Probabltés codtoemet et partto A) Varables aléatores dscrètes 1 Lo de probablté d ue varable aléatore Défto : Défr ue lo de probablté P d'ue varable aléatore X, c est assocer à chaque valeur x, de la varable aléatore u ombre postf p, tel que la somme des p, est égale à 1 As : p = P X = x ) avec : 0 p 1 ( 1 + + = = p p p = 1 = 1 Détermer la lo de probablté de X, c est doer, sous forme d'u tableau, toutes les probabltés des valeurs x x x 1 x 2 p p p 1 2 x p Défto : S X est ue varable aléatore réelle preat les valeurs x, x, 1 2, x avec les probabltés, p, 1 2 p, o appelle espérace mathématque de la varable aléatore X le ombre oté (X ) E ( X ) = p x + p x + + p x 1 1 2 2 p, E déf par : Proprété : L espérace d'ue varable aléatore X est la moyee des valeurs x podérées par leurs probabltés Autremet dt, l espérace mathématque permet de calculer la moyee des résultats obteus lorsqu o reprodut u très grad ombre de fos l expérece Cas partculer : S toutes les valeurs de la varable aléatore X ot la même probablté alors la lo de X est dte équréparte Exemple : Maxme s aperçot que sa poche cotet quatre pèces de valeurs dfféretes : 0,2, 0,5, 1 et 2 Il pred deux pèces smultaémet Sot X la varable aléatore égale à la somme obteue X pred les valeurs : X { 0,7 ; 1,2 ; 1,5 ; 2,2 ; 2,5 ; 3} La lo de probablté de la varable aléatore X est équréparte (car o effectue u trage smultaé d élémets deux à deux dstcts et ces deux trages dstcts aboutsset eux auss à des sommes deux à deux dstctes) x 0,7 1,2 1,5 2,2 2,5 3 1 1 1 1 1 1 p 6 6 6 6 6 6 1 1 1 O a alors : E ( X ) = 0,7 + 1,2 + + 3 = 1, 85 6 6 6 Maxme peut espérer obter e moyee (sur u grad ombre de tetatves) 1,85
2 Lo bomale Défto : Epreuve de Beroull Ue épreuve de Beroull est ue expérece aléatore qu a que deux ssues, qu o peut appelées succès et échecs et otées 1 ou 0 O ote p la probablté de succès, 1 p est alors la probablté d u échec Défto : Lo bomale Lors de la répétto de épreuves de Beroull, detques et dépedates, o déft la varable aléatore X égale au ombre de succès obteus à la f de épreuves La lo de probablté de cette varable aléatore X est appelée lo bomale de paramètres ; p et p parfos otée B ( ) P( X = k) = p 1 p k k k La probablté de k succès lors de ces tetatves est : ( ) Proprétés : S X sut ue lo bomale de paramètres et p alors : L espérace de X est : E ( X ) = p V ( X ) = p 1 p La varace de X est : ( ) L écart type de X est : ( X ) = p( 1 p) σ Exemple : Le taux de réusste au cocours d admsso pour ue école post-bac est de 10% O recotre au hasard 8 caddats et o les terroge pour savor s ls ot été adms Sot X la varable aléatore égale au ombre de caddats adms parm les 8 caddats terrogés O répète de 8 épreuves de Beroull (l y a que deux résultats possbles), detques et dépedates doc X sut ue lo bomale de paramètres 8 et 0,1 La probablté 8 2 8 2 d terroger deux caddats adms est : P ( X = 2) = 0,1 0,9 0, 149 O peut 2 espérer obter E ( X ) = 8 0,1 = 0, 8 caddat ayat été adms parm les hut terrogés Exercce 1 : E 2012, das ue vlle du sud de l Espage, les taxs applquet des tarfs dfférets suvat le type de trajet Pour u trajet etre le cetre-vlle et l aéroport, le chauffeur applque u tarf forfatare de 27 euros Pour u trajet à l téreur de la vlle, le prx est de 7 A ue stato de tax, u passager sur cq effectue u trajet etre le cetre-vlle et l aéroport U tax e sat pas où va so passager à pror et l peut charger deux fos la même persoe U chauffeur de tax, travallat très souvet à cette stato, charge successvemet 4 persoes O ote X la varable aléatore égale au ombre de trajets etre le cetre-vlle et l aéroport parm les 4 trajets effectués 1) Quelles sot les valeurs prses par X? 2) Quelle est la lo suve par X? Doer ses paramètres 3) Calculer la probablté que le chauffeur de tax effectue : a) exactemet deux trajets etre le cetre-vlle et l aéroport b) au mos u trajet etre le cetre-vlle et l aéroport 4) O ote R la varable aléatore égale à la recette du chauffeur a) Motrer que : R = 20 X + 28 b) E dédure la recette moyee que le chauffeur peut espérer pour ces quatre trajets O rappelle la proprété suvate de l espérace : E ( ax + b) = ae( X ) + b
