Séquence 2 Pourcenages Sommaire Pré-requis Évoluions e pourcenages Évoluions successives, évoluion réciproque Complémen sur calcularices e ableur Synhèse du cours Exercices d approfondissemen 1
1 Pré-requis Vous avez souven renconré des pourcenages dans la vie courane e vous avez déjà ravaillé sur cee noion duran vore scolarié. Nous allons analyser dans ce premier chapire les principaux ypes de problèmes liés aux pourcenages e nous éudierons plus pariculièremen dans cee première séquence les pourcenages d évoluion. A Calculer le pourcenage d un nombre Exemple a) Combien valen 19,6% de 75? On effecue le calcul : 19, 6 75 = 0, 196 75 = 14, 7. 19,5% de 75 es donc égal à 14,7. b) Combien valen 19,6% de 300? On effecue le calcul : 19, 6 300 = 0, 196 300 = 58, 8. 19,6% de 300 es donc égal à 58,8. Remarque 300 éan égal à 75 muliplié par 4, 19,6% de 300 sera égal à 19,6% de 75 muliplié par 4. En effe, 14, 7 4= 58, 8 À savoir % d un nombre s obien en muliplian ce nombre par. B Déerminer une proporion Exemple a) Dans un magazine de 80 pages, on rouve 28 pages de publicié. Quel es le pourcenage de publicié de ce magazine? 3
Il s agi en fai de déerminer le nombre de pages de publicié si le magazine conenai pages. Les règles de proporionnalié nous permeen le calcul suivan : pour 80 pages de magazine, on a 28 pages de publicié, pour 1 page, on en aurai 80 fois moins, soi 28 80, e pour pages, on en aurai fois plus, soi 28 35 80 =. Le magazine conien donc 35% de publicié. Ce ype de raisonnemen es appelé «règle de rois». On peu dire aussi que la proporion de publicié dans ce magazine es de 35%, ou encore que la par de publicié dans ce magazine es de 35%. Vous avez pu aussi résoudre ce genre de problèmes à l aide d un ableau de proporionnalié. Nombre de pages du magazine 80 Nombre de pages de publicié 28 x À savoir D après les règles du «produi en croix», on doi avoir : 80 x = 28 28 soi x = = 35. 80 Le magazine conien donc 35% de pages de publicié. Enfin, une dernière méhode de déerminaion de la proporion de publicié dans le magazine consise à la calculer sous forme fracionnaire. Puisque l on a 28 pages de publicié pour 80 pages de magazine, cee proporion (ou par, ou fréquence) es égale à : 28 35 80 Or 035, =, soi 35 sur, soi 35%. = 035,. b) On considère une assemblée de 720 personnes composée de 450 femmes e de 270 hommes. Quel es le pourcenage de femmes dans cee assemblée? La proporion de femmes dans l assemblée es de : 450 = 0, 625 soi 62,5%. 720 A E Soi A un sous-ensemble (ou parie) de E. La proporion p de A dans E es : nombre d'élémens de A. p = nombre d'élémens de E p es un nombre réel compris enre 0 e 1. Lorsque ce nombre es décimal, on l exprime aisémen sous la forme d un pourcenage. 4
C Déerminer le ou connaissan une parie Exemple a) Dans un quoidien, on peu lire : «3 390 personnes on voé, c es-à-dire 75% des inscris sur les lises élecorales». Calculer le nombre d inscris. Noons N le nombre d inscris. 75 N =3390, soi 0, 75N = 3 390, soi 3390 N = = 4520. 075, 4 520 personnes son donc inscries sur les lises élecorales. Remarque Puisque le nombre de voans es égal à 75% du nombre d inscris, on obien le nombre de voans en muliplian le nombre d inscris par 75 = 0,75. Le nombre d inscris s obien donc en divisan le nombre de voans par 0,75. b) Jean-Pierre a un revenu mensuel de 3 300, ce qui représene 55% du revenu mensuel de son ménage. Quel es le revenu mensuel de son ménage? Noons X le revenu mensuel de son ménage, en euros. On a : 55 X =3 300, soi 3 300 055, X = 3300, soi X = = 6 000. 055, Le revenu mensuel du ménage es donc de 6 000. À savoir Pour déerminer le «ou» lorsque l on connaî une «parie», on peu penser à inroduire comme inconnue l effecif du «ou». 5
D Calculer un aux de TVA Exemple a) Voici une facure : Toal HT... 70. TVA... 13,72 Quel es le aux de TVA appliqué? Soi % le aux de TVA appliqué. 70 13 72 =,. 13, 72 Par suie, = = 19, 6. 70 Le aux de TVA appliqué es donc de 19,6%. On pouvai aussi déerminer ce aux en raisonnan avec une «règle de rois» ou à l aide de l uilisaion de produi en croix. b) Voici une aure facure Prix TTC des réparaions..548,6 don TVA.. 28,6 Quel es le aux de TVA appliqué? Le prix HT des réparaions exprimé en euros es donc de 548,6 28,6 = 520. Soi % le aux de TVA appliqué. 520 28 6 =,. 28, 6 Par suie, = = 55,. 520 Le aux de TVA appliqué es donc de 5,5%. À savoir La TVA se calcule sur le prix hors axe. 6
