CHAPITRE V. Suites et séries de fonctions.

CHAPITRE V Suites et séries de foctios. I - Covergece simple d ue suite de foctios : le problème de l iterversio des ites. II - Covergece uiforme d ue suite de foctio : le théorème d iterversio des ites. III - Cotiuité, itégrtio, dérivtio de l ite d ue suite de foctios. IV - Cs prticulier des séries. Covergece ormle, critère d Abel. I - Covergece simple d ue suite de foctios Défiitio. Soit D R. Ue suite de foctios de D ds R ou C) est l doée pour tout N d ue pplictio f de D ds R ou C). Nottio. O oter f ) N ou f ) ou f ) l suite de foctios. Défiitio. Soit f ) ue suite de foctios de D ds R ou C). Soit f ue pplictio de D ds R ou C). O dit que l suite f ) coverge simplemet vers l foctio f ou coverge e tous poits vers f) si pour tout x D, l suite f x) ) coverge vers fx). C est-à-dire : x D ε R, ε > 0, N N tel que N >N f x) fx) < ε ). Remrquos que ds cette défiitio l etier N déped de ε et de x. Nottio. f = f. Exemple et remrques. ) Soit D =[0, + [. Pour tout N et tout x D, o pose f = x +x f 0) = pour ) f 2 f x 0 f 0 97

f x) = +x. L foctio f est croisste, dérivble, et f x) =. x + x. Pour tout x D \{0} fixé, o +x =.. Pour x=0 o f 0) = 0. L suite f ) coverge doc simplemet vers l foctio f doée pr fx) = pour x D \{0} et f0) = 0. O f = f. Remrquos que bie que chque pplictio f soit cotiue e 0, l pplictio f est ps cotiue e 0. Autremet dit ds ce cs o : f x) ) f x) ) x 0 x 0 2) O suppose que f ) est ue suite de foctios pr exemple de [, b] ds R, pour et b réels, <b, coverget simplemet vers ue foctio f. O se pose les trois questios suivtes : ) L cotiuité de chque f etrîe t-elle celle de f? b) Si chque f est dérivble, f est-elle dérivble et -t-o f = f? x 0 x 0 c) Si chque f est itégrble, f est-elle itégrble et -t-o lors b f t)dt = b ft)dt? O v voir comme o l déjà vu pour l cotiuité) que l covergece simple des foctios e suffit ps, il fut ue otio plus forte : l covergece uiforme. II - Covergece uiforme d ue suite de foctios et théorème d iterversio des ites Défiitio. Soit D R. Soit f ) ue suite de foctios de D ds R ou C). O dit que l suite f ) coverge uiformémet vers l foctio f sur D si o : ε R, ε>0, N N tel que x D N >N f x) fx) < ε). Remrques. ) Si o compre àldéfiitio de l covergece simple doée e I o remrque que l coditio x D est plcée près le N. Cel sigifie que le N trouvé dépedt de ε doit coveir pour tous les x D. 2) Ds les cs où o sit clculer u mois pour ssez grd sup f x) fx) qu o oter f f ) o peut ussi trduire l propriété pr : ε >0 N tel que >N f f <ε c est-à-dire que l suite réelle f f coverge vers 0. Exemple. Le problème de o cotiuité ds l exemple des foctios f x) = x +x pour x [0, + [ se situit pour x =0. Motros que cette suite de foctios est ps uiformémet covergete sur [0, ], mis qu elle l est sur tout itervlle [, + [ vec >0. Si o covergece uiforme, o covergece uiforme vers l foctio f qui est ite simple de l suite. Or o : x pour x>0 +x = +x. 98

