Transformée de Fourier des fonctions

1 / 37 Transformée de Fourier des fonctions Randal DOUC, département CITI randal.douc@it-sudparis.eu sept 2008-janv 2009

2 / 37 Objectif 1 Transformée de Fourier, définition. 2 Lemme de Riemann-Lebesgue, transformée de Fourier conjuguée, formules d inversion. 3 Décroissance de f et régularité de f. 4 Fonctions à décroissance rapide, espace de Schwarz, convolution.

3 / 37 Plan de l exposé 1 Definition et exemples Propriétés élémentaires Inversion Extension de la formule d inversion 2 Transposition, translation et changement d échelle Dérivation 3 Fonctions à décroissance rapide Espace S Transformée de Fourier dans L 2 4 Formule de convolution Limitations de la formule de convolution 5

4 / 37 Introduction 1 Série de Fourier: Fonctions périodiques Coefficients de Fourier 2 Transformée de Fourier: Fonctions L 1 Transformée de Fourier bornée 3 Transformée de Fourier: Fonctions L 2 Transformée de Fourier L 2

5 / 37 Plan Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion 1 Definition et exemples Propriétés élémentaires Inversion Extension de la formule d inversion 2 Transposition, translation et changement d échelle Dérivation 3 Fonctions à décroissance rapide Espace S Transformée de Fourier dans L 2 4 Formule de convolution Limitations de la formule de convolution 5

6 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion Définition Soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes d une variable réelle. On appelle transformée de Fourier (ou spectre) de f, si elle existe, la fonction complexe de la variable réelle ν: f(ν) def = f(x)e 2iπνx dx pour tout ν R On écrira alors symboliquement: f = F[f] ou f(ν) = F [f(x)] De même, on définira la transformée de Fourier conjuguée d une fonction f par F [f] (ν) def = f(x)e 2iπνx dx

7 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion Théorème Soit f L 1 (R) une fonction intégrable. Alors f est une fonction continue sur R, bornée et f = F [f] f 1. Proof. def f(ν) = f(x)e 2iπνx dx

7 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion Théorème Soit f L 1 (R) une fonction intégrable. Alors f est une fonction continue sur R, bornée et f = F[f] f 1. Proof. def f(ν) = f(x)e 2iπνx dx Pour montrer que f(ν) ν ν0 f(ν0 ), on utilise Lebesgue: (th. de continuité sous le signe intégral)

7 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion Théorème Soit f L 1 (R) une fonction intégrable. Alors f est une fonction continue sur R, bornée et f = F[f] f 1. Proof. def f(ν) = f(x)e 2iπνx dx Pour montrer que f(ν) ν ν0 f(ν0 ), on utilise Lebesgue: (th. de continuité sous le signe intégral) 1 x R, f(x)e 2iπνx f(x) intégrable 2 x R,lim ν ν0 f(x)e 2iπνx = f(x)e 2iπν 0x 3 Donc f est continue.

7 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion Théorème Soit f L 1 (R) une fonction intégrable. Alors f est une fonction continue sur R, bornée et f = F[f] f 1. Proof. def f(ν) = f(x)e 2iπνx dx De plus, ν R, f(ν) = f(x)e 2iπνx dx f(x) dx = f 1,

7 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion Théorème Soit f L 1 (R) une fonction intégrable. Alors f est une fonction continue sur R, bornée et f = F[f] f 1. Proof. def f(ν) = f(x)e 2iπνx dx De plus, ν R, f(ν) = f(x)e 2iπνx dx f(x) dx = f 1, Donc f = sup f(ν) f 1 ν R

8 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion Théorème La fonction transformée de Fourier F : L 1 (R) L (R) est un opérateur linéaire et continu Proof.

