COURS L2, 200-20. SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES Séries umériques. série géométrique et série téléscopique + 2 + 4 + 8 + 6 +? Figure. quelle est la logueur? Soit q > 0 (das l exemple ci-dessus q /2). Cosidéros Si q, multiplios par q: Alors s + q + q 2 + q 3 + + q. ( q)s ( + q + q 2 + q 3 + + q ) (q + q 2 + q 3 + + q + ) q + Doc s { q + q si q + si q Comme lim q si q >, lim s existe pas si q >. De même, si q, alors lim s. Mais si q <, alors lim q 0 et doc lim s q. q /2 + 2 + 4 + 8 + 6 + /2 2 O écrit et s + q + q 2 + q 3 + + q + q + q 2 + q 3 + q j q j (série géométrique)
2 Defiitio.. Soit (a ) N ue suite de ombres complexes /réels. pose S a 0 + a + a 2 + + a a k. La suite (S ) N s appelle série (associée à (a ), ou de terme gééral (a )). Cette série est otée par k0 a k (somme ifiie). (S )s appelle aussi la suite des sommes partielles. Si la suite (S ) admet ue limite S das C ou das R R {, + }, o ote a k lim S S. k0 O appelle S la somme ou valeur de la série k0 a k. O dit que la série k0 a k est covergete, si la suite (S ) est covergete; i.e. si la suite (S ) admet ue limite fiie (das R ou C). Sio, o dit qu elle est divergete. Si la série k0 a k coverge vers S, o dira aussi, soit S la série k0 a k. Bie sûr o peut oter la série aussi a, a,. m0 a m, N (différets symboles pour l idice). O écrit a b, si ces deux séries ot même ature. Propositio.. Soit q C. La série géométrique q est covergete si et seulemet si q <. O a alors Preuve. Soit q < alors S k0 q q. q k q+ q k0 q. (S ) diverge si q (voir ci-dessous, Théorème.8). Remarque O peut partir d ue suite (a ) 0, 0 N fixé, otatio: 0 a, 0 a. O pose alors S a 0 + a 0 + + + a, 0. O
Remarque 2 Cosidéros la série a et soit p N fixé. Pour N > p o a: N p N S N a a + S p + p+ N p+ Doc les séries a et p+ a ot même ature; i.e. si ue de ces séries est covergete, alors l autre est aussi covergete. De même pour la divergece. E cas de covergece o a: a a 3 O ote alors Doc S S p + R p. S : a S p + p+ a. R p : p+ a reste d ordre p. Propositio.2. Si ue série est covergete, alors lim p R p 0. Preuve. Soit S ue série covergete. Alors S S p + R p. Doc R p S S p S S 0 si p. Propositio.3. Soit q C et fixos 0 N. La série géométrique 0 q est covergete si et seulemet si q <. O a alors et 0 q 0 q q0 q, q + q 0 q. Preuve. Notos d abord que les séries q et 0 q ot même ature (remarque 2). Pour q, la série 0 q est doc aussi divergete. Soit N 0 et q <. Alors S N N 0 q q 0 + q 0+ + + q N q 0 ( + q + q 2 + + q N 0 ) N q 0 q.