2 Évoluions A e pourcenages Aciviés Acivié 1 Des variaions Du 1/1/2000 au 1/1/2010 la populaion française es passée de 58 858 milliers à 62 794 milliers d habians. a) De combien d habians a--elle augmené du 1/1/2000 au 1/1/2010? b) Par quel coefficien muliplicaeur CM la populaion du 1/1/2000 a--elle éé mulipliée pour obenir la populaion du 1/01/2010? c) Quel es le pourcenage % d augmenaion de la populaion enre le 1/01/2000 e le 1/01/2010? Du 1/1/2008 au 1/1/2009 la populaion allemande es passée de 84 191 milliers d habians à 82 002 habians. a) De combien d habians a--elle baissé du 1/1/2008 au 1/1/2009? b) Par quel coefficien CM la populaion du 1/1/2008 a--elle éé mulipliée pour obenir la populaion du 1/01/2009? c) Quel es le pourcenage % de diminuion de la populaion enre le 1/01/2008 e le 1/01/2009? Acivié 2 Un indice boursier passe de I 0 = à I 1 = 107. a) Donner son coefficien muliplicaeur e indiquer le pourcenage d augmenaion correspondan b) Ce indice diminue ensuie de 7%. Donner le nouvel indice I 2. Traduire par un coefficien muliplicaeur a) augmener de 7% ; b) augmener de 20% c) augmener de 0,5% d) augmener de 120% e) diminuer de 10% f) diminuer de 1,2% g) diminuer de 95% h) diminuer de 50%. 7
B Cours Différenes façons d exprimer une variaion Définiions On considère une quanié passan de la valeur iniiale V 1 à la valeur finale V 2. a) La variaion absolue es la quanié V V. 2 1 b) Le coefficien muliplicaeur es le nombre par lequel il fau muliplier V 1 pour obenir V 2. On le noe souven CM. On a donc : V2 = CM V1 soi CM = V2 V 1 c) La variaion relaive es le quoien : V 2 V 1. V1 d) Le pourcenage d évoluion ou le aux d évoluion es la variaion relaive exprimée en pourcenage. Ainsi, pour une évoluion de % ( > 0 s il s agi d une augmenaion e < 0 s il s agi d une diminuion) = V 2 V 1 V V ou encore = 2 1 V V 1 Expliquons cee dernière définiion. Si à la suie d une évoluion de %, une quanié passe de V 1 à V 2, on a : V1+ V1= V 2 soi V1( 1+ ) = V 2. V On en dédui : 1+ = 2 V soi V2 V V 1 2 = = 1. 1 V1 V1 Remarque Vous avez peu-êre appris dans vore cours d économie ou de géographie de seconde que le aux d évoluion % es donnée par le quoien : valeur finale valeur iniiale. V V valeur iniiale Ce résula es en accord avec la formule : 2 = 1 V1 Pour une augmenaion (ou hausse), V2 > V1 donc V2 V1> 0 ; CM > 1 e >0. Pour une diminuion (ou baisse), V2 < V1 donc V2 V1< 0 ; 0 < CM < 1 e < 0. V2 La formule = 1 peu aussi se lire CM V1 = 1. Le pourcenage d évoluion es égal au coefficien muliplicaeur moins 1. 1 8
Exemple 1 Un voyage valai 240 le premier janvier 2010. Il vau 276 le premier janvier 2011. a) La variaion absolue du prix du voyage es donc de 276 240 = 36 soi 36. Cee variaion (ici une hausse) es absolue. 276 b) Le coefficien muliplicaeur es : CM = = 115,. 240 c) La variaion relaive es : 276 240 36 = = 015,. 240 240 15 d) Le aux d évoluion du voyage es de 015, = soi 15%. Le voyage a donc augmené de 15 % enre le premier janvier 2010 e le premier janvier 2011. Exemple 2 Un ordinaeur hau de gamme valai 2 000 le premier janvier 2010. Il vau 1 728 le premier janvier 2 011. a) La variaion absolue du prix de l ordinaeur es donc de 1 728 2 000 = 272 soi 272. Cee variaion (ici une baisse) es absolue. 1728 b) Le coefficien muliplicaeur es : CM = = 0864,. 2 000 c) La variaion relaive es : 1 728 2 000 272 = = 0, 136. 2 000 2 000 13, 6 d) Le aux d évoluion du voyage es de 0136, = soi 13,6%. Le voyage a donc baissé de 13,6% enre le premier janvier 2010 e le premier janvier 2011. Lien enre pourcenage d évoluion e coefficien muliplicaeur La propriéé suivane es d un inérê praique rès imporan. Propriéés Augmener une quanié de % revien à la muliplier par CM = 1+. Diminuer une quanié de % revien à la muliplier par CM = 1. 9
Démonsraion Si on augmene une quanié Q de %, cela revien à rajouer à la quanié Q la quanié Q. On obien la quanié Q + Q. Or Q + Q = Q( 1+ ) La quanié Q a donc bien éé mulipliée par 1+ suie à l augmenaion de %. Si on diminue une quanié Q de %, cela revien à sousraire de la quanié Q la quanié Q. On obien la quanié Q Q. Or Q Q = Q( 1 ) La quanié Q a donc bien éé mulipliée par 1 suie à la diminuion de %. Remarque Lorsque l on diminue une quanié de %, le pourcenage de variaion de cee quanié es de %. Ceci explique la cohérence des affirmaions : CM = 1 où désigne le pourcenage de variaion qui sera donc négaif dans le cas d une diminuion e Diminuer une quanié de % revien à la muliplier par CM =1 où es ici posiif. Exemple 1 Une augmenaion de 50% donne un coefficien muliplicaeur CM= 1+ 50 = 15,. Une augmenaion de 7% donne un coefficien muliplicaeur 7 CM = 1+ = 107,. 20 Une diminuion de 20% donne un coefficien muliplicaeur CM = 1 = 08,. Une diminuion de 3,5 % donne un coefficien muliplicaeur CM = 1 35, = 0, 965. L augmenaion de l exemple 1 de 15% correspond bien à un coefficien muliplicaeur CM = 1+ = 115,. 15 10