8 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion Théorème La fonction transformée de Fourier F : L 1 (R) L (R) est un opérateur linéaire et continu, i.e. : i) pour tous f, g L 1 (R) et tous α, β C, on a: F [αf+βg] = αf [f] + βf [g] ( LINÉARITÉ) ii) Si la suite f n tend vers 0 au sens L 1, alors la suite f tend vers 0 au sens L, i.e.: ( ) ( ) f n (x) dx = 0 lim f n (ν) = 0 ( CONTINUITÉ) lim n sup n ν R Proof.

8 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion Théorème La fonction transformée de Fourier F : L 1 (R) L (R) est un opérateur linéaire et continu Proof. Clairement, F [ ] est linéaire. F [f] (ν) def = f(x)e 2iπνx dx

8 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion Théorème La fonction transformée de Fourier F : L 1 (R) L (R) est un opérateur linéaire et continu Proof. F[f] F [g] = F[f g] f g 1 D où la continuité.

9 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion Exemple LA FONCTION PORTE- On introduit la fonction Porte: 1 Π(x) def = 1 1 { 0 pour x > 1/2, 1 pour x 1/2. Alors sa transformée de Fourier est un sinus cardinal: Π(ν) = 1/2 1/2 e 2iπνt dt

9 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion Exemple LA FONCTION PORTE- On introduit la fonction Porte: 1 Π(x) def = 1 1 { 0 pour x > 1/2, 1 pour x 1/2. Alors sa transformée de Fourier est un sinus cardinal: [ ] 1/2 1/2 Π(ν) = e 2iπνt e 2iπνt dt = 2iπν si ν 0, 1/2 1/2 1 si ν = 0

9 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion Exemple LA FONCTION PORTE- On introduit la fonction Porte: 1 Π(x) def = 1 1 { 0 pour x > 1/2, 1 pour x 1/2. Alors sa transformée de Fourier est un sinus cardinal: Π(ν) = 1/2 1/2 e 2iπνt dt = sinc(πν) def = { sin πν πν si ν 0, 1 si ν = 0.

10 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion Exemple Plus généralement, si l on prend la fonction indicatrice 1 [a,b], sa transformée de Fourier est F [1[a,b]] = { sin(π(b a)) πν e iπ(a+b)ν si ν 0, b a si ν = 0. Exemple Posons f : x e πx2 alors F [f] (ν) = e πx2 e 2iπνx dx = e π(x+iν)2 πν 2 dx = πe πν2

11 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion 1 L opération "transformée de Fourier" fait correspondre f L 1 et f L. 2 Dans les exemples précédents, chacune des transformées de Fourier a la propriété de tendre vers 0 en l infini. Théorème LEMME DE RIEMANN-LEBESGUE (ADMIS)- Soit f L 1 (R) une fonction intégrable. Alors la fonction f tend vers 0 en l infini: lim f(ν) = 0 En résumé: ν

11 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion 1 L opération "transformée de Fourier" fait correspondre f L 1 et f L. 2 Dans les exemples précédents, chacune des transformées de Fourier a la propriété de tendre vers 0 en l infini. Théorème LEMME DE RIEMANN-LEBESGUE (ADMIS)- Soit f L 1 (R) une fonction intégrable. Alors la fonction f tend vers 0 en l infini: lim f(ν) = 0 En résumé: ν f L 1 (R) f est continue, bornée et tend vers 0 en l infini

11 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion 1 L opération "transformée de Fourier" fait correspondre f L 1 et f L. 2 Dans les exemples précédents, chacune des transformées de Fourier a la propriété de tendre vers 0 en l infini. Théorème LEMME DE RIEMANN-LEBESGUE (ADMIS)- Soit f L 1 (R) une fonction intégrable. Alors la fonction f tend vers 0 en l infini: lim f(ν) = 0 En résumé: ν f f est un opérateur linéaire et continue de L 1 (R) vers L (R)

12 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion Peut-on inverser la transformée de Fourier? Oui, dans certains cas... Théorème INVERSION DANS L 1 (R)- Supposons { f L 1 (R) f L1 (R). Alors, F [ f] (x) = f(x) en tout point x où f est continue Si f est de plus continue, alors F [ f] = f. Proof. Voir poly...

