Les fonctions logarithmes

DOCUMENT 34 Les fonctions logarithmes. Eistence des fonctions logarithmes.. L aspect algébrique. L idée de transformer les produits de nombres réels en sommes, afin de simplifier les calculs numériques, est apparue au XVI e siècle et sa concrétisation a été l œuvre de Neper (550-67) qui a établi les premières tables de logarithmes. D un point de vue mathématique, il s agit d étudier les fonctions f vérifiant f(y) = f() + f(y) Si dans (L) on prend y = 0 alors f(0) = f(0) + f() et donc, pour pour tout R, f() = 0. La fonction nulle est la seule fonction définie sur R vérifiant (L). Ce cas étant sans intérêt, on considère maintenant (L) pour des fonctions définies sur R. Avec = y =, on a f() = 2f() d où f() = 0. Si = y = alors f() = 2f( ) et donc f( ) = 0. Ainsi, f( ) = f(.) = f( ) + f() = f() et f est une fonctions paire. On peut donc se limiter à chercher les applications de R + dans R vérifiant la relation fonctionnelle (L). (L) Propriétés algébriques d une solution f de (L) sur R +. f() = 0 Pour tout > 0, f( ) = f() (0 = f() = f( ) = f() + f( )). Pour tout entier n Z et tout > 0, f( n ) = nf(). On démontre d abord la relation pour n N par récurrence et ensuite on écrit f( n ) = f( n ) si n < 0 et on utilise f( ) = f(). Pour tout r Q et tout > 0, f( r ) = rf() En effet, si r = p q, p Z, q Z alors p p qf(q ) = f(( q ) q ) = f( p ) = pf() p d où f(q p ) = q. l application identiquement nulle de R + dans R est solution de (L) et c est la seule fonction constante solution de cette équation. Si f est solution de (L) alors, pour tout k R, la fonction kf est aussi solution de (L). Remarques. ) Une solution de (L) sur R + est un morphisme du groupe (R +,.) dans le groupe (R, +). Les propriétés précédentes, autres que f( r ) = rf(), résultent de ce fait. 37

372 34. LES FONCTIONS LOGARITHMES 2) Si > 0 et y R alors on sait que ln y = y ln mais ce résultat n est pas a mentionner dans ce document car pour définir en général y il est nécessaire de disposer de la fonction eponentielle qui sera définie comme fonction réciproque de la fonction logarithme népérien ( y = e y ln )..2. Eistence de solutions de (L) continues et non constantes. Il est naturel de chercher les solutions de (L) vérifiant une condition de continuité. La proposition suivante va montrer que la plus faible, la continuité en un point, entraine la continuité et même la dérivabilité sur R +. Cette proposition permettra aussi de montrer l eistence de solutions de (L) continues et non constantes. Proposition 34.. Pour toute application f de R + dans R, il y a équivalence entre : () La fonction f est continue en un point et vérifie, y R +, f(y) = f() + f(y) (L); (2) f() = 0, la fonction f est dérivable sur R + et il eiste k R tel que f () = k. Preuve. () (2). On sait que f() = 0. Supposons f continue en a R + et soit 0 R +. Pour tout R, on a : f() f( 0 ) = f() f(a) + f(a) f( 0 ) = f( a ) f(a). 0 En utilisant le théorème sur la limite d une fonction composée et la continuité de f en a, lim f( a ) = f(a) d où lim f() f( 0 ) = 0 et la continuité de f en 0 et donc sur R +. 0 0 0 Les applications y f(y) et y f(y) sont continues sur R + et donc intégrables sur [, 2]. La relation (L) entraine 2 f(y)dy = 2 f()dy + 2 f(y)dy = f() + Le changement de variable u = y dans la première intégrale donne et finalement 2 f(y)dy = 2 2 f(u)du 2 2 f(y)dy. f() = f(u)du f(y)dy ce qui montre que f est dérivable sur R +. Pour trouver une epression simple de sa fonction dérivée, on dérive les deu membres de (L) par rapport à y ce qui donne f (y) = f (y). La valeur y = conduit à f () = f () d où, en posant k = f (), f () = k. (2) (). Soit f vérifiant 2). Les applications g et h définies sur R + pour y > 0 par g() = f(y) et h() = f() + f(y) sont dérivables et g () = ky y = k, h () = k = g (). Il eiste donc λ R tel que, pour tout R +, g() = h() + λ et la valeur = donne g() = h() + λ d où λ = 0 car h() = f() + f(y) = f(y) = g(). Finalement, pour tout

