CHAPITRE 4. CINÉMATIQUE... - 1-4.1. Généralié ur le epace, le iee e le accéléraion... - 1-4.1.1. Généralié... - 1-4.1.. Epace parcouru... - - 4.1.3. Viee... - - 4.1.4. Accéléraion... - - 4.. Mouemen reciligne... - 4-4..1. Mouemen reciligne uniforme (MRU)... - 4-4... Ca pariculier : le débi... - 5-4..3. Mouemen reciligne uniformémen accéléré (MRUA)... - 6-4..4. Ca pariculier : la chue de corp... - 7-4.3. Mouemen circulaire... - 1-4.3.1. Mouemen circulaire uniforme (MCU)... - 1-4.3.. Mouemen circulaire uniformémen accéléré (MCUA)... - 1 -
CHAPITRE 4. CINÉMATIQUE 4.1. Généralié ur le epace, le iee e le accéléraion 4.1.1. Généralié On di qu'un corp e en mouemen par rappor à un yème de référence lorque le diance qui le éparen d'un poin quelconque de ce yème de référence arien aec le emp. On enend par rajecoire d'un poin mobile, la ligne qui join, d'une manière coninue, le différene poiion ucceie prie par le mobile au cour de on déplacemen. La rajecoire peu êre plane ou gauche. Parmi le rajecoire plane, on diinguera par exemple le rajecoire : reciligne M de la courroie; circulaire N de la poulie; parabolique P du je d'eau; cycloïdale Q de la roue qui roule an glier. Parmi le rajecoire gauche, ignalon : la rajecoire hélicoïdale R de l'écrou; la rajecoire quelconque de la feuille more. Le en du mouemen peu êre coninu ou alernaif. Il e coninu lorque le mobile parcour a rajecoire oujour dan le même en; Il e alernaif lorque la rajecoire e parcourue anô dan un en, anô dan l aure. R. Ierbeek Mécanique e Réiance de Maériaux Cinémaique - 1 -
4.1.. Epace parcouru On enend par EPACE parcouru (e) par un mobile M, la longueur de la rajecoire parcourue. En fai, la noion d'epace parcouru (e) doi oujour êre compléée par celle du emp (epace parcouru pendan () econde). Unié : le mère (m). 4.1.3. Viee Lorqu un mobile e déplace, a poiion arie au cour du emp. Le rappor enre la diance parcourue e le emp écoulé coniue ce qu on appelle la VITEE MOYEN- NE du mobile. Plu exacemen, la iee moyenne e égale au quoien de la ariaion de la poiion ( e e ) par la ariaion de emp ( ). final moy iniial M M M M ' e e ' ' ' final e (éq. 4.3) iniial Le flucuaion éenuelle de la iee ne on cependan pa définie par ce calcul. Pour connaîre la iee à chaque inan,,il faudrai faire de meure beaucoup plu fréquene, c e-à-dire, diminuer l ineralle ( ). On obien la aleur de la iee inananée en calculan la limie du rappor ( e ) lorque ( ) end er zéro. Cee définiion e préciémen celle de la dériée d une foncion : la iee e la dériée de la poiion par rappor au emp. e de de lim e pour êre ou-à-fai correc, il fau écrire : (éq. 4.8) La iee e donc la ariaion du eceur poiion pendan un cerain emp. La iee ( ) e un eceur don le caracériique on : origine : en M, ur la rajecoire; direcion : angene à la rajecoire en M; en : celui du mouemen; module : aleur de à ce inan (poré à l'échelle). 4.1.4. Accéléraion D une façon analogue, on défini l accéléraion moyenne d un mobile comme éan le rappor enre l accroiemen de la iee e l ineralle de emp pendan lequel on à meuré ce accroiemen. finalle iniiale amoy (éq. 4.1) final iniial Pour connaîre l accéléraion à chaque inan, il fau réduire l ineralle ( ) à la aleur la plu peie poible. On obien l accéléraion inananée en calculan la limie du rappor ( ) lorque ( ) end er zéro. L accéléraion e la dériée de la poiion par rappor au emp. d d a lim e pour êre ou-à-fai correc, il fau écrire : a (éq. 4.15) de Puique d aure par,, on à : a d d de d e (éq. 4.17) R. Ierbeek Mécanique e Réiance de Maériaux Cinémaique - -