13 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion 1 Le problème sur le théorème précédent est qu il faut que f ET f soient dans L 1 (R). 2 Dans le théorème suivant, les conditions ne portent que sur f et ses dérivées et non sur f. Proposition { f est de classe C 2 (Admis) Si f, f alors f est également et f sont toutes intégrables intégrable. L inversion de la transformée de Fourier devient possible et on a f = F [ f]

14 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion Et si on n a pas d information sur la dérivée seconde f? Le théorème suivant qui sera aussi admis nous permet de répondre (en partie) à la question: Théorème { f est de classe C 1 sauf en un nombre fini de points Si f, f sont intégrables alors R lim f(ν)e 2iπνx dν = 1 [ f(x ) + f(x + ) ]. (1) R R 2 Par abus, on notera encore cette limite F [ f] (x).

14 / 37 Definition et exemples Propriétés élémentaires Extension de la formule d inversion Et si on n a pas d information sur la dérivée seconde f? Le théorème suivant qui sera aussi admis nous permet de répondre (en partie) à la question: Théorème { f est de classe C 1 sauf en un nombre fini de points Si f, f sont intégrables alors R lim f(ν)e 2iπνx dν = 1 [ f(x ) + f(x + ) ]. (1) R R 2 Par abus, on notera encore cette limite F [ f] (x). En d autres termes, la formule d inversion prise au sens d une limite d intégrale (appelée valeur principale ) nous donne la régularisée de f

15 / 37 Plan Transposition, translation et changement d échelle Dérivation 1 Definition et exemples Propriétés élémentaires Inversion Extension de la formule d inversion 2 Transposition, translation et changement d échelle Dérivation 3 Fonctions à décroissance rapide Espace S Transformée de Fourier dans L 2 4 Formule de convolution Limitations de la formule de convolution 5

16 / 37 Transposition, translation et changement d échelle Dérivation On peut démontrer simplement les résulats élémentaires suivants: Théorème Si f est une fonction intégrable et si a R, alors F [f(x)] = f( ν), F [f( x)] = F [f(x)] = f( ν), F [f(x a)] = e 2iπνa f(ν), F [f(x)e 2iπν 0x ] = f(ν ν 0 ) De plus, pour tout a R, F [f(ax)] = 1 a f ( ) 1 a A retenir: ces propriétés viennent essentiellement de changement de variables très simples.

17 / 37 Transposition, translation et changement d échelle Dérivation Corollaire Les propriétés suivantes évoluent ainsi lors d une transformation de Fourier f f : ν f(x)e 2iπνx dx paire impaire réelle imaginaire { { où l on rappelle que g est une fonction ssi pour tout x,.

17 / 37 Transposition, translation et changement d échelle Dérivation Corollaire Les propriétés suivantes évoluent ainsi lors d une transformation de Fourier f f : ν f(x)e 2iπνx dx paire paire impaire réelle imaginaire { { où l on rappelle que g est une fonction ssi pour tout x,.

17 / 37 Transposition, translation et changement d échelle Dérivation Corollaire Les propriétés suivantes évoluent ainsi lors d une transformation de Fourier f f : ν f(x)e 2iπνx dx paire paire impaire impaire réelle imaginaire { { où l on rappelle que g est une fonction ssi pour tout x,.

17 / 37 Transposition, translation et changement d échelle Dérivation Corollaire Les propriétés suivantes évoluent ainsi lors d une transformation de Fourier f f : ν f(x)e 2iπνx dx paire paire impaire impaire réelle hermitienne imaginaire { où l on rappelle que g est une fonction hermitienne ssi pour tout { x, g( x) = ḡ(x).

