Mathématiques - Concours ATS 6 Proposition de corrigé Exercice :. Soit a et b deux suites de U. On a alors n N, a n+ = a n+ +a n et b n+ = b n+ +b n. On en déduit alors n N, a n+ +b n+ = a n+ + b n+ + a n + b n ) c est-à-dire a + b U Soit α R, alors on a n N, αa n+ = αa n+ + αa n ), c est-à-dire αa U. La suite nulle vérifie bien aussi la relation donnée par l énoncé. U est alors un sous-espace vectoriel sur R de l ensemble des suites réelles.. a) Montrons que la famille c, d) est libre. Je forme une combinaison linéaire égale à la suite nulle, c est-à-dire n N, αc n +βd n =. Cette égalité est donc vraie en particulier pour n = et n =. Compte tenu de la définition des suites c et d, on en déduit que α = β =. On a donc n N, αc n + βd n = alors α = β = : La famille c, d) est libre. Montrons que la famille c, d) est génératrice de U. Soit u U. On veut montrer qu il existe α et β tels que u = αc + βd, c est-à-dire que pour tout n N, u n = αc n + βd n. Condition nécessaire : L égalité doit être vérifiée pour n = et n =. Ceci impose que α = u et β = u. Condition suffisante : Montrons que pour α = u et β = u, la propriété P n : u n = αc n +βd n est vraie pour tout n N. On procède par récurrence forte) sur n. Initialisation : P est clairement vraie. Hérédité : supposons que la propriété soit vraie jusqu au rang n + et montrons qu elle est vraie au rang n +. Comme u U, u n+ = u n+ + u n = u c n+ + u d n+ + u c n + u d n ) par hypothèse de récurrence = u c n+ + c n ) + u d n+ + d n ) = u c n+ + u d n+ car c et d appartiennent à U Ainsi P n+ est vraie. Par le principe de récurrence, P n est donc vraie pour tout entier n. On a alors bien exprimé u comme combinaison linéaire de c et d. la famille c, d) est une famille génératrice de U. La famille c, d) étant libre et génératrice de U, alors la famille c, d) est une base de U. b) Une base de U est composée de deux vecteurs donc U est de dimension.. a) Cherchons les suites géométriques de raison q, q n ) n N appartenant à U. On a alors q n+ = q n+ + q n, soit en simplifiant par q n, q vérifie l équation q q =, c est-à-dire q + )q ) =. Avec les notations de l énoncé, on a donc ρ = et σ = b) Les deux suites r n ) n N et s n ) n N ne sont pas proportionnelles donc forment une famille libre de U. Or U est de dimension, donc la famille r, s) est une base de U. 4. a) Soit α, β) les composantes de la suite v dans la base r, s). On a alors n N, v n = αr n + βs n, donc en particulier pour n = et n =, sachant que r = s =, r =, s =.
Cela donne le système α + β = x α + β = y d où l on tire immédiatement α = x y), β = x + y) b) On en déduit alors n N, 5. a) Version récursive en pseudo-code : v n = x y) )n + x + y)n Version récursive en Scilab : Fonction Fx,y,n) si n = alors retourner x sinon si n = alors retourner y sinon retourner Fx, y, n ) + Fx, y, n ) fin fin function u=fx,y,n) if n== then u=x else if n== then u=y else u=fx,y,n-)+*fx,y,n-) end end endfunction Version itérative en pseudo-code : Fonction Fx,y,n) u) x u) y pour i valant de à n faire ui) ui ) + ui ) fin retourner un) Version itérative en Scilab : function u=fx,y,n) //les indices commencent a avec Scilab suite_u=[x,y] for i = :n suite_u=[suite_u,suite_ui) +*suite_ui-)] end u=suite_un+) endfunction b) Version en pseudo-code : Fonction Gx,y,n) retourner x y) )n + x + y) n ) Version en Scilab : function u=gx,y,n) u=/**x-y)*-)^n+x+y)*^n) endfunction c) La version la plus économique en nombre d opérations et donc la plus rapide) est la fonction G. La version récursive de F a un temps de calcul qui croît exponentiellement en fonction de n. En effet, chaque appel à Fx, y, n) engendre deux appels à cette même fonction F. Les temps de calculs sous Scilab deviennent effectivement rédhibitoires pour n > en 6!). Exercice :
