Licence de Mthémtiques Fondmentles Clcul Scientifique feuille de TD 3 Intégrtion numérique Soit f : [, b] R une fonction continue On cherche à clculer numériquement l intégrle f(x) dx Pour cel, on subdivise [, b] en plusieurs sous-intervlles ( = x < x 1 < < x n = b) et on utilise le fit que f(x) dx = i= f(x) dx On est donc rmené u clcul de l intégrle sur un petit intervlle [, +1 ], ce que l on fit à l ide d une formule de qudrture élémentire Exemples : 1 Formules à un point : rectngle à guche : rectngle à droite : f(x) dx (+1 )f( ) point milieu : f(x) dx (+1 )f(+1 ) f(x) dx (+1 )f( +1 + ) Formule du trpèze (deux points) : 3 Formule de Simpson (trois points) : f(x) dx (+1 ) f(+1) + f( ) f(x) dx (+1 ) f() + 4f( ++1 ) + f(+1 ) 6 Exercice - 1 Formule du point milieu 1- Vérifier que pour des points équidistnts = + i(b )/n, i =, 1,,n l formule du point milieu s écrit f(x) dx (b ) n i= f( + +1 )
feuille de TD 3 Clcul Scientifique Licence -3 - Progrmmer une fonction Mtlb int = IntPointMilieu(, b, n) clculnt f(x) dx pr l formule précédente Cette fonction fer ppel à une fonction Mtlb y = f(x) contennt l fonction à intégrer 3- Tester vec 3 xsin( x) dx (fire le clcul nlytique pour comprer!) 4- Fire un progrmme Mtlb pour trcer l erreur de l méthode en fonction de n (en échelle logrithmique) On utiliser le cs-test ci-dessus Exercice - Formule de Simpson 1- Rppeler l pproximtion de f(x) dx pr l formule de Simpson pour des points équidistnts = + i(b )/n - Progrmmer une fonction Mtlb int = IntSimpson(, b, n) clculnt f(x) dx pr l formule précédente Tester vec 3 xsin( x) dx 3- Modifier le progrmme de l exercice précédent pour trcer sur un même grphique l erreur pr l méthode de Simpson et pr l méthode du point milieu (en fonction de n) Interpréter Exercice - 3 Ordre d une formule de qudrture et formules de Newton-Cotes On veut obtenir d utres formules de qudrture élémentires Pour cel, on pose d bord g(t) = f( + t(+1 )), de sorte que le clcul sur l intervlle [, +1 ] est rmené à un clcul sur [, 1] pr l églité f(x) dx = (+1 ) g(t) dt Une formule de qudrture élémentire est donnée pr : g(t) dt λ j g(t j ) (1) On dit que les t j sont les noeuds de l formule de qudrture (1) et les λ j en sont les poids Définition : L formule de qudrture (1) est dite d ordre (u moins) m si elle est excte pour les polynômes de degré inférieur ou égl à m (l formule est d ordre exctement m si de plus elle est fusse pour les polynômes de degré m + 1) 1- Montrer que les deux formules du rectngle sont d ordre, que l formule du point milieu et du trpèze sont d ordre 1 - Montrer que l formule (1) est d ordre m si et seulement si λ j t l j = 1 pour l =, 1,,m l + 1 3- On fixe m + 1 noeuds t < t 1 < < t m 1 Montrer qu il existe un unique choix des poids λ, λ 1,, λ m pour lesquels l formule de qudrture (1) est d ordre m Quel est le rpport entre ce choix des poids et le polynôme d interpoltion de g ux points t j? Pour des noeuds équidistnts t j = j/n on obtient les formules de Newton-Cotes : s ordre poids λ j nom 1 1/ 1/ trpèze 3 3 1/6 4/6 1/6 Simpson 4 3 1/8 3/8 3/8 1/8 Newton 5 5 7/9 3/9 1/9 3/9 7/9 Boole 4- Montrer que l formule de Simpson est d ordre 3 5- Montrer qu une formule symétrique (c est-à-dire t s+1 j = 1 t j, λ s+1 j = λ j pour tout j) toujours un ordre impir On pourr utiliser qu un polynôme de degré m + 1 peut être écrit sous l forme où g 1 (t) est de degré m g(t) = C(t 1/) m+1 + g 1 (t),
feuille de TD 3 Clcul Scientifique Licence -3 Exercice - 4 Estimtion de l erreur 1- En supposnt g : [, 1] R de clsse C, écrire l formule de Tylor vec reste intégrl u point 1/ à l ordre 1 En déduire l estimtion d erreur suivnte pour l formule du point milieu : Pour une formule de qudrture générle g(t) dt g( 1 ) 1 4 sup g (t) t [,1] g(t) dt λ j g(t j ), () on définit l erreur E(g) := g(t) dt λ j g(t j ) On rppelle que si l méthode est d ordre m > et g est de clsse C sur [, 1] lors E(g) = 1 m! k m (t)g (m+1) (t) dt, où k m (t) := E(u (u t) m + ) (t [, 1]) est le noyu de Péno d ordre m ssocié à l formule de qudrture () - Montrer que si l