) pour fixé o sup = o doc ps de covergece uiforme sur ]0, + [. x>0 +x b) Si o se restreit à l itervlle [, + [, o: N, fixé sup x [,+ [ +x = +. Il suffit doc de redre + iférieur à ε pour qu o it : x [, + [ <ε. O +x doc covergece uiforme sur [, + [. Remrque. ) Pour motrer l covergece uiforme de f ) il fut près voir trouvé l ite simple f essyer de mjorer f x) fx) idépedmmet de x. 2) Ue secode méthode est d utiliser le critère de Cuchy uiforme ci-dessous). 3) Efi ds le cs des séries o verr deux utres méthodes critère de covergece ormle, critère d Abel). O v voir tout de suite le critère de Cuchy. Théorème Critère de Cuchy uiforme). Soit D R. Soit f ) ue suite de foctios de D ds R ou C). Alors l suite f ) coverge uiformémet vers ue foctio f de D ds R ou C) siet seulemet si o l coditio C) suivte : ε R, ε > 0 N ε tel que p N q N x D p >N ε et q>n ε ) f p x) f q x) < ε. Démostrtio. ) L coditio est évidemmet écessire. 2) Motros qu elle est suffiste. O suppose doc C) vérifié.. Pour tout x D l suite f x) ) est ue suite de Cuchy ds R ou C). Doc elle N coverge. Soit fx) s ite. Ceci défiit l foctio f.. Soit ε>0 et soiet p>n ε et x D o q >Nε) f p x) f q x) < ε. D où e fist tedre q vers + : f p x) fx) ε. D où l covergece uiforme. Remrque. Avt de voir le théorème d iterversio des ites, siglos ss démostrtio et à titre documetires les résultts clssiques suivts, qu o e demder ps de reteir. Soiet et b des réels vec <b. ) Toute foctio mootoe sur [, b] peut s écrire comme ite uiforme d ue suite de foctios e esclier. 2) Toute foctio cotiue sur [, b] peut s écrire comme ite uiforme d ue suite de foctios e esclier. 3) Toute foctio cotiue sur [, b] peut s écrire comme ite uiforme d ue suite de foctios polyomiles théorème de Weierstrss). 99

Théorème 2. Soit D R, soit f ) ue suite de foctios de D ds R ou C) coverget uiformémet sur D vers ue foctio f. Soit x 0 D. Supposos que pour tout N Alors l suite l ) est covergete et o : l = x x0 f x) existe ds R ou C l = x x0 fx). Résumé. O doc : x x uiforme f 0 x) ) = x x0 f x) ). }{{} }{{} existe pr hypothèse existe pr hypothèse Remrque. O pourrit remplcer ds l propriété précédete le pr ue vrible y qu o ferit tedre vers ue vleur y 0. Démostrtio. O : C) ε > 0 Nε) p > Nε) q > Nε) x D f p x) f q x) < ε 3.. Pr pssge à l ite ds C) o doc : p >Nε) q >Nε) l p l q ε 3. L suite l p ) est doc ue suite de Cuchy ds R ou C. Doc elle coverge. Soit l s ite o : p >Nε) l p l ε 3.. O obtiet églemet p >Nε) x p f p x) fx) ε 3.. Soit lors p 0 fixé choisi tel que p 0 >Nε) comme o x x0 f p0 x) =l p0, il existe η p0,ε > 0 } x D tel que f p0 x) l p0 < ε x x 0 <η p0,ε 3. Filemet pour x x 0 <η p0,ε,x D o: fx) l fx) f p0 x) + f p0 x) l p0 + l p0 l ε. 00

III - Cotiuité, itégrtio, dérivtio de l foctio ite d ue suite de foctios Théorème 3. Soit D R. Soit f ) ue suite de foctios de D ds R ou C) uiformémet covergete sur D vers ue foctio f. Soit x 0 D. O suppose que chque foctio f est cotiue e x 0 sur D. Alors l foctio f est cotiue e x 0 sur D. Démostrtio. O : N x x0 f x) =f x 0 )=l et x 0 )=fx 0 ). O obtiet d près le théorème 2 : l = x x0 fx), doc x x0 fx) =fx 0 ). Théorème 4. Soiet et b des réels, <b. Soit f ) ue suite de foctios cotiues sur [, b] et coverget uiformémet sur [, b] vers ue foctio f. Pour tout x [, b] o pose F x) = x f t)dt F x) = ft)dt. Alors l suite de foctios F ) coverge uiformémet sur [, b] vers l foctio F. Démostrtio. Remrquos que d près le théorème précédet l foctio f est cotiue, doc itégrble. Soit ε R, ε > 0. Alors il existe N ε tel que } t [, b] >N ε o it f t) ft) < ε. Alors pour >N ε et x [, b] o: F x) F x) = f t) ft) ) x dt f t) ft) dt εb ). D où l covergece uiforme de l suite F ) vers F. O dmettr le résultt suivt : Théorème 5. Soiet et b des réels <b. Soit f ) ue suite de foctios Riem-itégrbles de [, b] ds R, uiformémet covergete vers ue foctio f. Alors f est Riem-itégrble. O obtiet lors le théorème 6 e répétt exctemet l démostrtio du théorème 4 : 0