B) Probabltés codtoelles Das ce chaptre, E désge l esemble des ssues d ue expérece aléatore et P ue lo de probablté sur E Il est aturellemet sous-etedu que les évèemets sot des évèemets de cette expérece aléatore 1 Codtoemet par u évèemet Défto : Sot A et B deux évèemets avec P ( A) 0 La probablté que l évèemet B se réalse sachat que l évèemet A est réalsé est otée P A ( B) et elle est défe par : P ( ) ( A B) P A B = P A ( ) L esemble de référece est plus l uvers E mas devet l évèemet A O étude B parm A, c'est-à-dre A B das A Remarques : P A ( B) se lt «probablté de B sachat A» P ( ) ( A B) P B A = P( B) P B P A = P A B = P A P B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A B P est ue probablté doc P ( B) + P ( B ) = 1 A A Exercce 2 : Das ue classe de 35 élèves de termale ES, 8 élèves souhatet poursuvre leur étude das u IEP, 7 souhatet poursuvre das ue CPGE et 3 postulet pour les deux flères O est doc das la stuato suvate : O ote : IP l évèemet : «L élève chost u IEP» C l évèemet : «L élève chost ue CPGE» O terroge u élève au hasard sur ses vœux post-bac 1) Calculer la probablté des évèemets suvats : a) P ( IP) b) ( IP C) 2) Calculer, de deux faços dfféretes, P IP ( C) 3) Calculer, de deux faços dfféretes, ( ) IP P C 4) Tradure par ue phrase le résultat précédet P
2 Arbre podéré et calculs de probabltés Exemple : U sachet de 100 bobos cotet 40 bobos acdulés, les autres bobos sot à la gumauve 18 des bobos à la gumauve sot au parfum orage et 10 bobos sot acdulés et au parfum orage Les bobos qu e sot pas au parfum orage sot à la frase O chost u bobo au hasard das ce sachet O ote : A l évèemet : «le bobo est acdulé» G l évèemet : «le bobo est à la gumauve» F l évèemet : «le bobo est à la frase» O l évèemet : «le bobo est au parfum orage» De l éocé l découle mmédatemet les probabltés suvates : 40 P ( A ) = = 0, 4 ; ( ) 100 40 60 10 P G = = = 0, 6 et P ( A O ) = = 0, 1 100 100 100 100 De plus comme 18 des bobos à la gumauve sot au parfum orage, o e dédut égalemet 18 la probablté de l évèemet O sachat l évèemet G : PG ( O ) = = 0, 3 60 Arbre podéré : Il est évdet que la gesto de ces formatos va dever très complexe, d où la écessté de tradure ou de modélser cette expérece aléatore par u arbre O peut y dquer les probabltés des évèemets cosdérés, o parle alors d u arbre podéré ou d u arbre de probabltés Proprétés : La probablté d ue feulle est le produt des probabltés dquées sur des braches du chem qu aboutt à cette feulle La somme des probabltés dquées sur les braches ssues d u même œud vaut 1 Exercce 3 : O souhate détermer les probabltés maquates sur l arbre podéré précédet : 1) Calculer P( G O) P G F 2) Détermer P G ( F ) et e dédure ( ) 3) Calculer P A ( O) et e dédure P A ( F ) 4) Détermer, de deux faços dfféretes, ( A F ) P
C) Partto de l uvers 1 Partto de l uvers e deux évèemets Théorème : S A est u évèemet de probablté o ulle et A so évèemet cotrare alors A et A formet ue partto de l uvers E Sot B u évèemet de E, les évèemets B A et B A sot alors compatbles et o est alors das stuato suvate : D où la formule dte des «probabltés totales» : P B = P B A + P B A = P B P A + P B P A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A Exemple : Au Luxembourg ue equête révèle qu e 2010, 24% de la populato fume La fumée dérage 80% des o-fumeurs et 58% des fumeurs O terroge au hasard u habtat du Luxembourg O ote : F l évèemet : «être u fumeur» D l évèemet : «la fumée dérage» Les évèemets F et F formet ue partto de l uvers des habtats du Luxembourg Or P ( F ) = 0, 24 doc P ( F ) = 1 0,24 = 0, 76 La fumée dérage 80% des o-fumeurs doc P F ( D) = 0, 8 La fumée dérage 58% des fumeurs doc ( D) = 0, 58 D où la modélsato suvate : P F ( D F ) = P ( D) P( F ) = 0,58 0,24 = 0, 1392 P F ( D F ) = P ( D) P( F ) = 0,8 0,76 = 0, 608 P F A l ade de la formule des probabltés totales, o peut obter la probablté que la persoe terrogée sot déragée par la fumée est : P D = P D F + P D F = 0,1392 + 0,608 = 0, ( ) ( ) ( ) 7472
2 Partto de l uvers e pluseurs évèemets Théorème : S les évèemets A 1 ; A2 ; ; A formet ue partto de l uvers E et B est u évèemet de E o est alors das stuato suvate : D où la formule dte des «probabltés totales» : P( B) = P( B A1 ) + P( B A2 ) + + P( B A ) Ce qu peut ecore s écrre : P B = P B P A + P B P A + + P B P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A ) A1 1 A2 Exemple : U magas de sport propose des réductos sur les tros marques de vêtemets qu l dstrbue Les marques A, N et O représetet respectvemet 64%, 28% et 8% des vêtemets vedus 30% des vêtemets de la marque A, 60% de ceux de la marque N et 80% de la marque O sot soldés O terroge au hasard u clet ayat acheté u vêtemet de sport O ote : A l évèemet : «le vêtemet est de la marque A» N l évèemet : «le vêtemet est de la marque N» O l évèemet : «le vêtemet est de la marque O» S l évèemet : «le vêtemet est soldé» D où la modélsato suvate : 2 A A l ade de la formule des probabltés totales, o peut alors obter la probablté que le clet at acheté u vêtemet soldé : P( S) = P( S A) + P( S N ) + P( S O) avec : P( S A) = PA ( S ) P( A) = 0,3 0,64 = 0, 192 P S N = PN S P N = 0,6 0,28 = 0, ( ) ( ) ( ) 168 ( S O) = P ( S ) P( O) = 0,8 0,08 = 0, 064 P O D où : ( S) = 0,192 + 0,168 + 0,064 = 0, 424 P
