Fonctions spéciales et évaluation de fonctions

Chapitre 2 Fonctions spéciales et évaluation de fonctions Contenu 2. Introduction....................... 3 2.2 Fonctions transcendantes simples........... 4 2.3 Fonction Gamma..................... 4 2.3. Définition et propriétés................. 4 2.3.2 Fonctions reliées : Ψ, B................. 6 2.4 Fonctions de Bessel................... 8 2.5 Fonctions Hypergéométriques............. 2 2.5. Fonction Hypergéométrique Gaussienne........ 2 2.5.2 Fonctions Hypergéométriques généralisées....... 2 2.6 Fonction erreur, eponentielle intégrale....... 2 2.7 Conclusion........................ 22 2. Introduction Les fonctions spéciales sont définies de manière assez imprécise, puisqu elles regroupent les fonctions que l usage (ou la fréquence d utilisation) a fini par associer à un nom. Parmi ces fonctions, on trouve un grand nombre de fonctions qui sont des solutions d équations différentielles du second ordre, sans que cette propriété soit eclusive. Ces fonctions sont toutefois très utiles, car elles apparaissent très souvent, dès que l on cherche à résoudre des équations différentielles du second ordre dont les coefficients ne sont pas constants. Les fonctions spéciales sont disponibles en programmation sous la forme de bibliothèques. Elles sont aussi définies pour un grand nombre d entre elles dans les logiciels de calcul symbolique (Maple, Mathematica,...). Dans la suite de ce cours, nous allons définir une partie d entre elles et décrire les méthodes numériques utilisées dans les bibliothèques de programmes pour le calcul de ces fonctions. 3

Fonctions spéciales et évaluation de fonctions 2 5 5 Γ() -5 - -5-2 -4-3 -2-2 3 4 Fig. 2. La fonction Γ() en fonction de. 2.2 Fonctions transcendantes simples Les fonctions les plus simples que l on rencontre lors de l apprentissage des mathématiques sont tout d abord les monômes, puis les polynômes, et enfin les fractions rationnelles. Le calcul de la valeur de la fonction pour un argument réel ou complee nécessite un nombre fini des quatre opérations élémentaires que sont l addition, la soustraction, la multiplication et la division. Les premières fonctions transcendantes que l on rencontre sont alors les fonctions trigonométriques (sin, cos,tan, arccos, arcsin) ainsi que leurs fonctions inverses. Les fonctions ep et log représentent généralement le reste de l arsenal des fonctions transcendantes définies dans un cursus de premier, voire de second cycle universitaire. 2.3 Fonction Gamma 2.3. Définition et propriétés La fonction Gamma est généralement définie par l intégrale suivante Γ(z) = t z e t dt (2.) quand la partie réelle de z est strictement positive, Re(z) > ). 4

2.3 Fonction Gamma La formule d Euler donne une epression de la fonction Γ pour toute valeur de z complee hormis les valeurs de z entières négatives où la fonction possède des pôles : Γ(z) = lim n n!n z z(z + )... (z + n) En intégrant par parties l équation (2.), on peut facilement montrer que (2.2) Γ(z + ) = zγ(z) (2.3) En vérifiant que Γ() =, on obtient par récurrence que Γ(n + ) = n! (2.4) Avec cette définition, la fonction Γ apparaît comme un prolongement analytique de la fonction factorielle définie sur N. D après l équation (2.2), la fonction Γ a un pôle en et pour toutes les valeurs entières négatives (voir Fig. (2.)). La formule suivante permet de relier la fonction entre les valeurs situées dans le demi-plan complee où Re(z) > et celui où Re(z) < : Γ( z) = π Γ(z) sin(πz) (2.5) Pour calculer numériquement la fonction Γ pour une valeur de z en dehors des pôles, il est nécessaire de développer cette fonction sur la base des polynômes et des eponentielles. La formule la plus précise est celle de Lanczòs. Ce développement est spécifique à la fonction Γ. La formule qui s inspire de la formule de Stirling bien connue pour la fonction factorielle n est valable que pour Re(z) > et est donnée par ( Γ(z + ) = z + γ + 2 2π ) z+ 2 e (z+γ+ 2 ) [ c + c z + + c 2 z + 2 +... + c ] N z + N + ɛ (2.6) où ɛ est le paramètre estimant l erreur. Pour le choi particulier γ = 5, N = 6 et c très voisin de, on a ɛ < 2.. Il est difficile de calculer la fonction Γ pour des valeurs de z un peu importantes. Cela résulte de la croissance très rapide de la fonction Γ. On peut montrer que la fonction Γ croît plus vite que toute eponentielle, comme de manière analogue on montre que l eponentielle croît plus vite que tout polynôme. On dit parfois que la fonction Γ a une croissance super-eponentielle. Dans de nombreuses formules, la fonction Γ apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur d une epression. Chacun des termes peut être très important, mais le rapport est souvent un nombre relativement modeste. Pour calculer numériquement ce type d epression, il est préférable de calculer ln(γ(z)) (voir Fig. 2.2). Ainsi la fraction est alors l eponentielle de la différence de deu logarithmes. Tous les nombres qui interviennent dans ce calcul sont eponentiellement plus petits que ceu qui apparaissent dans un calcul direct, on évite ainsi le dépassement de capacité de l ordinateur. 5