. a) On sait que l image d une famille génératrice est une famille génératrice de l image, et que pour écrire une matrice d une application linéaire, on écrit l image des vecteurs de base dans la base d arrivée. On a donc ici fu ) = fu ) = u, fu ) = u + u + u. Ces deux vecteurs fu ) et fu ) sont non colinéaires donc forment une base de l image de f. Une base de l image de f et u, u + u + u ). u = x, y, z) ker f fu) =,, ) soit en écriture matricielle AU =. Cela se traduit en y = x = x x + y + z = d où y = c est-à-dire ker f = Vectu u ) y = z = x Une base du noyau de f est composée du vecteur u u b) Le polynôme caractéristique de la matrice A est c est-à-dire Pλ) = λλ + )λ ) Pλ) = deta λi) λ = λ λ λ = λ λ C C C λ λ = λ λ λ = λ λ L + L L λ = λ [ λ λ) ] = λλ λ ) c) Les valeurs propres de la matrice A sont les racines du polynôme caractéristique d où les valeurs propres de d) Le vecteur propre v = x, y, z) associé à la valeur propre vérifie AV = V c est-àdire qu il faut résoudre le système x + y + z = y ce qui équivaut à, après simplification, y = x y = z x + y = x = x x + y + z = c est-à-dire y = x. D où v =,, ) y + z = z = x Le sous espace propre associé à la valeur propre λ = correspond au noyau de f, donc v =,, ) De même, le vecteur propre v = x, y, z) associé à la valeur propre vérifie AV = V c est-àdire qu il faut résoudre le système x + y + z = y ce qui équivaut à, après simplification, y = x y = z x + y = x = x x y + z = c est-à-dire y = x. D où v =,, ) y z = z = x
e) La matrice A admettant valeurs propres distinctes, donc d après la condition suffisante de diagonalisation, la matrice a est diagonalisable dans une base de vecteurs propres : v, v, v ) forme une base de E.. a) Comme la matrice A est diagonalisable, comme dit précédemment, on a D = P est une matrice de passage dont les colonnes sont constituées des vecteurs propres associés à chacune des valeurs propres. Les vecteurs propres déterminés précédemment respectent la contrainte de cette question. Donc P = avec A = PDP. x a b) Pour inverser la matrice P, on résout le système PX = Y avec X = y et Y = b. Le x + y + z = a L z c système est alors x + z = b L x y + z = c L soit x + y + z = a L L x + y + z = a L L x + z = a L L d où x + z = a L L x + z = a + c L L + L 6z = a + b + c L L + L x = a b + c) On en déduit alors y = a c) On a alors z = a + b + c) 6 P = 6. Par calcul immédiat, on a A =, A = 5 4. Montrons par récurrence sur l entier n la propriété : a k a k+ a k Il existe des réels a,..., a n+ tels que A k = a k+ a k+ a k+ pour tout entier k compris entre a k a k+ a k et n. Initialisation : pour n =, a = et a = a = conviennent. Hérédité : on suppose la propriété vraie au rang n. Pour la montrer au rang suivant, il suffit de montrer qu il existe un réel a n+ tel que : a n+ a n+ a n+ A n+ = a n+ a n+ a n+. a n+ a n+ a n+ a n+ a n+ a n+ Or A n+ = AA n = a n+ a n+ + a n+ a n+ a n+ a n+ a n+ 4
donc a n+ = a n+ + a n+ convient. Conclusion : a n a n+ a n il existe une suite de réels a n ) telle que pour tout entier n, A n = a n+ a n+ a n+. a n a n+ a n ) ) 5. a) Par calcul matriciel immédiat, on a bien B an+ a n = an+ a n+ a n+ + a n b) Déterminons le polynôme caractéristique de la matrice B. On a P B µ) = µ µ soit P B µ) = µ + )µ ) = µ µ) = µ µ Les valeurs propres de B sont alors µ =, µ = du fait de la relation a n+ = Recherchons les vecteurs propres associés : Soit w = x, y) vecteur propre associé à µ : il vérifie x + y = x alors BW = X ce qui se traduit en système, soit x+y = d où, par exemple x = y w =, ) De même, soit w = x, y) vecteur