Exercce 4 : A, B et C désget tros évèemets et A, B et C leurs évèemets cotrares Compléter les arbres podérés c-dessous par les probabltés maquates 1 er cas : 2 ème cas : Exercce 5 : 1) Das chacu des cas suvats A, B et C désget tros évèemets et A, B et C leurs évèemets cotrares Détermer, à l ade des schémas proposés, les probabltés demadées : 1 er cas : a) P B ( A) = b) P A ( B) = c) P A ( B) = d) P ( A B) = 2 ème cas : a) P ( A) = b) P ( A B C) = c) P ( B) = d) P A ( B) = e) P C ( A) = 2) Le tableau suvat doe la répartto des élèves e focto de la lague étudée Détermer, à l ade de ce tableau, les probabltés demadées : a) P C ( E) = b) P A ( R) = c) P D ( E) =
Exercce 6 : U ste de covoturage puble les résultats d ue equête réalsée auprès des scrts sur ce ste 67% des scrts ot déjà pratqués le covoturage et parm eux 72% peset qu ls ot réalsé des écoomes facères Parm ceux ayat jamas pratqué le covoturage 84% peset qu l permet de réalser des écoomes facères O terroge au hasard u scrt sur le ste O ote : C l évèemet : «cet scrt pratque le covoturage» E l évèemet : «cet scrt pese que le covoturage permet de réalser des écoomes facères» E P C E 1) Doer P C ( ) et ( ) 2) Costrure u arbre probablste correspodat aux doées de cet exercce 3) Calculer la probablté que la persoe terrogée pratque le covoturage et qu elle pese que le covoturage permet de réalser des écoomes facères 4) Calculer ( E C ) P Iterpréter ce résultat 5) E dédure P ( E) Iterpréter ce résultat 6) Calculer ( E ) P 7) O terroge ue persoe scrte sur le ste pesat que le covoturage e fat pas réalser d écoome facère Calculer la probablté que ce sot ue persoe pratquat le covoturage Exercce 7 : U restaurat propose à sa carte deux types de dessert : u assortmet de macaros, chos par 50% des clets ue part de tarte Tat chose par 30% des clets 20% des clets e preet pas de dessert et aucu clet e pred pluseurs desserts parm les clets ayat prs u assortmet de macaros 80% preet u café parm les clets ayat prs ue part de tarte Tat 60% preet u café parm les clets ayat pas prs de dessert 90% preet u café O terroge au hasard u clet de ce restaurat O ote : M l évèemet : «le clet pred u assortmet de macaros» T l évèemet : «le clet pred ue part de tarte Tat» P l évèemet : «le clet e pred pas de dessert» C l évèemet : «le clet pred u café» 1) Recoper et compléter l arbre podéré c-dessous : 2) Calculer la probablté qu u clet pree u café et u assortmet de macaros 3) Motrer que la probablté qu u clet pree u café est de 0,76 4) U assortmet de macaros est vedu 6, ue part de tarte Tat est vedue 7 et u café 2 Chaque clet pred u plat et u seul au prx uque de 18 et aucu e pred plus d u café Sot X la varable aléatore égale à la somme totale dépesée par le clet a) Détermer la lo de probablté de X b) Calculer l espérace de X et terpréter ce résultat
Exercce 8 : U sodage effectué das ue régo à propos de la costructo d u barrage doe les résultats suvats : 65% des persoes terrogées sot cotre la costructo de ce barrage et parm les persoes qu sot cotre 70% sot des écologstes Parm les persoes qu sot favorables à cette costructo 20% sot des écologstes O ote : C l évèemet : «le persoe terrogée est cotre la costructo de ce barrage» E l évèemet : «le persoe terrogée est écologste» 1) Doer P ( C) et P C ( E) 2) Idquer par ue phrase la sgfcato de P C ( E) et doer sa valeur 3) Costrure u arbre probablste correspodat aux doées de cet exercce 4) Calculer P( C E) pus la probablté pour qu ue persoe terrogée sot écologste 5) O terroge ue persoe écologste Calculer la probablté qu elle sot cotre la costructo du barrage 6) O chost au hasard tros persoes parm celles terrogées lors de ce sodage Le ombre de persoes terrogées état très grad, o peut estmer que ce chox se fat de faço dépedate Quelle est la probablté que deux persoes exactemet soet cotre la costructo de ce barrage? 