4 Propositio.4. Ue somme téléscopique est ue série de la forme (b + b ), où b C. Cette série est covergete si et seulemet si b : lim b existe et das ce cas o a : (b + b ) b b 0. Preuve. S N Exemple.5. ou N (b + b ) (b b 0 ) + (b 2 b ) + (b 3 b 2 ) + + (b N+ b N ) b 0 + b b + b 2 b 2 + + b N b N + b N+ b N+ b 0 2 2 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 3 3 ( + 3 3 ( ) + 3 +k ( 2 ( ) 2) /9 2/3 6, ) 3 2 4 3 9 8 6 ( ) k 3 6. k2 ( ) 4 4 4 5. Exemple.6. La série ( + )( + 2) 2 + 2 3 + 3 4 + est covergete et a la valeur, car S N N N ( + )( + 2) 6. ( + ) + 2 (somme téléscopique) N + 2 Par chagemet d idice o a aussi que les séries sot covergetes.. N (+) et 2 ( )
Exemple.7. Les séries ( + ) et 2 sot divergetes, car N S N N. N Théorème.8. Soit a ue série covergete. Alors lim a 0. Doc, si a 0, alors a diverge. Preuve. Soit S k0 a k lim k0 a k lim S. Alors a S S S S 0. Attetio il existe des séries a tel que lim a 0, mais diverge. L exemple le plus classique est la série harmoique: Plus précisemet, o a lim S. diverge 5 a Preuve. Soit M > 0. Choisir m N telque m 2M. Alors pour 2 m o a: S + 2 + 3 + + 2 m + + + 2 + 3 + + 2 m + 2 +( 3 + 4 )+( 5 + 6 + 7 + 8 )+( 9 + + 6 )+ +( + + 2 m + 2 m) 2 + 2 4 + 4 8 + 8 6 + + 2m 2 m m 2 M (le ombre de termes etre les parethèses est de 2 m (2 m + ) + 2 m 2 m 2 m ), et le ombre de sommads est m. Rappel Ue suite (a ) das C coverge si et seulemet si elle est ue suite de Cauchy; i.e. ε > 0 0 N : a a m < ε, m 0. Théorème.9 (critère de Cauchy). Ue série a coverge si et seulemet si ε > 0 0 N : a + + + a m < ε m > 0. O pourra aussi formuler de la faço suivate: ε > 0 0 N : a + + + a +p < ε 0, p N.
6 Preuve. S m S a + + + a m Propositio.0. Soiet a et b deux séries covergetes de somme A et B et λ, µ C Alors la série (λa + µb ) est covergete et de somme λa + µb. O a doc λ a + µ b (λa + µb ). Preuve. A k0 a k A C, B k0 b k B C. Doc k0 (λa k + µb k ) λ a + µ b λa + µb. Exemple.. ( ( ) 5 2 3 + ( ) ) 2 4 3 2 3 ( 5 ) + 4 ( ) 5 + 7 9 ( ) 4 Rappel 2. séries à termes positifs Chaque suite (x ) R N croissate et borée coverge. Chaque suite (x ) R N croissate admet ue limite das R { }. Das ce cas o a: lim r sup{r : N} O dit qu ue série a est à termes positifs, si N : a 0. Propositio 2.. Chaque série à termes positifs admet ue somme das R +. Cette série est covergete si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée. Doc, si a 0, a coverge a <. E plus, a sup S. Preuve. S + S + a + S car a 0. Est-ce que les séries et 2! sot covergetes? (Notos que 0! et que pour,! 2 3 ). Méthode géérale Pour trouver la ature d ue série à termes positifs, o la compare avec des séries classiques simples au moye des théorèmes suivats:
Théorème 2.2. (théorème de comparaiso I) Soiet a et b deux séries à termes positifs. O suppose qu il existe 0 tel que 0 : a b. (O dit que la série b majore la série a ). Si la série b coverge, alors la série a coverge. Doc, si la série a diverge, alors b diverge. Preuve. La secode implicatio est la cotraposée de la première; doc il suffit de motrer la première. Supposos doc que b coverge. Les séries 0 x et 0 x ayat même ature, o peut predre s.p.g. 0 0. Pour tout o a: N N A N : a b : B N, i.e. 0 A N B N. D après la propositio 2., A : lim N A N et B : lim B N exsitet das R + et 0 A B. Comme b coverge, B < ; Aisi 0 A < ; doc a coverge. Corollaire 2.3. Soiet a et b deux séries à termes strictemet positifs. O suppose qu il existe 0 et 0 < m < M < tel que 0 : 0 < m a b M <. Alors les séries a et b ot même ature. Preuve. Supposos que b coverge. Alors Mb coverge. D après le théorème 2.2, a coverge. Supposos que a coverge. D après le théorème 2.2, coverge. Aisi b coverge. Soiet (a ) et (b ) deux suites strictemet positives. Alors a b def. lim a b 7 mb Corollaire 2.4. (théorème de comparaiso II) Soiet a et b deux séries à termes strictemet positifs. O suppose que a b. Alors les séries a et b ot même ature. Découle du corollaire précédet e remarquat que a b ε > 0 0 : a b < ε 0; doc e particulier, pour ε /2, 2 a b 3 2 0.
