Suites et séries matricielles

Suites et séries matricielles I - Etude de quelques ormes sur M,p K Pour être capable d étudier la covergece et la limite évetuelle d ue suite de matrices ou d edomorphismes ou d ue série de matrices ou d edomorphismes, ous avos besoi d ue orme Das la pratique, de ombreuses ormes sot utilisées Commeços par rappeler le fait que, puisque M,p K est de dimesio fiie sur K, les ormes sur M K sot deux à deux équivaletes De même, si E et F sot des K-espaces vectoriels de dimesio fiie, les ormes sur LE,F sot deux à deux équivaletes Les trois premiers exemples que ous allos rappeler sot, et : A a i,j i, j p M,p K, A a i,j A a i,j i, j p M,p K, A Si A M R, A Tr t AA i, j p i, j p a i,j si K R, o peut elever A a i,j i, j p M,p K, A Max{ a i,j, i,j,,p } O suppose de plus que p Etudios le comportemet de ces trois ormes avec le produit matriciel Soit A,B M K Comparos AB et A B Posos A a i,j i,j et B b i,j i,j Pour i,j,, le coefficiet lige i, coloe j, de la matrice AB est a i,k b k,j Pour i,j,, o a O e déduit que a i,k b k,j k a i,k b k,j k k A B A B k A,B M K, AB A B O e peut pas améliorer cette iégalité car si A B i,j, alors AB A A et doc AB D autre part, A B Soit A,B M K Comparos AB et A B O e déduit que AB i,j a i,k b k,j k i,j k,l A B a i,k b l,j i,j k a i,k b k,j i,j,k,l Soit A,B M K Comparos AB et A B a i,k b l,j i,k A,B M K, AB A B a i,k j,l b l,j c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

O e déduit que AB i,j i,j a i,k b k,j k i,j,k,l A B a i,k b l,j d après l iégalité de Cauchy-Schwarz k l a i,k b l,j i,k a i,k j,l A,B M K, AB A B Aisi, et vérifiet ue propriété que e vérifie pas : A,B M K, NAB NANB b l,j Cette propriété se révèlera être très itéressate pour étudier la covergece de «séries etières de matrices» ou d edomorphismes car o aura N A k NA k Ceci ous ivite à poser la défiitio suivate : Défiitio Soit A, +,, ue algèbre Soit ue orme sur A est appelée orme sous-multiplicative ou aussi orme d algèbre si et seulemet si, pour tout x,y A, x y x y { } AB Commetaire Si, est pas ue orme sous-multiplicative car Sup, A,B M K\{0} { } A B AB Max, A,B M K\{0} > A B Théorème Il existe au mois ue orme sous-multiplicative sur l algèbre M K,+,, Soit E u espace vectoriel de dimesio fiie Il existe au mois ue orme sous-multiplicative sur l algèbre GLE,+,, Démostratio coviet Exercice Soit N ue orme sur M K Motrer qu il existe k > 0 tel que kn soit ue orme sous-multiplicative Solutio Soit N ue orme sur M K Pour tout k > 0, il est immédiat que kn est ue orme sur M K N et sot équivaletes Doc, il existe deux réels strictemet positifs α et β tels que α N β Soit A,B M K puis Le réel k β α > 0 coviet NAB β AB β A B β α NANB, β α NAB β α NA β α NB c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