On monre en mécanique analyique que : la compoane angenielle ( a ) de l'accéléraion repréene la ariaion de la grandeur de la iee d ag ; quan à la compoane normale ( a n ) de l'accéléraion, elle e repréenaie de 1a ariaion de la direcion du eceur iee an ((ρ) éan le rayon de cour- bure de la rajecoire). En réumé : l accéléraion angenielle ( a ) n'exie que i la iee arie en grandeur; l accéléraion normale (ou cenripèe) ( a n ) n'exie que 'il y a courbure de la rajecoire (r < 4). Applicaion chiffrée Un mobile parcour une rajecoire circulaire de 15 m de diamère à la iee conane de m/. Calculez la durée d une roaion complèe (période). Calculez l accéléraion normale. oluion : Durée d une roaion La iee éan l epace parcouru pendan un cerain emp, le emp e donc l epace diiée par la iee. oi : e e d 15 36. Accéléraion normale : an 571. m/ 7 R. Ierbeek Mécanique e Réiance de Maériaux Cinémaique - 3 -
4.. Mouemen reciligne 4..1. Mouemen reciligne uniforme (MRU) C'e un mouemen dan lequel le mobile parcour, oujour dan le même en, de epace égaux en de emp égaux, ur une rajecoire reciligne. La iee éan conane ce qui implique : a g ; La rajecoire ne préenan pa de courbure : a n ; On a donc une iee conane quelque oi la emp. E de ce fai, nou aon par définiion même de la iee que : e l epace e parcouru (e) deien, i l on ien compe d une poiion iniiale (e ) : ee (éq. 4.7) aec : e : poiion iniiale de M [m] : iee iniiale (conane) [m/] Repréenaion graphique On peu éidemmen repréener le mouemen de pluieur mobile ur un eul jeu de graphique. Applicaion chiffrée Un aceneur mone 1 éage de 3 m en 1 min. Calculez la iee d acenion. oluion : Mouemen reciligne uniforme : ee aec : e 1 3 36 m e e pa de poiion iniiale 1min 8 E donc : e 36 45. m/ 8 R. Ierbeek Mécanique e Réiance de Maériaux Cinémaique - 4 -
4... Ca pariculier : le débi Définiion : le débi olumérique (d une uyauerie, d un ranbordeur,...) e le olume éhiculé en une econde. On le déigne généralemen par le ymbole (q ), e on unié e le [m 3 /]. q V A (éq. 4.33) Le débi olume e donc un olume par unié de emp, mai aui la urface de paage (A) muliplié par la iee du fluide (). Remarque : Il e à noer que, dan une conduie, ranporeur ou aure, c e le débi maique qui ree conan ou au long du parcour e non le débi olumique. Celui-ci n e conan que i la mae olumique ree conane ou au long du proceu. q m m q (éq. 4.34) Applicaion chiffrée Une uyauerie de 8 mm de diamère débie 6 m 3 d eau à l heure. Calculez la iee de circulaion. oluion : q Débi olumique : q A A 3 m q 6,167 m 3 / 36 aec : d 8. A m. 53 4 4 q. 167 E donc : 33. m/ A. 53 R. Ierbeek Mécanique e Réiance de Maériaux Cinémaique - 5 -
4..3. Mouemen reciligne uniformémen accéléré (MRUA) A) Noion de iee moyenne La iee moyenne e l epace oal parcouru diié par le emp oal pour parcourir ce epace. Auremen di c e la iee conane qu aurai eu le mobile pour parcourir l epace dan le même emp que dan la réalié à iee ariable. moy eo (éq. 4.38) o Dan le ca d un mouemen reciligne uniformémen arié, la iee moyenne e la moyenne arihméique enre la iee iniiale ( ) e la iee finale (), oi : e le chemin parcour aura dan ce ca l expreion uiane : B) MRUA moy e moy Le mobile décri une rajecoire reciligne aec une iee qui augmene (ou diminue) de façon régulière dan le emp. La rajecoire ne préenan pa de courbure : a n ; L accéléraion éan conane, ce qui implique : a a ; g On a donc par définiion de l accéléraion : a º a (éq. 4.44) i l accéléraion e conane, nou pouon uilier la noion de iee moyenne : a a moy En inroduian cee dernière équaion dan celle de l epace parcouru, nou obenon : a emoy a º ee (éq. 4.47) aec : e : epace parcouru [m] e : poiion iniiale de M [m] : iee finale [m/] : iee iniiale [m/] a : accéléraion conane [m/ ] C) Repréenaion graphique R. Ierbeek Mécanique e Réiance de Maériaux Cinémaique - 6 -
