T. D. o 2 Itervalles de cofiace-correctio Exercice 1. Les billes métalliques 1. Nous calculos la moyee µ 10 de l échatillo : µ 10 = 20. Calculos la variace corrigée puis l écart-type corrigé de l échatillo à partir de la moyee de l échatillo : S10,c,obs 2 = 10 ( ) 19, 6 2 + 20 2 + + 19, 8 2 20 2 = 0, 04, 9 10 puis S 10,c,obs = 0, 04 = 0, 2. Das la table de la loi de Studet, pour 9 ddl, ous trouvos la valeur 2, 262 telle que : P T > 2, 262] = 0, 05 ou P T < 2, 262] = 0, 95. L itervalle de cofiace pour le poids moye est doc : 20 2, 26 0, 2 ; 20 + 2, 26 0, 2 ] 10 10 19, 86; 20, 14]. > doees<-c(19.6,20,20.2,20.1,20,19.9,20,20.3,20.1,19.8) > doees 1] 19.6 20.0 20.2 20.1 20.0 19.9 20.0 20.3 20.1 19.8 > mea(doees) 1] 20 > sd(doees) #sd(stadard deviatio) calcule l écart-type corrigé 1] 0.2 > qt(0.975,9) 1] 2.262157 > mea(doees)-qt(0.975,9)*sd(doees)/sqrt(10) 1] 19.85693 > mea(doees)+qt(0.975,9)*sd(doees)/sqrt(10) 1] 20.14307 2. Si l écart-type de la populatio est cou, ous utilisos la loi ormale pour le calcul du fractile. Par coséquet, das la table de la loi ormale cetréeréduite, ous trouvos la valeur 1, 9600 telle que : P U > 1, 9600] = 0, 05 ou P U < 1, 9600] = 0, 95. 1
L itervalle de cofiace pour le poids moye est doc : 20 1, 96 0, 2 ; 20 + 1, 96 0, 2 ] 10 10 19, 88; 20, 12]. > qorm(0.975) 1] 1.959964 > mea(doees)-qorm(0.975)*0.2/sqrt(10) 1] 19.87604 > mea(doees)+qorm(0.975)*0.2/sqrt(10) 1] 20.12396 Exercice 2. La moyee des otes 1. L itervalle de cofiace de la moyee des 200 copies est : 11 1, 96 2 ; 11 + 1, 96 2 ] 7 7 9, 52; 12, 48]. > 11-qorm(0.975)*2/sqrt(7) 1] 9.518406 > 11+qorm(0.975)*2/sqrt(7) 1] 12.48159 2. Si l amplitude de l itervalle de cofiace est égale à 2, ous devos avoir : 1, 96 2 = 1, 15, 4. E corrigeat 16 copies, le professeur peut situer la moyee de ses étudiats. 3. Il faut que l itervalle de cofiace à 99% soit égal à 10; 12]. Nous devos doc avoir : 2, 5758 2 = 1, 26, 5. Si le professeur corrige 27 copies et qu il trouve ue moyee égale à 11, il peut dire que la moyee de ses étudiats est supérieure à 10, avec u risque d erreur de 1%. Remarque : La valeur 2,5758 a été obteue par lecture de la table des fractiles de la loi ormale cetrée-réduite ou ecore e tapat sous R, la commade suivate : > qorm(0.995) 1] 2.575829 2
Exercice 3. Les composats électroiques 1. La moyee µ de la populatio est estimée par la moyee de l échatillo µ 50 = 60 000 50 = 1 200. 2. L écart-type σ de la populatio est estimé à partir de l écart-type S 50,c,obs de l échatillo : D où S 2 50,obs = 74 106 50 S 2 50,c,obs = S 2 50,obs 50 49 S 50,c,obs 202. 1 200 2 = 40 000. = 40 816. 3. La variace de la populatio état estimée, ous utilisos la loi de Studet. Nous lisos das la table de Studet pour 49 ddl aucue valeur pour P = 0, 975. Doc soit ous approchos 49 par 50 et doc ous trouvos la valeur 2, 009 telle que : P T > 2, 009] = 0, 05 ou P T < 2, 009] = 0, 95 soit ous ous servos de R e tapat la lige de commade suivate : > qt(0.975,49) 1] 2.009575. L itervalle de cofiace à 95% de la moyee µ est : 1200 2, 009575 202 ; 1200 + 2, 0009575 202 ] 50 50 1 143; 1 257]. Remarque : Nous doos u itervalle de cofiace dot les bores sot des etiers, bie que ous pourrios être plus précis, car ous étudios des composats électroiques. Nous lisos das la table de Studet pour 49 ddl aucue valeur pour P = 0, 995. Doc soit ous approchos 49 par 50 et doc ous trouvos la valeur 2, 678 telle que : P T > 2, 678] = 0, 01 ou P T < 2, 678] = 0, 99 soit ous ous servos de R e tapat la lige de commade suivate : > qt(0.995,49) 1] 2.679952. L itervalle de cofiace à 99% de la moyee µ est : 1200 2, 679952 202 ; 1200 + 2, 679952 202 ] 50 50 1 124; 1 276]. 3
4. Puisque ous souhaitos avoir ue amplitude de 60 heures, la taille de l échatillo est écessairemet supérieure à 50 et ous sommes das les coditios d utilisatio de la loi ormale. Nous devos avoir : 1, 96 202 = 30 175. Exercice 4. U sodages politique 1. Avec 1 000 persoes, ous pouvos détermier u itervalle de cofiace. de voter pour Mosieur Dupot est : 0, 5 1, 96 ; 0, 5 + 1, 96 0, 469; 0, 531]. de voter pour Mosieur Durad est : 0, 25 1, 96 ; 0, 25 + 1, 96 0, 223; 0, 277]. de voter pour Mosieur Duroc est : 0, 05 1, 96 ; 0, 05 + 1, 96 0, 036; 0, 064]. L itervalle de cofiace à 99% de la proportio de persoes ayat l itetio de voter pour Mosieur Dupot est : 0, 5 2, 5758 ; 0, 5 + 2, 5758 0, 459; 0, 541]. L itervalle de cofiace à 99% de la proportio de persoes ayat l itetio de voter pour Mosieur Durad est : 0, 25 2, 5758 ; 0, 25 + 2, 5758 0, 215; 0, 285]. 4
L itervalle de cofiace à 99% de la proportio de persoes ayat l itetio de voter pour Mosieur Duroc est : 0, 05 2, 5758 ; 0, 05 + 2, 5758 0, 032; 0, 068]. 2. Pour u échatillo de taille (o suppose > 1 000), l itervalle de cofiace à 95% du pourcetage de persoess ayat l itetio de voter Duval est 0, 17 1, 96 ; 0, 17 + 1, 96. Puisque ous souhaitos ue précisio de 1%, cet itervalle de cofiace doit être l itervalle 0, 16; 0, 18]. Nous devos doc avoir 1, 96 = 0, 01 5 420. 5