Il existe u procédé permettat de costruire ue orme sous-multiplicative sur M K à partir d ue orme doée sur M, K C est ce qu étudie l exercice suivat : Exercice Soit N ue orme sur M, K Pour A M K, o pose { } NAX A Sup NX, X M,K\{0} Justifier, pour tout A M K, l existece de A a Motrer que, pour tout A M K, A Sup{NAX, X M, K, NX } b Motrer que, pour tout A M K, A Max{NAX, X M, K, NX } 3 Motrer que est ue orme sur M K a Motrer que, pour tout A M K et tout X M, K, NAX A NX b E déduire que, pour tout A,B M K, AB A B Solutio Soit A M K L applicatio X AX est cotiue sur l espace de dimesio { fiie M, K car liéaire } O sait alors NAX qu il existe C R + tel que X M, K, NAX CNX Par suite, NX, X M,K\{0} est ue partie o { } NAX vide et majorée par C de R O e déduit que Sup NX, X M,K\{0} existe das R ou ecore A existe { } NAX a Posos A NX, X M,K\{0} et B {NAX, X M, K, NX } O a B A Iversemet, pour X M, K\{0}, NAX N A NX NX X B et doc A B Par suite, A B et e particulier, SupA SupB b PososS {X M, K/ NX }Sest la sphère uité de l espace vectoriel ormé de dimesio fiiem, K,N O sait que S est fermée et borée D après le théorème de Borel-Lebesgue, S est u compact de M, K,N car ecore ue fois, M, K est de dimesio fiie Puisque la foctio X NAX est cotiue sur M, K par cotiuité de N etre autre à valeurs das R, la foctio X NAX admet u maximum sur le compact S Doc, A Max{NAX, X M, K, NX } 3 Pour tout A M K, A R + Soit A M K tel que A 0 Alors, pour tout X M, K\{0}, NAX A 0 puis NAX 0 puis AX 0 NX ce qui reste vrai pour X 0 Doc, A 0 Soiet A M K et λ K Pour tout X M, K\{0}, NλAX λ NAX λ A NX NX { } NλAX Doc, λ A est u majorat de, X M, K\{0} Puisque λa est le plus petit de ces majorats, o e NX déduit que λa λ A Iversemet, si λ 0, o a λ A 0 λa et si λ 0, A λ λa λ λa, et doc λ A λa puis λa λ A Soit A,B M K Pour X M, K\{0}, NA+BX NAX NX NX + NBX A + B NX { } NA+BX Doc, A + B est u majorat de, X M, K\{0} Puisque A + B est le plus petit de ces NX majorats, o e déduit que A+B A + B c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 3 http ://wwwmaths-fracefr

O a motré que est ue orme sur M K a Soit A M K Puisqu ue bore supérieure est u majorat, pour tout X M, K\{0}, o a NAX NX ou ecore NAX A NX, cette derière iégalité restat vraie quad X 0 b Soit A,B M K Pour X M, K\{0}, A NABX NX { NABX et doc, AB Sup, X M, K\{0} NX A NBX A B, NX } A B II - Suites de matrices ou d edomorphismes Das cette sectio, o éoce très brièvemet das le cadre particulier des matrices ou des edomorphismes d u espace de dimesio fiie, les résultats gééraux sur les suites éocés das le chapitre «topologie» Il est clair que tout résultat sur les matrices trouve so aalogue das les résultats sur les edomorphismes d u espace de dimesio fiie Das ce qui suit, ous éoceros explicitemet les défiitios ou théorèmes cocerat les deux situatios mais s il y a lieu de faire ue démostratio, ous e le feros que pour les matrices Défiitio Soit A p p N M,m K N Soit A M,m K La suite A p p N coverge vers A si et seulemet si la suite umérique A p A N coverge vers 0 où est ue orme doée sur M,m K O écrit das ce cas A lim p + A p Soiet E et F deux espaces vectoriels de dimesio fiie puis f p p N LE,F N Soit f LE,F La suite f p p N coverge vers f si et seulemet si la suite umérique f p f N coverge vers 0 où est ue orme doée sur LE,F O écrit das ce cas f lim p + f p Commetaire O rappelle que les ormes sur M,m K où LE,F si dime < + sot deux à deux équivaletes et doc que la otio de covergece et de limite e déped pas du choix d ue orme O peut doc toujours choisir ue orme adaptée à la situatio O sait qu ue suite d u espace vectoriel ormé de dimesio fiie coverge si et seulemet si les «suites coordoées das ue base» coverget Pour ue suite de matrices, cela doe : Théorème Soit A p p N M,m K N Soit A M,m N Pour p N, posos A p a p i,j i, j m A a i,j i, j m La suite A p p N coverge vers A si et seulemet si pour chaque i,j,,m, la suite vers a i,j E cas de covergece, lim p + A p Exemple lim + l 0 si + lim p + ap i,j 0 0 e p N Posos de même a p i,j p N coverge Exercice 3 Soit a u réel Pour N, o pose A a a Détermier lim + A c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