8 Exemple 2.5.. coverge (ex- coverge parce que 2 2 (+) et que emple.6) (+) 0! coverge parce que! ( ) pour 2 et que 2 coverge (exemple.6). log Exemple 2.6. (avacé) diverge, parce que log log tah coverge car: i) 0 < tah e e < ; e + e ii) lim tah ; iii) lim x 0 log(+x) x (oté par log( + x) x 0 x ); iv) tah + (tah ) + 2e e + e v) log tah 2e 2 +e 2 2e 2 ; ( ) pour 3 et que diverge. 2e 2 + } + {{ e 2 } 0 vi) e 2 (e 2 ) coverge car e 2, 7828 >. Pour résoudre les probèmes de covergece/divergece de séries, o utilisera fréquemmet les cocepts suivats: Soit x 0 R et f et g deux foctios défiies das u voisiage V poité de x 0. Supposos que g 0 sur V. Alors o écrit f(x) x x 0 O(g(x)) pour dire que De plus, o écrit f(x) x x 0 f(x) lim x x 0 g(x) 0. g(x), pour dire que f(x) lim x x 0 g(x). Lemme 2.7. Supposos que g 0. Alors f(x) x x 0 g(x) + O(g(x)) f(x) x x 0 g(x). Preuve. Soit f(x) g(x) + O(g(x)) si x x 0. Supposos que g 0. Alors Aisi f(x) g(x). f(x) g(x) g(x) + O(g(x)) g(x) + O(), x x 0
9 D autre part, si f g, alors 0 lim ( f(x) f(x) g(x) ) lim, x x0 g(x) x x 0 g(x) Doc f(x) g(x) O(g(x)). Aisi f(x) g(x) + O(g(x)). Exemple 2.8. ( + ) coverge car: i) x foctio croissate e x; doc + ; ii) a : + ( + }{{} ); aisi a +. ii) log( + x) x + O(x); e x + x + O(x) si x 0; iii) + ( + )/ exp( log(+ ) ) exp( +O( ) ) exp ( 2 + O( 2 ) ) + 2 + O( 2 ) iv) + 2 + O( 2 ). v) a 2. vi) La série 2 état covergete, o e déduit la covergece de a. 3. séries alterées Soit u 0. La série ( ) u s appelle ue série alterée. O a le critère de covergece suivat: Théorème 3. (critère de Leibiz).. Soit (u ) ue suite décroissate de ombres positifs. Supposos que lim u 0. Alors la série alterée ( ) u coverge. Si S est la somme de cette série, alors S S 3 S 5 S S 4 S 2 S 0. E plus, si R p S S p p+ ( ) u est le reste d ordre p, alors o a R p u p+. Preuve. S 2+ S 2 u 2 u 2+ 0, S 2 S 2 2 u 2 u 2 0. Doc (S 2+ ) est croissate et (S 2 ) est décroissate. Comme S S 2+ S 2 u 2+ S 2 S 0, ces deux suites sot aussi borées. Aisi (S 2+ ) et (S 2 ) coverget. Soit S lim S 2. Dû a l egalité S 2+ S 2 u 2+ et au fait que u 2+ 0, o obtiet que lim S 2+ S + 0 S. O coclut que (S ) coverge vers S et que S 2+ S S 2 pour tout.
