LEÇON N 3 : Relations métriques dans le triangle rectangle. Trigonométrie. pplications. Pré-requis : Géométrie plane, angle géométrique, mesures algébriques ; Transformations du plan (construction d images, propriétés) ; Théorèmes de Thalès et des milieux. On se place dans un plan affine euclidien P. Nous adopterons aussi quelques notations : étant donné un triangle, on note respectivement Â, et Ĉ les mesures dans [0,π] des angles géométriques du triangle. sera systématiquement le milieu du segment [] et le projeté orthogonal de sur (). Ĉ Â 3. Relations métriques Définition : Un triangle est dit rectangle en s il admet un angle droit en (autrement dit, si () ()). Le côté [] est alors appelé hypothénuse du triangle. Proposition : L aire d un triangle rectangle en est () =. D après le théorème des milieux, est sur la médiatrice de [], ce qui implique que = =. Soit alors D le symétrique de par rapport à. On a ainsi que les segments [] et [D] se coupent en leur milieu et ont même longueur. Le quadrilatère D est donc un rectangle donc l aire vaut. L aire du triangle est alors im- médiatement la moitié de l aire du rectangle, puisque l hypothénuse n est autre qu une diagonale de ce dernier, et il vient que () =. / / / / D Proposition : est rectangle en si et seulement =.
Relations métriques dans le triangle rectangle Le sens direct a été montré dans la démonstration précédente. Montrons alors le sens indirect. Les triangles et sont tous deux isocèles en, ce qui signifie que  = + Ĉ. Or, la somme des angles d un triangle rectangle étant égale à l angle plat, on a  + + Ĉ = π  = π  = π/. La figure correspond au sens indirect, et le résultat est ainsi démontré. Théorème (de Pythagore) : est un triangle rectangle en si et seulement si = +. "= " : On construit la figure ci-contre à partir du triangle. DEF et G sont des carrés, de sorte qu on puisse en tirer deux égalités pour (DEF) : F c b a a E G (DEF) = (b + c) = a + 4 bc. c En développant et simplifiant, on trouve directement que + =. " =" : Supposons + =. Soient le demi-cercle de diamètre [] contenu dans le demi-plan de frontière () et contenant le point, et le projeté orthogonal de sur (). lors () = { } prop rect. en "= " = +, d où + = +. En utilisant à nouveau le sens direct dans les triangles rectangles, et,, on trouve l égalité + + + = + + +, c est-à-dire =. Pour conclure, il suffit de remarquer que les points, et sont alignés et qu ils sont contenus dans le même demi-plan (avec en particulier sur la frontière) pour affirmer que =, soit =. b D Remarques : * Dans la démonstration du sens " =" de la démonstration précédente, la seule hypothèse que + = ne nous garantit pas que () et aient une intersection commune. Mais puisque est rectangle en, on a = + (grâce au sens direct), donc <. L hypothèse + = donne <. On en déduit que <. Grâce au triangle rectangle, on montre de même que <, d où []. * ette démonstration est beaucoup plus rapide avec le produit scalaire (que nous n avons pas mis en pré-requis). En effet, = ( + ) = + +. l suffit alors de remarquer que est rectangle en = 0 = +. * Voici une autre expression de l aire d un triangle rectangle : Exercice : Soit Ω le centre du cercle inscrit du triangle rectangle en, et Ω son projeté orthogonal sur []. Monrer que () = dd, où d = Ω et d = Ω.
