EQUATIONS DIFFERENTIELLES
.Définition On appelle équation différentielle du n ième ordre une relation de la forme : f [ ( )] n x,,, K, 0 entre la variable réelle x, une fonction inconnue (x) et les dérivées successives de cette fonction. Résoudre ou intégrer une équation différentielle correspond à trouver l ensemble des solutions
. Equations différentielles du premier ordre Equations à variables séparables : Elles sont de la forme : f g ( ) f et g sont deux fonctions quelconques. Pour les résoudre on remplace par d/dx. L équation différentielle s écrit alors : g ( ) d f dx soit g( ) d f dx
. Equations différentielles du premier ordre Equations homogènes par rapport à x et : Elles s écrivent sous la forme : f x Pour les résoudre, on effectue le changement de fonction t /x pour se ramener à une équation à variables séparables On a alors : t soit x ( t) t + t x f d' où tx dx x f dt ( t) t ln x K dt f t ( t)
. Equations différentielles du Equations linéaires : premier ordre On appelle équation linéaire du premier ordre une équation de la forme : + b c a On associe à cette équation l équation sans second membre : a + b 0 Théorème : la solution générale d une équation différentielle linéaire du premier ordre est la somme de l intégrale de l équation sans second membre et d une intégrale particulière de l équation complète.
. Equations différentielles du premier ordre Lorsque la solution particulière est inconnue, on utilise la méthode de la variation de la constante : Lorsque l équation sans second membre est à variables séparables, on a : d On fait alors le changement de variable b b dx soit K exp dx a a K z K z + K z Et on reporte dans l équation complète : a [ K' z + K z ] + b K z c soit K a c z
. Equations différentielles du Equations de Bernouilli : Elles sont de la forme : premier ordre b m + a Pour les résoudre, on se ramène à une équation linéaire en divisant les deux membres par m et en faisant un changement de variable en : ( m) z avec z m m L équation est alors linéaire du premier ordre : z + a m z b
. Equations différentielles du Equations de Ricatti : Elles sont de la forme : premier ordre On ne peut intégrer ces équations que si l on connaît une solution particulière. Le changement de variable + z transforme l équation en : + z a x + z + b x + z + c x + b c a + ( )( ) ( )( ) ( ) Puisque est une solution particulière, on a : Au final, on se retrouve donc avec une équation de Bernouilli avec m. z a z + [ a + b ]z + b c a +
3. Equations diff. du second ordre à Préambule : coefficients constants On appelle équation différentielle linéaire du second ordre une équation de la forme : + b + c f a Une équation à coefficients constants est de la forme : a + b + c Théorème : On obtient l intégrale générale d une équation linéaire du second ordre à coefficients constants en ajoutant une intégrale particulière de cette équation à l intégrale générale de l équation sans second membre f
3. Equations diff. du second ordre à coefficients constants Résolution de l équation sans second membre : On associe à l équation sans second membre : l équation caractéristique : On distingue 3 cas : a + b + c 0 a r + b r + c discriminant positif : r et r sont solutions de l équation caractéristique. La solution générale est de la forme : C exp r x + C exp r x discriminant nul : l équation caractéristique admet une racine double r. La solution générale est de la forme : C x C exp rx discriminant négatif : l équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées α±iβ. La solution est de la forme : exp( αx) [ C cos( βx) + C sin( βx) ] 0 ( ) ( ) ( ) ( ) +
3. Equations diff. du second ordre à coefficients constants Résolution de l équation sans second membre : Il faut ajouter à la solution générale de l équation sans second membre une solution particulière de l équation complète. Celle-ci se détermine selon la nature du second membre : Polnôme de degré n : a + b + c n Si c 0, on cherche une intégrale particulière sous la forme d un polnôme de degré n. Si c 0 et : polnôme de degré (n+) Si c 0 et b 0 : on intègre fois Produit d une exponentielle et d un polnôme : a + b + c On se ramène au cas précédent en posant : exp exp( mx)z P ( mx) P n
3. Equations diff. du second ordre à coefficients constants Somme de fonctions trigonométriques : a + b + c A cosωx B sinωx + Si iω n est pas racine de l équation caractéristique, on cherche une soluion particulière sous la forme : Acos ωx + Bsinωx Si iω est solution de l équation caractéristique, la solution particulière sera de la forme : x ( Acos ωx + Bsinωx) Produit d une exponentielle et d une somme de fonctions trigonométriques : a + b + c ( mx)[ A cosωx B sinωx] exp + On se ramène au cas précédent par le changement de variable : exp( mx)z
3. Equations diff. du second ordre à coefficients constants Somme de plusieurs fonctions : a + b + c f x + f x + K+ ( ) ( ) f On cherche alors des intégrales particulières des équations qui ont respectivement pour second membre f i (x). La somme des i est une intégrale particulière de l équation proposée n