La diminuion de 13,6% de l exemple 2 correspond bien à un coefficien muliplicaeur de CM = 1 13, 6 = 0864,. Remarque a) On peu avoir des augmenaions de plus de % mais pas de diminuion de plus de %. b) La propriéé précédene perme aussi de rerouver le pourcenage d évoluion à parir du coefficien muliplicaeur. 80 CM = 18, = 1+ correspond à une augmenaion de 80 %. 4 CM = 104, = 1+ correspond à une augmenaion de 4 %. CM = 1196 = 1+ 19,, 6 correspond à une augmenaion de 19,6 %. CM = 3 = 1+ 200 correspond à une augmenaion de 200 %. 70 CM = 03, = 1 0, 7= 1 correspond à une diminuion de 70 %. CM = 086, = 1 0, 14= 1 14 correspond à une diminuion 14 %. Indices e évoluion On uilise souven les indices pour prendre connaissance de l évoluion d une valeur à parir d une dae fixée. Indice année n = valeur de l'année n valeur de l'annéedebase. Le calcul des indices perme de comparer plus aisémen les évoluions par rappor à l année choisie pour base, die encore année de référence e qui a pour indice. Considérons par exemple le ableau suivan fourni par l INSEE : 2004 2005 2006 2007 2008 Nombre de personnes percevan le RMI en milliers 1238,5 1289,5 1278,8 1172,1 1142,0 Choisissons pour année de référence l année 2004. Il suffi alors pour avoir les différens indices demandés de compléer le ableau par proporionnalié en uilisan par exemple la formule donnan l indice uilisé ci-dessus. 11
Remarquons que l on peu obenir aisémen ces indices en uilisan l édieur de lises d une calcularice ou d un ableur. a) Avec une calcularice, ype TI Pour cela, on peu, sur une calcularice ype TI, à parir du menu STAT édi enrer dans L1 le nombre de personnes (en milliers) percevan le RMI En se posiionnan sur L2, écrire la formule *L1/L1(1) ou *L1/1238.5 qui va ligne par ligne appliquer la formule valeur de l'année n Indice année n = valeur del'annéedebase On obien alor b) Avec une calcularice ype casio, dans le menu LIST, enrer dans Lis 1 le nombre de personnes (en milliers) percevan le RMI Sélecionner ensuie le menu RUN, puis OPTN. En F1, apparaî le mo LIST, qui va nous permere d effecuer des calculs sur les lises de nombre. Ecrire alors à l écran, *Lis 1 1238.5 Lis 2 puis EXE. La calcularice répond «done», ce qui signifie que dans le menu LIST, on a dans la Lis 2, les indices recherchés. On peu reporer ces valeurs dans le premier ableau en les arrondissan à 0,01% près. 2004 2005 2006 2007 2008 Nombre de personnes percevan le RMI en milliers 1238,5 1289,5 1278,8 1172,1 1142,0 Indice base en 2004 104,12 103,25 94,64 92,21 12
Remarque Pour obenir les arrondis souhaiés à l aide de la calcularice, on peu Sur une calcularice ype TI, choisir mode Floa e le nombre de décimales souhaiées. Sur une calcularice de ype casio, choisir dans le menu RUN, shif se up, display Fix e le nombre de décimales souhaiées. On li alors aisémen qu enre 2004 e 2005, l indice éan passé de à 104,12, le pourcenage d augmenaion du nombre de personnes percevan le RMI enre 2004 e 2005 es de 4,12% puisque 104, 12 CM = = 1+ 412, = 1+. De même, enre 2004 e 2008, le pourcenage de diminuion de personnes recevan le RMI es de 7,79% puisque 92, 21 CM = = 1 779, = 1. Remarque On aurai pu calculer les variaions en pourcenage de chaque année par rappor à l année 2004 à la calcularice en enran dans L3 la formule : L3 = L2. En effe, en sousrayan à un indice, on li direcemen le pourcenage d évoluion de l année de référence à l année n, ce qui es un des inérês majeurs de l uilisaion des indices. 13
c) Avec un ableur On aurai pu aussi copier ces données dans une feuille de ableur e effecuer les calculs à l aide de recopies de formules. Dans la cellule B3, il suffi d écrire la formule = *B2/$B2. En recopian cee formule vers la droie, on obiendra en cellule C3, =*C2/$B2(puisque le dollar fixe la caracère suivan ce dollar), ce qui correspond à l applicaion donnan le calcul de l indice en 2005 base en 2004, e en iran cee formule jusqu en F3, on obiendra ous les indices recherchés. De même, l évoluion en % par rappor à 2004 en renan dans la cellule B4, =B3- e en recopian cee formule vers la droie jusqu en F4. C Exercices d apprenissage Exercice 1 Le ableau suivan donne les résulas au bac dans un lycée rennais Année 2009 2010 2011 Nombre de candidas 246 258 271 Nombre de reçus 221 224 249 14