formule est symétrique, le noyu est symétrique (c est-à-dire k m (1 t) = k m (t)) Indiction : (u t) m + (t u) m + = (u t) m pour m impir 3- Déterminer le noyu de Péno pour l formule du point milieu, du trpèze et de Simpson(Résultt : k 3 (t) = (1/1)t 3 ( 3t) pour t [, 1/]) 4- Clculer l constnte de l erreur C m := 1/m! k m(t) dt pour l formule du point milieu, du trpèze et de Simpson (Résultt : 1/4, 1/1 et 1/88) Soit mintennt f : [, b] R Pour une subdivision ( = x < x 1 < < x n = b), le clcul de f(x) dx pr l formule () ppliquée sur chque intervlle [, +1 ] s écrit : f(x) dx (+1 ) λ j f( + t j (+1 )), i= et l erreur de cette formule composée est : E n (f) := f(x) dx (+1 ) i= λ j f( + t j (+1 )) 5- On prend des points équidistnts = + ih, i =, 1,,n (h = (b )/n) Montrer que si l formule () est d ordre m et si f C ([, b]), on obtient : E n (f) C m h m+1 (b ) sup f (m+1) (x) x [,b] Exercice - 5 Tchebychev théorique Rppel : Les méthodes de Guss (1777-1855) utilisent une subdivision prticulière où les points x j sont les rcines d une fmille de polynômes orthogonux, qui ne sont ps régulièrement espcés contrirement ux méthodes composées (Newton-Cotes) L intégrtion est lors excte pour tout polynôme de degré n + 1 (u lieu de n ou n + 1 dns les méthodes composées)
feuille de TD 3 Clcul Scientifique Licence -3 vec L méthode de Guss ppliquée à une fonction conduit à une pproximtion de l forme : v u f(x)ω(x)dx = ω i = ω i f( ) + ε n f (n+) (c) i= v u l i (x)ω(x)dx et où ε n dépend des polynômes orthogonux choisis 1- Montrer que les polynômes de Tchebychev forment une bse orthogonle sur [, 1] pour l fonction de pondértion ω(x) = 1/ 1 x - Le but de l question est de montrer l formule de Guss-Tchebychev : 1 f(x) dx π 1 x n + 1 π (on dmettr que ε n = n+ (n + )! ) - Pour n N et α ], π[ on pose : I n (α) = π f i= ( cos cosnθ cosnα cosθ cosα dθ ) (i + 1)π (n + 1) Montrer que : n N I n+ (α) + I n (α) = cosαi n+1 (α) sin nα En déduire que : n N I n α = π sin α b- Notons s, s 1,, s n les (n + 1) rcines du polynôme de Tchebychev T n+1, et posons pour k n : Q k (t) = T n+1(t) t s k Montrer que pour tout k compris entre et n : où θ k = Arccos s k Q k (t) 1 t dt = πsin(n + 1)θ k sinθ k = π n + 1 Q k(s k ) c- Soit (l k ) l suite des polynômes élémentires de Lgrnge, et soit π(t) = que : l k (t) = π(t) (t s k )π (s k ) = Q k(t) T n+1 (s k) n (t s k ) Montrer d- Conclure 3- Noter que, si y est une fonction continue sur [, 1] on l formule d intégrtion suivnte : y(t)dt π n + 1 k= y(s k ) 1 s k k= et cette formule est excte si y(t) 1 t R n+1 [t] 4- (question subsidiire) Montrer que pour p n : k= ( cos ) p (k + 1)π = (n + 1) (p)!(n + 1) ( p p!) Exercice - 6 Tchebychev prtique Tester l méthode d intégrtion de Guss-Tchebychev en clculnt 3 xsin xdx, et trcer l erreur de l méthode en fonction de n
feuille de TD 3 Clcul Scientifique Licence -3 Exercice - 7 Une méthode dpttive Le but est de trouver, pour une erreur reltive ǫ une division = { = x < x 1 < < x n = b} de l intervlle [, b] telle que l pproximtion numérique I de l intégrle de f(x) entre et b vérifie I f(x) dx ǫ f(x) dx Pour l suite du problème on pose err([p, p + h], f, s) = guss([p, p + h], f, s) p+h p f(x) dx On pplique donc l lgorithme suivnt pour s et ǫ donnés 1 Si err([, b], f, s) ǫ guss([, b], f, s), on rrête l lgorithme, sinon on psse à l étpe [, b] est subdivisé en deuntervlles I 1 et I d égles longueurs On pose n=, lors si l inéglité err(i j, f, s) ǫ guss(i j, f, s) (3) est vérifiée, on rrête l lgorithme Sinon on psse à l étpe 3 3 On pose n=n+1 et l on divise en deux prties égles l intervlle pour lequel l fonction err(i k, f, s) est mximle On nomme ces deux prties I k et I n+1 Alors, on recommence cette étpe tnt que l inéglité (3) n est ps vérifiée Finlement, on ccepte guss(i j, f, s) f(x) dx, comme pproximtion de l intégrle de f(x) entre et b 1 progrmmer les fonctions guss et err, progrmmer l lgorithme de l méthode dpttive, 3 ppliquer cette méthode à l intégrtion de l fonction f(x) = x sin (cos(x)) sur l intervlle [, ] pour différentes vleurs de ǫ et de s