Chapitre 4 Tests paramétriques de comparaison de 2 moyennes. José LABARERE

Pla I. Nature des variables II. Coparaiso d ue oyee observée à ue oyee théorique Test Z de l écart réduit Test t de Studet III. Coparaiso de oyees observées sur échatillos idépedats Test Z de l écart réduit Test t de Studet IV. Coparaiso de oyees observées sur échatillos appariés Test Z de l écart réduit Test t de Studet

I. Nature des variables Coparer oyees : tester l associatio etre variable quatitative cotiue variable qualitative biaire Exeple : µ L saté (âge) µ L scieces (âge)? âge : variable quatitative cotiue L sate versus L scieces : variable qualitative biaire (dichotoique)

II. Coparaiso d ue oyee observée à ue oyee théorique Coparer ue oyee observée () sur u échatillo issu d ue populatio de oyee icoue (µ) à ue valeur théorique ou oyee théorique coue (µ H0 ) d ue populatio de référece populatio µ, σ² échatillo, s² populatio de référece µ H0. Forulatio des hypothèses H0 : µ = µ H0 H : µ µ H0

II. Coparaiso d ue oyee observée à ue oyee théorique populatio µ, σ échatillo, s populatio de référece µ H0. Forulatio des hypothèses H0 : µ = µ H0 H : µ µ H0. Risque α = 0.05 (5%) a priori 3. Choix du test Test Z de l écart réduit ( 30) Test t de Studet (hypothèse de oralité)

Test Z de l écart réduit µ (fluctuatios d échatilloage) populatio µ, σ² échatillo, s² populatio de référece µ H0 Sous H0 : µ = µ H0 µ - µ H0 = 0 Si 30 : N (µ, σ/ ) Rappel : est ue réalisatio de la V.A. «oyee epirique d u échatillo de taille» de oyee µ et d écart type σ/ (cf cours Pr Ciqui, chap 5, diapo 8)

Test Z de l écart réduit Sous H0 : µ = µ H0 µ - µ H0 = 0 Si 30 : N (µ, σ/ ) - µ H0 N (0, σ/ ) (o a «cetré» e lui retrachat sa oyee µ. Or µ état icoue, o lui substitue µ H0 qui est coue et dot o sait sous H0 que µ = µ H0 ) Z µ σ H0 N (0, ) (o a «réduit» ( - µ H0 ) e la divisat par so écart-type σ/ )

Test Z de l écart réduit Z µ σ H0 N (0, ) La variace das la populatio σ² état le plus souvet icoue, o lui substitue so estiateur s² (s² = estiatio de σ² à partir de l échatillo) Z µ s H0 N (0, )

Desité de probabilité de loi orale cetrée réduite N(0,) - 0 + valeurs peu probables de Z valeurs probables de Z valeurs peu probables de Z Abscisse : valeurs possibles de Z sous H0 Z µ s H0

Desité de probabilité de loi orale cetrée réduite (0,) α = 5% (0,05) P(Z <-,96) =,5% P(Z >,96) =,5% - -Z α = -,96 +Z α =,96 + 0 Z α = valeur de Z pour le risque α Abscisse : valeurs possibles de Z sous H0 Z µ s H0

α (o-rejet de H0) α/ (rejet de H0 = acceptatio de H) α/ (rejet de H0 = acceptatio de H) -z α 0 z α Z o > Z α Z o Z α Z o > Z α Abscisse : valeurs possibles de Z sous H0 Z µ s H0 Z α = valeur de Z pour le risque α Z o = valeur observée de Z pour l échatillo

Z est la variable aléatoire µ H0 Z s Z α est ue valeur particulière de la variable aléatoire Z telle que P(Z > Z α ) = α (Z α est la valeur de Z pour le risque α) (e saté et biologie, α = 0.05) Z o est ue réalisatio de la variable aléatoire Z (Z o est la valeur observée/calculée de Z sur l échatillo dot o dispose)

Déteriatio de la valeur de Z α correspodat à u risque α = 0.05 (5%) Table de l écart réduit La table doe la probabilité α pour que l'écart-réduit dépasse e valeur absolue ue valeur doée ε, c'est-àdire la probabilité extérieure à l'itervalle [-ε,ε]. La probabilité α s'obtiet par additio des obres iscrits e arge α 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0,576,36,70,054,960,88,8,75,695 0,,645,598,555,54,476,440,405,37,34,3 0,,8,54,7,00,75,50,6,03,080,058 0,3,036,05 0,994 0,974 0,954 0,935 0,95 0,896 0,878 0,860 0,4 0,84 0,84 0,806 0,789 0,77 0,755 0,739 0,7 0,706 0,690 0,5 0,674 0,659 0,643 0,68 0,63 0,598 0,583 0,568 0,553 0,539 0,6 0,54 0,50 0,496 0,48 0,468 0,454 0,440 0,46 0,4 0,399 0,7 0,385 0,37 0,358 0,345 0,33 0,39 0,305 0,9 0,79 0,66 0,8 0,53 0,40 0,8 0,5 0,0 0,89 0,76 0,64 0,5 0,38 0,9 0,6 0,3 0,00 0,088 0,075 0,063 0,050 0,038 0,05 0,03

