Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement au programme de deuxième année, ledit programme impose de ne pas soulever de difficultés théoriques concernant les objets considérés. Les lecteurs sont priés de faire les dessins des domaines considérés et d utiliser le logiciel de calcul formel chaque fois que c est possible à la fois pour représenter les domaines et pour calculer les intégrales. Principes d une théorie élémentaire de la mesure sur R n Les fonctions considérées sont à valeurs dans K = R ou C. On définit la mesure d un pavé P = n [a i, b i ] de R n comme µ(p ) = i=1 n (b i a i ) (longueur, aire ou volume suivant que n = 1, 2, 3). On i=1 Page 1/27

appellera ensemble négligeable toute partie X de R n telle que, pour tout ɛ > 0, il existe une suite (P i ) i N de pavés vérifiant : X i N P i et µ(p i ) < ɛ i=0 On peut prouver qu une courbe C 1 par morceaux de R 2 ou un morceau de surface C 1 de R 3 sont des ensembles négligeables ainsi que les graphes des fonctions continues. On se limitera aux domaines de R n qu on définira comme union d un ouvert borné et d un ensemble négligeable. Cette notion est stable par union et intersection finie. On peut associer à un tel domaine un réel positif appelé mesure de de telle sorte que la mesure d un ensemble négligeable soit nulle et possédant, entre autres, les propriétés : Croissance : Si 1 2 sont deux domaines, µ( 1 ) µ( 2 ). Additivité : Si 1 et 2 sont deux domaines tels que 1 2 soit négligeable alors : µ( 1 2 ) = µ( 1 ) + µ( 2 ) Enfin si f est une fonction continue et bornée à l intérieur d un domaine, on peut définir l intégrale de f sur notée : f(x) dµ qui possède les propriéts de linéarité, positivité, additivité par rappport aux ensembles etc ; au surplus : µ() = 1 dµ Page 2/27

Table des matières 1 Intégrales doubles 7 1.1 Calcul en coordonnées cartésiennes............... 7 1.2 Calcul en coordonnées polaires.................. 9 1.3 Calculs d aires planes....................... 10 1.3.1 Rappels et définitions................... 10 1.3.2 Green-Riemann et calculs d aires planes........ 11 2 Intégrales triples 15 2.1 Calcul en coordonnées cartésiennes............... 15 2.2 Calcul en coordonnées cylindriques............... 17 2.3 Calcul en coordonnées sphériques................ 18 2.4 Calcul de volumes......................... 18 3 Moment d inertie par rapport à une droite 23 4 Aire d un morceau de surface 25 3

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Table des figures 1.1 Calcul par tranches verticales.................. 9 2.1 Sommation par piles....................... 16 2.2 Sommation par tranches..................... 17 5

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Chapitre 1 Intégrales doubles 1.1 Calcul en coordonnées cartésiennes Théorème 1 (Théorème de Fubini vu en première année). Soit f une fonction continue sur [c, d] [a, b] à valeurs complexes. Alors les fonctions : et x t b a d c f(x, t) dt f(x, t) dx sont continues respectivement sur [c, d] et [a, b] et : d [ b ] b [ d ] f(x, t) dt dx = f(x, t) dx dt c a Cette valeur commune peut se noter : f(x, t) dx dt avec = [c, d] [a, b]. Exercice 1 (Centrale 2005). - 1. Montrer que ch réalise une bijection de R + dans [1, + [. 2. Expression de son inverse à l aide des fonctions usuelles et en calculer la dérivée. 7 a c