propre associé à la valeur propre. il vérifie BW = W ce x + y = x qui se traduit en système, soit x y = d où, par exemple w =, ) x = y La matrice B admettant deux valeurs propres distinctes, elle est donc diagonalisable d après la condition suffisante de diagonalisation. On a alors B = Q Q avec = ), Q = ) ) ) x a c) Pour inverser Q, on résout le système QX = Y avec X = et Y =. Cela se traduit en y b x = a b) x + y = a soit immédiatement soit Q = ) x + y = b y = a + b) d) On a immédiatement B n = Q n Q, soit par calcul matriciel ) n+ + ) n n+ ) n B n = n ) n n + ) n 6. a) On a ) a a = B ) a a donc par récurrence immédiate, on obtient ) an+ a n ) = B n a a b) Sachant que a = et a =, on en déduit n, a n = n + ) n ) 5
Exercice :. a) Soit x >, lim y xy =, donc ln + xy ) xy. + y + Par quotient, ln + xy ) y b) y ln + xy ) y x, et comme x >, y + ln + xy ) lim y + y = x. est continue sur ], ], donc l intégrale définissant g est une intégrale impropre en la borne. Cependant, nous avons montré à la question précédente que la fonction y ln + xy ) y est prolongeable par continuité en, donc l intégrale impropre définissant g est convergente.. a) Posons u ], ], et effectuons une intégration par parties pour calculer Posons hy) = ln + xy ) et k y) = y ; h y) = xy + xy et ky) = y. h et k sont de classe C sur [u, ]. L intégration par parties donne : u ln + xy ) y = [ ] y ln + xy ) + u u = ln + x) + u ln + xu ) + x u x + xy u ln + xy ) y. + xy ln + xu ) Or on montre comme à la question ) a) que lim = lim x u u u u u = lim xu =, et comme u y est continue sur [,], on a lim + xy u + xy = + xy. Pour tout x >, gx) = ln + x) + x u + xy. b) Rappelons que x >. Posons u = x y, alors du = x. y x y est de classe C sur [, ] ; u + u est continue sur [, x]. Le changement de variable donne : Pour tout x >, + xy = x du on a donc ax) = et bx) = x). x + u x c) + xy = x [arctanu)] x = arctan x) arctan) = arctan x). Donc : x }} x = Pour tout x >, gx) = ln + x) + x arctan x). d) D après l expression de g trouvée ci-dessus, g est bien dérivable sur ], + [ par opérations sur les fonctions usuelles). Pour tout x >, g x) = + x + arctan x) + x x + x x = arctan x). x On peut remarquer déjà à ce stade que g x) =. a) Soit y ], ] fixé. La fonction x ln + xy ) ], + [. y + xy. est dérivable sur ], + [, donc f x pour tout y ], ], f x x, y) = y y + xy = + xy. 6 existe sur
b) On a déjà calculé précédemment que : c) On constate que : Exercice 4 : pour tout y ], ],. Courbe représentative de la fonction g : pour tout x >, g x) = + xy = arctan x). x f x, y). x π 5π π π π π π π π π 5π π Figure Courbe représentative de g. Si t [ π, π ], alors t [ π, π ] et g t) = cos t) = cost) = gt). Si t ] π, π [ ]π, π[, alors t ] π, π [ ]π, π[ et g t) = = gt). g π) = g π + π) = gπ). On a montré pour l instant que : pour tout t [ π, π], g t) = gt). La π-périodicité permet ensuite de montrer que : pour tout t R, g t) = gt). En effet : soit t R, il existe k Z tel que t + kπ [ π, π]. g t) = g t kπ) = g t + kπ)) }} = gt + kπ) = gt) d après ci-dessus g est paire.. a) La fonction g étant paire, n, b n = b) On a a = π = π = π π / gt) dt gt) dt cos t dt = [sin t]π/ π/ g est paire a = π 7
De même, on a a = π = π = π = π π / / = π/ gt) cos t dt gt) cos t dt cos t dt + cost) dt [t + ] π/ sint) g est paire a = c) Pour n, on a : a n = π = π = π π / gt) cosnt) dt gt) cosnt) dt cos t cosnt) dt g est paire Or cos a cos b = cosa + b) + cosa b)) d où cos t cosnt) = cosn + )t + cosn )t). En remplaçant, on a donc a n = π = [ π / n + cosn + )t + cosn )t) dt sinn + )t + n sinn )t ] π/ soit n, a n = ) n + )π π n + sin + )) n )π n sin n + )π/ = k + )π d) Si n est impair et n, alors n = k + avec k N. D où n )π/ = k )π sink + )π =, c est-à-dire sink )π = Pour n impair et n, a n = n + )π/ = p + )π/ = pπ + π/ e) Si n est pair, alors n = p avec p N. D où et n )π/ = p )π/ = pπ π/ Or sina + b) = sin a cos b + sin b cos a et sin π =, sin π ) = et cospπ) = ) p, on en déduit sin pπ + π ) = ) p et sin pπ π ) = ) p. En remplaçant dans l expression du c, on a a p = ) p ) π p + )p p Soit en réduisant au même dénominateur p, a p = )p+ π4p ) et 8