17 / 37 Transposition, translation et changement d échelle Dérivation Corollaire Les propriétés suivantes évoluent ainsi lors d une transformation de Fourier f f : ν f(x)e 2iπνx dx paire paire impaire impaire réelle hermitienne imaginaire antihermitienne { hermitienne où l on rappelle que g est une fonction ssi pour antihermitienne { g( x) = ḡ(x) tout x,. g( x) = ḡ(x)

18 / 37 Transposition, translation et changement d échelle Dérivation Théorème 1 Soit f tel que la fonction x k f L 1 pour tout k = 0,...,n. Alors, f est n fois dérivable et on a F [( 2iπx) k f(x)] = f (k) (x) pour k = 0,..., n. 2 Si { f est de classe C n f (k) sont intégrables pour tout k = 0,...,n alors on a F [f (m) (x)] = (2iπν)m f(ν) pour m = 1,..., n.

19 / 37 Transposition, translation et changement d échelle Dérivation Soit f tel que la fonction x k f L 1 pour tout k = 0,..., n. Alors, f est n fois dérivable et on a F [( 2iπx) k f(x)] = f (k) (x) pour k = 0,..., n. Proof. f : ν f(x)e 2iπνx dx. On dérive sous le signe intégral. [ 1 Pour tout x, ] ν f(x)e 2iπνx (2πx)f(x). 2 Pour tout x, ν f(x)e 2iπνx est de classe C 1 Donc f (ν) = dν f(ν) d = [ f(x)e 2iπνx ] dx = ( 2iπx)f(x)e 2iπνx dx ν

Transposition, translation et changement d échelle Dérivation Si { f est de classe C n f (k) sont intégrables pour tout k = 0,..., n alors on a F [f (m) (x)] = (2iπν)m f(ν) pour m = 1,..., n. Proof. 20 / 37

20 / 37 Si { f est de classe C n f (k) sont intégrables pour tout k = 0,..., n Transposition, translation et changement d échelle Dérivation alors on a F [f (m) (x)] = (2iπν)m f(ν) pour m = 1,..., n. Proof. Puisque f est intégrable, on a R F [f ](ν) = lim R R f (x) }{{} u 2iπνx e }{{} v dx { [f(x)e 2iπνx = lim ] R R R R + R (2iπν)f(x)e 2iπνx dx }

Si { f est de classe C n f (k) sont intégrables pour tout k = 0,..., n Transposition, translation et changement d échelle Dérivation alors on a Proof. F [f (m) (x)] = (2iπν)m f(ν) pour m = 1,..., n. Puisque f est intégrable, on a R F [f ](ν) = lim R R f (x) }{{} u 2iπνx e }{{} v dx { [f(x)e 2iπνx = lim ] R R R R + R (2iπν)f(x)e 2iπνx dx } Comme f sommable, f(x) f(0) = x 0 f (u)du a une limite en ±. 20 / 37

20 / 37 Si { f est de classe C n f (k) sont intégrables pour tout k = 0,..., n Transposition, translation et changement d échelle Dérivation alors on a Proof. F [f (m) (x)] = (2iπν)m f(ν) pour m = 1,..., n. Puisque f est intégrable, on a R F [f ](ν) = lim R R f (x) }{{} u 2iπνx e }{{} v dx { [f(x)e 2iπνx = lim ] R R R R + R (2iπν)f(x)e 2iπνx dx } Comme f est sommable, cette limite ne peut être que nulle.

20 / 37 Si { f est de classe C n f (k) sont intégrables pour tout k = 0,..., n Transposition, translation et changement d échelle Dérivation alors on a Proof. F [f (m) (x)] = (2iπν)m f(ν) pour m = 1,..., n. Puisque f est intégrable, on a R F [f ](ν) = lim R R f (x) }{{} u 2iπνx e }{{} v dx { [f(x)e 2iπνx = lim ] R R R R + R (2iπν)f(x)e 2iπνx dx } Donc lim ± f 0.