3. Soit (a, b) ]1, + [ 2 et : I = π 0 ln ( ) b cos t dt. a cos t Montrer, grâce au théorème de Fubini que : et la calculer. b dx I = π a x2 1 Proposition 1 (Calcul en coordonnées cartésiennes). Soit f : K, continue sur le domaine R 2 défini par : = {(x, y) R 2 / a x b et y 1 (x) y y 2 (x)}. Où y 1 et y 2 sont continues de [a, b] dans R, telles que y 1 y 2, alors x f(x, y) dy est continue sur [a, b] et : y2 (x) y 1 (x) f(x, y) dxdy = b a ( ) y2 (x) f(x, y) dy dx y 1 (x) Mutatis-Mutandis en intervertissant les rôles de x et y. Code Maple 1. soient : u une expression contenant les variables x et y qui représente la fonction f. y1 et y2 des expressions contenant la variable x qui représentent les fonctions y 1 et y 2. L intégrale précédente est retournée par l incantation : int(int(u,y=y1..y2),x=a..b); Page 8/27

y 2 (x) ( ) x y 1 (x) Fig. 1.1 Calcul par tranches verticales Exercice 2. Calculer : xy dx dy où est défini par : { x 2 2y + 3 y 2 2x + 3 1.2 Calcul en coordonnées polaires Théorème 2. On retiendra d abord le dessin du "camembert" en coordonnées polaires qui fournit "l élément d aire" : où : ds = ρ dρdθ. f(x, y) dxdy = f (ρ, θ)ρ dρdθ. Avec : domaine ouvert de R 2 et domaine ouvert de ]0, + [ R, f continue et bornée sur. (ρ, θ) (ρ cos θ, ρ sin θ) bijection C 1 de sur ainsi que sa réciproque (C 1 - difféomorphisme de sur ). Page 9/27

Pour tout couple (ρ, θ) : f (ρ, θ) = f(ρ cos θ, ρ sin θ). Exemple 1. Soit le domaine borné de R 2 limité par les courbes : { (x 1) 2 + y 2 = 1 y = x 2. Calculer : Exercice 3 (CCP 2005). (2x + 1) dxdy = {(x, y) R 2 / x x 2 + y 2 1} 1. essiner. π/2 dt 2. Calculer K = 0 1 + cos 2 t. 3. Calculer : dxdy (1 + x 2 + y 2 ) 2 Exercice 4 (Centrale 2006 avec Maple). Soit la courbe E a 3 x 2 + 4 y 2 2 ax a 2 = 0 avec a réel strictement positif et K a le "compact défini par E a ". 1. Préciser E a et K a. 2. Calculer : H = x2 + y 2 dx dy K a 1.3 Calculs d aires planes 1.3.1 Rappels et définitions Rappel 1. ans la suite, si C = (I, M) avec M : I R n est une courbe paramétrée, on notera (C) le support de C c est-à-dire l ensemble M(I). Page 10/27

Rappel 2. L espace R 2 est muni de sa structure euclidienne orientée canonique pour laquelle la base canonique (ɛ) = (ɛ 1, ɛ 2 ) est orthonormée directe. Le produit mixte de deux vecteurs u et v qui vaut det (ɛ) (u, v) se note indifféremment : et(u, v) = u v éfinition 1 (Circulation d une forme différentielle sur un arc). Soient P et Q deux applications continues d un ouvert Ω de R 2 dans R et C = ([a, b], M), avec M(t) = (x(t), y(t)) pour t [a, b], un arc paramétré continu et de classe C 1 par morceaux tel que M(I) Ω. On note, par définition : C P (x, y) dx + Q(x, y) dy = b a [P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)] dt si la courbe C est fermée ie si M(a) = M(b) cette quantité se note encore : P (x, y) dx + Q(x, y) dy C éfinition 2 (Courbe fermée simple entourant un ouvert). Soit = Ω (C) R 2 un domaine compact où C est une courbe paramétrée C 1, fermée, régulière et sans point double (on dit encore simple). Le repère de Frénet au point de C de paramètre t est noté (M(t), T (t), ) N(t). On peut alors démontrer que (C) Ω = et qu il existe ɛ > 0 tel que, pour 0 < λ < ɛ, les supports des deux arcs paramétrés C +,λ et C,λ définis par : t M(t) + λ N(t) et t M(t) λ N(t), ne rencontrent pas (C) et que : soit pour tout λ ]0, ɛ[, (C +,λ ) Ω et (C,λ ) Ω =. Soit pour tout λ ]0, ɛ[, (C,λ ) Ω et (C +,λ ) Ω =. On dira que C entoure Ω dans le sens direct si l on est dans le premier cas. On peut étendre cette définition au cas où C est simplement continue, C 1 par morceaux et n admet qu un nombre fini de points stationnaires. 1.3.2 Green-Riemann et calculs d aires planes Théorème 3 (Formule de Green-Riemann (ou de Green-Ostrogradsky)). Soit = Ω (C) R 2 un domaine compact où C est une courbe paramétrée Page 11/27