Théorème 6. Soiet et b des réels, <b. Soit f ) ue suite de foctios Riem-itégrbles coverget uiformémet vers ue foctio f sur [, b]. pour tout N et tout x [, b] soit : F x) = F x) = f t)dt ft)dt. Alors l suite F coverge uiformémet vers F sur [, b]. Remrque. O e prticulier pour x = b : b f t)dt = b f t)dt. Exemples. ) O vu que l suite f x) = x +x tout [, ] vec 0 < o : coverge uiformémet vers l foctio fx) = sur F x) = ) dt +t log + x) =x ) F x) =x ). + log + ) + x) log + ) O bie log + =0. log + x) log + ) De plus l ite est doc bie uiforme sur [, ]. 2) Pour x [0, ], N o pose f x) = vers l foctio ulle, fx) = 0 F x) = 0 2 x + 2 x 2. L suite f ) coverge simplemet 2 t + 2 t 2 dt = 2 log + 2 x 2 ) F x) =0. Or pour tout x 0 o F x) = log 2 0. O e déduit que l suite 2 f ) e coverge ps uiformémet vers f sur [0, ] mis seulemet simplemet). Théorème 7. Soiet et b des réels, <b. Soit f ) ue suite de foctios de clsse C de [, b] ds R. O suppose : ) que l suite de foctios f ) coverge uiformémet sur [, b] vers ue foctio g, 2) qu il existe x 0 [, b] tel que l suite f x 0 ) ) coverge. Alors l suite de foctios f ) coverge uiformémet sur [, b] vers ue foctio f dérivble telle que f = g. 02

Démostrtio. O pose g x) = f t)dt pour x [, b]. O déduit fcilemet du x 0 théorème 4 que l suite g coverge uiformémet sur [, b] vers l foctio g doée pr x gx) = gt)dt. Comme les foctios f sot cotiues o pour tout N, g x) = x 0 f x) f x 0 ). Comme l suite f x 0 ) ) coverge, soit l s ite, o obtiet doc que l suite f uiformémet sur [, b] vers l foctio gx)+ l = fx). coverge Efi le théorème 3 dit que l foctio g est cotiue, doc gx) est dérivble de dérivée gx). Doc f est dérivble et f x) =gx). Ce théorème peut se géérliser u cs où les foctios f e sot ps cotiues. O pourr reteir l éocé du théorème 8 suivt mis l démostrtio est plus difficile, o pourr reteir uiquemet l démostrtio du théorème 7. Théorème 8. Soiet et b des réels, <b. Soit f ) ue suite de foctios dérivbles de [, b] ds R. O suppose : ) que l suite de foctios f ) coverge uiformémet sur [, b] vers ue foctio g, 2) qu il existe x 0 [, b] tel que l suite f x 0 ) ) coverge. Alors l suite f ) coverge uiformémet sur [, b] vers ue foctio f dérivble telle que f = g. Démostrtio. E regroupt l coditio de Cuchy uiforme pour l suite f ) et l coditio de Cuchy pour l suite umérique f x 0 ) ) o peut écrire : p N q N t [, b], ε R, ε > 0, N ε N tel que } p>n f ε pt) f ε qt) < 2b ) q>n ε f p x 0 ) f q x 0 ) < ε 2. ) Pour p>n ε,q>n ε x [, b] o doc e ppliqut le théorème des ccroissemets fiis : f p x) f q x) f p x) f q x) ) f p x 0 ) f q x 0 ) ) + f p x 0 ) f q x 0 ) x x 0 f pz) f qz) + f p x 0 ) f q x 0 ) sup z [x,x 0] ou [x 0,x] ε b ). 2b ) + ε 2 = ε. O e déduit d près le critère de Cuchy uiforme que l suite de foctios f ) coverge uiformémet sur [, b] vers ue foctio f. 2) Soit mitet x [, b] fixé. O défiit les foctios h et h de D =[, b] \{x} ds R pr : h t) = f t) f x) ft) fx), ht) =. t x t x L suite h ) coverge simplemet sur D vers l foctio h. D utre prt : 03

