EA MP épreuve 05 Eercice.. De maière classique J = J. A = I + J e I e J commue. Doc A = I + ( + J = ( + A ( + I. Aisi le polyôme P = X ( + X + + es u aulaeur de A... A(A ( + I = ( + I. Doc A es iversible d'iverse (+I A +. A es ue marice symérique réelle. Elle es doc orhogoaleme diagoalisable. D'où l'eisece de Q O (R e de D diagoale elles que A = QDQ.. P = (X (X doc Sp(A {, + }. A 'es pas scalaire doc Sp(A = {, + }. A I = J es de rag. Doc D = Diag(,...,, +.. U UA AU es u edomorphisme de M (R. E e es le oyau. C'es doc u sous-espace vecoriel de M (R.. Q = Q doc si V = QUQ, UA = AU UQDQ = UQDQ U V D = DV.. Soi θ : U QUQ. Le poi (b more que θ es u isomorphisme ere E e F. Par coséque E e F so de même dimesio.
. ( V C Posos V =. U calcul par bloc doe L α V D = DV V = V, C = ( + L. Doc ( V ( + F = { L V L α S (R, α R, L M, (R}. Aisi dim(f = (+ = dim(e.. ϕ es biliéaire par liéarié du produi mariciel, symérique car A es symérique. Soi u veceur de R. Soi X le veceur coloe représea das la base caoique. Soi (ξ i = QX. ϕ(, = ξ + ( + ξ doc ϕ(, 0 e ϕ(, = 0 = 0. ϕ es u produi scalaire. i=. Soi (, y (R. ϕ(u(, y = X UAY = AUY = ϕ(, u(y. Doc u es symérique pour le produi scalaire ϕ.. Par le héorème specral, u es diagoalisable das ue base B orhoormée pour ϕ. Soi = Ma(u, B e B la marice de passage de la base caoique à B. Alors, es diagoale, U = B B e BAB = I. Eercice E développa le déermia par rappor à sa derière coloe, o obie P + = (X a + P b P.. A es ue marice symérique réelle : elle es doc diagoalisable.. La marice cosidérée es riagulaire iférieure : so déermia vau doc i= b i. E pariculier, il es o ul.. λ es valeur propre de A doc λi A possède u rag <. De plus, par (b, les derières coloes de λi A so libres. Doc λi A es de rag.. A es diagoalisable, doc la dimesio de chaque espace propre es égale à la muliplicié de la valeur propre das le polyôme caracérisique. Or, chaque espace propre es de dimesio (c. Doc A adme valeurs propres disices.
. E uilisa le, o obie = P P + P P + = P (P + (X a + P b P + P ((X a + P b P = P + b. = (X a + b. Doc R, ( > 0. Par ue récurrece immédiae à parir de a,, R, ( > 0. Soi α e β deu zéros cosécuifs de P. P + e s'aule pas e α e β car e s'aule pas. Soi F = P+ P. F es sriceme croissae sur ]α, β[ car sa dérivée es du sige de. Or F ed vers l'ii e α e β. Par le héorème des valeurs iermédiaires P + s'aule ere α e β. Eercice si( es prologeable par coiuié e 0 e doc iégrable sur [0, ]. cos( e +. O peu doc eecuer ue iégraio par parie : cos(. = O( doc si( d coverge. si( d = [ cos( ] adme ue limie cos( d. Or U développeme limié doe cos(α e i α, doc la focio es prologeable par coiuié e 0.. Sur ]0, ], la focio es iégrable car coiue e prologeable par coiuié e 0. Sur [, + [, 0 cos(α e i D'où l'iégrabilié par comparaiso (Riema... Ī = cos(α e i d. Le chageme de variable u = codui alors à I = Ī. O eecue ue iégraio par paries, puis le chageme de variable = B pour obeir l'égalié souhaiée.
. Soi A > 0 e B > + 0. A + cos(b obie 0 B (vrai aussi pour B = 0.. I = + cos(b d = cos(ab A + B AB si( d. E faisa edre A vers 0, o cos(b d = d = B. cos es paire, doc pour B quelcoque, o obie + 0 cos( d + cos((+α d + cos(( α d = ( α + + α Eercice p = P (b = 0 b =, q = P (b = 0 b = 0, q = P (b = b = 0 Par la formule des probabiliés oales, P (b = = P (b = b = + P (b = b = 0 = P (b = b = P (b = + P (b = b = 0P (b = 0 = pα + ( q( α. Par la formule de Bayes, P (b = b = = P (b=p (b = b= P (b = = αp pα+( q( α. ( P (X = = P (X = b = 0P (b = 0 + P (X = b = P (b = = ( p ( p α. ( q q ( α + 5 E(X = ( q( α + pα. 6 P (b = X = = P (X= b=p (b= P (X= c'es à dire P (b = X = = p ( p α ( q q ( α+p ( p α. 7 7. Désormais p = q O cherche el que P (b = X = >. Sacha que q = p e α l( α ( < l( p p < p <, ceci équivau à
7. Si α =, la codiio devie <. 8 8. 8. < 8. Ici α = f( = < P (X = P (b = X = + P (X = P (b = 0 X = E ( remplaça les probabiliés par ( leurs epressios, o obie ( : f( = ( p p ( α + p ( p α + ( p p + def bi(,p: if <p : reur(0 if ==p : reur( else : if p==0 : reur( reur(bi(-,p-+bi(-,p ( p p ( α + ( + ( p p p ( p α p=0.95 def f(: s=0 for i rage(0,+: if < / : s+=(/*bi(,*(-p***p**(-+(-p**(-*p***(/(+(p/(-p**(-* s+=(/*bi(,*(-p***p**(-+(-p**(-*p***(/(+(p/(-p**(-+* reur(s