Si { f est de classe C n f (k) sont intégrables pour tout k = 0,..., n Transposition, translation et changement d échelle Dérivation alors on a Proof. F [f (m) (x)] = (2iπν)m f(ν) pour m = 1,..., n. Puisque f est intégrable, on a R F [f ](ν) = lim R R f (x) }{{} u 2iπνx e }{{} v dx { [f(x)e 2iπνx = lim ] R R R R + R = 0 + (2iπν) f(x)e 2iπνx dx (2iπν)f(x)e 2iπνx dx } {{ } f(ν) 20 / 37 }

21 / 37 Transposition, translation et changement d échelle Dérivation Corollaire Si f L 1 est une fonction à support borné, alors sa tranformée est de classe C. En effet, si f est intégrable et à support borné alors x x k f(x) est intégrable pour tout k Corollaire On suppose que { f (p) L 1 (R) x x q f(x) est dans L 1. Alors, pout tout ν R, f(ν) 2πν p f (p) (x) dx et f (q) (ν) 2πx q f(x) dx

22 / 37 Transposition, translation et changement d échelle Dérivation Il existe donc un lien entre 1 la régularité de f et la rapidité de la décroissance de f 2 la décroissance de f et la régularité de f

23 / 37 Plan Fonctions à décroissance rapide Espace S 1 Definition et exemples Propriétés élémentaires Inversion Extension de la formule d inversion 2 Transposition, translation et changement d échelle Dérivation 3 Fonctions à décroissance rapide Espace S Transformée de Fourier dans L 2 4 Formule de convolution Limitations de la formule de convolution 5

24 / 37 Fonctions à décroissance rapide Espace S Définition Soit f L 2. Pour tout ν R, existe et vaut par définition f(ν). R lim f(x)e 2iπνx dx R R Proposition La transformée de Fourier sur L 1 et celle sur L 2 coincident sur L 1 L 2. En d autres termes si f est une fonction de carré intégrable et si elle est de plus, intégrable elle-même alors sa transformée de Fourier vaut bien: F [f] : ν f(x)e 2iπνx dx.

25 / 37 Fonctions à décroissance rapide Espace S Construction des TFs dans L 2 On construit un espace S (qu on définira plus tard), sous espace de L 1 tel que Proposition 1 L espace S est un sous espace vectoriel dense de l espace L 2 (R). { 2 F [f] : S S f f est une isométrie. L isométrie signifie que pour toutes fonctions f et g de S : f(x)g(x)dx = f(ν) g(ν)dν } {{ } } {{ } <f,g> < f, g>

26 / 37 Fonctions à décroissance rapide Espace S La proposition précédente permet de prolonger sur L 2 l opérateur transformée de Fourier qui reste linéaire et continu. On obtient: Théorème PARSEVAL-PLANCHEREL- La transformation de Fourier F [ ] est une isométrie sur L 2 : si f et g sont deux fonctions de L 2 alors f et g le sont aussi et on a f(x)g(x)dx = f(ν) g(ν)dν De plus, pour tout f L 2, on a F [F[f]] = F [ F [f]] = f presque partout. La transformée de Fourier inverse est donc donnée par F 1 [ ] = F [ ].

27 / 37 Fonctions à décroissance rapide Espace S Définition On dit qu une fonction f est à décroissance rapide ssi pour tout k 0, lim x k f(x) = 0 x Autrement dit, une fonction à décroissance rapide décroît plus vite que tout polynôme. Exemple Les fonctions x e x2 et x x 5 (lnx)e x sont à décroissance rapide.

28 / 37 Fonctions à décroissance rapide Espace S Par le théorème de dérivation, on a immédiatement: Théorème Si f est une fonction de L 1 à décroissance rapide, alors sa transformée de Fourier f est de classe C. Théorème Soit f une fonction de L 1 de classe C. Si pour tout k N, la fonction f (k) est dans L 1 alors f est à décroissance rapide.

29 / 37 Fonctions à décroissance rapide Espace S Définition On appelle espace de Schwarz qu on note S l espace des fonctions de classe C qui sont à décroissance rapide ainsi que toutes leurs dérivées. Exemple Soit f de classe C à support compact. Alors f S.

