DEA de Mathématiques Uiversité Claude Berard de Lyo Aée uiversitaire : 003/004 Méthode de Schwarz optimisé appliquée au problème de Helmholtz Etude de l article de Marti J. Gader, Frédéric Magoulès et Frédéric Nataf Optimised Schwarz methods without overlap for the Helmholtz problem Joural of Scietific Computig Etudiate : Géraldie Pichot Tuteur : Mr Damie Tromeur-Dervout
SOMMAIRE.Itroductio... 3.Le problème de Helmholtz... 3 3.Rappel sur Schwarz classique... 3 4.Schwarz optimisé... 4 5.Coditios optimisées de Robi pour Schwarz sas recouvremet... 6 6.Le problème à résoudre... 6 7.Sur u exemple... 8 8.Coclusio... 4
. Itroductio La méthode de Schwarz classique est ue techique de décompositio de domaies pour résoudre les équatios elliptiques e parallèle. La covergece est obteue grâce au recouvremet des sous-domaies. Das ce projet, ous allos étudier ue variate de la méthode de Schwarz qui coverge sas recouvremet. Nous allos ous itéresser plus particulièremet au problème de Helmholtz pour lequel la méthode de Schwarz classique est pas efficace puisqu elle e permet de réduire que l erreur sur les hauts modes de l erreur. Pour les bas modes, le taux de covergece est e effet de. L idée est alors de chager les coditios de trasmissios de Dirichlet de Schwarz classique par des coditios de Robi.. Le problème de Helmholtz Nous allos étudier le problème de Helmholtz e deux dimesios : [ ] u + w² u = f das Ω = 0, ² () u = 0 0 < x <, y = 0, () (3) iwu = 0 x = 0, 0 < y < (4) iwu = 0 x =, 0 < y < O décompose le domaie Ω e deux sous-domaies Ω et Ω e otat u la solutio sur le domaie et u la solutio sur le domaie. 3. Rappel sur Schwarz classique L algorithme de Schwarz additif classique avec recouvremet : Ω =[0, L]x[0,] et Ω =[L,]x[0,], L>0, coduit à l itératio suivate : u + w² u = f das Ω u ( L, y) = u ( L, y), y [0,] (5) Et u + w² u = f das Ω u (0, y) = u (0, y) (6) Etude de la covergece : O cosidère l erreur sur la solutio : e ( x, y) = u ( x, y) u ( x, y) e ( x, y) = u ( x, y) u ( x, y) exact exact (7)
O utilise alors la trasformée de Fourier e la variable y et o obtiet alors le système d équatios suivat : ² eˆ + ( w² k²) eˆ = 0 x < L, k ² eˆ ( L, k) = eˆ ( L, k) k ² eˆ + ( w² k²) eˆ = 0 x > 0, k ² eˆ (0, k) = eˆ (0, k), k (8) Après résolutio, o obtiet la solutio suivate à x=0 : eˆ (0, k) = exp( k² w² L) eˆ (0, k) (9) Le taux de covergece est alors : ρ cla = exp( k² w² L) (0) Aisi, lorsqu elle est appliquée au problème de Helmholtz, la méthode de Schwarz e permet pas de réduire l erreur sur les bas mode (i.e. pour k²<w²) puisque, pour ces modes, ρ cla =. 4. Schwarz optimisé Au lieu d utiliser les coditios de Dirichlet, o les remplace par des coditios plus géérales : u + w² u = f das Ω ( x ) ( ( ) ) ( x ) ( ( ) ) + S u L, y = + S u L, y, y () Et u + w² u = f das Ω ( x ) ( ( ) ) ( x ) ( ( ) ) + S u 0, y = + S u 0, y, y () Les opérateurs S et S sot des opérateurs liéaires das la directio y le log de l iterface. Notre but sera d utiliser ces opérateurs pour optimiser la covergece de l algorithme. Etudios la covergece de ce problème. Pour cela, o utilise la trasformée de Fourier sur le problème suivat : ² eˆ ( w² k² ) eˆ = 0 x < L, k ² ( ) ( ˆ ) ( ) ( ) ( ˆ x σ x σ ) ( ) + ( k) e L, k = + ( k) e L, k, k (3)
