Cours de mathématiques PSI* D'après les cours de M Guillaumie Heriet Queti
Séries umériques Das tout le chapitre, K désige le corps R ou C, et o désige par u ue suite de K Gééralités Vocabulaire Défiitio : O appelle série de terme gééral u le couple : u, qu'à partir du rag 0 u k Elle est otée u, ou 0 u si u 'est défiie Défiitio : O ote S u k La suite S est appelée suite des sommes partielles de la série de terme gééral u Propositio : u 0 =S 0 et, u =S S Défiitio : O dit que la série u coverge si la suite S est covergete Das ce cas, o appelle somme de la série de terme gééral u la limite de S, otée u O e maipule la somme d'ue série que si cette série coverge! =0 La série u diverge si elle e coverge pas Défiitio : Si u coverge, o appelle reste partiel d'ordre de la série u le scalaire R = =0 u u k, oté R = k= u k Propositio : Si u coverge, alors, u =R R E effet, R R = =0 u S u =0 S =S S =u 2 Premiers exemples 2 Séries géométriques Défiitio : O appelle série géométrique toute série du type z où z K Lemme fodametal : Soiet z C {}, p, q Z 2, o a alors z z k z k z k z k k= 0 z k z = z p et z k = zq z p k=q z p z k = z par télescopage, et k=q Ce résultat se gééralise : par exemple si f L E, id E f k= 0 p z k =z q k=q f k =id E f p q z k q =z q z r zp q =z q r=0 z
Soit z C z coverge z, et das ce cas, z = =0 z et k= z k = z z er cas : z= Alors S 2 ème cas : z Alors S k= 0 k = z diverge z k = z z Aisi, z k coverge la suite z coverge Or, comme z, la suite z coverge z De plus, lorsque z, z 0, doc S z et doc R = k= z k =S S = z z Si 0, z C, alors 0 z coverge z et das ce cas, = 0 z = z 0 z 22 Séries télescopiques Défiitio : O appelle série télescopique toute série umérique du type 0 où K Lie suite-série : Soit K, la série coverge coverge, et das ce cas, =lim 0 =0 S k k k k q= k k = 0 Aisi S coverge coverge, et das ce cas, lim Exemple : =, doc d'après le lie suite-série, S = lim 0 coverge la suite coverge (vrai) 23 Série harmoique Défiitio : O appelle série harmoique la série de terme gééral O ote H diverge Preuve du théorème : Supposos que la série 2 2 H 2 H k= k k = k = elle coverge aussi vers H Aisi H 2 H 0 soit covergete Alors la suite H coverge, o ote H sa limite k, et comme H coverge vers H et que H 2 est ue suite extraite de cette suite, 2 Or, H 2 H = k= k 2 = 2 L'hypothèse est doc fausse, et diverge
24 Séries expoetielles Défiitio : O appelle série expoetielle de paramètre z la série z! Lemme : La suite z! ted vers 0 ( z C ) Preuve du lemme : er z cas : z=0 : Alors, =0, le lemme est vrai! 2 ème cas : z 0 : Soit u = z! O a alors u = z u, et aisi u u 0 Aisi pour = 2, tel que, u u D'où, u 2 u, par récurrece simple Or, 2, u 2 u 2 0 doc par ecadremet, u 0 0 z! coverge et =0 z! =ez, z C er cas : z=0 : S z k k! = =e0 2 ème R C cas : z 0 : Soit f : t e, de classe C, et p, t R, f p t =z p e t z t z f est de classe C, o peut doc appliquer Taylor reste itégrale à f etre 0 et à l'ordre e a : f f k 0 0 k t k! 0 f t e z z k! k! t 0 z e t z! R 0 : e effet R = 0 t! z e t z z! 0 t e t z z! 0 t e t Rez t [0,], 0e t R e z max, e Re z = A, d'où R A z! 0 t =A z! [ Doc R A z!, et d'après le lemme, z! z Fialemet, k k! coverge vers ez 0, doc par domiatio, R 0 R t ]0 3 Divergece grossière Propositio : Si u coverge, alors u 0 La réciproque est fausse O a, u =S S, or, par hypothèse S est covergete et si S=lim S, alors lim S =S, doc u =S S S S=0 Propositio : Si u 0, alors u diverge Défiitio : Das le cas où u 0, o dit que la série u diverge grossièremet
4 Opératios algébriques Propositio : Soiet u et v K,, K 2 Si les séries u et v coverget, alors la série u v coverge Das ce cas, k= 0 u k et =0 u v =0 v k coverget, aisi u v =0 Aisi la série u v coverge et =0 u k v k coverge et lim u v = 0 Propositio : Si u et v coverget, alors u v coverge Si u coverge et v diverge, alors u v diverge u v =O Su u et v diverget, alors o e peut rie dire sur u v u k v k =lim u k lim v k Si u v coverge mais que u et v k diverget, pour étudier la somme de la série u v o reviet aux sommes partielles Corollaire : Soit E={u K tel que u coverge } E est u sous-espace vectoriel de K L'applicatio : E R est ue forme liéaire de E u u =0 Propositio : Soit u C, o ote a =R eu et b =I mu Alors u coverge a et b coverget, et das ce cas, =0 : Évidet : O ote S a i b S coverge, or S k= 0 Aisi la suite ReS coverge vers R elim Doc les séries a et b coverget u =0 a i b =0 a k i b k =ReS i ImS S et I ms coverge vers I m lim Exemple : Soit a =r cos, r a =Rer e i =Re [r e i ] Appelos u =r e i u est ue série géométrique de raiso r e i telle que r e i = r, doc u et doc Reu coverget = r e a =Re i r e =Re i r e i r e i r e i r e i = r cos r 2 r 2 2cos 2 r r 2 cos = = r 2 2 r cos O a utilisé le polyôme de Poisso : r e i r e i =r 2 2r cos r 2 Le résultat obteu est appelé oyau de Poisso r 2 2r cos S
2 Séries à termes positifs 2 Itroductio fodametale Soit u R telle que, u 0 otos S u k S est ue suite croissate E effet S S =u 0 Si, u 0, alors u coverge S est ue suite majorée ( M tel que, u M ) Das ce cas, u =sup{ = 0 u, Sio, lim } u k = (o ote alors u = ) =0 22 Théorèmes de comparaiso Soiet u et v R Premier théorème de comparaiso des séries à termes positifs : O suppose que, 0u v Si v coverge, alors u coverge Si u diverge, alors v diverge, o ote S u k et T v k Alors, S T La série v coverge doc T coverge, aisi T est majorée : M R tel que, T M Or S T et S est croissate, doc S M : S est majorée, doc u coverge Si S, comme T S, o a T et doc v diverge Remarques : Le théorème précédet reste vrai si les iégalités 0u et 0v e sot vraies qu'à partir d'u certai rag Si, 0u v et que v coverge, (et doc u coverge), o a Exemple : E effet, = 0 O sait que u =sup{s, } et, coverge, doc 2 comparaiso des séries à termes positifs, u k v =0 Deuxième théorème de comparaiso des séries à termes positifs : O suppose que, u 0, v 0 et u = Ov Si v coverge, alors u coverge Si u diverge, alors v diverge =0 u v =0 coverge Or 2, 0 2 doc par théorème de coverge, et 2, 0 2 2 coverge par théorème
M0 et tels que, 0u M v Si v coverge, alors M v coverge et par le premier théorème de comparaiso des séries à termes positifs, u coverge De même, si u diverge, alors v diverge Le théorème reste vrai si o suppose u et v positifs à partir d'u certai rag, ou que l'o a u =ov Troisième théorème de comparaiso des séries à termes positifs : O suppose 0, u 0, v 0, et u ~ v Alors u coverge v coverge, c'est-à-dire que les séries u et v sot de même ature u ~ v 0, tel que, u v v u v =ov E particulier, pour = 2, o a : tel que, 2 v u v 2 v 2 v u 3 2 v Aisi u =Ov et v =Ou, o peut doc appliquer le deuxième théorème de comparaiso Ce résultat permet de simplifier le terme gééral de la série étudiée Il reste vrai si les suites sot positives à partir d'u certai rag Si u ~ v et si v 0 à partir d'u certai rag, alors u sera aussi positif à partir d'u certai rag : l'équivalece doe le sige Ce théorème reste vrai égalemet pour les séries de sige égatif 23 Règle de D'Alembert Défiitio : Soit u K telle que, u 0 La suite u u est appelée suite des rapports de D'Alembert de la suite u Règle de D'Alembert pour les séries à termes positifs : Soit u R telle que, u 0 O suppose que u u Si l, alors la série u coverge Si l, alors la série u diverge grossièremet Si l=, o a u cas douteux où o e peux rie dire l [0,] Soit r ] l,[ Comme u u lr, tel que, u u r Doc, 0u r u Alors par récurrece simple o a, 0u r u = u r r Or r coverge (série géométrique de raiso r ]0,[ ) doc par théorème de comparaiso des séries à termes positifs, u coverge u tel que,, u u u, doc u est croissate à partir du rag, u u 0, aisi u 0 et u diverge grossièremet Ce théorème est ue règle de comparaiso aux séries géométriques Il est itéressat pour les séries etières Le résultat est vérifié si u 0 à partir d'u certai rag La réciproque de ce théorème est fausse
24 Comparaiso série-itégrale Cadre du problème : Soit f : [ 0, [ R positive, décroissate et cotiue sur [ 0,[ O cherche à étudier la ature de 0 O pose u = f Idée fodametale : comparer u = f avec v = f t, t [,], f f t f car f est décroissate O itègre alors etre et : f f t f u = f v f =u O a égalemet aisi : v = f t=v f t u = f f Si f est défiie sur [ 0,[ où 0, positive, décroissate et cotiue sur [ 0,[,o peut défiir u et v à partir du rag 0, et o a toujours u v u Les séries f et f sot de même ature O a l'iégalité :, 0u v u, e posat u = f et v = f Avec 0v u, si u coverge, par théorème de comparaiso des séries à termes positifs v coverge Avec 0u v, si v diverge, par théorème de comparaiso u diverge, doc u diverge D'après la relatio de Chasles, k k v k k f t = f t 0 f coverge la suite 0 f t coverge D'après le théorème précédet et e repreat les otatios précédemmet utilisées : u coverge v coverge f coverge la suite k k f coverge la suite 0 f coverge la suite 0 f coverge Si f est défiie sur [ 0, [ où 0, positive, décroissate et cotiue sur [ 0, [, le théorème s'adapte : 0 f coverge 0 f coverge Ce théorème s'écrit aussi f coverge f est itégrable sur [0,[ (voir cours sur l'itégrabilité) Soit f t =0 =0 0 f t f = f 0 = E cas de covergece, o ote 0 f t =lim f f 0 = f t f f 0 0 f t Iégalité vraie e covergece et e divergece f t O obtiet alors : 0 f =0 f f 0 0 f
Propositio : [ f 0 f t ] coverge, f 0 f t f f f 0 f t f 0 otos w = f 0 f t O a alors 0w f f = coverge la suite f coverge (lie suite-série), or f est décroissate et positive, doc la suite f est décroissate et miorée, elle coverge doc Aisi coverge Doc par théorème de comparaiso des séries à termes positifs, la série w coverge Remarques : L'idée de la preuve est itéressate Ce résultat est utile lorsque f diverge : il permet d'obteir u développemet asymptotique de f k La suite f k 0 f t coverge otos cette suite f k k k f t f t = otos w = f k k k f t O a vu que w covergeait, doc f k k k f t w k coverge f t De plus f f t f, et o a vu que la suite f covergeait car décroissate et miorée Par théorème d'ecadremet, la suite f coverge, doc coverge 25 Somme de Riema Défiitio : O appelle somme de Riema réelle toute série du type où R coverge Défiitio : O appelle foctio zêta de Riema la foctio : ],[ R s = s Preuve du théorème : er cas : 0 : Alors 0, doc diverge grossièremet [,[ R 2 ème cas : 0 : Soit f : t positive, décroissate et cotiue sur [,[ t Par théorème de comparaiso série-itégrale, coverge la suite Or, t ={ l si = [ t ] = si, et : { l t coverge t coverge diverge, et pour : coverge
Euler a obteu la formule : s= p P p s, où P={ombres premiers} O peut étedre la défiitio de aux complexes z tels que Rez, puis aux complexes z tels que Rez0 Cojecture de Riema : Tous les zéros imagiaires de sot situés sur la droite R e z= 2 Règle de Riema pour les séries à termes positifs : Soit u R tel que, u 0 Si tel que u 0, alors u coverge Si tel que u, alors u diverge C'est la règle la plus utile pour les séries umériques Preuve de la règle : Si tel que u 0, alors 0u =o et comme coverge (Riema), par théorème de comparaiso des séries à termes positifs, u coverge Si tel que u, 0 tel que 0, 0, u 0 Or, diverge doc par comparaiso des séries à termes positifs, u diverge Défiitio : O appelle série de Bertrad (réelle) toute série du type l L'étude de la ature des séries de Bertrad est hors-programme e PSI mais il est recommadé de la coaître coverge, ou = et l 0 er cas : : 0u = l, doc par règle de Riema, u diverge 2 ème cas : : Soit ],[, u = 0 l 0, doc par règle de Riema, u coverge 3 ème cas : = : 0 : si =0, u = diverge, et si 0, u = l Alors par règle de Riema, u diverge [2,[ R 0 : Soit f : t t lt et u =l cotiue, décroissate et positive sur [ 2,[ Par théorème de comparaiso série-itégrale, f coverge 2 2 coverge t l t l du {[l ] l = t lt u=l t l 2 u = l2 si = {l l l l 2 si = = [u ] l l2 si [ l 2 si l ] Coverge si et seulemet si
l diverge et pourtat l est ue suite positive, décroissate et telle que l =o Complémet : Étude asymptotique des séries de Riema : Si, alors k= Si, alors k = k ~ t ~ k ~ t ~ O e cosidère que le cas où 0 Le cas 0 est similaire [,[ R Soit f : t cotiue, positive et décroissate sur [,[, t t t O a alors [ 2 t Soit 2, = t ] k= k [ Doc par théorème d'ecadremet, k = O sait que Or, k= t ] t k ~ coverge Soiet 2 et k k t = d t [ = t ] Lorsque, tout coverge Aisi, et k= = = [ ] k k k= k= k k t k= t k = t = t [ = t ] k k t = k k= = t L'étude asymptotique des séries de Riema est hors-programme mais il est coseillé de coaître ces résultats k k t t 26 Exemples d'applicatios 26 Série harmoique Propositio : k = k ~ l O utilise la méthode de comparaiso série-itégrale Soit f : [,[ R t t cotiue, positive et décroissate, k k k = t t k k= k k= 2 Par ecadremet, H ~ l k t t Preos 2 t k= k t l~ l k= k l~ l
0l H l H l = O Propositio : La suite k = k l coverge Défiitio : La limite de la suite k = k l est appelée costate d'euler, otée Preuve de la propositio : première méthode : O ote u = k= k l, et k = k l k= k l= O cherche u équivalet de e : = o l 2 2 o 2 = 2 2 2o O a doc ~ 2 0, et comme coverge (Riema), par théorème de comparaiso des séries à 2 2 termes positifs, coverge, et doc la suite u coverge, par le lie suite-série Preuve de la propositio : secode méthode : t 0 t coverge O retiet que H = lo, avec 0,577 Propositio :! ~ 262 Formule de Stirlig 2 e O va motrer qu'il existe k0 tel que! ~ k e 2, c'est-à-dire que! e coverge vers ue costate positive! O pose u =l e ( ) Pour motrer la covergece de la suite, o va motrer que u u coverge! =u u =l l! e e [ =l!! e e ] =l[ 2 e = 2 2 2 e ] =l [ ] 2 3 4 o = 2 2 o 2 2 = 2 l = 2 2 2 3 3 o 3 Doc ~ 2 20, or coverge doc par 2 théorème de comparaiso des séries à termes positifs, coverge, et par lie suite-série, u coverge vers k0 O motre que k=2 à l'aide des itégrales de Wallis : W = 0 2 sit = 2 0 cost
3 Séries à termes quelcoques Soit u K 3 Covergece absolue Défiitio : O dit que la série de terme gééral u coverge absolumet si la série u coverge Si u coverge absolumet, alors u coverge er cas : u R : O itroduit u + =maxu, 0= { u si u 0 0 si u 0 et u =max u,0= { 0 si u 0 u si u 0 Par costructio, 0, u + 0, u 0, u =u + u et u =u + u, aisi 0u + u et 0u u Si u coverge, u + et u coverget par théorème de comparaiso des séries à termes positifs Aisi u + u u coverge 2 ème cas : u C : O itroduit a =Reu et b =Imu, o a : a u et b u Si u coverge, a et b coverget par théorème de comparaiso Aisi a et b coverget absolumet doc coverget ( er cas), doc a ib u coverge La réciproque est fausse E pratique, pour étudier la covergece d'ue série, o commece par étudier sa covergece absolue, ce qui ous ramèe à des séries à termes positifs Propositio : Soiet u et v R O suppose que, v 0 et 0 tel que 0, u v Si v coverge, alors u coverge absolumet, et doc coverge Propositio : Soiet u et v R O suppose que, v 0 et que u =Ov Si v coverge, alors u coverge absolumet, et doc coverge Défiitio : O ote l = {u K telle que u coverge absolumet } Propositio : l est u sous-espace vectoriel de K l, la suite ulle appartiet à l u,v l, K, w = u v u v = Or par hypothèse, u et v coverget doc par théorème, coverge et par théorème de comparaiso de séries à termes positifs, w coverge Propositio : Règle de Riema pour la covergece absolue : Soit u K, si tel que u 0, alors u coverge absolumet u 0 u 0 D'après la règle de Riema pour les séries à termes positifs, u coverge
Théorème de D'Alembert pour la covergece absolue : Soit u K telle que 0 tel que 0, u 0 et telle que u u Si l, u coverge absolumet Si l, u diverge grossièremet Si l=, o a u cas douteux où o e peut rie dire l [0,] 32 Séries alterées Soit u R Défiitio : O dit que la série u est alterée si, u u 0 O peut défiir le caractère alteré à partir d'u rag 0 Exemple : Séries de Riema alterées : Propositio : La série u est alterée Soit, u = u ( u 0 0) Soit, u = u ( u 0 0) Théorème des séries alterées (critère spécial des séries alterées) : O suppose que u est ue série alterée, que u est décroissate, et que u 0 Alors la série u coverge O e cosidère que le cas où u 0 0 O itroduit S 2 2 2 S 2 2 S 2 u k u k =u 2 2 u 2 = u 22 u 2 0, doc S 2 est décroissate S 2 3 S 2 =u 2 3 u 22 = u 2 3 u 2 0, doc S 2 est croissate S 2 S 2 = u 2 = u 2 0 car u 0 Doc les suites S 2 et S 2 sot adjacetes, doc par théorème elles coverget vers ue même limite S Par théorème, o e déduit que S coverge vers S, doc u coverge u k Corollaire : O suppose que u est ue série alterée vérifiat le théorème des séries alterées et que u 0 0 2 Alors, S 2 u k k= 0 E particulier, 0u 0 u Su 0 =0 2 u =S u k =S 2 Corollaire du corollaire : O suppose que u est alterée vérifiat le théorème des séries alterées Alors S, la somme de la série, vérifie : S est du sige de u 0 et S u 0 er cas : u 0 0 : d'après le corollaire, 0u 0 u Su 0 2 ème cas : u 0 0 : O pose, v = u, v est alterée vérifiat le théorème des séries alterées Alors d'après le er cas, v est du sige de v 0, u = S S0 et 0 S u
Si la série débute au rag 0, soit o décale d'idice pour se rameer à l'idice 0, soit o applique le corollaire avec le premier terme iterveat : S est du sige du premier terme et S u 0 Exemple : Covergece de Si 0, : diverge grossièremet, et si, coverge absolumet Si 0, est ue série alterée vérifiat le théorème des séries alterées, car qui décroît vers 0 Asi d'après le théorème des séries alterées, cette série coverge E particulier pour ]0,], Coséquece : 0, 0, k = coverge sas covergece absolue (semi-covergece) k k = 33 Pla d'étude d'ue série umérique O veut étudier la ature de u O étudie la divergece grossière 2 O étudie la covergece absolue (ature de u pour se rameer à des séries à termes positifs) 3 Pour les séries à termes positifs, o commece si besoi par predre u équivalet de u Soit o peut coclure grâce à l'équivalet et par théorème de comparaiso, soit o applique ue règle de Riema Quelquefois, o pourra utiliser la règle de D'Alembert, ou si cela échoue, ue comparaiso série-itégrale 4 S'il 'y a pas covergece absolue : soit la série vérifie facilemet le théorème des séries alterées, soit il faut effectuer ue méthode d'éclatemet (voir exemple ci-dessous) e faisat u développemet asymptotique de u soit jusqu'à u terme d'ue série qui coverge absolumet, soit jusqu'à u terme de sige costat Exemple d'étude par la méthode d'éclatemet : Soit 0, et u =l Covergece absolue : u = où 2 l ~ 0 Or coverge Doc par théorème de comparaiso des séries à termes positifs, u coverge Pour ]0,], o sait que u diverge mais o e coaît pas la ature de u 2 ature pour ]0,[ : o effectue u développemet asympotique à l'ordre 2 Attetio : u ~ et est décroissate u décroissate! O 'a pas u décroissate, o e peut pas appliquer le théorème des séries alterées 2 2 o 2 u = v w ~ 2 w v coverge d'après le théorème des séries alterées 20 doc par théorème de comparaiso des séries à termes positifs, w coverge 2 Aisi, u coverge 2 * * * * * Mis à jour le 200