Lycée Féelo Saite-Marie Aée 2011-2012 Durée : 3 heures BAC BLANC avril Toutes calculatrices autorisées. Classe de Termiale ES Mathématiques Le sujet comporte u total de 4 exercices par élève. EXERCICE 1 (5 poits) Cetres étragers 2010 Commu à tous les cadidats Pour ue marque de téléphoe portable doée, o s itéresse à deux optios de derière techologie proposées, le GPS et le Wii. Sur l esemble des téléphoes portables, 40 % possèdet l optio GPS. Parmi les téléphoes avec l optio GPS, 60 % ot l optio Wii. O choisit au hasard u téléphoe portable de cette marque et o suppose que tous les téléphoes ot la même probabilité d être choisis. O cosidère les évèemets suivats : G : «le téléphoe possède l optio GPS». W: «le téléphoe possède l optio Wii». Das tout l exercice, le cadidat doera des valeurs exactes. 1. Traduire les doées chirées de l éocé e termes de probabilité. 2. Représeter la situatio à l aide d u arbre podéré, qui sera complété tout au log de l exercice. O suppose que la probabilité de W est : p(w) =7/10 3. Détermier la probabilité de l évèemet «le téléphoe possède les deux optios». 4. Démotrer que pg ( W ) = 23/30 Compléter l arbre du 2. 5. O choisit u téléphoe avec l optio Wii. Quelle est la probabilité qu il e possède pas l optio GPS? Le coût de reviet total par téléphoe d ue optio, pour le abricat de téléphoes, est de 12 euros pour l optio GPS et de 6 euros pour l optio Wii. 6. Détermier la loi de probabilité du coût de reviet de ces deux optios. 7. Calculer l espérace mathématique de cette loi. Iterpréter ce résultat. 1
EXERCICE 2 (5 poits) Atilles-Guyae 2009 Commu à tous les cadidats Les parties A et B de cet exercice sot idépedates. O cosidère la octio déiie sur ]0 ; + [ dot o doe la représetatio graphique (C ) das le repèree ci-dessous. O admet que le poit A de coordoées (1 ; 1) appartiet à la courbe (C) ; la tagete (T) e A à la courbe (C) passe par le poit de coordoées (2 ; 0) ; la courbe (C ) admet ue tagete horizotale au poit d abscisse 2 ; l axe des ordoées est asymptote à la courbe de la octio.. Partie A 1. Doer, par lecture graphique ou e utilisat les doées de l éocé, les valeurs de ( 1), (1) et (2), où est la octio dérivée de sur ]0 ; + [. 2. O admet que l expressio de (x) sur ]0 ; + [ est : (x) = ax +b +c lx où a, b et c sot des ombres réels. a. Calculer (x) e octio de x et de a, b et c. a+ b= 1 b. Démotrer que les réels a, b et c vériiet le système a + c = 1 c a + = 0 2 c. Déduire de la questio précédete les valeurs de a, b et c, puis l expressio de (x). Partie B Das cette partie, o admet que la octio représetée ci-dessus est déiie pour toutt réel x apparteat à ]0 ; + [ par : (x) = x 2lx. 1. a. Justiier que l axe des ordoées est asymptote à la courbe représetative de. b. Détermier la limite de e +. 2. a. Démotrer que la octio H déiie sur ]0 ; + [ par : H (x) = x lx x est ue primitive de la octio h déiie sur ]0 ; + [ par : h(x) = lx.. b. E déduire ue primitive F de la octio sur ]0 ; + [. 2
EXERCICE 3 (5 poits) Commu tous les cadidats Partie A : Étude d ue octio O cosidère la octio déiie sur l itervalle [0,5 ; 8] par 0,5x (x) = 20(x 1) e. O ote la octio dérivée de la octio sur l itervalle [0,5 ; 8] 1. a. Démotrer que pour tout ombre réel x de l itervalle [0,5 ; 8] (x) = 10( x +3) e 0,5x b. Étudier le sige de la octio sur l itervalle [0,5 ; 8] et e déduire le tableau de variatios de la octio 2. Costruire la courbe représetative (C ) de la octio das le pla mui d u repère orthogoal (O, I, J) O predra pour uités graphiques 2 cm sur l axe des abscisses et 1 cm, sur l axe des ordoées. 40( x + 1) 3. Justiier que la octio F déiie sur l itervalle [0,5 ; 8] par F(x) = 0,5x e est ue primitive de la octio sur l itervalle [0,5 ; 8]. Partie B : Applicatio écoomique Ue etreprise produit sur commade des bicyclettes pour des muicipalités. La productio mesuelle peut varier de 50 à 800 bicyclettes. Le bééice mesuel réalisé par cette productio peut être modélisé par la octio de la partie A de la aço suivate : si, u mois doé, o produit x cetaies de bicyclettes, alors (x) modélise le bééice, exprimé e milliers d euros, réalisé par l etreprise ce même mois. Das la suite de l exercice, o utilise ce modèle. 1. a. Vériier que si l etreprise produit 220 bicyclettes u mois doé, alors elle réalise ce mois-là u bééice de 7 989 euros. b. Détermier le bééice réalisé par ue productio de 408 bicyclettes u mois doé. 2. Pour cette questio, toute trace de recherche même o aboutie sera prise e compte Répodre aux questios suivates e utilisat les résultats de la partie A et le modèle précédet. Justiier chaque répose. a. Combie, pour u mois doé, l etreprise doit-elle produire au miimum de bicyclettes pour e pas travailler à perte? b. Combie, pour u mois doé, l etreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser u bééice maximum. Préciser alors ce bééice à l euro près. c. Combie, pour u mois doé, l etreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser u bééice supérieur à 8 000 euros? 3