Solutio 3 Pour N, posos θ Arcsi a/ Pour N, o a puis + a + a cosθ A a a + a e l + a θ Arcsi a/ lim + + a cosθ siθ siθ cosθ [ π, π ] Alors, puisque cosθ 0, si θ + a a + a a + a + a a + a A + a cosθ siθ siθ cosθ + a o + e + eo Doc, a Arcsi + +o lim + + a + a a + +o cosa sia et fialemet, sia cosa lim + a a cosa sia sia cosa cosθ siθ siθ cosθ + a + o Par suite, Sio, rappelos pour fiir : Théorème 3 Soit A p p N M K N Si la suite A p p N est covergete, alors la suite A p p N est borée Soiet E u espace vectoriel de dimesio fiie puis f p p N LE N Si la suite f p p N est covergete, alors la suite f p p N est borée III - Séries de matrices ou d edomorphismes Séries d u espace vectoriel ormé Défiitio 3 Soit E,N u espace vectoriel ormé Soit u N ue suite d élémets de E Pour N, o pose S u k S est la somme partielle de rag O dit que la série de terme gééral u coverge si et seulemet si la suite S N des sommes partielles coverge E cas de covergece, la limite de la suite S N se ote u k Sio, la série est dite divergete c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 5 http ://wwwmaths-fracefr

Commetaire La otio de covergece d ue série est associée à ue orme Ue série peut coverger pour ue orme et diverger pour ue autre mais si N et N sot deux ormes équivaletes, ue série coverge pour N si et seulemet si elle coverge pour N Si E est de dimesio fiie, ce qui est le cas de M K, o peut choisir la orme car les ormes sot deux à deux équivaletes Quad E est de dimesio fiie, comme pour les suites, ue série coverge si et seulemet si toutes les «séries coordoées» coverget : Théorème Soiet E u K-espace vectoriel de dimesio fiie o ulle puis B e k k ue base doée de E Soit u p p N ue suite d élémets de E Pour p N, posos u p k u k p e k La série de terme gééral u p, p N, coverge si et seulemet si, pour chaque k,, la série de terme gééral u k p, p N, coverge De plus, e cas de covergece, u p e k Pour ue série de matrices, cela doe : p0 k u k p p0 Théorème 5 Soit A p p N M,m K N Soit A M,m N Pour p N, posos A p A a i,j i, j m a p i,j i, j m Posos de même La série de terme gééral A p, p N, coverge vers A si et seulemet si pour chaque i,j,,m, la série de terme gééral a p i,j, p N, coverge vers a i,j E cas de covergece, O défiit maiteat la otio de covergece absolue : p0 A p a p i,j p0 Défiitio Soit E,N u espace vectoriel ormé Soit u N ue suite d élémets de E i, j m O dit que la série de terme gééral u, N, coverge absolumet si et seulemet si la série umérique de terme gééral Nu, N, coverge Commetaire Quad la série de terme gééral Nu coverge, o dit que la série de terme gééral u coverge absolumet et o pas que la série de terme gééral u coverge ormalemet Pour ue série de foctios, la covergece ormale est la covergece absolue das l espace de ces foctios mui de la orme de la covergece uiforme Théorème 6 Soit E, N u espace vectoriel ormé de dimesio fiie Toute série absolumet covergete est covergete Démostratio Soit B e i i ue base de E N est équivalete à orme ifiie associée à la base B et il suffit doc de faire la démostratio das l espace vectoriel ormé E, Soit u p p N ue suite d élémets de E Pour p N, posos u p u k p e k Pour tout k,, u p k u p Puisque la série umérique de terme gééral u p, p N, coverge, il e est de même de la série umérique de terme gééral u k, p N, pour tout k, p Aisi, pour tout k,, la série umérique de terme gééral u k p, p N, est absolumet covergete et doc covergete O sait alors qu il e est de même de la série de terme gééral u p, p N k Aisi, toute série matricielle ou toute série d edomorphismes d u espace de dimesio fiie absolumet covergete est covergete Sio, sigalos pour fiir : c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 6 http ://wwwmaths-fracefr