Calculer le aux d accroissemen du nombre de candidas enre 2009 e 2011 Calculer le aux de réussie au bac chaque année pour ce lycée. Calculer le aux d évoluion du pourcenage de réussie au bac sur la période 2009-2010 puis sur la période 2010-2011. Exercice 2 Recopier e compléer le ableau suivan : Ancien prix en 148 345 465 Nouveau prix en 369,15 575 Coefficien muliplicaeur 1,2 Evoluion en % +15% 8% Exercice 3 Le aux de TVA sur les aricles suivans es 19,6%. Un aricle coûe 280 HT ; calculer son prix TTC. Un aricle coûe 203,32 TTC ; calculer son prix HT e le monan de la TVA. Le monan de la TVA sur un aricle es 41,16 ; calculer son prix TTC. Exercice 4 Téléphonie mobile milliers Parc naional de éléphonie mobile 75.0 60.0 55,4 55,7 56,0 56,4 58,0 58,2 59,2 59,7 61,5 61,5 61,9 45.0 19,0 18,9 18,6 18,1 18,7 18,4 18,7 18,3 18,8 18,2 17,8 30.0 15.0 36,8 36,9 37,5 38,3 39,3 39,8 40,5 41,4 42,6 43,3 44,1 0.0 déc-07 juin-07 déc-08 Parc pos-payé juin-09 déc-09 juin-10 Parc prépayé en milliards 26 24 22 16 18 20 14 12 10 8 29 31 6 4 2 4,3 4,7 0 30 4,7 31 4,9 Volume naional de SMS 37 5,9 42 6,7 49 7,9 53 8,7 11,7 13,7 14,7 15,6 19,4 22,8 24,2 déc-06 juin-07 déc-07 juin-08 déc-08 juin-09 déc-09 juin-10 Trafic SMS oal Trafic SMS mensuel moyen par clien Source : Les chiffres du marché des mobiles : www.arcep.fr/index.php?id=10540 70 81 86 91 135 124 110 uniés 140 130 120 80 90 70 60 50 40 30 20 10 0 15
En juin 2009, le nombre de cliens uilisan en France un service mobile fourni par un opéraeur éai de 59 177 200. De juin 2009 à juin 2010, ce nombre a augmené de 4,56%. Quel éai alors le nombre de ces cliens en juin 2010? En juin 2009, la populaion française éai esimée à 64 171 800 habians. En juin 2010, celle-ci éai esimée 64 577 800 habians. Déerminer pour ces deux années le pourcenage du nombre de cliens uilisan un service mobile dans la populaion française (aux de pénéraion). En juin 2010, on compabilisai les SMS échangés en France à 24 337 900 milliers d uniés. De juin 2009 à juin 2010, ce nombre a augmené de 65,26%. Quel éai le nombre d uniés de SMS échangés en France en juin 2009? A l aide d une lecure graphique, déerminer le pourcenage d augmenaion du nombre de cliens uilisan en France un service mobile fourni par un opéraeur de décembre 2007 à juin 2010. Exercice 5 Baisse démographique L INED (Insiu naional d éudes démographiques) prévoi que le Japon compan acuellemen 127, 6 millions d habians (esimaion 2009) en compera 95 millions en 2050. Quel es le pourcenage de baisse de populaion prévu sur la période 2009-2050 au Japon? L Allemagne compe acuellemen 82 millions d habians (2009) e l INED a prévu une baisse de 13,4% de ces habians d ici 2050. Combien compera-elle alors d habians en 2050? L INED prévoi en Russie une baisse de 21,2% de ces habians jusqu à 1950 e elle n en compera plus alors que 117 millions. Quel es le nombre d habians aujourd hui en Russie (2009)? Exercice 6 Possible ou impossible? La populaion d une ville a augmené de 205% en 30 ans La populaion d une ville a diminué de 120% en 50 ans. Exercice 7 Si le aux de TVA sur les DVD passai de 19,6% à 5,5%, quel serai le pourcenage de diminuion du prix de vene TTC des DVD? Exercice 8 En débu de marché, deux marchands venden une même variéé de pomme de erre au même prix. En fin de marché, un premier vendeur de pommes de erre propose «Ici, 20% de produi en plus». Son voisin, pour la même variéé de pommes de erre propose «Ici, 20% de remise». Vau-il mieux acheer chez le premier vendeur ou chez son voisin? 16
Exercice 9 Le minisère de l Éducion naionale français fourni les chiffres suivans indiquan ous les dix ans les effecifs d élèves e d éudians à chaque renée depuis 1980 selon les différenes caégories (premier degré, second degré, supérieur) e hors enseignemen agricole (qui dépend du minisère de l agriculure). 1980-1981 1990-1991 2000-2001 2010-2011 Premier degré 7396,3 6953,4 6552 6611,1 Second degré 5309,2 5725,8 5614,4 5370,8 Supérieur 1184,1 1717,1 2160,3 2347,7 Toal 13889,6 14396,3 14326,7 14329,6 Déerminer les indices base en 1980-1981, arrondis à 0,1 près. Comparer alors l évoluion des effecifs dans chaque niveau d éducaion. a) Calculer la proporion des éudians dans la oalié des scolarisés pour chacune des renrées (1980, 1990, 2000, 2010). b) Comparer l évoluion de cee par pour chaque décennie. Exercice 10 Le minisère de l Écologie fourni les données suivanes sur l évoluion du prix du gazole enre les années 2000 à 2009. Recopier ces données dans une feuille de ableur e insérer un graphique monran selon les années à la fois le prix de vene TTC e le prix de vene hors axe. Compléer les colonnes C, D e F. Commener les résulas obenus. 17