7) O pred au hasard des fches de persoes terrogées Combe faut-l predre de fches au mmum pour obter au mos ue persoe favorable à la costructo de ce barrage avec ue probablté supéreure à 0,99? Exercce 9 : Bac ES Doha 2013 Ue assocato de cosommateurs a fat ue equête sur des vetes de sacs de pommes O sat que : 15% des sacs sot vedus drectemet das l explotato agrcole et le reste est vedu das des supermarchés Parm les sacs vedus drectemet das l explotato agrcole, 80%coteet des pommes de varétés dfféretes et les autres e coteet qu u seul type de pommes Parm les sacs vedus das des supermarchés, l0% coteet des pommes de varétés dfféretes et les autres e coteet qu u seul type de pommes O désge par : E l évèemet : «les sacs de pommes sot vedus sur l explotato» V l évèemet : «les sacs coteet des pommes de varétés dfféretes» L évèemet cotrare de l évèemet A sera oté A O achète de faço aléatore u sac de pommes 1) Tradure les tros doées de l éocé e termes de probabltés 2) Costrure u arbre podéré tradusat cette stuato 3) Défr par ue phrase l évèemet E V pus calculer sa probablté 4) Motrer que la probablté que le sac acheté cotee des pommes de varétés dfféretes est égale à 0,205 5) Le sac acheté cotet des pommes d ue seule varété Calculer la probablté qu l at été acheté drectemet sur l explotato agrcole et arrodr le résultat à 0,001 près 6) Des producteurs, terrogés lors de l equête, dsposet esemble de 45 000 sacs Chaque sac, qu l cotee u seul type de pommes ou des pommes de varétés dfféretes, est vedu 0,80 euro sur l explotato agrcole et 3,40 euros das des supermarchés Calculer le motat total des vetes qu ls peuvet prévor
Exercce 10 : Bac ES Lba 2012 Das u salo de coffure pour femmes, le colorste propose aux cletes qu veet pour ue coupe deux prestatos supplémetares : ue colorato aturelle à base de plates qu l appelle «couleur-so» des mèches blodes doat du relef à la chevelure, qu l appelle «effet coup de solel» Ce colorste a fat le bla suvat sur ces prestatos : 40% des cletes demadet ue «couleur-so» parm celles qu e veulet pas, 30% des cletes demadet u «effet coup de solel» 24% des cletes demadet les deux à la fos O cosdère ue de ces cletes O otera C l évèemet «la clete souhate ue "couleur-so"» O otera M l évèemet «la clete souhate u "effet coup de solel"» 1) Calculer la probablté de M sachat C otée P C ( M ) 2) Costrure u arbre podéré qu llustre la stuato 3) Calculer la probablté que la clete e souhate ue «couleur-so», u «effet coup de solel» 4) Motrer que la probablté de l évèemet M est égale à 0,42 5) Les évèemets C et M sot-ls dépedats? 6) Ue «couleur-so» coûte 35 euros et u «effet coup de solel» coûte 40 euros a) Recoper pus compléter sas justfer le tableau suvat doat la lo de probablté du ga e euros du colorste par clet : b) Doer l espérace E de cette lo c) Pour cette questo, toute trace de recherche même complète, ou d tatve même o fructueuse, sera prse e compte das l évaluato Combe le colorste dot-l facturer la réalsato d u «effet coup de solel» pour que l espérace de ga par clet augmete de 15%? Exercce 11 : Bac ES Ase 2012 L opérateur téléphoque Boomtel propose à ses aboés deux types d accès teret u accès teret sur lge fxe et u accès 3G sur téléphoe portable Aujourd hu, l etreprse fat les costats suvats sur les accès teret de ses aboés : 58% des aboés ot u accès teret sur lge fxe Parm ceux-là, 24% ot égalemet u accès 3G sur téléphoe portable parm les aboés qu ot pas d accès teret sur lge fxe, 13% ot u accès 3G sur téléphoe portable Pour ue equête de satsfacto, la fche d u aboé est prélevée au hasard O ote : F l évèemet : «c est la fche d u aboé qu a u accès teret sur lge fxe» G l évèemet : «c est la fche d u aboé qu a u accès 3G sur téléphoe portable» 1) E utlsat les doées de l éocé, précser les valeurs de P ( F ), P F ( G) et P F ( G) 2) Costrure u arbre de probablté tradusat la stuato 3) Calculer P( F G ) Iterpréter ce résultat 4) Vérfer que la probablté que la fche prélevée sot celle d u aboé qu a pas d accès 3G sur téléphoe portable est de 0,8062 5) Peut-o affrmer qu au mos 25% des aboés ot u accès 3G sur téléphoe portable? 6) O prélève successvemet les fches de tros aboés O admet que le ombre de fches est suffsammet grad pour qu o pusse assmler le trage à u trage avec remse Calculer la probablté qu exactemet deux des fches trées sot celle d u aboé qu a pas d accès 3G sur téléphoe portable
Exercce 12 : Das u club de tes, o propose auss ue actvté tes de table, be utle quad tous les courts sot occupés La probablté que tous les courts soet occupés quad o a pas réservé est de 0,8 U couple de membres du club qu a pas réservé se présete : s les courts sot tous occupés ls jouet au tes de table das 70% des cas ; s les courts e sot pas tous occupés ls jouet au tes de table das 30% des cas O terroge, au hasard, u couple du club qu a pas réservé O ote : A : «les courts sot occupés» B : «le couple joue au tes de table» 1) Costrure u arbre de probablté tradusat la stuato B P A B 2) Calculer P A ( ) et ( ) 3) Calculer la probablté que les courts soet occupés et que le couple joue au tes de table 4) Dédure des résultats précédets la probablté que le couple joue au tes de table 5) Sachat que le couple terrogé joue au tes de table, quelle est la probablté que les courts soet tous occupés? 