NMBRES CMPLEXES Jean Chanz Université de Paris-Sud Nécessité d introduire l ensemble C : Considérons l équation 3 5 4 = 0. Elle a pour solution évidente = 4. Le trinôme 3 5 4 se factorise en ( 4)( + b + ). Calculons b : ( 4)( + b + ) = 3 + (b 4) + ( 4b) 4, donc b 4 = 0 et 4b = 5, et par conséquent, b = 4. Le trinôme + 4 + = ( + ) 3 se factorise en +4+ = (++ 3)(+ 3). Le trinôme 3 5 4 a donc trois racines réelles. Les formules de Cardan donnent les solutions d une équation du tpe 3 + p q = 0. n les trouve de la manière suivante : n pose = u +v, on calcule 3 = (u + v) 3 = u 3 + 3u v + 3uv + v 3 = u 3 +v 3 + 3uv(u + v) = p+q. n prend alors : { 3uv = p n obtient alors : u 3 + v 3 = q. u 3 + v 3 u 3 v 3 = q = p3 7. u 3 et v 3 sont donc solutions de l équation X qx p3 7 = 0. = q + 4 p3, donc si > 0, 7 u 3 = q q + 4 + p3 7 v 3 = q q 4 + p3 7, donc une solution de l équation 3 + p q = 0 est : = 3 q q + 4 + p3 7 + 3 q q 4 + p3 7. Cependant, si on reprend l eemple précédent, avec q = 4 et p = 5, on a = 484, donc pas de solution réelle pour u 3 et v 3, et par suite pas de solution réelle pour = u+v. r, on a vu que l équation 3 5 4 = 0 avait trois solutions réelles. Cette contradiction conduit à introduire un ensemble plus grand que R, contenant R, et dans lequel toute équation polnomiale aura autant de solutions que le degré du polnôme figurant au premier membre de l équation. Les nombres complees :. L ensemble C des nombres complees : Définition.. n appelle «imaginaire pur» l une des deu racines du polnôme +. n le note ı, et il vérifie ı =. Université de Paris-Sud,Bâtiment 45;F-9405 rsa Cede
Définition.. n appelle C l ensemble des nombres de la forme + ı, où et décrivent R. n les appelle des nombres complees. Théorème Tout nombre complee z admet une écriture unique z = + ı, où et sont des nombres réels. Cette écriture s appelle la forme algébrique de z, s appelle la partie réelle de z, notée Re(z), et la partie imaginaire de z, notée Im(z). Remarque : n notera I l ensemble des nombres imaginaires : I = {z : z C et z = 0 + ı; R}. n peut également le noter ır.. Le plan complee : Soit (; u, v ) un repère orthonormé du plan. Définition.3.. À tout point M du plan, de coordonnées M(; ), on associe un unique nombre complee z = + ı, appelé affie du point M et du vecteur M.. Réciproquement, tout nombre complee z = + ı est représenté dans le repère (; u, v ) par un unique point M de coordonnées M(; ) ou un unique vecteur M, appelés respectivement point-image et vecteur-image de z. 3. n appelle plan complee le plan constitué par tous les points-images (ou par tous les vecteursimages) de tous les nombres complees de l ensemble C. 4. L ae horizontal du repère (; u, v ) est appelé l ae des réels, et tout nombre complee de la forme z = + ı0 est un réel représenté par un point-image sur l ae des réels (R C). 5. L ae vertical du repère (; u, v ) est appelé l ae des imaginaires, et tout nombre complee de la forme z = 0 + ı est appelé un imaginaire pur; il est représenté par un point-image sur l ae des imaginaires. ae des imaginaires M( + ı) ae des réels.3 pérations sur les nombres complees :.3. Égalité de deu nombres complees : Théorème Soient z et z deu nombres complees. Alors z = z Re(z) = Re(z ) et Im(z) = Im(z ).