Exercice 11 Les médias son-ils fâchés avec les pourcenages? (d après APMEP, IREM de Lorraine). Les rois exrais de journaux ou revues ci-dessous peuven comporer des erreurs ou des ambiguïés. Il s agi d y rechercher les évenuelles erreurs. À propos de vols dans un pei village des Alpes ( ) Car, même si sa commune figure dans l arrière pays, elle n es pas à l abri de la délinquance, face à laquelle la gendarmerie serai démunie, faue de moyens. «Il fau relaiviser les choses, empêe--on à la gendarmerie de Puge-Théniers. L an dernier il n y a pas eu de vols. Alors si cee année il y en a eu rois, ça lui fai ou de suie 300% d augmenaion». À propos du prix de revien des CD ( ) Fiable, inalérable, inusable, le CD a sauvé la musique des couacs e les maisons de disques de la faillie. Hisoire d un miracle :( ) En quare ans, les prix on chué de 300%. Un CD sori d usine (suppor+boîier+livre de 4 pages) revien royalemen à 8,50 HT. À propos des ransfers de joueurs de foo Ce qui se passe depuis un mois dans la rubrique des ransfers donne le verige. En quare ans en France, le monan des ransacions a quadruplé : 400% d inflaion, ce n es pas si mal! 18
3 Évoluions A Acivié 3 successives, évoluion réciproque Aciviés Les économies de Pierre Pierre a d économie. Il en dépense d abord 30% puis de nouveau 10% de ce qui lui rese. De quel pourcenage les économies de Pierre on-elles baissé à la suie de ces deux opéraions? Acivié 4 Maillos de bain Dans une grande surface, les maillos de bain augmenen de 10% au mois de juin. Pour les soldes du mois de sepembre ils baissen alors de 10%. Rerouven-ils leurs prix iniiaux? B Cours Évoluions successives Inroducion Le chiffre d affaires d une enreprise éai de 10 millions d euros pour 2008. Il a chué de 5% en 2009 puis a augmené de 12% en 2010. Le coefficien muliplicaeur correspondan à la baisse de 5% es : 5 CM 1 = 1 = 1 0, 05= 0, 95. A la suie de la chue de 5%, soi pour 2009, le chiffre d affaires de l enreprise es donc, en millions d euros, de : 10 0, 95 = 9, 5. Le coefficien muliplicaeur correspondan à la hausse de 12% es : 12 CM 2 = 1+ = 112,. 19
A la suie de la hausse de 12%, soi pour 2010, le chiffre d affaires es donc, en millions d euros, de : 95, 112, = 1064,. Le coefficien muliplicaeur global correspondan à la suie des deux évoluions es donc de : 10, 64 1 064 1 64, =, = +. 10 Le résula d une baisse de 5% puis d une hausse de 12% es donc une augmenaion de 6,4% (e non de 5+ 12= 6% comme on aurai pu le croire à priori). Remarquons que pour rouver le chiffre d affaires de 2010, on a muliplié celui de 2008 d abord par CM 1 = 095, puis, on a muliplié ce résula par CM 2 = 112,. Le chiffre d affaires de 2010 es donc égal à celui de 2008 muliplié par 095, 112, = CM1 CM2. Le coefficien muliplicaeur global es donc égal au produi des coefficiens muliplicaeurs des évoluions successives. Propriéés Lors de deux évoluions successives, les coefficiens muliplicaeurs se muliplien. CM CM Si V0 1 V1 2 V2 alors CMglobal = CM1 CM2 Démonsraion Par définiion du coefficien muliplicaeur, on peu écrire, V1= CM1 V0 e V2 = CM2 V1. On en dédui donc V2 = CM2 CM1 V0. On obien donc V 2 à parir de V 0 en muliplian V 0 par CM1 CM2. Le coefficien muliplicaeur global es donc bien égal au produi des coefficiens muliplicaeurs. 20
Généralisaion Exemple Lors d évoluions successives, les coefficiens muliplicaeurs se muliplien. Un indice boursier diminue de 25% puis augmene successivemen de 5% e de 20%. Ce indice es-il revenu à sa valeur de dépar? Le coefficien muliplicaeur correspondan à la baisse de 25% es 25 CM 1 = 1 = 075,. Le coefficien muliplicaeur correspondan à la hausse de 5% es 5 CM 2 = 1+ = 105,. Le coefficien muliplicaeur correspondan à la hausse de 20% es 20 CM 3 = 1+ = 120,. Le coefficien muliplicaeur global es donc : CMglobal = CM1 CM2 CM3 = 0, 75 1, 05 1, 20 = 0, 945. Ce coefficien muliplicaeur global es inférieur à 1 ; globalemen ce indice boursier a donc baissé. Comme 0 945 1 0 055 1 55,, =, =, on peu en déduire que ce indice boursier a baissé de 5,5%. Il n es donc pas revenu à sa valeur de dépar. Évoluion réciproque Inroducion Un prix augmene de 25%. Quel es le pourcenage de diminuion qui perme de revenir au prix iniial? La réponse d une diminuion de 25% qui peu venir à l espri es fausse puisque : 25 CMglobal = CM1 CM2 = 1+ = = 1 25, ( )( ) 125, 0, 75 0, 9375 = 1 625. Si on augmene de 25% e que l on diminue ensuie de 25%, cela revien à une baisse de 6,25 %. On peu aisémen expliquer la baisse globale par le fai que l on reire 25% d une somme plus fore que celle du dépar à laquelle on avai appliqué la hausse de 25%. Pour revenir au prix iniial, il fau rouver un CM global égal à 1. Noons % le pourcenage de diminuion cherché compensan la hausse de 25 %. 21