6) Tros couples se présetet successvemet et dépedammet les us des autres Aucu des couples a réservé O suppose que pour chaque couple la probablté qu l joue au tes de table est de 0,62 Sot X la varable aléatore comptablsat le ombre de couples jouat au tes de table parm ces tros couples a) Précser la lo suve par la varable aléatore X et doer ses paramètres b) Détermer la lo de probablté de X c) Quelle est la probablté qu au mos u couple e joue pas au tes de table? d) Combe peut-o espérer de couples jouat au tes de table? Exercce 13 : Bac ES Podchéry 2013 Ue equête a été réalsée auprès des élèves d u lycée af de coaître leur pot de vue sur la durée de la pause du md as que sur les rythmes scolares L equête révèle que 55% des élèves sot favorables à ue pause plus logue le md et parm ceux qu souhatet ue pause plus logue, 95% sot pour ue répartto des cours plus étalée sur l aée scolare Parm ceux qu e veulet pas de pause plus logue le md, seulemet 10% sot pour ue répartto des cours plus étalée sur l aée scolare O chost u élève au hasard das le lycée O cosdère les évèemets suvats : L : «l élève chos est favorable à ue pause plus logue le md» ; C : «l élève chos souhate ue répartto des cours plus étalée sur l aée scolare» 1) Costrure u arbre podéré décrvat la stuato P L C la probablté de l évèemet L C 2) Calculer ( ) 3) Motrer que P ( C) = 0, 5675 4) Calculer P C ( L), la probablté de l évèemet L sachat l évèemet C réalsé E 4 doer ue valeur arrode à 10 5) O terroge successvemet et de faço dépedate quatre élèves prs au hasard parm les élèves de l établssemet Sot X la varable aléatore qu doe le ombre d élèves favorables à ue répartto des cours plus étalée sur l aée scolare Le ombre d élèves état suffsammet grad, o cosdère que X sut ue lo bomale a) Précser les paramètres de cette lo bomale b) Calculer la probablté qu aucu des quatre élèves terrogés e sot favorable à ue 4 répartto des cours plus étalée sur l aée scolare O arrodra à 10 c) Calculer la probablté qu exactemet deux élèves soet favorables à ue répartto des cours plus étalée sur l aée scolare
Exercce 14 : U laboratore propose u test de dépstage pour ue malade La probablté qu ue persoe attete de cette malade at u test postf est 0,96 La probablté qu ue persoe o attete de cette malade at u test postf est 0,01 La probablté qu ue persoe at u test postf est 0,39 O fat à u test de dépstage systématque das la populato où s est déclechée la malade O chost ue persoe au hasard das cette populato O ote : M : «la persoe chose est attete de la malade» T : «la persoe chose a u test postf» 1) Costrure u arbre de probablté modélsat la stuato 2) La «sesblté» d u test est défe par la probablté d obter u test postf chez des persoes attetes de la malade Doer la sesblté de ce test 3) La «spécfcté» d u test est défe par la probablté d obter u test égatf chez des persoes qu e sot pas attetes de la malade Doer la spécfcté de ce test 4) Das les questos suvates o va détermer de P ( M ) a) Doer P ( T ) b) Exprmer ( T M ) T M P e focto de ( M ) c) Dédure des questos précédetes la valeur de P ( M ) P et ( ) P 5) Sot F l évèemet : «le test est pas coforme à l état de saté de la persoe chose» Calculer P ( F ) 6) La probablté d avor la malade e cas de test postf s appelle «la valeur prédctve postve» (VPP) d u test Calculer la valeur prédctve postve de ce test Exercce 15 : Bac ES Nouvelle-Calédoe 2011 Lors d u sodage orgasé das dfférets pays de l Uo européee sur ue populato comportat 52% de femmes et 48% d hommes, o a posé cette questo : «Qu est-ce qu reforcerat le plus votre setmet d être u ctoye europée?» 31% des femmes terrogées et 34% des hommes terrogés ot répodu qu u système europée de protecto socale serat l élémet qu reforcerat le plus leur setmet d être u ctoye europée (Source : «Le futur de l Europe», Commsso européee, sodage réalsé e mars 2006) Parm les réposes des persoes terrogées lors de ce sodage, o prélève au hasard ue répose O ote : H : «la répose est celle d u homme» F : «la répose est celle d ue femme» S : «la répose est : u système europée de protecto socale» 1) Costrure u arbre de probablté tradusat la stuato 2) Doer P F ( S ) et P H ( S) 3) Calculer P( S F ) et P( S H ) 4) E dédure P ( S) 5) O chost au hasard tros réposes de ce sodage O admet que le ombre de répose est suffsammet grad pour assmler ce chox à des trages successfs dépedats avec remse a) Détermer la probablté qu au mos deux des tros réposes soet «avor u système europée de protecto socale» b) Combe de répose de ce type peut-o espérer?