Fonctions spéciales et évaluation de fonctions 2 5 ln(γ() 5 2 4 6 8 Fig. 2.2 La fonction ln(γ()) en fonction de. On définit la fonction γ incomplète comme γ(a, ) = La fonction normalisée suivante P (a, ) t a e t dt (2.7) P (a, ) = γ(a, ) Γ(a) (2.8) est parfois appelée aussi fonction Gamma incomplète. On peut montrer que P (a, ) est monotone croissante avec. La fonction est très proche de quand est inférieur à a et proche de quand est très supérieur. La variation entre ces deu valeurs apparaît autour de l abscisse a et sur une largeur de l ordre de a (voir figure 2.3). 2.3.2 Fonctions reliées : Ψ, B A partir de la fonction Γ, on définit des fonctions dérivées. En raison de leur grande fréquence d utilisation, elles ont reçu un nom. Ainsi, la fonction Ψ, appelée aussi fonction Digamma est définie comme la dérivée logarithmique Noter que dans le logiciel Maple, la fonction Gamma et les fonctions Gamma incomplètes sont les seules fonctions définies avec des lettres capitales. 6

2.3 Fonction Gamma.8 a= a=3.6 a= P(a,).4.2 2 4 6 8 2 4 Fig. 2.3 La fonction P (a, ) en fonction de pour trois valeurs de a (a =, 3, ). de la fonction Gamma 2 : Ψ() = d ln(γ()) d (2.) Parmi les propriétés remarquables de la fonction Ψ, notons que, pour des valeurs entières, on a n Ψ(n) = γ + i où γ =.577... est la constante d Euler. i= (2.) Les fonctions Beta qui sont notées paradoalement avec un B sont définies par la relation : B(z, w) = Γ(z)Γ(w) Γ(z + w) (2.2) 2 On définit aussi les fonctions polygamma comme une généralisation de la fonction Digamma Ψ(n, ) = dn Ψ() d n (2.9) 7

Fonctions spéciales et évaluation de fonctions.5 Y ν (),J ν () -.5 - -.5 J J J2 J3 Y Y Y2 Y3-2 2 4 6 8 Fig. 2.4 Les quatre premières fonctions de Bessel entières de première espèce et de deuième espèce. Ces fonctions sont présentes dans toutes les bibliothèques mathématiques de programmation, dans les logiciels de calcul symbolique comme Maple et dans un logiciel graphique comme mgrace. 2.4 Fonctions de Bessel Les fonctions de Bessel sont définies de la manière suivante : considérons l équation différentielle du second ordre 2 y + y + ( 2 ν 2 )y = (2.3) Les solutions de cette équation sont appelées fonctions de Bessel de première et de deuième espèce : La solution finie à l origine et notée J ν () est appelée fonction de Bessel de première espèce et la seconde solution notée Y ν () est appelée fonction de Bessel de deuième espèce. Si ν n est pas un entier, ces fonctions sont reliées par la relation suivante : Y ν () = J ν() cos(νπ) J ν () sin(νπ) (2.4) La figure 2.4 représente graphiquement les fonctions de Bessel de première et de seconde espèces pour les quatre premières valeurs entières de ν Le comportement asymptotique des fonctions de Bessel de première et de 8