On doi avoir : 25 1 1 1 ' ' = CMglobal = CM1 CM2 = ( + )( ) = 1251, ( ). On en dédui : ' 1 1 = =08, soi 125, ' = 02,, soi ' = 20. Une hausse de 25% es donc compensée par une baisse de 20%. Propriéés e définiion Le aux de pourcenage % compensan une évoluion (hausse ou baisse) de % es appelé aux d évoluion réciproque. Pour le déerminer, on radui que le produi des coefficiens muliplicaeurs correspondans à ces évoluions doi êre égal à 1, soi : (1+ )(1+ ' )=1 Les coefficiens muliplicaeurs de deux évoluions réciproques son donc inverses l un de l aure. Exemple Quel pourcenage de hausse fau-il appliquer pour compenser une baisse de 40%? Une baisse de 40% correspond à un coefficien muliplicaeur de 40 1 = 1 0, 4= 0, 6. Le coefficien muliplicaeur de l évoluion réciproque cherché es l inverse de 0,6 1 66, 67 soi 1, 6667 = 1+. 06, Le pourcenage de hausse compensan une baisse de 40% es donc une hausse d environ 66,67%. C Exercices d apprenissage Exercice 12 Le prix du m 3 de gaz a subi en France, en 2005, une augmenaion de 7,5% au mois de Mai e de 2,5% au mois de Décembre. De quel pourcenage le prix du gaz a--il augmené en France en 2005? 22
Exercice 13 Le nombre d adhérens d une médiahèque a diminué de 7% enre le 1 er Janvier 2009 e le 31 Décembre 2009 e a augmené de 8% enre le 1 er Janvier 2010 e le 31 Décembre 2010. Le nombre d adhérens a--il augmené ou diminué enre le enre le 1 er Janvier 2009 e le 31 Décembre 2010? Exercice 14 Compléer le ableau suivan Première éape Deuxième éape Résulane augmenaion de 20% augmenaion de 10% augmenaion de 32% augmenaion de 10% diminuion de 10% augmenaion de 10% augmenaion de 20% augmenaion de 10% augmenaion de 10% diminuion de 20% diminuion de 20% augmenaion de 10% diminuion de 5% augmenaion de 25% diminuion de 20% diminuion de 3,2% diminuion de 6,8% augmenaion de 12,5% augmenaion de 38,75% diminuion de 25% diminuion de 36,25% augmenaion de 20% diminuion de 36% résula consan résula consan Exercice 15 Un propriéaire augmene un loyer de 8% chaque année. Calculer le loyer au bou de 5 augmenaions successives, connaissan le loyer iniial de 165 (arrondir à 1 près). En combien d années le loyer aura--il plus que doublé? Exercice 16 Dans une enreprise, le prix de vene d un obje manufacuré es égal à 98 au 1 er janvier 2010. En cours d année, le prix de ce obje augmene successivemen de 15%, puis de 7%. Il diminue ensuie de 9% e augmene de 3% en fin d année. Quel es le prix de ce obje le 1 er janvier 2011? Exercice 17 La producion de blé dans l union Européenne en milliers de onnes es consignée dans le ableau suivan : 1/07/2007 au 30/06/2008 1/07/2008 au 30/06/2009 1/07/2009 au 30/06/2010 120 151 139 Source :UDSA/GRAIN 23
On appellera première période la période du 1/07/2007au 30/06/2008, seconde période la période du 1/07/2008 au 30/06/2009 e roisième période la période du 1/07/2009 au 30/06/2010. Quel es le pourcenage de variaion de la producion de blé de la première période à la seconde période? Quel es le pourcenage de variaion de la producion de blé de la seconde période à la roisième période? En déduire, en muliplian les coefficiens muliplicaeurs, le pourcenage de variaion de la producion de blé enre la première période e la roisième période. Vérifier ce résula à l aide d un calcul direc. Exercice 18 Le propriéaire d un cinéma analyse la fréquenaion de ses salles : enre Janvier e Février, elle a augmené de 7% e enre Janvier e Mars, elle a baissé de 2%. En uilisan les indices, déerminer l arrondi à l unié du aux de pourcenage d évoluion de la fréquenaion de ses salles enre Février e Mars. Exercice 19 Le prix d un aricle augmene de 20%. Calculer le pourcenage de variaion qu il fau appliquer pour le ramener à son prix normal. Même quesion pour a) une augmenaion de % b) une augmenaion de 200% c) une diminuion de 30% Exercice 20 Une acion coée à la bourse de Paris subi, sur rois jours, les variaions suivanes. Premier jour : +15,3% ; deuxième jour : 42% ; roisième jour :+69%. A l aide de la calcularice, déerminer l arrondi au dixième du aux de variaion journalier qui, appliqué successivemen les rois jours considérés, aurai produi le même effe. Ce aux es appelé aux moyen d évoluion. 24