2. DÉFINITION ET ÉTUDE DES FONCTIONS LOGARITHMES 373, y R +, f(y) = f()+f(y). La relation (L) est vérifiée et, f étant dérivable, f est continue en un point. La proposition précédente entraine que l équation fonctionnelle (L) admet comme ensemble de solutions continues en un point toutes les application R dt + k, k R. Toutes les t solutions de (L) continues en un point sont dérivables. On a donc trouvé toutes les solutions continues de (L) à l aide du théorème affirmant que toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive. 2. Définition et étude des fonctions logarithmes Définition 34.. Les fonctions différentes de la fonction nulle et qui vérifient les conditions équivalentes ) et 2) de la proposition précédente sont appelées les fonctions logarithmes. Si pour une fonction logarithme f, on a f () = k, alors la condition f() = 0 entraine que f() = k Toutes les fonctions logarithmes sont donc proportionnelles à l une d entre elles. Celle qui est obtenue en prenant k = est appelée fonction logarithme népérien et notée ln. On a pour > 0, ln() = t dt. t dt. 2.. Etude de la fonction logarithme népérien. Théorème 34.. La fonction logarithme népérien est une bijection strictement croissante et indéfiniment dérivable de R + sur R. C est une application strictement concave. Preuve. Par définiton, la fonction logarithme népérien est dérivable sur R +avec (ln) () =. Elle est donc strictement croissante et indéfiniment dérivable. Le fait que son image soit R va résulter de la partie 2) de la proposition suivante qui donne quelques limites liées à cette fonction. On peut aussi dire que l image de cette application est à la fois un intervalle (c est une application continue) et un sous groupe additif de R (c est un homomorphisme). Son image est donc R si l on sait que les sous groupes de R sont discrets ou partout denses. Comme ln () = 2 < 0, la fonction logarithme népérien est strictement concave sur R +. Proposition 34.2. () Pour tout > 0, ln avec ln = si et seulement si =. Pour >, on a de plus < ln. (2) lim ln = + et lim ln =. + (3) lim + ln 0 = 0 et lim ln = 0. 0 ln( + ) (4) lim =. Autrement dit, au voisinage de 0, ln( + ). 0

374 34. LES FONCTIONS LOGARITHMES Preuve. ). Soit h : R + R définie par h() = ln. La fonction h est dérivable et h () = =. La fonction h est strictement décroissante sur ]0, ] et strictement croissante sur [, + [. Comme h() = 0, elle est positive et strictement positive sur ]0, [ ], + [. (L inégalité h() 0 peut aussi se démontrer en utilisant la concavité de la fonction logarithme et la tangente au point (, 0). On peut aussi l obtenir en intégrant entre et la fonction t t.) Pour obtenir la seconde inégalité, il suffit de remplacer par dans la première. 2). Soit A R. La fonction logarithme népérien étant strictement croissante, ln 2 > ln = 0, et R étant archimédien, il eiste n N tel que n > A ln 2. Posons B = 2n. Si > B alors ln > ln B = n ln 2 > A et par suite, 0 lim ln = +. + On a lim + = lim ln. A fortiori, lim ln = (limite d une restriction). 0 0 = + et, par le théorème sur la limite d une fonction composée, lim 0 ln = 3). Par l inégalité ), ln <. On a donc 2 ln < d où, pour >, 0 < ln < 2 ln et par suite lim + = 0. Le théorème sur la limite d une fonction composée donne lim et lim 0 ln = 0. 0 ln = 0 d où lim 0 ln = 0 4). Cette égalité ne fait que traduire ln () =. Représentation graphique. En utilisant les deu résultats précédents on peut représenter le graphe de la fonction logarithme népérien dans un plan affine euclidien muni d un repère