Applicaion chiffrée Une oiure par du repo e accélère ur une longueur de 4 m. Le emp de parcour e de 19. Calculez l accéléraion, la iee finale e a iee moyenne ur le parcour. oluion : Calculon on accéléraion (uppoée conane) a MRUA : ee aec : e e e donc : a e 4 e a. m/ 19 La iee finale e : 4. 36 a. 19 4. m/ ou 15 km/ h 1 La iee moyenne ur le parcour eo 4 moy 11. m/ ou dan ce ca préci : moy m 19 max 418. 11. / o 4..4. Ca pariculier : la chue de corp Remarque préliminaire : 1) Le corp on airé er le cenre de la Terre (graiaion). C e un ca pariculier de l aracion unierelle monrée par Newon (1). La force d aracion e le poid de corp. ) La direcion de la chue e ericale (droie joignan le corp au cenre de la Terre). 3) Le mouemen de la chue e mouemen reciligne (uian la ericale ) uniformémen accéléré e ce mouemen, dan le ide, e idenique pour ou le corp; ni le poid, ni la forme, ni la maière n'on d'imporance. 4) Cee accéléraion pariculière due à la peaneur ou à la graiaion pore la noaion unierelle g. Approximaion communémen admie : On peu admere que le corp dene e compac uien la loi héorique de la chue libre dan 1'air amophérique, e ce, pour le première econde de chue pendan (1) Newon Iaac : mahémaicien, phyicien, aronome anglai (164-177) R. Ierbeek Mécanique e Réiance de Maériaux Cinémaique - 7 -
lequelle la réiance de l air n a pa pu encore prendre de 1'imporance. A) Calcul de 1'accéléraion (g) L'expérience monre qu à Pari (e en Belgique), 1'epace parcouru pendan la première econde de chue e 4,95 m. Cee expérience a nou permere de calculer facilemen la aleur de (g). En effe, le mouemen e un mouemen uniformémen accéléré, on écrira : a e 495. e a 981. m/ 1 Il arrie bien ouen que, pour la commodié, le calcul e mènen aec g. 1 m/. B) Calcul de la iee à l arriée au ol Calculon la iee à l arriée au ol d un corp qui ombe d une haueur (h). Nou ne iendron pa compe de la réiance de l air. Adapon le formule du MRUA au ca de la chue libre. On obien, achan que (a = g) e conan. g [m/] (1) g h [m] () Dan le ca ou la direcion du déplacemen e du hau er le ba. E combinan le relaion (1) e (), on obien : h g h g g e donc : gh (éq. 4.58) () g g C) Corp lancé ericalemen Conidéron un corp lancé ericalemen aec une iee iniiale ( ). Recherchon la iee e l epace parcouru aprè () econde. Deux ca on à eniager : corp lancé de ba en hau; corp lancé de hau en ba. 1) Corp lancé de hau en ba Dan ce ca la iee e l accéléraion on le même en. Prenon comme en poiif, le en hau-ba. Dan ce ca, le équaion MRUA deiennen : g [m/] g h [m] ) Corp lancé de ba en hau Dan ce ca la iee e l accéléraion on de en conraire. Prenon comme en poiif, le en ba-hau. Dan ce ca, le équaion MRUA deiennen : g [m/] () Torricelli Eangelia : phyicien ialien (168-1647) R. Ierbeek Mécanique e Réiance de Maériaux Cinémaique - 8 -
h g [m] 3) Ca pariculier : calcul de la haueur d acenion d un corp lancé Reprenon le ca précéden. La haueur maximale d acenion e aeine quand la iee du mobile e nulle. En ce poin on peu écrire :. i nou remplaçon celle-ci dan l équaion de la haueur, nou g g obenon : h g ho g g g (éq. 4.64) Ayan aein a haueur maximale ( apogée ), laion le corp reomber. a iee à l arriée au ol audra, uian Torricelli : gh ; Remplaçon (h) par la aleur rouée ci deu, il ien : g ; La iee d impac e donc égale à la iee de lancemen e de par le fai même g le emp de monée e égal au emp de decene. Applicaion chiffrée Un corp lancé ericalemen de ba en hau aec une iee de 11 m/. Calculez a iee e a haueur aeine aprè 5. Quelle era on apogée aini que le emp d acenion? oluion : Calculon a iee : 5 g 11 9. 81 5 6. 95 m/ g 981. 5 La haueur aeine aprè 5 e : h5 11 5 47. 4 m L apogée : Le emp d acenion : h o 11 m g 981 616.. 7 11 g 981. 11. R. Ierbeek Mécanique e Réiance de Maériaux Cinémaique - 9 -