continue, C 1 par morceaux, fermée, sans point double, parcourue dans le sens direct et entourant Ω. Soient P et Q deux fonctions numériques C 1 dans un ouvert Ucontenant, alors : C P (x, y) dx + Q(x, y) dy = Exercice 5 (X 2009). = {(x, y) R 2 / x 2 + y 2 1} et I = ( Q x P ) dxdy y (2x y 2 ) dxdy Calculer I d abord directement puis en utilisant la formule de Green-Ostrogradsky. Proposition 2 (Aire du domaine limité par une courbe fermée simple). L aire d un domaine compact = Ω (C), où C est une courbe paramétrée continue, C 1 par morceaux, fermée simple, parcourue dans le sens direct et entourant Ω, est donnée par : A = dxdy = 1 2 C x dy y dx = 1 2 C OM dm Remarque 1. L heuristique est que cette aire est obtenue par sommations aires des "triangles élémentaires" de sommets O, M, M + dm, lesquelles valent : da = 1 OM dm 2 Remarque 2. L intérêt des notations différentielles est qu elles permettent un changement de paramétrage des courbes sans affecter les valeurs des intégrales curvilignes. Exemple 2. Soient a et b deux réels > 0. Calculer l aire extérieure à l astroïde représentée en repère orthonormé par : { x = a cos 3 t y = b sin 3 t et intérieure à l ellipse d axe focal Ox et de demi-axes a et b. Page 12/27

Exercice 6. Aire de la boucle de la courbe en polaires : cos 2θ ρ = a cos θ Exercice 7 (Mines). Calculer l aire de la portion commune aux intérieurs de deux ellipse égales de même centre et dont les grands axes font entre eux l angle 2α ]0, π/2[. Page 13/27

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Chapitre 2 Intégrales triples 2.1 Calcul en coordonnées cartésiennes Proposition 3 (Sommation par piles). Soit un domaine compact de R 2 et f continue et sur le domaine R 3 défini par : = {(x, y, z) R 3 / (x, y) et z 1 (x, y) z z 2 (x, y)}. Où z 1 et z 2 sont continues de dans R, telles que z 1 z 2, alors : f(x, y, z) dxdydz = ( ) z2 (x,y) f(x, y, z) dz dxdy z 1 (x,y) Mutatis-Mutandis en permutant les variables. 15

z H 2 H 1 y x Fig. 2.1 Sommation par piles Exemple 3. On note H la projection de M = (x, y, z) R 3 sur l axe Oz. Si A = (a, 0, 0), B = (0, b, 0), C = (0, 0, c) (a, b, c sont > 0) et l intérieur du tétraèdre OABC, calculer : HM 2 dxdydz. Proposition 4 (Sommation par tranches). Soit f continue et bornée sur le domaine R 3. On suppose : que la projection de sur l axe Oz est un segment [z 1, z 2 ] et, pour z [z 1, z 2 ] on note : (z) = {(x, y) R 2 / (x, y, z) } (tranche d ordonnée z), que, pour tout z [z 1, z 2 ], (z) est un domaine, que la fonction z f(x, y, z) dxdy est continue sur [z (z) 1, z 2 ] Alors : z2 ( ) f(x, y, z) dxdydz = f(x, y, z) dxdy dz (z) Mutatis-Mutandis en permutant les variables. z 1 Page 16/27