2. DÉFINITION ET ÉTUDE DES FONCTIONS LOGARITHMES 375 orthonormé (O, i, j ). Ce graphe posséde l asymptote y = 0 pour 0 et a une branche parabolique de direction (O, i ) pour +. Le nombre e La fonction ln étant une bijection de R + sur R, il eiste un unique nombre réel, noté e, tel que ln e = 0. Comme ln est croissante et ln = 0, e >. On a e dt = t et l application t étant convee sur [, e] son graphe est au-dessous de la corde définie par t les points (, ) et (e, + e ). Il est aussi au-dessus de la tangente au point milieu ( e 2, 2 ). Il + e en résulte que 2 + e (e ) 2 (e )( + e ). La première inégalité donne e 3 et la seconde équivaut à 0 e 2 2e ce qui montre que e n appartient pas à l intervalle des racines du trinôme 2 2. Quelques calculs et on a e + 2. Finalement + 2 e 3. Dans le document 3, on a montré que e = lim u n avec u n = + n! +... +. Si la suite n! (v n ) est définie par v n = u n + n! alors on montre facilement que les suites (u n) et (v n ) sont adjacentes d où pour tout entier n, u n < e < v n. Ces inégalités permettent d obtenir des encadrements de e plus précis que le précédent et aussi de prouver que e / Q.

376 34. LES FONCTIONS LOGARITHMES En effet, si e Q alors e = p q avec p, q N et u q < p q < u q +. Donc A < p(q )! < A+ q! où A est l entier q!( +! +... + ). C est absurde et donc e est irrationnel. q! Eercices. ) Montrer que la fonction logarithme népérien n est pas un fonction fraction rationnelle. Solution. Supposons que ln = P (), P et Q étant des polynômes. Par Q() lim on a deg P deg Q +. Or ln = P () Q() d où lim ln + absurde. ln = +, + 0 car deg P deg Q. C est Remarque. Cet eercice montre que contrairement au autres puissances entières de, il n est pas possible d eprimer une primitive de sous forme d une fraction rationnelle. C est l un des intérêts de la fonction logarithme. 2). Soit (u n ) la suite définie pour n > 0 par Montrer que cette suite est convergente. u n = + 2 +... + ln n. n Solution. Soit n N. Si n n + alors n + n d où n+ n+ n n + d n+ n d n n d ou encore n + ln(n + ) ln n n. (Cette double inégalité s obtient aussi en remplaçant dans ln si >, par n + n.) Par addition et pour n 2 n ln n = ln(k + ) ln k k= et donc la suite (v n ) est minorée par 0 (v = ). Cette suite est décroissante car v n+ v n = ln(n + ) + ln n 0. Elle est donc convergente. n + (La limite de la suite (v n ) est la constante d Euler dont une valeur approchée à 0 4 près est 0,5772.) n k= k n k= k

2. DÉFINITION ET ÉTUDE DES FONCTIONS LOGARITHMES 377 2.2. Etude des fonctions logarithmes. Soit f k, k 0, la fonction logarithme définie par f k () = k dt t = k ln. Cette fonction logarithme étant proportionnelle à la fonction logarithme népérien, c est une bijection de R + sur R et il eiste donc un unique a R + tel que f k (a) =. On a a car f k () = 0 et a est appelé la base de la fonction logarithme f k qui sera maintenant notée log a. On a, pour tout > 0, log a () = ln ln a car = f k (a) = k ln a et donc k =. Remarquons aussi que k étant un élément quelconque ln a de R, a est une élément quelconque de ]0, + [ {}. Il est aisé de déduire à l aide de la relation log a () = ln les propriétés des fonctions ln a logarithmes à partir de l étude de la fonction logarithme népérien. Il y a en général deu cas suivant que a > ou 0 < a <. La représentation graphique suivante résume les propriétés de ces fonctions. 2.3. Caractérisation graphique des fonctions logarithmes. On peut aussi caractériser les fonctions logarithmes à l aide d une propriété de leurs graphes. Considérons le graphe de dt la fonction f k définie par f k () = k dans un plan affine muni d un repère (O, u, v). La t

