕ u = J D après le Lemme 2 et l idetité ϱu s ds = uϱu, ous pouvos ecore écrire T u ϕ, ϕ u Or, = = stk u s, t dm u s dm u t { st str u 2 sts + tr u dm u st 2 r u 2 + O = r ui 2 + r ui I 2 + r u 2 2 I2 2 + O u I 2 = J 2 + 2ϑuJ J 2 r uj 3 J + O, I I 2 = J J 2 + Ou, I 2 = J 2 2 + Ou } ϱu sϱu t u 2 ϱu 2 Cela implique, T u ϕ, ϕ u = r uj J + 2ϑuJ 2 r uj 3 + r uj J 2 + 2 r u 2 J2 2 + O u Nous obteos doc 8 5 λ u T uϕ, ϕ u ϕ, ϕ u = r u J + 2ϑuJ 2 r uj 3 + r uj 2 + r u 2 J 2 2 2J + O u 2 Il existe δ tel que la derière expressio figurat das 8 5 soit égative pour u δ Nous e déduisos que λ u 2 r u 2 { J J + 4ϑuJ 2 2r } uj 3 2r ur uj J 2 r u 3 J2 2 + O u 2 u δ Par ailleurs, toujours e utilisat le Lemme 2, ous avos λ 2 j = j K u s, t 2 dm u s dm u t = r u 2 L 2 2r ur ul L 2 r u 3 L 2 2 + O u 2 ds dt

Or, Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 3 L 2 = J 2 + 4ϑuJ J 2 2r uj 3 J + O, L L 2 = J J 2 + Ou, L 2 = J 2 2 + Ou Il viet doc λ 2 j = r u 2 { J J + 4ϑuJ 2 2r } uj 3 2r ur uj J 2 r u 3 J2 2 + O u 2 j Fialemet ous obteos λu 2 λ 2 j λ u 2, u δ u2 j ce qui fourit bie la coclusio requise, compte teu de la cotiuité de la foctio λ établie à la Propositio 9 Calculs umériques L objectif de ce paragraphe est de décrire et de justifier ue méthode d approximatio umérique de la plus grade valeur propre de T u et de motrer commet cette méthode peut ous permettre égalemet d obteir ue mioratio de C # u ou de Cu Par souci de cocisio, ous poseros das tout ce paragraphe H := H u, ϕ := ϕ u, ϕ, ψ := ϕ, ψ u, T := T u, λ := λu ϕ, ψ H u Nous employos la méthode de Galerki 5 qui cosiste à approcher l espace H par ue suite de sous-espaces de dimesio fiie Soit Nous scidos l itervalle [, ] e itervalles fermés I k k défiis par [ k I k :=, k + ] k et ous itroduisos les foctios ψ k k défiies par { si t Ik, ψ k t = sio, et H le sous-espace vectoriel de H egedré par les foctios ψ k k Notos Π la projectio orthogoale sur H Nous obteos le résultat d approximatio suivat Propositio 9 Soit u > et ϕ H u vecteur propre de T u associé à ue valeur propre λ de T u Alors il existe ue costate A dépedat explicitemet de ϕ, de u et de λ telle que 9 ϕ Π ϕ A Nous doos la preuve de la Propositio 9 e fi de paragraphe Nous itroduisos à préset l opérateur T : H H défii par T := Π T L opérateur T est autoadjoit E effet, ous avos pour ϕ H, T ϕ, ϕ = Π T ϕ, ϕ = T ϕ, Π ϕ = ϕ, T ϕ = Π ϕ, T ϕ = ϕ, Π T ϕ = ϕ, T ϕ E particulier, toutes les valeurs propres de T sot réelles Notre méthode cosiste à approcher λ, la plus grade valeur propre de T, par la plus grade valeur propre de T, que ous oteros λ L estimatio 9 ous permet d établir le résultat suivat 5 Pour tout ce qui cocere la méthode de Galerki, o pourra cosulter par exemple la référece []