4 Complémen sur calcularices e ableur Calculs de variaions relaives Les chiffres suivans son exrais d images économiques du monde 2011. Ils concernen l évoluion de prises de maquereau espagnol de 2000 à 2007. Les chiffres son exprimés en millions de onnes. 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 1,47 1,81 1,47 1,85 2,00 2,01 2,03 1,71 Déerminons le pourcenage d évoluion de ces prises d une année à l aure. Pour avoir le pourcenage d évoluion de l année n à l année n + 1, il suffi de savoir qu il es égal à : valeur l'année n+ 1 valeur l'année n valeur l'année n a) Avec une calcularice Renrons les données de prises dans la première lise L1. Puisque l on va devoir faire le calcul, valeur l année n + 1 valeur l année n, on peu recopier dans L2 la lise des valeurs mais en paran de 1,81. En face de 1,71, nous pourrons écrire 1,71 en supposan qu il n y a pas d évoluion enre 2007 e 2008. Nous pouvons donc avec une calcularice de ype TI nous posiionner sur L3 e écrire la formule =*(L2 L1)/L1. Avec une calcularice de ype casio, écrire dans le menu RUN l expression : *(LIST 2 LIST 1)/LIST 1 LIST 3. Nous obiendrons ainsi en première ligne de L3, le aux d évoluion, exprimé en pourcenage, de prises de maquereau enre les années 2000 e 2001, augmenaion de 23,13%, en deuxième ligne de L3, celui enre les années 2001 e 2002, diminuion de 18,78%, ec. 25
b) Avec un ableur On recopie les données en colonne A e B. Pour avoir le pourcenage d évoluion enre 2000 e 2001, il suffi d écrire en cellule C3,la formule : valeur l'année n+ 1 valeur l'année n =(B3-B2)/B2 qui radui la formule, de sélecionner la colonne C e de cliquer sur l icône % en première ligne. valeur l'année n On obien alors en cellule C3 le pourcenage d évoluion de prises de l année 2001 à l année 2002. En recopian la formule vers le bas, on obien ous les pourcenages d évoluion demandés. Le ableur (open calc) perme aussi de visualiser les données aisémen. On peu insérer un diagramme ype «colonne», après avoir sélecionner les colonnes A e B. On coche ensuie les cases correspondan à : Séries données en colonnes Première ligne comme éiquee Première colonne comme éiquee e on obien le graphique ci-dessus. 26
5 Synhèse du cours Pourcenage d évoluion Lorsqu une quanié passe d une valeur V 1 à une valeur V 2, le coefficien muliplicaeur associé es : CM = V2 V. 1 Le pourcenage d évoluion relaive % enre V 1 e V 2 es défini par : V V = 2 1, soi CM V1 = 1. Si > 0, l évoluion es une hausse. Si < 0, l évoluion es une baisse. Coefficien muliplicaeur e évoluion Augmener une quanié de % revien à la muliplier par CM =1+. Diminuer une quanié de % revien à la muliplier par CM =1. Indices e évoluion On uilise souven les indices pour prendre connaissance de l évoluion d une valeur à parir d une dae fixée. valeur de l'année n Indice année n = valeur de l'annéedebase. En sousrayan à un indice, on li direcemen le pourcenage d évoluion de l année de référence à l année n. Évoluions successives Lors de deux évoluions successives, les coefficiens muliplicaeurs se muliplien. CM CM Si V 1 V 2 V alors CM = CM CM 0 1 2 global 1 2 27
Généralisaion Lors d évoluions successives, les coefficiens muliplicaeurs se muliplien. Évoluion réciproque Le aux de pourcenage % compensan une évoluion (hausse ou baisse) de % es appelé aux d évoluion réciproque. Pour le déerminer, on radui que le produi des coefficiens muliplicaeurs correspondans à ces évoluions doi êre égal à 1, soi : ' ( 1 + )( 1+ ) = 1 Les coefficiens muliplicaeurs de deux évoluions réciproques son donc inverses l un de l aure. 28
6 Exercices d approfondissemen Exercice I La TVA sur cerains produis es 19,6% ; recopier e compléer le ableau suivan Produi A B C D Prix hors axe ( ) 55 90 Prix axes comprises ( ) 143,52 299 A la suie d une décision minisérielle, le aux de TVA es ramené de 19,6% à 5,5% ; calculer les nouveaux prix axes comprises des produis A, B, C e D. Pour un aricle quelconque, on noe : x, son prix hors axe y, son prix axe à 19,6% comprise z, son prix axe à 5,5% comprise. a) Exprimer y en foncion de x, z en foncion de x, puis z en foncion de y. b) En déduire le pourcenage de la réducion don bénéficien les consommaeurs lors de cee baisse de TVA. Exercice II Ci-dessous figure un documen concernan les déclaraions d impôs 2008. Dépenses (en milliards d Euros) Enseignemen e recherche 341,4 Recees 299,7 82,3 TVA 135 Colleciviés errioriales 53,6 Impô sur le revenu 60,5 Dees e engagemens financiers 42,8 Impô sur les sociéés 53,8 Défense 36,9 TIPP 16,5 Travail, emploi e solidarié 24,5 Aures recees fiscales 5,8 Sécurié e jusice 22,4 Aures recees 28,1 Union européenne 18,4 Défici 41,7 Ecologie, développemen e aménagemens durables, ville e logemen. 16,1 Aures missions 44,4 29