378 34. LES FONCTIONS LOGARITHMES tangente au point M 0 de coordonnées ( 0, y 0 ) a pour équation y y 0 = f k ( 0)( 0 ) = k 0 ( 0 ). Cette droite rencontre (O, v) au point P dont l ordonnée y P vérifie : y P y 0 = k 0 ( 0 ) = k. Soit Q la projection de M 0 sur (O, v). On a : P Q = OQ OP = y 0 y P = k. Cette quantité est donc constante et ne dépend pas du point M 0 pris sur le graphe de f k. En particulier dans le cas de la fonction logarithme népérien, on a P Q = ce qui permet une construction facile de toutes les tangentes au graphe de cette fonction. Réciproquement, soit f une fonction dérivable de R + dans R telle que f() = 0. Supposons qu il eiste k 0 tel, qu avec les notations précédentes, P Q = k pour tout point M 0 du graphe de f. Si dans l équation de la tangente en M 0 au graphe de f, y y 0 = f ( 0 )( 0 ) on prend = 0 alors y y 0 = f ( 0 ) 0 = QP d où f ( 0 ) 0 = k et donc f ( 0 ) = k 0. Comme de plus f() = 0, la proposition 35 entraine que f est une fonction logarithme car l hypothèse k 0 entraine que f n est pas constante. 3. Eemples d intervention 3.. En algèbre. Une conséquence du théorème 34. et de la proposition 34. est que les groupes (R +,.) et (R, +) sont isomorphes et que les fonctions logarithmes sont tous les isomorphismes continus de (R +,.) vers (R, +). L application constante égale à 0 est le seul homomorphisme continu non bijectif entre ces deu groupes. Ces isomorphismes sont de classe C et ce sont même des difféomorphisme de classe C car la fonction dérivée d une fonction logarithme ne s annule jamais (voir la proposition 26.2 du document 26 ). Si on prolonge par parité les fonctions logarithmes à R on obtient tous les homomorphismes continus de (R,.) dans (R, +). Ces homomorphismes ont tous pour noyau {, } et le groupe quotient (R,.)/{, } est isomorphe à (R, +). Remarques. ). Au début de ce document on a montré que tout homomorphisme de (R,.) dans (R, +) est pair et donc non bijectif. Les groupes (R,.) et (R, +) ne sont sont donc pas isomorphes. Cela peut aussi se déduire du fait que dans (R, +) toute équation du type 2 = a a un unique solution alors que dans (R,.) l équation 2 = b possède zéro, une ou deu solutions. 2). Les groupes (Q +,.) et (Q, +) ne sont pas isomorphes : dans le premier l équation 2 = 2 n a pas de solution et dans le second toute équation 2 = a a une solution. 3.2. En analyse.

3. EXEMPLES D INTERVENTION 379 3.2.. Calcul de primitives et d intégrales. Dans le document 26, on a vu que si une fonction f est dérivable au point 0 avec f( 0 ) 0 alors ln f() est dérivable en 0 et (ln f(.) ) ( 0 ) = f ( 0 ). Ce résultat est souvent utilisé pour trouver des primitives et calculer des intégrales. f( 0 ) Eemple.. Sur l intervalle I =] π 2, π [, la fonction cosinus est strictement positive et 2 dérivable. Sur cet intervalle une primitive de tan = sin cos = (cos ) cos est donc ln cos = ln cos et une primitive de la fonction tangente sur I est ln cos = ln cos. Eemple. 2. 0 + 2 d = 2 2 0 + 2 d = 2 [ln( + 2 )] 0 = ln 2. (On peut aussi faire le changement de variables t = + 2.) 3.2.2. Calcul de limites, formes indéterminées. On dit qu au voisinage de 0 une fonction f présente une forme indéterminée s il eiste deu fonctions l et k, définies dans un voisinage V de 0, telles que pour tout de V, f() = (+l()) k() avec lim l() = 0 et lim k() = +. 0 0 Ces deu dernières conditions font qu au voisinage de 0, + l() > 0 et k() > 0. On a au voisinage de 0, ln f() = k() ln( + l()) k()l() et donc lim 0 k()l() eiste et vaut l si et seulement si lim 0 f() eiste et vaut e l. (Dans cette application, on suppose que la fonction eponentielle a été définie afin que ( + l()) k() ait bien un sens.) Par eemple considérons la suite (u n ) définie pour n > 0 par u n = ( + n )n. On a ln u n = n ln( + n ) n n = et donc la suite (u n ) converge vers e. 3.2.3. Dérivée logarithmique. Voir le document 26. 3.3. En arithmétique. 3.3.. Nombre de chiffres dans l écriture d un entier. Si pour un entier b 2, un entier positif n vérifie b k n < b k+, k N, alors l écriture de n en base b contient k + chiffres et k = log b b k log b n < log b b k+ = k +. Le nombre de chiffres de l écriture de n est donc E(log b n) + = E( ln n ln b ) +. Par eemple soit le nombre de Mersene, M = 2 6 972 593. En l an 2000, ce nombre était le plus grand nombre premier connu. L entier n = M + n étant pas divisible par 5, son écriture

