Chpitre I : Les nombres I. Les différents ensembles de nombres ) les entiers nturels :? = {0 ; 1 ; ; 3 ; } b) les entiers reltifs :? Ce sont les entiers nturels et leurs opposés :? = { ; -3 ; - ; -1 ; 0 ; 1 ; ; 3 ; } c) les décimux :? Un nombre déciml est un quotient d un entier reltif et d une puissnce de 10 : d = 10 n où?? et n??. d) les rtionnels :? Un rtionnel est le quotient de deux entiers reltifs, c est à dire l ensemble des nombres de l forme b vec entier et b entier non nul. Remrque : un rtionnel non déciml une écriture décimle périodique infinie : pr exemple : 5 = 4,7777 ; 7 se répète. 11 e) les réels :? L ensemble? est usuellement représenté pr une droite grduée. Chque nombre réel est représenté pr un point de l droite grduée, et tout point de cette droite représente un réel. - 3? L ensemble? contient les rtionnels, mis ussi les nombres comme,? ppelés irrtionnels. f) lien entre les ensembles de nombres - 9 7-0,1 cos(3 ) 0 1?? -0,4??? -9 3? 3-5 Chque rtionnel est réel, on dit que l ensemble? est inclus dns l ensemble?, ce que l on note???. On de plus??? ;??? ;??? On peut lors écrire :????????? II. Puissnces et rdicux ) clculer vec des puissnces Définition : n est un entier nturel et un nombre réel quelconque n =??? et -n = 1 n si? 0 n fcteurs Convention : lorsque? 0, on pose 0 = 1. De plus, -1 = 1 ; c est l inverse de. Cs prticuliers : les puissnces de 10 : 10 5 = 100000 et 10-4 = 1 1 10 4 = 10000 = 0,0001 5 zéros 4 zéros
Propriétés des puissnces : Soient et b deux nombres réels différents de 0 ; n et m sont des nombres entiers reltifs.?? m? n = m + n ; ( m ) n = m n ; m n = m n?? (b) n = n b n ;? n b??? n = b n ATTENTION : ( + b) n? n + b n en générl exemple : (7,1)-3 (7,1) 5 = (7,1) -3 5 = (7,1) -8 ; (4? 10-3 ) 3 = 4 3? (10-3 ) 3 = 64? 10-9 b) clculer vec des rdicux Définition : est un nombre positif. L rcine crrée de, notée, est le nombre positif dont le crré est égl à. exemple : 4 = ; 0 = 0 Un nombre négtif n ps de rcine crrée. Ainsi, si x est réel, l écriture x 1 n de sens que si x 1? 0, c est à dire x? 1. Propriétés :?? Lorsque est positif =.?? Soient et b deux nombres réels positifs b = b et b = b si b? 0 exemples : 45 = 9? 5 = 9? 5 = 3 5 ; 5 16 = 5 16 = 5 4 III. Intervlles ) définition et b sont deux réels tels que < b. Le tbleu ci-dessous résume les différents types d intervlles. L intervlle noté est l ensemble des réels x tels que Représenttion de cet intervlle sur une droite grduée [ ; b]? x? b ] ; b[ < x < b ] ; b] < x? b [ ; b[? x <b [ ; +? [? x ] ; +? [ < x ]-? ; b] x? b ]-? ; b[ x > b Vocbulire: [ ; b], ] ; b[,] ; b] et [ ; b[ sont des intervlles d extrémités et b ( < b). Le centre de l intervlle est le nombre + b, et s longueur est b. Remrques : -? (moins l infini) et +? (plus l infini) ne sont ps des nombres, ce sont des symboles. Du côté de -? et de +?, le crochet est toujours ouvert, pr convention.