z 2 z (z) z 1 Fig. 2.2 Sommation par tranches Exemple 4. Faire tracer, via la commande implicitplot3d[plots], l ellipsoïde (E) d équation : x 2 2 + y2 3 + z2 = 1 et calculer : (xyz) 2 dxdydz où est l intérieur de (E) 2.2 Calcul en coordonnées cylindriques Théorème 4. On retiendra d abord le dessin du "camembert" en coordonnées cylindrique qui fournit "l élément de volume" : dv = ρ dρdθdz. Page 17/27

où, avec des hypothèses et notations analogues à celles du théorème 2 page 9 : f(x, y, z) dxdydz = f (ρ, θ, z)ρ dρdθdz. 2.3 Calcul en coordonnées sphériques Théorème 5. On retiendra d abord le dessin du "camembert" en coordonnées sphériques qui fournit "l élément de volume" : dv = ρ 2 sin θ dρdθdφ. où, avec des hypothèses analogues à celles du théorème 2 page 9 : f(x, y, z) dxdydz = f (ρ, θ, φ)ρ 2 sin θ dρdθdφ. Exercice 8. Calculer OM dxdydz où est le domaine borné limité par une sphère (S) de centre O et de rayon R et par un cône (C) de révolution de sommet O et de demi angle au sommet α ]0, π/2[. 2.4 Calcul de volumes Proposition 5 (Sommation par piles). Le volume du domaine R 3 défini par : = {(x, y, z) R 3 / (x, y) et z 1 (x, y) z z 2 (x, y)}. Où z 1 et z 2 sont continues de dans R, telles que z 1 z 2, est donné, en notant M i le point (x, y, z i (x, y)), par : V = (z 2 (x, y) z 1 (x, y)) dxdy = M 1 M 2 dxdy Ce qui valide l heuristique physicienne consistant à considérer le volume comme somme des "volumes des piles élémentaires" qui valent dv = M 1 M 2 dxdy. Page 18/27

Proposition 6 (Sommation par tranches). On suppose que la projection du domaine R 3 sur l axe Oz est un segment [z 1, z 2 ] et, pour z [z 1, z 2 ] on note : (z) = {(x, y) R 2 / (x, y, z) } (tranche d ordonnée z). Notons S(z) l aire de (z). Si l on suppose que S est continue sur [z 1, z 2 ], le volume de est donné par : V = z2 z 1 S(z) dz Ce qui valide l heuristique physicienne consistant à considérer le volume comme somme des "volumes des tranches élémentaires d épaisseur dz" qui valent dv = S(z) dz. Exemple 5. Soit un domaine d aire S contenu dans le plan d équation z = h. Calculer en fonction de S et h, le volume du domaine : = λ. λ [0,1] En déduire quelques volumes de solides classiques (cones, pyramides, tétraèdres etc.) Exemple 6. r > 0. Calcul du volume de la "fenêtre de Viviani" définie par : { (x r) 2 + y 2 r 2 x 2 + y 2 + z 2 4r 2 qu on caractérisera d abord géométriquement. Exemple 7. Calcul du volume du domaine R 3 qui est constitué de l intersection de l intérieur d un cone de révolution de sommet O et de demiangle au sommet π/4 et de l intérieur d une sphère tangente en O à l axe du cone. Exercice 9. Calculer le volume compris entre le paraboloïde d équation : et le plan d équation z = y. 2az = x 2 + y 2, a > 0 Page 19/27