0 E plus, 0 R 2p S S 2p S 2p+ S 2p u 2p+ et 0 R 2p S S 2p S 2p S 2p u 2p. Aisi R p S S p u p+. Exemple 3.2. La série harmoique alterée ( ) + 2 + 3 4 ± coverge. De même pour ( ). O e peut pas laisser tomber la coditio de mootoie de la suite (u ) das le critère de Leibiz: Exemple 3.3. La série ( ) + ( ) 2 est ue série alterée, dot le terme gééral ted vers 0, mais elle e coverge pas. E effet, soit u +( ) ; alors u 0 et u 0. Notos que u. u 2 u 2+ 2 + 2 + (2+) 2 2++ 2 2 ( 2 + ) ( 2 + ) 2 + 2 ( 2 + ) ( 2 + ) 2++ 2 2 ( 2 + ) ( 2 + ) < 0. Comme 2 + 2 + + 2 + et 2 2++ 2 > o obtiet u 2+ u 2 Doc ( 2 + ) ( 2 + ) 2 2 + 2 + 2(2 + ). ( ) u 2N+ 2 N 2 2(2 + ) N. Aisi S 2N+ diverge. Doc la série alterée diverge. Ceci est pas ue cotradictio au critère Leibiz, car (u ) est pas décroissate: o a u 2 < u 2+ (voir ci-dessus)
Exemple 3.4. La série ( ) si est pas ue série alterée, car si oscille etre les valeurs et. E effet, si ] π + 2kπ, 2kπ[; alors si < 0 et si ]2kπ, π + 2kπ[, si > 0 (k Z). Notos que chacu de ces itervalles I k a ue logueure de π 3, 459 ; doc il y a au mois 2 etiers das chaque I k. Est-ce que cette série coverge? No, car si e ted pas vers 0: supposos au cotraire que si 0. Alors si( + ) 0. Comme si( + ) si cos +cos si o obtiet (cos si ) 2 (si(+) si cos ) 2 0. Mais (cos ) 2 (si ) 2 0. Ue cotradictio. 4. séries absolumet covergetes Défiitio O dit qu ue série a de ombres complexes est absolumet covergete, si la série a est covergete. O dit qu ue série a de ombres complexes est semi-covergete, si elle est covergete sas être absolumet covergete. ( ) La série harmoique alterée motre qu il existe des séries semicovergetes. Théorème 4.. Toute série absolumet covergete est covergete. Preuve. Utilisos le critère de Cauchy. Soit a absolumet covergete. Soit ε > 0 fixé. N N N, p 0: Par suite, pour N, p 0 o a: a + a + + + a +p < ε. a + a + + + a +p a + a + + + a +p < ε. Doc, d après.9, a est covergete. Par exemple e if() est absolumet covergete pour toute foctio f : N 2 R, car le module du terme gééral de cette série est, et la série 2 2 coverge. Das la suite, o va établir des critères de covergece absolue. Théorème 4.2 ( critère du majorat/miorat).. Soiet (a ) ue suite de ombres complexes et b 0. ) Si a b pour tout N, et si b coverge, alors a coverge absolumet. 2) Si a b 0 pour tout N et si b diverge, alors a est pas absolumet covergete.
2 (voir aussi le théorème 2.2). Preuve. () D après le critère de Cauchy.9, ε > 0 0 > N, tel que 0, p N: b + + + b +p < ε. Pour ces idices o aura doc aussi a + + + a +p b + + + b +p < ε. Aisi a est absolumet covergete. (2) découle de () (cotraposée). ( ) 3 e i 2 + Exemple 4.3. 2 coverge absolumet car le module du terme gééral est égal à 2 +, qu o peut majorer par. 2 ( ) est pas absolumet covergete, car la série (+) + as- sociée au miorat du module a (+) + diverge. Cepedat cette (+) série alterée coverge d après le critère de Leibiz. Doc ( ) est semi-covergete. Rappel: Soit x R R {, + }. R est u esemble totalemet ordoé,i.e. x, y R o a x y ou y x. Toute partie o-vide das R admet ue bore supérieure et iférieure. Notatio: lim sup x lim sup k if x k (limite supérieure de la suite (x )) lim if x lim x k (limite iférieure de la suite (x )) k O a: lim if x lim sup x et (x ) coverge vers x R si et seulemet si lim if x lim sup x x. lim if x est le plus petit poit d accumulatio de la suite (x ) das R, lim sup x est le plus grad poit d accumulatio de la suite (x ) das R. exemple: lim if 2( ) + et lim sup 2( ) + 3. Théorème 4.4 (Règle de Cauchy, critère de la racie).. Soit (a ) ue suite das C. ) Supposos qu il existe q ]0, [ tel que a q < pour tout N; i.e. lim sup a <. Alors la série a est absolumet covergete. 2) Supposos que a pour ue ifiité d idices. Alors a diverge. 3) Si lim sup a o e peut rie coclure. Notos que l hypothèse (2) est satisfaite si par exemple lim sup a >. Cette derière coditio état plus forte cepedat (voir exemple a pour tout ).