Déteriatio du degré de sigificatio associé à Z o (Pvalue) Table de l écart réduit La table doe la probabilité α pour que l'écart-réduit dépasse e valeur absolue ue valeur doée ε, c'est-àdire la probabilité extérieure à l'itervalle [-ε,ε]. La probabilité α s'obtiet par additio des obres iscrits e arge α 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0,576,36,70,054,960,88,8,75,695 0,,645,598,555,54,476,440,405,37,34,3 0,,8,54,7,00,75,50,6,03,080,058 0,3,036,05 0,994 0,974 0,954 0,935 0,95 0,896 0,878 0,860 0,4 0,84 0,84 0,806 0,789 0,77 0,755 0,739 0,7 0,706 0,690 0,5 0,674 0,659 0,643 0,68 0,63 0,598 0,583 0,568 0,553 0,539 0,6 0,54 0,50 0,496 0,48 0,468 0,454 0,440 0,46 0,4 0,399 0,7 0,385 0,37 0,358 0,345 0,33 0,39 0,305 0,9 0,79 0,66 0,8 0,53 0,40 0,8 0,5 0,0 0,89 0,76 0,64 0,5 0,38 0,9 0,6 0,3 0,00 0,088 0,075 0,063 0,050 0,038 0,05 0,03 Exeple : Z o =.37 P-value = 0.7

Test t de Studet Sous H0 : µ = µ H0 Si la distributio de la variable est orale das la populatio (et quel que soit l effectif de l échatillo ) : T µ s H0 t (-) ddl

Test t de Studet : otio de ddl Sous H0 : t µ s H0 t (-) ddl La foctio de desité de probabilité de t varie avec l effectif de l échatillo (e fait, avec l effectif de l échatillo = ) Il existe autat de lois t de Studet qu il existe d échatillos d effectif différet

Valeur de t α pour : (-) ddl = 5 :.57 (-) ddl = 0 :. (-) ddl > 30 :.96

(-) ddl = 5 -,57,57 (-) ddl = 0 -,, (-) ddl > 30 -,96,96 (cf aexe )

Coditio de validité du test t de Studet : la variable cotiue suit ue loi orale A l exae : Soit c est idiqué das l éocé (ex : «o suppose les coditios de validité vérifiées») Soit o vous pose la questio (ex : «Quelles sot les coditios de validité de ce test?») Soit o vous deade de vérifier epiriqueet qu o e s écarte pas de cette hypothèse (visuelleet le plus souvet) (ex : o fourit u histograe das l éocé)

Distributio syétrique e cloche distributio d allure orale Distributio asyétrique avec queue étalée vers la droite distributio d allure o orale

III. Coparaiso de deux oyees observées (échatillos idépedats) populatio µ, σ échatillo, s populatio µ, σ échatillo, s «Idépedat» sigifie que l échatillo est costitué de aière idépedate de l échatillo (par oppositio aux échatillos appariés) : Les sujets de l échatillo e sot pas les êes que ceux de l échatillo Les échatillos peuvet être d effectifs différets.

III. Coparaiso de deux oyees observées (échatillos idépedats) populatio µ, σ échatillo, s populatio µ, σ échatillo, s. Forulatio des hypothèses H0 : µ = µ H : µ µ. Risque α = 0.05 (5%) a priori 3. Choix du test Test Z de l écart réduit ( 30 et 30 ) Test t de Studet (hypothèse de oralité, variaces coparables)

Sous H0 : µ = µ = µ 30 µ (fluctuatios d échatilloage) 30 µ =µ µ (fluctuatios d échatilloage) µ =µ µ - µ = 0 et 0 (fluctuatios d échatilloage)

Sous H0 : µ -µ = 0 Rappel : est ue réalisatio de la V.A. «oyee epirique d u échatillo de taille» de oyee µ et d écart type σ / : N(µ, σ / ) ide : N(µ, σ / ) ( ) Nµ µ, σ σ ( ) N0, σ σ var ( - ) = var ( ) + var ( ) cov (, ) var σ σ 0 NB : var(a-b) = var(a) + var(b) cov(a,b) cf aalogie avec (a-b)² = a² + b² - a.b (cf aexe )

Sous H : µ µ 30 µ (fluctuatios d échatilloage) 30 µ (fluctuatios d échatilloage) µ µ µ - µ (fluctuatios d échatilloage)

Test Z de l écart réduit Si 30 et 30 Sous H0 : µ = µ µ -µ = 0 var Z Z s s N (0, ) s² est u estiateur de σ²

Test t de Studet Coditios d applicatio : - La distributio de la variable cotiue est orale das les populatios -Lesvariaces σ ² et σ ² sot coparables (rapport à 3) Sous H0 : µ = µ µ -µ = 0 s T s s s t ( + - ) ddl