Exercice 10. Tracer le domaine défini par : { x 2 + y 2 z 2 0 2z 2 z y 0 et calculer son volume. Exercice 11. a > 0, r > 0.Tracer le domaine défini par : (x r) 2 + y 2 r 2 z 0 a(x 2 + y 2 ) z et calculer son volume. Exercice 12 (Mines 2007). Volume de la partie de R 3 définie par : { x 2 + y 2 z 2 (x 2 + y 2 + x) 2 x 2 + y 2? Exercice 13 (X 2007). Calculer le volume de la partie V de R 3 définie par : { x 2 + y 2 R 2 y 2 + z 2 R 2 R > 0 Exercice 14. Un point P décrit le segment de droite d équation x = a dans le plan xoy de sorte que 0 y a 3/2. Soit le disque vertical de diamètre OP. Calculer le volume du domaine égal à la réunion des disques lorsque y varie. Proposition 7 (Volumes de révolution). Soit f une fonction continue, positive sur le segment [a, b] et le domaine du plan xoy défini par : = {(x, y) R 2 / a x b et 0 y f(x)}. Alors le volume V du domaine R 3 obtenu en faisant tourner autour de Ox est donné par : V = π b a f(x) 2 dx = π b a y 2 dx Page 20/27

Ce qui valide l heuristique physicienne qui consiste à décomposer le domaine en disques d épaisseurs dx, chacun ayant un "volume élémentaire" πy 2 dx, et à sommer ces volumes élémentaires. Soit un compact du plan xoy limité par une courbe fermée simple C parcourue dans le sens direct et ne coupant pas Ox, le volume V du domaine R 3 obtenu en faisant tourner autour de Ox est donné par : Exemple 8. Volume de la sphère? V = π y 2 dx C Exemple 9. a > 0, h > 0. Volume engendré par rotation autour de Oy du domaine limité par la parabole y = ax 2 et la droite y = h? Exercice 15 (Volume d un tore de révolution). Volume engendré par rotation autour de Oz du cercle de centre A = (0, R, 0) et de rayon r avec 0 < r R? Page 21/27

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Chapitre 3 Moment d inertie par rapport à une droite éfinition 3. Soit un domaine de R 3 (appelé dans ce cas solide) et une droite. On se donne une fonction µ continue, positive et bornée de dans R qui représente la masse volumique de en chacun de ses points de sorte que la masse de est : M = dm = µ(p ) dv avec dv = dxdydz et dm = µ(p ) dv Le moment d inertie de relativement à est donné par : I = HP 2 dm où H est le projeté orthogonal du point P sur la droite éfinition 4 (Solide homogène). Si la fonction µ est constante on dit que le solide est homogène. ans ce cas, si M est sa masse et V son volume il vient M = µ V. Exemple 10 (Tétraèdre régulier). Soit le solide homogène de masse M défini par un tétraèdre régulier de coté a > 0. 1. Calculer la hauteur du tétraèdre. 2. Calculer, en fonction de a et M, le moment d inertie de par rapport à une hauteur. On notera OABC le tétraèdre et on choisira le repère 23

orthonormé d origine O de façon que Oz soit la hauteur du tétraèdre, le point A étant dans le plan xoz de coordonnées positives et le coté BC parallèle à Oy. Exercice 16. Calculer le moment d inertie du solide homogène de masse M défini par un tétraèdre régulier de coté a par rapport à une arète du tétraèdre. Proposition 8 (Moment d inertie d un solide homogène relativement à un axe de révolution). - 1. Le moment d inertie d un disque homogène de rayon R est de masse MR 2 M relativement à son axe vaut. 2 2. Soit z r(z) une fonction continue, positive d un segment [a, b] dans R. Le moment d inertie, relativement à Oz, du solide homogène obtenu en faisant tourner autour de Oz la courbe (C) du plan xoz d équation x = r(z) est donné par : I Oz = 1 2 b a r 2 (z) dm avec dm = µ πr 2 (z) dz Ce qui légitime l heuristique physicienne qui consiste à décomposer le solide en "disques élémentaires" d épaisseurs dz et à sommer les moments d inerties d iceux. Exemple 11. Moment d inertie d une sphère homogène de masse M et de rayon R relativement à un diamètre. Page 24/27