3 Résumé: lim sup a < covergece de a ; lim sup a > divergece de a ; lim sup a??? Preuve. () N: a q a q. q est ue majorate qui coverge. Doc a covergete. (2) a pour a. Doc, (a ) e coverge pas vers 0; aisi a diverge. (3) a, b ; a 2 et b ; mais a diverge et b coverge. Exemple 4.5. Détermier tous les z C tel que la série ( ) + 2 z soit absolumet covergete. Soit a ( + ) 2 z. a ( + ) z e z < z < e. Doc la série a est covergete si z < e (disque ouvert de cetre 0 et de rayo e ). Si z > e, o a: ε : ( + ) z e z >. Doc ε pour presque tous les. Aisi a ε ( + ) 2 z pour presque tous les. Doc a diverge pour z > e. Si z e a o obtiet: ( + ) 2 ( ) ( log a 2 log + ) + log e e [ log( + ) ] [( 2 Doc a e 2 [ 2 + 3 ( ) 2 ( + ) 3 3 + ) ] 2 + ] 2 + [ 3 + ] 2. 0. Aisi a diverge. Théorème 4.6 ( Règle d Alembert, critère du quotiet).. Soit (a ) ue suite das C \ {0}. () Supposos qu il existe q ]0, [ tel que a + a q < pour tout N; i.e. lim sup a + a <. Alors la série a est absolumet covergete.
4 (2) Supposos que a + a pour tout N. Alors a diverge. (3) Si lim sup a + a o e peut rie coclure. Notos que l hypothèse (2) est satisfaite si lim if a + a >. Cette derière coditio état plus forte cepedat (exemple a pour tout ). Résumé: lim sup a + a < covergece de a ; lim if a + a > divergece de a ; lim sup a + a??? Attetio Il existe des séries a qui coverget absolumet quoiqu o a lim sup a + a >. Voir exemple 4.0. Preuve. () N : a + a q a N+ q a N a N+2 q a N+ q 2 a N. Par récurrece p N: a N+p q p a N. Aisi N: a :N+p ( an q N) q. }{{} :C Maiteat Cq est ue majorate qui coverge. Doc a covergete. (2) Hypothèse a p a p+ a p+2. Doc (a ) e coverge pas vers 0. Aisi a diverge. (3) a, b 2. Exemple 4.7. Trouver tous les z C tel que la série ( 3) z soit absolumet covergete. Soit a ( 3) z. Alors q : a + a ( + ( 3 3 ) z + ) z (+)( ) 3! ( )( 2) 3! + 2 z z. Doc q q < pour presque tous les idices si z <. (ou bie lim sup q z < z < ). Doc la série a coverge si z <. Si z, alors a + a + + 2 z 2 pour tout. Doc la série a diverge. Comparaiso des règles de Cauchy et d Alembert: z
Theorem 4.8. Soit (a ) ue suite de ombres complexes. Alors lim if a + a lim if a lim sup a lim sup a + a. Preuve. Soit a lim if a +. a Si a 0, rie est à motrer. Soit doc a 0. Choisir 0 < ε < a. Hypothèse N tel que a + a > a ε N. Alors, pour ces idices o a: a a a a N+ > (a ε)( N). Doc a N a a 2 a N a > (a ε) a N (a ε). N Comme C pour tout C > 0, o a lim if a a ε. Comme ε > 0 est arbitraire, o peut laisser tedre ε 0 et doc lim if a a lim if a + a. Aalogue pour lim sup. Exemple 4.9. Détermier lim! Soit a!. Alors Aisi e lim if Doc a e. a + a a +. ( + )! a ( + ) +! ( ) + ( + ) ( + ) + ( + ) e. lim if a lim sup a lim sup a + a e. Exemple 4.0. Voici u exemple d ue suite (a ) où lim a existe, mais pas la limite du quotiet a + a. Soit a, b R tel que 0 < a < b. Posos a 2 a b + et a 2+ a + b +. Alors 2 a 2 a /2 b /2+/(2) ab 2+ a2+ a (+)/(2+) b (+)/(2+) ab. 5 D où a ab. Mais a 2+ a 2 a et a 2 a 2 b. Doc a + a a pas de limite.