pour p>n ε, q > N ε et tout t D o: f p t) f q t) ) f p x) f q x) ) t x sup z [t,x] ou [x,t] c est-à-dire : ε h p t) h q t) 2b ). L suite h ) coverge doc uiformémet sur D. O doc d près le théorème 2 : { t x t x t [,b] f pz) f qz) uiforme h t) ) = h t) ) t x t x t [,b] puisque h t) existe : c est f t x x). t x t [,b] O obtiet doc t x ht) = f x) c est-à-dire que f t x est dérivble e x et f x) = f x) =gx). IV - Cs des séries de foctios ) Défiitios Défiitios. ) Soit D R. Ue série de foctios de D ds R ou C) est l doée pour tout N d ue pplictio u : D R ou C). Etudier l série de foctios, c est étudier l suite de foctios f ) obteue vec les sommes prtielles : N x D f x) = u k x). 2) Avec ces ottios, o dit que l série de foctios u ) coverge simplemet resp. uiformémet) vers l foctio f si l suite f ) coverge simplemet resp. uiformémet) vers l foctio f. O oter f = u. =0 O dit que l série de foctio u ) coverge bsolumet si l série de foctios u ) coverge. k=0 O v commecer pr trduire e termes de séries les propriétés vues pour les suites de foctios ppliquées à l suite f ) puis o verr des critères de covergece uiforme propres ux séries : ormle covergece, critère d Abel uiforme. Tout ceci pourr e prticulier s ppliquer ux cs clssiques suivts : ) Les séries etières : u = x R ou C). 2) Les séries trigoométriques : u = cos x + b si x. 04

2) Trductio sur les séries de foctios des propriétés des suites de foctios O pourrit repredre tous les théorèmes à 8, o v juste repredre les pricipux. Théorème bis critère de Cuchy uiforme pour les séries de foctios). Soit D R, soit u ) ue série de foctios de D ds R ou C). Alors l série de foctios u ) coverge uiformémet sur D si et seulemet si o : ε R, ε > 0, N ε tel que p N q N x D N ε <p q u k x) < ε. Théorème 6bis. Soiet et b des réels, <b. Soit u ) ue série de foctios Riem-itégrbles sur [, b] coverget uiformémet sur [, b] vers ue foctio f = u k. k=0 ) Alors f est itégrble. 2) Si o pose pour tout N et tout x [, b] v x) = gx) = u t)dt ft)dt. Alors l série v ) coverge uiformémet sur [, b] vers l foctio g. Remrque. E prticulier pour x = b o: b u t)dt ) = b k=0 k=0 u k t) ) dt. Théorème 8bis. Soiet et b des réels <b. Soit u ) ue série de foctios dérivbles de [, b] ds R. O suppose : ) que l série de foctios u ) coverge uiformémet sur [, b], 2) qu il existe x 0 [, b] tel que l série u x 0 ) ) coverge. Alors l série de foctios u ) coverge uiformémet sur [, b] eto: ) u = u ). =0 =0 3) Critères propres ux séries : covergece ormle, critère d Abel. Propositio et défiitio 9. Soit D R. Soit u ) ue série de foctios de D ds R ou C). O suppose qu il existe ue série à termes costts réels ) telle que x D u x). Alors si l série ) coverge, l série u ) coverge uiformémet sur D. 05