Théorème 7 Soit E,N u espace vectoriel ormé Soit u N ue suite d élémets de E Si la série de terme gééral u, N, coverge, alors u ted vers 0 Démostratio u S S S S 0 + U exemple de calcul de la somme d ue série matricielle Soit A 3 5 3 5 6 7 6 + O veut calculer A après e avoir justifié l existece Première méthode utilisatio d ue réductio χ A X 3 7 X+ 7 5 5 X 6 6 3 6 3 6 X 6 X X+ 3 χ A est scidé sur R à racies simples et doc A est diagoalisable das R x EA y 3 x 5 6 y 0 x y Doc, E Vecte A où e x E y A 3 3 + x 5 3 6 y 0 y x Doc, E Vecte 3A où e Doc, A PDP où D diag,, P et P 3 Puisque < et 3 <, la série de terme gééral D, N, coverge et + D diag, diag 3, + diag, 3 3 L applicatio f : M PMP est u edomorphisme de l espace M R qui est de dimesio fiie sur R Doc, l applicatio f est cotiue sur M R O e déduit que la série de terme gééral A, N, coverge et que et doc N A lim PDP N lim P N D P lim f D N + N + N + N f lim D par cotiuité de f N + + P D P, A 3 5 0 3 0 5 3 3 Deuxième méthode utilisatio d u polyôme aulateur O rappelle que χ A X 6 X 6 Soit N La divisio euclidiee de X par χ A s écrit X Q χ A +a X+b où Q est u polyôme et a et b sot deux réels D après le théorème de Cayley-Hamilto, c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 7 http ://wwwmaths-fracefr

A QAχ A A+a A+b I a A+b I Calculosa etb E évaluat e et les deux membres de l égalité, o obtiet le système 3 et doc, d après les formules de Cramer, a 6 5 Aisi, pour N N, et b 6 3 5 3 + 3 a +b a 3 +b 3 N A 6 5 N N N a A+b I a A+ b I [ N 3 A+ De ouveau, la série de terme gééral A, N, coverge et N 3 + ] I 3 N A 6 5 + A+ 3 + + I 3 A+ 5 I 3 3 3 5 3 3 6 5 7 + 5 0 5 0 5 3 6 N Remarque Pour tout N N, I A A I A N+ Puisque la série de terme gééral A, N, coverge, e particulier A + 0 Quad N ted vers +, le membre de droite ted vers I D autre part, par cotiuité sur N + + M R de l edomorphisme f : M I A M, le membre de gauche ted vers I A A Doc, Aisi, la matrice I A est iversible et + I A A I I A IV - Expoetielle d ue matrice ou d u edomorphisme Défiitio Théorème 8 Soit A M K La série de terme gééral A p! Ap, p N, est absolumet covergete et doc covergete Soiet E u espace vectoriel de dimesio fiie puis f u edomorphisme de E La série de terme gééral p N, est absolumet covergete et doc covergete Démostratio O muit M K d ue orme sous-multiplicative Pour tout etier aturel p, p! Ap Ap A p p! p! p! fp, c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 8 http ://wwwmaths-fracefr

La série umérique de terme gééral A p, p N, est covergete de somme e A et doc la série umérique de terme p! gééral p! Ap, p N, est covergete ou ecore, la série de matrices de terme gééral p! Ap, p N, est absolumet covergete et doc covergete Défiitio 5 Soit A M K L expoetielle de la matrice A est la matrice expa I +! A+! A + p0 p! Ap Soiet E u espace vectoriel de dimesio fiie puis f u edomorphisme de E L expoetielle de l edomorphisme f est l edomorphisme expf Id E +! f+! f + p0 p! fp Exemple Soit Soit A la matrice élémetaire E, O sait que A 0 puis pour p, A p 0 Doc, 0 0 0 0 expa I +A I +E, 0 0 0 Exemple Soit Soit A la matrice élémetaire E, O sait que A A puis pour p, A p A Doc, expa I + A I +e E, diage,,, p! p Exemple 3 Soit s ue symétrie d u espace de dimesio fiie E O sait que s Id E puis pour p N, s p Id E et s p+ s Doc toutes les séries ci-dessous état covergetes, exps Id E + s chid E + shs p! p+! Propriétés Théorème 9 p0 Soit A,B M K tel que AB BA Alors expa+b expa expb p0 Soiet E u espace vectoriel de dimesio fiie puis f et g deux edomorphismes de E tels que f g g f Alors expf+g expf expg Démostratio O muit M K d ue orme sous-multiplicative Soit p N Puisque les matrices A et B commutet, la formule du biôme de Newto fourit : c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 9 http ://wwwmaths-fracefr