Exercce 16 : Bac ES Ase 2013 Le tableau c-dessous doe la répartto des élèves de termale de séres géérales selo la sére et le sexe, à la retrée 2010 Notatos : P A désge la probablté d u évèemet A ( ) P A ( B) désge la probablté d u évèemet B sachat que l évèemet A est réalsé O chost au hasard u élève de termale de sére géérale O ote : F l évèemet : «L élève chos est ue flle» G l évèemet : «L élève chos est u garço» L l évèemet : «L élève chos est e sére Lttérare» ES l évèemet : «L élève chos est e sére Sceces Ecoomques et Socales» S : l évèemet «L élève chos est e sére Scetfque» Tous les résultats serot arrods au cetème 1) E utlsat les effectfs scrts das le tableau : a) Sachat qu o terroge u garço, calculer la probablté qu l sot e sére Lttérare b) Calculer P ( S ) 2) Recoper et compléter l arbre de probablté c-dessous : 3) E utlsat l arbre complété et les proprétés des probabltés : a) Motrer que la probablté, arrode au cetème, que l élève chos sot u élève de la sére Sceces Écoomques et Socales est égale à 0,33 b) Calculer P ES ( F ) 4) O chost successvemet et au hasard 10 élèves de termale de sére géérale O admet que le ombre de lycées est suffsammet grad pour que ces chox soet assmlés à des trages dépedats avec remse Calculer la probablté de chosr exactemet tros élèves de la sére ES
Exercce 17 : Bac ES Podchéry 2015 Pour chacue des propostos suvates, dre s la proposto est vrae ou fausse e justfat la répose L etreprse MICRO ved e lge du matérel formatque otammet des ordateurs portables et des clés USB Durat la pérode de garate, les deux problèmes les plus fréquemmet relevés par le servce après-vete portet sur la battere et sur le dsque dur, as : Parm les ordateurs vedus, 5% ot été retourés pour u défaut de battere et parm ceux-c, 2% ot auss u dsque dur défectueux Parm les ordateurs dot la battere foctoe correctemet, 5% ot u dsque dur défectueux O suppose que la socété MICRO garde costat le veau de qualté de ses produts Sute à l achat e lge d u ordateur : Proposto 1 : La probablté que l ordateur acheté at problème de battere problème de dsque dur est égale à 0,08 à 0,01 près Proposto 2 : La probablté que l ordateur acheté at u dsque dur défectueux est égale à 0,048 5 Proposto 3 : Sachat que l ordateur a été retouré pedat sa pérode de garate car so dsque dur état défectueux, la probablté que sa battere le sot égalemet est féreure à 0,02 Exercce 18 : Bac ES Atlles Guyae 2015 Ue equête a été réalsée auprès des élèves d u lycée af de coaître leur sesblté au développemet durable et leur pratque du tr sélectf L equête révèle que 70% des élèves sot sesbles au développemet durable, et, parm ceux qu sot sesbles au développemet durable, 80% pratquet le tr sélectf Parm ceux qu e sot pas sesbles au développemet durable, o e trouve 10% qu pratquet le tr sélectf O terroge u élève au hasard das le lycée O cosdère les évèemets suvats : S : «L élève terrogé est sesble au développemet durable» T : «L élève terrogé pratque le tr sélectf» 2 Les résultats serot arrods à 10 1) Costrure u arbre podéré décrvat la stuato 2) Calculer la probablté que l élève terrogé sot sesble au développemet durable et pratque le tr sélectf 3) Motrer que la probablté P ( T ) de l évèemet T est 0,59 4) O terroge u élève qu e pratque pas le tr sélectf Peut-o affrmer que les chaces qu l se dse sesble au développemet durable sot féreures à 10%? 5) O terroge successvemet et de faço dépedate quatre élèves prs au hasard parm les élèves de l établssemet Sot X la varable aléatore qu doe le ombre d élèves pratquat le tr sélectf parm les 4 élèves terrogés Le ombre d élèves de l établssemet est suffsammet grad pour que l o cosdère que X sut ue lo bomale a) Précser les paramètres de cette lo bomale b) Calculer la probablté qu aucu des quatre élèves terrogés e pratque le tr sélectf c) Calculer la probablté qu au mos deux des quatre élèves terrogés pratquet le tr sélectf