O dit lors que l série u ) coverge ormlemet sur D. Démostrtio. O utilise le critère de Cuchy uiforme. E effet pour p et q etier, p q et x D o: u k x) u k x) k. Exemples. ) Pour tout x D = R et tout N o pose u x) = 2 si2 x). O u x) ) 2 et l série 2 coverge. Doc l série u ) coverge ormlemet doc uiformémet. Remrquos qu o u x) = cos2 x) il fut doc bie se grder d e déduire que l série u ) coverge cf. Théorème 8bis). 2) Pour tout x R, x et tout N, o pose : + x u x) = ) o sit que log + x) = u x) ). = ) Motros qu o covergece ormle ds tout itervlle [, ] vec 0 <. E effet o, pour x [0,]: et l série de terme géérl d Alembert). u x) = x coverge cr = +. = < critère de b) Remrquos que l série est divergete pour x =. Elle est covergete pour x = d près le critère des séries lterées, mis ps bsolumet covergete mis o e peut ps espérer de covergece ormle sur [0, ] i même sur [0, [ prce que : et l série de terme géérl N diverge. x sup x < = c) Motros que l série u ) est tout de même uiformémet covergete sur [0, ]. E effet comme pour tout x [0, ] l série u x) ) est lterée o sit mjorer so reste pr l vleur bsolue du premier terme égligé. O x [0, ] N : u k x) u k x) = u k x) k= k= = k=+ k=+ k+ xk ) x+ + +. k 06

O évidemmet sur tout [, ]). = 0 et doc o bie covergece uiforme sur [0, ] et + Théorème 0 Critère d Abel uiforme). Soit D R. Soiet u ) et v ) des séries de foctios de D ds R ou C. O suppose : ) A R, p, q d N, p q, x D o v p x)+...+ v q x) A. 2) L suite u x) coverge uiformémet vers 0 sur D. 3) L série u x) u + x) ) est uiformémet covergete sur D. Alors l série de foctios u.v ) est uiformémet covergete sur D. Démostrtio. O repred l démostrtio du critère d Abel pour les séries umériques théorème 20, pge 5, chp. II). Pour p fixé odéfiit les foctios : o pour p<q : Vp p = v p V p p+ = v p + v p+... Vq p = v p +...+ v q pour q p u p v p +...+ u q v q = V p p u p u p+ )+...+ V p q u q u q )+u q v p q o e déduit q >p, x D q u p x)v p x)+...+ u q x)v q x) A. u q x) + u k x) u k+ x) ) et pour q = p u p x)v p x) A. u q x) o utilise lors le critère de Cuchy uiforme pour les séries de foctios. O peut éocer comme pour les séries umériques, les corollires suivts. Corollire. Soit u ) ue suite de foctios de D ds R. Soit v ) ue suite de foctios de D ds R ou C). O suppose : ) A R p, q ds p q x D v p x)+...+ v q x) A. 2) x D l suite u x) ) est décroisste. 3) L suite u ) ted sur D uiformémet vers 0. Alors l série de foctios u.v ) est uiformémet covergete sur D. Corollire 2. Soit pour tout N w = ) u où u est ue foctio de D ds R o suppose : ) x D u x) ) est décroisste, 2) l suite u ) ted uiformémet vers 0 sur D. Alors l série de foctios w ) coverge uiformémet ds D. 07

Exemples. ) Soit ) N ue suite umérique décroisste et coverget vers 0, lors les séries de foctios e ix ), cos x), si x) sot uiformémet covergetes sur tout itervlle fermé I e cotet ps d élémet de 2πZ. E effet si I est u tel itervlle o pour p q et x I : cos x e ix cr si α et β sot réels o Comme l pplictio x supérieure A. O doc : si x e ix { ) α α + iβ β α + iβ e ikx ipx eixq p+) = e e ix 2 e ix 2 e ix. p, q p q x I de I ds R est cotiue, elle dmet ue bore e ikx A o peut doc ppliquer le critère d Abel uiforme. 2) Soit w x) = ) x pour x [, + [ vec α>0. Alors l série de foctio w ) est uiformémet covergete sur [, + [. E effet o pose u x) = x. Pour tout x l suite u x) ) est décroisste. D utre prt o x doc l suite de foctio u ) coverge uiformémet vers 0 sur [, + [. Je remercie le secrétrit de mthémtiques et spécilemet Mme Giette Mrti-Dubois d voir ssuré ue frppe soigeuse de ce documet, isi que mes collègues Mireille Lozch et Eddy Godelle qui e ot fit ue relecture ttetive et ot permis de corriger de ombreuses coquilles ttetio il y e ss doute ecore!). 08