p p k! Ak k! Bk p p k! A k k! B k p p p k! Ak k! Bk p p k! A+Bk 0 i,j p 0 i,j p 0 i,j p i+j>p p i! j! Ai B j p i!j! Ai B j i!j! A i B j k! A k p k! 0 i,j p i+j p k! i!j! Ai B j i+jk i!j! Ai B j k! B k p 0 i,j p i+j>p i!j! Ai B j k! A + B k k! A + B k ted vers e A + B e A e B 0 quad p ted vers + Doc, k! A+Bk ted vers 0 quad p ted vers + Quad p ted vers +, p k! A+Bk ted vers expa+b D autre part, l applicatio M,N MN est cotiue sur M K car biliéaire sur u espace p p de dimesio fiie Doc, k! Ak k! Bk ted vers expa expb quad p ted vers + Quad p ted vers +, o obtiet expa + B expa expb Théorème 0 a exp0 I b Soit A M K Alors expa GL K et expa exp A Soiet E u espace vectoriel de dimesio fiie a exp0 Id E b Soit f LE Alors expf GLE et expf exp f Démostratio Les matrices A et A commutet Doc, expa exp A expa+ A exp0 I +0+0+ I O e déduit que expa GL K et expa exp A Théorème λ i i K, exp diagλ i i diag e λ i i Démostratio Soit p N Pour touti,, p p quad p ted vers + k diagλ p i k! i k! diag λ k p i i diag p k! λk i ted verse λ i quadpted vers+ et doc k! k! λk i i diagλ i i k ted vers diag e λ i i Commetaire E particulier, expλi e λ I ou expλid E e λ Id E Théorème A M K, P GL K, P expap exp P AP Soit E u espace vectoriel de dimesio fiie f LE, g GLE, g expf g exp g f g c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 0 http ://wwwmaths-fracefr

Démostratio Soit p N p p P AP k p k! p k! P A k P P k! Ak P P AP k ted vers exp P AP quad p ted vers + D autre part, l applicatio M P MP est u edo- k! morphisme de l espace de dimesio fiie M K O e déduit que l applicatio M P MP est cotiue sur M K p p Puisque k! Ak ted vers expa quad p ted vers +, P k! Ak P ted vers P expap quad p ted vers + Quad p ted vers +, o obtiet exp P AP P expap λ e λ Théorème Soit T 0 λ ue matrice triagulaire Alors expt 0 e λ 0 0 λ 0 0 e λ λ k Démostratio O sait que pour tout k N, T k 0 λ k et doc pour tout p N, 0 0 λ k p k! λk p p 0 k! Tk k! λk p 0 0 k! λk e λ Quad p ted vers +, o obtiet expt 0 e λ 0 0 e λ Théorème Soit A M K Si SpA λ,,λ, alors SpexpA e λ,,e λ E particulier, detexpa e TrA Soiet E u espace vectoriel de dimesio fiie puis f LE Si Spf λ,,λ, alors Spexpf e λ,,e λ E particulier, detexpf e Trf Démostratio O sait que A est triagulable das C Doc, il existe P GL C et T T,s C telles que A PTP O sait que SpT SpA λ,,λ D après les théorèmes précédets, expa PexpTP puis SpexpA SpexpT e λ,,e λ E particulier, detexpa e λ e λ e λ ++λ e TrA c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