Exercice 4 Pour les élèves ayat pas suivi l eseigemet de spécialité Partie A Pour chacue des questios suivates, idépedates les ues des autres, il vous est proposé plusieurs airmatios. Répodre par OUI ou NON à chaque airmatio e cochat la case qui coviet. Notatio : ue boe répose rapporte u demi-poit, ue mauvaise répose e retire u quart; la ote iale e peut être iérieure à 0. Questio1 x 0 1 3 + (x) 0 + 0 + 2 + + + (x) 3 0 O a doé ci-dessus le tableau de variatio d ue octio déiie et dérivable sur ] ;1[ ] 1; + [. O appelle C sa représetatio graphique das le repère( Oi ;; j). O peut airmer que : La droite d équatio x = 2 est asymptote à La droite d équatio x = 1 est asymptote àc La tagete à la courbe C au poit d abscisse 0 est parallèle à la droite d équatio y = 3x L équatio (x) = 0 admet deux solutios das L équatio (x) = 3 admet ue solutio uique das ]0 ; 1[ La droite d équatio y = 2 coupe C exactemet e deux poits. C OUI NON Questio 2 Soit g ue octio dérivable et strictemet croissate sur [1 ; + [. O peut airmer : ( ) lim g x x + =+ Pour tout réel x de ] 1 ; + [, g(x) > g(1) OUI NON 4
Partie B Cet exercice est u questioaire à choix multiples (QCM). Pour chacue des questios, trois airmatios sot proposées, ue seule répose est exacte. Ue répose exacte rapporte 0,5 poit, ue répose ausse elève 0,25 poit et l absece de répose e rapporte et elève aucu poit. Recopier le uméro de chaque questio et idiquer la répose choisie. 1. La octio est déiie et dérivable sur l esemble des ombres réels. x x = e + ( ) 2 1 O ote sa octio dérivée. x = e a) Pour tout x de, ( ) b) Pour tout x de, ( ) c) Pour tout x de, ( ) / 2 x = e + / 2 x 1 x = 2e + / 2x 1 2. L égalité l ( x 2 1) l ( x 1) l ( x 1) a) ] ; 1[ ] 1; + [ b) \ { 1;1} c) ] 1; + [ = + + est vraie pour tout x de : 5
Exercice 4 Pour les élèves ayat suivi l eseigemet de spécialité Partie A Cet exercice est u questioaire e à choix multiples (QCM). Pour chacue des questios, quatre airmatios sot proposées, ue seulee répose est exacte. Ue répose exacte rapporte 0,5 poit, ue répose ausse elève 0,25 poit et l absece de répose e rapporte et elève aucu poit. Pour chaque questio, le cadidat otera sur sa copie le uméro de la questio suivi de la propositio qui lui semble correcte. Aucue justiicatio est demadée. 1. Le graphe G ci-dessous A) a u ombre chromatique μ égal à : 2 3 4 5 B) G est pas u graphe coexe. G admet ue chaie eulériee. L ordre du graphe G est 9. Il existe u sommet de degré 1. 2. Soiet G le graphe probabiliste ci-dessous et M la matrice de trasitio associée à ce graphe, les sommets étatt ragés das l ordre alphabétique. 2 0,23 0,77 A) M = 0,22 0,78 M = 0, 7 0,3 0,8 0, 2 2 M = 0,73 0, 27 0,72 0, 28 M = 0,3 0,8 0,7 0, 2 B) Soit P la matrice stable du graphe G. P = 1 1 2 2 P = 0,3 0,7 0,2 0,8 2 P 7 = 9 9 0, P =,22 0,78 0,,78 0,22 6
3. La suite ( u ) est déiie par : l 2 Pour tout etier aturel, u = e. ) est arithmétique de raiso l 2 e. ) est géométrique de raiso 1 2. ) est pas ue suite géométrique. ) est géométrique de raiso l2. 4. Ue orêt, exploitée depuis le premier javier 2005, voit sa populatio d arbres dimiuer de 10 % chaque aée. E supposat que la déorestatio se poursuive à ce rythme, la populatio d arbres auraa dimiué lee premier javier 2010 d eviro : 41 % 50 % 59 % 49% Partie B Pour chacue des questios suivates, idépedates les ues des autres, il vous est proposé plusieurs airmatios. Répodre par VRAI ou FAUX à chaque airmatio e cochat la case qui coviet. Notatio : ue boe répose rapporte u demi-poit, ue mauvaise répose e retire u quart; la ote iale e peut être iérieure à 0. 1. Soit u ) la suite déiie sur par : ( u 1 1+ = 2. Cett te suite a pour limite 1 1+ 2. Le graphe ci-cotre admet exactemet 1 chaîe de logueur 4 allat de A vers B avec VRAI FAUX 4 + 3 3. La suite ( v ) déiie sur par v = + 1 4. Le diamètre du graphe H ci-dessous est 5. est majorée par 0 7