VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES 71 Chapitre 5 : Variables aléatoires discrètes 5.1 Défiitios formelles Défiitio : Soit U l'uivers d'ue expériece aléatoire. Ue variable aléatoire sur U est ue foctio à valeurs réelles défiie sur l'uivers U: X : U IR O désige ue variable aléatoire par ue lettre majuscule et ses valeurs par la même lettre miuscule. Ue variable aléatoire est discrète si l'esemble de ses valeurs est fii ou déombrable. Sio elle est cotiue. À chacue de ses valeurs o associe l'évéemet : E i = X -1 (x i ) = { ω j U X(ω j ) = x i } Défiitio : La foctio de probabilité ou loi de probabilité de la variable aléatoire X est la probabilité de ces évéemets: X(U) [0 ; 1] IR x i P(X = x i ) = P(E i ) 5.2 Quelques rappels Ces 2 défiitios e vous paraisset pas évidetes?? Décortiquos tout ceci plus calmemet Défiitio : L'esemble U de toutes les issues possibles qui se présetet au cours d'ue épreuve aléatoire costitue par défiitio l'uivers. Exemple 1 : 1.1) O jette ue pièce de moaie. Les issues possibles sot p (pile) et f (face). 1.2) O jette ue pièce de moaie deux fois de suite. L'uivers U est doc Parmi les 4 issues possibles, o peut s'itéresser à u évéemet et e calculer sa probabilité. Par exemple, l'évéemet "o obtiet au mois 1 pile" admet ue probabilité de:
72 CHAPITRE 5 5.3 Variables aléatoires Das de ombreuses épreuves, o est ameé à associer à chaque issue possible i de l'uivers U u ombre réel X(i); par exemple: le gai d'u joueur das u jeu de hasard. Cette foctio X de U das IR porte le om de variable aléatoire. Exemple 2 : 2.1) O jette ue pièce de moaie ue seule fois. O a U = {p, f}. Soit X la variable aléatoire doat le ombre de face qui se présete lors de l'épreuve. O a: 2.2) O jette ue pièce de moaie deux fois de suite. O a U = {(p, p), (p, f ), (f, p), (f, f )} Soit X la variable aléatoire idiquat le ombre total de faces qui se présetet lors de l'épreuve. O a: 2.3) Ue ure cotiet 3 boules umérotées 2, 3 et 5. O tire successivemet 2 boules de l'ure (sas remise). O a U = { Soit X la variable aléatoire idiquat le ombre total de poits sortis par les deux boules. O a: Das les trois exemples qui précèdet, la variable aléatoire X e peut predre chaque fois qu'u ombre fii de valeurs réelles. O dit das ce cas qu'o a ue variable aléatoire discrète. S'il s'agissait de cosidérer la variable aléatoire idiquat le temps (e miutes) que met u cocurret pour faire la course Sierre-Zial, ous aurios affaire à ue variable aléatoire cotiue.
VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES 73 Nous allos cosidérer à préset l'image réciproque X -1 qui à u sous-esemble A i de IR fait correspodre l'évéemet E i (sousesemble de U) costitué de toutes les issues qui ot ue image das A i par X. Repreos l'exemple 2.1: O a par exemple: {0} ---------> {1} ---------> [-2 ; 0] ---------> [0 ; 3] ---------> ]0 ; 1[ ---------> Repreos la variable X l'exemple 2.2: O a par exemple: {0} ---------> [0 ; 1] ---------> ]1 ; 2] ---------> Das le cas de l'exemple 2.3: O a par exemple: [5 ; 6] ---------> ]6 ; 8] ---------> L'itérêt de la otio de variable aléatoire proviet de ce qu'elle permet d'attacher à chaque sous-esemble A i de IR ue probabilité (que ous oteros P(A i )) qui est reliée aux probabilités des évéemets E i de U: Par exemples, das l'exemple 2.1, P(0) = das l'exemple 2.2, P([0 ; 1]) = Das les exercices qui vot suivre, ous résumeros la foctio de probabilité (ou loi de probabilité) das u tableau coteat 3 coloes. Exemple 3 : O lace trois fois ue pièce de moaie bie équilibrée. La variable aléatoire X idique le ombre de faces obteues. Compléter: U = { } x i Évéemets Probabilités p i = P(X = x i ) 0 P(X = 0) = 1 P(X = 1) = 2 P(X = 2) = 3 P(X = 3) = Total:
74 CHAPITRE 5 E déduire la probabilité que le ombre de faces obteues soit compris etre 1 et 3: P(1 X 3) = O représetera volotiers ue variable aléatoire discrète sous la forme d'u histogramme (ou diagramme e coloes): 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0 1 2 3 Exercice 5.1 : Exercice 5.2 : Les variables aléatoires sot-elles cotiues ou discrètes? a) Le ombre jouralier de décès e Suisse. b) Le temps pour courir 100 m. c) Le poids d'u Suisse. d) Le ombre de coups pour toucher ue cible. O tire 1 carte d'u jeu ordiaire de 36 cartes. O obtiet 10 poits pour u as, 5 poits pour u roi, 3 poits pour ue dame, 2 poits pour u valet, 1 poit pour ue carte avec u uméro pair et aucu poit pour ue carte avec u uméro impair. La variable aléatoire X représete le ombre de poits obteus. a) Détermier la foctio de probabilité. b) Représeter so histogramme. c) Calculer P(X 3). Défiitio : La foctio de répartitio d'ue variable aléatoire discrète est la foctio réelle défiie par : F: IR IR x i P(X x i ) Remarque : La représetatio graphique d'ue foctio de répartitio est "e escaliers"
VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES 75 Exemple 4 : Repreos le tableau de la foctio de probabilité de l'exemple précédet: x i P(X = x i ) F(x i ) = P(X x i ) 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 La représetatio graphique de la foctio de répartitio: 1 0.5 1 2 3 4 Exercice 5.3 : Exercice 5.4 : De l'exercice 5.2, détermier la foctio de répartitio et représeter so graphe. Justifier ces différetes propriétés d'ue foctio de répartitio: 1) 0 F(x i ) l 2) Elle est costate etre les valeurs d'ue variable aléatoire discrète. 3) Elle est croissate. 4) lim F(x) = 0. x 5) lim F(x) = 1. x + 6) P(a < X b) = F(b) F(a).
76 CHAPITRE 5 Exemple 5 : Ue ure cotiet 8 boules blaches, 4 oires et 2 rouges. U joueur extrait simultaémet 2 boules de l'ure. Il gage Fr 2.-. par boule oire et perd Fr 1.- par boule blache. Détermier la foctio de probabilité de la variable aléatoire X idiquat le gai du joueur. Avat de détermier la foctio de probabilité et de la préseter das u tableau, calculer: a) La probabilité de perdre 2.- b) La probabilité de gager 1.- c) Compléter esuite la foctio de probabilité das le tableau suivat: x i Évéemets Probabilités p i = P(X = x i ) -2 P(X = -2) = -1 P(X = -1) = 0 P(X = 0) = 1 P(X = 1) = 2 P(X = 2) = 4 P(X = 4) = Total: Exercice 5.5 : Exercice 5.6 : Exercice 5.7 : Ue ure cotiet 3 boules blaches, 2 rouges et 5 oires. O extrait simultaémet 3 boules de l'ure. O gage Fr 1.- pour chaque boule blache tirée et o perd Fr 1.- pour chaque boule rouge tirée. Les boules oires sot eutres. a) Détermier la foctio de probabilité. b) Quelle est la probabilité de gager quelque chose à ce jeu? Représeter le graphique de la foctio de répartitio de l'exercice précédet. O lace 3 fois ue pièce de moaie truquée. O a P(face) = 2/3. Détermier la foctio de probabilité de la variable aléatoire X idiquat le ombre de faces qui apparaisset.
VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES 77 Exercice 5.8 : Exercice 5.9 : Exercice 5.10 : Exercice 5.11 : Exercice 5.12 : O lace deux dés et o cosidère la variable aléatoire X représetat la différece positive ou ulle etre les deux dés. a) Détermier les valeurs de cette variable aléatoire et leur probabilité. Calculer la foctio de répartitio. b) Calculer P(X 3) et P(X < 2). U travail écrit compred 5 questios. À chaque questio, o propose 3 réposes, dot ue seule est juste. U élève répod au hasard à chaque questio. Soit X le ombre de réposes correctes fouries par l'élève. a) Calculer les foctios de probabilité et de répartitio. b) Expliciter la formule permettat de calculer P(X = x i ) pour tout i. c) Calculer la probabilité que l'élève ait répodu correctemet à 4 questios au mois. 5 garços et 5 filles passet u exame. O suppose que toutes les otes obteues sot différetes, et que tous les classemets possibles de ces persoes sot équiprobables. Détermier la foctio de probabilité de la variable aléatoire X idiquat le rag de la fille la mieux classée parmi ces 10 persoes. Ue ure cotiet 3 boules blaches, 2 rouges et 5 oires. O extrait simultaémet 3 boules de l'ure. O gage Fr 1.- pour chaque boule blache tirée et o perd Fr 1.- pour chaque boule rouge tirée. Repredre la foctio de probabilité de l'exercice 5.5 pour calculer la probabilité d'avoir gagé Fr i.- sachat qu'o a gagé quelque chose. Ue ure cotiet b boules blaches et r boules rouges. O extrait ue boule de l'ure, o ote sa couleur et o la remet das l'ure. Cette expériece est répétée fois. Détermier la foctio de probabilité de la variable aléatoire X idiquat le ombre de boules blaches tirées. Idicatio: 'état pas fixé, il s'agit doc d'expliciter la formule permettat de calculer P(X = k) où k [1 ; ]
78 CHAPITRE 5 5.4 Espérace mathématique, variace et écart-type d ue VA Exemple d'itroductio : Repreos l'exemple du jet simultaé de 2 dés où la variable aléatoire X représete la somme des poits obteus. Nous avos obteu la foctio de probabilité suivate: x i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 p i 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Questio: Si o répète cette expériece u grad ombre de fois, quelle somme, e moyee, peut-o espérer obteir?. Défiitios : Soit X ue variable aléatoire qui pred les valeurs x 1, x 2,, x avec les probabilités p 1, p 2,, p. So espérace mathématique est défiie par: E(X) = p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p x = p i x i Sa variace et so écart-type sot défiis par: V(X) = p i ( x i E(X) ) 2 σ(x) = V (X) Remarques : L aalogie avec la moyee, la variace et l écart type e statistique descriptive est évidete e comparat les formules : x = f i x i E(X) = p i x i V(X) = f i ( x i x ) 2 V(X) = p i x i E(X) σ(x) = V (X) σ(x) = V (X) ( ) 2 L espérace mathématique d ue variable aléatoire est ue mesure de tedace cetrale, la variace et l écart-type sot des mesures de dispersio.
VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES 79 Remarques : Si l espérace mathématique est pas u ombre etier, le calcul de la variace risque d être fastidieux ou redu imprécis par des arrodis. O procède alors volotiers comme e statistique descriptive : V(X) = p i ( x i E(X) ) 2 = p i x 2 i E(X) ( ) 2 L idicateur d homogééité d ue variable aléatoire est défii grâce au coefficiet de variatio CV exprimé e % : CV = σ E(X) Exemple 6 : Imagios le jeu suivat: ue ure cotiet 3 boules blaches, 2 rouges et 5 oires. O extrait simultaémet et sas remise 3 boules de l'ure. O gage Fr 2.- pour chaque boule blache tirée et o perd Fr 2.- pour chaque boule rouge tirée. La variable aléatoire X doe le gai de la partie. a) Calculer E(X) et V(X). b) Sachat que vous devez de toute faço payer Fr 1.- pour participer à ce jeu, est-il retable pour vous d'y participer? x i Évéemet p i p i x i p i x i 2-4 {R;R;N} 5/120-20/120 80/120-2 {R;R;B} ou {R;N;N} 23/120-46/120 92/120 0 2 4 {B;B;N} 15/120 60/120 240/120 6 {B;B;B} 1/120 6/120 36/120 Totaux :
80 CHAPITRE 5 Exercice 5.13 : Exercice 5.14 : Exercice 5.15 : Exercice 5.16 : Exercice 5.17 : Exercice 5.18 : O lace ue pièce de moaie bie équilibrée jusqu'à ce qu'o obtiee soit pile, soit 4 faces. Si X représete le ombre de lacers effectués, calculer a) E(X) et V(X) b) P(X 3). O tire successivemet et avec remise quatre cartes d'u jeu ordiaire de 52 cartes. La variable aléatoire X représete le ombre de cartes rouges tirées. a) Détermier la foctio de probabilité de X. b) Calculer so espérace et sa variace. U dé est pipé de telle maière que la probabilité d'apparitio d'u ombre détermié de poits est proportioelle à ce ombre. Soit X la variable aléatoire attachée à ce ombre de poits qui apparaisset lorsqu'o jette ce dé. Calculer l'espérace de cette variable aléatoire. Das ue tombola, o fait des paquets de 10 billets; chaque paquet cotiet trois billets gagats. Quelqu'u décide d'acheter des billets d'u paquet de 10 jusqu'à ce qu'il obtiee u billet gagat. Combie de billets peut-il s'attedre à acheter? Deux idividus se sot mis d'accord sur le jeu suivat: o jette u dé deux fois de suite. Si le premier jet a doé u ombre de poits iférieur au secod, o fait le total des poits et o attribue le résultat au joueur A et le joueur B e reçoit aucu poit. Sio, o fait la différece des poits des deux dés et o attribue le carré du résultat au joueur B et le joueur A e reçoit aucu poit. Motrer que ce jeu est équitable e calculat le ombre de poits que chaque joueur peut espérer? Le vice-présidet d ue etreprise doit faire ue recommadatio au coseil d admiistratio sur le choix d u projet de reouvellemet d équipemet. Les gais possibles de chaque projet sot répartis suivat les foctios de probabilité ci-dessous : Projet A Projet B Gai Probabilité Gai Probabilité 25 000 0,25 20 000 0,15 30 000 0,30 25 000 0,35 35 000 0,20 30 000 0,25 40 000 0,15 35 000 0,15 45 000 0,10 40 000 0,10 a) Quel est le gai espéré de chaque projet? b) Quel est l écart-type de chaque projet? c) E utilisat le coefficiet de variatio comme mesure relative de risque, détermier lequel des deux projets semble le plus risqué.
VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES 81 Exercice 5.19 : Ue société de gestio de portefeuille evisage d ivestir das des actios ordiaires d ue etreprise se spécialisat das la fabricatio de microordiateurs. Toutefois, divers redemets sot possibles et ils se répartisset d après le tableau ci-cotre, et ceci pour ue période d u a. Redemet (%) Probabilité 30 0,06 28,5 0,20 21 0,35 15 0,24 10 0,10 6 0,05 a) Calculer le redemet espéré d u tel ivestissemet. b) Calculer l écart-type et le coefficiet de variatio du redemet. c) La société pourrait égalemet ivestir das des obligatios du gouveremet avec u redemet garati de 14%. Calculer le coefficiet de variatio. d) Lequel des deux ivestissemets présete le plus grad risque? Exercice 5.20 : L'etreprise PROLAB a besoi de 10'000 composats électroiques. L'etreprise a la possibilité d'acheter d'u fourisseur ces composats au coût uitaire de Fr 15.- et chaque composat est certifié à 100% par le fourisseur. Si les composats sot fabriqués par PROLAB, ils le serot à u coût moidre, mais les igéieurs de l'etreprise estimet que la ature du procédé de fabricatio peut egedrer ue forte proportio de composats e satisfaisat pas les ormes. Selo le resposable de la qualité de la productio, la proportio de composats e satisfaisat pas les ormes pourrait être répartie comme suit: Proportio Probabilité 0 0,05 0,05 0,20 0,10 0,30 0,15 0,25 0,20 0,15 0,25 0,05 Les frais fixes de productio sot de Fr 15'000.- et les frais variables sot de Fr 12.- par composat. Les composats e satisfaisat pas les ormes peuvet être rectifiés au coût de Fr 10.- chacu. a) Détermier le coût que PROLAB peut s'attedre à assumer pour rectifier les composats e satisfaisat pas les ormes sur ue productio de 10'000 composats. b) Quel est alors le coût total de fabricatio des 10'000 composats (icluat le coût de rectificatio)? c) L'etreprise doit-elle fabriquer ou acheter du fourisseur les composats? Quel serait le gai ou la perte aticipé?
82 CHAPITRE 5 Exemple 6 : O doe la distributio de probabilités de la variable aléatoire X : x i 4 8 12 16 20 p i 0,1 0,3 0,4 0,1 0,1 O peut motrer que E(X) = 11,2 et que V(X) = 18,56 a) O cosidère la ouvelle variable aléatoire Y = X 10. Compléter le tableau de distributio : y i p i b) Détermier E(Y) et V(Y) Théorème : Soit X ue variable aléatoire discrète. O défiit ue ouvelle variable aléatoire Y = ax + b par : P(Y = y i ) = P(X = x i ) si y i = ax i + b O peut alors calculer directemet l espérace et la variace de cette ouvelle variable aléatoire : 1) E(Y) = E(aX + b) = a E(X) + b 2) V(Y) = V(aX + b) = a 2 V(X) 3) σ(y) = σ(ax + b) = a σ(x) Exercice 5.21 : Ue etreprise fabrique u modèle de télévisio HD. O a établi, avec le temps, que le ombre de pièces vedues par jour ouvrable suit la foctio de probabilités suivate: x i 0 1 2 3 4 5 p i 0,20 0,25 0,20 0,15 0,10 0,10 Si le profit egedré par la vete d ue de ces pièces est de 800 Fr. et que l etreprise a des coûts fixes de 12 000 Fr. chaque mois. a) Détermier Y, la variable aléatoire idiquat le profit durat u mois (25 jours ouvrables). b) Détermier le profit moye durat u mois. c) Calculer la foctio de répartitio du profit mesuel. Exercice 5.22 : Démotrer les formules du théorème précédet.