Et : ² eˆ ( w² k²) eˆ = 0 x > 0, k ² ( ) ( ˆ ) ( ) ( ) ( ˆ x σ x σ ( ) ) + ( k) e 0, k = + ( k) e 0, k, k (4) Avec σ j (k) symboles correspodat aux opérateurs S j et k variable de Fourier (fréquece). Après résolutio, o obtiet : σ ( k) k² w² σ ( k) + k² w² eˆ k k w L e k σ ( k) + k² w² σ ( k) k² w² ( 0, ) =. exp ( ² ² ) ˆ ( 0, ) (5) Le taux de covergece est doc de : ρ opt σ ( k w L) ( k) k² w² σ ( k) + k² w². exp ² ² ( k) + k² w² σ ( k) k² w² = σ (6) Le meilleur choix pour obteir la covergece das cette ouvelle méthode de Schwarz est de predre : σ ( k² w² (7) σ ( k) k² w² Et das ce cas, le taux de covergece se réduit à 0 et l algorithme covergece doc e seulemet itératios quelle que soit la solutio iitiale. La problème est que ce choix correspod à des opérateurs S j das l espace physique o locaux, à cause de la racie carrée. De ce fait, ous allos approcher ces opérateurs. Les σ j vot être approchés par des polyômes σ correspodat à des opérateurs différetiels das le domaie physique. app j O utilise u développemet de Taylor : k² k² k² w² = wi wi w² w² (8) Aisi, ous allos approcher les opérateurs S j soit par ue costate complexe a coduisat alors à des coditios de Robi à l iterface (Coditios de trasmissios d ordre 0), soit par a + b τ τ, où τ est la directio tagetielle à l iterface et a, b (Coditios de trasmissios d ordre ). Das la sectio suivate, ous allos ous itéresser plus particulièremet aux coditios de Robi d ordre 0
5. Coditios optimisées de Robi pour Schwarz sas recouvremet Das toute la suite, ous preos L=0 i.e. o utilise la méthode de Schwarz optimisée sas recouvremet qui coverge, cotrairemet à la méthode de Schwarz classique qui e coverge pas si L=0. O approche les opérateurs S j par ue costate complexe : app app + S = S = a = p + iq, p, q (9) La positivité permet d obteir des sous-problèmes () et () bie posés. Le taux de covergece deviet alors : ρ opt p + iq k² w² = p² + iq + k² w² (0) O costate que pour k²=w², le taux de covergece vaut quel que soit le choix de p et de q. Mais il e s agit que d u seul mode das le spectre et ue méthode de Krylov pourra le predre e charge. 6. Le problème à résoudre y (0,) u=0 iwu = 0 Γ iwu = 0 Ω Ω (0,0) (0.5,0.5) (,0) u=0 O résous le problème de Schwarz optimisé : x u w² u = f das Ω u w² u = f das Ω + au = + au sur Γ au = au sur Γ ()
Au lieu de discrétiser directemet ce problème et avoir alors à évaluer les dérivées ormales le log de l iterface, o itroduit deux variables : Aisi : λ λ λ λ = + au = + au = + au = λ + au = + au = λ + au () (3) Le problème s écrit alors : u w² u = f das Ω + au = λ sur Γ u w² u = f das Ω + au = λ λ = λ + au λ = λ + au (4) O iterprète ce ouveau algorithme comme u algorithme du poit fixe, ce qui ous amèe à résoudre : ( f ) ( f ) λ = λ + a u ( λ, ) λ = λ + a u ( λ, ) (5) Où les u j, j=, sot les solutios de u w² u = f das Ω j j j j j j + au = λ sur Γ j j (6) Au lieu de résoudre ce sous problème structuré par ue méthode du poit fixe, ous allos directemet utiliser ue méthode de Krylov.