380 34. LES FONCTIONS LOGARITHMES en base 0 ne se termine pas par 0 et les écritures en base 0 de M et n ont le même nombre de chiffres, E(log 0 n) +. On a log 0 n = ln n ln 0 et log 2 n = ln n ln 2 d où log 0 n = log 2 n ln 2 = 6972593 ln 2 = 2098959, 64. ln 0 ln 0 Le nombre de chiffres dans l écriture de M en base 0 est donc 2098960. 3.3.2. Nombre de nombres premiers. Le théorème fondamental des nombres premiers, démontré par J. Hadamard et de la Vallée Poussin, affirme qu au voisinage de l infini le nombre π(n) de nombres premiers inférieurs à n est équivalent à n. Voir le document Nombres premier du ln n fascicule. 3.4. En dehors des mathématiques. En sciences epérimentale, il est parfois commode de remplacer la mesure d une grandeur par le logarithme de sa mesure, cette dernière quantité variant dans un intervalle beaucoup plus petit que la première. C est par eemple le cas de l échelle de Richter où en utilisant seulement quelques entiers on peut indiquer simplement la puissance d un tremblement de terre (en fait le logarithme de cette puissance). Donnons plus de détails à propos de la mesure en décibels d une puissance sonore. L intensité en décibels d un phénomêne accoustique est donnée par la formule I = 0 log 0 P P 0 où P est la puissance sonore en watt/m 2 et P 0 le seuil d audibilité (0 6 watt/cm 2 ). Si la puissance sonore passe de P à 0 n P alors l intensité sonore en décibels varie de I à I n avec I n = 0 log 0 0 n P P 0 = 0n + I. Par eemple, si l intensité en décibels augmente de 30 alors la puissance sonore a été multipliée par 000. 4. Compléments 4.. Solution non continue de (L). Dans le document 35, on montre que l équation fonctionnelle g( + y) = g() + g(y) possède des solutions sur R non continues. Si g 0 est l une d entre elles alors f : R + R définie par f() = g 0 (ln ) est une solution non continue de (L) car sinon f(e ) = g 0 () est continue. L équation fonctionnelle (L) possède donc des solutions non continues mais la proposition 35.2 du document 35 montre que différentes hypothèses (monotonie, être bornée sur un intervalle,...) entrainent la continuité d une solution de (L). 4.2. Une autre définition de la fonction logarithme népérien. On peut aussi définir la fonction logarithme népérien directement et sans faire appel à l intégration de la façon suivante. Si f est une application de R + dans R vérifiant f(y) = f( + y) est dérivable au point avec f f() () = alors f() = 0 et lim =. Or f() = nf( n ) et lim n = si > 0 n + d où f( n ) = lim n n = lim f() n n( n )

4. COMPLÉMENTS 38 et finalement f() = lim n( n ). n Pour définir à l aide d une suite la fonction logarithme népérien, il reste à prouver que pour tout > 0 la suite (n( n )) n>0 converge et que si l on pose f() = lim n n( n ) alors cette fonction f possède les propriétés caractéristiques de la fonction logarithme népérien.

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