Coparabilité des variaces La coparabilité des variaces est pas qu ue «cotraite techique» pour l applicatio du test t de Studet. La variace, coe la oyee, est u paraètre caractérisat la distributio d ue variable. Populatio Populatio µ = µ σ ² < σ ² Distributios très différetes bie que les oyees soiet égales

IV. Coparaiso de deux oyees observées (échatillos appariés) Obs Obs Obs Obs Obs Obs Obs Obs Obs 3 Obs 3 Obs 3 Obs 3 Obs Obs Obs Obs échatillos idépedats échatillos appariés sujet pris coe so propre téoi ebres d ue fratrie ( = ou ) ( = = )

IV. Coparaiso de deux oyees observées (échatillos appariés) Avat PAS PAS PAS 3 PAS Traiteet atihyperteseur H0 : PASavat = PASaprès Après PAS PAS PAS 3 PAS Les esures PAS et PAS du sujet e sot pas idépedates Les esures ot été effectuées sur le êe sujet : si PAS était très élevée, il est probable que PAS restera élevée (ais ois que PAS si le traiteet est efficace) Le test doit predre e copte cette dépedace des observatios PAS et PAS (E revache, les esures PAS du sujet et PAS du sujet sot idépedates)

Z pour échatillos idépedats var ( ) = var ( ) + var ( ) cov(, ) = var ( ) + var ( ) Z var var Z pour échatillos appariés var ( ) = var ( ) + var ( ) cov (, ) Z var var cov, Z apparié > Z idépedat gai de puissace

Echatillos appariés Z var var cov, S S e peut pas être estiée directeet car o e dispose que d ue esure de et ue esure de Il faut estier var( - ) d ue autre faço

Echatillos appariés d d var, cov var var Z d i i d ( - ) = d, avec d s i d i d var ( d ) = s d ² /, avec d est ue réalisatio de la V.A. «oyee epirique des différeces d u échatillo de taille» de oyee µ d et d écart type σ d /

Echatillos appariés L uité d aalyse deviet la différece d i etre l observatio et l observatio pour chaque sujet d i d i = (Obs i Obs i) d i s d i d i d Obs Obs Obs i Obs d d d i d Obs Obs Obs i Obs

Test Z de l écart réduit pour échatillos appariés H0 : µ d = 0 (µ = µ ) H : µ d 0 (µ µ ) Si 30 paires α (o-rejet de H0) α/ α/ Z o s d d (rejet de H0) -z α Z o > Z α (rejet de H0) z α Z o Z α Z o > Z α

Test t de Studet pour échatillos appariés H0 : µ d = 0 (µ = µ ) H : µ d 0 (µ µ ) Si la distributio des différeces idividuelles est orale : t o s d d

Coparaiso de oyees effectif test coditios observée théorique 30 Z - t (-) ddl oralité observée observée, 30 Z - (idépedates), t (+ -) ddl oralité σ² coparables observée observée 30 paires Z - (appariées) paires t (-) ddl oralité d i

Aexe : Test t de Studet Pourquoi le obre de ddl du test t est-il égal à ( ) et pas? Il s agit e fait du obre de ddl de la variace estiée s² : Coaissat la oyee () d u échatillo de taille, Le obre de ddl est le obre écessaire et suffisat d observatios dot il faut coaître la valeur, pour pouvoir calculer la variace (s²) ( )

Vérificatio epirique = 9,7 Calculer s² idividu x 6,4 0,6 3 4,4 4,8 5? Pour calculer s², il est pas écessaire de coaitre la valeur de l idividu 5. O peut la déduire de : - La oyee - La valeur des ( ) = 4 preiers idividus 6,4 0,6 4,4,8? 5? = 4,3 9,7 s² = 46,6

Aexe : var(b-a) = var(a) + var(b) - cov(a,b) Vérificatio epirique pour échatillos idépedats (cov(a,b) = 0) A B (B-A) 6,4 4 -,4 0,6 7,7 7, 4,4 3,5 9,,8 8,9 6, 4,3 8,7 4,4 5, 9 3,9, 7,6 6,4,6 8,4 5,8 5,4 5, 9,8 6,6 7,3 0,7,9,9 0 4, 7,7 3,6 7,7 5,4 7,7 9,4 5,8-3,6 0,8 6, -4,6 8,4 5,9 7,5 0,9 0 9, 6, 8,7,6 3,3 3,8 0,5 5, 5,6 0,4 oyee 7,9 3, 5, variace 7,9 3,3 59, µ B-A = µ B -µ A var(b-a) = var(b) + var(a)

Aexe 3: covariace N µ Y µ X X,Y cov N i Y i X i X var N µ X N µ X µ X X,X cov N i X i N i X i X i Cas particulier : X = Y Variace cojoite de variables X et Y

X et Y idépedates cas particulier Y costat quelle que soit la valeur de X cov X,Y N i X µ Y µ i X N i Y 0 0 car Y i = costate =µ Y

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