Ue discrétisatio élémets fiis ous coduit à résoudre le problème liéaire suivat : λ = λ + ab u λ = λ + ab u T K u = f + B λ K u = f + B λ T (7) Avec B j opérateur de trace sur le domaie j Et K j les matrices issues de la discrétisatio : T j j j j ( Γ ) j K = K w² M + B am B, j =, Où K j Matrice de rigidité M j Matrice de masse M Γ Matrice preat e compte les coditios de Neuma à l iterface Γ Nous sommes doc ameé à résoudre le système liéaire suivat : T I I ab K B λ ab K f T = I ab K B I λ ab K f (8) Pour cela, ous utiliserot ue méthode de Krylov. Ue fois les λ j j=,, obteus, o trouve les solutios e iversat le système e u j (équatio (7)). 7. Sur u exemple Preos f ( x, y) = u w² u avec u( x, y) = y *( y )exp iw si π ( x ) π 4 (9) O vérifie que ce u est bie solutio du problème (-4). Pour résoudre le système liéaire, o costruit avec GAMBIT u maillage triagulaire sur chaque sous-domaie de faço à avoir la même positio des œuds à l iterface. Puis o résous le système liéaire à l aide de l algorithme GMRES pour complexe du CERFACS adapté afi de predre e compte les commuicatios etre les sous-domaies. a. Cas : w = Preos w= et a=(e-3,e-3) et traços la solutio correspodate. La solutio obteue par otre algorithme est calculée à partir d u maillage triagulaire de 589 œuds et 4976 élémets sur Ω et 55 œuds et 4900 élémets sur Ω.
Partie réelle de la solutio exacte Partie réelle de la solutio calculée Partie imagiaire de la solutio exacte
Partie imagiaire de la solutio calculée Module de la solutio exacte Module de la solutio calculée O peut calculer l erreur commise (orme de la différece etre la solutio calculée et l solutio exacte) : - sur la partie réelle = 0.006 - sur la partie imagiaire = 8.534e-004 - sur le module = 0.007
et tracer le log0 du résidu calculé par l algorithme GMRES : b. Cas : w=0π Lorsque w a ue valeur qui est celle d ue fréquece k du modèle k=jπ, j=,, (e effet, si le domaie Ω est de hauteur L= avec des coditios de Dirichlet pour y=0,, alors o peut jπ y étedre la solutio par ue série de Fourier de la forme si( ) = si( jπ y) ) L Preos w=0π. Pour cette fréquece, la covergece est égale à. Vérifios si otre méthode de Krylov permet de résoudre otre problème pour cette valeur de w. Nous utilisos ici u maillage de 5774 œuds et 46 élémets sur Ω et 5755 œuds et 08 élémets sur Ω Traços la solutio pour cette valeur de w et a=(e 3,. e 3). Partie réelle de la solutio exacte
Partie réelle de la solutio calculée Partie imagiaire de la solutio exacte Partie imagiaire de la solutio calculée
Module de la solutio exacte Module de la solutio calculée O peut calculer l erreur commise (orme de la différece etre la solutio calculée et l solutio exacte) : - sur la partie réelle = 0.007 - sur la partie imagiaire = 6.56e-004 - sur le module = 0.009 et tracer le log0 du résidu calculé par l algorithme GMRES :
8. Coclusio Ce ouvel algorithme de Schwarz optimisé ous a permis de résoudre le problème de Helmholtz e modifiat les coditios à l iterface de Schwarz classique. Il doe de bos résultats e particulier pour la partie imagiaire, quel que soit w. U prochai objectif serait d implémeter Schwarz optimisé avec ue coditio à l iterface d ordre à la place de la coditio de Robi, cosidérée ici, et de comparer les résultats obteus.