30 / 37 Fonctions à décroissance rapide Espace S Définition On dit que la suite f n d éléments de S converge dans S ssi pour tous p, q N, lim x p f (q) n (x) = 0 sup n x R Le résultat important sur les fonctions de S est le suivant: Théorème La transformée de Fourier est un opérateur linéaire et continu de S dans S. En d autres termes, si f S alors f S et si la suite f n tend vers 0 dans S alors la suite f n tend également vers 0 dans S. Théorème La transformation de Fourier est une application linéaire et bijective et bi-continue, i.e. continue ainsi que sa réciproque, de S dans S. Son inverse est F 1 [ ] = F [ ].

31 / 37 Plan Formule de convolution Limitations de la formule de convolution 1 Definition et exemples Propriétés élémentaires Inversion Extension de la formule d inversion 2 Transposition, translation et changement d échelle Dérivation 3 Fonctions à décroissance rapide Espace S Transformée de Fourier dans L 2 4 Formule de convolution Limitations de la formule de convolution 5

Formule de convolution Limitations de la formule de convolution Définition Si f et g sont deux fonctions localement sommables, leur produit de convolution, lorsqu il existe est h = f g avec: h(x) def = f(t)g(x t)dt Théorème Soient f et g deux fonctions admettant des transformées de Fourier et telle que leur produit de convolution existe et est dans L 1. Alors F [f g] = F [f] F [g] ou encore f g(ν) = f(ν) g(ν) De même, lorsque ces expressions sont définies, on a F [f g] = F [f] F [g] ou encore f g(ν) = f(ν) g(ν) 32 / 37

33 / 37 Formule de convolution Limitations de la formule de convolution Proof. Par Fubini, F [f g] (ν) = = = ( ( ( ) f(t)g(x t)dt e 2iπνx dx ) g(x t)e 2iπν(x t) dx f(t)e 2iπνt dt ) g(u)e 2iπν(u) du f(t)e 2iπνt dt = g(ν) f(ν)

Formule de convolution Limitations de la formule de convolution Exemple Nous voulons calculer la transformée de Fourier de la fonction Λ définie par: 1 Λ 2 1 1 1 + x pour 1 x 0 Λ(x) = 1 x pour 0 x 1 0 pour x 1. On commence par montrer que Λ(x) = [Π Π] (x) et on en déduit que: F [Λ(x)] = ( ) sin πν 2 πν. 34 / 37

Formule de convolution Limitations de la formule de convolution On peut démontrer les résultats suivants sans hypothèse supplémentaire. i) si f, g L 1 alors f g(ν) = f g(ν) pour tout ν R; ii) si f, g L 1 et que leurs transformées de Fourier sont également dans L 1 alors f g(ν) = f g(ν) pour tout ν R; iii) si f, g L 2, on peut prendre la transformée inverse de la première formule et écrire f g(t) = F [ f g] (t) pour tout t R ce qui est un bon moyen de calculer f g; de plus, le seconde formule reste valable: f g(ν) = f g pour tout ν R; iv) si f L 1 mais que g L 2 alors f g(t) = F [ f g] (t) pour presque tout t R. 35 / 37

36 / 37 Plan 1 Definition et exemples Propriétés élémentaires Inversion Extension de la formule d inversion 2 Transposition, translation et changement d échelle Dérivation 3 Fonctions à décroissance rapide Espace S Transformée de Fourier dans L 2 4 Formule de convolution Limitations de la formule de convolution 5

a) Transformée de Fourier dans L 1, Lemme de Riemann-Lebesgue. b) Différents théorèmes permettant d inverser la transformée de Fourier. c) Différentes propriétés sur la transformée de Fourier, notamment lien entre rapidité de décroissance de f (resp. f ) et régularité de f (resp. f ). d) Espace de Schwarz S: la transformée de Fourier envoie S dans S puis comme S est dense dans L 2, cela permet de définir la transformée de Fourier dans L 2 en utilisant une certaine isométrie. e) Formule de la transformée de Fourier d une fonction dans L 2 et pas dans L 1. f) La transformée de Fourier échange produit de convolution et produit de fonctions. 37 / 37