Chapitre 4 Aire d un morceau de surface éfinition 5 (Nappe paramétrée). On appelle nappe (ou surface) paramétrée de classe C n (n N { }) un couple S = (U, M) où U est un ouvert non vide de R 2 et M C n (U, R 3 ). On se donnera un point M(u, v) de la nappe en précisant bien le couple (u, v) U. L ensemble des points M(u, v) où (u, v) décrit U s appelle support de la nappe (mais on dit aussi la surface par abus) ; dans cet exposé on notera (S) cet ensemble. éfinition 6 (Plan tangent à une surface en un point régulier). Soit S = (U, M) une nappe ( paramétrée C n, n 1. Le point M(u, v) de S est dit régulier si le système M ) M (u, v), (u, v) est libre. Le plan tangent à u v S en un tel point est, par ( définition le plan affine qui passe par M(u, v) et dont la direction est Vect M M (u, v), ). (u, v) Autrement dit : u v M(u, v) + Vect ( M u, ) { M = M(u, v) + λ v M u + µ } M, (λ, µ) R2 v La normale à S en M(u, v) est la perpendiculaire au plan tangent qui passe par M(u, v). Elle est dirigée par le vecteur M M (u, v) (u, v). éfinition 7. Soit (Ω, M) une surface paramétrée de classe C k (k 1). Si K Ω est un domaine compact ne comportant qu un nombre fini de singularités de M et tel que M K soit injective. L aire du morceau de surface, 25 u v

image de K par M, est donnée par : S = K M u M v dudv Remarque 3. Lorsque le point M(u, v) est régulier, les physiciens introduisent le "vecteur normal élémentaire" : ds = M u M v dudv. Exercice 17 (Fenêtre de Viviani). Calculer l aire d un morceau de sphère intérieure à un cylindre de rayon moitié qui lui est tangent. Proposition 9 (Cas des surfaces z = f(x, y)). Soit f une application de classe C k (k 1) d un ouvert Ω R 2 dans R. La surface Σ d équation z = f(x, y) est alors la nappe (Ω, M) de R 3 définie par la paramétrage : Il vient alors : M x M(x, y) = (x, y, f(x, y)) ( M y = f ) x, f y, 1 qui est régulière. Si K Ω est un compact, l aire du morceau de surface M(K) est donc donnée par : K ( f ) 2 + x ( ) 2 f + 1 dxdy y Proposition 10 (Cas des surfaces de révolution). Soit z r(z) une application de classe C k (k 1) d un segment [a, b] dans R strictement positive sauf éventuellement en un nombre fini de points d annulation. L aire de la surface régulière de révolution obtenue en faisant tourner la courbe (C) d équation x = r(z) dans le plan xoz autour de Oz est donnée par : S = b a 2πr(z) 1 + r (z) 2 dz Page 26/27

Soit encore, en notant s une abscisse curviligne sur C : S = b a 2πr(z) ds Les lecteurs définiront une heuristique physicienne traduisant ce résultat. Plus généralement l aire de la surface de révolution régulière engendrée par rotation autour de Oz d une courbe (C) fermée, sans point double, de classe C k du plan xoz, ne rencontrant pas Oz, est donnée par : C 2πr(z) ds où s est une abscisse curviligne sur C supposée parcourue dans le sens direct et r(z) la distance du point courant de la courbe à l axe Oz. Exemple 12. Aire d une sphère? Exemple 13. Aire d un morceau de cone de révolution de hauteur h? Exercice 18. Aire du morceau de surface engendrée par rotation d un morceau de parabole de hauteur h autour de son axe? Exercice 19. Aire d un tore de révolution? Exercice 20. Exprimer l aire d un morceau de surface en cylindriques et en sphériques. Appliquer au calcul de l aire du dmaine défini dans l exercice 8. Page 27/27