APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE

APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE Définition. Soit I R un intervlle ouvert et soit f : I R une fonction. () Si f est continue, on dit que f est de clsse C 0. (2) Si f est dérivble et si f est continue sur I, on dit que f est de clsse C. (3) Si f est dérivble et si f est dérivble, on note f ou f (2) s dérivée. Si f (2) est continue, on dit que f est de clsse C 2. (4) Plus générlement, pour tout N, si on peut dériver n fois l fonction f, et si l dérivée n-ième, notée f (n), est continue, lors on dit que f est de clsse C n. (5) Si f est de clsse C n pour tout n N, lors f est infiniment dérivble, on dit que f est de clsse C. Eemple 2. () L fonction f définie sur R pr f() = 2 est C sur R. (2) Soit f l fonction définie sur R pr f() = 4, on pour tout R : f () = 4 3, f () = 2 2, f (3) () = 24, f(4)() 24, f (5) () 0, d où :f (n) () = 0 pour tout R. (3) Plus générlement, pour tout n N, l fonction f : R R définie pr f() = n est de clsse C et nous vons f (k) () = 0 pour tout entier k n +. (4) les fonctions sin, cos, e, cosh, sinh sont de clsse C sur R. (5) L fonction log est de clsse C sur ]0, + [. (6) l fonction f() =. est de clsse C 2 sur R et C sur R. Nous urons besoin du résultt technique suivnt. Lemme 3. Soit I R un intervlle ouvert, soit b I et soit f : I R une fonction de clsse C n+, n N. On considère l fonction g : I R définie en posnt : n (b ) k g() = f(b) f() f (k) () = f(b) f() b f ()! (b )2 f (2) () Dns ces conditions, l fonction g est dérivble sur I et nous vons : g (b )n () = f (n+) (), (b )n f (n) ().

2 APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE pour tout I. Preuve Puisque f est (n + ) fois dérivble, les fonctions f,, f (n) sont dérivbles. De ce fit g est composée de sommes et de produits de fonctions dérivbles sur I. Pr conséquent, g est dérivble sur I. Pour tout I nous vons : n ( ((b ) g () = f k ) ) () f (k) (b )k () + (f (k) ()) = f () = f () + n k( )(b ) k f (k) () n (b ) k f (k) () (k )! n (b ) k f (k+) () n (b ) k f (k+) (). Dns l première somme, posons p = k, nous vons : n g () = f () + p=0 (b ) p f (p+) () p! n (b ) k f (k+) (). Enfin, dns l deuième somme ppelons p l vrible, c est à dire posons k = p. Nous vons donc : n g () = f (b ) p n () + f (p+) (b ) p () f (p+) () p! p! p=0 = f () + f () = (b )n f (n+) (), ce qui termine l preuve. Nous déduisons le résultt importnt : p= (b )n f (n+) () Théorème 4. (Formule de Tylor-Lgrnge) Soit I R un intervlle ouvert, soit n N, soit f : I R une fonction de clsse C n+. Soient, b I tels que b. Dns ces conditions, il eiste u moins un réel c, strictement compris entre et b, tel que : f(b) = f() + f ()! n = k=0 (b ) + f (2) () (b ) 2 + + f (n) () f (k) () (b ) k + f (n+) (c) (n + )! (b )n+. (b ) n + f (n+) (c) (b )n+ (n + )! Cette formule est ppelée l formule de Tylor-Lgrnge à l ordre n u point. ()

APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE 3 Preuve Reprenons l fonction g du lemme 3 : n (b ) k g() = f(b) f() f (k) (), I. Nous vons : g(b) = 0 et g() = f(b) f() f ()(b ) f (2) () Posons : (b )n+ h() := g() g() (b ) n+, I L fonction h est dérivble sur I. De plus : (b ) 2 f (n) () (b ) n. (b )n+ h() = g() g() = 0 et h(b) = g(b) = 0. (b ) n+ Nous pouvons de ce fit ppliquer le théorème de Rolle à l fonction h entre et b : il eiste un réel c strictement compris entre et b tel que : Pr illeurs, nous vons : h (c) = 0. h (c) = g (b c)n (c) g()(n + )( ) (b ) n+ = g (b c)n (c) + (n + )g() (b ) n+ = (b c)n Comme h (c) = 0 nous vons donc c est à dire : f (n+) (b c)n (c) + (n + )g() (b ) n+. (n + ) (b ) n+ g() f n+ (c) = 0, g() (b )n+ f n+ (c) = 0. (n + )! En remplçnt g() pr son epression nous obtenons : f(b) f() f ()! (b )+ f (2) () ce qui termine l preuve. (b ) 2 f (n) () (b ) n f (n+) (c) (n + )! (b )n+ = 0,