Exercce 19 : U commerçat spécalsé e photographe umérque propose e promoto u modèle d apparel photo umérque et u modèle de carte mémore compatble avec cet apparel Il a costaté, lors d ue précédete promoto, que : 20% des clets achètet l apparel photo e promoto 70% des clets qu achètet l apparel photo e promoto achètet la carte mémore e promoto 60% des clets achètet l apparel photo e promoto, la carte mémore e promoto O suppose qu u clet achète au plus u apparel photo e promoto et au plus ue carte mémore e promoto U clet etre das le magas O ote A l évèemet : «le clet achète l apparel photo e promoto» O ote C l évèemet : «le clet achète la carte mémore e promoto» 1) Doer les probabltés P ( A) et P( A C ) 2) Costrure u arbre podéré représetat la stuato 3) U clet achète pas l apparel photo e promoto Calculer la probablté qu l achète pas o plus la carte mémore e promoto 4) Motrer que la probablté qu u clet achète la carte mémore e promoto est 0,34 5) Les évèemets A et C sot-ls dépedats? 6) U clet achète la carte mémore e promoto Détermer la probablté que ce clet achète auss l apparel photo e promoto 7) Le commerçat fat u bééfce de 30 sur chaque apparel photo e promoto et u bééfce de 4 sur chaque carte mémore e promoto a) Recoper et compléter le tableau suvat doat la lo de probablté du bééfce par clet Aucue justfcato est demadée Bééfce par clet e euros 0 Probablté d attedre le bééfce b) Pour 100 clets etrat das so magas, quel bééfce le commerçat peut-l espérer trer de sa promoto? 8) Cq clets etret das le magas O suppose que leurs comportemets d achat sot dépedats Sot X la varable aléatore comptablsat le ombre de clets qu achètet pas l apparel photo e promoto a) O cosdère l algorthme suvat : Etrée a u eter aturel b a b u eter aturel ( ) Italsato Affecter à S la valeur 0 Tratemet Pour k allat de a à b F du Pour Affecter à S la valeur 5 S + 0,8 k k 0,2 Sorte Affcher S Fare tourer «mauellemet» cet algorthme pour a = 2 et b = 3 E dédure ce que permet de calculer cet algorthme b) Le vedeur affrme qu l y a plus d ue chace sur quatre que deux ou tros de ces cq clets achètet pas l apparel photo e promoto A-t-l raso? 0,6 5 k
Exercce 20 : Bac ES Amérque du Sud 2013 Das u pays, sute à ue électo, u sttut de sodage puble chaque mos la cote de popularté du présdet (c est-à-dre le pourcetage de persoes ayat ue opo favorable à l acto qu l mèe) Ce sodage résulte d ue equête réalsée auprès d u échatllo de la populato du pays Les equêtes révèlet que d u mos à l autre : 6% des persoes qu étaet favorables e le sot plus ; 4% des persoes qu étaet pas favorables le deveet O terroge au hasard ue persoe das la populato du pays et o ote : F 0 l évéemet «la persoe terrogée a ue opo favorable dès l électo du présdet» de probablté p 0 et F 0 sot évéemet cotrare ; F 1 l évéemet «la persoe terrogée la 1er mos a ue opo favorable» de probablté p 1 et F 1 so évéemet cotrare 1) Recoper et compléter l arbre podéré suvat : 2) Motrer que : p =,9 p 0, 04 1 0 0 + Pour la sute de l exercce, o doe p 0 = 0,55 et o ote, pour tout eter aturel, F l évèemet «la persoe terrogée le ème mos a ue opo favorable» et p sa probablté O admet de plus, que pour tout eter aturel, o a : p + 1 = 0,9 p + 0, 04 3) O cosdère l algorthme suvat : a) Ecrre ce qu affche cet algorthme lorsque l utlsateur etre la valeur N = 1 b) Doer le rôle de cet algorthme u défe pour tout eter aturel par : u p 0, 4 4) O cosdère la sute ( ) u est géométrque de raso 0,9 et précser u 0 b) E dédure l expresso de u e focto de pus de p et terpréter le résultat a) Démotrer que ( ) c) Détermer la lmte de la sute ( ) = p e focto de 5) Résoudre à la calculatrce l équato : 0,15 0,9 + 0,4 0, 45 Iterpréter
Iterrogato de mathématques Exercces préparés à la maso Nveau : Thème : Probabltés, codtoemet et partto Exercce 1 : Bac ES La Réuo 2011 E vue de sa prochae brochure d formato sur les dagers d teret u lycée a fat remplr u questoare à chacu des 2000 élèves, réparts das les sectos de secode, premère et termale O obtet la répartto suvate : u quart des élèves est e termale ; 35% des élèves sot e premère ; tous les autres sot e secode ; parm les élèves de termale, 70% utlset régulèremet teret ; 630 élèves sot des élèves de premère qu utlset régulèremet teret 1740 élèves utlset régulèremet teret Cette equête permet de modélser le chox d u élève du lycée O chost au hasard u questoare d élève e supposat que ce chox se fat e stuato d équprobablté O ote : S l évèemet «le questoare est celu d u élève e classe de secode» P l évèemet «le questoare est celu d u élève e classe de premère» T l évèemet «le questoare est celu d u élève e classe de termale» I l évèemet «le questoare est celu d u élève qu utlse régulèremet teret» 1) Motrer que 350 élèves de termale utlset teret régulèremet 2) Recoper et compléter le tableau d effectfs doé c-dessous : 3) Détermer la probablté d obter le questoare d u