Consruire le ableau des pourcenages que représene chacune des rubriques du pose dépense par rappor à la dépense oale. Les calculs seron effecués avec les ouils vous convenan e donnés à 0,01 près. Le ableau suivan es issu d une feuille de calcul concernan les recees a) La ligne 6 es au forma pourcenage. Indiquer ce qu il fau écrire dans la cellule A6 pour faire apparaîre le pourcenage que représene la TVA dans les recees ( à 0,01% près) puis celui représené par les aures recees en éendan jusqu à la cellule F6. b) Représener le ableau obenu. Si on souhaiai diminuer le défici de 10% par augmenaion de la recee «TVA», de quel pourcenage cee recee TVA prévue devrai-elle êre augmenée? Si on diminuai la dépense «Défense» de 15%, de quel pourcenage le défici serai-il diminué? On se propose d abaisser le défici de 2 milliards d Euros sur deux ans en agissan sur la dépense «Sécurié e jusice». Si on effecue une même baisse d un milliard d euros chaque année, à quoi cela correspondra--il en pourcenage d évoluion de la dépense «sécurié e jusice» la première année, puis la seconde année. Pour cee quesion, les calculs seron fais à 0,001% près. Exercice III Lorsqu on place une somme d argen à un aux d inérê annuel de %, le aux d évoluion du capial iniial acquis au bou d un an es de %. Jean a placé 3000 au aux d inérê annuel de 4,5%. Calculer le capial acquis par Jean e le monan des inérês. Un capial C a éé placé à un aux d inérê annuel de 2,5%. Le capial acquis au bou d un an es 7 687,5. Déerminer C e le monan des inérês. Un capial de 1 500 a éé placé par Julie à %. Déerminer sachan qu au bou d un an Julie a gagné 105. Exercice IV Le aux d inflaion sur une année es le aux d évoluion des prix enre le débu e la fin de l année. Le aux d inflaion en France es esimé à 1,65% pour l année 2010. a) Quel sera, à la fin de l année 2010, le prix d un produi qui valai 1 000 en débu d année? b) Quel éai en débu de l année le prix d un aricle qui vaudra 1 000 en fin d année? Répondre au même quesion pour le Venezuela où le aux d inflaion es esimé à 30%. 30
Exercice V On peu lire dans «images économiques du monde 2011» le paragraphe suivan concernan la suppression d emploi de foncionnaires depuis 2007. Les mesures les plus specaculaires concernen la réducion des effecifs de la foncion publique d Éa : 23 000 en 2008, 30 600 en 2009, 33 700 prévus en 2010, sur un oal de 2,5 millions au débu de cee même année. Déerminer le pourcenage de diminuion du nombre de foncionnaires prévus en 2010. Déerminer le pourcenage de diminuion du nombre de foncionnaires en 2009 e en 2008. Exercice VI On donne en TeraWa/heure (10 12 wa/heure) la producion d élecricié hydraulique de rois pays Année 1980 1990 2000 2009 Eas-Unis 282,2 295,8 278,4 274,9 Chine 58,2 126,7 222,5 615,6 France 69,5 53,8 67,8 57,7 Calculer les indices, base en 1980, arrondis à 0,1 près (on pourra uiliser une calcularice un ableur). Comparer alors l évoluion de la consommaion dans ces rois pays. L évoluion enre 2008 e 2009 e de +7,1% pour les Eas-Unis, +5,5% pour la Chine e 4,2% pour la France. Déerminer le producion d élecricié hydraulique pour ces rois pays en 2008. Exercice VII Lors d une année excepionnelle, la producion de fruis e de légumes d un agriculeur a augmené de x %. Vu l abondance de ces produis, leur prix a chué de y %. Exprimer en foncion de x e y le aux d évoluion de la recee de ce agriculeur par rappor à une année normale. Eude de quelques exemples a) Eudier le cas où x = 40 e y = 30. b) Eudier le cas où x = 30 e y =20. c) Si x = 40, quelles valeurs peu-on donner à y pour que la recee de l agriculeur soi au moins égale à celle d une année normale? Exercice VIII Un aricle valan 250 subi d abord une augmenaion de 25% puis une diminuion à un aux inconnu de y %. Calculer y sachan que le prix final de l aricle es à nouveau de 250. 31
a) Un prix P subi une hausse de x % suivi d une baisse de y %. Il revien alors à sa valeur iniiale P. x Monrer que y = x +. x b) f es la foncion définie sur [0 ; ] par f( x) =. x + A l aide d un grapheur ou d une calcularice, racer la courbe représenan f dans un repère orhogonal. Un commerçan solde les aricles en affichan une baisse de 40%, ce qui correspond en fai à les vendre à leur prix de revien. Uiliser le graphique du 2 pour rouver le pourcenage d augmenaion qu il faisai sur ces aricles avan de les solder. 32