6 E preat a 2 3 et b 4 3, o obtiet 2 3 lim if a + a < lim a 8 9 < < lim sup a + a 4 3 ; Doc la série a coverge (d après le théorème de la racie de Cauchy), quoique lim sup a + a >. O a le rafiemet suivat de la règle d Alembert. Théorème 4. (Critère de Raabe).. Soit (a ) ue suite das C \ {0} et soit β >. () Si 0 o a a + a β, alors la série a est absolumet covergete. (2) Si 0 o a a + a, alors la série a est pas absolumet covergete. Attetio Il existe des séries semi-covergetes, quoique E effet, preos a ( ). Alors a + a a + a. + +. Preuve. () Hypothèse a + a β a 0. Aisi (β ) a ( ) a a +. β > 0 < ( ) a a + ( ) a > a + ( a + ) 0 décroissate et borée iférieuremet. Doc lim a + existe. Aisi la série téléscopique [( ) a a + ] coverge. Comme (β ) a ( ) a a +, la série (β ) a coverge et doc aussi a. (2) Hypothèse a + ( ) a > 0 0. Doc ( a + ) 0 croissate a + ε > 0 0 a + ε + 0. Doc a diverge, car + diverge. Applicatios Propositio 4.2 (séries de Riema).. Soit α > 0. Alors la série coverge si et seulemet si α >. α
Preuve. Notos d abord qu o e peut pas appliquer les règles de Cauchy et d Alembert, car α et α α/ (+). α Motros cepedat que si α > alors il existe β > et 0 tel que α () : ( + ) β α 0. Fixos α > et soit < β < α. Posos x / et cosidéros la foctio f(x) ( + x) + βx. α Alors f est cotiûmet différetiable sur [0, [, f(0) et f() 2 α +β >. Comme f (0) β α < 0, o voit que f est décroissate sur [0, x 0 ] pour u certai x 0 avec 0 < x 0 <. Aisi f(x) sur [0, x 0 ] ce qui etraie que () + β f( ) pour 0. Doc () β et o peut appliquer le critère de Raabe pour déduire que α coverge si α >. Réciproquemet, si 0 < α, alors est ue miorate de diverge. Doc α diverge. 5. sommatio partielle d Abel Itégratio par parties: b a u vdx + b a uv dx (uv)(b) (uv)(a) versio discrète: Propositio 5.. Soit S 0, S, S 2,..., S p C, a 0, a,..., a p, a p+ C. Alors p p S (a + a ) + a (S S ) S p a p+ S 0 a 0. E particulier, si S b 0 + b + + b, alors p p a b S (a a + ) + S p a p+ Preuve. p S (a a + ) + S p a p. p S j (a j+ a j ) j+ p S j a j+ p+ S a p S j a j p S a p a (S S ) + S p a p+ S 0 a 0. α 7 qui
8 Théorème 5.2 (Règle d Abel-Dirichlet).. Soiet a 0 et b C tel que i) la suite (a ) est décroissate et lim a 0; ii) M > 0, m 0 : b + b + + + b m M. Alors la série a b est covergete et q : R q Ma q+. Preuve. Soit S b 0 + b + + b,. Alors S p : p a b a p S p + p S (a a + ). a p S p a p M 0 si p ; p S (a a + ) M p (a a + ) M(a 0 a p ) Ma 0. Doc la série S (a a + ) est absolumet covergete, doc covergete. O déduit que S p est covergete; i.e. a b coverge. E commeçat avec l idice q < p (au lieu de 0), o obtiet de la même faço que p a b a p S p + Ma q+. q+ Avec p, o obtiet R q Ma q+. Remarque () Le critère de Leibiz cocerat les séries alterées est u cas spécial: E effet, si b ( ) alors m j b j 2. Doc b a coverge si a 0. (2) La règle d Abel-Dirichlet est ue règle pour étudier la covergece de séries dot le terme gééral chage le sige ou est o réel. E effet si a 0 et b 0, alors l hypothèse b + b + + + b m M doe immédiatemet la covergece de la série a b, car q q S q a b a 0 b a 0 M. La suite (S ) est doc majorée et croissate; doc elle coverge et o retrouve aussi R q a q+ M. Exemple 5.3. Soit α R. Détermier tous les θ R pour lesquels la série αeiθ coverge. Preuve. Soit b e iθ. Pour m o a : b + b + + + b m e iθ + e (+)iθ + + e miθ e iθ + e iθ + e 2iθ + + e (m )iθ