4.3. Mouemen circulaire 4.3.1. Mouemen circulaire uniforme (MCU) Un poin M e animé d'un mouemen circulaire uniforme quand il parcour, ur une circonférence, de arc égaux en de emp égaux. En raion de la définiion, la grandeur de la iee ( ) ree conane e de ce fai l accéléraion angenielle e nulle. Par conre l accéléraion normale : an e non nulle car le eceur iee change en permanence de direcion. (ρ éan le rayon de courbure (ρ = r dan le ca d un mouemen circulaire)). La iee ( ) [m/] e die iee circonférenielle. Il ne fau pa la confondre aec la iee angulaire (ω), qui repréene l'angle balayé par le rayon (r) en une econde; (ω) 'exprime en [rad/] ou [ -1 ] La longueur d'un arc éan égale au produi de l'angle au cenre (en rad) par le rayon (r), on aura : e r r (éq. 4.74) i (n) repréene le nombre de our effecué par minue, on aura le relaion uiane : n n enre la iee angulaire (ω) e (n) : (éq. 4.75) 6 3 aec : n : iee de roaion [r/min] enre () e (n) : rn dn 6 6 (éq. 4.76) aec : d : diamère [m] r : rayon (d = r) [m] diere expreion de l accéléraion normale : an r dn r 18 (éq. 4.77) La poiion de M peu êre repérée, oi par l'epace parcouru donné par : ee e r [m] (éq. 4.78) oi par la poiion angulaire : [rad] (éq. 4.79) aec : θ : angle parcouru [rad] θ : angle iniial [rad] ω : iee angulaire finale [rad/] R. Ierbeek Mécanique e Réiance de Maériaux Cinémaique - 1 -
ω : iee angulaire iniiale [rad/] g : accéléraion angulaire conane [rad/ ] Applicaion chiffrée La roue d une urbine à apeur ourne à 6 r/min. Calculez : la iee linéaire d un poin de a périphérie achan que le diamère e de 85 mm; la iee angulaire de la roue; l accéléraion ubie par un poin de a périphérie. oluion : Viee linéaire : dn 85. 6 67 m/ 6 6 Viee angulaire : n 6 68. 3 rad / 3 3 Nou aurion pu aui déerminer cee iee angulaire par : 67 r 68. rad / r 85. Accéléraion() La iee angulaire e conane, ce qui implique que l accéléraion angenielle n exie pa. Par conre, comme c e un mouemen circulaire, l accéléraion normale exie e au : 67 an 1678 m / 85. Nou aurion pu aui déerminer cee accéléraion angulaire par : 85. an r 68. 3 1678 m / R. Ierbeek Mécanique e Réiance de Maériaux Cinémaique - 11 -
4.3.. Mouemen circulaire uniformémen accéléré (MCUA) Un mouemen e circulaire uniformémen arié quand a iee (an circonférenielle qu'angulaire) arie de quanié égale en de emp égaux. On appelle accéléraion angulaire (g) la ariaion (augmenaion ou diminuion) de la iee angulaire en une econde. (g = g conan) On en dédui par analogie aec le MRUA, achan que : e º θ º ω a º g (éq. 4.85) [rad/] (éq. 4.86) [rad] aec : θ : angle parcouru [rad] θ : angle iniial [rad] ω : iee angulaire finale [rad/] ω : iee angulaire iniiale [rad/] g : accéléraion angulaire conane [rad/ ] Remarque : 1) l'accéléraion angenielle au : a a r e e conane; ) l'accéléraion normale au : a a r r e arie donc aec le emp. g n g n Applicaion chiffrée Un olan ourne à raion de r/min. On le freine pendan 6 e a iee ombe à 1 r/min. Déerminez la décéléraion angulaire aini que le nombre de our effecué pendan le freinage. oluion : MCUA équaion de la iee angulaire : 1 3 6-1.396 rad / (- car freinage) MCUA équaion de poiion angulaire : -1.396 6 6 3 15. 1.5 rad nb our = 16 our R. Ierbeek Mécanique e Réiance de Maériaux Cinémaique - 1 -