4 APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE Corollire 5. Reprenons les hypothèses et les nottions de l formule de Tylor- Lgrnge. Supposons que 0 I. Nous vons : () Pour tout I, il eiste un réel c strictement entre 0 et tel que : f() = f(0) + f (0) + f (2) (0) 2 + + f (n) (0) n + f (n+) (c ) n+. (2) (n + )! (2) Si il eiste M > 0 tel que f (n+) () M pour tout I, lors nous vons pour tout I : f() (f(0) + f (0) + f (2) (0) 2 + + f (n) (0) n ) n+ M (n + )! (3) Preuve Pour (2), on pplique l formule de Tylor-Lgrnge en posnt = 0 et b =. Pour (3), on pplique (2), de ce fit, pour tout I, il eiste un réel c strictement entre 0 et tel que : f() (f(0) + f (0) + f (2) (0) 2 + + f (n) (0) n ) = f (n+) (c ) n+ (n + )!. Comme nous vons pr hypothèse f (n+) (c ) M, on obtient l inéglité (3), ce qui termine l preuve. Eemple 6. () Appliquer l formule de Tylor-Lgrnge à l fonction f() = e, R, u point 0 et à l ordre 4. L fonction f est de clsse C 5 (en fit infiniment dérivble) sur R, de plus : En prticulier : (e ) (k) = e, pour tout R et tout k N. (e ) (k) (0) =, k N, insi, pour tout R, il eiste un réel c strictement entre 0 et tel que : e = + + 2 + 3 3! + 4 4! + ec 5 5!. (2) Appliquer l formule de Tylor-Lgrnge à l fonction f() = sin, R, u point 0, à l ordre 3. L fonction sin est de clsse C 4 sur R (en fit infiniment dérivble) et nous vons pour tout R : sin () = cos, sin (2) = sin, sin (3) = cos, sin (4) = sin.

APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE 5 Ainsi, pour tout R, il eiste un réel c strictement compris entre 0 et tel que : sin = sin 0 + (cos 0) + ( sin 0) 2 = 3 3! + sin c 4 4!. + ( cos 0)3 3! + sin c 4 4! (3) Appliquer l formule de Tylor-Lgrnge à l fonction f() = tn, ] π/2, π/2[ u point 0, à l ordre 3. L fonction tn est de clsse C 4 sur ] π/2, π/2[ et nous vons pour tout ] π/2, π/2[, tn = + tn 2,. Ce qui nous donne : tn (2) = 2 tn + 2 tn 3 tn (3) = 2( + tn 2 ) + 6 tn 2 ( + tn 2 ) = 2 + 8 tn 2 + 6 tn 4 tn (4) = 6 tn + 40 tn 3 + 24 tn 5. Ainsi, pour tout ] π/2, π/2[, 0, il eiste un réel c entre 0 et tel que : tn = + 3 3 + (6 tn c + 40 tn 3 c + 24 tn 5 c ) 4 4!. Nous llons voir qu il eiste une utre mnière d pproimer une fonction dérivble pr une fonction polynomile. Théorème 7. Soit I R un intervlle ouvert, soit I et soit f : I R une fonction de clsse C n, n N. Dns ces conditions, il eiste une fonction ρ : I R continue telle que : nd f() = f()+f ()( )+ f (2) () lim ρ() = 0, (4) ( ) 2 + + f (n) () ( ) n +( ) n ρ(). (5) L formule (5) s ppelle le développement limité de f à l ordre n u point. Preuve Nous ferons une démonstrtion pr récurrence sur n N. Première étpe : Lorsque n =, on pose : ρ() = f() f() f (). Comme f est de clsse C, on bien lim ρ() = f () f () = 0. De plus : f() = f() + f ()( ) + ( )ρ(). De ce fit, les conditions (4) et (5) sont stisfites pour n =.

6 APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE Deuième étpe : Soit n N. Montrons que si l propriété est vrie à l ordre n lors elle est vrie à l ordre n +. Soit f : I R une fonction de clsse C n+. Posons g = f, l fonction g est de clsse C n et de ce fit, l hypothèse de récurrence nous dit qu il eiste une fonction continue ρ : I R telle que : lim ρ(t) = 0 t (H) g(t) = g() + g ()(t ) + g(2) () (t ) 2 + + g(n) () (t ) n + (t ) n ρ(t), t I. Comme g(t) = f (t), on donc : f (t) = f () + f (2) ()(t ) + f (3) () (t ) 2 + + f (n+) () (t ) n + (t ) n ρ(t), pour tout t I. Soit I, en intégrnt chque terme de cette dernière églité entre et on obtient : f (t) dt = f () dt + f (2) f (3) () ()(t ) dt + (t ) 2 dt c est à dire : + + f (n+) () (t ) n dt + f() f() = f ()( ) + f (2) ( )2 () ( + ( ) n+ ( ) n+ + f (3) ( )3 () 3! ) (t ) n ρ(t) dt. (t ) n ρ(t) dt, + + f (n+) ( )n+ () (n + )! Posons : Nous vons donc : S() = ( ) n+ (t ) n ρ(t) dt. f() = f() + f ()( ) + + f (n+) ( )n+ () + ( ) n+ S(). (n + )! Pr conséquent, il suffit de montrer que lim S() = 0, c est à dire : ε > 0, η > 0, I, ( < η et ) S() < ε. Soit ε > 0, comme lim t ρ(t) = 0, il eiste η > 0 tel que pour tout t I : ( < η et ) ρ(t) < ε.

APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE 7 Ainsi, pour tout I tel que et < η on : S() = n+ (t ) n ρ(t) dt n+ t n ρ(t) dt n+ t n ε dt ε n+ t n dt ε n + ε cr un clcul montre que si > nous vons : t n dt = = (t ) n dt (t )n+ n + et si < nous vons : t n dt = ( ) n dns les deu cs nous vons donc : t n dt Ce qui termine l preuve. = ( )n+ n + (t ) n n ( )n+ dt = ( ) n + n+ = n + Eemple 8. () Donner le développement limité de sin à l ordr 5 en 0. L fonction sin est de clsse C 5 (et même plus!) et nous vons : sin () = cos, sin (2) = sin, sin (3) = cos, sin (4) = sin, sin (5) = cos. Le théorème précédent nous dit qu il eiste une fonction continue ε() sur R telle que lim 0 ε() = 0 et : sin = sin(0) + cos(0) + ( sin(0)) 2 2 = 3 3! + 5 5! + 5 ε(). + ( cos(0))3 3! + sin(0)4 4! + cos(0)5 5! + 5 ε()

8 APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE (2) Clculer lim 0 cos 2. Un clcul rpide donne le développement limité suivnt pour l fonction cos en 0 : Ainsi : cos = 2 2 + 2 ε(). cos lim 0 2 = lim( 2 2 + 2 ε() 0 2 = lim( 0 2 + ε()) = 2, cr lim 0 ε() = 0. (3) Donner le développement limité de cosh en 0 à l ordre 4. L fonction cosh est de clsse C 4 sur R (et même C!) et nous vons : cosh = sinh, cosh (2) = cosh, cosh (3) = sinh, cosh (4) = cosh. Ainsi cosh = + 2 2 + 4 4! + 4 ε(), où ε() est une fonction continue sur R telle que lim 0 ε() = 0. (4) Donner le développement limité de l fonction f() = log(+) en 0 à l ordre 4. L fonction f est de clsse C 4 sur ], + [ et nous vons : f () = +, f (2) () = ( + ) 2, f (3) () = ce qui donne : log( + ) = 2 2 + 3 3 4 4 + 4 ε(), 2 ( + ) 3, f (4) () = 6 ( + ) 4 où ε() est une fonction continue sur ], + [ telle que lim 0 ε() = 0. Opértions sur les développements limités Soient f, g : I R deu fonctions de clsse C n. On suppose que 0 I. On considère le développement limité de f et g en 0 à l ordre n : f() = P () + n ε () g() = Q() + n ε 2 () où P et Q sont deu fonctions polynomiles de degré n.

APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE 9 Le développement limité de f + g en 0 à l ordre n est : Pr eemple nous svons que : (f + g)() = P () + Q() + n ε(). sin = 3 3! + 4 ε () et cos = 2 2 + 4 4! + 4 ε 2 (). Pr conséquent, le développement limité de l fonction sin + cos en 0 à l ordre 4 est : sin + cos = + 2 2 3 3! + 4 4! + 4 ε(). Pour tout λ R, le développement limité de λf en 0 à l ordre n est : λf() = λp () + n ε(). Pr eemple le développement limité de λ sin en 0 à l ordre 4 est : où on posé ε() = λε (). λ sin = λ( 3 3! + 4 ε ()) = λ λ 3 3! + 4 ε(), Le développement limité de (fg)() en 0 à l ordre n est : (fg)() = T n (P ()Q()) + n ε(), où T n (P ()Q()) est l somme des puissnces de P ()Q() de degré n. Cherchons pr eemple le développement limité de sin cos en 0 à l ordre 4. Nous vons : sin cos = ( 3 3! + 4 ε ())( 2 2 + 4 4! + 4 ε 2 ()) = 3 2 3 3! + 4 ε()) = 2 3 3 + 4 ε()) Supposons que l composée f g eiste et que g(0) = 0. Dns ces conditions le développement limité de f g en 0 à l ordre n est : (f g)() = T n (P (Q(X))) + n ε().

0 APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE Eemple 9. () Nous vons sin 0 = 0, de ce fit le développement limité de cos(sin ) en 0 à l ordre 4 est : cos(sin ) = sin2 2 = + sin4 4! + sin 4 ε 3 () 3 ( 3! + 4 ε ()) 2 3 ( 3! + 4 ε ()) 4 + + ( 3 2 4! 3! + 4 ε ()) 4 ε 3 () = 2 (2 2 4 3! ) + 4! 4 + 4 ε() = 2 2 + 5 4! 4 + 4 ε() (2) Donner le développement limité de l fonction h() = en 0 à l ordre 5. 2 Posons g() = 2 et f(t) = Nous vons donc h() = (f g)(). t. Cherchons le développement limité de f en 0 à l ordre 3, nous vons : f (t) = ce qui nous donne : De ce fit : ( t) 2, f (2) (t) = 2 ( t) 3, f (3) (t) = f(t) = + t + t 2 + t 3 + t 3 ε (t). h() = f( 2 ) = + 2 + 4 + 5 ε(). 3! ( t) 4,