Si θ / 2πZ, o a e (m +)iθ e iθ si eiθ. b + b + + + b m 2 e iθ : C Doc, d après la règle d Abel-Dirichlet, la série e iθ coverge si α > α 0 et θ / 2πZ. Cette série est absolumet covergete si α > et semicovergete si α ]0, [. Comme α 0 si α 0, la série diverge das ce cas. Bie sûr, o peut remplacer das l exemple précédet α par a, si a 0 et a 0. 9 Corollaire 5.4. Soit (a ) ue suite décroissate de ombres positifs tel que a 0. Alors les séries de Fourier a cos(θ) et a si(θ) coverget θ / 2πZ. Preuve. Utilisos que (x + iy ) coverge x et y coverget (x, y R) et que e is cos s + i si s, s R. 6. produits de deux séries (a 0 + a )(b 0 + b ) a 0 b 0 + a 0 b + a b 0 + a b ; ( a j) (b 0 + b ) a jb 0 + a jb ; ( a j ) ( b j ) ( k0 a j b k ) k0 a j b k Ces somme s écrivet aussi sous la forme d ue somme double: S : a j b k a j b k a j b k. 0 j 0 k 0 j,k j,k0 a j b k. gééralisatio: soit (a j,k ) 0 j,k ue matrice carrée d ordre + de ombres complexes. Notos que j est l idice lige et k est u idice coloe. Alors la somme sur tous ces ( + ) 2 ombres s écrit: s a j,k (additio d abord de tous les ombres das la k-me coloe, k0 puis additio de ces sommes) k0
20 s 2 a j,k (additio d abord de tous les ombres das la j-me coloe, k0 puis additio de ces sommes) m s 3 a i,m i (additio selo les diagoales). m0 i0 Q 3 m0 m a i,i+ m. Alors s s 2 s 3 + Q 3. i0 a 0,0 a 0, a 0,2 a 0,k a 0, a,0 a, a, a, a 2,0.. a j,0 a j,k a j,....... a,2... a, a,0 a, a,k a, a, Si maiteat a j,k a j b k o obtiet O a aussi S ( a j ) ( b k ) k0 S 0 m 0 p,q p+qm m0 m a i b m i + i0 a p b q + + m 2 m0 0 p,q p+qm m a i b i+ m Defiitio 6.. Soiet a et b deux séries sur C. O appelle série produit (ou somme resp. série de Cauchy) la série c où c a j b j. Théorème 6.. Si les séries a et b de ombres complexes sot absolumet covergetes, alors la somme de Cauchy i0 a p b q c a j b j das la litérature o dit produit de Cauchy
2 coverge absolumet et l o a: ( ) ( ) c a b. Preuve. S a 0 + + a, S S, T b 0 + + b, T T, P c 0 + + c. A motrer que P ST. Cas : a 0, b 0. D òu c 0. O a P S T ST. La suite (P ) est croissate et majorée, doc covergete: P P. O a P S T P 2. Figure 2. sommatio lelog les diagoales Doc e faisat, o a: P ST P. Doc P ST. Cas 2 : a C, b C. O pose S a 0 + + a, S S, T b 0 + + b, T T, P c 0 + + c où c p0 a pb p. D après le premier cas, P P avec P S T. Aisi S T P 0 p,q p+q> a p b q 0 p,q p+q> S T P S T P 0. Or, P S T (S T P ) ST 0 ST. a p b q
22 Doc la série c est covergete et sa somme est ST. E plus, c c. La covergece de c implique doc la covergece absolue de c. Remarque. Si les séries a et b e coverget pas absolumet, alors la série de Cauchy peut être divergete. Exemple 6.2. a b ( ),. Alors a et b sot sémicovergetes. O a c a p b p+ p p p ( ) p ( ) p p p( p + ). p ( ) p p + Or, pour x R, x( x + ) ( + ) 2 /2. D où p( p + ) ( + )/2. Aisi 2 c p( p + ) + 2 + 2 Doc c 0. Doc c diverge. versio du: 8..200 FIN DU CHAPITRE