2.4 Fonctions de Bessel 4 3.5 3 2.5 I I I2 I3 K K K2 K3 K ν (),I ν () 2.5.5 2 4 Fig. 2.5 Les quatre premières fonctions de Bessel entières modifiées de première et de deuième espèce. Ces fonctions sont présentes dans toutes les bibliothèques mathématiques de programmation, dans les logiciels de calcul symbolique comme Maple et dans un logiciel graphique comme mgrace. seconde espèce est le suivant 2 J ν () (cos( νπ/2 π/4)) (2.5) π 2 Y ν () (sin( νπ/2 π/4)) (2.6) π Soit l équation différentielle du second ordre 2 y + y ( 2 ν 2 )y = (2.7) Les solutions de cette équation sont appelées fonctions de Bessel modifiées. La solution finie à l origine et notée I ν () est appelée fonction de Bessel modifiée de première espèce et la seconde solution notée K ν () est appelée fonction de Bessel modifiée de seconde espèce. Ces fonctions sont reliées par la relation suivante : K ν () = π(i ν( ) I ν ()) (2.8) 2 sin(νπ) La figure 2.5 représente graphiquement les fonctions de Bessel modifiées de première et de deuième espèce pour les quatre premières valeurs entières de ν. 9

Fonctions spéciales et évaluation de fonctions Le comportement asymptotique des fonctions de Bessel modifiées est le suivant : ez I ν () (2.9) 2π π K ν () 2 e z (2.2) Les fonctions de Hankel H,ν and H 2,ν sont appelées fonctions de Bessel de troisième espèce et sont définies par la relation 2.5 Fonctions Hypergéométriques H,ν () =J ν () + iy ν () (2.2) H 2,ν () =J ν () iy ν () (2.22) 2.5. Fonction Hypergéométrique Gaussienne Les fonctions hypergéométriques gaussiennes sont définies comme étant les solutions de l équation différentielle suivante. ( )y + [c (a + b + )]y aby = (2.23) où a, b et c sont des constantes. Si c, a b et c a b sont non entiers, la solution générale de cette équation est y = F (a, b; c; ) + B c F (a c +, b c + ; 2 c; ) (2.24) La fonction F peut être eprimée sous la forme d une série F (a, b; c; ) 2 F (a, b, c; ) = Γ(c) Γ(a)Γ(b) n= Γ(a + n)γ(b + n) n Γ(c + n) n! (2.25) Cette série converge uniformément à l intérieur du disque unité. Dès que a, b ou c sont entiers, la fonction hypergéométrique peut se réduire à une fonction transcendante plus simple. Par eemple, 2 F (,, 2; ) = ln( ) 2.5.2 Fonctions Hypergéométriques généralisées On définit des fonctions hypergéométriques généralisées de la manière suivante : soit le rapport [ ] a, a 2,..., a p pf q ; z = b, b 2,..., b q k= où on a utilisé la notation de Pochhammer (a) k = Γ(a + k) Γ(a) (a ) k (a 2 ) k... (a p ) k k (b ) k (b 2 ) k... (b q ) k k! (2.26) (2.27) 2

2.6 Fonction erreur, eponentielle intégrale 4 E E 2 3 E 3 E 4 E n () 2 2 3 4 Fig. 2.6 Les quatre premières fonctions eponentielles intégrales (fonctions E n. Ces fonctions sont présentes dans toutes les bibliothèques mathématiques de programmation, dans les logiciels de calcul symbolique comme Maple et dans un logiciel graphique comme mgrace. 2.6 Fonction erreur, eponentielle intégrale La fonction erreur et la fonction erreur complémentaire sont définies comme erf() = 2 e t2 dt (2.28) π erfc() = erf() = 2 e t2 dt (2.29) π La fonction erf est aussi présente dans toutes les bibliothèques standard de programmation. La fonction eponentielle intégrale Ei est définie comme la valeur principale de l intégrale suivante pour >. Ei() = Le développement en série de cette fonction donne n Ei() = γ + ln() + n n! 2 e t dt (2.3) t n= (2.3)

Fonctions spéciales et évaluation de fonctions Pour des grandes valeurs de, on a le développement asymptotique suivant Ei() ( e + ) +... (2.32) De manière générale, on définit les eponentielles intégrales E n () comme E n (z) = e zt dt (2.33) tn La Figure 2.6 représente les quatre premières eponentielles intégrales. Le développement en série de cette fonction donne E () = (γ + ln()) + ( ) n n n n! n= (2.34) La fonction E i (, ) n est définie que pour des arguments réels : Pour <, on a E i () = E i (, ) (2.35) On peut noter que les eponentielles intégrales E n () sont reliées à la fonction γ par la relation E n () = n γ( n, ) (2.36) 2.7 Conclusion Cette introduction au fonctions spéciales est très loin d être ehaustive ; il eiste de nombreuses autres fonctions dites spéciales : les fonctions elliptiques, les fonctions de Fresnel, les fonctions de Meier,.... Le développement de bibliothèques qui permettent de calculer les valeurs de ces fonctions est un secteur très actif et nous disposerons dans les années futures de bibliothèques encore plus performantes. 22