ANALYE PECTRALE DE IGNAUX PÉRIODIQUE Quelques apples variés sur la syhèse de Fourier ou la décomposiio de Fourier : hp://www.falsad.com/fourier/ hp://www.scieces.uiv-aes.fr/physique/perso/gulloue/elec/fourier/fourier.hml hp://www.uiv-lemas.fr/eseigemes/physique//divers/syfour.hml I. DÉCOMPOITION D UN IGNAL PÉRIODIQUE EN ÉRIE DE FOURIER I. érie de Fourier a) Terme fodameal Termes harmoiques Tou sigal périodique du emps s(), de période T, de pulsaio ombre fii de discoiuiés par période es décomposable e série de Fourier : = = ω =, de fréquece ( ) s ( ) = a + ( acos ω + bsi ω ) = c + ccos ω + ϕ, avec eier a es le erme cosa a cosω + b siω es le erme fodameal (de même pulsaio que le sigal) a cos ω + b si ω es le erme harmoique de rag (de pulsaio ω ). Remarque : Le erme a cos ω + b si ω peu se mere sous la forme c cos( ω + ϕ ), avec : T a b b c = a c = a + b = = =,, cos ϕ, siϕ e a ϕ. a + b a + b a T / a = s( ) = s( )d, le erme cosa es la valeur moyee de s( ) sur la période T T T T / f =, posséda u T T / a = s()cos( ω )d T ; T / T / b = s()si( ω )d T T / b) igal s() pair ou impair c s() pair : s( ) = s() b = pour ou > s() impair : s( ) = s() a = pour ou c) pecre de Fourier Il s agi de l esemble des coefficies c que l o représee graphiqueme e focio de la fréquece f. Exemple du sigal pureme siusoïdal, d ampliude A : s () = A cos( f) A c fu fu 3fu 4fu f f 3f 4f f f f Aalyse specrale de sigaux périodiques (3-5) Page sur 6 JN Beury
I. igaux périodiques usuels a) igal créeau T s() = - A pour, ; s() = + A pour, T. u() A c = 4A/ c T Le sigal es impair, doc a = T / T / 4A 4A cos( ω ) T / A b = s()si( ω )d T, b = si( ω ) d T = = T ω oi : T / = p : b p = = p + : b = -A T 4 A ( p ) p+ + ; d où : [ ] ( ) 4A si( p+ ) ω s s () =. p + Expérimealeme, o evoie sur u aalyseur de specre umérique u sigal créeau de fréquece f s = khz e d ampliude E = V. Il effecue u algorihme de FFT (rasformée de Fourier rapide) qui perme de visualiser isaaéme le specre à l écra. p= c / 3 c / 5 f 3f 5f f igal créeau de fréquece khz khz : le fodameal 3 khz 5 khz pecre du sigal (coefficies c ) Ierpréaio : O a u specre de raies discre puisque le sigal es périodique de période T. O observe que les harmoiques impairs de fréqueces khz, 3 khz, 5 khz, Cee décroissace lee e / es caracérisique des sigaux qui possède des discoiuiés e cerais pois. O di que le specre es riche e harmoiques. Aalyse specrale de sigaux périodiques (3-5) Page sur 6 JN Beury
b) igal riagulaire T pour ;, () 4 s = A + T T pour ;, s() = A 4 T T s u s() () A -A T s Le sigal s() es pair, o a doc : b = >, sa valeur moyee es ulle doc : a = T T 4A a = s() cos( ω ) d 4 cos( ω ) d T = T T T L iégrale se calcule e faisa ue iégraio par paries : T T T 4A 4 4 4A a = 4 si( ω ) si( ω ) d A cos( ω ) ( ) T + T ω ω T = T ω = ² ² O a doc : = p: a p = 8 A = p + : ap+ = ²( p + ) À l aalyseur de specre, o obie le graphe suiva : 8A ; d'où s() = p= ( p+ ) ( p + ) cos ω s igal riagulaire de fréquece khz khz : le fodameal 3 khz 5 khz pecre du sigal (coefficies c ) Le sigal riagulaire es coiu, il possède seuleme deux discoiuiés de pee par période. O observe ue décroissace plus rapide du specre e / avec uiqueme les harmoiques impairs. Le specre d u sigal riagulaire coie mois d harmoiques que le specre d u sigal créeau, o di que ce specre es mois riche e harmoiques. Aalyse specrale de sigaux périodiques (3-5) Page 3 sur 6 JN Beury
II.YNTHÈE DE FOURIER II. igal coiu oi sf ()la série de Fourier d u sigal périodique coiu s ( ), limiée à ses premiers ermes. Lorsque ed vers l ifii, sf () ed vers s ( ). Lors de la syhèse d u el sigal, la somme des premiers harmoiques sf () suffi pour le représeer de faço saisfaisae, comme o peu le voir sur les graphes ci-dessous où les sigaux présee, cepeda, ue discoiuié de pee. Ue bade passae limiée suffira gééraleme à la rasmissio d u sigal périodique coiu. E effe, si u sigal périodique e présee que des discoiuiés de pee, l ampliude c des raies de so specre de fréquece décroî rapideme (au mois e ). y=riagle(,.5) y=harm(y,,) y=riagle(,.5) y=harm(y,3,3) y=riagle(,.5) y=harm(y,,3) y=riagle(,.5) y=harm(y,,) Aalyse specrale de sigaux périodiques (3-5) Page 4 sur 6 JN Beury
L équipe de recherche «Aalyse-yhèse» de l IRCAM (Isiu de Recherche e de Coordiaio Acousique Musique) dirigé par Xavier Rode présee des exemples de solo e de chœurs viruels à cee adresse hp://recherche.ircam.fr/equipes/aalyse-syhese/basille-k/idex.hml e même l air de la reie de la ui de l opéra «la flûe echaée» de Mozar hp://recherche.ircam.fr/equipes/aalyse-syhese/peeers/pola/audio/reie.aiff e efi quelques explicaios sur les machies à chaer hp://mediaheque.ircam.fr/aricles/exes/depalle95c/ II. igal discoiu oi u sigal s ( ) présea ue discoiuié e =. E u poi de discoiuié, l écar ere les graphes de sf ( ) e de s ( ) es irréducible, quel que soi le ombre d harmoiques cosidéré. y=creeau(,.5) y= creeau (,.5) y=harm(y,,) y=harm(y,3,3) y=creeau(,.5) y= creeau (,.5) y=harm(y,,3) y=harm(y,,) Ce effe, cou sous le om de phéomèe de Gibbs es illusré ci-dessous pour u sigal carré e pour ue rampe périodique. Le dépasseme peu êre impora. O peu démorer * qu il es de 7,89 % pour ces sigaux. Lorsqu u sigal périodique présee des discoiuiés, l ampliude c des raies de so specre de fréquece décroî leeme (gééraleme e ). U sigal discoiu exige ue bade passae rès large pour sa rasmissio. Aalyse specrale de sigaux périodiques (3-5) Page 5 sur 6 JN Beury
4 si(p+ ) x * Par exemple, la somme parielle des premiers ermes du sigal créeau -périodique uiaire es : s ( x) =. p = p + Le maximum de Gibbs es siué au premier zéro de la dérivée de cee somme : 4 4 ( ) si( ) ' ( ) cos( ) e i p x + s x p x x = + = p = p =, soi pour x =. = = si( x) ( p+ ) ( p+ ) si si 4 O obie alors : ( ) si( x) s x = = ; e lim s( x) = d x,789797444... (p ) p p+ + = p = = x Aalyse specrale de sigaux périodiques (3-5) Page 6 sur 6 JN Beury