4. a) Il faut vérifier les conditions de Dirichlet pour la fonction g : la fonction g est π-périodique ; la fonction g est continue sur R ; la fonction g est de classe C par morceaux sur R. Les conditions de Dirichlet sont alors vérifiées, alors, d après le théorème de Dirichlet, pour tout réel t où la fonction g est continue, la série de Fourier converge vers la fonction g, soit t R, gt) = Sgt) b) Écrivons cette série de Fourier de g en faisant attention au fait que la formule des a n obtenue au e n est vraie qu à partir de p =. Or t Soit Sgt) = a + a cos t + = π + cos t + π p= p= a p cospt) ) p+ 4p ) cospt) [ π ; π ], Sgt) = gt) = cos t, on obtient cos t = π + ) p+ π 4p p= ) cospt) t [ π ; π ], cos t = π + 4 ) p+ π 4p p= ) cospt) c) En choisissant t = dans la relation précédente du 4b, et sachant que cos =, on en déduit après simplification, p= ) p+ 4p ) = π 4 5. a) La fonction g étant continue sur R, nous pouvons appliquer la relation de Parseval, qui est π g t) dt = a + π π n= a n + b n) On a déjà π g t) dt = g t) dt π π π = π / cos t) dt g est paire = a π soit g t) dt = π π 4 En remplaçant dans l égalité de Parseval, on obtient 4 = π + ) + 4 π p= 4p ) soit après simplification p= 4p ) = π 8 6 9
Exercice 5 :. Un point Mx, y) BN) BN et ) BM sont colinéaires, c est-à-dire si et seulement si det BN, BM =. On a BN = t +, t + ) et BM = x +, y + ). On en déduit alors Mx, y) BN) t + )y + ) t + )x + ) = t )x + t + )y + t = Une équation cartésienne de la droite BN) est t )x + t + )y + t =. On a AN = t, t ). Un point Mx, y) AM et AN sont orthogonaux, c est-à-dire si et seulement si AM AN =. On a AM = x, y ) d où l on tire Mx, y) x )t ) + y ) t ) =, soit après simplification Une équation cartésienne de la droite est t )x t + )y + = 4. Les droites BN) et sont parallèles si et seulement si les vecteurs normaux respectifs n et n sont colinéaires. On a ici n = t, t + ) et n = t, t + )) et deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul soit ici t )t + ) t + )t ) = c est-à-dire après simplification t )t + ) =. 5. Les droites BN) et sont parallèles pour t = et t = Or t t et t t alors t )x + t + )y + t = Mx, y) BN) t )x t + )y + = t )x = t + ) t + )y = t ) Mx, y) BN) x = t + t et y = t t + 6. a) La fonction u est définie sur R } et la fonction v est définie sur R } b) Les fonctions u et v sont dérivables sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition, et par calcul immédiat, on obtient u t) = t + ), v t) = t + ) La fonction u est strictement croissante sur ] ; [ et sur ] ; + [. La fonction v est strictement décroissante sur ] ; [ et sur ] ; + [. c) Le tableau des variations conjointes est alors le suivant :
t + u t) + + + + u v + v t) d) Courbe G : 5 4 A 6 5 4 4 5 6 B 4 5 7. a) On remarque que u) = v) =. Figure Courbe G Par conséquent, le point A appartient à la courbe G pour t =. b) D après le tableau des variations conjointes, ut), donc le point B n appartient pas à la courbe G 8. a) Par calcul immédiat, on a ut)vt) = b) D après le tableau des variations conjointes, et en fait, le théorème des valeurs intermédiaires, lorsque t décrit R, }, ut) décrit R, }. On a alors vt) = ut) G est alors la courbe H à laquelle on a retiré un point, le point B.