ECS1B Carot Chapitre 013/014 Chapitre : Raisoemet par récurrece, maipulatio de sommes Objectifs : Écrire propremet u raisoemet par récurrece (simple, double Maipuler les symboles Σ et sas erreur ceci viedra petit à petit au cours de l aée E particulier savoir sommer des (iégalités 1 Récurrece 11 Pricipe Lorsque l o doit motrer ue propriété P qui déped d u paramètre etier, il est très souvet utile de raisoer par récurrece Pour cela, o utilise le pricipe de récurrece suivat : Propositio 111 (Pricipe de récurrece Soit à prouver ue propriété P pour tout N Si Iitialisatio : P 0 est vraie Hérédité : Pour tout N, l implicatio (P vraie P +1 vraie est vraie Alors pour tout N, P est vraie Cette propositio peut se prouver à l aide de propriétés de N, ce qu o verra plus tard Remarque L erreur la plus courate se situe au iveau de l hérédité Il est écessaire de fixer quelcoque avat de motrer l implicatio Il est hors de questio de voir sur ue copie ue phrase du type «Supposos que pour tout, P est vraie, motros P +1» Après ue telle hypothèse il y a e effet plus rie à motrer! E pratique, doos u exemple de boe rédactio : Exemple Motros que pour tout N, Iitialisatio : O a bie 0 0 0 1 Hérédité : Soit N quelcoque Supposos (hypothèse de récurrece que +1 ( + 1( + O a +1 k + ( + 1 D après l hypothèse de récurrece, Aisi +1 + ( + 1 + ( + 1 Ce qui doe, après factorisatio par ( + 1 l égalité +1 Motros que ( + 1( + J Gärter 1
ECS1B Carot Chapitre 013/014 Coclusio : O a motré par récurrece que pour tout, Bie etedu il est possible que la propriété à motrer e soit vérifiée qu à partir d u certai rag 0 Das ce cas, o utilise le pricipe de récurrece «modifié» Propositio 11 (Pricipe de récurrece «modifié» Soit à prouver ue propriété P pour tout 0 Si Iitialisatio : P 0 est vraie Hérédité : Pour tout 0, l implicatio (P vraie P +1 vraie est vraie Alors pour tout 0, P est vraie O peut parfois avoir besoi de raisoer «e descete» : Propositio 113 (Pricipe de récurrece «descedete» Soit à prouver ue propriété P pour tout ßt0N, où N N Si Iitialisatio : P N est vraie Hérédité : Pour tout [1; N ], l implicatio (P vraie P 1 vraie est vraie Alors pour tout [0; N ], P est vraie 1 Aures types de récurrece Il arrive parfois que la propriété P à motrer dépede de plusieurs rags atérieurs (P 1, P O peut alors utiliser ue récurrece double (voir multiple Doos u exemple : Exemple Soit (u N la suite défiie par u 0 0, u 1 et pour tout N, u + 3u +1 u Motros pour tout N la propriété P : u +1 Pour cela, procédos par récurrece double Iitialisatio : O a bie u 0 0 0+1 et u 1 1+1 Les propriétés P 0 et P 1 sot vraies Hérédité : Soit N Supposos que u +1 et u +1 +, ie P et P +1 Motros que u + +3 O a u + 3u +1 u 3( + ( +1 6 3 + 4 + + + +3 Coclusio : O a motré par récurrece double que pour tout N, u +1 Doos le pricipe e clair : Propositio 11 (Pricipe de récurrece double Soit à prouver ue propriété P pour tout N Si Iitialisatio : P 0 et P 1 sot vraies Hérédité : Pour tout N, l implicatio ((P vraie ET P +1 vraie P + vraie est vraie Alors pour tout N, P est vraie Il est aussi possible d utiliser u pricipe de récurrece forte, lorsque l o a besoi, pour motrer P de toutes les propriétés P 0,,P 1 Exemple Soit (u N défiie par u 0 1, et pour tout N, u + u +1 +u +u 0 Motros par récurrece forte que pour tout N, u > 0 J Gärter
ECS1B Carot Chapitre 013/014 Iitialisatio : Par hypothèse, u 0 1 > 0 Hérédité : Soit N Supposos que pour tout k [0; ], u k > 0 Motros que u +1 > 0 O a par défiitio u +1 u k Par hypothèse de récurrece, tous les termes de cette somme sot strictemet positif Aisi u +1 > 0 Coclusio : O a motré par récurrece forte que pour tout, u > 0 Et voici la propositio sur laquelle s appuie cet exemple : Propositio 1 (Pricipe de récurrece forte Soit à prouver ue propriété P pour tout N Si Iitialisatio : P 0 est vraie Hérédité : Pour tout N, l implicatio (( k [0; ] P k vraie P +1 vraie est vraie Alors pour tout N, P est vraie Maipulatio de sommes 1 Sommes simples Ecore ue techique à bie maitriser dès le début d aée : la maipulatio des sommes Défiitio 11 (Sige Σ Soit (u N ue suite de ombres réels (ou complexes Soit m, N avec m O ote u k la somme u m + u m+1 + + u E particulier 1 m + 1 Plus gééralemet, si I est u esemble fii d idices, o ote i I u i la somme des u i où i parcourt l esemble I E particulier i I 1 card(i Attetio Soit x R et N fixés Das l expressio xk l etier k est dit «muet» C est-à-dire x l1 xl Il e faut surtout pas croire que l expressio xk défiit k Il e peut pas être défii puisqu il varie etre 1 et! Exemple 1 O a 1 + + 3 + + O a 5 + 6 + 7 + + + 1 +1 k5 3 O a + 4 + 6 + + (k k k [[1;]] k [[1;]] (k k l [[1;]] l pair Pour maipuler les sommes, il est souvet utile de les écrire explicitemet O peut de plus utiliser les techiques suivates : Liéarité : Si α,β C, (u et (v sot des suites réelles, alors (αu k + βv k α u k + β v k l J Gärter 3