.3. Conjugué d un nombre complee : Définition.4. Soit z = + ı un nombre complee. n appelle nombre complee conjugué de z le nombre complee z = ı. Son point-image M est le smétrique de celui de z, noté M, par rapport à l ae des réels. M(z) M (z) Propriétés de z : Soit z un nombre complee quelconque.. z + z = Re(z),. z z = ıim(z), 3. z R z z = 0, 4. z I z + z = 0 Démonstration : Posons z = + ı. Alors :. z + z = + ı + ı =,. z z = + ı ( ı) = ı, 3. z R z = = z z = 0, ı 4. z I z = ı = z + z = 0,.3.3 Somme et produit de deu nombres complees : Soient z = + ı et z = + ı deu nombres complees. Définition.5. La somme de z et z est définie par z + z = ( + ) + ı( + ). Le produit de z et z est défini par : z z = zz = ( + ı)( + ı ) = + ı + ı + ı = ( ) + ı( + ). Interprétation graphique. Si M est le point-image de z et M celui de z, le point-image de z + z est le point S tel que S = M + M,. Soit k R. Si M est le point-image de z, alors le point P tel que P = km est le point-image de kz, 3
M (z ) S(z + z ) M(z) P(kz).3.4 Formules des affies : Propriétés. Soient A et B deu points du plan, d affies respectifs z A et z B. Alors l affie de I, milieu du segment [AB] est z I = z A + z B, et celui du vecteur AB = B A est zb z A.. Soit (A i, α i ), avec i N et i n, une famille de points A i du plan, d affies respectifs z Ai, affectés des coefficients α i. Si G est le barcentre de ces points, son affie est.3.5 Inverse d un nombre complee : z G = α z A + α z A +... + α n z An α + α +... + α n. Théorème 3 Tout nombre complee z = + ı non nul a un inverse dans C, noté, et tel que z z = z zz = z +..3.6 Quotient de deu nombres complees : Définition.6. Soient z et z deu nombres complees (z 0). Le quotient de z par z est défini par z z = z z = z z zz..3.7 Conjugaison et opérations dans C : z = + ı, z C, z = + ı, z C. z z = +,. z = z, 3. z + z = z + z, 4. z z = z z, ( ) z 5. Si z 0, z = z z, 6. n Z, z 0, z n = (z) n. 4
.4 Équations du second degré à coefficients réels : Soient a, b, et c trois réels, avec a 0, et l équation az + bz + c = 0. n appelle discriminant du trinôme az + bz + c, le nombre réel = b 4ac.. Si > 0, l équation a deu solutions réelles z = b et z = b +. Le trinôme a a P(z) = az + bz + c se factorise alors en P(z) = a(z z )(z z ).. Si = 0, l équation a une solution réelle double z 0 = b a. Le trinôme P(z) = az + bz + c se factorise alors en P(z) = a(z z 0 ). 3. Si < 0, l équation a deu solutions complees conjuguées z = b ı et z = b + ı = a a z. Le trinôme P(z) = az + bz + c se factorise alors en P(z) = a(z z )(z z )..5 Forme trigonométrique et forme eponentielle d un nombre complee :.5. Module et arguments d un nombre complee : Définition.7. Soient z un nombre complee, et M son point-image dans le plan complee, repéré dans le repère (; u, v ) par ses coordonnées polaires (r, θ). n appelle alors r le module de z, noté z, et θ un argument de z, noté arg(z) et défini à kπ près (k Z). r sin(θ) M(z) r θ r cos(θ) Ainsi z = r = M > 0, et arg(z) = ( u, M) = θ + kπ (k Z). Remarque : Si z est un réel, alors le module de z coïncide avec sa valeur absolue..5. Forme trigonométrique d un nombre complee : Définition.8. Soit z = + ı un nombre complee. Si on factorise z par son module z = ( ) +, on obtient la forme trigonométrique de z, z = z cos(θ) + ı sin(θ), avec cos(θ) = + et sin(θ) = Propriétés +. Le nombre complee u = cos(θ) + ı sin(θ) a pour module u =.. z = z z et z = z z,. Deu nombres complees non nuls z et z sont égau si et seulement si z = z et arg(z) = arg(z ) + kπ (k Z), 3. z C, z = z = z = zz, 4. z C, arg(z) = arg(z) + kπ (k Z), arg( z) = π + arg(z) + kπ (k Z), 5