L ensemble des réels? se note ussi ]-? ; +? [. b) réunion et intersection d intervlles L intersection de deux intervlles est l ensemble des nombres réels pprtennt à l fois ux deux intervlles. L réunion de deux intervlles est l ensemble des nombres réels pprtennt à l un ou l utre de ces intervlles (les éléments de l intersection pprtiennent ussi à l réunion). Exemples :? [ ; 5] n [4 ; 6] = [4 ; 5] et [ ; 5]? [4 ; 6] = [ ; 6].? ]-? ; ] n [-1 ; +? [ = [-1 ; ] et ]-? ; ]? [-1 ; +? [ = ]-? ; +? [ =? IV. Nombres premiers ) Divisibilité Définition : Soient et b deux entiers nturels non nuls. On dit que est divisible pr b si le résultt de l division de pr b est un nombre entier, c est à dire : si = c (donc = bc) vec c entier. b On dit ussi que est un multiple de b ou que b est un diviseur de. remrque : tout nombre entier nturel non nul dmet u moins deux diviseurs, 1 et. b) Nombres premiers Définition : un nombre premier est un entier supérieur ou égl à qui n dmet ps d utres diviseurs que 1 et lui-même. exemples : 7 est un nombre premier cr les seuls diviseurs de 7 sont 7 et 1. 4 n est ps premier cr il est divisible pr. Les nombres premiers inférieurs ou égux à 100 sont : ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 3 ; 9 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97. remrque : l suite des nombres premiers est illimitée. c) Décomposition en produit de nombres premiers Pr exemple, 15 n est ps premier : 15 = 5? 3. Les nombres 5 et 3 sont premiers. Ainsi le nombre 15 est égl à un produit de nombres premiers. Théorème : Tout entier supérieur ou égl à est premier ou produit de nombres premiers. Lorsqu on écrit un entier comme produit de nombres premiers, on dit qu on décompose cet entier en produit de nombres premiers. remrque : on peut démontrer que cette décomposition est unique. exemples : 50 =? 5 ; 360 = 3? 3? 5 Applictions : 56? 67 simplifier une frction : A = 14? 4 On décompose chcun des nombres 56, 67, 14 et 4. 56 =? 8 =?? 14 =??? 7 = 3? 7 67 est un nombre premier 14 =? 7 et 4 =? 1 =?? 6 =??? 3 = 3? 3
on en déduit : A = 3? 7? 67? 7? 3? 3 = 67 6?? simplifier une expression vec rdicux : B = 63? 105 on décompose chcun des nombres 63 et 105. 63 = 3? 1 = 3? 3? 7 = 3? 7 et 105 = 3? 35 = 3? 5? 7 d où B = 63? 105 = 3? 7? 3? 5? 7 = 3? 7 3? 5 = 1 15.?? fire l somme ou l différence de deux frctions : C = 3 50 + 8 105 5 4 On doit mettre ces trois frctions u même dénominteur (on v chercher le plus petit multiple commun à 50, 105 et 4) 50 =? 5 ; 105 = 3? 5? 7 et 4 =? 3?7 Le plus petit multiple commun des dénominteurs est lors :? 3? 5? 7, et on obtient : 3? 3? 7 C =? 3? 5? 7 + 8?? 5? 3? 5? 7 5? 5? 3? 5? 7 63 + 80 15 =? 3? 5? 7 = 18? 3? 5? 7 =? 3? 3? 5? 7 = 3 5? 7 = 3 175 V. Développement fctoristion ) Développer Développer un produit, c est l écrire sous forme d une somme. Réduire une somme, c est l écrire vec le moins de termes possibles. exemple : Développer et réduire l expression A(x) = 4 5??? x 1??? (x ) b) Fctoriser Fctoriser une expression, c est l écrire sous forme d un produit. exemple : Fctoriser l expression B(x) = (3x 1)(x + 4) (x 5)(3x 1) c) Identités remrqubles : on développe ( + b)² = ² + b + b² ( b)² = ² b + b² ( b)( + b) = ² b² on fctorise exemples : 1. Développer à l ide d une identité remrquble : Développer C(x) = (x + 4)² (4x 6)(4x + 6).. Fctoriser à l ide d une identité remrquble : Fctoriser D(x) = (x 1)² 9 puis E(x) = x² + 8x + 8 VI. Résolution d équtions ) Règles Lorsqu on joute ou que l on retrnche un même réel ux deux membres d une éqution, on obtient une utre éqution qui exctement les mêmes solutions. Lorsqu on multiplie ou que l on divise chque membre d une éqution pr un même réel différent de 0, on obtient une utre éqution qui exctement les mêmes solutions. Résoudre une éqution d inconnue x, c est trouver tous les réels x pour lesquels l églité est vérifiée. Exemple : Résoudre l éqution : 3x 4(3 + x) + 5(x 1) = 5 x b) éqution produit - quotient Pour deux réels A et B, AB = 0 équivut à A = 0 ou B = 0. Exemple : Résoudre l éqution (x + 6)( x) = 0
Un quotient est nul si, et seulement si, le numérteur est nul, mis ps le dénominteur : N = 0 équivut à N = 0 et D? 0. D Exemple : Résoudre l éqution x 3 x + = 0 Les vleurs interdites sont celles pour lesquelles x + = 0, c est à dire pour -. On résout lors x 3 = 0. L solution de l éqution est 3. c) Equtions de l forme x² = (vec??) Trois cs de figure sont possibles :?? si < 0, lors l éqution n ps de solution.?? si = 0, lors l éqution une seule solution : 0.?? si > 0, lors l éqution dmet deux solutions : et -. Exemple : 1. Résoudre l éqution (x 1)² = 3. x² 9. Résoudre l éqution (x 3)(x + ) = 0.