élève de secode qu utlse régulèremet teret 4) Calculer la probablté de I sachat T, otée P T ( I ), et terpréter ce résultat à l ade d ue phrase 5) Calculer la probablté que le questoare chos sot celu d u élève qu utlse pas teret 6) Le questoare est celu d u élève qu utlse régulèremet teret Motrer que la 21 probablté que ce sot le questoare d u élève de premère est égale à 58 7) O chost au hasard, successvemet et avec remse, tros questoares O ote X la varable aléatore comptablsat le ombre de questoare correspodat à u élève utlsateur réguler d teret sur ce groupe de 3 a) Doer, e la justfat, la lo suve par X b) Quelle est la probablté que, parm les tros questoares, u exactemet sot celu d u élève utlsateur réguler d teret? Arrodr au mllème E X? Tradure ce résultat par ue phrase c) Que vaut ( )
Exercce 2 : Bac ES Podchéry 2010 Lors des jourées «rouges» selo Bso Futé, l autoroute qu rele Pars à Marselle est surchargée Il est doc cosellé de predre u térare de délestage etre Beaue et Valece (qu e passe pas par Lyo) af d évter les évetuels «bouchos» autorouters Etre Valece et Marselle l est égalemet cosellé de predre la route départemetale représetée par des potllés sur la carte Bso Futé a publé les résultats d ue étude portat sur les habtudes des automoblstes sur le trajet etre Pars et Marselle lors de ces jourées «rouges» 40% des automoblstes preet l térare de délestage etre Beaue et Valece parm les automoblstes ayat suv l térare de délestage etre Beaue et Valece, 30% preet la route départemetale de Valece à Marselle parm les automoblstes ayat pas suv l térare de délestage etre Beaue et Valece, 60% preet la route départemetale de Valece à Marselle O ote : B l évèemet : «l automoblste pred l térare de délestage etre Beaue et Valece» et B l évèemet cotrare V l évèemet : «l automoblste pred la route départemetale etre Valece et Marselle» et V l évèemet cotrare 1) Représeter la stuato à l ade d u arbre podéré 2) Motrer que la probablté P ( B V ) = 0, 24 et terpréter ce résultat 3) Calculer la probablté que l automoblste e chossse pas la route départemetale etre Valece et Marselle 4) O doe les temps de parcours suvats : Pars Beaue (par autoroute) : 4h; Beaue Valece (par autoroute, e passat par Lyo) : 5h ; Beaue Valece (par térare de délestage e passat pas par Lyo) : 4h ; Valece Marselle (par autoroute) : 5h ; Valece Marselle (par la route départemetale) : 3h a) Calculer les temps de parcours etre Pars et Marselle, selo l térare chos b) Recoper et compléter le tableau c-dessous doat la lo de probablté de la durée du trajet pour se redre de Pars à Marselle selo l térare chos c) Calculer l espérace de cette lo e heures et e doer ue terprétato (la coverso e heure mute secode est pas attedue)
Exercce 3 : Bac ES Amérque du Nord 2015 Les partes A et B sot dépedats Das u grad collège, 20,3% des élèves sot scrts à l assocato sportve Ue equête a motré que 17,8% des élèves de ce collège sot fumeurs De plus, parm les élèves o fumeurs, 22,5% sot scrts à l assocato sportve O chost au hasard u élève de ce collège O ote : S l évèemet : «l élève chos est scrt à l assocato sportve» ; F l évèemet : «l élève chos est fumeur» Rappel des otatos : S A et B sot deux évèemets, P ( A) désge la probablté de l évèemet A et ( A) désge la probablté de l évèemet A sachat que l évèemet B est réalsé O ote A l évèemet cotrare de A Das cet exercce, les résultats serot arrods au mllème Parte A : 1) D après les doées de l éocé, précser les valeurs des probabltés P ( S ) et ( S ) P F 2) Recoper l arbre c-dessous et remplacer chacu des quatre potllés par la probablté correspodate P B 3) Calculer la probablté de l évèemet F S et terpréter le résultat 4) O chost au hasard u élève parm ceux scrts à l assocato sportve Calculer la probablté que cet élève sot o fumeur 5) O chost au hasard u élève parm les élèves fumeurs Motrer que la probablté que cet élève sot scrt à l assocato sportve est de 0,101 Parte B : Ue lotere, à laquelle tous les élèves du collège partcpet, est orgasée pour la jourée aversare de la créato du collège Quatre lots sot offerts O admet que le ombre d élèves est suffsammet grad pour que cette stuato sot assmlée à u trage avec remse O rappelle que 20,3% de l esemble des élèves sot scrts à l assocato sportve E justfat la démarche, calculer la probablté que parm les quatre élèves gagats, l y at au mos u qu sot scrt à l assocato sportve