5. z C, z C, zz = z z et arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) + kπ (k Z), 6. z C, z C, z = ( ) et arg = arg(z) + kπ (k Z); z ( ) z z z = z z et arg = z z arg(z ) arg(z) + kπ (k Z). ( n. 7. Formule de Moivre : θ R, n N, cos(nθ)+ ı sin(nθ) = cos(θ) + ı sin(θ)) Cette formule sert à eprimer cos(nθ) et sin(nθ) en fonction de (cos(θ)) p et (sin(θ)) p, pour 0 p n, et (cos(θ)) n et (sin(θ)) n en fonction de cos(pθ) et sin(pθ). En particulier, elle permet de linéariser (cos(θ)) n et (sin(θ)) n pour les calculs d intégrales..5.3 Forme eponentielle d un nombre complee : Soit u = cos(θ) + ( ı sin(θ) ) un( nombre complee) de module u =. n vérifie facilement que θ R, θ R, cos(θ) + ı sin(θ) cos(θ ) + ı sin(θ ) = cos(θ + θ ) + ı sin(θ + θ ), et par conséquent la fonction complee de θ définie par f(θ) = cos(θ) + ı sin(θ) vérifie la relation fonctionnelle de la fonction eponentielle. n note alors cos(θ) + ı sin(θ) = e ıθ. Définition.9. Tout nombre complee z non nul, de module r 0, et d argument θ peut s écrire z = re ıθ. Cette écriture s appelle la forme eponentielle de z. Propriétés. θ R, θ R, e ıθ e ıθ = e ı(θ+θ ),. θ R e = ıθ ıθ e = e ıθ, 3. θ R, θ R, e ıθ e ıθ = e ı(θ θ), 4. θ R, n N, (e ıθ ) n = e ınθ. 5. Formules d Euler : θ R, on a cos(θ)+ ı sin(θ) = e ıθ et cos(θ) ı sin(θ) = e ıθ. Par addition et soustraction membre à membre de ces deu égalités, on obtient les formules d Euler : ıθ + e ıθ cos(θ) = e 3 Nombres complees et géométrie : 3. Angles orientés de vecteurs : ıθ e ıθ et sin(θ) = e. ı Soient A, B, C et D quatre points du plan complee, avec leurs affies respectifs z A, z B, z C et z D. n a alors le théorème suivant : Théorème 4. AB = z B z A et ( u, AB) = arg(zb z A ) + kπ (k Z),. CD AB = z D z C z B z A et ( AB, CD) = arg ( zd z C z B z A considéré comme un nombre complee de module ) + kπ (k Z). V peut être U ( U ), V + kπ (k Z). Théorème 5 Soient V et U deu vecteurs du plan. Le quotient de ces deu vecteurs V U et d argument 6
3. Équations paramétriques d un cercle : Définition 3.. Avec les nombres complees, le cercle (C) de centre Ω, aant pour affie ω, et de raon r, est l ensemble (C) = {z C : z ω = r}. L égalité z = ω+re ıθ constitue une équation paramétrique du cercle (C), de paramètre θ [0, π[. n retrouve les équations paramétriques classiques en prenant les parties réelle et imaginaire de cette égalité : { = Ω + r cos(θ) = Ω + r sin(θ). 3.3 Transformations du plan : n s intéresse à la fonction complee : f : C C z f(z) = az + b, avec a C et b C. Cette transformation induit une transformation du plan entre le point-image de z et le point-image de f(z). Les propriétés de cette transformation dépendent de la valeur de a et de b. 3.3. Identité : Si a =, et b = 0, f est la fonction «Identité» f(z) = z. 3.3. Translation : Si a =, f est une translation de vecteur t d affie b. f n a, bien sûr, pas de point fie (ou point invariant). 3.3.3 Homothétie : Si a R {}, f est une homothétie de rapport a, et dont le centre est le point Ω, point fie (ou point invariant) de f. L affie de Ω, soit ω, vérifie ω = aω+b, donc ω = b. n note cette homothétie a h = Hom(Ω, a). Elle peut s écrire h(z) = ω + a(z ω). 3.3.4 Rotation : Si a C R, avec a =, f est une rotation d angle θ = arg(a) + kπ (k Z), et dont le centre est le point Ω, point fie (ou point invariant) de f. L affie de Ω, soit ω, vérifie ω = aω +b, donc ω = b a. n note cette rotation ρ = Rot(Ω, θ). Elle peut s écrire ρ(z) = ω + e ıθ (z ω). 3.3.5 Similitude directe : Si a C, et n est dans aucun des quatre cas précédents, f est une similitude directe (voir cours de spécialité). Son epression complee est de la forme f(z) = ω + a(z ω), avec ω = b a. 7