Commetaire O retrouve aisi le fait que A M K, expa GL K 3 Quelques exemples de calculs d expoetielles O verra das le chapitre «systèmes différetiels liéaires et équatios différetielles liéaires» que les systèmes différetiels liéaires à coefficiets costats peuvet être résolus à partir du calcul de l expoetielle d ue matrice Quad A est ue matrice doée, les solutios d u certai problème s exprimerot à l aide de la foctio t expta Das les exemples qui suivet, plutôt que de calculer expa, ous calculeros expta pour t réel pour préparer le terrai 0 Exemple utilisatio d u polyôme aulateur Soit A 0 0 U calcul par blocs fourit 0 0 O e déduit que SpA χ A X X 0 0 0 X+,, X X+ X+ X Soit N La divisio euclidiee dex parχ A s écritx Q χ A +a X +b X+c oùq R[X] eta,b,c R 3 E évaluat e et e puis e dérivat et e réevaluat e, o obtiet a b +c I a + b +c a +b II III b + a + c 3 II I III + Le théorème de Cayley-Hamilto fourit χ A A 0 et doc A a A +b A+c I 3 Par suite, pour t réel doé puisque toutes les séries ci-dessous coverget a t! + b t! + c t! t/! expta t/ +! t/! + 3 t t! A! + t + c I 3 +! t/ +! t/! a A +b A+c I 3 t/! e t/ +e t/ t/ +! t + t b A+ a A!! t/! e t/ +e t/ te t/ e t/ +e t/ t/ t! e t/ + 3 e t/ + et/ O e déduit que expta t+3e t/ +e t/ I 3 + e t/ +e t/ A+ t+e t/ +e t/ A avec 0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Doc, c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

expta t+3e t/ +e t/ 0 0 0 0 0 + e t/ +e t/ 0 0 0 0 0 0 0 + t+e t/ +e t/ 0 0 0 e t/ +5e t/ e t/ +e t/ t e t/ e t/ e t/ +e t/ e t/ +5e t/ t+e t/ e t/ 0 0 e t/ +3e t/ Exemple utilisatio d ue réductio de la matrice Soit A première coloe, o obtiet 3 0 0 X 3 χ A X X X 3 X + X +X+ X+X X 3 E développat suivat la O e déduit que SpA,,3 Puisque χ A est scidé sur R à racies simples, A est diagoalisable das R x x+y+z 0 { y x 0 E A x+y+z 0 z y Doc, E A Vecte où e 0 z x+y+z 0 x y E A z x y E 3 A z x+y+z 0 x y+z 0 x+y z 0 y+z 0 x 3y+z 0 x+y 3z 0 Doc, A PDP où D diag,,3 et P M 3, R Doc, P e j k e i k e 3 i+j k 3 0 { y 0 z x Doc, E A Vecte où e { z y x y Doc, E 3A Vecte 3 où e 3 0 0 j e +k i e +k e 3 e +k+e +k k 0 Calculos P Notos i,j,k la base caoique de k e e +e 3 j 3e e +e 3 i e +e 3 Calculos alors expta pour t réel doé Puisque ta P td P, o sait que par cotiuité de l applicatio M PMP etre autre c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 3 http ://wwwmaths-fracefr

expta P exptd P 0 0 0 e t e 3t e t 0 e 3t e t e t e 3t 3 0 e t 0 0 0 e t 0 0 0 e 3t e 3t e t +e 3t e t +e 3t e t +e 3t 3e t +e 3t e t +e 3t e t e 3t 3e t +e t e 3t e t +e t e 3t 3 0 Exemple 3 cas où A a qu ue valeur propre Soit A coloe, o obtiet 6 0 X χ A 6 X 0 X+ X X X +6 X++0X X XX 6+0 X X X+ X 3 E développat suivat la première Calculos alors expta pour t réel doé O va profiter du fait que la matrice A I 3 est ilpotete o est das le cas où A a qu ue valeur propre D après le théorème de Cayley-Hamilto, o a A I 3 3 0 et doc expta expta I 3 +ti 3 expta I 3 expti 3 car ta I 3 et ti 3 commutet e t I 3 +ta I 3 + t A I 3 car pour 3, A I 3 0 e t 0 0 0 0 +t 6 + t 0 0 0 0 0 0 t+e t te t te t t +6t e t t +t+ e t t +t e t t 0t e t t t e t t t+ e t c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr