1 ère S Le plan mun d un repère Ce chaptre fat sute à celu des vecteurs du plan bectf : consolder et compléter les bases de géométre analtque dans le plan de seconde (repérage des ponts dans le plan) I Repère du plan 1 ) Rappels de seconde Un repère du plan est un trplet (, I, J) de ponts non algnés n dt que : est l orgne du repère ; la drote graduée de repère (, I) est l ae des abscsses ; la drote graduée de repère (, J) est l ae des ordonnées n pose I et J Le repère est plutôt noté (,, ) ) Défnton n appelle repère (cartésen) du plan tout trplet,, vecteurs non colnéares du plan où est un pont fé du plan et et deu Les aes de repère (, ) et (, ) sont appelés les aes du repère n dt que le couple, est une base de l ensemble des vecteurs du plan II Cordonnées d un pont 1 ) Théorème,, est un repère du plan Pour tout pont du plan, l este un unque couple (, ) de réels tel que ) Défnton n dt que et sont les coordonnées (cartésennes) de dans le repère,, : abscsse de : ordonnée de Notatons : ; ou ou 3 ) Démonstraton Il este un unque pont P de l ae des abscsses et un unque pont Q de l ae des ordonnées tels que P Q 3 ) Dfférents tpes de repère n dstngue 3 tpes de repère (selon le mallage obtenu) : Q Repère quelconque ou repère oblque (repère «penché») La malle est un parallélogramme Repère orthogonal La malle est un rectangle Les aes sont perpendculares en Repère orthonormé La malle est un carré de côté 1 Les aes sont perpendculares en et 1 (pour l unté de longueur chose) 1 P est colnéare à donc l este un unque réel tel que P Q est colnéare à donc l este un unque réel tel que Q n obtent : P
4 ) Eemple 3 3 III Cordonnées d un vecteur 1 ) Théorème,, est un repère du plan Pour tout vecteur u du plan, l este un unque couple (, ) de réels tel que u n parle de décomposton du vecteur u dans la base, ) Défnton n dt que et sont les coordonnées de u dans la base, 3 ) Démonstraton de l ensemble des vecteurs du plan Pour tout vecteur u du plan, l este un unque pont du plan tel que u n a vu qu l estat un unque couple (, ) de réels tel que Donc u u IV Proprétés des coordonnées 1 ) Proprété 1 (égalté de deu vecteurs) Enoncé u (, ) et v', ' sont deu vecteurs quelconques du plan ' u v s et seulement s ' Démonstraton Découle de l uncté des coordonnées d un vecteur dans une base ) Proprété (coordonnées de la somme de deu vecteurs) Enoncé u (, ) et v', ' Le vecteur u Démonstraton v a pour coordonnées ', ' u v ' ' u v ' ' sont deu vecteurs quelconques du plan 3 ) Proprété 3 (coordonnées du produt d un vecteur par un réel) Retenr : u, sgnfe u Enoncé u (, ) est un vecteur quelconque du plan est un réel quelconque Le vecteur u a pour coordonnées, Démonstraton u u 3 4
4 ) Proprété 4 (coordonnées d un vecteur défn par deu ponts) Enoncé et,, sont deu ponts quelconques du plan Le vecteur a pour coordonnées, Démonstraton 5 ) Proprété 5 (coordonnées du mleu d un segment) Enoncé et,, sont deu ponts quelconques du plan Le mleu I de [] a pour coordonnées, Démonstraton I mleu de [] sgnfe que I I I I Donc I I D où I I V Eemples de présentaton des calculs de coordonnées 1 ) Eemple 1 u (9, 6) et v (6, 4) Calculer les coordonnées du vecteur 3u v 3 3 1 4 7 u v 3u v 3 3 7 3 4 u 3u v 7 ; 4 ) Eemple ( 1 ; 4) et (5 ; 6) v Calculer les coordonnées de 5 1 6 6 4 (6 ; ) 3 ) Eemple 3 ( 1 ; 4) et (5 ; 6) Calculer les coordonnées du mleu I de [] I 1 5 4 4 6 10 I I( ; 5) I VI Vecteurs colnéares 1 ) Démonstraton u (, ) et v', ' 5 sont deu vecteurs du plan u et v sont colnéares s et seulement s u kv ou v ku donc s et seulement s le tableau est un tableau de proportonnalté Grâce au produts en cro, on peut formuler ans la proprété : u et v sont colnéares s et seulement s ' ' (on retrouve la proprété énoncée en seconde) 5 n peut encore formuler cette proprété sous la forme : 6
u et v sont colnéares s et seulement s ' ' 0 ) Proprété (crtère analtque de colnéarté) u (, ) et v', ' sont colnéares s et seulement s ' ' 0 1 ) Formule de la norme d un vecteur Le plan est mun d un repère orthonormé,, u est un vecteur quelconque de coordonnées (, ) n note le pont du plan tel que u Cette proprété regroupe en fat deu proprétés formulées à l ade de «s, alors» (l s agt de deu mplcatons) Q P : S u et v sont colnéares, alors ' ' 0 Q : S ' ' 0, alors u et v sont colnéares L mplcaton Q est la récproque de l mplcaton P 3 ) Notaton Le réel ' ' est appelé le détermnant du couple de vecteurs u, v dans la base, détermner s deu vecteurs sont colnéares ou non) n note det, ' u v ' ' ' (car l sert à ttenton : l ne faut pas confondre cette notaton utlsant deu barres avec celle de la valeur absolue d un réel qu utlse auss deu barres u (, ) et v ', ' 4 ) Eemples (présentaton des calculs) u (9, 6) et v (6, 4) n calcule ' sont colnéares s et seulement s 0 ' 9 6 9 4 6 6 36 36 0 6 4 Donc les vecteurs u et v sont colnéares (on utlse l mplcaton Q) u (, 3) et v (3, 5) n calcule 3 5 3 3 1 0 3 5 Donc les vecteurs u et v ne sont pas colnéares (on utlse la contraposée de l mplcaton P : S ' ' 0, alors u et v ne sont pas colnéares) Le quadrlatère PQ est un rectangle (car les aes du repère sont perpendculares) Donc P Q (théorème de Pthagore) r P (car 1) et Q (car 1) n en dédut que : sot r u d où u n retent : u ) Dstance de deu ponts et,, sont deu ponts quelconques du plan dans un repère orthonormé n a 3 ) Eemple ( 1 ; 3) et (3 ; 4) Calculer P VII Norme d un vecteur et dstance de deu ponts dans un repère orthonormé du plan éthode pour les calculs de dstance : commencer par calculer les coordonnées du vecteur 7 8
4, 4 0 5 Formulare Coordonnées dans un repère (géométre analtque) Le plan est mun d un repère,, a pour coordonnées ; dans le repère,, sgnfe que : u a pour coordonnées ; dans la base, sgnfe que : u et ; ; sont deu ponts quelconques de P ; ou Pour tous vecteurs u (, ) et v', ' du plan et pour tout réel k u v ' ; ' ku k ; k Coordonnées du mleu de [] : I ; ou I u (, ) et v', ' ' n note ' sont colnéares s et seulement s ' ' 0 ' ' (détermnant des vecteurs u et v ) I I S le repère,, est orthonormé c est-à-dre et 1 (pour l unté de longueur chose) 9 10
1 Les graphques se en applcaton - Placer le repère (l orgne, les vecteurs, les noms des vecteurs) Inutle de mettre les flèches «de drecton» sur les aes n le mettat en e car les repères étaent notés (, I, J) - Placer les ponts (pontllés parallèles au aes et valeurs sur les aes) - Coder - Ecrre les hpothèses : les coordonnées de tous les ponts dovent fgurer sur une seule lgne sot en vertcal sot en horzontal La présentaton des calculs Calculs de coordonnées - Les lettres en ndces Pour un pont : désgnera touours l abscsse de ; désgnera touours l ordonnée de Pour un vecteur u : u désgnera touours la premère coordonnée de u ; u désgnera touours la deuème coordonnée de u Notaton ndcelle : la lettre dot être placée plus pette en bas de la lgne Ne pas écrre 3u v 7 ; 4 - Présentaton en vertcal (avec une barre) ou en sstème (suvant les cas) 1 4 det u, v 13 4 3 8 3 Les parenthèses autour du 4 sont oblgatores (snon, l écrture n a pas de sens) 3 Les rasonnements Détermner s deu vecteurs sont colnéares ou non Logque (mplcaton) : R : «mplque» Récproque de l mplcaton R : S : «mplque» ttenton : R est vrae n entraîne pas S vrae Contraposée de l mplcaton R : T : «(non ) mplque (non (» R est vrae entraîne T vrae Caractérsaton analtque de colnéarté ou condton nécessare et suffsante (CNS) de la colnéarté de deu vecteurs n dra CNS de colnéarté 4 Descartes L nventon des coordonnées et de la géométre analtque Passer d une égalté vectorelle au coordonnées Une égalté vectorelle se tradut par deu égaltés numérques que l on présente en sstème Rédacton-tpe : «L égalté (1) est successvement équvalente à» «L égalté (1) donne successvement» Q présente les sstèmes les uns en dessous des autres Calcul de détermnant : attenton au sgnes P u (1, ) et v ( 4, 3) 11 1