4 Bruo Marti Propositio 92 Soit u La suite {λ } = est croissate et coverge vers λ Plus précisémet, il existe ue costate A 2 dépedat explicitemet de λ et de u telle que, 9 2 λ λ A 2 Nous doos la preuve de la Propositio 92 e fi de paragraphe Pour approcher avec ue précisio arbitraire la valeur λ, il ous suffit doc de calculer la plus grade valeur de T Comme Ψ j j costitue ue base orthogoale de H, cela reviet à détermier la plus grade valeur propre de la matrice B = b j,k j,k où b j,k := T Ψ j, Ψ k Ψ k 2 = T Ψ j, Ψ k Ψ k 2 j, k Expliquos à préset commet cette méthode ous permet égalemet d obteir ue mioratio de C # u Cosidéros u vecteur propre ϕ de l opérateur T associé à la valeur propre λ cesée approcher λ Comme ϕ est ue combiaiso liéaire des foctios Ψ j j, elle satisfait à la majoratio ϕ t t t [, ] Nous pouvos doc appliquer à ϕ le Lemme 6, ce qui ous doe la mioratio suivate de C # u C # u R uϕ + ϕ, T u ϕ ϕ 2 = R uϕ + λ ϕ Les quatités du membre du droite sot toutes umériquemet calculables Preuve de la Propositio 9 Nous avos établi que si ϕ est u vecteur propre de T associé à ue valeur propre λ, alors 9 3 ϕt A 3 t t [, ], où A 3 est ue costate dépedat explicitemet de u, ϕ et λ Par ailleurs, si λ, il résulte immédiatemet de la majoratio 6 2 que ϕ est dérivable sur [, ] et que 9 4, ϕ t A 4 t [, ] où A 4 est ue costate dépedat explicitemet de u, ϕ et λ E particulier, ous e déduisos que ϕ est de carré itégrable sur [, ] pour la mesure µ de Lebesgue Afi d évaluer la quatité ϕ Π ϕ, ous calculos tout d abord ue expressio aalytique de Π État doé ϕ H, il existe des ombres réels α k k tels que Π ϕt = α k ψ k k Comme Π est autoadjoit et que la famille ψ k k est orthogoale, ous avos, pour k, α k ψ k 2 = Π ϕ, ψ k = ϕ, Π ψ k Comme de plus ψ k H, il viet α k = ϕ, ψ k ψ k 2 = ψ j 2 I j ϕt dm u t Fialemet, ous obteos { si t I, Π ϕt = δ k I k ϕt dm u t si t I k, k, où ous otos δ k I k dm u t

Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 5 Nous pouvos d ores et déjà remarquer que k + δ k log e ξu 2e ξu k k Nous sommes maiteat e mesure d établir 9 Nous itroduisos les otatios suivates : ϕ Ik := I k ϕt 2 dm u t /2 ϕ H, k, /2 ϕ L 2 µ := ϕt dt 2, ϕ L 2 [, ], dt, ϕ L 2 µ I k := I k ϕt 2 dt /2 ϕ H, k Soit ϕ H u vecteur propre de T Nous avos pour k, ϕ Π ϕ 2 I k = ϕs Π ϕs 2 2 dmu s = ϕs ϕt dmu t dm u s I k I k δ k I k { } s 2 = ϕ u du dm u t dm u s I k I k δ k I k t 2 s t /2 ϕ δ L 2 k m I k dm ut dm u s I k 2 dm u t dm u s ϕ 2 L 2 µ I k Par ailleurs, d après la majoratio 9 3, ous avos I k δ k I k ϕ 2 L 2 µ I k δ k 2eξu ϕ 2 L 2 µ I k Fialemet, ous avos /2 / ϕ Π ϕ I = ϕ I A 3 t dt A 3 2 ϕ Π ϕ 2 = k A2 3 2 2 + 2eξu ϕ Π ϕ 2 I k k ϕ 2 L 2 µ I k A2 3 2 2 + 2eξu A 2 4 Fialemet, ous e déduisos bie 9 avec A = max{2e ξu A 2 4, A 2 3/} Preuve de la Propositio 92 Nous avos et λ = max T ϕ, ϕ ϕ ϕ H 9 5 λ = max T ϕ, ϕ = max T ϕ, ϕ ϕ ϕ ϕ H ϕ H