Relations métriques dans le triangle rectangle 3 Solution : Outre les notations déjà introduites, nous allons noter (resp. K) le projeté orthogonal de Ω sur [] (resp. []), de sorte que le quadrilatère ΩK soit un carré, donc que = K = r, où r désigne le rayon du cercle inscrit. De plus, les triangles ΩΩ et ΩΩ sont isométriques, d où = Ω, et l on montre de la même manière que K = Ω. Par suite, () = = ( + )(K + K) = (r + d)(r + d ) = (rd + rd + r + dd ). On applique ensuite le théorème de Pytagore dans le triangle rectange pour déterminer que (d+d ) = (r+d) +(r+d ) d + d + dd = r + r(d + d ) + d + d dd = rd + rd + r, et notre égalité trouvée tout-à-l heure devient alors () = (rd + rd + r + dd ) = (dd + dd ) = dd, ce qui démontre notre résultat somme toutes étonnant. d Ω Ω d Exemple d application (la spirale des racines entières) : On part d un triangle isocèle rectangle dont les côtés autres que l hypoténuse mesurent unité. L hypoténuse mesure alors unités. On place un triangle rectangle sur cette hypoténuse, son côté adjacent à l angle droit mesurant unité. lors l hypoténuse de ce nouveau triangle mesure 3 unités, et ainsi de suite...... 7 6 5 4 3 Proposition 3 : Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) est rectangle en ; (ii) = ; (iii) =. Montrons d abord (i) (ii). onsidérons le symétrique de par rapport à, et le projeté orthogonal de sur (). Puisque l aire du parallélogramme vaut le double de celle du triangle, il vient que Par suite, = =. / / = = = min Ω () Ω = rectangle en. Montrons ensuite (i) (iii). On a : rectangle en et sont semblables = =.
/ 4 Relations métriques dans le triangle rectangle Remarques : * Dans cette proposition, les mesures algébriques sont importantes! En effet, en supposant l égalité (iii) vraie sans mesures algébriques, la figure ci-dessous permet de montrer qu on a aussi = (car a été construit de sorte que = ), mais le triangle n est en aucun cas rectangle en. / * Pour conserver cet énoncé au niveau fin de collège, on peut démontrer l équivalence (i) (iii) de la manière suivante, en utilisant à trois reprises le théorème de Pythagore : commençons par remarquer que = ( ) = + = = + = +. l s ensuit que, en utilisant l égalité précédente : = ( ) + ( ) rectangle en = = + =. Exercice : Montrer que l on a aussi l équivalence rectangle en =. Solution : On procède comme précédemment en trouvant deux triangles semblables : c est le cas des triangles et. Pour que l équivalence soit correcte, il faut préciser que et doivent être de part et d autre du point sur la droite (). insi, rectangle en et semblables = =, et le résultat est démontré. l est laissé au lecteur le soin de trouver une démonstration n utilisant pas les triangles semblables. 3. Relations trigonométriques Proposition 4 : Soient une triangle rectangle en, et [], [] tels que ( ) / (). lors on a les égalités suivantes : En particulier, on a aussi = =. =, =, =.
Relations métriques dans le triangle rectangle 5 La double-égalité annocée découlent directement du théorème de Thalès dans les triangles et, après avoir vérifiée que les hypothèses s appliquent, ce qui est le cas! De plus, les trois autres égalités se déduisent de la première double-égalité. Définition : Dans le triangle rectangle en, on définit : cos =, sin =, tan =. Remarques 3 :. cos + sin =. En effet, c est une conséquence directe du théorème de Pythagore : cos + sin = + = + = =.. tan = sin /cos. 3. 0 cos, 0 sin et 0 < tan. ette définition va nous permettre de pouvoir donner une autre formule de l aire d un triangle quelconque, autre que celle donnée en pré-requis : Théorème : Soit PQR un triangle quelconque. lors on a indifféremment : (PQR) = PQ PR sin P = QR QP sin Q = RP RQ sin R. Soit Q le projeté orthogonal de Q sur (PR). lors le triangle P Q Q est rectangle en Q, de sorte que sin P = Q Q /PQ, soit Q Q = PQsin P. l s en suit que Q (PQR) = PR Q Q = PR PQ sin P. P Q Les deux autres égalités s obtiennent par permutation circulaire des points P, Q et R. R Exercice (topographie) : Déterminer la hauteur d une montagne en fonction de la distance et des angles α et β (les notations sont celles de la figure ci-dessous).
6 Relations métriques dans le triangle rectangle S α β On a que S = tan α en utilisant la définition dans le triangle rectangle S, et cette même définition appliquée au triangle rectangle S donne l égalité S = tan β. Or = + puisque les points, et sont alignés dans cet ordre, et on en déduit que ( S = tan α( + ) = tan α + S tan β ( S tan α ) = tan α S = tan β ) tan β tan α tan β tan α. Par exemple (les longueurs sont exprimées en mètres et les mesures d angles en degrés), pour = 000, α = 50, 35 et β = 58, 03, on trouve S = 4807. De quelle montagne pourrait-il s agir??