ECS1B Carot Chapitre 013/014 Exemple ( k + 1 Esembles disjoits (relatio de Chasles : Si 0 p < + u i i0 p u i + i0 ip+1 u i Si I et J sot des esembles d idices disjoits, ie I J, alors Exemple Soit 1 m i I J u i i I m 1 k u i + j J u j m(m 1 Chagemet d idice : qui cosiste e la reumérotatio des termes sommés Il est fortemet coseillé de toujours vérifier u chagemet d idice à l aide du premier et du derier terme Exemple Doos trois expressios différetes de la somme i 1 (i + 1, suivat la voloté de simplifier le umérateur ou le déomiateur i 1 i 1 (i + 1 j1 +1 j (j + k3 k k i Ici le premier terme est toujours 1 3 et le derier 1 ( + 1 Plus gééralemet : im 1 i 1 (i + 1 jm 1 +1 j (j + +1 Télescoper : c est-à-dire recoaître ue somme du type somme se simplifie : (v k+1 v k v +1 v m k k (v k+1 v k Ue telle pour s e covaicre, il suffit d écrire les termes explicitemet : (v k+1 v k (v m+1 v m + (v m+ v m+1 + + (v v 1 + (v +1 v Ou de faire le chagemet de variable adéquat : +1 +1 v k v v +1 v m (v k+1 v k v k+1 v J Gärter 4
ECS1B Carot Chapitre 013/014 Exemple Calculos la somme 1 k( O remarque 1 que 1 k Aisi 1 k( ( k k( ( 1 k 1 1 1 + 1 Sommer des (iégalités : Soit f et g deux foctios défiies sur R telles que k [ 1; ], f(k g(k Alors (o utilises TOUTES les iégalités précédetes f(k g(k Exemple O a pour tout x R + l(1 + x x Doc l(1 + k ( ( Remarque O a a priori u k v k u k v k O pourra s e covaicre e preat u 1 u 1 et v 1 v 1 Pour obteir des calculs exacts, il est écessaire de chager d idice : ici ( ( ( ( u k v u k v l u k v l Et ous voila cofrotés à des sommes doubles Cas des sommes doubles : l1 1 k,l La muipulatio des sommes doubles est pas essetielle Il est pourtat bo savoir itervertir des sommes Doos directemet la Propositio 1 Soit (u i,j i,j ue famille de ombres réels (ou complexes idexée par [[1; ] [1; ] O a les égalités : 1 u i,j u i,j 3 1 i,j 1 i j 1 i<j i1 j1 u i,j i1 ji u i,j 1 u i,j i1 ji+1 u i,j j u i,j u i,j j 1 u i,j j i1 1 les cas plus compliqués que vous recotrerez serot souvet doés par l éocé J Gärter 5
ECS1B Carot Chapitre 013/014 Démostratio: E effet, la première série égalités proviet du fait que le veut sommer tous les termes du tableau : i \ j 1 1 u 1,1 u 1, u,1 u, Pour cela, o peut décider de sommer d abord chaque lige ( u i,j, puis de predre la somme des résultats ( obteir u i,j i1 j1 u i,j, ou bie de sommer d abord par coloe ( u i,j pour La deuxième série d égalités est différete car o e somme plus qu u demi-tableau : i \ j 1 1 u 1,1 u 1, u 1, u, u, u, Les termes présets das la lige i sot les u i,i, u i,i+1,u i, Leur somme est Aisi 1 i j u i,j i1 ji u i,j Les termes présets das la coloe j sot les u 1,j, u,j,,u j,j Leur somme est ce qui motre que 1 i j u i,j j u i,j La derière série proviet du même tableau, auquel o a retiré la diagoale : Exemple Calculos ( i0 i \ j 1 3 1 u 1, u 1,3 u 1, u,3 u, 1 ki i i0 ki i i0 u 1, j1 k i ( k 1 i i0 1 k( 1 k i1 u i,j ji j u i,j, i1 J Gärter 6
ECS1B Carot Chapitre 013/014 3 Sommes à coaître par cœur Voici ue liste de résultats (au programme! à coaître, très utiles e particulier pour les exercices de probabilités que vous aurez à traiter cette aée Tous ces résultats peuvet se motrer par récurrece k ( + 1 6 + 1 si q 1 q 1 q +1 si q 1 1 q k 3 ( + 1 4 Attetio aux premiers termes! o a si 0 m (m + ( m + 1 si x 1 x x m xk m x m m l0 xl xm1 x m 1 x 4 Produit De maière aalogue, o ote u k le produit u m u des u k Ses propriétés sot aalogues à celles du sige Σ : le pricipe est toujours, e cas de doute, d écrire le produit sous forme explicite Défiitio 41 Soit N, o appelle factorielle de le ombre etier! défii par 0! 1 et si > 0! 1 k et Remarque O a 0! 1 et ( + 1! ( + 1! Par exemple o a si 1 i1 j1 j! (o rappelle que! est défiie par 0! 1 et! 1 Les produits peuvet aussi se télescoper : o a u k+1 u +1 u k u 1 Exercice Essayez de les motrer : ( α ( ( 1 u k v u α k v α k u i,j u i,j u i,j 1 i j i1 ji Efi, les chagemets d idices foctioet de la même maière j J Gärter 7