6 Bruo Marti Comme H H + H, l idetité 9 5 implique immédiatemet que la suite λ est croissate et que λ λ Cosidéros à préset u vecteur propre ϕ de orme de T associé à la valeur propre λ, et itroduisos ϕ = Π ϕ Comme ϕ ϕ =, ous avos λ λ T ϕ, ϕ T ϕ, ϕ Il suit, d après l iégalité de Cauchy-Schwarz et l estimatio 9 λ λ T ϕ T ϕ, ϕ + T ϕ, ϕ ϕ NT ϕ Π ϕ ϕ + NT ϕ ϕ Π ϕ 2NT ϕ Π ϕ 2A NT, où NT désige la orme d opérateur de T Nous obteos bie 9 2 avec A 2 = 2NT A 2 Appedice Quitte à modifier la défiitio de B f x, y par ue orme équivalete, ous sommes e mesure de détermier la costate asymptotique optimale das l iégalité de Turá-Kubilius L approximatio icite e effet à étudier le rapport Ψ p x/p ν, x Ψx, y g pα p να hu, u p ν V # f x, y/b f x, y; h 2 où l o a posé B f x, y; h 2 := p ν Sx,y g p αhu, u p ν fpν 2 p να f A Pour chaque u fixé, la foctio v hu, v est borée, cotiue, et e s aule pas sur [, u] Nous avos doc B f x, y; h u B f x, y x 2, y = x /u Das l espace H u ous remplaços la mesure m par la mesure m h défiie par Par ailleurs, ous posos tξu dt dm h t := hu, te t K u,h s, t := K us, t hu, thu, s s, t [, ], et ous itroduisos l opérateur T u,h défii sur H u par T u,h ϕs := ϕtk u,h s, t dm h t s [, ] Cet opérateur est autoadjoit et compact ; il admet ue base hilbertiee de vecteurs propres, que ous otos{q h,j } j= Désigos ecore par λ hu la plus grade valeur propre de T u,h Nous obteos le résultat suivat

Théorème 2 Soit u O a Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 7 C h u := lim sup x sup f A V f x, x /u B f x, x/u 2 = max{ + λ hu, 2} Il est à oter que la costate C h u, cotrairemet à C # u ou Cu, est au mois égale à 2 quel que soit u Cela proviet du fait que le facteur hu, u p ν ted vers lorsque u pour p ν > x/y Lorsque u = la foctio v hu, v vaut idetiquemet sur [, u] Le résultat de Hildebrad fourit doc l égalité λ h = λ = /2 Comme ous pouvos motrer la cotiuité de la foctio u λ h u, ous avos doc C h u = 2 das u voisiage de u = De plus, ous pouvos établir la majoratio λ h u /u pour u Cela implique que pour u assez grad, ous avos C h u = 2 Nous cojecturos que C h u = 2 pour tout u, ce qui corroborerait les résultats umériques obteus Nous ous cotetos ici de doer les étapes essetielles de la preuve du Théorème 2 Les détails relèvet de calculs similaires à ceux effectués das le cadre de la défiitio 2 Nous cosidéros le produit scalaire associée à la mesure m h, soit et ous défiissos, pour f A, ϕ, ψ h := ϕtψt dm h t, ψ := j= c j f; hq h,j avec c j f; h := p y fpq h,j u p hu, u p e upξu p Nous pouvos obteir la ouvelle formule asymptotique suivate pour V # f x, y, où ous coservos les otatios et les hypothèses du Théorème 4 : V # f x, y = P f x, y + ψ, T u,h ψ h R f x, y + o B f x, y; h 2 x Nous pouvos établir l aalogue de la majoratio 3 9 soit ψ, T u,h ψ h { λ h u + o } p y g p αhu, u p fp2 p y Nous avos doc V # f x, y S + S 2 + S 3 + λ h u g p αhu, u p fp2 + o B f x, y; h 2, p p y avec S : = g p αϑ x,y p fp2 = g p αϑ x,y p fp2 + p p p y p x/y S 2 : = g p αhu, u p ν fpν 2 S 3 : = p ν Sx/y,y ν 2 p ν Sx,y p ν >x/y,ν 2 p να g p αϑ x,y p ν fpν 2 p να x/y<p y g p αϑ x,y p fp2 p Les calculs effectués das la preuve du Propositio 8 motret que max x/y<p y ϑ x,y p hu, u p + o, max p ν Sx,y p ν >x/y,ν 2 ϑ x,y p ν hu, u p ν 2 + o x 2, y = x/u

8 Bruo Marti Nous e déduisos que S { + o} p y S 3 {2 + o} g p αhu, u p fp2 p p ν Sx,y p ν >x/y,ν 2 g p αhu, u p ν fpν 2 p να Nous obteos aisi la majoratio V # f x, y max { + λ h u, 2 } + o B f x, y; h 2 x Cette majoratio est optimale E effet, si f est la foctio additive défiie par fp ν := ϕu p ν pour ν, où ϕ est u vecteur propre ormé de T u,h associé à la valeur propre λ h u, ous avos V # f x, y = + λ hu + o, et B f x, y; h 2 = + o x Par ailleurs, si f est la foctio additive défiie par ous avos et { si p = 2 et 2 fp ν ν x < 2 ν+, = sio, V # f B f x, y; h 2 = { + o } e u 2ν ξu + o x, y = xϱu 2 ν+ = { + o } hu, u 2ν 2 ν+ x Bibliographie [] K Alladi, The Turá-Kubilius iequality for itegers without large prime factors, J reie agew Math 335 982, 8-96 [2] R de la Bretèche et G Teebaum, Etiers friables : iégalité de Turá-Kubilius et applicatios, Ivet Math 59 25, 53 588 [3] R de la Bretèche et G Teebaum, Propriétés statistiques des etiers friables, Ramauja J, à paraître [4] N G de Bruij, O the umber of positive itegers x ad free of prime factors > y, Idag Math 3 95, 5-6 [5] N Duford et JT Schwarz Liear operators, vol 2, Itersciece Publisher 958 [6] PDTA Elliott Probabilistic umber theory : mea value theorems Grudlehre Math Wiss 239 New-York, Berli, Heidelberg : Spriger 979 [7] PDTA Elliott, Probabilistic umber theory : cetral limit theorems Grudlehre Math Wiss 24 New-York, Berli, Heidelberg : Spriger 98 [8] J-H Evertse, P Moree, CL Stewart, R Tijdema, Multivariate Diophatie equatios with may solutios Acta Arith 7 23, o 2, 3 25 [9] É Fouvry et G Teebaum, Répartitio statistique des etiers sas grad facteur premier das les progressios arithmétiques, Proc Lodo Math Soc 3 73 996, 48-54 [] W Hackbusch Itegral equatios Theory ad umerical treatmet Iteratioal Series of Numerical Mathematics, 2 Birkhäuser Verlag, Basel 995 [] A Hildebrad, A asymptotic formula for the variace of a additive foctio, Math Z 83 983, 45-7 [2] A Hildebrad, O the umbers of positive itegers x ad free of prime factors > y, J Number Theory 22 986, 289-37 [3] A Hildebrad, O a class of differetial-differece equatios arisig i umber theory, J Aal Math 6 993, 45-79 [4] A Hildebrad et G Teebaum : O itegers free of large primes factors, Tras Am Math Soc 296 986, 265-29 [5] J Kubilius : Estimate of the cetral momet for strogly additive arithmetic fuctios e russe, résumés e aglais et lituaie, Litovsk Mat Sb 23 983, 22-33 [6] J Kubilius : Estimate of the secod cetral momet for ay additive arithmetic fuctios e russe, résumés e aglais et lituaie, Litovsk Mat Sb 232 983, -7 [7] J Lee : The secod cetral momet of additive fuctios, Amer Math Soc 44 992, 887-895 [8] W Rudi Fuctioal aalysis Secod editio Iteratioal Series i Pure ad Applied Mathematics McGraw- Hill, Ic, New York, 99

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UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques U etier aturel est dit y-friable lorsque so plus grad facteur premier excède pas y Ce travail est cosacré à l étude des etiers friables das le cadre de la théorie aalytique et probabiliste des ombres La première partie est dévolue à u problème posé par Daveport e 937, qui cosiste à détermier les coditios de validité de diverses gééralisatios de so développemet de la foctio sius e série de parties fractioaires Ces gééralisatios peuvet être décrites par u couple de foctios arithmétiques, liées par la relatio de covolutio f = g Nous traitos le cas où g est la foctio de Piltz d ordre z C La deuxième partie est cosacrée à l étude du comportemet asymptotique de la costate optimale das ue versio friable de l iégalité de Turá-Kubilius Précisat des résultats récets de La Bretèche et Teebaum, ous gééralisos au cas friable ue formule asymptotique de la variace d ue foctio arithmétique additive, établie par Hildebrad e 983 Call iteger y-friable if its largest prime factor does ot exceed y We study friable itegers i the cotext of aalytic ad probabilistic umber theory We first address a problem iitiated by Daveport i 937, ad explore coditios of validity for various geeralizatios of his expasio of the sie fuctio as series of fractioal part These geeralizatios are described by a pair of fuctios, satisfayig the covolutio formula f = g We treat the case whe g is the Piltz fuctio of order z C I a secod part we ivestigate the asymptotic behaviour of the optimal costat i a friable versio of the Turá-Kubilius iequality Elaboratig o recet results of La Bretèche et Teebaum, we geeralize a asymptotic formula for the variace of a arithmetic additive fuctio established by Hildebrad e 983 Mots-clefs : etiers friables, P-sommatio, idetités de Daveport, première foctio de Beroulli, foctios de Piltz, approximatio diophatiee, foctio de Dickma, foctios additives, iégalité de Turá-Kubilius, opérateur itégral, méthode de Galerki Istitut Élie Carta Nacy CNRS UMR 9973 Faculté des Scieces - BP 239-5456 Vadœuvre-lès-Nacy CEDEX